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Les triangles semblables
~
Les triangles semblables possèdent les propriétés suivantes:
- mêmes formes;
- mêmes mesures d’angles homologues;
- rapports des côtés homologues proportionnels.
Les triangles semblables sont créés par des similitudes donc une ( des ) transformation(s) utilisant toujours une homothétie.
Le rapport de similitude joue donc un rôle important dans ce type de figures.
Des triangles sont semblables si et seulement si ils possèdent à la fois ces trois conditions.
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, on peut utiliser les propriétés suivantes:
CCC : 3 paires de côtés homologues proportionnels;
CAC : une paire d’angles homologues isométriques compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels;
AA : deux paires d’angles homologues isométriques;
Examinons ce que cela veut dire !
Propriété CCC : Deux triangles possédant 3 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables.
3 cm
4 cm
5 cm
A
B C
6 cm
8 cm
10 cm
D
E F
m AB
m DE=
m BC
m EF=
m AC
m DF
4
8=
3
6=
5
10=
1
2
Remarque: CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels.
Propriété CAC : Deux triangles possédant 1 paire d’angles homologues isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables.
Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels
m ED
m AB=
m FD
m AC
5
7,5= 12
8= 3
2
BAC ~= EDF de plus
8 cm
5 cm
500
A
B
C
7,5 cm
500
12 cmD
E
F
Remarque: CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels et le A signifie une paire d’angles homologues isométriques.
700 500700 500
Propriété AA: Deux triangles possédant au moins deux paires d’angles homologues isométriques sont semblables.
Construisons deux triangles ayant deux paires d’angles homologues isométriques.
Pour démontrer que cette propriété assure des triangles semblables, il n’est pas nécessaire de démontrer la 3e paire d’angles homologues isométriques puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800.
Il est donc certain que cette 3e paire d’angles homologues sont isométriques.
Remarque:
On ne pourrait donc pas fermer les triangles autrement.
Problèmes:
A
B
D C
Le ∆ ABC et le ∆ BDC .
Affirmations Justifications
1) m ABC = 900 Les triangles sont rectangles.1)m BDC = 900
Il est commun aux deux triangles .2)2) m BCD = m BCA
3) ∆ ABC ~ ∆ BDC 3) AA
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
et
E
D
C
A
B
5,2
4,2
3
7,28
Le ∆ ECD et le ∆ ACB .
Affirmations Justifications
Angles opposés par le sommet .2)2) m ECD = m ACB
3) ∆ ECD ~ ∆ ACB 3) CAC
1) m CA
m CD=
m CB
m CE 5,2
4,2
3=
7,28= 1,41)
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
4,8
67,5
8,5
10,6
25
A
B
C
D
m AD
m BC=
m DC
m AC=
m AC
m AB
10,625
8,5=
7,5
6=
6
4,8= 1,25
Affirmations Justifications
1) 1)
Le ∆ ADC et le ∆ ABC .
2)2) ∆ ADC ~ ∆ ABC . CCC
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
A
B
C
D
E
Le ∆ AED et le ∆ ACB .
Affirmations Justifications
1) m ACB = 900 Les triangles sont rectangles.1)m AED = 900
Il est commun aux deux triangles .2)2) m A = m A
3) ∆ AED ~ ∆ ACB 3) AA
et
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
A B
C
D
16
12
15 Le ∆ ABC et le ∆ ACD .
Affirmations Justifications
1) m AC = 20 1) m AC = ( m AB )2 + ( m CB )2
20
2) m ABC = 900 Les triangles sont rectangles.2)m ACD = 900
m AC
m AB=
m DC
m CB
3) 3)
12
20
16=
15= 1,25
4) ∆ ABC ~ ∆ ACD . 4) CAC
et
Démontre que les triangles suivants sont semblables.
S
A P D
B
18
9
15
Dans la figure suivante, les triangles SAP et BDP sont semblables.
Détermine les mesures des segments AP et PD.
Posons les expressions algébriques pour représenter les segments AP et PD
x (18 – x)
Établissons les rapports des segments homologues:
m SA
m BD
m AP
m PD=
9
15
x
(18 – x)=
9 (18 – x) = 15x
162 – 9x = 15x
162 = 24x
6,75 = x m AP = 6,75
m PD = 18 - 6,75 = 11,25
