Géométrie différentielle des singularités des courbes de l'espace projectif

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GI~OMI~TRIE DIFFI~RENTIELLE DES SINGULARITIES DES COURBES DE L'ESPACE PROJECTIF

par 6. ANCOCHEA (Madrid)

Tandis que la g6om6trie diff6rentielle projective des branches singuli~res des courbes planes, cr66e par Bompiani [4](~), peut ~tre consid6r6e aujourd'hui com- plete dans ses grandes lignes [1], la th6orie correspondante pour les courbes de l'espace Sa, et fi plus forte raison pour ceUes du S,, n'a 6t6 trait6e que dans des cas tr~s particuliers [5], [6], [7](~). )k l'6tude de cette question, dans le cas le plus g6n6ral, nous d6dions le pr6sent m6moire. Pour chaque branche de courbe du S~ nous arrivons fi d6finir, quand c'est possible(a), un simplex Ii6 de fa~on uni-

voque avee eile et d6termin6 de mani~re univoque. Nous d6terminons aussi le point unit6, quand la nature de la branche le permet (4), mats ce point n'est pas fix6 en g6n6ral univoquement. La m6thode suivie dans notre 6tude est analogue it ceile qui nous a servi, dans [1], pour les courbes planes. C'est-fi-dire que nous commen~ons en traitant la g6om6trie diff6rentielle affine et ensuite, par la d6ter- mination d'un hyperplan projectivement covariant avec la branche et qui ne passe pas par son origine, nous r6duisons le probl~me projectif au probi~me affine par rapport a u d i t hyperplan consid6r6 comme face fi l'infini du simplex de repute.

En I nous consid6rons les branches de l'espace affine fi trois dimensions. Pour celles-ci il est toujours possible de d6terminer intrins6quement et d 'une fa~on univoque le tri~dre de rep~re. La troisi~me ar~te du tri~dre, la b i n o r m a l e

(l) Les chiffres entre crochets et en caract~res gras renvoyent it la Bibliographie plac~e la fin du m~moire.

(~) Avec Ies notations du present m~moire, les cas ~tudi~s jusqu'ici correspondent, pour trois dimensions, aux valeurs: m : I, n -- 3, p --- 4 ([5] et [6]); m = 1, n : 2, p ----- 4 ([6]). La seule singularit~ n-dimensionnelle consid~r~e correspond ~ m 1 -- 1, m i - - - - - i ~ 1, pour i :~ 2, ([7]).

(a) Font exception seulement les branches des courbes normales de S t. (4) Sont exceptionnelles certaines branches appartenant b des courbes IV.

~ 8 C . A ~ C O C ~ E A

a[flne, peut ~tre d6finie comme la tangente ~t la courbe barycentrique obtenue au m o y e n d e s intersections de la branche avec des plans parail~les :~ son plan osculateur. Le trii~dre intrins~que que nous consid6rons n'est pas celui d'ordre diff6- rentiel minimum; en effet pour les singularit6s g6n6rales il existe un tri~dre analogue /t celui de Winternitz pour les points ordinaires [2]. Nous traitons en II les branches de Sa. Ici, comme darts le cas du plan, les singularit6s dont i'6tude est ie plus laborieux sont celles pour lesquelles sont 6gaux l'ordre, ie rang et la classe de ia branche, et qui comprennent comme cas particulier celui des points ordinaires. Pour 6tudier ces singularit6s, au lieu de consid6rer rordre de contact avec ia cubique osculatrice (m6thode qui serait ia g~n~ralisation de celie suivie, en [I], pour les courbes planes) nous nous appuyons sur la propri6t~, des cubiques gau- ches d'admettre ~ homographies du $3 qui laissent invariant un de ses points. La m6thode est tr~s simple et peut se g6n6raliser sans plus au cas n-dimen- sionnel. Pour les courbes du $3 le t6trai~dre intrins~que que nous d6terminons est celui d'ordre diff6rentiel minimum parrot les covariants de la branche; son ordre diff6rentiel est 6gai ~ celui de la face du t6tra~dre consid6r6 comme face

/l l'infini. l~tant donn6e la grand vari6t6 des singularit6s qui peuvent se pr6senter, il

ne semble pas facile de donner une interpr6tation g6om6trique simple pour ies 616ments du rep~re intrins~que valable pour tous les cas. II semble plut6t n6ces- saire de consid6rer d'une fat;on particuli~re les cas qui correspondent aux diff6- rentes valeurs de l'ordre, du rang et de la classe. C'est dans ce sens que, dans Ill, nous nous occupons de I'interpr6tation g6om6trique dans les cas qui correspondent aux singularit6s 616mentaires pour lesquelles un de ces hombres est 6gal ~t 2, les autres 6tant 6gaux ~t I'unit6 (i). Pour notre objet il nous est d 'une grande utilit6 ia consid6ration de la correspondance alg6brique qui existe entre les droites du plan osculateur, qui ne passent pas par I'origine de la branche, et celles de i'espace qui s 'obtiennent comme binormales affines de la branche.

Dans IV nous 6tendons d'une mani~.re sommaire les r6sultats de I e t II aux branches des courbes du S,,.

1. - - Soft, sur une courbe de I'espace affine ~t trois dimensions, une branche analytique r d 'ordre m, de rang n-m et de classe p-n, avec l'origine dans le point 0 (0,0,0), tangente & l'axe x et dorlt le plan osculateur soft le z = O. Soft

(t) Nous ne consid~rons pas i'interpr~tation g~orn~trique pour les points ordinaires. Pour ceux.ci nous renvoyons i l'excellente exposition contenue dans [3].

CEOI~ETRIE DIFFERENT1EILLE DES $INGULARITES DES COURBES ETC. 2 1 0

x = ~ t m-~- ~m+l t m+l + . . .

(1.1) y - - ~n t" + ~.+, t "+~1 + . . . ~ ~. ~ ~ 0

Z : ";~ ? + ~+it~+~ + . . .

une repr&entation param~trique pour les eoordonn&s de r . Les changements de param~tre de la forme

(1.2) t --- c o t' + cl t '~ + . . . ; c o -# O,

appliqu& :~ (1.1) donnent toutes les repr&entations param~triques de 1" par rapport au rep&e donn~. Parmi ces repr&entations on a celles du type

x --- ~',,, t ' ' -+- ~',,,+z t '''+~ + . . .

(1.3) y -- ~',, t'" -}- 13',,+1 t ''+1 ~ - . . . ~',,, ~',, Y'~ -#- 0

, l,, 0.

Les r de (1.2) qui permettent de passer de (1.1) ~ (1.3) doivent seulement satisfaire le syst~me r&urrent d'~quations

(1.4) pdo-~ ci .[~ _.{_ c~+; y ~ + / + t9/(,{,., c~) = 0, (r < p -~- i; s < i).

Nous appellerons repr&entafion param6trique normal, par rapport au rep&e donn~, toute repr&entalion de r de ia forme

x - - ~,, t " + ~,,,+x tm+' + . . .

(1.5) y - - ~, t" + ~,+~ t "+~ + . . . o% (~ ,;~ ~ 0

z ~ yt t t.

l a repr&entation param6trique normale reste determin& saul un changement du param~tre du type

(1.6) t = Co t'

pour iequei on a

(1.7) c*'..~_ "/ k

2 . - - Les seules transformations des coordonn&s affines qui conservent pour le nouveau rep~re, par rapport ~. 11, les conditions que nous avons suppos~es plus haut sont celles de ia forme

X" ~ ax -~- a t y ~- a~ z

(2.1) y ' m_ by -~- b~ z abc # O,

2 t - - - - C Z

220 e . & N C O C H E A

(2.1) change urle reprdsentation paramdtrique normale de r , par rapport au rep&e initial, en une repr&entation param6trique normale par rapport au nouveau rep&e.

Le vecteur V t de composantes %, ~i 7i est un vecteur covariante de r pour

la transformation (2.1). D'autre part le changement de param~.tre (1.6) transforme , t Vt. II resulte, en cons6quence, que les le vecteur V t dans le vecteur V i = Co

droites qui passent par O et qui contiennent les vecteurs V~ sont des droites cova-

riantes affines de 11. Pour celle qui correspond h V~ on a l'interpr6tation gdom6-

trique suivante: c'est la tangente en O ~. la courbe d6crite par le barycentre P des p points (voisins de O) d'intersection de r avec un plan parall~le au plan osculateur. Cette droite, dont les 6quations sont

(2.2) X:J': z = ~ : ~;: yt

est celle que nous appellerons la binormale affine de F. Pour ies droites covariantes qui correspondent aux autres V i (i ~ p), qui toutes sont situ&s dans le

plan osculateur, on n'a pas en g6n&al une interpr6tation g6om6trique imm6diate. Dans les cas o~ i'on a p - - n - + - I = m ~ - 2 , celle qui correspond ~ V net dont

les dquations sont

(2.3) x: y: z ~ :~,,: ~,,: 0,

est la tangente en O ~ la courbe d&rite par le barycentre N des n points (voisins de O) d'intersection de r avec un plan parall~le ~ celui d6termin6 par ia tangente et par la binormale affine. En tout cas nous appellerons ia droite (2.3) la nor-

male principate affine de r .

3 . - - Dans ce qui suit nous repr&enterons avec [ V~, V;, Vh] le produit ext6-

rieur (altern6) des vecteurs V i , V;, V~. Pour le changement de param~tre (1.6)

o n a

" V'~] = Co i+j+~ [ v i , ~ , V~]; (3.1) [ G , v j ,

landis que pour une transformation des coordonn&s affines (2.1) on obtient

(3.2) [V'~, V'j, V'~]---abc [V~, V~, Vk].

En consfquence, les produits ext&ieurs sont des invariants affines relatifs de r . Parmi eux on trouve le

(3.3) v~ - - [ V,~ , Vj , V,] = ~,~ 7p ~ ; [j ~ m, n, p)

qui nous appellerons ia courbure affine relative d'indice j. Et, d'autre part, le

(3.4) l.t~ - - [V. , 1t'., Vk] = 7. ([~. g~ - - g.~ [~) ; (k -~ m, n, p)

qui sera nomm6 la torsion affine relative d'indice k. Tout ~t l'heure nous verrons que les v et les I~ constituent un syst~me complet d'invariants affines pour r .

CEOMETRIE DIFFEREI~IELLE DES $INGULARIT~.S DES COURBF~ ETC. 2~1

6 . - - Si on prend (2.!) de telle sorte que les nouveaux axes y, z coincident respectivement avec la normale principale et la binormale affines de F, et d'autre part

--1 ( 4 . 1 ) a = , b = c = "C. .

o n aura pour F une representation paramEtrique normale de la forme

tin+ 1 x - - t" q- ~,,+~ ~ . . . I~, = I~p - - 0

tn+ 1 (4.2) y : t n -q- v n + , -Jr-...

Z - - - ~t~

~)h les v et les F o n t la m~me signification que dans (3.3) et (3.4). Les seuls changements de coordonnEes affines qui permettent de conserver pour F (apras le changement de param~tre correspondant) une representation du type (4.2)sont ceux de la forme

,{4.3)

pour lesquels on a

P x ' - - c T x , y ' = C o y , z" = C o Z ,

~4.4) F'm+, ~ Co F,,+,; v' ' n+s - - Co Vn+s"

Si t o u s l e s v, F de (4.2) sont nuls, 17 admet un groupe de transformations affines du type (4.3). Par contre, si les v, F ne sont pas tous nuls et si s est le plus petit entier pour lequei v + , (ou Fro+,) n'est pas nul, en prenant c~, = v,+ s

{ou ~--- Fro+,) il est possible d'obtenir v',+, - - 1 (ou F',~+, = 1). Les seules trans- -formations (4.3) qui conservent cette derniEre condition sont celles pour lesquelles ~n a c o = 1. En consequence cette condition fixe, sauf une racine s-iEme de

,l'unit6 pour les coordonnEes, le point unite d'un rep&e intrins~que affine. Les "valeurs des autres v, F, ou plut6t les puissances s-i~mes de ces valeurs, sont des invariants absolus de 17 et constituent un syst~me complet d'invariants absolus indEpendants pour r . Dans le dernier cas, _r admet tout au plus s transforma- :tions affines qui la laissent invariante.

5. - - Quand on passe d 'une representation paramEtrique gEnErale (1.1) (t) de r & une representation paramEtrique normale (1.3), au moyen du changement (1.2) avec les conditions (1.4), le nouveau coefficient ~" depend des ~ d'indice m-~i

(') Pour proc~der avec une rigueur stricte on devrait d~finir comme representation g~n&ale de r celle obtenue d'une representation quelconque par I'application d'un changement de para- rn~tre (1.2) avec des c ind~termin~es. Nous nous contentons ici avee cette indication sans nous arr~ter dans les d~tails d'exposition qu'une telle d~finition exigerait.

2 2 2 ~ . A lq" C 0 C IFI E A

rn -~- i et des y dont i'indice est ~ p -d- i, et d'une mani~re effective du y~+.

Pour ~,+; on a une situation analogue. En cons6quence st, darts une repr6sen-

ration g6n6rale (1.1), on far correspondre ~ chaque coefficient un ordre diff6rentiei 6gal ~ son indice, pour la repr6sentation param6trique normale correspondante on dolt attribuer ~ chaque coefficient g,,,+i ou ~,,+i un ordre diff6rentiel 6gal ~ p + i.

Pour chaque 616ment g6om6trique covariant de _r et pour chaque invariant de la branche on aura un ordre diff6rentiei 6gal au plus grand des ordres diff6- rentiels des coefficients qui comparaissent d'une mani~re effective dans la d6fini- tion de l'616ment ou de l'invariant. Ainsi nous aurons pour les ordres diff6ren- tiels de la binormale et de la normale principale affines respectivement 2 p - m et p -q- n - - rn. D'autre part I~,,+; et vn+ z ont tous les deux l 'ordre p -Jr- i. Le

point unit6, quand il est possible de le fixer d'une mani~re intrins~que, aura l'ordre p-~-s , s ayant la signification indiqu6e plus haut. En cons6quence le re- p~re intrins~que aura son ordre 6gal h max. (2p - - rn, p ~- s).

6 . - - La binormale affine, droite covariante de I" et non situ6e dans le plan osculateur, n'est pas la droite d'ordre diff6rentiel minimum qui satisfait ces deux conditions. Darts le cas d'une singularit6 quelconque, ii existe une droite remplis- sant ces deux conditions et dont l'ordre diff6rentiel est plus petit d'une unit6 ~. celui de la binormale affine. C'est, comme le montre un "calcul simple, la droite

m vn+p_,~ Vm" Cette droite correspond dans ie d6termin6e par le vecteur Vp - - n O~m ~n "[p

cas g6n6ral ~. celle de Winternitz pour ies points ordinaires.

Darts le cas d'une singularit6 g6n6rale, it peut se pr6senter un fair qui n'a pas d'analogue dans le cas des points ordinaires. C'est l'existence de droites covariantes de 1" situ6es dans le plan osculateur et dont l'ordre diff6rentiel soit plus petit que celui de la normale principale affine. Si on a 2 n - m ~ > p , ia

droite d~termin~e par le vecteur V , , - m v2,,-,,, Vm, dont l 'ordre diff~rentieI n ~m ~,~ "/i,

est p -]- n - - m ~ 1, satisfait ces conditions. Pour ies cas o~ 2n ~ m ~ p, la normale affine de la branche plane 1" projection de 1 ̀ sur le plan osculateur sui- rant une direction parall~.le quelconque est covariante de 1 ̀ avec l'ordre diff~ren-

tiel 2n - - m. Pour les invariants on a des faits semblables aux pr6c6dents. En effet, clans

le cas o~ l'on a m -}- 1 <( n ~ p - - 1, la considgration d}une des projections de r , dont nous venons de parler, permet d'obtenir dans le cas g6n6ral un invariant relatif d'ordre n-}-1, tandis que l'ordre le plus petit des invariants que nous avons considgr6 jusqu'au prgsent serait celui de ~,,,+~ c'est-~.-dire p --]- 1.

GEOMETRIE DIFFERENTIELLE DES $INGULARITES DES COURBES ETC. 223

Ii

7'. - - Consid&ons maintenant, sur une courbe de l'espace projectif $3, une branche analytique I" d'ordre m, de rang n-m et de classe p-n, ayant comme origine ie point 0 (1 ,0 , O, 0). Soient x,y , z les coordonn6es non homog~nes ( l , x ,y , z) dans $3 et prenons l'axe x tangente ~t r et le plan z - - 0 osculateur /I la branche. Pour x,y, z on pourra avoir une repr6sentation param6trique de la forme

x - - t" + %,,+1 t''+l -}- " "

(7.1) y : t" + ~,,+~ t "+~ + . . .

Z : t p

Un changement des coordonn6es projectives qui conserve pour le nouveau rep~re les conditions impos6es tout h i'heure par rapport ~t r , peut s'obtenir comme produit d'un changement de coordonn6es affines (2.1) et d'une transformation des coordonn6es projectives de la forme

X y ' - - Y Z ' Z (7.2) X' = ; ; - - 1 - - u x - - v y - - w z 1 - - u x - - v y - - w z 1 - - u x ~ v y - - w z

qui change le quatri~me plan coordonn6 darts celui d'6quation

(7.3) ux + vy -~- wz : 1.

Nous nous proposons de fixer, quand il sera possible, le plan (7.3) de faqon intrins~que par rapport ~t r , et de r~duire l'6tude des invariants projectifs de r b. celle de ses invariants affines par rapport b. ce plan.

(8.~)

(8.2)

8 . - - Pour appliquer la transformation (7.2) b. (7.1) il est commode de la mettre

sous la forme

x, = x I ~ + (ux + vy + i,,~) + (ux + ,,y + ,,z)~ + . . . }

Y" - - Y I 1 + (ux --~ vy + wz) + (ux + vy -Jr- wz) z --~-... }

z" = z 11 + (ux + vy + wz) + (ux + vy + wz)' 4-. . . }

On obtient ainsi pour le d6veloppement de z"

z" - - t" q- ut p+" + %+x uf+m+~ -+-''" q- (v q- . . . ) t p+" q-

+ . . . + (w + . . . ) t'" + . . .

2 2 4 c . , m c o c n z ,

Par cons6quent, pour obtenir une representation param6irique normale pour les nouvelles coordonn6es il suffira d 'un changement de param~tre de la forme

(8.3) t = t" + c , . ~'~+' + , . .

Alors il est imm~diat & voir que, pour les transformations (8.1)et (8.3), O11 a

(8.4) ~' : ' ,,,+~ =,,,+~ , ~, , ,+~ - - ~ .+~ (i < m)

d'ofl

(8.5) v ' ,+ t - - v,+~, I~',,+~ ~ P',+t (i < m)

La premii~re (~galit~ de (8.5) est Evidente du fait que l'on a v,,+z - - ~,,+z, tandis "que

pour ia derni~re il suffit de remarquer que, pour n < 2m, % ne change pas et que,

pour n ----- 2m, F,,+z se r~duit ~ c%+ i puisque [~,,+~ est alors nul.

De ce qui precede il s'en suit que : Les invariants affines de r dont I'orclre diff&entiel est < p + m sont aussi

des &variants projectifs. (~)

9. - - .~ partir de %,,, et de (~+,,, les coefficients de la nouvelle representation

normale, qui r6sulte des transformations (8.1) et /8.3), sont diii6rents de ses cor- que l'on a, en particulier, respondants en (7.1). Des calculs simples montrent

~9.1) c~'z.~ = c r -~ - p - m " - - ,, ; ~ ,,+,,, = ~,,+,,, + P - .

P P H

(9.2) a'm+, ----- ~m+,, -~ p - - m v (rood. u); [3',,, ~ ~2,, d - p ~ n v (rood. u) p P

(9.3) ='m+. - - =m+. + p - - m P

w (rood. u, v); [Y,,+p ------- [~,,+p -]- p y n w (mod. u , v) P

les coefficients de (9.1), (9.2) et (9.3) ([tant les premiers o0 apparaissent respectivement les u, v, w. Les formules (9) suffiront pour fixer de mani~re intrin- s~que le plan (7.3), sauf dans le cas pour lequel on aft p ~--- n -[- m ~ 3m que nous appeUerons le cas sp6ciai. Nous consid6rerons en premier lieu les cas non sp6ciaux; pour ceux-ci on doit avoir soft p ~ n -a c- m soft n -~ 2m.

Avant d'entrer dans la d([termination du plan (7.3), nous vouions faire une

remarque.

p) Les transformations projectives ~tsnt inversibles ne changent pas l'ordre diti~rentiel des coefficients.

GEOMETRIE DIFFERENT1ELLE DES $IlqC,-'ULAIRII'I~$ DES COU'RBES ETC. 225

Les coefficients ,~'~, et fS'p qui d6terminent la nouvelle binormale affine sont des polynomes en u et v. Par consequent la binormale depend seulement de la droite u x - J r - v y - - 1 , z - - O , d'intersection du plan (7.3) avec le plan osculateur de T. Ce rEsultat est d'ailleurs une cons6quence de la definition g6om6trique que nous avons donn~e pour la binormale affine en 2. D'autre part, ~'p a comme

degr6s en u et v respectivement [P----~--m-ml let [P--~--m-] ; les degr6s correspondants

�9 pour f3p sont et Donc la correspondance entre les droites du

plan osculateur et les binormales aff[nes qu'elles dEterminent est algfibrique

(1, [P--~--n-m-]);elleest d 6 g ~ n & ~ e s i p < m - } - n ; d a n s c e c a s l a b i n o r m a l e n e d ~ -

pend pas de v. En tout cas, une fois fix6s intrins6quement u et v, la binormale correspondante reste dEtermin6e d'une mani&e intrins~que. C'est cette binormale ainsi fix6e celle que nous appellerons la binormale projective de I'.

10. - - Cas non sp6cial, a) p -~ n + m. De (9) nous obtenons

, _ j _ p - - n . u ; F ~+,, -~ F,.+,, -~ p -- m v (rood. u) (10.I) v .+,,, --- v.+,,, P P

h ~',,,+p + k v'.+o =-- tt I~.,+. -F k v.+. - k h (V - - m) + k (n - - n) w (rood. u, v) P

en eons6quenee, pour h (p - - m) q- k (p - - n} ~ O, le syst~me J / t (10.2) v ri+m - ' - ~t m+n : [l ~ m+p + k p"n..l_p "--" 0

admet une solution unique en u, v, w. Si dans (7.1) on a d~jh v,+ m-- Fm+, - -

- - hFm+p-~- kvn+p -~- 0 la solution unique de (10.1) serait: u : v : w = O; ces conditions fixent d 'une fa~on univoque le plan (7.3).

b) p - - - - - n - ~ - m , 2m =~ n. On aura aiors

- - u ; v 2 , , ~ v 2 , , - } - P - - - n v (rood. u) 00.3 ) F'=,. - - F~,,, a t- p - - m . P P

h t~'..+. + k v'.+~ /z ~,.+~ -k k v+~ + h (.o ~ m) q- k (p - - n) w (rood. u, v) P

et, pour h(p - - m) + k (p - - n) ~ O, le syst~me

(10.4) p . ' = v'2~ --- h F'm+p -[- k v',~+p - - 0

(~) Avec [] nous reprdsentons, comm'd est habituei, la partie enti~re de ia fraction correspondante.

15 - R e n c L Circ.. M a t e m . P a l e r m o , ~ s e r i e U - t o m o I . a n n o x95z.

2 2 6 G. A N C O C n E A

admettra une solution unique en u, v, w. ke plan (7.3) reste ainsi fix6 intrins6que- merit d 'une mani&e univoque.

On remarquera que, dans les deux cas, la d6termination du plan (7.3) a 6t6 f a i t een utilisant des 616ments dont le plus grand ordre diff6rentiel, celui de p',,+~ et de v',,+~,, est ~gal b. 2p. Comme une lois fixes le plan (7.3) les autres.

616ments du t6trabdre de repbre ont, comme nous avons vu en 5, des ordres diff6rentiels plus petits que 2p, ii en r6sulte 2p pour l'ordre diff&entiel du dit t6trabdre.

St, par rapport au rep&e pr6c6dent, la branche ne se r6duit pas ~t la forme

00.5) x = = t "~ ; y : t " ; z - - - f f

il sera possible de fixer intrins6quement le point unit6 dans la forme que n o u s avons indiqu6e en 5.

1 1. - - Cas special, p : n @ m - - 3 m. Nous consid6rerons en dftail seulement le cas pour lequel on a m - - 1, qui comprend celui des point ordinaires; es rdsultats que l'on obtient pour ce cas permettent de d~duire sans difficult6 ceux qui correspondent ~ m > 1.

Nous commenc;ons par rappeler q u e s i la branche se r6duit b. la

(11.1) x : t , y - - t ~ , z : t s ,

c'est4t-dire si elle appartient ~t une cubique gauche, il existe une infinit6 de transformations (7.2) qui laissent invariante la forme (11.1). Les plans (7.3) correspondants sont les osculateurs de la cubique e n s e s diff6rents points. D'Une fad.on precise on aura, pour chaque valeur de u dans les expressions

1 1 ( 1 1 . 2 ) v = u ~ , W - - - - U a,

3 27

une transformation du type (7.2) qui laisse invariante la forme (11.l). Le changement de param~tre (8.3) correspondant sera lin6aire et de la forme

t I

(1 1.3) t - - u I i ~ - - Z'

3

l~videmment dans le cas d 'une branche (11.1) il ne sera pas possible de fixer le plan (7.3) univoquement d'une fa~on intrins~que. Dans ce qui suit nous supposerons toujours que la branche n'est pas de la forme (11.1).

6EOMEI"IIIE DIFF~IIENTIELLE DES SINGUIAIIITES DES COUIIBE$ ETC. 227

Remarquons aussi que si

x - - t

(1 1.4) y :

Z~--~-

t ~

t 3

+ th t4 + " �9 �9

+ v 4 t 4 + v 5 P + . . .

est une repr6sentation normale de F, et si on lui appl ique (7.2) et la cor respon- dante normalisat ion du param~tre (8.3), on aura, comm'i l en r6sulte d ' un calcul simple, '( , ) (11.5) ~'4 + ~'~ = ~, + ~5 + w + -2 " v + ~ - u3 _ 2u ~,

O n voit ainsi qu'il est tou jours possible, el d 'une infinit~ de mani~res, de prendre u, v, w de sorte que l 'on air v' 4 = ~'4 + v's - - 0. Nous s u p p o s e r o n s que i 'on a Nit d~j~ cette t ransformat ion et, en consequence , que dans (11.4) on a

v4 : ~4 + v5 : O.

(12.1)

12. - - D'accord avec ce qui precede soit

x = t + ~, t" + P,+I

y - - t ~ Vr+ 1

Z - - t a

une representa t ion normale de r . Pour (7.2) on aura, d 'une part

- - l ( v + l Vt4

1 2 u3 (12.2) [~'4 -~- v'5 = w -~- ~- pv -~- 27-

I~'i : Pi (a, v, w) (4 < i < r)

v'j --- Qj (u, v, w) (5 .< j < r Af_ 1)

et d 'autre part

l r'{-1 + . . .

t "+1 + ~,+, t "+~ ~: . . . ( ~ ou ~,§ ~ o) (~_ 4)

~ ' , = ~, + P, (u. v..,)

r = v,+l + O,+, (u, v, w)

2 2 8 ~ , a N c o c a ~..

1 (12.3) P/r+~ --- F,+I 3 - - - - [(r - - 5) p,, + 2 v + , ] u -% P , + I (u, v, w)

1 r+: Vr+2 3 - - [ - + (r - 2) v , + , ] u + 0 , + = (u, v, w) .

I1 est facile 5. voir que les P(u, v, w) et Q(u, v, w) de (12.2) et (12.3) s'annulent pour ies valeurs de u, v, w qui satisfont le syst~me

(12.4) v'4 - - I~'4 -% v'5 : 0

En effet ces P(u, v, w) et Q(u, v, w) sont ceiles qui r6sulteraient comme des expressions des p/ et v' correspondants dans le cas of J 1" se r6duirait 5. la forme (11.1); mats clans ce cas, comme nous l'avons dit tout 5. rheure, le syst~me obtenu en annulant t o u s l e s F'i et v'z (i ~_ 4) admet des solutions pour u ind6-

termin~e, ce qui implique que l 'annulation de v' 4 et P-'4 "-~ v'5, qui permet de d6terminer v, w en fonction de u, dolt avoir comme cons6quence l'annulation des F' et v' restants, et dans notre cas l'annulation des Pi et Qt (i ~-4). En

cons6quence, pour v' 4 = F'4 -% v'5 - O, c'est-5.-dire quand on prend pour v, w les valeurs (11.2), on aura

F'i = 0 4 < i < r

v'i--- 0 5 . < j < r - % l

(12.5) /

1 ~ t r + 1 = ~raU 1 - - -~ [(r - - 5) F, -% 2v,+~] u

1 v',+= --- vr+ = 3 [ - - F, + ( r - - 2) v+,] u

Pour r - - 4 , les coefficients de u dans les deux derni~res 6galit6s sont tous les deux 6gaux 5. F4 - - - - v5 =~ O. Pour r > 4, comme le d6terminant

r ~ 5 2 (12.6)

- - 1 r - - 2 I = ( r - - 3 ) ( r - - 4 )

ne s'annule pas, les coefficients de u dans les deux derni~res ~quations ne peuvent s'annuler en m~me temps. En cons6quence pour des valeurs g6n6riques de h e t k l'6quation

(12.7) h F',+t -% k v',+2 : 0

GEOMI~TRIE DIFFEREHTIELLE DES $|HC,,ULAnlTE$ DES COURBES ETC. 220

permet de d6terminer d 'une fa~;on univoque le u. Pour cet u ainsi pour ies valeurs correspondantes de v, w, dans (11.2), on aura

d6termin~ et

F'; - - 0 4 __- i < r)

v ' ; = O (4 ~ j < r - ~ 1) (12.8)

l X ' r - - ~ r ; v ' "-- r -~ "r

h I~',+~ + k v',+= - - O.

L'ordre diff6rentiel du plan (7.3) ainsi d6termin6 est celui de P"r+l et de v'+~

c'est-~-dire r + 3. Une fois fix6 ce plan, les autres 616ments du t6tra~dre de rep~re ont un ordre diff6rentiel ~= 6. Puisque l'on a r - 4, il en r6sulte pour l'ordre diff6rentiel du t6traEdre intrinsEque r -~-3. Le point unite pourra Etre fix6 toujours par la condition de que I'un des deux coefficients ~, , v+z qui ne s'an-

nule p a s s e r6duise $ l'unit6. Ce choix ne fait pas augmenter l'ordre diff6rentiel

du rep~re.

13. Considerons maintenant le cas special pour m > 1. Dans ce cas il est toujours possible i'annulation de v~,,, et de p.,,,, -4- Vs,,,, au moyen d'une transfor-

mation (7.2). Supposons que l'on a effectu6 d'avance cette transformation, et soit

(13.1)

X -- - t m + ~ , lr "J[- ~176176 (~r OU V_[_m -~= 0 )

t,+m --}- (r :~ 2m, 3m) y -~- t 2m Vr+ m �9 . .

t 3m Z - -

une representation normale dans ces conditions. Par le m~me chemin que nous avons suivi en 12 nous obtiendrons des syst~mes analogues aux (12.2) et (12.3) et, en particulier, le syst~me (12.5) prendra maintenant la forme

p t~'i - - v ;+m : 0 (i < r)

1 ~ t r - ' - - [~ r ; V r+m ~ V r-l-m

1 (13.2) 1~',+,~ - - I~,+,~ - - n~ [(r - - 5m) 1~, 2 r- 2m v,+~m ] u

1 V/ D r-~-2m--Vr-~-2m m

__ __ [ - - m I~, --[- (r - - 2m) vr+zm ] u

C omme dans 12, les coefficients de u dans les deux derni&es 6quations ne peuvent s'annuler simultan~ment. Pour r - - 4 m , ces deux coefficients sont 6gaux

230 c . A N C O C H E A

~t p .~, , , - -~ vs,,,-g= 0, tandis que pour r =g= 4m, l'un au moins sera diff&ent de

z6ro puisque le d6terminant

r ~ 5m 2m 1 (13.3) ~--- (r - - 3m) (r - - 4m)

- - m r - - 2 m l

ne s'annule pas. Donc il sera toujours possible de d6terminer univoquement u

a u moyen de l'6quation

(13.4) Iz t~'r+m ~- k v',+2m --- 0

pour des valeurs g~n~riques de h e t k. Une fois fix6 le plan (7.2) on compl~:te comme d'habitude le t6tra~dre de rep~re, dont l'ordre diff&entiel se trouve ~tre 6gal ~. max. (6rn, 2m + r). II sera toujours possible de fixer le point unit6, sans

besoin d'augmenter l'ordre diff6rentiel du rep~re.

III

Dans cette section nous allons donner une interpr6tation g6om6trique des 616ments du repute intrins~que dans les cas des singularit6s 616mentaires suivantes: ~) Point de rebroussement (cuspide); m = 2, n ----- 3, p = 4, pour lequel, dans la forme normale, on all v 6 --#-0. [3) Point d'inflexion (tangente stationnaire); m --- 1, n - - 3, p = 4, avec % --# 0, dans sa forme normale. Et y) Point ordi- naire ~ plan osculateur stationnaire ; m = 1, n --- 2, p m_ 4 ; tel que % ~ 0.

En ce qui concerne les notations, nous d6signerons par O le point (1,0,0,0)

origine de r et par O~, 0 2 , 0 3 respectivement les points (0,1,0,0), (0,0,1,0), t0,0,0,1).

1~. - - g) Point de rebroussement. Nous prendrons, dans l'6quation qui sert b. d6terminer w, en (10.2), h = 3 et k -~- - - 2. On aura alors comme repr6sentation

normale pour

x - - t 2

y =

+ 2o? + [7]

t 3 + a t ' + 3 0 ? + [ 8 ]

z - - t 4

002 est, dans le plan osculateur, la normale projective ~. la courbe T d'intersection de la d~veloppable tangentielle b. 1" avec le plan osculateur; cette normale projective est le lieu des points d'inflexi0n des cubiques planes avec un point de rebroussement en O et ayant avec T huit points en commun sur O.

O~ est le point d'interseetion de la tangente ~t 1 ~ avec les tangentes d'inflexion des cubiques planes ayant un point de rebroussement en O et, sur ce

point, 9 points d'intersection avec T.

GI~.OM~'TRIE DIFFERF-.~TIELLE DES SIN6ULAIIITE'$ DES COURBE$ ETC. 231

O3 est ie sommet du c6ne quadratique

(14.2) z - - x ~ - - 4 b z ~

osculaieur de r parrot ceux qui ont le sommet dans OO~ (au moins 9 points en

commun avec r). 0 0 3 esi la binormale affine de I' par rapport h Oi 03.

03 est le sommet du c6ne cubique

(14.3) y~ - - x 8 - - 2ay 8

osculateur de r parrot ceux qui ont leur sommet dans 008 (ce c6ne a au moins

10 points en commun avec 1~). La quartique gauche K, dont les ~quations sont

(14.4) x - - - t ~ ; y = t a ; z - - t 4,

est caract&is6e par les propri6t6s suivantes: elle est rationneile, ayant en O la m6me singularit6 que r avec les m~mes 61~ments osculateurs, et admei le plan Oi O2 O3 comme plan osculateur stationnaire en 08; elle est contenue dans le c6ne quadratique y Z : x z et a avec le c6ne (14.2) au moins 9 points communs en O.

Dans ces conditions on peut prendre comme point unit6 l'un des trois d'in-

tersection, en dehors de 08, de K avec le plan y : ~/z a, seul plan tangent sia- tionnaire du c6ne (14.3). On aura alors comme d6veloppements des coordonn6es

suivant les puissances de x%

(14 .5 ) y --- 2 ' -]- i/e x 3 -a t- [4]

Z = X~ - - 4CX4 -Jl- [9/2] m 4

avec c - - b. (2a) -~

Dans le cas off, dans (14.1), outre de a -~ 0 on a b - ~ 0, on peut d~termi- ~er univoquement le point unit~. II suffit de prendre pour ce point l'inters~ction, en dehors de O, de la quartique K avec les surfaces cubiques

(14.0) y~ --- x z + (a i x y z + ~i Y~) + (o~ y2 z --}- 62 z ~ x)

qui satisfont aux conditions

a i q- 13 i --- 2b ; ~ q-- [5~ --" 4a

surfaces qui sont caract&is6es par avoir en 0 un point conique, le c6ne tangent Oant l e f l = x z osculateur de r avec le sommet en O, el passer par l'axe z ayant en outre avec r au moins 11 points en commun sur 0. Le point d'inter-

232 c. ANCOCHEA

section est celui de K qui correspond ~ la valeur t - - - b /2a du param~tre. Par rapport h ce point unit6, la repr6sentation de r suivant les puissances ~ie

x y~ prend la forme

(14.7) y - - x '/' - ~ c 'x 3 ~ - [4]

z : x 2 - - 2 c ' x 4 + [0/2]

o h c ' = ~4/8a~. En tout cas l'ordre diff6rentiel du repb.re est 6gal b. 8.

x : - - t

y - - t 3

Z : l 4

15. - - [3) Point d'inflexion. Nous prendrons, pour d6terminer w, au lieu de la derni~re 6quation de 10A), l'6quation

(15.1) ~'5 -~- v'~ --- 2 V'5 2 ,

on aura alors une representation normale de la forme

+ bt ~ § [,6]

(15.2) + at 5 + (2a ~ - - b) t 7 + [8], a -~ 0,

La quadrique Q d'~quation

(15.3) z = x y - - e y 2

est osculatrice de r, avec un ordre de contact _~ 8, parmi celles qui sont tan- genres au plan z --- 0. La droite polaire de ceile d'6quation ux -~- v y ~ 1 --- O,

du plan osculateur, par rapport b. Q a l e s ~quations

(15 .4 ) x = y__ = z v - - 2 a u u 1

tandis que la binormale affine de 1' correspondante est donn~e par les ~quations

X _ _ y y _ .__ Z

(15.5] 3v -~- u 3 - - u -- 4

Pour que les droites (15.4) et (15.5) coi'ncident on doit avoir u - - v - - - 0 ; c'est-~-dire la droite O~ O~ est la seule du plan osculateur pour laquelle sa po- hire par rapport ~t Q et ia binormale affine qui lui correspond viennent ~t se confondre. La droite dans laquelle ces deux derni6res co~'ncident est la 003 . l_e point 03 est rintersection, en dehors de 0 , de cette droite avec Q.

Les plans tangents h Q qui passent par la droite OO8 sprit ceux d'~quations

(15.6) y - - O ; x - - a y - - O .

CEOMETRIE DIFFERENTIELLE DES S|NCULARITES DES COURBES ETC. 233

Le c6ne cubique Ci, ayant le sommet en O, osculateur de r a l'6quatior~

(15.7) y3 --- xz 2 __ 3 a y z ~,

son ordre de contact avec r e s t _~ 11. C~ contient l'axe z et le plan tangent le long de eerie droite a pour ~quation

(15.8) x -[- 3ay --- 0

Le plan x - - 0 est fix6 par la condition de d6terminer avec les deux plans (15.0) et (15.8), pris dans un ordre convenable, un birapport 6gal ~ . - -3 . Nous avons ainsi un t6tra~dre intrins~que; son ordre diff&enfiel est 8.

La quartique K d'6quafions

(15.9) x = t ; y = t 8 ; z = t 4

est caract~ris6e par les conditions suivantes: die est rationnelle, a en O une sin- gularil~ du type de celle de r avec les m~mes 616ments osculateurs que celle-ci; et admet le plan O~ 02 03 comme plan osculateur stationnaire dans Oa ; elle a avec Q un contact d'ordre ----- 6 et avee C~ un contact d'ordre --~ 9.

Comme point unit6 on peut prendre l'un des deux d'intersection, en dehors de O et de O~, de /~ avee le plan x - - a y = 0 (~). La representation de 1" selor~

les puissances de x aura alors la forme

.v : x~ + x~ + 2 (1 - c) x~ + [8] (15.1o) x4 __ z : 2 c x s -~- [9]

avec c - - 2b/a ~.

1 6 . - - ,,,) Point ~. plan osculateur stationnaire. Prenons dans (10.3) h - - 2 , k - - - 1. La repr6sentation normale sera de la forme

x : t + bt 5 + [6]

(16.1) y --- t 2 ~ - at 5 + 2bt 6 + [7] a ~ 0

Z - - - l 4

O~ est le point de ia tangente, distinct de O, sommet du c6ne quadratique C

(10.2) z : y2

le seul qui a avec I' en O un contact d'ordre _~ 6. La droite 002 est la polaire de Oi par rapport ~t la conique osculatrice de la courbe T d'intersection de la

(i) P o u r les b r a n c h e s rdel les , d a n s le cas a < O, si l 'on t ient ~ res te r d a n s le domaine r~el on peu t p rendre p o u r l ' i n te r sec t ion le p lan x -Jr- ay - - O, con jugud b a r m o n i q u e du x - - ay = 0

pa r r appo r t aux x = y - - O.

234 c. ANCOCREA

surface tangentielle de r avec le plan osculateur. Le point 02 (~tant l'intersecfion de 0 0 ~ avec cette conique.

La droite 0 0 3 est la binormale affine de r par rapport ~ 0~ 02. Le point 0~ est celui de contact du plan x - - - 0 a v e c l a quadrique Q d'~quation

(16.3) y ~ x ~ : a x z ,

osculatrice de /', avec un contact d'ordre _~ 6, parrot celles qui au plan y - - 0 et contiennent l'axe z.

La quartique K d'6quations

sont tangentes

(16.4) x - - t ; y = t 2 ; z - - t 4,

est caract&is~e par les conditions: elle est rafionneIle, a en O une singularit~ du type de ceile de 1 ~ avec les m~.mes filaments osculateurs, et admet en 03 comme plan osculateur stationnaire 1~ plan Ot Oz 08; elle appartient au c6ne (16.2) e t a avec la quadrique Q un contact d 'ordre ~ 4.

Comme point unit6 on peut prendre l'un des trois d' intersection, en dehors de O, de K avec le plan x + a z - - 0 tangent h Q le long de I'axe y. On aura alors comme representation de 1" suivant les puissances de x

y : x 2 - - x 5 + [7] (16.5)

Z ~ X 4 - - 4cx 8 -~- [9]

4

avec c --- b a - u

Dans le cas orb dans (16.1), outre de a :/: 0 on a b-7e: 0, on peut d6ter- miner le point unit~ univoquement, sans besoin d'augmenter i'ordre diff6rentiel, .qui est ~gai ~ 8, du rep~re. A cet effet consid~rons le c6ne cubique Ct

y3 = z x 2 _~_ 3 a x z + 4 b y z ,(16.6)

osculateur de "I', avec un contact d'ordre --~ 10, parmi ceux de sommet O e t qui contiennent l'axe z. Ce c6ne Ci et la quartique K ont, en dehors de O e t 03, un seul point commun ; celui qui correspond darts K h la valeur t = - 3 a / 4 b

du param~tre. Pour cette 4lection du point unit6 on aura comme repr6sentation pour r selon les puissances de x

y - - x 2 + c ' x 5 + 171 ,(16.7)

z - - x 4 + 3 c ' x 8 + [91

Oh C" " ~ ~ 2 7 a 4 / 6 4 b a.

GEOMETRIE DIFFERENTIELLE DES SINGULARITI~,S DES COURBES ETC. 235

IV

17. - - Darts l'espace affine ~t n dimensions, toute branche analytique r ayant

avec les successifs espaees lin~aires osculateurs m~ < m~ < . . . . < m,,_~ < m,,

points communs admet une repr6sentation de ia forme

Y 1 ~ i < n , Ixi,,.+ Xi ~ ~i,y l , - - = 1

07.1) j=m, X n : tin,,

kes ~, y constituent un syst~me complet d'invariants affines relatifs de T, l'or-

tire diff6rentiel de I ~,~ 6rant 6gal ~ m, - - mz -1-s. ke n-~dre qui correspond b..

la forme (17.1) est covariant affine de 1" et le point unit~ pourra ~tre d6termin~ d 'une fa~on intrins~que quand i'une des I~ i , s , s ~ m i , sera different de z6ro. Si

ce n'est pas le cas on aura affaire h une branche de courbe IV, cette branche admettra oo~ transformations affines qui laissent invariant son origine. L'ar~te

j-i~me (] > 1) du n-~dre fondamental a l'ordre diff6rentiel m,, -- nq @ mj. L'ar~te

n-i~me est la tangente en O ~ la courbe d6crite par le barycentre des m,, points,

voisins de O, d'intersection de r avec un hyperplan parall~le 5. son hyperplan

osculateur. Quand il est possible de fixer le point unit6, si l~z,, est l'invariant relatif

different de z~ro qui serf b. le d~terminer, I'ordre diff~rentiel du repute intrins~que �9 est 6gat g. m a x . (2m,, - - m~, m,, - - m i @ s), et Ie point unit6 est d6fini saul une

racine s-i~me de l'unit~. En ce qui concerne l'existence de droites covariantes de I" dont l'ordre dif-

I~rentiel est plus petit que ceux des ar?~tes du n-~dre de rep~re, on a ici des fails analogues 5. ceux qui nous avons consid&6 dans le cas 5 trois dimensions.

1 8 . - - Pour l'6tude des singularit6s, dans respace projectif S,,, on devra consi-

d6rer que, si le point (1, 0 , . . . , O) est l'origine de T, toute transformation projective qui laisse invariant ce point peut 6tre obtenue comme produit d'une transformation affine des coordonn6es non homog~nes (1, x~ , . . . , x,,)par une

-transformation projective de la forme

p X i 0 8 . t ) x i =

ul -1- u2 x , + . . . + u n x,, - - 1

qui change la face (n q-- 1) - i~me du simplex de rep~re dans i'hyperplan d'~quation

08.2 ) u~ x~ -}- u 2 x 2 @ . . . @ u. x~ - - 1 = O.

2 3 6 c . A N C O C ~ , A

D'accord avec cette remarque, nous fixerons l'hyperplan (18.2) de fad;on projective intrinsbque par rapport 5. I" et de cette sorte nous rEduirons la dEter- mination des invariants projectifs 5. celle des invariants affines par rapport 5. (18.2 comme hyperplan 5. l'infini. L'hyperplan (18.2) pourra Etre fixE darts la forme in- diquEe plus haut dans tous les cas sauf pour ceux oh I' soft une branche d 'une

courbe normale de S .

Pour determiner (18.2), quand il est possible, on doit distinguer deux cas d'accord avec les considerations suivantes: Nous dirons que la successior~

m~, m 2 , . . . , m, correspondante 5. I' est spEciale st, pour 1 _~ i ~-- n, on a m i - - i.mt~

Dans le cas d'une F avec succession non spEciale nous ferons la determination de (18.2) par recurrence par rapport 5. n. Dans le cas d'une branche 5. successior~ spEciale nous traiterons la question d'une fa~;on directe.

19. - - Cas non special. Si la succession 5. n - - 1 termes

(19.1) m2, m3, . . . , m~

n'est pas spEciale, c'est-5.-dire st, pour 2 - i--~ n, la relation m i - - ( i - 1)m~

n'est pas toujours verifiEe, considErons le premier des nombres

(19.2) 2ml, m~ -[- m2 , . . . , m~ -1- m~_~

pour lequel on a

(19.3) m] .2y mi ~ lily pour tout j > i.

Ce nombre existe puisque la succession correspondante 5. r n'est pas spE- ciale. Par un calcul simple il est facile de voir que, pour une transformation

(18.1), on a

V-',ml+,~,; - - I~i.,,l+m,-I- m~ -- rn~ (19.4) . . . . H i / / / n

t L'Equation p. ; . , , ,+, ,---0 donne univoquement ui et de cette mani~re la

determination des autres coefficients de (18.2) se rEduit au probl~me correspondant pour une branche du S~_ 1 avec la succession non spEciale (19.1).

Par contre si la succession (19.1) est spEciale, Etant m s ---2m~ il en rEsulte

m~ ~ mi @ m2 ~ m3.

C~EOMETRIE DIFFF-RENTIELLE DES SING~LARITES DES COURSES "ETC. 237

On a alors

m n -- m~ 10.5) = + m,, Ui

m n - - m~ P';,rr/~--Ft/,/, ~ [l'l, mIAi-m,~+ mn ~/2 (mod ul)

et le syst~me I~..,i+.,---l~,,~1+m = 0 permet de d61erminer univoquement ul

et u~ et en cons6quence notre probl~me se trouve r6duit A celui qui correspond A une branche du S,~_2 avec la succession

II13~ ITI4~ . . . ~ m n

laquelle, puisque l'on a m~-- - ( i - I)m~, est une succession A n--2 termes qui n'est pas sp6ciale.

En tout cas la d6termination du rep~re intrins~que est toujours possible et | 'ordre diff6renfiel de ce rep~re est 6gal A 2m,. La d6termination du point unit6 reste subordonn6e ~ l'existence, par rapport au simplex intrins~que, d'invariants relatifs diff6rents de z6ro. Ce point ne pourra pas ~tre fix6 si l'on a une branche de courbe 1V seul cas exceptionnel.

20. - - Cas sp6cial. Nous traiterons en d6tail seulement le cas pour lequel on a m~ = i, qui comprend celui des points ordinaires, du fait que les r6sultats ~btenus dans ce cas peuvent s'6tendre sans difficult6 au cas plus g6n6rai.

Pour la transformation (18.1) on obtient alors

(20.1)

1

fl

3

n

n - - 1 + (u,, . . ,

ofJ les P sont des polyn6mes dans les u qui s'indiquent dans chaque cas. En cons6quence le syst~me d'6quations que I'on obtient en 6galant ~ z6ro les premiers membres de (20.1) admet toujours des solutions en ui, u~, . . . , u,,. Nous

supposerons donc que nous sommes partis d6j~t d'une repr6sentation de I" pour laquelle

~'~n--l,r~-~-I ~ 0

238 G. *~coc. E*

(20.2) F,,-2.,,+~ § P'~,-z.,~+2 = 0

~1.,+1 + ~2.,+2 § ~,_1.2,-1 = o

Les transformations (18.1) qui conservent les conditions (20.2) ddtermincnt univoquement us, u s , . . . , us en fonction de u~ de teile sorte que l'on a

i (20.3) u i - - - k i U t

o~ les k t sont des facteurs numdriques. Quand, une fois verifides les relations

(20.2), tous les F~,y s'annulent on a affaire ~t une branche de courbe normale de

S, pour laquelle il ne sera possible de fixer l'hyperplan (18.2) intrinsdquement

puisque tousles hyperplans osculateurs de la courbe normale satisfont routes les conditions que nous avons imposdes jusqu'h present. Nous supposerons done qu'il existe des invariants relatifs diffdrents de z~ro. Soit alors r l'entier le plus pet i t p o u r lequel I 'un, au moins , des invar iants

(20.4) Fl., , F2.,+l , " ' , Fs- ] .~+ , -2

ne soit pas nul. Pour une (18.1) qui conserve les conditions (20.2) on aura alors, d'une part

(20.5) Fl,r - - FI,,- , P'2,r+x "-- F2.~+] , ' " , F , , - 1 , r + s - 2 ~ P ' . - 1 , r+ ,~ -2 '

et d 'aut re par t

( 2 o . o ) ~ . ,+ , ---- ~,.~+, - -

1 tt=,+r~ - - ~ 2 , r + ~ - - - -

/1

1

/1

1

/ l [ ( r - (2n - - 1)) F,,, § (n - - 1) F=.,+,] v,

[ - - (n -- 2) Ih., -~- (r - - (n - - I)) F2.r+, -}- (n - - 2) Fs.r+2] u~

[ - (n - 3) , , . . + ( r - (/1 - 2)) ~,. .+, + (n - 3) ~...+.] , ,

�9 ~ * �9 �9 �9 �9 �9 �9 , �9 �9 �9 �9 ~ ~ �9 * * �9 ~ �9 �9 * . �9 * ~ �9 �9 ~ ~ �9 * �9 �9 �9 �9 �9 �9 �9 ~ �9 �9 * ~ �9 �9 �9 �9

�9 1

n

Nous allons voir qu'il est possible de ddterminer u] intrinsdquement ; de cette

manitre, grace aux (20.3), restera fixd univoquement l'hyperplan (18.2). Pour notre

objet il suffira de montrer que, en vertu de l'hypothtse que nous avons fait sur

les invariants (29.4), l'un au moins des cocfficients dc u~, dans (20.0), n'cst pas

nul. En effet, pour r ~ n, puisque l'on a lh., ~ 0, l'annulation de tous ces coef-

ficients entrainerait celle de tous les (20.4). Pour r :~-n-~-I, la somme dc tous

CEOMETRIE DIFFERENTIELLE DES $INGULARITES DK$ COURBES ETC. 2 3 9

n - - l les coefficients en question est 6gai ~ - P.l.,. comm'il s'en suit de la der-

2 ni tre 6quation (20.2), et ne peut s'annuler que sip.,,,. = O; mais dans ce cas,

l 'annulation des dits coefficients aurait comme consdquence, comme nous le venons d'indiquer, celle de t o u s l e s (20.4). Finalement pour r > n + 1, i 'impossi- bilit6 de i'annullation de tons les coefficients de u~ r6sulte de ce que le d6ter-

minant de la matrice form6e par les coefficients num6riques de p.,.,., P.~.,+l, . . . ,

P.,,-a.,.+,,-2 clans les coefficients de u a en (20.6) et qui correspond au dOermi-

nant (12.6) du cas ~. trois dimensions, est 6gal, comm'il r6sulte d 'un calcul sans difficultd, ~.

(20.7) (r - (n + 1)) (r - n) . . . (r - 3)

et par cons6quent diff6rent de z6ro. ll s'en suit que, pour des hombres ha, h 2 , . . . , h,_~ g6n~riques, l'6quation

(2o.s) + h, + . . . + h._1 = o

permet de d6terminer u~ d'une faqon univoque et intrins~que.

Les 6quations (20.2) font intervenir des 614ments d'ordre diff6rentiel 2n, tandis que darts (20.8) t o u s l e s 616ments sont d 'ordre n q - r ; on a doric pour l 'ordre diff6rentiel du simplex de rep~re: max. (2n, n q- I"). Le point unit6 peut 6tre fix6 en rendant dgal a l'unit6 l 'un quelconque des invariants relatifs [20.4) qui ne soit pas nul; ceci ne fair pas augmenter l'ordre du rep~re.

On remarquera que, contrairement a c e qui se passe darts les cas analogues deux ou trois dimensions, quand on a r < n on pent fixer u,, et par cons6-

quent un point covariant sur la tangente ~, la branche, avant d'avoir fix6 com- pi~tement le simplex de repare.

Quand, pour le cas sp6cial, on a m~ > 1, des consid6rations analogues aux

pr6c6dentes permettent de voir qu'il est possible de fixer le repare intrins~que et que son ordre diff6rentiel est 6gal ~. max. (2rnn, mn + r).

Madrid, Mars 1952

BIBLIOORAPHIE

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Géométrie différentielle des singularités des courbes de l'espace projectif