Flambage de plaques 61astoplastiques (*).

~ . M m ~ o ~ (**) - J . P. P w ~ (***)

S u m m a r y . - We consider a model, introduced by Do describing the equilibrium of an elastoplastic plate to which we apply, on the edges forces lying in the plane o/the plate, and inside, distributed forces in the orthogonat direction. After having set the problem in terms o/calculus o/varia- tions, we obtain, in a general #amewo@, results o/existence and results of bifurcation for the homogeneous problem.

On consid~re ici le flambage d 'une plaque mince constitu6e en mat6riau 61asto- p]astique, et qui est soumise, d~une par t ~ des forces F~----2.F appliqu6es sur la frontiSre et situ6es duns le plan de la plaque (~ cst un par~m~tre r6el)~ d~autre par t

des forces distribu6es verticales (orthogenules au plan de la plaque) de 4ensit6 ]. Lorsque le m~t~riau est suppos6 61astique, ce probl~me est correctement mo-

ddlis6 par les 6quations de Von K~rman (6qu~tions qui font intervenir une fenc~ien de eontraintes ou fonetion d'Airy), eu mieux par les 6quations qui proviennent des m~mes hypotheses m6caniques lnais qui ne font intervenir que les contraintes et les d@lacements (et que nous appellerons 6quations de Von Karmun en contraintes- dSpl~cements); cette derniSre mod61isatien permet de consid6rer des g6om6tries non simples et des conditions aux limites de diff6rents types~ sans faire appel ~ des r6sultats de r@ularit6. Pour 1~ mod61isution de ces probl~mcs et r6 tude du tiam- b~ge~ on pourru consulter DvvA~-L~o~s [7], BE~v,~ [1], BE~E~-F~FE [3]7 CU_~Lv, T- I)ESTUYI~D]~Ir [4], DO [5], POTIEIC-FEI%I%Y [9], )/[IGNOT-PUEL-SUQUET [8], etc...

Ici, nous consid8rerons un mod&le de plaques 61astoplastiques introduit et 6tu- di6 par Do [5]. Les hypotheses concern~nt les d6fermations sont les m&mes que pour les 6qu~tions de Von K~rm~n. La loi de comportcment du mat6riau reliant les contraintes planes et les d6form~tions est une loi de type plasticit6 parfaite, ]a loi de t tencky, qui n 'est pas lin6aire. Les contreintes planes sont alors les ~ projections ~>, pour an produit scmlaire convenable~ des d6formations planes sur un cenvexe de plasticit6 pour lequel on peurr~ choisir plusieurs modules (convexe de Von Mises par exemple).

Nous ne ferons ici ~ueune hypoth~se de r@ularit6 sur le convexe de plasticit6 que nous supposerons seulement born6 (Ce qui est le cas pour le convcxe de Von Mises consid6r6 ci-dessus).

(*) Entrata in Redaz ione i l 16 set tembre 1980. (**) Laboratoire d'Analyse Num6rique, Universit6 Paris VI et Universit6 de Lille I.

(***) Laboratoire d'Analyse Num6rique, Universit~ Paris VI e~ Universit6 de Nancy II.

52 iF. M~(~o~r - J. P. Pv:~L: Flambage de plaques dlastoplastiques

Les relations liant les contr~intes de flexion aux courbures seront suppos~es �9 p �9

hnea~res. I2~quation fonctionnelle dormant le d~placement ~ orthogonal au plan de lu pla-

que sera de la forme

(1) A~ .-- B(~) ~ + ~(4, ~:) = ] ,

ou pour le probl~me homog~ne

(2) A~ -- B(~) ~ + iV(~, ~) = 0.

L'op~rateur A est un op~rateur aux d~riv~es partielles line,ire du 4~me ordre (avec des conditions aux limites approprides); B(4) est un op~rateur aux d~riv~es partielles du 2~me ordre dent les coefficients ddpendent de 4 de mani~re continue mais en g~n~ral sans plus de r~gularit~. L'op~rateur N(4, ~) est non lin~aire en ~ non diff~rentiable en $, et d@cnd ~galement de 4.

Le probl~me (2) poss~de la solution ~ ~- 0 (appelSe solution triviale) quelle que soit la v~leur de 4.

l~ous montrerons ici que sons des hypotheses raisonnables, pour 4 fixd, le pro- blSme (1) poss~de an moins une solution, et qu'il existe une branche de solutions non triviales (4, ~) de (2) (avec done ~ 7e 0), branche biflLrqu~e par rapport ~ la branche de solutions triviales (4, 0) en un point de bifurcation (40, 0) o~ 40 joue le r61e de (~ premiere valeur propre ~).

Les probl~mes (1) et (2) poss~dent deux particnlarit~s importantes pour leur ~tude math~matique:

1) Z'opdrateur non lindaire considSr5 n'est pas 4iff~rentiable par rapport ~ ~.

2) La d~pendance en 4 de cet op~rateur, non seulement n'cst pas affine, mais est seulement continue et ne poss~de pas plus de r~gularit~ en g~n~ral.

l~ous montrcrons que les probl~mes (1) et (2) peuvent so formuler en termes de calcul de variations, les solutions ~tant alors les points critiques d'une fonctionnelle. ~ous prouverons que, pour chaque valeur du param~tre 4, la fonetionnelle consi- d~r~e admet un minimum qui est atteint en nn ~l~ment ~z solution de (1) ou de (2).

Pour le problSme (2) nous montrerons que ~ = 0 (et qne 0 est l'unique solu- tion) pour 4 < 40, puis que (4, ~) est une branche bifurqu~e de solutions non tri- viales pour 4>40. L'~llure de la branche bifurqude d~pendra d'une condition de type g~omdtrique portant sur la projection de 0 sur le convexe des ~lSments stati- quement et plastiquement admissibles.

Le plan de notre travail sera le suivant:

1. Rappel sur la mod~lisation du probl~me.

2. Enoned des r~sultats.

3. Formulation variationnelle du probl~me.

4. Dgmonstrations des rgsultats.

5. Compldments.

F. M~IG~O~ - J. P. PV-EL: Flambage de plaques eTastoplastiques 53

1. - Rappel sur la mod61isation du probl~me.

~Tous consid6rons une plaque mince d '@aisseur h (suppos6e constante pour simplifier), qui occupe une surface moyenne [2, off s est un ouvert born6 r6gu- lier de ~s de fronti6re F. Nous d6signerons par n = (n~, ns) la normale ~ F, ext6-

rieure ~ Q. :Nous supposerons que la plaque ~ est encastr6e stir une part ie Fo d o / ' (avec Fo

de mesure non nulle), qu'elle est en appui simple sur une pa t t ie F~ d e / ' , ct qu'elle

est libre sur la par t ie /'s de ~/" telle que

FoU u Fs= r .

La plaque est soumise s une force r6partie de densit6 ] que nous supposerons orthogonale au plan de ~. D 'au t re par t , sur la f ront i6re /~ est appliqu6e une force Fx (pouvant ~tre nulle sur une part ie de / ' ) d6pendant 4 'un param6tre de charge 2

(2 e R) et situ6e duns le plan de I2; nous supposerons ici que

F z = 2 . F

o~ F est une force donn6e. (Nous pourrions consid6rer des forces Fx qui ne soient pus de la forme ~ .F ainsi

que des forces distribu6es qui ne soient pus verticales mais ceci compliquerait sen-

siblement les 6nonc6s). Le d6placement U = (ul, us, u~) de la plaque sera encore not6

(1.1) U = (ul, us, 8 ) = (u, 8)

off u sera le d6placement plan, et oh ~ sera le d6placement orthogonal s /2, ou encore le d6placement vertical.

:bTous consid6rerons des d6formations planes <( petites 7> et des d6formations ver- ticales plus importantes, ce qui nous conduit ~ introduire un tenseur non lin6aire incomplet des d6formations (les indices grecs prendront les valeurs 1 et 2, et nous utiliserons la nota t ion sommation pour les indices r6p6t6s):

l [au~ , 8~a'l 1 88 88 (1.2) Y~e = 2 ~ x ~ t ~--~J -}- 2 8x~ 8xe"

~Tous serons d 'aut re par t amen6s s consid6rer le tenseur des courbures

(1.3) ~s8

5~ F. M~NoT - J . P. PUEL: l~tambage de plaques dlastoplastiques

En chaque point de ~ , on pout d6finir deux tonseurs sym6triques de contraintes qni ca,ract6risent l~6tat des contra,iatos dans la pla,que:

1) les contraintes de tension ou contraintes planes a ~ ( ~ ) ;

2) los eontraintos de flexion M = (M~).

Les 6quations d'equflibre de la th6orie des pla,quos de Von Karma,n s ecnvont alors:

(1.4) ~-xx ~ = 0 dans ~ .

(1.5) a~ .n~ = XF~ sur F

(1.6) ~ M ~ ~ / ~ dans

I~E~AitQUES 1.1. :

1) Aux dqua,tions (14), (1.5), (1.6) viendront s 'ajouter los conditions aux limites quo nous considbrerons sur los d6plaeements u ot ~, mais qui no sent pas proprement parlor des 6quations d'dquilibro.

2) Da,ns l'dqua,tion (1.5) nous avons suppos6 que la force 2 .F 6tait a,ppliqude sur route la fronti~re /~. Da,ns co cas le problbme (1.4)-(:l.5) admet t ra une solution si et seulement si la, force F v6rifio

f E~, dF ~ 0 pour ~ = 1, 2, et ((F~ xs - - Es x~) dF ~ 0

(c'est ~ dire que le torseur de la, force ext6rieure F est nul). ~ous pourrions 6galement consid6rer le cas off la, for te ~ . F n 'es t appliqu~e que

sur une pa,rtie F - - y o de/~, et off le d6pla,cement u est impos6 sur yo. Dans ce cas il n ' y a, pa,s de condition ~ introduire sur la force '17.

3) Le cas off ] : 0 correspondra au probl~me <( homog~ne )~, c 'est ~ dire au probl~me (2).

I1 nous resto ~ 6crire los lois de comportement . Ces lois, qui d6pendent du ma,- t6ria,u composa,nt la pla,qu% expriment des rela,tions entre los contra,intes a ~ (a~a) et M = (M~a), les d6forma,tions (7~a) et los courbures (g~a).

En th6orie classique des pla,ques de Yon K a rm an le ma,t6ria,u est suppos6 par- fai toment 61a,stique et cos rola,tions sent suppos6es lin6aires. Ici, nous consid6rons un ma,t6riau 61a,stopla,stique obdissant ~ une loi de t t encky pour la relat ion l iant (a~a) ~ (Y~a); par centre nous retiendrons une relation lin6aire entre (M~a) et (g~a).

Le mat6ria,u sofa, done ca,ra,ct6ris6 pa,r la, donn6o d~un ensemble convexe born6 C eontcna,nt 0 do [L2(/2)]~ (espa,ce des tenseurs sym6triques (v~a) dent les composa,ntes

F . ~[IGNOT - J , P . P I JEL: Flambage de plaques e'lastoplastiques 55

sent duns Z~(D)) e t de coefficients a~#~, et A ~ , , tels que:

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.10)

Nous averts ulors lea relations:

(1.11)

(1.12)

=(a~a) eG et V ~ = ( T ~ ) e ~ ,

dx. T2

I~E~_hRQVES 1.2 :

1) L'onsomble convexe C est d~duit du domaino d'41asticite du mat~riuu. Nous ne s uucune autre hypoth~so sur C e t nous pourrons done choisir plu- siem's mod~les de convexes, par oxemple lo convoxo do Von Mises (pour los plaques).

2) Nous n 'avons pus prSeis4 off nous pronions los coefficients a~#~ et A~#~. Nous les supposerons constants pour simplifier, mais tou t co qui suit reste rulable

en los supposant simplemont duns L~(~) .

3) Pour un matdriau homog~no et isotrope los coefficients a~#~ s'~erivent s implement en fonction du modulo do Young E et du module do Poisson v

1 (1.13) a~#~ = ~-~ [(1 @ v) ~(~.#~) - - v~(~#.~)] .

Nous Mlons main tenan t regrouper et r~ecriro los ~quations pr~c~dentes en ~ue d 'obtonir uno 4quation fonctionnelle simple, l~emarquons quo los conditions aux limites que nous prenons sur los deplacements ne sent pus encore pr~cisees. Elles le seront, do mani~ro implicite, grgco ~ l 'dcriture variationnelle suivante des 4quations (cf. DUVAUT-LIONS [7]).

Consid~rons l 'ospaco

{ } (1.14) V = 010~H2(~) , 0 = 0 sur - T o U / ~ l , ~ = 0 sur Fo �9

Nous munissons (provisoirement) l'ospaco V de la norme ]1 "Ilv induite par la normo habituello de H2(~).

56 F. MI~o~r - J . P. PVEL: ~lambage de plaques eTastoplastiques

D'apr~s (1.3), (1.6) et (1.11), nous eherchons ~ tel que, si ] e L*(~2) (par exemple)

(1.15)

~ e V et V O e V

f ~ ~ ~0 ( ~ DO f - - dx + _h'c~,~'-z-- ' -x--dx= ] 'Odx. d (~X~ Oxa

R]~h~qvv. 1.3. - Dens (1.15) (a~) d6pend on fuit de ~ ot du param~tre de charge 2. Lorsque n6eessaire, et pour faire apparai t re la d6pendance en ~, en ~ ou en le couple (2, ~), nous 6erirons

Consid6rons main tenant l 'ensemble Cz (ensemble des champs s ta t iquement et plast iquement admissibles) d6fini par

(1.16) ~x~ ~ = 0 dens ~2, r ~ . n ~ = 2 ~ sur F .

2 4 L'ensemble C~ est un sons-ensemble convexe ferm6 de [L (~)]s. Du fair que C eontient 0 et que F~ = ~I.F, nous voyons qu'il existe _~ et ] a rea

_2 < 0 < ~ tels que CA est non vide si et settlement si ~ e [_~, ~]. ~ous supposerons par lu suite que 2 > 0 et nous nous int~resserons aux valeurs

positives de 4, pour fixer les id4es. Pour ~ fix6 dens V e t ~ fix6 dens [_~, ~], a ---- (a~) ---- (a~(~, ~)) sere d6fini comme

solution du probl~me

(1.17)

a = (a~) e CA et Yv e C~.,

f Q

(~ ,~ - - a ~ ) d x .

RE~ARQUES 1.4:

1) Comme f2 r R ~, nous evens V c W1,~([2), co qui montro que a = (acr ~)) sere bien d6fini par (1.17) si C, v~ 0.

2) D e n s (1.17) nous nous sommes restreints ~ ~ e CA, ce qui permet d'6erire, pour (7~) d6fini par (1.2):

~x~ ~ dx , ~9 T2

1~. ~V[IGI~OT - J. P. PUEL: Flambage de plaques dlastoplastiques 57

puisque nous avons:

(~ .~- -a .~)=0

s u r F ~

dans ~ .

Pour ~ e V~ nous serons fr6quemment amen6s ~ consid6rer l 'expression �89 .(~/~xa). Par suite nons introduirons la notation, pour ~ e V:

(1.18) ~(~) = (~(~)) = ~x~ "

L'application ~ est s6quentiellement continue de V faible darts [Lz(~)]~ fort. D'apr~s (1.17), ~(i, ~ ) = (a~a(~, ~)) est la solution d 'une in6quation variation-

nelle sur le convexe Cx et a~ee second membre (~(~). ~ous noterons alors

(1.19) a ( ~ , ~ ) = P a ( $ ( ~ ) ) .

Notre probl~me est maintenant correctement d6fini par (1.15) et (1.17). Si nous d6composons (a~(~, ~)) en

(1.2o) ,~a(;t, ~) = ,~(.;t, o) + ~'~,~()., ~) = (~o (~.) + ~,(~, ~),

nous pouvons 6erire (1.15) sous la forme (1) A~--B(~)~ + N(~, ~)--~ ] darts V' off, si ( . , .} d6signe 18 dualit6 entre V e t V', nous avons, pour tou t ~ et 0 darts V:

(1.21) (A~, 0} = A~,,~-x~,~x, ~x~x~ ~ '

(YX.8 ~Xr162

f ~ 00 (1.23) (~v(;~, ~1, 0) = hS~(~, ~)~-~.~-ax,

et off ] d6signe encore l'616ment de V' associ6 s 18 forme lin6aire 0 --->rio dx.

2. - E n o n c 6 d e s r ~ s u l t a t s .

~ous serous amen6s ~ associer aux probl~mes (1) et (2) le probl~me suivant que nous appellerons probl~me ~( lin6aris6 ,~

(2.1) AO -~ B(2) 0 dans V'.

58 F . ~[I~I ' iOT - ,]'. P . I:)UEL: Flambage de plaques dlastoplastiques

Si 2 est tel que C~ =/= 0 (c'est s dire 2 e [_~, 1]) et tel que le probl~me (2.1) cor- respondant admet te une solution non nulle 0 e V~ 2 sera appel6e valeur propre du probl~me (2.1) et 0 sera un vecteur propre associ&

Pous fixer les id6es, nous ne consid~rerons que les v~lcurs positives de 2. Si 2o est une valeur propre positive telle que pout tout 2 v6rifi~nt 2 e [0~ 20[ on ~it~

pour tout 0 e V, 0 =/= 0 :

<AO, O> -- <B(2) 0, O> > 0 ,

alors 2o sera dire premibre valeur propre positive. Si (.~-) d6signe le produit scalairc darts [Z2(tO)]~, nous avows

(2.2) v0 e v , �89 <B(2)0, 0> = -- (hP~(0), ~(0)).

D'apr~s la continuit6 de 2 - + P~(0) e~ du fair que Po(0) = 0, il est ~is6 de voir que pour 2 e[0 , i] ct / assez petit , il existe ~ > 0 tel que:

vo ~ v , <AO, O> -- <B(2) O, O> > ~[101l~.

Nous pouvons ~lors d6finir l 'ensemble

(2.3) A ---- {211 e [0, ).], V2'e [0, 2[, V0 e V, 0 =/= 0, <AO, 0> -- <B(2')0, 0> > 0}.

l~ous savons que A est non vide et que c'est un intervalle de [0, 1] que nous noterons [0, 20]. [Si 2o < 2 nous voyons qu'alors 2o est la premiere v~leur propre positive de (2.1). Si 20 : ,~ et si 20 est une wleu r propre ce ser~ 6galement la pre- miSre ~aleur propre mais ce cas limite est de peu d'int6r~t et ne sera pas consid6r6 par la suite. Lorsque nous supposerons que le probl~me (2.1) admet une premiSre w l e u r propre 20, nous con~iendrons done que io < X.

D'~pr~s les propri6t6s de l 'op6rateur A~ nous pouvons munir l'espace V d 'une norme 6quivalente g H" [Iv d6finie par

(2.~) H0[[2 = �89 <AO, 0>.

Nous sommes conduits g introduire pour / e [0, t ] l e s fonctions suivantes:

(2.5) v0 e v , ~(2, 0) = (hP,(o), ~(0)),

(2.6) V0 ~ V, V(A, 0) ---- Sup (h% (~(0)), z~ C~

1~. M1G~0T - J. P. PUEL: Flambage de plaques 4lastoplastiques 59

Mnsi que

(2.7) 9(~) = inf 9(,1, 0) 0eV

II011<1

(2.8) %o(,1) = inf %o(,1, 0) . O e V

I[Otl~l

l~emarquons que 9(,~, 0) et %0(,1, 0 ) o u t des interpr6tations g6om6triques simples part ir du eonvexe Ca et de la direction 8(0). Notons encore que lorsque 0 parcourt

2 4 la boule unit6 de V, (~(0) parconrt un ensemble compact de [L (s 8 qui n 'es t pus simple g d6crire.

Les fonctions 9 et %0 qui joueront un rble essentiel par la suite et no tamment dans l'6nonc6 des r6sultats poss~dent quelques propri6t6s simples que nous r6sumons dams la proposition suivante (sans donner los d6monstrations qui sont 616mentaires):

Pno~osIr 2.1. - Les ]onctions 9 et %0 dd]inies par (2.7) et (2.8) v&i]ient los pro- pridt& suivantes :

(i) V,1 e [0, i ] , 9(~) < %0(;0 < 0 .

(ii) Pour ,1 e [0, ~]~ si 9(,1) < 0 [resp. %0(,1) < 0], nous avons dgalement

9(A) = inf 9(t , 0) [resp. %0(,1) ---- inf %0(~, 0 ) ] . O ~ V L O e V l

I[Oll=l llOIl= 1

(iii) propre de (2.1) est que:

1) ,lo e [o, iE

2) V,1 e [o, ,1o[,

a) 9(~0) = - 1 �9

Une condition n&essaire et su]/isante pour que ,1o soit la premi&e valour

9 ( ~ ) > - 1

De plus darts ee eas, 9 ( 2 o ) : 9(~o, 0o) pour tout vecteur propre Oo de (2.1) assoeid

a ,1o tel que I[Oo[l = 1.

(iv) Si ,1o est la premi&e valeur propre de (2.1), alors %0(,1o)>--1. Une condition n&essaire et su]]isante pour que %0(/0) = - - 1 est qu'il existe un veeteur propre Oo asso- ei~ a ~o tel que Hod = 1 et tel que

%0(,1o) = ~ ( & , Oo) = 9(,1o, Oo) = 9(,1o) = - 1 .

(Ceei implique une condition gdomdtrique sur le eonvexe Ca~

Nous pouvons maintenant 6noncer les principaux r6sultats. Iao premier est un r6sultat d 'existence pour le probl~me non homog~ne (1).

60 F. M~No~ - J. P. PU~_~L: ~lambage de plaques dlastoplastiques

Tm~O]~.E 2.1. - Pour tout 2 e [0, %] tel que ~ o ( 2 ) > - 1~ et pour tout ] ~ Z~(~)~ il existe ~ ~ V solution du probl~me (1).

E n partieulier si le probl~me (2.1) poss~de une premiere valeur propre ~o~ pour

tout 2 e [0~ 2o[ et pour tout ] ~ L~(~) le probl~me (1) poss~de une solution. Si de plus Y~(~o) > - - 1 il existe ~o ~ 0 tel que pour tout 2 e [0~ 2o-~o[ et pour tout ] ~ Z~(s le probl~me (1) poss~de une solution.

R E ~ Q u ~ 2.1:

1) Za d~monstration du th~or~me 2.1 montrera qu'en fait nous exhibons dans le cas consid~r~s ci-dessus des solutions (( stables )> pour le probl~me (1).

2) Nous savons que ~(2o)>--1 . Le cas ~ ( 2 o ) > - 1 sera l d c a s (~ frdquent ;) et le cas y(2o) -- - - 1 sera (( exceptionnel ~>.

Les autres r~sultats coneernent le probl~me homog~ne (2) que nous s~parons en deux th~or~mes~ Pun donnant des r~sultats d~existence pour 2 fix~ l~autre donnant un r~sultat de bifurcation.

T H ~ O ~ ] ~ 2.2. - Soit 2 e [0, ~]; nous pouvons alors distinguer les eas suivants:

(i) Si q~(2)~--1 , la seule solution du probl~me (2) est ~ = O.

(ii) Si ? ( 4 ) < - - 1 < ~(2), il existe une solution ~ e V du probl~me (2) telle que ~ ~ O.

(iii) Si ?(2) = - -1 = ~o(~), alors 2 est valeur propre du probl~me (2.1) et il existe

un veeteur propre 0 ~ V associd ~ 2 (done 0 V: O) tel que pour tout t ~ R , tO soit solution du probl~me (2) (done /V(2, tO)= 0 pour tout t ~ t~).

(iv) Si ~(2) = - - 1 < ~(2), alors 2 est une valeur propre de (2.1) et deux situa- tions peuvent se prdsenter:

a) Ze probl~me (2) ne poss~de que la solution 0-~ O.

b) I I existe un veeteur propre 0 e V assoeid ~ 2 tel que pour tout t ~ [--1, -~1], tO soit solution de (2) (done 5V(2, tO)= 0 pour tout t ~ [ - -1 , -~ 1]).

R v , ~ Q ~ 2.2. - Les th~or~mes precedents n 'envisagent pas le cas o/1 ~(2) < -- 1, qui correspond ~ un probl~me non eoercif pour lequel nous ne savons pus eonclure.

A par t i r du th~or~me 2.2 nous pouvons obtenir les rdsultats de bifurcation suivants.

TH~O~]~_E 2.3. - Supposons que le probl~me (2.1) poss~de une premiere valeur

propre 20 (avee done 20 < ~). s aeons alors les deux dventualitds suivantes:

(i) Si y:(2o)------1, le point (20, 0) est un point de bi]ureation et il existe une branehe bi]urqude de solutions de (2) de la ]orme {(2o, too), t ~/~}, o~ 0o est un veeteur propre de (2.1) assoeid 5 2o.

F. MIG~OT - J. 13. PUEL: ~lambage de plaques dlastoplastiques 61

(ii) Si ~v(4o) > - 1 et s'il existe ~o > 0 tel que 4o + ~o <~ ~ et tel que pour lout 4 e]4o, 4o -]- ~/o[, q(4) < - -1 alors le point (40, O) est un point de bi]ureation. De plus~ il existe ~7~ > 0 tel que pour tout 2 ~ ]2o, 4o-~ ~[ il existe une solution non nulle

$~ ~ V du probl~me (2). ZYnsemble {~a, 2 e ]40, 4o ~- ~h[} est relativement compact dans V e t lorsque 4 tend vers 40, les valeurs d~adhdrenee de (~a) sent des solutions du pro- blame (2) assoeid d ~o. Si ee problOme n'admet que la solution nulle, nous avons

~ --> 0 s i 4 ---> 4o �9

R E ~ Q ~ - E S 2.3 :

1) I1 est ais6 de montrer qu'une condition n6cessaire pour que le point (4, O) soit un point de bifurcation pour le probl~me (2) est que 4 soit une valeur propre du probl~me (2.1).

2) La condition ~ ( 4 o ) > - 1 qui intervient ci-dessus est s rapprocher de la condition intervenant darts l '6tudc des 6quations de Von Karman et qui cst reli6e

rexistence de solutions non nulles du probl~me de Monge-Amp~re (cf. Berger [1], Potier-Ferry [9]). Nous reviendrons dans la suite sur cette question et sur le cas des 6quations de Von-Karman.

3) L'hypoth~se faite sur la fonetion ~ au (ii) du th6or~me 2.3 correspond dire que 4o se comporte r6ellement comme une valeur propre. Elle sera par exemple r6alis6e s'fl existe un vecteur propre 00 associ6 ~ 4o tel que

- + < B ( 4 ) 0 o , 0o) = - - ( h P ~ ( 0 ) , ~(0o))

est str ictement d6croissante en 40. Dans le cas o~ cette hypoth~se n 'est pas satisfaite nous pouvons tout de m~me

obtenir terrains r6sultats qui viennent compl6ter ceux du th6or6me 2.2.

(i) Si ~0 (2o )>- 1 et s'il existe uae suite (2~).>~o avec 4o < 2.~<2 et 4 . - + 4o s i n -+ A- ov telle quc q(4~) < -- 1 alors le point (2o, O) est un point de bifurcation.

(ii) Si ~V(4o)>- 1 et s'il cxiste un vecteur propre 0o associ6 ~ 4o tel que N(do, 0o) = 0, alors (40, 0) cst un point de bifurcation et il existe une branche bifur- qu6e de solutions de (2) contcnant 1'ensemble {(~o, too), t e [ - -1 , 1]}.

(iii) Darts le cas oh les hypotheses de (i) et (ii) ci-dessus ne sent pas v6rifi6es, si de plus 4o est une valeur propre isol6e, alors (40, 0) n 'est pas un point de bifurcation.

3. - Formulation variationnelle du probl~me.

~ous allons montrer que pour chaque valeur de ~, ~ ~ [0, ~], l 'op6rateur de V dans V',

0 -+ a o - - B(4) 0 § -IV()., O) - - f ,

62 ~ . lV[IGI~OT - J . P . I:)IIEL: ~lambage de plaques eTastoplastiques

est la diff6rentielle par rapport ~ 0, d 'une fonctionnelle J~ d6finie sur V et ~ valeurs

dans R. D'apr~s le symStrie de A, nous voyons que

0 --->AO--]

est la diff6rentielle, on O, de la fonctionnelle

0 -+ �89 <AO, O> -- <t, 0>.

l#ous allo~s par coas6quent nous int6resser g l 'op6rateur

o -+ - - B(~) 0 + N(~, 0 ) . -

Rappelons que:

f ~0 @ dx - <B(~)0, ~> + <lV(~, 0), ~> = h ~ ( ~ , 0)~-~5~ -~-;~ ,

o~ a(2, 0) = (a~o(2, 0)) = P~(~(O)) est d6fini par (1.17).

T ] ~ 0 ~ E 3.1. - Si 2 e [0, ~], l'opdrateur 0 ~ -- B(2) 0 + N(2, 0) est la diH~ren- tielle, en O, d'une ]onetionnetle H~(O) ]aibtement sdquentiellement continue dd]inie par

De plus on a

(3.2) R~(O) = B(~(O)),

o~ la ]onetionndle (~-+I~x(~) est convexe, d~]inie sur [L~(T2)]~.

D]~o~s~r~A~o~. - Pour (~ = ( ~ ) ~ [L~(~)]~, grace ~ (1.9) et (1.7) fl existe un unique ~ = ( ~ ) ~ [L~(~2)]~ tel que

(3.3) a ~ = 6 ~ .

D'autro par t a = ( ~ ) = P~((~) est d6fini par:

e C~ et V~ e r

(3.~) dx.

Y2 t~

F . ~/[IGNOT - 5 . P . P U E L : Flambage de plaques dlastoplastiques 63

Doric a est la projection de 7 sur CA, not6e Proje, 7 , pour le produit scul~ire

(3.5) dx . $2

P~r suit% d'~pr6s Z~r~ntoaello Wl0], h . a est le gradient, pour le produit scul~ire ( -, .)~, de lu fonctionnelle convexe:

- ~ ( 7 ) = �89 7)~ - �89 - - e r o j ~ 7 ] , 7 - - ~ r o j ~ 7 ) o ,

Soit

/~(7) = (h "7, Projc,.7), - - �89 .Pro jc~ , ProjG,.7) . .

Si nous d6finissons

(3.6) A(8) =fhs [FA(8)] dx -- �89 $2 $2

et si 7 et 8 sent reli6s put (3.3), nous aurons

~ous voyons qu'~lors lu fonctionnelle 8-+/~A(8) est convexe~ et que h . a est ]e gradient, pur rupport ~ 8, de/~A(8) pour le produit scalaire

$2

c'est s dire que nous u~trons

(3.7) D~/TA(8)[~] = ( h ( ~ d x = (h.~, ~) = (h..PA(8), ~) . D

Effectuons main tenant le chungement de variable 8---- 8(0) et posons

(3.8) H~(0) = ~q~(8(0)).

2 4 L'application 0 - + 8(0) de V darts [L (f2)]~ 6~unt diff6rentiable, et du fair que a---- (a~) est sym6trique nous avons

f ~0 ~ . (3.9) DoHA(O)[~] = h . (~ (2 , O)-~x~.~-xx~ ax " f2

Lu coatinuit6 fuible sur les born6s de 0 -~ HA(O) provie~t de lu conti~uit6 forte de ->/~A(8) et du fair que 0 -> 8(0) est continue sur les born6s de V faible ~ v~leurs

duns [L~(tP)]] fort.

5 - A n n a l i d i M a t e m a t i e a

6~ 1~. ~r - J . P. Pv-EL: ~lambage de plaques eTastoplastiques

Si m a i n t e n a n t nous d6finissons pour 0 e V

(3.10) J~(O) -~ �89 <AO, O} ~- Ha(O) - - <1, 0}.

nous averts bien stir le r6sul tat su iwn t .

TH~Oa~,Z~E 3.2, - L operateur de V dans V'

o -+ AO - - B(~) 0 + ~ ( ~ , O) - - f

est la di//drentielte, en O, de la /onetionnelle Jt a dd/inie par (3.10). Zes solutions de (1)

sent ies points critiques de la /onetionnelle J~.

R E ~ Q u E S 3.1 :

1) La fonetion~elle 0 -+ J~(O) est une lois icontinfiment diff6rentiable sur V, mais n ' e s t pus deux lois dkff6reatiable.

2) Les d6finitions 40 Ji(O) et de C~ mon t r en t c laireme~t que, pour tou t 0 e V, l 'appl icat ion 1 -+ Jta(O ) est coat iau% mais n ' a pus plus de r6gularit6 en g6n6ral.

Duns la suite, nous aurons besoin 4 'une aut re 6criture des ~onctionnelles HA(O) et J~(O).

D6finissons, pour 0 e V, et ~ e [L~(tg)]~,

(3.11)

(3.12)

KA(O) -~ HA(O) + 1 <B(2) 0, 0} ,

g~(~) = P ~ ( ~ ) - (2.PA(0), 8).

17ous avons alors le

Tm~01C]~lU:E 3.3. - L'opdrateur 0 ---> 2V(t, O) est la di//drentielle, en O, de la [onetion- helle K~(O) dd]inie par (3.11).

De plus l'applieation (~ --+ I~(~) est eonvexe, et on a pour tout 0 e V:

(3.13)~

(3.14)

K~(0) = gA(a(0)),

K~(O) >K~(0) = HA(0) = Y~(0).

est la diff6rentielle, en 0, Puisque 1<B(2) 0, 05 =

premi6re pa t t i e du th6or6me est 6vidente cur 0 -+ B(2)0

ae �89 <B(~) 0, 0>. --(h'P~(O), 8(0)), nous voyons que

KA(O) = H~(O) - - (h "-PA(0), 8(0)),

el'oh (3.13).

F. [M_IGNOT - J . P. PUEL: ~lambage de plaques e'lastoplastiques 65

D'apr~s (3.7), nous avons

(h.Pz(0), a) ---- Do/lz(0)Ea],

et par suite

= B (a) - agoB (o)[a].

Puisque a-->/l~(a) est convex% nous voyons que a--> ~ ( ~ ) est convexe et que de plus

B~(a) >_H~(O) + .D~H~(O)Ea],

d'o~ (3.1~).

4. - D ~ m o n s t r a t i o n d e s r~su l ta t s .

4.1. Ddmonstra$ion du thdor~me 2.1.

Soit 2 e [0, ~], done tel que C~ :~ 0. Alors la fonetionnelle J~(O) est bien d~finie

pour tou t 0 e V. ~ous allons ehereher sous quelle condition eet te fonetionnelle admet un minimum

qu'elle a t te in t (et qui sera par suite une solution de (1)).

PROPOSITION 4.1. - Si ~0(~) > - - 1, 1~ fonetionnelle J~(O) est coercive, e 'est ~ dire que pour tou t M E R, 1'ensemble {0:0 ~ V, J~(O)<M} est un ensemble borne.

D]~ONSTRATION. -- 7~'OUS allons r~isonner par l 'absurde. Soit done M e R , et supposons qu'il existe une suite ( ~ ) , ~ , ~ e V telle que

(4.1)

Iqous avons done 4'apr~s (3.10)

E n divis~nt par t]~,]l~ ~ - � 8 9 ~ et en posant

On--

66 iF. :M:i6~oT - J . P. PEEL: tZlambage de plaques dlastoplastiques

nous ob t enons :

x + ~( / l~ . l I0 . ) 1 M II~.lI ~ lI$.ll (~' 0 . ) < - - .

Commo pour t ou t ~ e ~ll0-ll = ~, ou peu~ extr~ire urm sous sui te eaeore no t re (0~)~r te l le que

0~ -+ 00 dans V ~aible s i n -> + oo .

R e m a r q u o n s qu 'a lo rs , II04 < ~, que a(0.) ---> a(0o) dans [L'(/2)]~ for t , e t que

/L(I[~"II~ ~176 ]- o . > < ~ (~.2) 1 + i1~. I1 ~ I]~. ll <I, i1~. i1-----~ �9

Lv,~_m~ 4.2. - L a fone t ion ttA(tc3(Oo))/t ~ uno l imi te lorsque t -~ q- oo e t si nous he rons

(4.3) lira Bdta(O~ - .Do_,q~(c~)[~(Oo)] t--~+ oo t

(d~riv~e s l ' inf ini d e / t ~ ( . ) d~ns 1~ direetiort ~(0o)), nous avons

,--,~ [1~,11 ~ = n-,oolim [i~, ii ~

(ii) (4.4) Do/-7/A(oo)[0(0o)] = Sup (h.T, 0(0o)) = (h'a~(Oo), 0(0o)), ~eGa

off a~(00) e CA.

D~]KONSTRATION. -- Posons , p o u r t e / ~

k(t) = ~A(t~(0o)) - -BA(0 ) .

L a fone t ion t - + k(t) es t eonvexe e t nulle en 0.

P a r sui te , p o u r t > 0, les r eac t ions k(t)/t et k'(t) s e a t eroissantes . C o m m e d '~pr~s (3.7)

~'(t) = D ~ ( t ~ ( o o ) ) [ ~ ( O o ) ] = (h.i~ ~(0o)),

et e o m m e CA est born~, on vo i t que k'(t) est born6e.

Pu i sque k(t)/t<k'(t), il s ' en sui te que k(t)/t ~ une l imi te lorsque r --> ~- c~, ~gale lu l imi te de k'(t) lorsque t - + q- c~.

D o n e lZJA(tO(Oo))/t ~ une l imi te lorsque t ~ q- oo e t de p lus :

l ira n ~ , ,~..~ta,Oo, = lira D~RA(ta(Oo))[a(Oo)]. t - ~ + r t t--~+ eo

F. M_m~oT - J . P. P v ~ L : Ylambage de plaques e'lastoplastiques 67

X~ar sui te :

D~/~(c0)[8(0o)] = l im D~fI~(t~(Oo))[~(Oo)]. t-->+ oo

t )uisqne II~=ll , ~ + ~ lorsque n -}-c~, nous avons

l i m ~ ( l l ~ l i ~ ~(Oo)) = l im H~(t~(Oo)) ~ + ~ ii~1i ~ , ~ + ~ t

D ' ~ u t r e pa r t , le g rad ien t en (~ d e / t z ( b ) 6rant le p rodu i t pa r une cons~ante 4 ' u n

616merit de Cz (qui est born6), il es t born6. P a r suite il existe une cons t an t e M '

telle que

/L(il ~ II ~ ~(O~))li~nli ~ - /L(II~ II e ~(Oo)) < M'I~(O~) - ~(oo)[E~<~>~ �9

2 4 C o m m e ~(0.) --> 8(00) duns [Z (Q)]s s i n --> c~, on vo l t que

l ira /L(I[~]I= ~(0~)) = l i m /~*([1~"1[~ a(Oo)) ~ - ~ + ~ II~=ll = ~ - ~ + ~ t l ~ l l =

=/)~/~(~)[a(0o)].

Ceci m o n t r e le (i). Mont rons m a i n t e n a n t (ii). D ' ap r~s (3.7) nous avons

Dol~(tcS(Oo))[(5(Oo)] : (h._P~(t~(Oo)), (~(00)) �9

N o t o n s P~(t5(Oo))= at(Oo)= a t. C o m m e a t e C~ (qui est born6) nous pouvons

en extr~ire une sous-sui te (at')~zr telle que :

:N'OUS ~ V O n S a l o r s

{ ti-->+ c~ si i - ~ - ~ <>~

a ~' -~ a ~176 duns ~ 4 [L (fJ)]s faible si i -+ + (x~.

a r e C~ et

DJL(~)[a(Oo)] = (h.~% ~(0o)).

D ' a p r 6 s la d6finit ion de ate, nous avons

(r t~ e C~ et V~ e C~.,

68 F. :M~G~OT - J . P. PVE~: .Elambage de plaques dlastoplastiques

Divisons pa r t~; comme ~ ' et ~ rcs ten t born6s, fl v ient :

f f ~"(t,)

o~ M"(t~) est born6 uni form6ment en i. Faisons tendre i vers § oo (donc t~ vers § co); nous obtenons s la l imite:

P a r suite nous avons:

9 ,~ (oo ) [~ (00 ) ] = (h-z=, ~(00)) = Sup (h . ~ , ~(0o)), ~eO,t

d 'o~ le l emme 4.2. MMntenant d~apr~s (4.2) et le l emme 4.2, nous voyons queen passan t & la ]imite,

puisque II~ll-* oo lorsque n -+ § co nous avons:

(4.5) 1 § D,/L(oo)[~(00)] < 0,

soit

(4.6) Sup (h.~, 8(0o))<--1, veG~

soit encore ~v(A, 0 o ) < - - l . D 'apr~s (2.8) nous voyons qu~Mors ~v (2 )<- - l , ce qui fourni t une contradict ion avec l~hypoth~se de la proposi t ion 4.1. Ccci t e rmine la d6monst ra t iou de l~ proposi t ion 4.1.

P~oPosI~IoN 4.3. - Si ~v(2) > - - 1 , les valeurs de J~(O) sont minor6es et J~(.) a t te in t son m i n i m um en un 616ment ~ e V qui v6rifie donc:

j '~(~) = I n f J'~(O) .

D]~I~0NSTI~ATION. -- I~a fonctionnelle J~ est coercive d~apr~s la proposi t ion 4.1, et elle est fa ib lement semi cont inue inf6rieurement sur los born6s de V d 'apr~s le th6or~me 3.1. EHe est donc minor6e sur V e t a t t e in t sa borne inf6rieure en un 616- men t ~ e V.

Nous savons mMntenan t que si ~ v ( A ) > - - l , la ionetionnelle J~(.) a d m e t u n min i m um at te in t en ~ , qui est donc solution du probl~me (1). Ceci p rouve la pre- miere par t ie du th6or~me 2.1. E n fMt la solution t rouv6e est un m i n i m u m global de la fonctionnelle J~(.) et correspond donc ~ une solution (~ stable ~) du probl~me (1).

F. MIG~O~ - g. P. Ptml,: Flambage de plaques dlastoplastiques 69

Si maia tenan t le probl~me (2.1) poss~cle une premiere valeur propre 2o ~ [0, 2[, nous savons, d'apr~s la proposit ion 2.1, que:

1) V~z[0, Z0[, ~ ( ) . )> - -1 ,

2) v~e[o, ~[, ,f(,t)>q~(),).

Done pour tou t ~ ~[0, 20[, nous avons ~v(X)>- -1 et nous pouvons appliquer le r6sultat de la premiere par t ie du th6or~me 2.1.

Afin de d6montrer la dernibre part ie du th6or~me il suffit de mont rer que Fap- plication 2--~ ~v(~) est continue sur [0, ~[, ce qui fern Fobjet des deux lemmes suivants.

LEIVi~-E 4 A . - Pout tout ) ,El0 , 7,], il existe 0 ~ V, zA ~ CA tels que

V(2) = ~'(~, 0A) = (h "zA, ~(0A)) �9

.De plus, nous avons:

1) si ,p(~)= o,

2) ~i ~,(~) < o,

0 ) , ~ 0 .

Ho ll-- 1.

D#,~O~STI~,A~IOI~. - Pa r d6finition,

~(,~) = In f ~(~, 0), o~ ~)(~, O) = Sup (h.~, c~(0)). 0eV 7~g~

I]01i~<l

avee [(0All<l, et il existe

0n --> 0A dans V faible s i n --> + co .

P a r suite, 6(0~)--> 6(0A) clans ~ ~ [L (s s for t s i n --> co, et eomme CA est born6, nous voyons que

et done que:

P a r suite

Sup (h.z, 6(0.)) -+ Sup (h.z, d(0A)) , s i n --~ oo , v~C'~ veC~

y(,~, 0~) --> ~v(2, Ox) si n ---> + co .

~(2) = ~(~, 0~).

Consid6rons une suite (O~)n~N, O. e V, non][ < 1, telle que ~(2, 0~) --> ~(,~). De la suite born6e (0n)~ ~ on peut extrMre une sous suite, encore not6e (0,)n~ N

telle que:

70 F. 3/I2G~OT - d. P. PWEL: Flambage de plaques e'lastoplastiques

I1 est clair 6galemcnt , du fair que Cz est bo rn G qu' i l existe rz ~ C~ te l que

~(Z, 0~) = (h .~ , ~(0~)).

Si m a i n t e n a n t nons avons F ( 2 ) = 0, nous pouvons p r end re 0~ = 0. Si nous avons

~v(~) < 0, e t si nous supposons 0 < [10x]] < 1, Oz = 0a/1]0~ H est admissible darts la d6- f ini t ion (2.8) de ~v(2). Nous ob tenons alors:

1 1

ce qui fourn i t une cont rad ic t ion . P a r suite, II0d = 1, d 'o~ me lemme.

L : ~ u - ~ 4.5. - L'application 2 ~ ~(2) est continue sur [0, X].

D~o?cs:r~)_~r~o?r - Soit ~ ~ [0, ~]. ~ o n t r o n s que lira inf ~0(2) > ~(~). Soit ( 2 ~ ) ~ une suite t e n d a n t vers I tel le que

lira ~o(~) = l iminf~o(~). ~ + co ~ - ~

~ous avone V(~n)= V(~n, 0~), ~vee ]10~J < 1 . L~ suite ( 0 ~ ) , ~ est born6e ct nous pouvons en ex t rMre une sous-suite, encore

not6e (0~).~r tel le que :

{ 0;.~ -~ 0 duns V faible s i n -+ ~- cx~

~ ( O j ~ ~(0) doms 2 ~ _+ q_ . [L (~9)]~ for t si n c~

~o~s ~ o n s IlOII < 1 et il existe ~ e q tel que

~( i , 0) = (h.~, ~(0)).

Posons mMnten~n t 4,, = Projc , ~ . " * Nous uvons r~* e C~, e t f~ --> f d~ns ~b ---~ - ~ OO.

Donc :

e t pa r sui te :

~(~., 0~.) = Sup (h.~, ~(0~.)) > (h. ~., ~(0~.)),

[L~(zg)]~ si

Or :

l im VJ(~,,)= lira F(2 , , 0z~)> l i m i n f ( h . f . , 3(0z~)), ~--++ oo ~t--> + co ~---> q- ao

l i m i n f (h. ~ , ~(0z~)) = (h. r 3(0)) ----- ,~(~, 0 ) > F ( ~ ) . n---> + co

F. MI~OT - J. P. PUEI~: Flambage de p~aques glastoplastiques 71

Done: lira inf ~(2) > ~0(~).

~on t rons maintenant que lira sup ~o(Z) < ~o(~).

Notons encore (~).~x une suite telle que:

{ 2 ~ - + ~ , si n - + + o o ,

~p(2.) --> lim sup ~p(~), s i n -> -[- c~.

3;ous avons ~o(~)= ~o(~, 0~), et

Vn e 2V, ~(2~) < ~o(2., 0z) = (h.~., 0~), oh ~ e r

La suite ( ~ , ) ~ est bornfie et on peut on cxtraire une sous suite, encore notre ( ~ . ) ~ telle que:

A ~, -+ ~ dans [L~(#2)]~ fuible si n --> -1- oz.

Du fair que C~ est l ' interseetion d 'une vari&6 affine (d6pendant r6guli~rement do 2), et d 'un eonvexe C (ind~pendaht de ~), nous voyons quo

Done:

lira sup ~o(~) < lira sup ~0(~., 0~) = (h. ~ , 0~) ~-~ n - ~ + oo

< Sup (h.~, ~(0~)) = V(~, 0~) = ~(~). ~eC~

Par consequent nous avons:

l im ~o(~) : ~v(~), d 'oh le lemlne.

Ceei termine lu d&nonstration du th~or~me 2.1.

4.2. Ddmonstration du thdor~me 2.2.

Nous consid6rons maintenant le probl~me homog~ne (2) pour ~ ~ [0, ~[.

4.2.1. Gas (i). Si ~ ( 2 ) > - -1 , soit ~ une solution do (2), c'est ~ dire que

A~ -- B(~) ~ + iV(~, ~) = 0 .

En multipliant cctte ~quation par ~, nous obtcnons

(4.7) <A~, ~:} -- (B(;t) ~, ~} § <.Y(;t, ~), ~} = 0 .

72 F. MI(~,lo~r - J. P. Ptml~: Flambage de plaques glastoplastiques

L v , ~ E 4.6. - Pour tout ~ ~ [0, ~[, et pour tout 0 E V nous avons:

(4.s) o < K~.(O) - - K~(0) < <N(~, 0), 0 ) .

D~.~O~S~ATIO~r - D'~pr~s (3.12), (3.7) et (2.2), nous voyons que

(4.9) D~R~(~(O))[~(O)] -~ (N(~, 0), 0} .

Du f~it que ~ - + / ~ ( ~ ) est convexe, et d'apr~s (3.14) nous uvons:

0 >g~(0) -- R~(~(0)) > - Do~(b(0))[~(0)] .

D'apr~s (3.13) et (4.9), nous obtenons

0 <Kz(0) -- K~(0) </,,N(~t, 0), 0>,

d'ofl le lemme 4.6. Maintenant, cl'apr~s (4.7) et (4.8), nous uvons

<J~, ~> - - <B(;t) $, ~ > < 0 ,

et du fair que 9 ( ~ ) > - 1, ceci entratne que ~ ~-0.

4.2.2. Cas (ii). Supposons m~iaten~nt que ~(~) < - - 1 < y3(~). Comme ~ ( A ) > - 1, 4'apr~s 1~ proposition 4.3, ta fonctionnelle J~ est minor~e

et ~tteint son minimum en un 616ment ~ e V:

(4.10) J,~(~j.~) = Inf J~ O~V

Cet ~16men~ ~ est une solution 4u probl~me (2). I1 nous suffi~ ulors de montrer que ~ r 0, et pour cela, que jo($~) < jo(0).

D~apr~s (4.10), il suffit encor~ de montrer qu'il existe 0~ e V tel que J~ < J~(0). Pour ce fuire nous uurons besoiu 4'6tublir les r~sultuts qui suivent.

L E ~ : E 4.7. - P o u t tout ~ e [ 0 , ~[, nous avons:

(4A2) O<K~(O)--Kx(O)<o(l]Oll ~) pour O e V et 0 voisin de O.

D~O~SWl~A~IO~. - D~apr~s (4.8), pour montrer {4.12)~ il suffiru de prouver que

(N(2, 0), 0} <o(IIoI[ ~) au voisiaage de 0 ---- 0 .

1~. 1 ~ o ~ - J . P. P ~ - ~ : Flambage de Plaques dlastoplastiques 73

D'apr6s (1.23) ceci sera v6rifi6 si

(4.13) IS~(2, 0)[~(~)<0(l[0][ ~) au voisinage de 0 = 0 .

(en fair (4.13) implique que <N(2, 0), 0> = 0(lI01] ~) au voisinage de 0 = 0). D'apr6s (1.20), (4.13) sera une cons6quence imm64iate de (4.11).

La 46finitio~ (1.17) de a(2, .) entraine:

(a(~, 0) - - a (~ , 0) , a (~ , 0) - - a (~ , 0))o < (~(0) - - ~(0) , a (~ , 0) - - a (~ , 0)) ,

d'oh:

et eeei entralne le lemme 4.7. Maintenant, Fhypoth6se ~ ( 2 ) < - 1 entmino l 'existence de (~ ~ V tel que

{ IlO~ll = 1, +<Ao'~, o-~> - � 8 9 <B(a)0,., 0~> < o.

Posons alors 0~(~)= 0.0~; il vient:

(puisque J~(0) ---- K~(0)).

D'apr6s (4.12) et la d6finition de 0~, nous voyous que pour ~ assez pet i t

J~ < J~(O) .

Par suite, la solution ~z de (4.10), et donc du probl6me (2) est non nulle, ce qui prouve la part ie (ii) du th6or6me 2.2.

4.2.3. Cas (iii). Iqous supposons ici que ~ v ( ~ ) = - - 1 ~ ~(~). La condition ~0(~) : - 1 entmlne que ~ est une valeur propre du probl6me (2.1)

et de plus si 0 est non nul et v6rifie: ll01f < 1 et ? (~ 0 ) = - - 1 , alors I]011= 1 et 0 est un vecteur propre assoei6 s 4.

Puisque ~ ( ~ ) : - - 1 , d'apr6s le lemme 4.4, fi existe OeV, avee ]1011----1 tel que

~(~) = ~(~, 0) = - ~ .

Or uous savons que

~(~) <~(~, 0) < ~,(~, 0 ) .

74 F. ~IG~OT - J . P. PUEL: ~ l a m b a g e de p laques dlastoplast iques

Done ~(2, 0) = ~0(2, 0) = - - 1 , et 0 est un vecteur propre associ6 ~ 2. D 'au t re par t , si nous posons, pour t ~ R:

k(t) = ~ ( t ~ ( o ) ) - ~ ( o ) ,

nous voyons, comme ~u lemme &2, que

k'(O) = (h .P~(O), (~(0)) = - - 1 ,

et que

lira k ( t ) = k ' ( ~ ) = Sup (h .T , ~ ( 0 ) ) = - - 1 . t---~ + ~ t ~ a ~

Comme k est une fonetion convexe, nous avons n~cessairement, pour tou t t > 0

k'(t) = - - 1 .

Donc k est lin~air% et puisque k ( 0 ) = 0,

k(t) = - t .

Ceci entraine que

soit encore

R~.(to) = H~(o) - - t~,

J~ = t 2 - - t 2 @ HA(O ) = H~(O) = J~(0) ,

Mais puisque ~ ( 2 ) = - - 1 , nous avons pour tou t ~ e V

et, 4'apr~s (3.14),

Vt e R .

(.4r r - (B(2) r ~} > o ,

K~(r176

Done pour tou t r ~V, J~ Pa r suite, pour tou t t ~ 1~, tO est nn 616ment de V off jo a t te int son minimum~

done une solution de (2). Comme 0 est un vecteur propre de (2.1), nous avons

soit encore

V t e • , A ( tO) = .B(2)(tO) ,

Yt a 1~, :Y(2, tO) = 0 .

F. Z~G~o~ - J. P. PVEL: l~lambage de plaques glastoplastiques 75

4.2.4. Cas (iv). ~ous supposons ici que ~ ( ~ ) = - - 1 < F(2). Puisque ~ ( 2 ) = - - 1 , nous savons qne 2 est une valeur propre du probl~me (2.1)

et que de plus, pour tou t ~ ~ V nous ~vons:

<Ar ~> -- <B(;t) ~:, ~> > O.

Si le probl~me (2) poss~de une solution non nulle O, en mult ipl iant l '~quation par O,

nous obtenons

<AO, O> - - <B(2)O, O> + <N()., 0), O> = O,

et d'apr~s (4.8) nous voyons que

<AO, O) - - <B(~) O, O) = 0

<-Y(,~, 0), O) = 0 .

P a r suite, 0 est un vecteur propre associd ~ ~ e t done:

= o

N(~, 0) = 0 .

Notons encore

I~OUS ~r que

~(t) = B~( t~ (o ) ) - ~ q ( o ) .

k'(O)=-- I et k ' (1)=--1.

Pl l i sque k est con~rexe, llOUS avons

et donc

Vt e [ 0 , 1 3 , k(t) = - t ,

Vt e [0, 1 ] , J~ = J~ = In f jo(~) . ~el r

P a r suite, pour tou t t e[O, 1], tO est un minimum de j o , donc une solution de (2);

de m6me pour t e [ - -1 , 0]. l~emarquons que nous pouvons mont re r grace ~ l 'hypoth~se ~ f ( X ) > - 1 et en

util isant des arguments analogues ~ ceux qui servent ~ d6montrer le lemme 4.2, que l 'ensemble des solutions de (2) associ6 s 2 est born6 (done relat ivement compact).

Ceei termine la d6monstrat ion du th6or~me 2.2.

76 F. M ~ o ~ - J. P. Pv~L: Flambage de plaques dlastoplastiques

4.3. D6monstration du thdorbme 2.3.

Iqous allons maintenant d6montrer les r6sultats de bifurcation. Soit done 2o la premiere valeur propre du probl~me (2.1) (avec done ~o < 2). D'aprbs la Proposi- tion 2.1~ nous averts ~(20)= ~ 1 .

Si ~v(2o)=--1, nous nous trouvons duns la situation du th6orbme 2.2 (iii) (ou de 4.2.3). Par suite fl existe un vecteur propre 0o associ6 ~ 20 tel quel pour tout t eR~ too soit solution de (2) associ6 ~ 20. Le point (20, 0) est done un point de bifur- cation (avec une branche bifurqu6e (( verticale )~) et la partie (i) est d6montr6e.

Si maintenant ~0(20) > - - 1 et s'il existe ~o > 0 tel que ,to~-~o<2 et que pour tout 2 e]2o, 20 + ~o[~ ~(2) < --1, alors d'apr~s la continuit6 de % il existe ~1 > 0~ ~ < ~ o tel que

V~. e 32o, 20 A- n~l, q(~.) < - - ~ ,

V2 e [~o, ~o § n~], ~(2) > - - 1 .

Done d'apr~s le th6or~me 2.2, pour tout 2e]2o, 2o~-~[ il existe ~x~ solution de (2) tel que:

{ $~:/:0

jo(~x) = In f J~ < J~ . OeV

~ous allons 6tudier le comportement de ~ lorsque 2-+ 20. Montrons que l'ensemble {~, A el20, 20 ~-~[} est born6. Sinon il existe une suite

(2., ~),~x telle que:

(4.24)

~.. e ],~o, ~.o -f- w[ , ~. -+ ~, e [2o, ,~o + v,]

JL(~.) < J~ �9

s i n ---> -{- c ~

P o s o n s t . = II~-lI e t 0 . = ~ . / t~ . lqous pouvons supposer (apr~s extraction 6ventuclle d'une sous suite) qui si

~ --~ -~- cx~

D o r i c

(4.15)

{ 0.--->0, duns V faible (avec [[OllI<x)

(~(0.) ~ (~(01) duns [Z*(O)]~ fort.

g~.(~.) = t~ [1 + ~ j J U 0 ) < M .

1 + lira sup B*~'t~ ~(~ ( ~ < o .

F. MIGNOT - J. P. PUEL: Flambage de plaques dlastoplastiques 77

Le gradient par rapport ~ 6 de _ ~ &an t born6 uaiform6ment en n, nous voyons qu'il existe M ' > 0 tel que

]/~ ~ - t , [ ~.(t~(o.)) --H~.(~6(01)) < M'[6(0.) - - ~(01)lcv(~)j~ -+ 0 t~ s i n --> c<).

De ce fuit, (4.15) entraine

(4.16) lim S u p / ~ . (t~ 6(01)) n--> + co t ~

D'apr~s l 'expression d e / I ~ donn6e par (3.6), et comme Pa.(t~6(01)) est born6 uni- form6ment en n (puisque C est born6), nous voyons que

lira Sup ~ . ( t : 6(01)) _-- lira Sup (h.P~.(t ~. 6(0~)), 6(01)).

Ainsi (4.16) entralne

(4.17)

~on t rons que

lira Sup (h. Ba.(t~ 6(0~)), 6(01)) < - - 1. ~- ->+ co

(~.lS) am Sup (h.P~.(t~ 6(01), 6(01)) > snp (h., , 6(01)) = ~(~1, 01).

D'apr~s la d6flnition de B a , nous avons, en notant

o- = 2%(t~ 6(01)),

(4.19) t~(h.((~. - - ~), 6(01)) > (h. (o" - - ~'), a ~ ) . , Y~" e C~ .

Soit z e C~ et soit z - la projection de z sur C~. lqous savons que

~J--> ~" clans [Z~(~9)]] s i n -+ -4- oo.

Brenons cet te valeur partieuli~re de ~ darts (4.19), divisons par t~ et faisons tendre n vers + co. I1 vicnt

lira Inf (h'ah 6(01)) > (h.T, 6(01)), #--+ + oo

et ceci est valable pour tout ~ e C~. Donc

lim Inf (h.a", ~(01))> Sup (h.z, 0(01))= ~(21, 01) #--> + co "c~Ga i

d'oiX (4.18).

78 :F. M I G ~ O T - 5 . P . P I T E L : ~lambage de plaques dlastoplastiques

Comme ~(2~, 0D>~(,~D puisque [Io~[I < 1, on obtient d'apr~s (4.17) et (4.18)

?(~,) < - - 1 ,

co qui contredit l 'hypothgse ~ ( ) ~ ) > - - 1 pour tout 2 ~[2o, 2o + ~] . Done l 'ensemble {~ , ~ ~ ]40, 2o + ~h[} est born6. ~ont rons que cet ensemble est

relativement compact duns V (muni de la topologie forte). Soit en effet une suite 2~ e]~0, 2o d - ~ [ . Apr~s extraction 4ventuelle d 'une sous suite nous pouvons sup- poser que

t~. -+ t~ d~ns V faible s i n --> + co.

Par suite ~(t~.) ~ ~(~) duns [L*(~)]~ fort s i n -~ + co, et P;. (8(~J) --> P~(~(t~)) 2 4 .__N .d- duns [Z (~2)]s fort s i n co.

De ee fair, et d'apr~s le compueit6 de l ' injection de V duns W~,a(/2), nous voyons qu'alors

B ( ~ , ) ~ -- N ( ~ , ~z~) -* B(~x) tx -- N(~I, ~1) duns V' fort s i n -* -[- co.

Puisque ~o est solution de (2) assoei6 ~ 2~, nous voyons que

~ . -+ t~ d~ns V fort si n -+ + c~.

Soit main tenant to une w l e u r d'adh6rence de (~) lorsque ~ tend vers 2o. D'aprgs ee qui pr6egde, to est solution de (2) assoei6 g ~o, e'est ~ dire que

Ate--B(2o) to + 2V(~o, ~o) = 0 d~ns V'.

I1 peut 4ventuellement exister une telle solution non nulle. Alors d'upr~s le th6o- r~me 2.2, ~o est nn veeteur propre associ6 ~ ~o et de plus, pour tout t e [0, 1], t~o est 4gulement solution de (2) assoei6 ~ 2o.

Si par centre le probl~me (2) associ6 s ~o n ' admet que la seule solution 0, alors lorsque 2 tend vers ~o, (t~)z n 'udmet qu'une seule vuleur 4'adh6rence et nous avons

~x --> 0 duns V fort si )L --> 2o �9

l~ous voyons que duns les deux 6ventuulit6s envisug6es ci-dessus, le point (lo, 0) est un point de bifurcation. Ceei termine lu d6monstrution da th6or~me 2.3.

Remarquons que les d6monstrations eidessus s 'adaptent fucilement afin de d6mon- trer les r6sultats eompl6mentMres 6none6s duns lu l~emarque 2.3, 3).

F. M x ~ o T - g. P. PVEL: ~lambage de plaques dlastoplastiques 79

5. - C o m p l ~ m e n t s .

Duns les chapitres pr6c6dents, l 'hypoth~se que le convexe C 6tait born6 duns [Z~(~9)]~ a 6t6 utflis6e de mani~re essentielle.

Une des conditions prineipales obtenues est

(5.1) V(2o) > -- 1 , ou encore ~(2o, 0) > -- 1 , V0 tel que 1]01] < 1 ,

o~1 ~o est la premiere valeur propre du probl~me (2.1). Cette condition et sa n6gatioa out une interpr6tation g6om6triqu% ea termes de

fonction d 'appui du convexe C~o duns 1~ direction ~(0): Par exemple, Y(~o) = - 1 signifie qu'il cxiste un vecteur propre normalis6 0o tel que la projection _P~o(0) de 0 sur Cx~ appartienne g Fhyperplan d'appui~dans la direction ~(0o). Pour comprendre la nature de cette condition, il est bon de regarder sa signification lorsque le con-

2 4 vexe C est 6gal s tout Fespace [L (.Q)]~, ce qui revient, du point de rue de la mod6- lisation, ~ consid6rer les 6quations de Von Karman en contraintes-d@lacements, dour l '6tude fair apparaitre des conditions classiques sur les solutions non nulles de F6quation de ~onge-Amp~re. Nous allons montrer que duns ce eas, la condi- t ion (5.1) se ram~ne aux conditions habituelles, et nous montrerons 6galement qu'une 6rude analogue g celle des chapitres pr6c6dents peut ~tre faite duns ce cas, le fair que C n e soit pus born6 6rant compens6 par Faspect polynomial de la non lin6arit6.

5 .1 . .Etude de la condition v2(~o ) > - - 1 . (C-~ [L~(Q)]~).

~ous allons chercher une condition n6cessaire pour que ~ ( ~ o ) = - - 1 . Puisque C = EL2(~)]~, nous avons, d'apr~s (1.12).

(5.2) 1/au (O) l a 0 ao

a~,~a~(~, 0) = 2 \ ax~ + ax~ ] + 2 ax~ axe'

a v e c

(5.3) ~x~ a~a(2, 0) = 0 duns z9.

(5A) a~(2, 0).n~ = 2iv, sur F .

Si

{ S~(2, 0) = a~(2, 0) -- a~(2, o)

v~(O) = us(O) - - u~(o) ,

6 - A n n a l i d i M a t e m a t i c a

80 :F. MIG~OT - J . P. PuEL: Flambage de plaques dlastoplastiques

n o n s uaTons :

(5.5)

(5.6)

(5.7)

a~,~s~(4, 0) = ~ \ ~ + + ~ ~x~ ~x~'

S~,(4, 0) = 0 duns / 2 ,

g~,(4, 0).nz = O sur F .

Ainsi nous voyons que Sc~(4, O) ne d6pend pus de 4; nous le noterons S~(O). Nous uvons muin tenunt le r6snltut:

T n ~ o ~ 5.1. - Si la premiere valeur propre positive 4o de (2.1) est telle que ~(~o) = --1~ alors il existe un veeteur propre Oo de norme 1 assoeid 5 4o tel que S~z(Oo) = 0

pou~ ~, ~ ~ O, 2}. 1)e plus Oo est une solution non nulle de l~dquation de Monge-Amp~re

(5.s) \~x~x~] = o .

I~E~A~QLrES 5.1 :

1) Ce r6sultut est clussique duns l '6 tude des 6quutions de Von K a r m u n (Berger [1]).

2) L '6 tude de lu condition:

dot t 300 e V tel que \~x~x~] : O

u 6t6 fuite pa r Po t i e r -Fer ry [9].

E n purticulier si V = Ho2(~2) (cus d 'une p laque cncustr6e) on peu t mon t re r que l~6quution de Monge-Ampbre n ' u d m e t que lu solution nulle.

3) Lc th6or~me 5.1 pe rme t de penser que duns le cus off C cst un convexe diff6rent de [L2(~2)]~, lu condition ~V(4o) ---- - - 1 (ou ~v(4o) > - - 1) est de m~me nuture

que lu condition d 'exis tence de solutions non nulles pour l~6quution de Monge- Ampere .

D ~ o ~ c s ~ A ~ I o ~ 1)13 Tm~O~i~E 5.1. -- Supposons donc quc yJ(4o) = - 1, d'upr~s

le l emme 4.4 il existc Oo uvee lIOoII- x t~l qu~

A l o r s n o u 8 UaTons

~(~o)=V(4o, O o ) = - 1 .

~(4o, Oo) = W(4o, Oo) = - 1 ,

ce qui mon t re que 0o est un vec teur propre ussoci6 ~ 4o.

~. ~ h ~ o ~ - J. P. Pv~z: ~lambage de plaques eTasloplasffques 81

De plus puisque ~P(2o, 00)------1, nous averts

Sup (h.T, ~(0o)) = - - 1 , veO~. o

o f f

C'z.= ~:1~: e [L~(~9)]I, ~ .T,~ = 0, ~ . n ~ = ;toF~, s u r r .

Comme C% est une vari6t6 affine nous voyons que

(5.9) Vv e C~o, (h'v, 0(0o)) ~-- - - 1 .

Pa r suite, pour tout

nous avons, puisque h est constant%

(~, ~(00)) = O.

D'apr~s (5.6) et (5.7), nous pouvons pren4re ~a-~ S~(Oo), ce qui donne

(5.1o) (~,~(Oo), ~ (Oo) ) = o .

Mais toujours d'apr~s (5.6) et (5.7) nous averts

( 18v~(0o) ~ ( O o q ~ _ s~(Oo),-~ ~ - - ~ - + a ~ 1] - o, (5.11)

et done

(5.12)

ce qui entralne

(5.13)

(S,,t~(0o) , a~o~,.S~,~(Oo) ) = O,

~,(0o) = o pour ~,/~e {1, 2 } .

Grace ~ (5.5) fl en r6sulte

(5.14) 00o ~0o , [Ov~,(Oo) ~vt~(0o)] j=o.

En d6 r iwn t conven~blement ces 6qu~tions et tenant compte de l'6galit6 des d6ri- v6es secondes crois6es de v~(Oo), on montre que 0o est solution de l '6quation de Monge- AmpSre (5.8).

82 ~ . ~-~IGiYOT - J . P . P U E L : Flambage de p~aques dlastoplastiques

5.2. Etude directe des d~uations de Von Karman.

Dans 18 c~s des 6quations de Von K a rm an en contraintes-d@lacements, c 'est dire le cas otk C = [L~(~)]~, nous ~vons

fro (5.15) . ~ ( 1 , 0) = i - ~

(5.16) S~(,~, O) : Sr

off o a ~ et S~(O) ~ont ind6pendants de i . Le problbme s~6crit alors: Trouver ~ e V tel que

(5.17) A~ - - ~Bo# + ~V(~) = / ,

et pour le probl~me homog~ne associ6

(5.18) A~ - - ~Bo~ + lV(#) = 0 .

(Lea op6rateurs Bo et N(-) ne ddpendcnt pus de 4). De plus ~ - + _~(~) est homogbne de degr6 3 et diff6rentiable. I1 est ais6 de mont re r que les solutions de (5.17) sont les points critiques de la

fonctionnelle

1 J~(O) = ~ <AO, O> + H~(O) -- <b 0>,

1 <AO, O> ;L = ~ - - ~ <Bo O, O> + K(O) -- </, 0},

o~

{ H~(0) = ~(~(0)) K(O) = ~(~(0) ) ,

/t~ et _~ @t~nt d@flnies par (3.6) et' (3.12) (en fair (3.12) d 6 f i n i t / ~ dont on montre qu'elle ne d6pend pus de 4).

Ici 0 - > K ( O ) - K(O) est une fonctionnelle positive homogSne de degr6 4 en O, et on mont re aisdment que si 0 v6rifie K(O)- -K(O)= O, alors 0 est solution de l~6quation de ~ionge-Amp~re (5.8).

D '~ut re par t , en reprenant dh~ectement les ddmonstrations analogues s celles du chapitre 4, on mont re que si F6quation K(O) - - K ( 0 ) = O n ' admet que la solution nulle la fonctionnelle ]~ est coercive et a t te int son minimum en un 616merit ~ de .V qui est solution de (5.17).

Nous avons d~autre pa r t l~analogu e du th6or~me 2.3 en remarquant comme duns 5.1 que ~V(~o) = - - 1 correspond an cas off il existe un vecteur propre 0o associ6

~o~ tel qne K(Oo)--K(0) = �9 (0o solution de l~6quation de Monge-Amp~re), et que YJ(~0) > - 1 6quivaut en fair ~ ~v(~o)= ~ c~.

F. lVI~NOT - J. P. P~EL: Flambage de plaques glastoplastiques 83

L ' 6 t u d e 411 probl&me homog~ne (5.18) pour ~ fix6 peu t 6ga lement 6tre fai te sous

la condi t ion ~ ( A ) > - 1 (en f~it ~(A) = + oo). Duns ce cas 1'6rude de la fo rme qua d ra t i que

0 _>1 ~ 0) <AO, o> - ~ (BOO,

p e r m e t de donner des r6sul ta ts de mult ipl ic i t6 (cf. Berger [2]).

B I B L I O G R A P H I E

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