LA FLEXION COMPOSE

M=N*eMa=N*ea

Section partiellement comprimée  :

Mb =0.81*b*x*fbc*(d-0.416*x) Nb =0.81*b*x*fbc

Moment réduit : μ =Mb/(b*d2*fbc)=0.81*α*(1-0.416*α) effort normalement réduit : γ = Nb/(b*d*fbc)

μ= γ*(1-0.514*γ) Section entièrement comprimée   :

μ= Mb/(b*h2*abc) =d/h-0.5+ χ*(6/7 –d/h) γ= Nb/(b*h*fbc ) = 1-χ avec χ =3.05/(7*(x/2-3)2)

Domaine 1  : béton emplisse section non armée si :Nu ≤ 0.81*b*h*fbc et MA< Nu*d*(1-0.514*(Nu/b*d*fbc) or NA > 0.81*b*h*fbc

MA < b*h2*fbc*(5/14-Nu/(b*h*fbc)*(6/7-d/h))

Domaine 2 : Section partiellement comprimée avec armature infiniment tendue Nu*(d-d’)-MA ≤(0.337-0.81*d’/d)*b*d2*fbc

Domaine 3   : corresponde a une section partiellement comprimé avec armature infiniment comprimé (0.337-0.81*d’/d)*b*d2*fbc ≤ Nu*(d-d’)*-MA≤ (0.337-0.81*d’/h)*d*h2*fbc

Domaine 4-5  : section entièrement comprimée :Nu *(d-d’)-MA ≥ (0.337-0.81*d’/h)

(0.337-0.81*d’/d) *b*d2*fbc ≤ (d-d’)*Nu-MA ≤ (0.337-0.81*d’/h)*b*h2*fbc

-2- -1- -3-

1<2 domaine 2 section partiellement tendue 2<1 domaine 3 section partiellement tendue 1>3 domaine 4 et 5 section entiérement comprimée

Détermination des armatures :

A. section entièrement tendue : 1-E.L.U   :

A1 = Nu/σst*(1- ea/ (d-d’)) Nst : effort de traction C entre G et A1 σst= fe/γs

A2 A2 = Nu/ σst*(ea/ (d-d’)) .G e

.C A1 ea

2-E.L.S: σst1 = Ns/A1*(1-ea/(d-d’)) σst2 = Ns/*ea/(A2*(d-d’)) e= Ms/Ns (σst1, σst2) < σst

B. section partiellement comprimée: on destine 3 cas :

1- E.L.U:

1ére cas : N effort de traction  C à l’extérieur de la section MG= N*e MA= N*ea = MG-N*(d-h/2)

.G

A1 e

N C

2éme cas : N effort de compression C à l’extérieur de la section MG=M*e MA=N*ea =MG + N*(d-h/2)

N C

.G

A1

3éme cas: effort de compression C et plus prés de A2

A2

N .C

.G

μu = MA/(b*d2*fbc)

μu ≤μR μu >μR

Le moment résistant : MR

A2 =0 + : pour la traction MR =0.8*αR

A1 = 1/σst*[ MA/z ± Nu] - : pour la compression MR= 0.8*αR*(1-0.4*αR)*b*d2*fbc

Si A2<0 A1= 0.23*b*d*ft28/fe A2= MA-MR/σsc*(d-d’) et on recalcul A2 : A2 = Nu-χ*b*fbc/σsc A1= 1/σst*[ (MA-MR/d-d’) +MR/d*(1-0.4*αR)±N] χ= d’ + √ (d’)2+2*[(d-d’)*Nu-MA]/b*fbc

2- E.L.S: T e ≥ h/6 et N Section partiellement tendue

C ou comprimée

1) N effort de compression : x= h/2+e1-e e1

3 + P*e1+q =0 …...-1- P= -3*(e-h/2)2 +[(6*n*A2)/b]*(e-h/2+d’) +[(6*n*A1)/b]*(e-h/2+d) q= 2*(e-h/2)3 – [6*n*A2/b]*(e-h/2 +d’)2 – [6*n*A1/b]*(e-h/2 +d)2

et on résoudre l’équation -1- avec :e1=3√ -P*e1-q

e1=-e13-q /P

et on détermine x= h/2 +e1-e σbc=Ns*x/S ≤ σbc , σst= n* Ns*(d-x)/S ≤ σst

avec : S = b*x2/2 +n*A2*(x-d’) –n*A2*(x-d’) –n*A1 (d-x)

2) N effort de traction   :

x= h/2 +e –e1

e13 + P*e1+q =0

P= -3*(e +h/2)2 + [(6*n*A2/b)*(e+h/2-d’)] +[(6*n*A1/b)*(d-e-h/2)] q=2*(e+h/2)-[(6*n*A2/b)*(e+h/2-d’)2]–[(6*n*A1/b)*(d-e-h/2)2]et même chose : e1= √-p*e1-q , e1= -e1

3-q/p

C. Section entièrement comprimée   : 1. E.L.U :

N effort de compression

Condition des domaines : il faut avoir si on a dans les domaines -4- ou -5- Section entièrement comprimée

1ére cas : Si : N*(d-d’)-MA< (0.5*h-d’)*b*h*fbc domaine -4-ferraillage inférieur A1 = 1 A2 = N-(1-χ)*b*h*fbc /σst avec : εbc= 2‰*[ 1+(3-(7*d’/h) * √ χ /1.75 ] χ = [0.5*(d’/h)-((d-d’)*N-MA)/b*h2*fbc]/ (6/7)-(d’/h)

2émecas :

Si : N*(d-d’) - MA≥ (0.5*h-d’)*b*h*fbc domaine -5-

εbc =2‰ et σbc =σ2‰

A2 = MA-b*h*fbc*(d-h/2) /(d-d’)*σsc A2 = [(N-b*h*fbc)/σsc] – A2 (****)

2. E.L.S:

e1=[b*h3/12 + e2*h*b + n*A2*(-e+h/2-d’)2 + A1*(-e+h/2-d)2]/[-e*b*h + n*A2*(-e+h/2-d’) +n*A1*(-e+h/2-d)]e1=I/S avec I= b*h3/12 +b*h*(e1-e)2 + n*A2*(e1-e+h/2-d’)2+ n*A1*(e1+e+h/2-d)2

S= b*h*(e1-e) +n*A2*(e1-e+h/2-d’) +n*A1*(e1-e+h/2-d) Position de l’axe neutre:

Si |e1|<h/2 +e l’axe neutre à l’intérieur le section et partiellement comprimé

Si |e1|>h/2+e l’axe neutre à l’extérieur la section est entièrement comprimée

Section homogène: V1

B=b*h+n*(A1+A2) h .G σbc max = Ns/B +(Ms*V2)/I ≤σbc =0.6*fbc V2

σbc min = Ns/B – (Ms*V2 )/I >0 avec V1=V2=h/2

σbc max ≤ σbc et σbc min >0 pour que la section soit entièrement comprime

Remarque   : A2

h .C ea = h/2 –(h-0.9*h) +e A1

Calcul des sections sous sollicitations tangentes

Le calcule de ferraillage transversal sera a E.L.U

τ = T*S/b*I = T/b*Z

1) Justification du béton   :

τ=T/b*Z le béton sera calculé a Tu max τu =Tu max/b*Z

a) α=90°   : τl =min [0.2*fc28/γd, 5MPa] si fissuration non préjudiciable τl =min [0.15*fc28 /γd ,4MPa] si fissuration préj ou très

préjudiciable b) α=45°   :

τl=min [0.27*fc28 /γd ,7MPa] quelque soit fissuration c) 45°≤α ≤90°   : Interpolation entre les deux

τu ≤τl τu >τl

Condition est vérifier Condition n’est pas vérifier

On augment b et on refaire les calcul

2) Justification des armatures   : τu sera calculé à T (h/2) a cote de T max

St ≤ (At*0.9*(fe/γs)*(sin α + cos α))/b*(τu -0.3*k*fc’ 28) avec:

ft’28 =min (ft 28, 3.3MPa) et ft 28 =0.06*fc 28 +0.6 k=1 pour la flexion simple k=1 pour la flexion composée avec N compression σcm=N/B k=1-10*(σtm /fcj) pour la flexion composée avec N traction (σtm=N/B) At : le ferraillage tansversal tel que : At =n*φ*_ (6, 8, 10,12) n : nombre des barres φt ≤min (h/35, b/10, φlmin) si on trouve St <0 ou St<7 St min=7cm et Stmax=min (0.9*d ,40cm)

série de Caquot   : [ 7,8,9,10,11,13,16,20,25,35] (cm) n=l/2

Répartition suivant RPA   : S≤min (h/4, 12*φl ,30cm)

S’≤h/2 s’ s’ s’ s’ s s s s s h

2*h Zone nodele zone courant

Calcul de la flèche   :

If = 1.1*(I0/1+λ*μ) μ = 1-(1.75*ft 28/4.8*σst +ft 28)

λi = 0.05*ft 28 / [2 +3*(b0/b)]*ρ déformation instantanéeλ λv= 0.02*ft 28/ [2+3*(b0/b)]*ρ=2/5*λi deformation on different

ρ=A/b*d Pour les courbures 1/λi = Ms/Ei*I*fi 1/λv= Ms/Ev*I*fv

Ei = 11000*3√ fc 28

Ev= 1/3 *Eij ≈ 3700*3√ fc 28

Donc la fleche est : fi= (Ms*l2)/ (10*Ei*I*fi) , fv= (Ms*l2)/ (10*Ev*I*fv) La flèche admissible: l/500 si l<5m l/1000 +0.5cm si l≥5m Pour les consoles : fi= (Ms*l)/ (4*Ei*I*fi) fv= (Ms*l2)/ (4*Ev*I*fv) La flèche admissible   : l/250 si l<2m

Dimensionnement   :

1/15 ≤h/l≤1/10 1/5 ≤b/h≤1/2et suivant RPA : b min=20cm