Cours #6Filtrage

Découverte

Plan du cours2- Pré-traitement des images2.1 Amélioration du contraste2.2 Filtrage

: Filtre gaussien Filtres pyramidaux Filtre médian Laplacien Rehaussement des discontinuités2.3 Morphologie

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Cours #6 - 2

Forum

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Cours #6 - 3

Découverte R.C. Gonzalez et R.E.

Woods, Digital Image Processing, 2e édition, Prentice Hall,2002. Classique en

traitement d’images Livre de référence

pour GPA-669 (ELE-747?)

Excellente référence pour la partie « traitement » des systèmes de vision

Rehaussement de l’image, filtration, couleur, ondelettes

Morphologie, segmentation

C. Guizard, V. Bellon et F. Sevila, Vision artificielle dans les industries agro-alimentaires, Cemagref Montpellier1992. Théorie et mise-en-

œuvre Couleur, forme,

attributs Méthodes de

classification

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Cours #6 - 4

2.2.3 Filtre gaussien Filtre passe-bas optimal

Paramètres ajustables• Commande du degré de brouillage• Largeur de bande finie

reconstruction spatiale exacte

Opérateur local et lisse

o x,y( )=I x,y( )⋅1

σ 2πe

−x2+y2( )2σ2

x2 +y2 =r2

Filtre à symétrie circulaire

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Cours #6 - 5

Comparaison entre le filtre moyenneur et le filtre gaussien

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Cours #6 - 6

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Cours #6 - 7

Mise en œuvre 1- Échantillons de la fonction gaussienne

o x,y( )=I x,y( )⋅1

σ 2πe

−x2+y2( )2σ2

W i, j( )=k⋅exp−i2 +j2

2σ 2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

W i, j( )k

=exp−i2 +j2

2σ 2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

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Cours #6 - 8

W i, j( )k

=exp−i2 +j2

2σ 2

⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

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Cours #6 - 9

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Cours #6 - 10

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Cours #6 - 11

Mise en œuvre 1- Échantillons de la fonction

gaussienne

Alternative: coefficients de l’expansion binomiale

n

k⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ pkqn−k ≅

12πnpq

e− k−np( )2

2npq

n

k⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

n!k! n−k( )!

=n

n−k⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

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Cours #6 - 12

n / k 0 1 2 3 4 5 61 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1Premiers coefficients binomiaux.

σ =n

2

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Cours #6 - 13

Mise en œuvre 2- Séparabilité de la gaussienne

g x,y( )∗I x,y( )= e−

k2

2σ 2

k∑ e

−l2

2σ 2

I x−k,y−l( )l∑

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

( ) [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⊗

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1331

3993

3993

1331

1331

1

3

3

1

, yxg

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Cours #6 - 14

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Cours #6 - 15

Fréquence de coupure

F g x( )( )= 2πσe−ω2

2γ2

γ2 =1

σ 2

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Cours #6 - 16

2.2.4 Filtres pyramidaux Déf.: représentation multirésolution

Analyse à plusieurs résolutions spatiales

Filtrage efficace par interpolation

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Cours #6 - 17

σ

Image d’entrée

Arêtes bien localiséesmais bruyantes (petit σ)

(Illuminance)

Niveau à hauterésolution

Arêtes mallocalisées (grand σ )

Niveau à basserésolution

Représentation multi-résolution des caractéristiques (arêtes) d’une ima-ge d’illuminance. La représentation à un niveau donné de résolution spa-tiale s’obtient en fi ltrant l’image d’illuminance avec un fi ltre passe-baspuis en détectant les caractéristiques de l’image filtrée.

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Cours #6 - 18

Filtre passe-bas

Filtre passe-haut

I x,y( ) pyramide ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ I x,y,k( )

I x,y,k( ) interpolation ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ O x,y( )

I x,y( ) pyramide ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ I x,y,k( )

I x,y,k( ) interpolation ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ′ I x,y( )

O x,y( )=I x,y( )− ′ I (x,y)

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Cours #6 - 19

Mise en œuvre 1- Génération de la pyramide

• Choix du noyau:– Moyenneur– Gaussien

• Décimation: 2x2 1• Représentation compacte: 1 1/3

2- Choix du niveau (de la pyramide) 3- Interpolation bilinéaire

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Cours #6 - 20

Génération de la pyramideUn pixel au niveau L-1 est généré par décimation d’un bloc de 2x2 au niveau L en appliquant un filtre passe-bas sur ce bloc et possiblement son voisinage.

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Cours #6 - 21

Interpolation bilinéaire

I x,y( )=a1 +a2x+a3y+a4xy

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Cours #6 - 22

z11 =I x1,y1( )=a1 +a2x1 +a3y1 +a4x1y1

z12 =I x1,y2( )=a1 +a2x1 +a3y2 +a4x1y2

z21 =I x2,y1( )=a1 +a2x2 +a3y1 +a4x2y1

z22 =I x2,y2( )=a1 +a2x2 +a3y2 +a4x2y2

a1 =x2y2z11−x2y1z12 −x1y2z21+x1y1z22

x2 −x1( ) y2 −y1( )

a2 =−y2z11+y1z12 +y2z21−y1z22

x2 −x1( ) y2 −y1( )

a3 =−x2z11+x2z12 +x1z21−x1z22

x2 −x1( ) y2 −y1( )

a4 =z11−z12 −z21+z22

x2 −x1( ) y2 −y1( )

I x1 +δx,y1 +δy( )=z11+δx z21−z11( )+δy z12 −z11( )+δxδy z11−z12 −z21+z22( )

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Cours #6 - 24

Fréquence de coupure Déterminée par le niveau choisi

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Cours #6 - 25

Exemples:

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Cours #6 - 26

Étages vus à dimensions constantes

64x64 32x32

8x816x16

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Cours #6 - 27

4x4 2x2

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Cours #6 - 28

Filtre passe-bas (niveau 4 projeté sur le 6)

Image originale Image filtrée

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Cours #6 - 29

Niveau 4 projeté (interpolé) au niveau 6

Niveau 6

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Cours #6 - 30

Niveau 1 projeté (interpolé) au niveau 6

Niveau 2 projeté (interpolé) au niveau 6

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Cours #6 - 31

2.2.5 Filtre médian Déf.:

O(x,y): Valeur médiane de la liste ordonnée dans W(x,y)

Type: Filtre non-linéaire de suppression de bruit

impulsionnel

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Cours #6 - 32

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Cours #6 - 33

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Cours #6 - 34

Mise en œuvre: Choix du masque de sélection du voisinage

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Cours #6 - 35

Exemple: échelon

Marche d’escalieridéale

Marche d’escalier + bruit impuls.+ bruit structurel

1 itération dudu filtre médian

5 itérations dudu filtre médian

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Cours #6 - 36

10 itérations dudu filtre médian

20 itérations dudu filtre médian

(image originale + bruit) -(20 itérations du filtre médian)

Résumé - fonction échelon

(image originale + bruit) -(20 itérations du filtre médian)

20 itérations dudu filtre médian

Marche d’escalier + bruit impuls.+ bruit structurel

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Cours #6 - 38

Exemple: scène contemporaine

Image originale bruitée

Filtre gaussien Filtre médian(1 itération)

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Cours #6 - 39

2.2.6 LaplacienL’effet de brouillage causé par le système optique ou par le mouvement du sujet photographié dégrade l’image et résulte d’un effet d’intégration local. Pour y remédier, une opération de dérivation pour accentuer les hautes fréquences (atténuées par l’intégration).

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Cours #6 - 40

I

∇I

∇2I

Caractéristique de scène (variation de la normale à lasurface) et sa tr aduction sur l’ima ge d’illuminance. Lavariation d’illuminance peut être détectée soit comme unmaximum de la dérivée première de l’image, ou soit com-me un passage par zéro de la dérivée seconde.

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Cours #6 - 41

définition

∇2 =

0 1 0

1 −4 1

0 1 0

≅

1 4 1

4 −20 4

1 4 1

€

∇2I x, y( ) =∂ 2

∂x2 I x, y( ) +∂ 2

∂y2 I x, y( )

∂ 2I∂x2 = I i, j +1( ) − 2I i, j( ) + I i, j −1( )

∂ 2I∂y2 = I i +1, j( ) − 2I i, j( ) + I i −1, j( )

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Cours #6 - 42

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Cours #6 - 43

Rehaussement des arêtes par soustraction du laplacien 1- O(x,y) = I(x,y) - 2I(x,y) 2- O(x,y) = I(x,y) - I(x,y) G(σ)

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Cours #6 - 44

O x,y( )=I x,y( )−∇2I x,y( )

Arête en forme de rampe Laplacien appliqué à une rampeRésultat de la soustraction

du Laplacien de l’image originale

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Cours #6 - 45

Une autre façon de voir le Laplacien:

1

1 -4 1

1

Filtre moyenneurPasse-bas

Soustraction

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Cours #6 - 46

O x,y( )=I x,y( )−I x,y( )∗G σ( )

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Cours #6 - 47

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Cours #6 - 48

Relation avec le Laplacien

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Cours #6 - 49

2.2.7 Préservation des discontinuités

Le principal problème avec le filtrage, c’est que les arêtes, la principale source d’information, sont alternées et déplacées (diffusées).

Les méthodes qui suivent sont basées sur le fait que les arêtes et le bruit n’ont pas les mêmes statistiques.

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Cours #6 - 50

Algorithme de Nagao

O x,y( )=I x,y( )σmin

2

σ 2 = I x,y( )−I x,y( )( )2

voisinage∑

Avant l’application del’algorithme de NagaoAvant l’application del’algorithme de Nagao

Après l’application del’algorithme de Nagao

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Cours #6 - 51

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Cours #6 - 52

Comparaison avec le filtre moyenneur

Imageoriginale

Moyennage simple Algorithme de Nagao

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Cours #6 - 53

Algorithme de Weymouth/Overton

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Cours #6 - 54

Pondération selon l’inverse de la distance

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Cours #6 - 55

Pondération selon la similitude des valeurs d’éclairement

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Cours #6 - 56

Pondération combinée selon la distance et la ressemblance

WD,I i,k( )=1

d 1+KΔSΔ2

σ2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Avec d = distance (1 ou 2)K, S = ctes (1 par défaut)σ2 = variance du voisinage

= |I(i) - I(k)|

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Cours #6 - 57

Résultats: l’algorithme a tendance à maintenir les régions en pente et les arêtes tout en atténuant le bruit.

Avant le rehaussement

Après le rehaussement

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Cours #6 - 58

Avant le rehaussement

Après le rehaussement

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Cours #6 - 59

Comparaison Nagao - Weymount/Overton Weymount/Overton meilleur pour la

préservation des pentes Weymount/Overton nécessite plus de calculs

Weymount/Overton

Nagao

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Cours #6 - 60

Weymount/Overton

Nagao

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Cours #6 - 61

2.3 Morphologie Introduction à la morphologie Morphologie binaire

Dilatation Érosion Ouverture Fermeture

Morphologie en niveaux de gris L’opérateur << Érosion Dilatation Ouverture Fermeture

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Cours #6 - 62

Introduction à la morphologie

Le traitement morphologique est basé sur la notion d’inclusion ou non d’une forme particulière dans une région de l’image

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Cours #6 - 63

Principales applicationsLes opérateurs morphologiques de base sont utilisés pour adoucir les contours des régions. L’adoucissement peut être réalisé soit en rétrécissant (en érodant), soit en agrandissant (en dilatant) les régions.

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Cours #6 - 64

2.3.1 Morphologie binaire

Dilatation Érosion

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Cours #6 - 65

Dilatation

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 66

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 67

Érosion

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 68

Ouverture L’ouverture est un opérateur

composé qui combine une érosion suivie d’une dilatation

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 69

Ouverture: adoucissement de contours (ES convexe)

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 70

Ouverture: suppression d’isthmes (ES convexe)

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 71

Ouverture: élimination de bruit(ES convexe)

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 72

Fermeture La fermeture est un opérateur

composé qui combine une dilatation suivie d’une érosion

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 73

Fermeture: bouchage de trous(ES convexe)

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 74

Fermeture: remplissage de détroits(ES convexe)

Image (A) Élément structurant (B) A B

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Cours #6 - 75

2.3.1 Morphologie en niveaux de gris Métaphore du paysage 3D:

Niveau de gris représente la hauteur

Image en représentation de surface

Élément structurant: volume promené sous la surface (représentée par les niveaux de gris)

Opérations d’ouverture et de fermeture principalement utilisées

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Cours #6 - 76

Opérateur de base:

a<<b faux car a excède b

a<<b faux car domaine de a n’est pas sous-ensemble de b

a<<b vrai

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Cours #6 - 77

Érosion en niveaux de gris

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Cours #6 - 78

Dilatation en niveaux de gris

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Cours #6 - 79

Ouverture en niveaux de gris L’ouverture est un opérateur

composé qui combine une érosion suivie d’une dilatation

Image microscopiqued’une plume d’aile

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Cours #6 - 80

Fermeture en niveaux de gris La fermeture est un opérateur

composé qui combine une dilatation suivie d’une érosion

Image microscopiqued’une roche géographique