UPS - ToulouseL2 Physique

Controle partielMecanique des Solides

8 mars 2012duree : 1h00

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A. Questions de cours (5 points)

1) Demontrer la relation permettant de calculer le moment dinertie dune boule homoge`ne parrapport a` un axe quelconque passant par son centre, connaissant son moment dinertie parrapport a` son centre. Cette relation pourra etre utile dans la suite.

2) Enoncer (sans demonstration) le theore`me de Koenig relatif a` lenergie cinetique dun solide

B. Proble`me (15 points)

Etude cinematique dun mouvement

On conside`re une bille (B) homoge`ne de masse m, de centre A et de rayon a. Cette bille peut roulersans glisser a` linterieur dun cylindre (C) de centre O et de rayon b qui peut lui-meme tourner autourde son axe de revolution (Oz).

On suppose que le mouvement de la bille est tel que Areste dans le plan (Oxy) de la figure ci-contre et que labille reste en contact permanent avec le cylindre.

A` un instant t, on definit dans le referentiel du labo-ratoire la position du syste`me par les parame`tres angu-laires , et introduits de la manie`re suivante :

: angle dun rayon materiel de (C) avec laxevertical descendant (Ox),

: angle que fait le rayon (OA) avec (Ox)

: angle dun rayon materiel de (B) avec (Ax).

On introduit par ailleurs la base (~er, ~e, ~ez) comme in-diquee sur la figure. On designe par P le point de (C) encontact avec la bille (B) a` linstant considere et par Q lepoint de (B) en contact avec le cylindre (C) a` ce memeinstant.

+(C)

x

y

~er

(B)

x

~eA

Oz

b

a

1) Exprimer dans la base (~er, ~e) la vitesse par rapport au referentiel du laboratoire

du point P ,

du point A,

du point Q.

2) Rappeler ce quon appelle la vitesse de glissement. En deduire la relation entre a, b, , et qui assure le roulement sans glissement de la bille (B) sur (C). Verifier que si le cylindre (C) netourne pas on a a = (a b).

3) Etablir lexpression du moment dinertie I de la bille (B) autour de laxe (Az) en fonction de samasse m, et de son rayon a.

4) Calculer, en precisant le(s) theore`me(s) utilise(s),

a) le moment cinetique de la bille (B) dans son referentiel du centre de masse (A, x, y, z),

b) le moment cinetique de la meme bille par rapport a` O dans le referentiel du laboratoire,

c) lenergie cinetique de la bille dans le referentiel du laboratoire.

en fonction de m, a, b, et .