FRACTIONS

4° Avon 2009Bernard Izard

Chapitre

10-FR

I - DECIMAL et FRACTIONII – QUOTIENTS EGAUXIII- ADDITION / SOUSTRACTIONIV – MULTIPLICATIONV - INVERSE / DIVISIONVI - CALCULS

I-DECIMAL ET FRACTION

= 5 ÷ 8 = 0,625 = 6 ÷ (-2) = -3 85

26

Les divisions se terminent. L’écriture décimale est exacte

Les quotients et sont des décimaux

5

8

= 15 ÷ 7 2,142857143… 715

La division ne se termine pas. L’écriture décimale est approchée

6

2

Ex1:

Ex1:

Le quotient n’est pas un décimal715

Il est donc nécessaire d’écrire ce nombre sous forme d’un quotient ou fraction pour avoir la valeur exacte

II-FRACTIONS EQUIVALENTES

Nous dirons que 2 fractions sont équivalentes (ou égales) si elles représente le même quotient3 18

2 12Ex:

1,5 1,5

On remarque que

3 18

2 12

3x12 =36

2x18 = 36

2 fractions sont égales si les produits en croix sont égaux

2) Produit en croix

1) Définition

Si alors a x d = b x c dc

ba

aq

b

cq'

d

posons

et

Démonstration

D’après la définition du quotienta = bq

c = dq’

bq x d

a x d =

a x d = b x c =

b x c =

b x dq’

bd x q’bd x q

a x d =Les 2 quotients étant égaux q = q’bd x q b x c

=bd x q

a x d et b x c

quotient

Dividende = diviseur x quotient

‘’’’’ ‘’’’’’ ‘’’’’’Comparons

Donc a x d = b x c

C.Q.F.D

Si a x d = b x c alors

Avec a, b, c et d (b ≠ 0 et d ≠ 0)

Réciproquement :

dc

ba

3) Simplification des fractions

Le quotient de deux nombres en écriture fractionnaire ne change pas si l’on multiplie ( ou si l’on divise) par un même nombre non nul le numérateur et le dénominateur.

avec k ≠ 0 :

:

a ka a k

b kb b k

Remarque : Cette règle sert à simplifier des fractions ou à les « réduire » au même dénominateur.

Ex:45 45 : 5 9 9 : 3 3

105 105 : 5 21 21: 3 7

Dans cet exemple on a simplifié par 5 puis par 3

III-ADDITION DES FRACTIONS

1) Fractions de même dénominateur

Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur:

On additionne ou on soustrait les numérateursOn garde le dénominateur commun

dba

db

da

et d

badb

da

Ex: 11

93119

113

1112

2) Fractions de dénominateurs différents

On se ramène au cas précédent en « réduisant » d’abord les fractions au même dénominateur.

Ex 1:

97

32

97

3332

97

96

9

76

91

83

583

8185

83

840

8

340

837

41

52

5451

4542

205

208

20

58

203

Ex 2:

Ex 3:

9 plus petit entier dans la table de 3 et 9 donc DC = 9

8 plus petit entier dans la table de 1 et 8 donc DC = 8

20 plus petit entier dans la table de 5 et 4 donc DC = 20

a c ad + bc+ =

b d bd

a=bq

c=dq’

bqd + dq'bq q' =

bdbd(q q')

q q'bd

(q q')q q'

1q q' q q'

C.Q.F.V

Donc avec les produits en croixDonc avec les produits en croix

Vérifions cette égalité

cq'

d

aq

bposons

et

On le trouve en multipliant les deux dénominateurs ensemble (ou en prenant le plus petit commun multiple des deux).

Etape 1 Trouver le dénominateur commun

Récapitulatif de la procédure

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

Etape 2 Calculer les fractions équivalentes

On additionne les numérateurs entre eux(le dénominateur reste le même).

Etape 3 Additionner les numérateurs entre eux

On divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre, jusqu’à ce que la fraction ne se réduise plus.

Etape 4 Réduire la fraction du résultat (si possible)

Etape 1 Trouver le dénominateur commun

Etape 2 Calculer les fractions équivalentes

Etape 3 Additionner les numérateurs entre eux

Etape 4 Réduire le résultat (si possible)

Tableau récapitulatif de la procédure

IV-MULTIPLICATION DES FRACTIONSPour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

(avec b ≠ 0 et d ≠ 0) dbca

dc

ba

Ex1:

349

354

335494

335494

357774

1528

715

753

75

3

Ex2:

3 est comme 3/1

V-DIVISION1) Le nombre inverse

Lorsque le produit de deux nombres est égal à 1, on dit qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

L’inverse de x est x

1(avec x ≠ 0)

L’inverse de est ba

ab (avec a ≠ 0 et b ≠ 0)

Ex: 1

23

32

32

deinverse'lest23

donc

141

4

4deinverse'lest41

donc

2) La division

Diviser = multiplier par l’ inverse.

cd

ba

dc

ba

(avec b ≠ 0, c ≠ 0 et d ≠ 0)

Ex1:

85

43

43

58

5483

54

42356

365

65

31

3615

185

Donc,pour diviser par une fraction on multiplie par la fraction inversée

Ex2:

On inverse

VI. EXEMPLES DE CALCULS

Effectuer les calculs suivants en détaillant les étapes :

83

5425

72

A

83

840

425

4212

A

837

427

A

876377

A

4837

A

Le dénominateur commun de 7 et 42 est 42

Le dénominateur commun de 1 et 8 est 8

On simplifie par 7

Ex1:

DC = 4x5 = 20On simplifie par 2

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FIN