RELATION TRIGONOMETRIQUE DANS UN TRIANGLE QUELCONQUE

Pr-requis : -Trigonomtrie dans le triangle rectangle -le radian -la proportionnalit

I-mise en situations

Pour connatre la hauteur de la falaise dtretat (Seine maritime), on mesure deux angles dlvation par

rapport un point C sur la falaise : CAH = 17 et

CBH = 42; La distance AB est gale 253 m.

1- Construire sur le quadrillage ci-dessous, les triangles de la figure. chelle :1 cm pour 40 m.

2- Mesurer CH. 3- Nous allons dterminer CH par le calcul.

a) Donner lexpression de CH dans le triangle ACH rectangle en H en fonction de BH et de

langle CAH.

b) Donner lexpression de BH en fonction de CH et de langle CBH dans le triangle CBH

rectangle en H.

c) En utilisant les formules tablies au 2.a) et 2.b), donner lexpression de CH en fonction de

langle CAH et

CBH.

d) En dduire CH.

Constatation : le calcul est faisable mais long et compliqu !!!!! II- Thorme des sinus. 1-Dcouverte du thorme. 1-Construire un triangle ABC tel que AB = 4,5 cm et AC = 5,5 cm.

2-Tracer la hauteur [AH]. 3-

a) Utiliser les relations trigonomtriques, dans le triangle ABH, rectangle en H, pour exprimer

sin B :

b) En dduire une expression de AH en fonction de sin B et AB.

c) Utiliser les relations trigonomtriques, dans le triangle ACH, rectangle en H, pour exprimer

sin C

d) En dduire une expression de AH en fonction de sin C et AC.

4-En dduire la relation suivante : AB

sin C

= AC

sin C

5-Mesurer sur la figure, les angles A, B et C et complter le tableau suivant :

BA

sin C

BC

sin A

AC

sin B

Valeur exacte

Valeur arrondie 10-1 prs

6- Conclure.

7- Tracer le cercle circonscrit au triangle. 8-Mesurer son diamtre. En dduire son rayon.

9-En dduire une galit entre la relation suivante AB

sin C

= ACsin B

= BCsin A

et le rayon.

2-Dfinition.

3- Dans quelle situation utiliser le thorme des sinus. Calculer la longueur dun ct lorsque lon connat la mesure de deux angles et la longueur dun ct. Calculer la mesure dun angle lorsque lon connat la longueur de deux cts et la mesure dun angle

non compris entre ces deux cts. 4- Applications.

1- Calculer les longueurs du ct [AB] dun triangle ABC tel que : Rsolution

a) BC = 10 ; A = 70 ;

C = 50

FIG

URE

b) BC =8 ; B = 50;

C = 100

FIG

URE

2- Calculer la mesure de langle A dun triangle ABC tel que :

a) AB = 8 ; BC = 10 ; C = 40

FIG

URE

b) AB = 15 ; BC = 20 ; C = 40

FIG

URE

II- Thorme des cosinus ou thorme de Carnot. 1-Dcouverte du thorme.

a-premier cas : Triangle quelconque dont tous les angles sont aigus. Soit le triangle quelconque ABC.

1-Travail dans le triangle rectangle ABH.

a) Ecrire la relation de Pythagore pour le triangle rectangle ABH.

b) Exprimer BH en fonction de BC et HC.

c) Donner alors lexpression de AB.

(1) 2-Travail dans le triangle rectangle ACH.

a) Ecrire la relation de Pythagore pour le triangle rectangle ACH.

b) Exprimer AH en fonction de AC et CH.

c) Remplacer lexpression de AH dans la relation (1).

d) Exprimer CH en fonction de AC et de langle

C.

3- En dduire lexpression de AB en fonction de AC, BC et C.

b-deuxime cas : Triangle quelconque dont lun des angles est obtus.

1- Exprimer BH en fonction de HC et BC.

2- Exprimer AB dans le triangle rectangle AHB.

3- Exprimer AB en fonction de AC, BC et HC.

4- Exprimer CH en fonction de AC et de langle C.

5- En dduire lexpression de AB en fonction de AC, BC et C.

4- Obtient-on le mme rsultat que dans le premier cas ?

2-Dfinition.

3-Dans quelle situation utiliser le thorme des cosinus. Calculer la longueur dun ct lorsque lon connat la mesure dun angle et les longueurs de deux

cts. Calculer la mesure dun angle lorsque lon connat la longueur des trois cts. 4-Dans quelle situation utiliser le thorme des cosinus.

1-Calculer la mesure de langle B du triangle ABC tel que :

Rsolution

a) AB = 8; AC= 7; BC = 6

FIG

URE

b) AB = 3; AC= 5; BC = 4

FIG

URE

2- Calculer la mesure de la longueur du ct [AB] du triangle ABC tel que :

a) AC = 15 ; BC = 19 ; C = 115

FIG

URE

b) AC = 10 ; BC = 20 ; C = 60

FIG

URE

III-Aire dun triangle.

1-Dfinition. Laire dun triangle ABC est gale :

S = 12 .b.c.sin A =12 .a.c.sin

B = 12 .a.b.sin C

2-Exemple. Calculer laire du triangle ABC tel que :

AB = 10 cm ; AC = 5 cm ; A = 60

IV-Activits dexamen. 1- Calculer les angles dun triangle ABC tel que :

BC = 8 cm ; AC = 4 cm ; AB = 6 cm 2- On considre le diagramme des forces appliques un solide en quilibre :

F1 = 100 N ; F2 = 70 N ; F3 = 50 N Calculer la mesure 1 prs de chaque angle de ce triangle.

3- On donne deux tensions

U1 et

U2 avec :

U1 = 14 V et U2 = 18 V ; ( U1 ;

U2 ) = - 60

On pose