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Michel Rieutord

Une introduction à la dynamique des fluides

ISBN 978-2-8041-8554-1

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Une véritable introduction à la mécanique des fluides qui ancre cette discipline dans la phy-sique en s'appuyant sur de nombreux exemples issus des sciences de l'Univers.

Après le succès de la première édition, cette deuxième édition propose un texte revu et corrigé mais surtout enrichi de nouveaux sujets.

Ce livre illustre les différents domaines de la dynamique des fluides par des exemples puisés dans les sciences de l'Univers. La Terre, les planètes géantes, les disques d'accrétion et les étoiles fournissent ainsi de nombreuses illustrations aux sujets discutés, soulignant par ailleurs l'importance de cette branche de la physique en astrophysique ou en géophysique.

Le souci de l'auteur est d'amener l’étudiant, pourvu d'un bagage en physique et en mathé-matiques de première année d'université, vers une solide connaissance du mouvement fluide. L'ouvrage ne suppose donc aucun savoir préalable. Les quatre premiers chapitres guident d'abord le lecteur vers les connaissances de base de la mécanique des fluides tout en donnant une information claire sur la physique ou les mathématiques nécessaires au franchissement de chaque étape. On aborde alors les ondes et les nombreuses applications de la dynamique des fluides : les instruments de musique, les vagues à la surface de l'eau ou même les ondes de choc dans les étoiles. On poursuit avec la présentation des multiples instabilités qui peuvent affecter le mouvement des fluides et conduire à la turbulence si commune dans l'environnement ; on s'intéresse enfin aux effets surprenants d'une rotation d'ensemble, effets dont la météorologie doit nécessairement tenir compte.

Les lecteurs les plus passionnés pourront aussi aborder des thèmes où la recherche est encore très active : la turbulence, la magnétohydrodynamique et la théorie cinétique des gaz. Ces sujets sont touffus et là encore l'auteur prend soin de guider le lecteur pour l'ame-ner aisément aux résultats essentiels de ces domaines.

Michel Rieutord est astrophysicien et professeur à l'université Paul Sabatier à Toulouse, membre honoraire de l'Institut Universitaire de France. Agrégé de physique et docteur ès sciences, il a enseigné la dynamique des fluides à tous les niveaux de l'université. Ses tra-vaux sur la dynamique des fluides en rotation sont reconnus internationalement. Depuis de nombreuses années il a travaillé au développement de la dynamique des fluides en Astrophysique et au rayonnement de cette discipline.

Les «plus» Différents niveaux de lecture

De nombreux exercices et leur solution

De nombreux exemples sont tirés de l'astrophysique

Des références bibliographiques

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Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre les niveaux : En France : Licence 2-3 et Master 1-2.En Belgique : Licence 2-3 et Master 1-2.En Suisse : Licence 2-3 et Master 1-2.Au Canada : Licence 2-3 et Master 1-2.

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MANUEL DE COURS

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Licence Maîtrise Doctorat

PhysiqueAslAngul C., Mécanique quantique. 1. Fondements et premières applicationsAslAngul C., Mécanique quantique. 2. Développements et applications à basse énergie. 2e éd.AslAngul C., Mécanique quantique. 3. Corrigés détaillés et commentés des exercices

et problèmesBéCherrAwy T., Optique géométriqueBiemont É., Spectroscopie atomique. Instrumentation et structures atomiquesBiemont É., Spectroscopie moléculaire. Structures moléculaires et analyse spectraleChAmpeAu r.- J., CArpentier r., lorgeré i., Ondes lumineuses. Propagation, optique de Fourier,

cohérencetAillet r., Optique physique. Propagation de la lumièrewAtsky A., Thermodynamique macroscopique

ChimieCAChAu-herreillAt D., Des expériences de la famille Acide-Base. 3e éd.CAChAu-herreillAt D., Des expériences de la famille Réd-Ox. 2e éd.Depovere p., Chimie générale. 3e éd.Depovere p., Chimie organique. 2e éd.kiel m., L’oxydoréduction. Du nombre d’oxydation aux diagrammes de PourbaixmCmurry J., Begley T., Chimie organique des processus biologiquesmoussArD C., Biochimie structurale et métabolique. 3e éd.moussArD C., Biologie moléculaire et Biochimie des communications cellulairesrABAsso n., Chimie organique. Généralités, études des grandes fonctions et méthodes spectroscopiques. 2e éd.rABAsso n., Chimie organique. Hétéroéléments, stratégies de synthèse et chimie organométallique. 2e éd.

Michel Rieutord


MANUEL DE COURS

© De Boeck Supérieur s.a., 2014 1re édition Fond Jean Pâques 4, 1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment

par photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Belgique

Dépôt légal : Bibliothèque nationale, Paris : octobre 2014 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2014/0074/261 ISBN 978-2-8041-8554-1

Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboeck.com

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physiqueAvant-propos de la deuxièmeédition

La seconde édition de mon cours de dynamique des fluides propose un texte revuet corrigé de la première édition enrichi d’un chapitre ainsi que de plusieurs sectionssupplémentaires. La principale nouveauté est le chapitre 11 dont le but est de présenterau lecteur une description du lien qui unit le contenu microscopique, discret ou par-ticulaire d’un fluide à son aspect macroscopique qui est celui d’un continuum. Nousespérons avoir réussi à relever le défi de donner au lecteur toutes les bases nécessairespour comprendre ce très vaste sujet.

Les sections supplémentaires ajoutent une présentation de l’instabilité de Marangoni-Bénard qui montre un effet des contraintes tangentielles induites par la tension super-ficielle. Nous discutons aussi l’équation de Chapman-Proctor qui nous permet d’illus-trer l’utilisation d’un développement multi-échelle pour déterminer la dynamique de laconvection à flux fixée. Enfin nous avons ajouté une longue introduction à la théoriedes pertubations optimales ou perturbations à croissance algébrique dont la mécaniquedes fluides s’est enrichie au cours du dernier quart de siècle.

Finalement, plus encore que dans la première version de ce livre, nous avons cher-ché à illustrer les différents thèmes abordés par des exemples puisés dans les sciencesde l’Univers. La Terre, les planètes géantes, les disques d’accrétion ou les étoiles four-nissent ainsi de nombreuses illustrations des sujets discutés, soulignant par ailleursl’importance de la dynamique des fluides en astrophysique ou en géophysique.

Cette seconde édition a bénéficié des remarques de nombreux lecteurs et tout parti-culièrement des relectures d’Arnaud Antkowiak et de Pierre-Louis Blelly sur quelquespoints clefs. Elle doit naturellement beaucoup aux étudiants qui, par leurs questions,m’ont forcé à aller au fond des problèmes. Puisse ce livre leur apporter en retour lesréponses qu’ils recherchent.

Toulouse, octobre 2013 Michel Rieutord

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physiqueAvant-propos de la premièreédition

L’idée qui a présidé à l’écriture de ce livre était celle d’un cours sur la dynamiquedes fluides indépendant du contexte « science de l’ingénieur » de cette discipline. Nousvoulions une présentation qui soit celle du physicien, c’est-à-dire de celui qui observela Nature et tente d’en comprendre les mécanismes.

Les fluides sont omniprésents dans notre environnement et leur mouvement se rap-pelle à nous quotidiennement, ne serait-ce que par le temps qu’il fait. Ainsi commentne pas être intrigué, en tant que physicien, par le vol d’un oiseau, le déferlement d’unevague ou la formation d’un nuage ? De façon assez surprenante la mécanique des fluidess’est tenue longtemps à l’écart de la physique (une situation qui semble fort heureu-sement changer), notamment du cursus universitaire des physiciens français, alors quebeaucoup de grands noms de la physique y ont imprimé leur marque, à commencerpar Newton, Euler, Maxwell, Rayleigh, Heisenberg, Landau, Chandrasekhar etc. Pour-tant cette discipline offre encore de beaux défis aux chercheurs ; dans les années 1950,Heisenberg notait que la turbulence reste l’un des problèmes majeurs non-résolus dela physique classique ; presque cinquante ans plus tard cette remarque est toujoursvalable.

Le présent ouvrage essaye d’introduire les principaux thèmes de la mécanique desfluides, l’idée étant de fournir les bases nécessaires pour aborder n’importe quelle partiede la discipline. En fin de chaque chapitre, des exercices sont proposés pour aider lelecteur à vérifier son assimilation. Une liste d’ouvrages est également proposée, permet-tant un approfondissement des questions traitées ou offrant un point de vue différent.Un chapitre de compléments de mathématiques est aussi inclus de manière à ce que cecours puisse être abordé avec un bagage de connaissances égal à celui d’un étudiant enfin de premier cycle universitaire.

Le niveau de ce cours n’est pas uniforme et progresse de chapitre en chapitre : grossomodo, les quatre premiers chapitres reflètent le contenu d’un cours donné en licence dephysique à l’université Paul Sabatier de Toulouse, les quatre suivants sont issus d’uncours donné au même endroit en maîtrise de physique et les deux derniers (avec desreprises dans d’autres chapitres) un cours au DEA d’astrophysique de Toulouse.

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physiqueDynamique des fluides

Après avoir commis son œuvre, l’auteur doit avouer qu’elle fut réalisée grâce àquelques complices qu’il va s’empresser de remercier.

Pour commencer l’instigateur, José-Philippe Pérez sans qui rien n’aurait commencé.Des décors m’ont été fournies par Alain Vincent, Hervé Willaime et Thierry Roudier.La mécanique a été huilée par André Violante ; les costumes sont de Donald Knuth.Le scénario a été relu et corrigé par Boris Dintrans dans le rôle de l’étudiant, KatiaFerrière dans le rôle du gourou MHD, Geneviève dans le rôle de ma femme, et monpère dans son propre rôle. La pièce a été conçue à l’Observatoire Midi-Pyrénées etjouée à de nombreuses reprises devant les étudiants de l’Université Paul Sabatier quiétaient enthousiastes ou effrayés, mais jamais indifférents, surtout en examens. Enfin,l’acteur-auteur-compositeur remercie les éditions Masson pour leur confiance tout aulong de cette aventure et espère que la pièce pourra être re-jouée, réinterprétée ...

Toulouse, mai 1997 Michel Rieutord

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physiqueGuide de lecture

Le premier chapitre tente de répondre à la question : comment décrire le mouvementd’un fluide ? Nous y établissons les équations de base de la dynamique des fluides. Ledeuxième chapitre, dédié à la statique nous permet de commencer avec un problèmerelativement simple. Nous abordons ensuite les premiers problèmes de dynamique enconsidérant le cas idéal des fluides parfaits où tout phénomène de diffusion est éliminé.Essentiellement cette idéalisation permet d’apprécier les effets de pression et d’inertiesur le mouvement. Au quatrième chapitre, nous incluons la viscosité dans le cas simpledes fluides incompressibles et introduisons alors la notion de couche limite qui reflètela compétition entre transport diffusif et advectif.

Sont abordées ensuite les différentes ondes qui peuvent se propager dans un fluidece qui nous permet de glisser naturellement vers les instabilités. Nous avons dédiéun chapitre entier au problème de la convection thermique qui fournit un exempled’instabilité où les notions introduites au chapitre précédent peuvent être mises enapplication de façon concrète. Le huitième chapitre est consacré aux fluides en rotationsi importants pour comprendre la dynamique atmosphérique ou océanique.

Le neuvième chapitre est une introduction à la turbulence ; nous y présentons lesrésultats classiques de turbulence homogène isotrope et essayons d’introduire le lecteurà quelques questions d’actualité. Le dixième chapitre dédié à la magnétohydrodyna-mique, permet de se faire une idée de la dynamique des fluides conducteurs qui jouentun rôle majeur en astrophysique. Enfin le onzième et dernier chapitre tente d’intro-duire le lecteur aux fondements statistiques de la dynamique des gaz. On veut luipermettre de mieux comprendre l’émergence du milieu continu à partir d’une matièredistribuée essentiellement de façon discrète. Des compléments de mathématiques ainsique la solution des exercices terminent ce cours.

Un certain nombre de sections ont été marquées d’un ♠ : la maîtrise de leur contenun’est pas nécessaire pour suivre l’exposé ; elles peuvent être laissées de côté lors d’unepremière lecture.

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physiqueTable des matières

Chapitre 1 Les bases de la mécanique des fluides

1 Un bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Le concept de fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Les milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 La cinématique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1 Notion de particule fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 Description eulérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Dérivée particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.5 Déformation d’un élément fluide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.6 Les fluides incompressibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.7 Évolution d’une quantité intégrale entraînée par le fluide . . . . . . . . . . . 83.8 Fonction de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Les lois du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Les lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.1 La contrainte de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Le fluide parfait. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Les fluides newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.4 Autres lois de comportement ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Les relations thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.1 Le gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2 Les liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 Le fluide barotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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7 Les conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.1 Sur le champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Sur la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3 La tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.4 Les conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8 Introduction au formalisme lagrangien ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.1 Les équations du mouvement en variables lagrangiennes . . . . . . . . . . . 418.2 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Chapitre 2 La statique des fluides1 Les équations de la statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 Équilibre dans un champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.1 Théorème de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Atmosphères en équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Liquide stratifié entre deux plaques horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4 Masses fluides autogravitantes en rotation ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Propriétés de la résultante des forces de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1 Théorème d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Centre de poussée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Poussée sur une paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Les équilibres régis par la tension superficielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.1 Quelques figures particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Équilibre d’un liquide mouillant un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 3 Écoulement des fluides parfaits1 Équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2 Autres formes de l’équation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2 Quelques propriétés du mouvement des fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1 Théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2 Le champ de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4 Théorème de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5 Influence de la compressibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Les écoulements irrotationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 Rôle de la topologie pour un écoulement irrotationnel . . . . . . . . . . . . . 783.3 Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4 Théorème de l’énergie cinétique minimale ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5 Analogie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.6 Écoulement plan potentiel d’un fluide incompressible . . . . . . . . . . . . . . 813.7 Forces exercées par un fluide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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Table des matières

4 Les écoulements tourbillonnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1 La dynamique de la vorticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 Écoulement généré par une distribution de vorticité : analogie avec le

magnétisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 Exemples d’écoulements tourbillonnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Chapitre 4 Écoulement des fluides visqueux incompressibles

1 Quelques propriétés générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.1 Rappel des équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.2 Le transport par la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.3 Loi de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2 Les écoulements rampants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.1 L’équation de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.2 Principe variationnel ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.3 Écoulement autour d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.4 Équation d’Oseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3 La théorie de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.1 Fluides parfaits et fluides visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.3 L’écoulement hors couche limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4 L’écoulement dans la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.5 Décollement de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.6 Exemple de couche limite laminaire : équation de Blasius. . . . . . . . . 127

4 Quelques exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.1 Écoulements de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.2 Pertes de charge dans une conduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3 Écoulements autour d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5 Forces exercées sur un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.1 Expression générale de la résultante des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.2 Coefficient de traînée et de portance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3 Exemple : la force de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Chapitre 5 Les ondes dans les fluides

1 Notions sur les perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451.1 Équation d’une perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451.2 Analyse d’une perturbation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1461.3 Les perturbations d’amplitudes finies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481.4 Ondes et instabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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2 Le son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.1 Équation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.2 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.3 Exemples de modes acoustiques dans les instruments à vent . . . . . . 151

3 Les ondes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.1 Les ondes de gravité superficielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.2 Les ondes capillaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4 Les ondes internes de gravité ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565 Les ondes de discontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.1 Propagation d’une perturbation en fonction du nombre de Mach . 1595.2 Équations d’une onde sonore d’amplitude finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.3 Équations des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.4 Exemple : l’onde de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.5 Conditions de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.6 Relations entre les quantités à l’amont et à l’aval d’un choc droit . 1655.7 Chocs forts et faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.8 Chocs radiatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.9 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6 Les ondes solitaires ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.1 L’équation de Korteweg et de Vries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.2 L’onde solitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.3 Analyse élémentaire de l’équation de Korteweg et de Vries . . . . . . . 1786.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828 Appendice : conditions de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Chapitre 6 La stabilité des écoulements1 Instabilité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1871.2 Exemple : l’instabilité gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1881.3 Instabilité spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2 Analyse linéaire d'instabilités globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.1 Instabilité centrifuge : critère de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1902.2 Instabilité de cisaillement des écoulements plan-parallèles . . . . . . . . 1922.3 Équation de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1942.4 Équation d’Orr-Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3 Quelques exemples d'instabilités célèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.1 Exemple : l’instabilité de Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.2 Instabilités connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.3 Les perturbations de l’écoulement de Couette plan . . . . . . . . . . . . . . . 2013.4 Cisaillement et stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.5 L’instabilité de Bénard-Marangoni ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

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Table des matières

4 L'interaction d'ondes ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.1 Énergie d’une onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.2 Application à l’instabilité de Kelvin-Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5 Le développement non-linéaire d'une instabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.1 Équations d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.2 Notions sur les bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.3 Instabilités d’amplitudes finies ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6 Les pertubations optimales ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.2 Les écoulements plan-parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.3 Etude d’un modèle simplifié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.4 Retour aux fluides : instabilités à croissance algébriques . . . . . . . . . . 2236.5 Les opérateur non-normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.6 Spectres, pseudo-spectres et résolvante d’un opérateur . . . . . . . . . . . 2256.7 Exemples de perturbations optimales dans les écoulements . . . . . . . 229

Chapitre 7 La convection thermique1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2352 L'équilibre conductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

2.1 Équilibre d’un gaz parfait entre deux plaques horizontales . . . . . . . . 2362.2 Le gradient adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372.3 La température potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

3 Deux approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2393.1 L’approximation de Boussinesq : présentation qualitative . . . . . . . . . 2393.2 Les développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403.3 Approximation anélastique ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4 L'absence d'équilibre : la baroclinicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.1 Convection entre deux plaques verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

5 L'instabilité de Rayleigh-Bénard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2505.1 Analyse qualitative de la stabilité - critère de Schwarzschild . . . . . . 2505.2 Évolution des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.3 Expression des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535.4 Critère de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2545.5 Les autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6 Les figures de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2586.1 Les perturbations tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2606.2 Les rouleaux de convection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.3 Autres figures de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7 Le domaine faiblement non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.1 Les conditions aux limites périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.2 Les petites amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2637.3 Dérivation de l’équation d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667.4 Le transport de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

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8 La convection à flux fixé ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.2 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2718.3 L’équation de Chapman-Proctor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2728.4 Propriétés de la convection faiblement super-critique . . . . . . . . . . . . . 274

9 La route vers la convection turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2769.1 Le modèle de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2769.2 Le domaine des très grands nombres de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Chapitre 8 Les fluides en rotation

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2831.1 Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2831.2 Les nombres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

2 L'écoulement géostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852.2 Théorème de Taylor-Proudman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

3 Les ondes dans les fluides en rotation ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2893.1 Les ondes inertielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2893.2 Les modes inertiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903.3 Les ondes de Rossby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

4 Les effets de la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.1 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.2 La solution dans la couche limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.3 Le pompage et la circulation d’Ekman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004.4 Exemple : Le spin-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

5 Les ouragans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3075.1 Présentation qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3075.2 Le régime stationnaire : une machine de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.3 La génèse des ouragans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Chapitre 9 La turbulence

1 Présentation du problème de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3151.1 Temps et longueur de corrélation : comment définir la turbulence 3151.2 Le problème de la fermeture des équations moyennes . . . . . . . . . . . . . 317

2 Les outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3182.1 Moyenne d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3182.2 Distribution et densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3182.3 Moments et cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192.4 Corrélations et fonctions de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3192.5 Les symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

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3 Les corrélations en deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3203.1 Les contraintes de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.2 Les corrélations doubles de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223.3 Les corrélations de vorticité et d’hélicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243.4 Les fonctions spectrales associées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243.5 Les spectres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3263.6 Le cas isotrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3273.7 Les corrélations triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

4 Les échelles de longueur de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3304.1 Échelles intégrales et de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3304.2 L’échelle de dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

5 La dynamique de la turbulence universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3325.1 La théorie de Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3325.2 La dynamique dans l’espace spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3365.3 La dynamique dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3375.4 Conclusions sur la théorie de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

6 L'intermittence ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416.2 Lois d’échelles des fonctions de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

7 Théories pour la fermeture des équations spectrales ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . 3477.1 La théorie EDQNM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3477.2 La DIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3487.3 Le groupe de Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

8 La turbulence inhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3498.1 Une courte revue des modèles de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3498.2 Exemples : jets et panaches turbulents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

9 La turbulence bidimensionnelle ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3589.1 Spectres et correlations doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3589.2 Conservation de l’enstrophie et cascade inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3599.3 La turbulence en présence de rotation ou de stratification . . . . . . . . 361

10 Conclusions sur la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

Chapitre 10 La magnétohydrodynamique1 Les approximations de la magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3692 Les équations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

2.1 Équations pour j et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3712.2 Les conditions aux limites sur le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . 3732.3 Equation de l’énergie en présence de champ magnétique . . . . . . . . . . 375

3 Quelques propriétés des écoulements MHD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3763.1 Le théorème du champ gelé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3763.2 Pression et tension magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3773.3 Le champ-sans-force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3783.4 La solution d’équipartition et les variables d’Elsässer . . . . . . . . . . . . . 379

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4 Les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3804.1 Les ondes d’Alfvén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3804.2 Les ondes magnétosonores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

5 Le problème de la dynamo ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3835.1 La dynamo cinématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3845.2 L’amplification du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3855.3 Quelques théorèmes anti-dynamo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3865.4 Un exemple : La dynamo de Ponomarenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3885.5 La dynamo turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3885.6 l’effet alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6 Appendice : équations du champ axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

Chapitre 11 Au delà de la Mécanique des Fluides :une introduction aux fondements statistiquesde la dynamique des gaz

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3952 Approche qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

2.1 Retour sur le milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3962.2 Interactions et collisions de particules. Notion de libre parcours moyen

3982.3 Vitesse des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3992.4 Le transport de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4002.5 Le transport de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4022.6 Le nombre de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4032.7 Comparaison avec l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

3 Concepts et questions pour une approche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4053.1 Notion de fonction de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063.2 Une équation pour la fonction de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

4 L'équation de Boltzmann ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4104.1 L’intégrale de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4124.2 L’équilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4164.3 Le libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

5 Equations du mouvement comme équations de champs moyens . . . . . . . . . 4185.1 Les quantités moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4185.2 Equation d’une quantité conservée par les collisions . . . . . . . . . . . . . . 4195.3 La quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4205.4 L’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

6 Fluide parfait et gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4237 La dynamique des gaz dans le régime newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

7.1 Vers Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4247.2 Le modèle BGK54 et la théorie de Chapman-Enskog . . . . . . . . . . . . . 4247.3 Expression du flux de chaleur et de la conductivité thermique . . . . 4267.4 La viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

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Table des matières

7.5 Comparaison à l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4308 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

Annexe A Compléments de mathématiques1 Notions sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4401.2 Le tenseur complètement antisymétrique [ϵ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

2 Le théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422.1 Énoncé et démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4422.2 Corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4432.3 Quelques conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

3 Rayons de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4443.1 Pour une courbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4443.2 Pour une courbe dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

4 La théorie de la couche limite en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4455 Le problème de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4476 Les équations aux dérivées partielles du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . 449

6.1 Les différents types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4496.2 Les courbes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4496.3 Une équation hyperbolique : l’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4526.4 Une équation parabolique : l’équation de diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . 4526.5 Une équation elliptique : l’équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

Annexe B Solutions des exercicesSolutions des exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Solutions des exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465Solutions des exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Solutions des exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473Solutions des exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476Solutions des exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Solutions des exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481Solutions des exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483Solutions des exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484Solutions des exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487Solutions des exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489Solutions des exercices des compléments de Mathématiques. . . . . . . . . . . . 490

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

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physiqueChapitre 1

Les bases de la mécaniquedes fluides

1. Un bref historique

La première pierre fut posée par Archimède (-287,-212), mathématicien et physiciende l’antiquité, qui énonça son fameux théorème, « tout corps plongé dans un fluidesubit une poussée de bas en haut égale au poids du volume de fluide déplacé ». C’est lecommencement de la statique des fluides. Les connaissances évoluèrent peu jusqu’auxtravaux d’Evangelista Torricelli (1608-1647) et Blaise Pascal (1623-1662). Torricelli fitune expérience célèbre en 1643, où il retourna un tube plein de mercure sur un récipientcontenant lui aussi du mercure. Le tube se vida un peu laissant une colonne de liquidede 76 cm de haut. Il mettait ainsi en évidence l’existence de la pression atmosphérique,la pesanteur de l’air et l’existence du vide (très discutée à l’époque). Pascal donnal’interprétation correcte de tous ces phénomènes dans son traité L’équilibre des liqueurspublié en 1663. La statique était donc pratiquement en place. La dynamique commençason développement avec Leonhard Euler (1707-1783) qui formula pour la premièrefois l’équation du mouvement d’un fluide non-visqueux. Daniel Bernoulli (1700-1782)contribua aussi à l’étude de la dynamique de ce type de fluides en s’intéressant à l’aspecténergétique du mouvement des fluides (théorème de Bernoulli).

La grande étape suivante fut la mise en équation des effets de la viscosité. Elle futréalisée au cours du XIXe siècle par Henri Navier (1785-1836), Georges Stokes (1819-1903) et Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869). Notons qu’Isaac Newton (1643-1727)avait déjà mis en évidence l’existence de la viscosité de manière expérimentale et alaissé son nom à une catégorie de fluides dits newtoniens. L’équation de Navier-Stokes,régissant le mouvement des fluides visqueux, fut formulée pour la première fois en 1822par Navier dans le cas où la viscosité est constante.

La mécanique des fluides prit alors diverses directions dont nous mentionneronsseulement les principales : l’étude de la stabilité des écoulements (H. Helmholtz (1868),Lord Kelvin (1910)), le transport de la chaleur par convection (W. Prout (1834), Rum-ford (1870), A. Oberbeck (1879), H. Bénard (1900), J. Boussinesq (1903), Lord Rayleigh

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(1916)), la turbulence (O. Reynolds (1883), L. Prandtl (1920), A. Kolmogorov (1940)),etc.

Depuis quelques décennies, les mécaniciens des fluides ont surtout travaillé sur lesproblèmes non-linéaires, où beaucoup de progrès ont été accomplis récemment ; mais laturbulence reste l’une des grandes questions non résolues de la physique contemporaine.

2. Le concept de fluide

2.1 DéfinitionsLes fluides regroupent un vaste ensemble de milieux matériels qui, pour les plus cou-rants, liquides et gaz usuels, ont la propriété d’être facilement déformables, l’état« fluide » s’opposant en cela à l’état « solide » bien que, comme nous le verrons, cetteopposition ne soit pas toujours très nette : un milieu matériel pouvant avoir, selonl’échelle de temps caractéristique de son mouvement, un comportement fluide ou so-lide.

Ce comportement est régi par une loi, dite loi de comportement, qui explicite lamanière dont se déforme le milieu lorsqu’il est soumis à une contrainte (i.e. une forcepar unité de surface). D’une manière assez générale, le milieu est dit fluide si lors d’unetransformation à volume constant, les contraintes ne dépendent que de la vitesse dedéformation. Nous reviendrons naturellement sur ces notions mais un exemple simpleva nous montrer ce que recouvre cette définition.

Considérons un récipient rempli d’eau à la surface de laquelle flotte un bouchon. Lebouchon se trouve en un point A de la surface et nous désirons l’amener en B. L’eauétant un fluide, la force que nous devons exercer pour déplacer le bouchon ne dépendque de la vitesse de déplacement. Cette force peut être rendue aussi petite que l’onveut : il suffit pour cela de réduire suffisamment la vitesse du bouchon.

D’un point de vue thermodynamique, on peut dire que les états A et B sont parfai-tement équivalents et indistinguables : l’énergie (et l’entropie) à apporter au systèmepour le faire passer de A à B peut être réduite à zéro. Au contraire si nous avions euaffaire à un solide (élastique), nous aurions dû fournir un travail fini pour déformer lesystème : l’énergie des deux états A et B serait différente.

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2.2 Les milieux continusPour décrire le mouvement d’un fluide nous n’allons pas bien entendu décrire le mouve-ment de chacun de ses atomes ou molécules. Nous considérerons uniquement le mouve-ment moyen de la matière, éliminant ainsi le déplacement propre de ses constituants 1.Nous ferons donc de la mécanique des milieux continus. Cette approximation ne sejustifie que si l’échelle L des phénomènes auxquels on s’intéresse, est grande devantcelle du mouvement des atomes (i.e. leur libre parcours moyen ℓ). Une telle conditionest mesurée par le nombre de Knudsen

Kn =ℓ

L(1.1)

qui doit donc être très petit par rapport à l’unité. L’étude des cas où Kn ≥ 1 constituele domaine de la dynamique des gaz raréfiés et est basée sur la théorie cinétique desgaz. On ne l’inclut généralement pas dans la mécanique des fluides.

On peut faire un parallèle entre la thermodynamique classique et la mécanique desmilieux continus ; en effet dans ces deux disciplines, on se refuse à faire une descriptionmicroscopique du milieu et seules les valeurs moyennes sont considérées. La contrepar-tie de cette simplification est que certaines grandeurs comme la capacité thermique(en thermodynamique) ou la viscosité (en mécanique des fluides), ou bien certainesrelations comme les équations d’état (en thermodynamique) ou la loi de comportement(en mécanique des milieux continus), restent indéterminées. Ces grandeurs ou ces re-lations doivent alors être déterminées soit expérimentalement, soit théoriquement àl’aide d’approches statistiques.

3. La cinématique des fluides

3.1 Notion de particule fluideTrès souvent dans nos raisonnements nous ferons intervenir la notion de particule fluideou encore d’élément fluide. Par cette terminologie nous entendrons un volume infini-tésimal du fluide ; ainsi, bien que de dimension infiniment petite, une particule fluidepossède-t-elle un volume et une surface. Cette surface est même d’une grande impor-tance physique puisque, contrairement au point matériel, une particule fluide pourrasubir grâce à elle, des forces de contact. Notons enfin qu’ainsi définie, la particule fluideest une limite mathématique qui idéalise le concept physique de volume élémentaire

1. La relation entre la description macroscopique du mouvement d’un fluide par la mécanique desfluides et la dynamique des atomes ou molécules le constituant est présentée dans le dernier chapitrede ce livre.

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de fluide : volume suffisamment petit pour que le fluide y ait des propriétés uniformesmais suffisamment grand pour que le nombre d’atomes ou de molécules y soit grand etque des quantités thermodynamiques comme la température y soient définies.

3.2 Description lagrangienne

Une première façon de décrire le mouvement du fluide consiste à décrire l’ensembledes trajectoires des particules fluides. Cette description porte le nom de descriptionlagrangienne. On peut la résumer à la connaissance de l’ensemble :

Dt = x(t, xA) | xA ∈ Dt0 , t ≥ t0

où Dt0 est l’ensemble des positions initiales à t = t0.On l’utilise dans les cas où les invariants attachés aux particules fluides (masse,

entropie, etc.) simplifient la formulation du problème. En particulier lorsque le fluide estdélimité par une surface libre, cette approche peut s’avèrer commode. Mais d’une façongénérale, sa mise en œuvre est complexe et fait appel à des notions mathématiques peurépandues ; nous reportons donc la présentation détaillée de l’approche lagrangienne àla fin de ce chapitre.

3.3 Description eulérienne

La manière la plus naturelle de représenter le mouvement d’un fluide est certainementcelle qu’adopte tout un chacun lorsqu’il décrit le mouvement de l’eau d’une rivière : entel endroit le courant est rapide, en tel autre il est à peine perceptible... Cette façon dedécrire le mouvement du fluide consiste en fait à donner le champ de vitesse en chaquepoint de l’espace, voire en fonction du temps. Si la fonction

v(x, y, z, t)

est connue alors nous savons tout du mouvement du fluide. Cette description est diteeulérienne. C’est la plus communément adoptée pour tous les problèmes et c’est elleque nous utiliserons principalement.

3.4 Dérivée particulaire

Nous aurons souvent à considérer l’évolution dans le temps d’une grandeur ϕ attachéeà une particule fluide lorsqu’on suit cette particule dans son mouvement.

Pour exprimer cette variation de ϕ, on calcule la dérivée totale

Dϕ

Dt

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dite encore dérivée particulaire ou dérivée lagrangienne (voir §8 de ce chapitre). ϕest une grandeur quelconque (scalaire, vecteur, tenseur ...) fonction des coordonnéesd’espace et du temps ϕ ≡ ϕ(x, y, z, t). Lorsque nous attachons ϕ au mouvement d’uneparticule fluide, les coordonnées x, y, z sont des fonctions du temps et

ϕ ≡ ϕ(x(t), y(t), z(t), t)

où x(t), y(t), z(t) représentent la trajectoire de la particule fluide. Maintenant

Dϕ = ϕ(t+ dt)− ϕ(t) =∂ϕ

∂tdt+

∂ϕ

∂xdx+

∂ϕ

∂ydy +

∂ϕ

∂zdz

=

(∂ϕ

∂t+ vx

∂ϕ

∂x+ vy

∂ϕ

∂y+ vz

∂ϕ

∂z

)dt

puisque (dx/dt, dy/dt, dz/dt) ne sont autres que les composantes de la vitesse de laparticule fluide dont on suit le mouvement. Nous avons donc

Dϕ

Dt=

∂ϕ

∂t+ vx

∂ϕ

∂x+ vy

∂ϕ

∂y+ vz

∂ϕ

∂z=

∂ϕ

∂t+ (v · ∇)ϕ (1.2)

Nous verrons que cette quantité revient très fréquemment dans les équations dumouvement d’un fluide. Le terme (v · ∇)ϕ est appelé terme d’advection et représente letransport de la quantité ϕ par le champ de vitesse v. Dans un écoulement stationnairece terme mesure la variation de ϕ le long d’une ligne de courant (ligne partout tangenteau vecteur vitesse).

Une autre illustration du rôle du terme d’advection est donnée par le cas où ϕ estune quantité conservée au cours du mouvement de chaque particule ; un observateurmesurant ϕ en un point fixe, observera les variations de cette quantité correspondantau passage des particules transportant chacune leur valeur de ϕ. Formellement, cela setraduit par

Dϕ

Dt= 0 ⇐⇒ ∂ϕ

∂t= −(v · ∇)ϕ

La seconde équation montre que la variation temporelle en un point de l’espace de laquantité ϕ est due seulement au terme d’advection qui caractérise le transport. Si v estuniforme alors toute fonction ϕ(r − vt) est telle que Dϕ/Dt = 0.

3.5 Déformation d'un élément fluideUn élément important du mouvement des particules fluides est ce qu’on pourrait ap-peler leur mouvement propre. En effet, nous avons vu qu’une particule fluide, bien quede taille infinitésimale, possède une surface et un volume. Elle peut donc se déformer sile champ de vitesse n’est pas uniforme. Considérons à cet effet une particule fluide pa-rallélépipédique caractérisée par le vecteur ξ (voir figure 1.1) et exprimons la variationde ξ au cours du mouvement. Nous aurons

ξ + δξ = ξ + (v(x+ ξ)δt− v(x)δt)

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FIG 1.1 Évolution d'un élément fluide.

ξ

ξ + δξ

v(x)

δt

v(x+

ξ)δt

ξ étant supposé très petit par rapport à x, on développe au premier ordre,

v(x+ ξ) = v(x) + (ξ · ∇)v +O(ξ2)

et doncδξ = (ξ · ∇)v δt (1.3)

ou encore, en notation indicielle 2

δξi = ξj∂jvi δt

Nous voyons ici apparaître le tenseur « gradient de vitesse » dont les composantessont ∂ivj . Comme tout tenseur du second ordre celui-ci peut se décomposer en unepartie symétrique et une partie antisymétrique :

∂ivj =1

2(∂ivj + ∂jvi) +

1

2(∂ivj − ∂jvi) = sij + aij

Ces deux parties jouent des rôles très différents. Commençons par la partie antisymé-trique. Notons tout d’abord qu’elle ne possède que trois composantes indépendantes(a12, a23, a31) non nulles. On peut les transformer de manière à faire apparaître lerotationnel de la vitesse. On procède ainsi :

aij =1

2(∂ivj − ∂jvi) =

1

2(δikδjl − δilδjk)∂kvl =

1

2ϵijmϵmkl∂kvl

2. Nous utiliserons souvent ces notations qui sont commodes. Dans les « Compléments de mathé-matiques » (annexe A) se trouve un résumé de ce qu’il faut savoir pour « lire » la suite.

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aij =1

2ϵijm(

−−→Rot v)m (1.4)

où nous avons introduit le symbole de Kronecker δij et le pseudo-tenseur complètementantisymétrique ϵijk (voir les complément de mathématiques en § 1.2). L’expression (1.4)montre que les trois composantes (a12, a23, a31) ne sont en fait que les trois composantesdu rotationnel de v (au facteur 1/2 près) puisque, rappelons-le, ϵijk est soit 0, soit ±1.La signification physique de [a] est donc liée à celle du rotationnel. On la découvre encalculant la variation de ξ associée à la partie antisymétrique [a]

δξi = ξjajiδt =1

2ϵjimξj(

−−→Rot v)mδt =(1

2(−−→Rot v) ∧ ξ

)i

δt

Cette expression montre que la variation de l’élément fluide associée à aij n’estautre qu’une rotation solide locale dont la vitesse angulaire est

Ω =1

2

−−→Rot v

aij ne représente pas une déformation de l’élément fluide, mais une simple rotation enbloc. Ce résultat nous donne donc la signification physique du champ de vecteur −−→Rot v,encore appelé vorticité, et justifie l’appellation de « rotationnel » pour l’opérateur −−→Rot.

Ce qui précède montre que la déformation des éléments fluides vient de la par-tie symétrique sij qu’on appellera désormais tenseur des déformations. Ceci apparaîtnaturellement dès lors qu’on calcule la variation de longueur de ξ. En effet,

δ(ξ 2) = 2ξiδξi = 2ξiξj∂ivjδt = 2ξiξjsjiδt

où nous avons utilisé le fait que ξiξjaij = 0 puisque aij est antisymétrique et ξiξj estsymétrique. Ainsi seul [s] contribue à la variation de la longueur de ξ et donc à ladéformation. Afin d’expliciter un peu plus le rôle de ce tenseur, nous allons utiliser unebase de projection où [s] est diagonale (cela est toujours possible puisque [s] est symé-trique). Dans cette nouvelle base la variation de ξ associée à [s] s’exprime simplementpar :

δξi = ξjsjiδt = ξisiiδt

où il n’y a pas de sommation sur les indices dans la dernière égalité. Cette équationmontre que l’élément fluide est étiré dans la direction i si sii > 0, ou contracté sisii < 0. On peut alors calculer au premier ordre sa variation de volume

δV = (ξ1 + δξ1)(ξ2 + δξ2)(ξ3 + δξ3)− ξ1ξ2ξ3 = ξ1ξ2ξ3

(δξ1ξ1

+δξ2ξ2

+δξ3ξ3

)+O(δξ2)

= ξ1ξ2ξ3(s11 + s22 + s33)δt+O(δξ2)

comme s11 + s22 + s33 = Tr([s]) = sii = div v, (Tr([s]) est la trace de [s]) alors

δV

V= (div v)δt (1.5)

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La trace du tenseur des déformations, donc la divergence du champ de vitesse, représentela dilatation (div v > 0 ) ou la contraction (div v < 0) des éléments fluides. Cetteconclusion est indépendante de la base que nous avons utilisée puisque la trace est uninvariant dans les changements de base.

3.6 Les fluides incompressiblesL’hypothèse d’un fluide à masse volumique constante 3 joue un rôle important en mé-canique des fluides par la simplification qu’elle apporte dans l’analyse des écoulements.

Physiquement, on modélise ainsi non seulement les liquides qui, par nature, sontfaiblement compressibles, mais aussi de nombreux écoulements de gaz lorsque les va-riations de masse volumique sont petites (voir §2.5).

Cette simplification tient essentiellement au fait que, comme nous l’avons déjà vuen §3.5, le champ de vitesse d’un fluide incompressible vérifie nécessairement :

div v = 0 (1.6)Les particules fluides ne peuvent en effet ni se contracter ni se dilater. C’est la rela-tion essentielle que vérifient tous les écoulements où les variations de masse volumiquepeuvent être négligées. Nous retrouverons plus loin cette relation à partir de l’équationde conservation de la masse.

3.7 Évolution d'une quantité intégrale entraînée parle fluide

Il nous arrivera plusieurs fois par la suite de devoir exprimer l’évolution au cours dutemps d’une grandeur donnée (masse, quantité de mouvement, énergie) associée à undomaine fluide D (volume, surface, ligne). Dans le cas où la vitesse des points de D està chaque instant égale à celle du fluide qui le compose, on dit que D est un domainematériel et ce sont toujours les mêmes particules fluides qui le constitue. Ce domainereprésenterait en quelque sorte une particule fluide macroscopique.

Nous aurons ainsi besoin d’exprimer la dérivée temporelle d’une quantité f intégréesur un domaine matériel. Prenons pour commencer le cas d’une quantité volumique ; ilnous faut exprimer

d

dt

∫V (t)

f(r, t)dV

en fonction des dérivées locales de f . Pour cela on écrira

d

dt

∫V (t)

f(r, t)dV =

∫V (t+dt)

f(r + dr, t+ dt)dV ′ −∫V (t)

f(r, t)dV

dt(1.7)

3. C’est par abus de langage que ce type de fluide est dit incompressible (on devrait dire iso-chore), puisque la masse volumique pourrait être indépendante de la pression tout en dépendant de latempérature.

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On développe alors la première intégrale au premier ordre en dt et puisqu’on suit lemouvement dr = vdt. Cela nous donne

f(r + dr, t+ dt) = f(r, t) +Df

Dtdt

Cependant V (t+ dt) est différent du volume V (t) car le champ de vitesse l’a déformé.Pour tenir compte de cette déformation on fera l’intégration sur V (t) mais avec unélement de volume dV ′ « déformé ». Pour un petit volume on peut écrire d’après (1.5)

dV ′ = dV + dV div v dt = dV (1 + div v dt)

En reportant dans (1.7) on trouve finalement que

d

dt

∫V (t)

f(r, t)dV =

∫V (t)

(Df

Dt+ f div v

)dV =

∫V (t)

(∂f

∂t+ div(fv)

)dV (1.8)

Refaisons le même exercice avec un contour entraîné par le fluide. On veut donc

d

dt

∮C(t)

A(r, t) · dl

Procédant de la même manière que précédemment, on est amené à considérer la varia-tion de l’élément de longueur dl qui au temps t + dt se sera modifié suivant la mêmeloi que notre vecteur ξ en (1.3) ; ainsi

dl′ = dl + (dl · ∇)vdt

On trouve alors que

d

dt

∮C(t)

A(r, t) · dl =∮C(t)

(DA

Dt· dl + A · (dl · ∇)v

)(1.9)

Cette expression est plus maniable si on utilise les notations indicielles :

d

dt

∮C(t)

A(r, t) · dl =∮C(t)

(DAiDt

+Aj∂ivj

)dli (1.10)

expression que nous remanions en notant que Aj∂ivj = ∂i(Ajvj) − vj∂iAj et que∂jAi − ∂iAj = ϵjik(

−−→Rot A)k. Il vient alors

d

dt

∮C(t)

A(r, t) · dl =∮C(t)

(∂Ai∂t

− (v ∧ −−→Rot A)i)dli (1.11)

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3.8 Fonction de courantNous venons de voir que le champ de vitesse d’un écoulement de fluide incompressibleest à divergence nulle (1.6). Lorsqu’une des composantes de la vitesse est constammentnulle dans une direction donnée, l’écoulement est plan. Si x et y sont les coordonnéesd’un point du plan, on montre (voir exercice 1.3) que (1.6) équivaut à l’existence d’unefonction ψ(x, y, t) telle que

vx =∂ψ

∂y, vy = −∂ψ

∂x(1.12)

encore appelée fonction de courant. La détermination d’un écoulement bidimensionnelse ramène donc à la seule détermination de cette fonction. L’appellation fonction decourant vient de ce que la vitesse v est tangente aux courbes ψ=Cte qui représententdonc les lignes de champ de la vitesse ou lignes de courant. En effet, le long d’une telleligne

dψ = 0 ⇐⇒ ∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy = 0 ⇐⇒ −vydx+ vxdy = 0

⇐⇒∣∣∣∣ vx dxvy dy

∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ v parallèle à dl

Lorsque l’écoulement est tridimensionnel, le concept de fonction de courant esttoujours utile mais cette fois deux fonctions sont nécessaires. Cela se comprend aisémentpuique la vitesse ayant trois composantes liées par la relation div v = 0, deux fonctionsscalaires seront nécessaires pour décrire v. En toute généralité on peut écrire

v =−−→Rot(χa) +−−→Rot−−→Rot(ψa)

Dans cette expression le choix du vecteur a n’est pas imposé. En géométrie sphériquepar exemple, on choisit pour a le vecteur radial r. On appelle alors le premier termechamp toroïdal ; les lignes de courant de vT =

−−→Rot(χr) sont en effet inscrites sur untore. Le deuxième terme est appelé champ poloïdal ; ses lignes de courant ne sont pasen général confinées à une surface sauf dans le cas où le champ est axisymétrique. Ellesappartiennent alors à un plan méridien φ=Cte.

4. Les lois du mouvementAprès avoir présenté les différentes quantités qui permettent de décrire les mouvementsd’un fluide nous allons maintenant établir les lois qui gouvernent l’évolution de cesmêmes quantités. Ces lois dérivent des principes généraux de la physique : conservationde la masse, de l’énergie et de la quantité de mouvement.

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4.1 Conservation de la masse

Équation de continuité

Soit un volume de fluide V, fixe, dont la masse est

M =

∫(V )

ρ dV ;

sa variation au cours du temps provient du flux de masse (ρv) traversant la surface (S)délimitant (V) ; on notera dS l’élément de surface orienté par la normale extérieure n,dS = ndS ; on a

dM

dt= −

∫(S)

ρv · dS ⇐⇒∫(V )

∂ρ

∂tdV = −

∫(V )

div ρv dV (1.13)

Noter que le signe − dans (1.13) vient de l’orientation choisie pour (S). Cette égalitéétant vraie quel que soit le volume (V), on en déduit

∂ρ

∂t+ div ρv = 0 (1.14)

qui exprime localement la conservation de la masse. Cette équation est aussi connuesous le nom d’équation de continuité. On peut l’écrire encore en utilisant la dérivéeparticulaire introduite précédemment

Dρ

Dt= −ρdiv v (1.15)

qui montre que la variation de masse volumique de l’élément fluide résulte de la varia-tion de son volume (puisque sa masse est constante).

Les équations (1.14) et (1.15) peuvent être obtenues directement à partir de (1.8)en utilisant un volume entraîné par le fluide et en faisant f = ρ. On remarquera que leterme de flux

∫(S)ρv · dS disparaît.

On retrouve avec ces relations (en faisant ρ =Cte), l’équation (1.6) vérifiée par lesfluides incompressibles.

Dérivée particulaire avec conservation de la masse

Le plus souvent, les quantités physiques (énergie, quantité de mouvement ...) ne sontpas attachées au volume des éléments fluides mais à leur masse dm = ρdV , si bienqu’en faisant un bilan sur un volume fixe (V) donné, on devra toujours tenir comptedu flux de cette quantité à travers la surface (S), dû au flux de masse. De manièregénérale, soit ϕ une telle quantité, Sϕ les sources volumiques de ϕ, on a

Variations de ϕ dans V = ϕ sortant transporté par v + Sources de ϕ

⇐⇒ d

dt

∫(V )

ρϕ dV = −∫(S)

ρϕ v · dS +

∫(V )

Sϕ dV

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On remanie cette expression en :∫(V )

∂ρϕ

∂tdV = −

∫(V )

div(ρϕv)dV +

∫(V )

Sϕ dV

⇐⇒∫(V )

(ϕ∂ρ

∂t+ ρ

∂ϕ

∂t

)dV = −

∫(V )

(ϕdiv ρv + ρv · ∇ϕ)dV +

∫(V )

Sϕ dV

En utilisant l’équation de continuité, on en déduit que∫(V )

ρ∂ϕ

∂tdV +

∫(V )

ρv · ∇ϕ dV =

∫(V )

Sϕ dV (1.16)

soit ∫(V )

ρDϕ

DtdV =

∫(V )

Sϕ dV (1.17)

ou bien, localement,ρDϕ

Dt= Sϕ (1.18)

Nous verrons que les équations de la quantité de mouvement, de l’énergie interne ou del’entropie ont toutes cette structure. ϕ désigne alors la vitesse (quantité de mouvementpar unité de masse), l’énergie interne massique ou l’entropie massique 4.

Redérivons maintenant l’équation (1.18) en utilisant un volume toujours constituédes mêmes particules fluides ; on a

Variations de ϕ dans V = Sources de ϕ

⇐⇒ d

dt

∫V (t)

ρϕ dV =

∫V (t)

Sϕ dV

Mais d’après (1.8)

d

dt

∫V (t)

ρϕ dV =

∫V (t)

(Dρϕ

Dt+ ρϕdiv v

)dV =

∫V (t)

[ϕ

(Dρ

Dt+ ρdiv v

)+ ρ

Dϕ

Dt

]dV

=⇒ d

dt

∫V (t)

ρϕ dV =

∫V (t)

ρDϕ

DtdV (1.19)

En utilisant la conservation de la masse (1.15), on retrouve immédiatement (1.18). Onnotera que cette dérivation est plus directe et nous n’utiliserons qu’elle par la suite.

4. On trouvera aussi dans la littérature la terminologie d’« entropie spécifique » qui désigne aussil’entropie par unité de masse.

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4.2 Conservation de la quantité de mouvement

Le principe fondamental de la mécanique implique que la variation de quantité demouvement d’un domaine matériel doit être égale à la somme des forces extérieuresqui s’exercent sur lui. Ces forces sont de deux types : des forces volumiques ou dechamp (comme la pesanteur) et des forces de contact (comme la pression) agissant surla surface du domaine matériel. Ce sont ces dernières forces que nous allons maintenantexaminer.

Le tenseur des contraintes [σ]

Les forces de contact sont spécifiques à la mécanique des milieux continus. Leur exis-tence traduit de nouveau le fait que les particules fluides ne sont pas des points matérielsmais de petits volumes dotés d’une surface sur laquelle ces forces s’exercent. Considé-rons une surface élémentaire dS sur laquelle s’exerce la force df ; ces deux vecteurssont liés par la relation :

df = [σ]dS (1.20)

ou, en notation indicielle,dfi = σijdSj (1.21)

Nous définissons ainsi le tenseur des contraintes [σ] et par la même occasion lacontrainte T = [σ]n exercée en un point d’une surface. La contrainte est une force parunité de surface. On fait alors l’hypothèse que [σ] ne dépend que des propriétés localesde l’écoulement 5.

Montrons maintenant qu’il est symétrique. Si (S) est une surface enveloppant unvolume (V) de fluide quelconque, nous remarquons que la résultante des forces decontrainte sur (S) peut aussi s’écrire comme une résultante de forces volumiques puisque∫

(S)

σijdSj =

∫(V )

∂jσijdV

Ainsi, à une contrainte peut toujours être associée une force volumique. Si nousraisonnons au niveau local, c’est-à-dire au niveau d’un élément fluide, l’identité pré-cédente établit simplement que la résultante des forces de contact sur une particulefluide est égale à la divergence du tenseur des contraintes. Considérons maintenant lemoment des forces de contrainte par rapport à un point origine ; celui-ci peut s’écrire

mi =

∫(S)

(r ∧ df

)i=

∫(S)

(r ∧ [σ]dS

)i

5. Ceci implique en particulier que le tenseur des contraintes est indépendant de la surface surlaquelle on calcule la contrainte, c’est-à-dire indépendant de son orientation n et de ses rayons decourbure. Ce ne serait pas le cas si la surface en question était le siège de tensions comme cellesapparaissant sur la surface séparant un liquide d’un gaz (voir (1.79)).

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mi =

∫(S)

ϵijkxjσkldSl =

∫(V )

∂l(ϵijkxjσkl)dV (1.22)

Ce moment peut aussi s’exprimer avec la force volumique associée à la contrainte

mi =

∫(V )

(r ∧ −−→

Div[σ])idV =

∫(V )

ϵijkxj∂lσkldV (1.23)

où nous avons introduit la divergence −−→Div du tenseur [σ] telle que

(−−→Div[σ]

)i= ∂jσij .

On notera qu’en écrivant (1.23) on a supposé que le fluide, comme tous les fluidesusuels, ne possède pas de densité volumique de moment (laquelle devrait être rajoutéeà r ∧ −−→

Div[σ] si nécessaire).L’égalité des deux expressions (1.22) et (1.23) implique

∂l(ϵijkxjσkl) = ϵijkxj∂lσkl ⇐⇒ ϵijkδljσkl + ϵijkxj∂lσkl = ϵijkxj∂lσkl

⇐⇒ ϵijkσkj = 0

ce qui est équivalent à la symétrie du tenseur des contraintes (voir compléments demathématiques)

σij = σji (1.24)

Équation de la dynamique

La variation de la quantité de mouvement P d’un domaine matériel entraîné par lefluide s’écrira donc

dP

dt=

d

dt

∫(V )

ρvdV =

∫(V )

fdV +

∫(S)

[σ]dS

ou encore

Variation de P = Résultante des forces volumiques+ Résultante des forces de contraintes exercées sur (S)

En utilisant le théorème de la divergence et la transformation (1.17)∫(V )

Dv

DtρdV =

∫(V )

fdV +

∫(V )

−−→Div[σ]dV

soit localementρDv

Dt=

−−→Div[σ] + f (1.25)

Cette équation n’est autre que la loi fondamentale de la dynamique appliquée à unélément de volume du fluide. Nous noterons au passage que l’expression de l’accélération

a =Dv

Dt=∂v

∂t+ (v · ∇)v

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n’est autre que la dérivée particulaire de la vitesse. Cette expression de l’accélérationpeut être obtenue plus intuitivement en considérant une particule fluide dont on suitla trajectoire (x(t), y(t), z(t)) ; sa vitesse (x, y, z), à l’instant t où la particule est en(x, y, z) n’est autre que la vitesse du fluide v(x, y, z, t). La vitesse de la particule le longde sa trajectoire est donc v(x(t), y(t), z(t), t) et son accélération :

dv

dt=∂v

∂x

dx

dt+∂v

∂y

dy

dt+∂v

∂z

dz

dt+∂v

∂t

Comme au point considéré (x, y, z) = v, on en déduit

dv

dt= vx

∂v

∂x+ vy

∂v

∂y+ vz

∂v

∂z+∂v

∂t=∂v

∂t+ (v · ∇)v =

Dv

Dt

qui montre que la dérivée particulaire de la vitesse est bien l’accélération d’une particulefluide.

Le terme (v · ∇)v peut aussi se mettre sous la forme (v · ∇)v = (−−→Rot v)∧ v+ ∇1

2 v2

(voir A.42) et donc l’accélération s’écrit aussi

Dv

Dt=∂v

∂t+ (

−−→Rot v) ∧ v + ∇1

2v 2 (1.26)

L’étape suivante nous conduit maintenant à nous intéresser au terme de contrainte.En effet, si le terme de force volumique f dépend essentiellement du problème que l’ontraite (force de gravité, force électromagnétique ...), le terme de contrainte est toujoursprésent. Il représente les forces de contact entre les éléments fluides, qui vont dépendrede la nature physique du fluide.

L’expression de [σ] en fonction des diverses caractéristiques du fluide est appelée loide comportement ou équation rhéologique d’état du fluide ; elle est intimement liée à sanature microscopique. Le tenseur des contraintes décrit en effet l’interaction locale desparticules fluides et en particulier leur échange de quantité de mouvement. On peutdonc imaginer que la loi de comportement résulte de manière générale d’un calcul dephysique statistique. Nous examinerons en détail les lois de comportement en §5.

4.3 Conservation de l'énergieL’équation de l’énergie s’établit à partir du premier principe de la thermodynamiqueappliqué à un domaine matériel entraîné par le fluide. Le bilan d’énergie s’exprime ainsi

d

dt

∫(V )

ρ(1

2v2 + e)dV =

∫(V )

f · vdV +

∫(S)

viσijdSj −∫(S)

F · dS +

∫(V )

QdV

où e est l’énergie interne massique 6, F est la densité surfacique de flux de chaleurd’origine microscopique et Q la puissance des sources de chaleur locales. Ces sources

6. L’existence de l’énergie interne suppose que le fluide se trouve localement en équilibre ther-modynamique. Nous aurons l’occasion de revenir sur ce point lorsque nous discuterons des lois decomportement.

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peuvent provenir, par exemple, de réactions chimiques (combustion) ou nucléaires (àl’intérieur des étoiles), ou encore de la condensation d’une vapeur (condensation de lavapeur d’eau dans les nuages).

Avec des mots, l’équation précédente s’écrit

La variation d’énergie (cinétique + interne) par unité de temps =Puissance des forces volumiques + Puissance des forces de contraintes

+ Flux de chaleur d’origine microscopique+ Puissance des sources de chaleur locales

En transformant les intégrales de surface en intégrales de volume et en utilisant (1.17)∫(V )

ρD( 12v

2 + e)

DtdV = −

∫(V )

div F dV +

∫(V )

f · vdV +

∫(V )

∂j(viσij)dV +

∫(V )

QdV

Le volume étant quelconque, on en déduit l’équation locale

ρD( 12v

2 + e)

Dt= −div F + f · v + ∂j(viσij) +Q (1.27)

Équation pour l’énergie interne

Afin d’obtenir une équation pour l’énergie interne nous allons éliminer l’énergie ciné-tique massique 1

2v2 dont on obtient l’équation d’évolution en multipliant scalairement

l’équation de la quantité de mouvement (1.25) par v ; ainsi

ρD( 12v

2)

Dt= f · v + vi∂jσij (1.28)

qui n’est que l’expression du théorème de l’énergie cinétique appliqué à une particulefluide. Nous en déduisons que

ρDe

Dt= −div F + σij∂jvi +Q (1.29)

qui exprime localement le premier principe de la thermodynamique : la variation d’éner-gie interne d’une particule fluide est égale à la quantité de chaleur reçue (−div F +Q)plus le travail des forces de contraintes σij∂jvi. On remarquera que ce travail ne dépendque de la déformation locale [s] puisque [σ] est symétrique, σij∂jvi = σijsij .

Équation pour l’entropie

Plutôt que d’utiliser l’énergie interne pour exprimer la conservation de l’énergie, on asouvent recours à l’entropie. Si nous exprimons l’énergie interne en fonction de l’entro-pie, nous avons

de = Tds− PdV = Tds+ Pdρ/ρ2

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Ces égalités faisant intervenir uniquement des dérivées totales, elles peuvent être trans-posées directement en dérivées particulaires :

De

Dt= T

Ds

Dt+P

ρ2Dρ

Dt

d’où on déduit, en utilisant la conservation de la masse (1.14),

TρDs

Dt= −div F + σij∂jvi + P div v +Q (1.30)

Cette équation exprime que la variation d’entropie des particules fluides est le ré-sultat des sources de chaleur présentes à l’intérieur de l’élément fluide plus le flux dechaleur résultant de son contact thermique avec les autres éléments (voir 1.47).

5. Les lois de comportementLes équations du mouvement que nous venons d’établir (1.14), (1.25), (1.29) ou (1.30)doivent maintenant être complétées par les expressions du tenseur des contraintes [σ]

et de la densité surfacique de flux de chaleur F en fonction des quantités que nousutilisons pour décrire le système (vitesse, température, masse volumique ...). Ces re-lations s’appellent les lois de comportement (mécaniques pour [σ] et thermiques pourF ) et s’appuient sur la physique microscopique du milieu. L’étude de ces lois consti-tue en fait une véritable branche de la physique, la rhéologie, où les solides sont aussianalysés. Nous présentons ici les quelques points fondamentaux nécessaires à l’étudedu mouvement des fluides.

5.1 La contrainte de pression

Afin de préciser l’expression de [σ], nous allons considérer d’abord le cas simple d’unfluide homogène et isotrope en équilibre thermodynamique. L’isotropie du fluide et lefait que le tenseur des contraintes ne dépende que de ses propriétés locales, imposentque les valeurs propres de [σ] (qui est toujours diagonalisable puisque symétrique)soient les mêmes pour les trois directions d’espace. Donc

σij = −Pδij

où P est une fonction scalaire qu’on identifie à la pression. On peut se demander siainsi définie, la pression est bien celle dont on a l’habitude de parler en thermodyna-mique c’est-à-dire la variable intensive associée au volume. Pour vérifier cela, il suffitde reprendre l’équation de l’énergie interne (1.29) en négligeant F et Q. La variation

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FIG 1.2 La force de pression

dS

−PdS

d’énergie interne δe pour un très petit volume ∆V pendant un intervalle de temps δtest

∆V ρδe = σij∂ivj∆V δt = −P div v∆V δt = −Pδ(∆V )

où nous avons utilisé la relation (1.5). Comme ρ∆V est la masse ∆m du petit vo-lume, δ(∆V )/∆m est la variation du volume massique pendant la transformation. Enpassant à la limite d’une transformation infinitésimale, on en déduit la relation dethermodynamique classique −P = ∂e

∂v où v est le volume massique.La force volumique associée est

fi = ∂jσij = −δij∂jP = −∂iP = −(∇P )i

La force volumique de pression est donc l’opposée du gradient de pression.

5.2 Le fluide parfait

Le résultat précédent nous amène à considérer le cas des fluides où la contrainte serésume à la seule contrainte de pression. Ce type de fluide est appelé fluide parfait oufluide non-visqueux ; nous verrons qu’un tel fluide est une idéalisation des fluides réels.

Si nous reprenons l’équation de la quantité de mouvement (1.25), nous obtenonspour le fluide parfait soumis à aucune force extérieure :

ρDv

Dt= −∇P (1.31)

Cette équation est connue sous le nom d’équation d’Euler.L’autre propriété essentielle du fluide parfait est qu’il ne conduit pas la chaleur. La

densité de flux de chaleur F est donc nulle. S’il n’y a aucune source de chaleur (Q = 0),

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Les unités de pression ou de contrainteLa pression et plus généralement la contrainte s’exprime en pascals mais on la trouvera parfoisexprimée dans d’autres unités ; voici un petit mémo pour s’y retrouver.

– Le pascal (Pa) est l’unité du système international ; il exprime la contrainte exercée parune force de 1 newton sur 1 mètre carré. C’est une quantité plutôt petite puisque lapression atmosphérique est de l’ordre de 105 Pa.

– Le bar = 105 Pa est un multiple de l’ordre de grandeur de la pression atmosphérique.– Le millibar =100 Pa était l’unité la plus utilisée en météorologie et est maintenant

remplacée par l’hectopascal.– La barye = 0.1 Pa est l’unité de pression du système CGS et représente une dyne par

centimètre carré.– L’atmosphère =101325 Pa est une unité un peu ancienne qui vaut la pression atmosphé-

rique moyenne au niveau de la mer.– Le kilogramme force par centimètre carré : ancienne unité qui a été très utilisée dans

l’industrie. C’est la pression exercée sur un centimètre carré par une masse de 1kg dansle champ de pesanteur. Donc 1 kgf/cm2 ≃ 98100 Pa soit environ 1 bar.

– Le torr ou millimètre de mercure : c’est la pression exercée par une couche de mercurede 1 mm d’épaisseur dans le champ de pesanteur. 1 torr = ρHgg×1mm = 13595×9.8×0.001 ≃ 133.3 Pa. 760 torr ∼ 1 atm.

– Plus exotique la pound per square inch = psi est une unité qu’on trouve souvent dansles ouvrages anglo-saxons. C’est l’équivalent de notre kgf/cm2. 1psi = 6894,7 Pa

l’équation pour l’énergie interne (1.29) devient

ρDe

Dt= −P div v (1.32)

et celle pour l’entropieDs

Dt= 0 (1.33)

Cette dernière relation nous montre que l’entropie des particules d’un fluide parfaitest constante. Nous touchons là une première loi de conservation propre au mouvementdes fluides parfaits. Nous reviendrons en détail sur les conséquences de cette loi et plusparticulièrement sur celles de l’équation d’Euler au chapitre 3.

5.3 Les fluides newtoniens

Les coefficients de viscosités

L’expérience première que tout un chacun a du mouvement des fluides montre quecertains fluides s’écoulent plus facilement que d’autres. Un récipient rempli d’eau sevide plus aisément qu’un autre rempli de miel, bien que les masses volumiques des deuxfluides soient voisines. Le mouvement du fluide réel est donc fonction d’une caracté-ristique intrinsèque qui traduit l’aptitude des particules fluides à glisser les unes sur

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les autres. Cette caractéristique est communément appelé viscosité du fluide. Elle setraduit par l’apparition d’une force de surface, donc d’une contrainte, qui va s’ajouterà celle de pression. On exprimera donc les composantes du tenseur des contraintes ausein d’un fluide sous la forme

σij = −Pδij + σviscij

Afin de déterminer l’expression de ce nouveau terme, nous allons considérer un fluideque nous supposerons initialement en équilibre (mécanique et thermodynamique). Onperturbe alors cet équilibre et le fluide se met en mouvement. Nous supposerons que lesperturbations sont petites et que le fluide reste proche de son état d’équilibre. Il nousfaut maintenant choisir la quantité qui va caractériser l’écoulement en tant qu’écart àl’équilibre. L’écoulement est décrit par le champ de vitesse, mais la vitesse elle-mêmene peut caractériser l’état hors équilibre du fluide : si elle est uniforme, il suffit d’unchangement de repère pour retrouver un état d’équilibre. Ce qui caractérise l’écart àl’équilibre sera donc la non-uniformité de la vitesse : autrement dit ses dérivées. Onpourrait donc choisir ∂ivj . Ceci n’est pourtant pas encore satisfaisant. En effet, nousavons vu (cf § 3.5) que ∂ivj pouvait être décomposé en une partie symétrique sij etune partie anti-symétrique aij . Supposons que le mouvement du fluide soit tel quesij = 0 et aij = 0. On vérifiera aisément (cf exercice 1.5) qu’un tel mouvement estalors nécessairement de la forme v = Ω ∧ r + v0, c’est-à-dire la composition d’unetranslation et d’une rotation solide. Il existe donc ici encore un repère où le fluide està l’équilibre. Nous ne pouvons donc utiliser aij comme mesure de l’écart à l’équilibre.Nous choisirons donc sij et écrirons :

σij ≡ fij(skl)

Les six fonctions fij sont inconnues a priori et dépendent des propriétés locales dufluide. Une première simplification possible est d’utiliser le fait qu’on est proche d’unétat d’équilibre donc que les taux de déformation sont faibles ; on peut alors faire undéveloppement limité des fij au voisinage de zéro :

σij = fij(0) + Lijklskl + · · · (1.34)

avecLijkl =

(∂fij∂skl

)([s]=0)

fij(0) est la valeur de la contrainte lorsque le fluide est à l’équilibre, elle est doncégale à −Pδij . Le tenseur de rang 4, [L], caractérise le fluide à l’équilibre que noussupposons, comme précédemment, isotrope. Le seul tenseur du quatrième ordre isotropeet symétrique en ij et kl a la forme suivante :

Lijkl = µ(δikδjl + δjkδil) + λδijδkl (1.35)

où µ et λ sont deux coefficients scalaires caractéristiques de l’état d’équilibre du fluide.On en déduit alors

σij = −Pδij + 2µsij + λskkδij

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TAB 1.1 Coefficients de diffusion et nombre de Prandtl de quelques fluides à unetempérature de 20C (données de sources diverses)

Fluide µ (Pa s) ν (m2 s−1) χ (W m−1K−1) Pair 1.8 10−5 1.5 10−5 0.026 0.71

H2 8.9 10−6 1.0 10−4 0.19 0.69

eau 1.0 10−3 1.0 10−6 0.6 7.0

Ethanol 1.2 10−3 1.5 10−6 0.18 16

Glycérine 1.3 1.0 10−3 0.28 104

Huile d'olive 0.1 1.0 10−4 0.17 1400

Mercure 1.55 10−3 1.14 10−7 8.7 0.025

⇐⇒ σij = −Pδij + µ(∂ivj + ∂jvi) + λ(∂kvk)δij

En général, on écrit [σ] sous une forme équivalente

σij = −Pδij + µ

(∂ivj + ∂jvi −

2

3(∂kvk)δij

)+ ζ(∂kvk)δij (1.36)

nous avons alors λ = ζ − 2/3µ. µ est appelé coefficient de viscosité dynamique decisaillement et ζ coefficient de viscosité dynamique de volume. λ est aussi appelé secondeviscosité. Ces coefficients s’expriment en pascal seconde aussi appelé poiseuille ; on aPa s ≡ kg m−1 s−1. Nous remarquons aussi que

Tr(∂ivj + ∂jvi −

2

3(∂kvk)δij

)= 0 .

On introduit alorscij = ∂ivj + ∂jvi −

2

3(∂kvk)δij (1.37)

composantes du tenseur de cisaillement [c] qui correspond à une déformation sansvariation de volume.

Les fluides qui vérifient la loi (1.36) sont appelés fluides newtoniens. Malgré lessimplifications assez drastiques que nous avons faites, cette loi de comportement estbien vérifiée par un grand nombre de fluides tels que les gaz ou les liquides courants.Cela provient du fait que le comportement newtonien est celui qui a lieu au voisinagede l’équilibre : il ne dépend donc que de propriétés très générales du milieu à l’équilibre.

Nous utiliserons aussi très souvent un autre coefficient de viscosité appelé viscositécinématique et défini par

ν =µ

ρ(1.38)

qui s’exprime en m2s−1.Nous avons introduit la viscosité en considérant l’aptitude des particules fluides à

glisser les unes sur les autres ; mais que se passe-t-il au niveau microscopique ? « L’ap-titude à glisser » caractérise un échange de quantité de mouvement (on peut glisser

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indéfiniment sur un sol si on ne lui cède pas notre quantité de mouvement). La visco-sité caractérise donc cet échange de quantité de mouvement entre les particules fluides,lequel est dû bien sûr aux atomes ou molécules du fluides qui, dans leur mouvementd’agitation thermique, transportent cette quantité.

On peut trouver l’ordre de grandeur de la viscosité cinématique d’un gaz par unsimple argument dimensionnel. En effet la viscosité cinématique s’exprime en m2s−1

soit le produit d’une vitesse par une longueur. Compte tenu de ce que nous venonsde dire, cette vitesse ne peut être que la vitesse d’agitation thermique des atomes etcette longueur que la distance sur laquelle ils transportent la quantité de mouvement,c’est-à-dire la distance moyenne entre deux chocs, encore appelée libre parcours moyen.On notera ainsi que la viscosité cinématique d’un gaz augmente avec la température etl’inverse de la masse volumique (voir chapitre 11). A l’inverse, la viscosité des liquidesaura tendance à diminuer lors d’une augmentation de température ou d’une diminutionde masse volumique puisque l’échange de quantité de mouvement entre les atomes oules molécules a plutôt pour origine les forces de Van der Waals. Pour un fluide donné,on trouvera donc un minimum de viscosité près de la transition de phase liquide-gaz.Ce qui précède montre encore que c’est avec les gaz à basse température qu’on trouverales fluides les moins visqueux et à l’extrême, les superfluides 7.

Nous n’avons pas inclus dans la table 1.1 de valeur de la viscosité de volume ζ,car cette quantité a été peu mesurée. La raison en est qu’une telle mesure est difficilecar ce coefficient n’intervient que si div v est important. On doit pour cela étudierl’amortissement d’ondes sonores et mesurer l’excès d’atténuation induit par ζ lequels’ajoute en effet à l’atténuation produite par la viscosité de cisaillement µ et par ladiffusion thermique χ. Pour l’azote moléculaire on a trouvé ζ ∼ 0.8µ à 300 K (voir larevue de Graves et Argrow 1999). En utilisant une approche statistique avec l’équationde Boltzmann (voir chapitre 11), on peut montrer que ce coefficient est nul pour lesgaz monoatomiques (du moins à l’approximation de Boltzmann).

Très souvent cependant on néglige purement et simplement ζ et lorsqu’on parle dela viscosité dynamique d’un fluide sans plus de précision on entend le coefficient µ.Cette approximation qui consiste à négliger ζ s’appelle l’hypothèse de Stokes. On voitqu’en théorie, elle ne convient bien qu’aux gaz monoatomiques.

7. Les fluides à faible viscosité présentent un grand intérêt expérimental car, comme nous le verrons,ils permettent d’obtenir des écoulements très turbulents en laboratoire. C’est ainsi que de nombreusesexpériences ont été réalisées avec de l’hélium près du point critique (2.2 bars et 5.2 K). Dans cesconditions, l’hélium atteint en effet sa viscosité minimale : il n’est pas liquide et donc l’interactionentre atomes ne les lie pas les uns aux autres et bien que gazeux leur vitesse est réduite au minimum.On atteint ainsi une des plus petites viscosités cinématiques connues pour un fluide non-superfluideν ≃ 2 10−8 m2/s.

Nous ne développerons pas le sujet des superfluides dont l’étude relève surtout de la mécaniquequantique ; pour une introduction à ce sujet, nous renvoyons à l’ouvrage de Guyon et al. 2001.

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Équation de la quantité de mouvement et équation de Navier-Stokes

L’expression de la loi de comportement nous permet d’expliciter l’équation de la quan-tité de mouvement gouvernant le mouvement d’un fluide newtonien sous la forme gé-nérale

ρDv

Dt= −∇P + ∇(v · ∇µ)+−−→Rot(v∧∇µ)+µ∆v− v∆µ+ ∇((µ/3+ ζ) div v)+ f (1.39)

appelée équation de Navier-Stokes. Cette équation se simplifie considérablement dansle cas d’un fluide de masse volumique et de viscosité constantes. On obtient alorsl’équation dite de Navier :

ρDv

Dt= −∇P + µ∆v (1.40)

où nous avons laissé de côté les forces extérieures f . Cette équation est utilisée dans laplupart des cas lorsque les variations de ρ sont négligeables et même lorsque celles-cine le sont pas, il est souvent utile de résoudre le « problème incompressible » équivalentavant de traiter le problème complet.

La densité surfacique de flux de chaleur

Pour compléter cette étude, il reste maintenant à écrire l’équation de l’énergie et doncpréciser l’expression de la densité surfacique de flux de chaleur F ou, par abus delangage, flux de chaleur. Considérons pour cela la mise en contact de deux corps àtempérature différente : le corps de température la plus élevée va cèder une certainequantité d’énergie (interne) à l’autre corps jusqu’à l’égalisation de leur température.Le flux de chaleur n’existe donc que là où il y a déséquilibre thermique donc non-uniformité de la température 8. C’est donc le gradient de température qui va dans cecas nous permettre de mesurer l’écart à l’équilibre thermique. Nous écrirons

F ≡ F (∇T )

Comme précédemment, nous considérerons des situations proches de l’équilibrethermodynamique et ferons un développement limité autour de ce cas :

Fi(∇T ) = Fi(0)− χij∂jT

oùχij = −

(∂Fi

∂(∂jT )

)∂jT=0

représente le tenseur des conductivités thermiques. Si le fluide est isotrope la conduc-tivité se réduit à un scalaire χ et χij = χδij . Puisqu’à l’équilibre le flux de chaleur estnul nous avons bien sûr Fi(0) = 0. La loi qui en résulte

F = −χ∇T (1.41)8. Nous simplifions ici volontairement la réalité car d’autres gradients peuvent engendrer un flux

de chaleur (gradient de concentration d’espèce chimique par exemple), mais ces effets sont faibles engénéral.

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est connue sous le nom de loi de Fourier.De même que nous avons introduit la viscosité cinématique ν, nous introduisons le

coefficient de diffusion thermique ou encore diffusivité thermique κ définie par

κ =χ

ρcp(1.42)

qui s’exprime en m2/s. Le rapport de ce coefficient à la viscosité cinématique est unnombre sans dimension

P =ν

κ(1.43)

caractéristique du fluide considéré et appelé nombre de Prandtl.

Équations de l’énergie interne et de l’entropie

Nous pouvons maintenant écrire l’équation de l’énergie interne. Reprenant (1.29) et yremplaçant F et [σ] par leurs expressions, nous obtenons pour un fluide newtonien

ρDe

Dt= div(χ∇T )− P div v +D +Q (1.44)

oùD = σvisqij ∂jvi = ∂jvi

(µ(∂ivj + ∂jvi −

2

3(∂kvk)δij) + ζ(∂kvk)δij

)représente la dissipation visqueuse. On peut encore mettre ce terme sous la forme

D = (sij + aij) (µcij + ζ(∂kvk)δij) = sij (µcij + ζ(∂kvk)δij)

car aijcij = 0 = aijδij . D’après la définition de cij (1.37), on a 2sij = cij +23 (∂kvk)δij .

AinsiD =

1

2

(cij +

2

3(∂kvk)δij

)(µcij + ζ(∂kvk)δij)

En développant cette expression et en utilisant le fait que la trace de [c] est nulle(Tr[c] = δijcij =0), il vient

D =µ

2(cijcij) + ζ(∂kvk)

2 (1.45)

ou bien de manière explicite

D =µ

2[c211 + c222 + c233 + 2c212 + 2c213 + 2c223] + ζ(div v)2

Nous utiliserons plus tard la notation condensée

D =µ

2(∇ : v)2 + ζ(div v)2 (1.46)

L’équation de l’entropie s’obtient immédiatement à partir de (1.30)

ρTDs

Dt= div(χ∇T ) +D +Q (1.47)

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Montrons maintenant que le second principe de la thermodynamique implique lapositivité des coefficients de viscosité et de diffusion de la chaleur. Pour cela nousutilisons un volume (V) attaché au fluide, c’est-à-dire dont la surface se meut avec lesparticules fluides qui y sont attachées. Le second principe peut alors s’exprimer parl’inégalité :

d

dt

∫V (t)

ρsdV ≥∫S(t)

(− FT

)· dS +

∫V (t)

QTdV

La variation d’entropie au sein du volume est plus grande que l’entropie reçue du milieuextérieur via le flux de chaleur, plus celle générée par les sources de chaleur Q. Grâceà (1.19) et (1.47) cette inégalité peut être transformée en∫

V (t)

(χ(∇T )2/T +D)dV

T≥ 0

Cette inégalité doit être vraie quels que soient les champs de température ou de vitesse,elle est donc équivalente à

χ ≥ 0, µ ≥ 0, ζ ≥ 0

Ces inégalités nous montrent que l’irréversibilité des transformations thermodyna-miques est intimement associée au phénomène de diffusion que représentent ces coeffi-cients.

En résumé pour un fluide newtonien, les équations du mouvement sont

∂ρ

∂t+ div ρv = 0 (1.14)

ρDv

Dt= −∇P + ∇(v · ∇µ) +−−→Rot(v ∧ ∇µ) + µ∆v− v∆µ+ ∇((µ/3+ ζ)div v) + f

(1.39)

ρDe

Dt= div(χ∇T )− P div v +D +Q (1.44)

ou

ρTDs

Dt= div(χ∇T ) +D +Q (1.47)

Un coup d’oeil rapide à ce système montre qu’il manque encore des équations pourdéterminer toutes les inconnues : en effet, nous devons préciser les équations vériféespar P et T , autrement dit les équations d’état thermodynamiques ; ce point sera abordéen 6.

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5.4 Autres lois de comportement ♠

Les limites du comportement newtonien

Nous avons vu que le mouvement d’un fluide en tant que perturbation à l’équilibrepouvait être caractérisé par le tenseur des déformations sij . Nous avons ensuite ad-mis que ces perturbations restaient « petites ». Il convient maintenant de préciser ceque nous entendons par petit. En introduisant sij , ou plus généralement ∂ivj , nousintroduisons en fait une échelle de temps Tm macroscopique. En effet, si L et V sontrespectivement les échelles de longueur et de vitesse caractéristiques de l’écoulement,le tenseur des déformations [s] introduit

Tm =L

V

comme échelle de temps puisque |sij | ≡ V /L. Ce temps exprime la vitesse avec laquelleune déformation est imposée au milieu fluide. Lorsque la perturbation est appliquée, lemilieu s’écarte un peu de l’équilibre thermodynamique ; il y revient cependant au boutd’un temps de relaxation Trelax lequel dépend évidemment de la nature du milieu enquestion. L’approximation du fluide newtonien est la limite asymptotique d’un tempsde relaxation très court à l’échelle macroscopique la plus petite, cette échelle étantsupposée très grande par rapport aux dimensions microscopiques. Un rapport d’échellede temps s’introduit donc naturellement ; c’est le nombre de Deborah

De =TrelaxTm

Le cas newtonien correspond donc à De≪ 1 tandis que De = +∞ décrirait plutôtla limite du solide élastique. Entre ces deux cas extrêmes existent toute une variété delois de comportement que nous allons maintenant brièvement explorer.

Les lois de comportement non-newtoniennes

Lorsque nous avons introduit la loi de comportement d’un fluide, nous avons déduitd’argument assez généraux que σij = fij(skl) ; ce faisant nous n’avions pas pris l’ex-pression la plus générale car nous ne voulions pas anticiper sur la présente discussion.Mais il apparaît maintenant que si le temps de relaxation n’est plus négligeable, lacontrainte subie par un élément fluide sera aussi fonction de la façon dont varie ou avarié le cisaillement. Ainsi

σij = fij

(. . . ,

∫ t

−∞skldt

′, skl,dskldt

, . . .

)(1.48)

où les pointillés désignent des primitives ou dérivées d’ordre supérieur. L’expression(1.48) n’est cependant pas encore satisfaisante. En effet, la déformation qui importeest celle des particules fluides et par conséquent les dérivées ou intégrales par rapportau temps doivent tenir compte de leur déplacement. Nous voyons ainsi s’introduire

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naturellement la nécessité d’une formulation lagrangienne pour décrire le mouvementdes fluides non-newtoniens. Enfin σij n’est pas nécessairement une fonction explicitede [s] et en général on aura une expression du genre :

G(. . . ,

∮ t

−∞σkldt

′, σkl,DσklDt

, . . .

)= F

(. . . ,

∮ t

−∞skldt

′, skl,DsklDt

, . . .

)(1.49)

Dans cette horrible expression∮ t−∞ skldt

′ désigne une intégrale le long du che-min suivi par la particule. Cette relation montre en fait toute la difficulté qu’il y aà modéliser le comportement des fluides non-newtoniens. Pour cette raison, l’analyseexpérimentale joue un grand rôle en rhéologie.

Afin d’avoir une vue d’ensemble de ces fluides, nous allons passer en revue lesprincipales lois de comportement qui ont pu être observées expérimentalement.

La visco-élasticité linéaire

Supposons que l’équation (1.49) soit linéaire par rapport à chaque fonction et que lescoefficients soient des constantes. On écrira alors

a0 + a1DσijDt

+ · · ·+ anDnσijDtn

= b0sij + · · ·+ bmDmsijDtm

qui régit la visco-élasticité linéaire. Simplifions encore en ne retenant que les coefficientsa0, b0, b1, de telle sorte que

σij = µ

(sij + τr

DsijDt

)(1.50)

et imaginons que la particule fluide subisse une contrainte constante au cours du temps ;alors sa déformation sera :

sij =σijµ

(1− e−t/τr

)La déformation suit l’évolution de la contrainte avec un temps de retard de l’ordre

de τr. C’est le modèle de Kelvin. 9

Au modèle de Kelvin correspond le cas symétrique du modèle de Maxwell où cettefois b1 = 0 et a1 = 0, c’est-à-dire

σij + τrDσijDt

= µsij (1.51)

A déformation imposée, la contrainte est retardée de τr. Imaginons le cas où un cisaille-ment constant imposé au fluide est brutalement supprimé. La contrainte ne disparaîtque progressivement suivant la loi :

σij = µsije−t/τr (1.52)

9. En fait cette modélisation s’applique plutôt aux solides, on parle alors du solide de Kelvin et sdoit être remplacé par le déplacement. Le solide de Kelvin ne réagit donc pas instantanément à unecontrainte et n’atteint l’équilibre qu’après un temps de relaxation τr.

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Typiquement, la particule fluide « se souvient » du cisaillement passé et exerce unecontrainte sur son environnement. On parle souvent de fluide à mémoire. L’exemple leplus familier de ce type de comportement est celui du miel ou de la confiture. En effetlorsqu’un filet de miel qui s’écoule d’un récipient est coupé, la goutte qui se forme peutremonter de quelques centimètres. Bien que le cisaillement soit brusquement stoppé,la contrainte n’est pas immédiatement annulée et, supérieure au poids de la goutte,provoque la remontée du fluide.

Le modèle ci-dessus, imaginé par Maxwell, est naturellement extrêmement simpifiéet l’on serait bien incapable d’en déduire les forces de frottement exercées sur un sous-marin immergé dans un océan de miel !

Les effets non-linéaires

Les effets non-linéaires jouent un grand rôle dans le mouvement d’un fluide non-newtonien et s’ajoutent aux effets de mémoire que nous venons de décrire.

Imaginons un écoulement cisaillé très simple :

vx = y/T

où T est la constante de temps du cisaillement. Pour un fluide newtonien, on auraitsimplement :

σxx = σyy = σzz = −p

σxy = µ/T, σyz = σxz = 0

Un fluide non-newtonien peut faire apparaître deux nouveautés. Tout d’abord descontraintes normales supplémentaires peuvent survenir ; on les note de la façon sui-vante :

σxx − σyy = N1, σxx − σzz = N2 (1.53)

Ces deux termes, nuls si le fluide est newtonien, traduisent l’apparition d’une an-isotropie 10 des contraintes normales générée par l’écoulement. Cette anisotropie n’estpas fonction du sens de l’écoulement et donc ne dépend pas du signe sxy ; pour defaibles cisaillements on doit donc avoir :

N1 = α1(sxy)2 +O((sxy)

4), N2 = α2(sxy)2 +O((sxy)

4)

Cet effet est donc nécessairement non-linéaire. Expérimentalement, on trouve qu’engénéral N1 ≫ |N2| et N2 ≤ 0. L’apparition de contraintes normales dues au cisaille-ment, encore appelé effet Weissenberg, peut avoir des conséquences spectaculaires (voirencadré).

La deuxième nouveauté peut venir de la non-linéarité de la relation

σxy = f(sxy)

10. Une contrainte normale isotrope pourrait être incluse dans la pression.

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FIG 1.3 Autosiphonage d'un fluide par l'effet des viscosités d'extension. Il s'agitd'une solution aqueuse à 0.75 % d'oxyde de polyéthylène.(cliché Barnes et al. 1989)

En général on pose σxy = µ(sxy)sxy. Les fluides pour lesquels µ augmente avecsxy sont dits rhéoépaississants tandis que ceux pour lesquels µ diminue sont ditsrhéofluidifiants. On peut interpréter la non-linéarité de la loi comme l’apparition d’unchangement de structure (donc de viscosité) avec le cisaillement subi.

Dans cette catégorie de milieux, on trouve essentiellement les fluides diphasiques(particules solides en suspension dans un fluide) et les solutions de polymères. Suivantle rapport volumique occupé par chacune des phases, le fluide diphasique peut présenterl’un ou l’autre des comportements. Les fluides diphasiques constituent une classe dematériaux pour lesquels le temps de relaxation n’est plus macroscopiquement petit 11.

11. On peut identifier le temps de relaxation à celui que met une particule solide de même densité quele fluide environnant pour atteindre la vitesse du fluide lorsque les deux vitesses diffèrent initialement.

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FIG 1.4 Écoulement correspondant à une extension plane

Les viscosités d’extension

Ce qui précède peut sembler, à juste titre, peu général : en effet, tous les écoule-ments n’ont pas la forme utilisée ci-dessus. Certains écoulements génèrent aussi descontraintes visqueuses normales même si le fluide est newtonien. Par exemple, l’écou-lement bidimensionel contre un plan

vx = x/T, vy = −y/T, vz = 0 (1.54)

dessiné sur la figure 1.4, génère les contraintes suivantes au sein du fluide newtonien :

σxx = 2µ/T, σyy = −2µ/T, σxy = 0 (1.55)

En rhéologie, on introduit de nouvelles viscosités associées à ce type de mouvement :les viscosités d’extension. Trois types de mouvements sont alors considérés :

• l’extension plane donnée ci-dessus par (1.54) et on pose alors

σxx − σyy = µP (T )/T

où µP est la viscosité d’extension plane. Dans la limite des faible taux de cisaille-ment (T → ∞), on doit retrouver le fluide newtonien et donc d’après (1.55)

limT→∞

µP (T ) = 4µ

• l’extension uniaxiale où le champ de vitesse a la forme suivante

vx = x/T, vy = −y/2T, vz = −z/2T

on pose alorsσxx − σyy = σxx − σzz = µE(T )/T (1.56)

A la limite newtonienne, on trouve aisément que µE = 3µ.

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FIG 1.5 Extension uniaxiale

y

z

x

• l’extension biaxiale où le champ de vitesse a la forme suivante

vx = x/T, vy = y/T, vz = −2z/T

et où on poseσxx − σzz = σyy − σzz = µEB(T )/T

On remarquera que ce dernier mouvement peut être obtenu à partir de l’extensionuniaxiale en changeant le signe du taux de cisaillement. Ceci implique que les deuxviscosités sont liées par la relation

µEB(T ) = 2µE(−T/2) (1.57)

(voir exercices pour la démonstration). Les trois mouvements d’extension sont dessinésschématiquement sur les figures 1.4, 1.5 et 1.6.

Les effets des viscosités d’extension peuvent être très spectaculaires car certainsfluides ont des rapports µE/µ très grands (de l’ordre de plusieurs milliers). Un telfluide peut s’autosiphoner d’un récipient (voir figure 1.3).

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FIG 1.6 Extension biaxiale

z

x

y

La frontière fluide-solide

Lorsqu’on soumet un solide à des contraintes de plus en plus fortes, on passe successi-vement le seuil de l’élasticité au delà duquel les déformations ne sont plus réversibles(la déformation est alors dite plastique), puis le seuil de plasticité au delà duquel le« solide » se comporte comme un fluide.

Ce comportement peut être observé pour tous les solides, mais généralement le seuilde contrainte où s’observe la transition est très élevé. Cependant certains matériaux,tels les peintures à l’huile, apparemment fluides se comportent comme des solides pourde très petites contraintes ; c’est naturellement une propriété très appréciée pour unepeinture qui doit pouvoir être étalée aisément mais ne pas couler une fois étendue surun mur. On appelle encore ce genre de fluides les fluides de Bingham. Ce type de fluidescomprend des matériaux pour lesquels Trelax est très petit (fluide newtonien) ou infini(solide élastique) suivant que la contrainte dépasse ou non un certain seuil.

Le manteau terrestre est un autre exemple d’un milieu au comportement tantôtfluide tantôt solide. Il est constitué d’une couche de silicates qui s’étend sur une épais-seur de 2900 km sous la croûte terrestre. Il se comporte comme un solide élastiquelorsqu’il réagit aux tremblements de terre et permet la propagation d’ondes de cisaille-ment. Ces ondes parcourent le manteau en quelques dizaine de minutes. Mais auxgrandes échelles de temps, de l’ordre de dix millions d’années, le manteau terrestrese comporte comme un fluide très visqueux dont le mouvement est responsable de ladérive des continents.

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Les fluides non-newtoniens dans votre cuisine !Nous avons déja parlé du miel et de la confiture pour illustrer la viscoélasticité. Nous allonsmaintenant nous intéresser à l’effet Weissenberg : le fluide utilisé est le blanc d’œuf cru. Plutôtque de battre les œufs en neige, nous vous suggérons de prendre votre perceuse et d’y fixer untube ou une tige cylindrique à la place de la mèche (l’instrument doit être propre si vous voulezterminer l’expérience par une bonne mousse au chocolat !). Plongez alors le tube verticalementet faites tourner lentement puis de plus en plus vite. On observe alors que le fluide grimpe lelong du tube mais aussi a l’intérieur ! On peut aspirer le blanc d’œuf de cette manière. Refaitesl’experience avec de l’eau (pour rincer !) et constatez la différence.

La farine de maïs (la MaizenaTM) mélangée à l’eau est un fluide non-newtonien très inté-ressant. Mélangez dans une assiette une cuillerée à soupe de farine de maïs et deux cuilleréesà soupe d’eau. Une fois le mélange bien homogène, déplacez lentement un objet (votre doigtpar exemple) dans le liquide : celui-ci s’écoule normalement autour de l’objet. Maintenantaugmenter la vitesse : la résistance du fluide est extrêmement importante (faites attention dene pas entraîner l’assiette !) ; la viscosité est telle que le fluide semble « solidifié ».

6. Les relations thermodynamiquesIl nous faut maintenant compléter les équations du milieu par la thermodynamique.Rappelons que localement (dans un volume petit par rapport aux dimensions du sys-tème, mais grand par rapport aux distances intermoléculaires) le fluide est supposé enquasi-équilibre thermodynamique. On parle alors d’équilibre thermodynamique local.

La thermodynamique d’un milieu matériel en équilibre est régie par une relationfondamentale

e ≡ e(s, V,N, ...) (1.58)

qui exprime l’énergie interne en fonction des diverses quantités extensives du système(entropie, volume, nombre de particules, etc.). De cette relation se déduisent les équa-tions d’état :

T =∂e

∂s

P = −∂e∂v

πch =∂e

∂N

(1.59)

définissant les quantités intensives du système (πch est le potentiel chimique, T latempérature et P la pression). e étant l’énergie interne massique, toutes les quantitésextensives doivent être massique.

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6.1 Le gaz parfaitAvant toute chose, il faut noter que la « perfection » du gaz parfait n’a rien à voir aveccelle du fluide parfait. Un gaz parfait n’est pas en général un fluide parfait : il possèdeune viscosité (calculable par une approche statistique, voir chapitre 11) qui, suivant letype d’écoulement, sera négligeable ou non.

L’expression de l’énergie interne d’un gaz parfait en fonction des paramètres exten-sifs est :

e = e0

(ρ

ρ0

)γ−1

exp(s− s0)/cv (1.60)

On en déduit les équations d’état du gaz parfait

PV = nRT (1.61)

e = cvT =1

γ − 1

P

ρ, avec γ =

cpcv

(1.62)

où R est la constante des gaz parfaits et n le nombre de moles, cv (resp. cp) la capacitéthermique à volume (resp. pression ) constant pour l’unité de masse.

On peut mettre (1.61) sous une forme plus commode en mécanique des fluides

P = R∗ρT (1.63)

où l’on fait intervenir la masse volumique plutôt que le volume. La constante R∗ dépendde la masse molaire M du gaz,

R∗ = R/M

L’enthalpie spécifique du gaz parfait est donnée par

h = cpT =γ

γ − 1

P

ρ

Pour l’entropie diverses relations se déduisent de

Tds = de− P

ρ2dρ = dh+

dP

ρ

En particulier

s = cv ln(T/T0)−R∗ ln(ρ/ρ0) + s0 (1.64)= cp ln(T/T0)−R∗ ln(P/P0) + s0 (1.65)= cv ln(P/P0)− cp ln(ρ/ρ0) + s0 (1.66)

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6.2 Les liquidesLorsqu’on s’intéresse au mouvement des liquides (newtoniens), la thermodynamiqueintervient peu car les liquides sont faiblement compressibles et ρ dépend peu de lapression. Par contre la dépendence de ρ vis-à-vis de la température peut être impor-tante : c’est elle, par exemple, qui est responsable du mouvement d’un liquide lorsqu’onle chauffe par dessous. On utilisera donc pour ces fluides des équations d’état simpli-fiées :

ρ = ρ0(1− α(T − T0)) (1.67)e = cT

où α est le coefficient de dilatation thermique et c = cv ≈ cp.

6.3 Le fluide barotropeCe cas est un peu le pendant du précédent : on suppose ici que la masse volumique nedépend que de la pression, soit que

ρ ≡ ρ(P ) ou P ≡ P (ρ) (1.68)Ce n’est pas à proprement parler une équation d’état telles que le sont (1.63) et (1.67),mais plutôt une condition approchée dans certaines situations.

Un exemple très fréquent de fluide barotrope est le gaz parfait isotherme ou isen-tropique pour lequel on a respectivement

P = kρ ou P = Kργ

Ce type de relation apparaît lorsque les fluctuations de température ou d’entropie d’uneparticule fluide peuvent être négligées.

Lorsque P n’est pas seulement fonction de ρ, la situation peut être qualifiée debarocline. Isobares et isochores ne sont plus alors confondues, mais inclinées les unespar rapport aux autres. C’est évidemment le cas général mais la notion de baroclinicitésouligne ce point, important lors de la recherche de configuration d’équilibre (voirchapitre 2)

7. Les conditions aux limitesLes lois du mouvements que nous venons d’établir nous donnent l’évolution des quan-tités physiques qui décrivent le mouvement d’un fluide, mais comme toute équationdifférentielle, elles doivent être accompagnées de conditions aux limites qui précisentles constantes d’intégration en décrivant le comportement du fluide au niveau de sesfrontières.

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7.1 Sur le champ de vitesse

Essentiellement, deux types de conditions aux limites sont utilisées pour décrire cecomportement. Le premier décrit l’interaction fluide-solide tandis que le second décritl’interaction entre deux fluides séparés par une interface mobile. Dans ce dernier cas lasurface est aussi le siège d’une tension superficielle.

Paroi solide

On admet qu’au niveau de la frontière entre un solide et un fluide, la vitesse du fluideest identique à celle du solide 12. Si le solide est au repos alors, la vitesse du fluide doits’annuler à son contact.

v = 0 sur la surface limite (1.69)

Ce type de conditions est appelé conditions aux frontières rigides. En écrivant cettecondition, on suppose que le fluide adhère au solide. Cette hypothèse n’a rien d’évident.Elle fut même l’objet d’un long débat à la fin du XIXeme siècle. La question fut résoluepar G. Taylor en 1923 lorsqu’il étudia expérimentalement et théoriquement la stabilitéde l’écoulement d’un fluide compris entre deux cylindres en rotation (l’écoulement deTaylor-Couette). L’accord entre théorie et expérience montra le bien fondé de cettecondition aux limites 13.

On notera que dans l’hypothèse d’un fluide parfait cette condition d’adhérencedisparaît et l’on a simplement v · n = 0 si n est la normale à la paroi solide.

Surface libre

La seconde grande catégorie de conditions aux limites sur la vitesse est celle dite desurface libre. C’est celle qui s’applique lorsque la surface est définie par le fluide lui-même, comme par exemple la surface de la mer. Soit

S(r, t) = Cte

l’équation de cette surface. En tout point de cette surface nous avons

dS = 0 =∂S

∂tdt+ dx

∂S

∂x+ dy

∂S

∂y+ dz

∂S

∂z

12. Nous supposons que le solide est imperméable. Cette condition n’est pas toujours réalisée : lesmatériaux poreux peuvent en effet admettre des flux de matière à travers leur surface limite. Nousne considérerons pas ce type de situation dans ce cours. Notons cependant que les écoulements defluides à travers un solide poreux font l’objet de nombreuses études en raison de leurs applications àl’extraction du pétrole ou du gaz naturel.

13. Ironie de l’Histoire qui donnerait raison à ceux qui combattaient la condition limite vfluide =vsolide sur une paroi : on cherche maintenant à développer et exploiter les situations où le fluide glissesur le solide (voir Tabeling, 2004).

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Or, de même qu’en (1.2), (dx/dt, dy/dt, dz/dt) représente la vitesse de la surface, quipar définition est la vitesse du fluide à cet endroit. La condition limite s’exprime donc

∂S

∂t+ vx

∂S

∂x+ vy

∂S

∂y+ vz

∂S

∂z= 0 ⇐⇒ ∂S

∂t+ v · ∇S = 0

ou encoreDS

Dt= 0 (1.70)

Cette dernière relation nous montre que, pour une particule fluide se trouvant à lasurface, cette surface est fixe au cours du temps ou encore qu’une particule fluide setrouvant à la surface, y reste.

Cette condition aux limites est purement géométrique. Nous n’avons invoqué aucunprincipe de physique pour l’établir. Très souvent elle apparaît dans les problèmes sousune forme simplifiée. En effet, si cette surface est indépendante du temps nous avons

v · ∇S = 0 (1.71)

Or ∇S est un vecteur normal à la surface. En notant n la normale de la surface, larelation précèdente est équivalente à

v · n = 0 (1.72)

qui montre simplement que la vitesse doit être tangente à la surface limite du fluide.Cette dernière condition est souvent utilisée même si, a priori, on s’attend à ce

que la surface soit fonction du temps. Cela revient physiquement à éliminer les ondesde surface (ondes de capillarité ou ondes de gravité) parce que, dans le contexte duproblème, elles n’ont guère d’influence.

Nous allons maintenant introduire la physique qui traduit la « liberté » de la surface.Cette condition s’exprime simplement en exigeant que la contrainte soit continue entraversant cette surface. Si la surface sépare le fluide du vide, la contrainte doit êtrenulle en chacun de ses points ; si elle sépare le fluide d’un autre fluide, celle-ci doitêtre la même de part et d’autre de la surface. Cette condition ne fait que traduire lethéorème de l’action et de la réaction de la mécanique.

Si nous considérons le cas où la surface S sépare le fluide du vide, nous aurons

[σ]n = 0 en S (1.73)

Cette relation, adjointe de la relation (1.70), constitue les conditions aux limites desurface libre. Remarquons qu’on a quatre conditions, contre trois seulement dans le casde la frontière rigide. La quatrième relation est en fait l’équation qui définit la surfacepuisque celle-ci est une inconnue du problème. Nous ne développerons pas plus ce pointpour le moment car nous y reviendrons largement lorsque nous étudierons les ondes desurface.

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Le glissement sans frottement

Dans de nombreuses situations, il s’avère utile de considérer que le fluide glisse sansfrottement le long de la frontière de son domaine : soit parce que cette frontière séparedeux fluides de densité très différentes (par exemple une interface air-eau stationnaire),soit parce qu’on souhaite, dans une première approche d’un problème, négliger lescouches limites (cf. chapitre 4) générées par le contact solide-fluide.

Les conditions de glissement sans frottement (qu’on appellera condition GSF) lelong d’une surface S s’expriment physiquement en exigeant que la contrainte tangen-tielle exercée par le fluide sur S soit nulle. Si n est encore la normale à S, cette conditions’écrit :

n ∧ ([σ]n) = 0 en S (1.74)

qu’on complète par la condition (1.71) exigeant que la vitesse soit parallèle à la surfaceS. Les conditions (1.71) et (1.74) se résument, comme la condition (1.69), à troisconditions scalaires sur la vitesse.

7.2 Sur la températureLes conditions que nous venons de décrire sont celles qui traduisent l’interaction dyna-mique du fluide avec son environnement. Celles-ci sont liées à l’équation de la quantitéde mouvement. Nous devons maintenant nous demander quel type de conditions auxlimites est associé à l’équation de l’énergie interne ou de l’entropie pour traduire leséchanges thermiques entre le fluide et le milieu extérieur. Comme nous supposons quela surface limite est imperméable au fluide, ces échanges ne peuvent résulter que dephénomènes de conduction. De manière générale, on requerra la continuité de la tem-pérature et de la densité surfacique de flux de chaleur, soit

T = Text et n · F = n · Fext (1.75)

Pour un fluide newtonien, la deuxième condition est aussi une condition limite sur legradient de température.

Lorsque nous étudierons l’équilibre ou le mouvement des fluides en présence de gra-dients thermiques, nous utiliserons la notion de conducteur parfait. Le conducteur par-fait peut accepter n’importe quel flux de chaleur ; ainsi lorsqu’un fluide est au contactd’un conducteur parfait, la température de ce dernier est fixée et seule la premièrecondition de (1.75) doit être imposée. Dans un même souci de simplification il est par-fois aussi utile d’idéaliser les conditions limites sur la température en considérant lemilieu extérieur comme un isolant parfait. Dans ce cas, le flux de chaleur doit être nulmais la température peut être quelconque.

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7.3 La tension superficielle

Dans le prolongement de ce que nous venons d’énoncer sur les frontières d’un fluide,nous devons dire quelques mots de la tension superficielle. Ce phénomène apparaît àl’interface de deux fluides non miscibles et traduit le fait qu’il faut dépenser de l’énergiepour augmenter la surface de contact entre ces deux fluides. Seuls les liquides ont unetension superficielle à leur frontière. Cela se comprend si on se rappelle que la phaseliquide est caractérisée par une interaction attractive entre atomes ou molécules (forcede Van der Waals). L’énergie du liquide est donc d’autant plus petite que chaquemolécule est « bien entourée ». Les molécules sur la frontière ont donc une énergie plusgrande et, par conséquent, augmenter cette surface demande de l’énergie.

On introduit une constante de proportionnalité γ entre une variation de surface etla variation d’énergie correspondante :

dE = γdS (1.76)

γ est une énergie par unité de surface (J/m2) mais aussi une force par unité de longueur(N/m). Si on considère une surface ouverte délimitée par un contour (C), la résultantedes forces de tension superficielle exercée sur l’intérieur du contour est l’intégrale

R = −∮(C)

γdlen

où en est un vecteur unité normal au contour (C) et dirigé vers l’extérieur (d’où lesigne moins). Le théorème de la divergence en deux dimensions (voir §2.3 de l’annexeA) permet de transformer cette intégrale en

R = −∫(S)

∇γdS (1.77)

ce qui montre d’emblée que les variations de tension superficielles sont à l’origine d’unedensité surfacique de force autrement dit d’une contrainte. Cette contrainte a la parti-cularité d’être purement tangentielle et uniquement définie à l’interface. Ceci impliqueque l’interface de deux fluides newtoniens où la tension superficielle varie sera sourced’un mouvement du fluide car la contrainte tangentielle ne peut être compensée quepar la contrainte visqueuse. Ce phénomène est, par exemple, à l’origine de la convec-tion de Marangoni-Bénard où les variations de γ ont pour origine les fluctuations detempérature puisqu’en général γ = γ(T ) (voir §3.5 du chapitre 6).

Mais plus communément sans doute, la tension superficielle se manifeste par unecontrainte normale. Prenons l’exemple d’une goutte d’eau dans l’air ; si on augmenteson rayon de dR, sa surface varie de dS = 8πRdR et il faut donc dépenser l’énergie dE =γ8πRdR. Cette énergie peut comme précédemment, s’interpréter comme le travail dela force de tension superficielle F = 8πRγ. Cette force a une densité surfacique

f =8πR

4πR2γer =

2γ

Rer

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TAB 1.2 Tension superficielle de quelques liquides en contact avec l'air à une tem-pérature de 20C (sources diverses)

Liquide γ (N m−1)eau 7.28 10−2

Ethanol 2.23 10−2

Glycérol 6.3 10−2

Huile d'olive 3.2 10−2

Mercure 0.485

qui agit donc comme une contrainte normale. Ainsi, à l’intérieur d’une goutte en équi-libre, la pression est légèrement supérieure à la pression extérieure puisqu’on doit avoir :

−Pext = −Pint +2γ

R

⇐⇒ Pint = Pext +2γ

R

comme l’exige la continuité de la contrainte à travers la surface. En fait, la formule quenous venons d’établir est particulière à la sphère car en général on doit tenir comptedes deux rayons de courbure de la surface. Cela donne la formule de Laplace

Pint = Pext + γ

(1

R1+

1

R2

)(1.78)

dont on trouvera la démonstration dans Landau et Lifschitz (1971) par exemple.Finalement on peut regrouper (1.77) et (1.78) en une seule formule qui donne la

condition limite dynamique à l’interface d’un liquide et d’un gaz :

[σliq]n+ γ

(1

R1+

1

R2

)n− ∇γ = [σgaz]n (1.79)

où n est le vecteur normal à la surface et orienté du liquide vers le gaz. Les rayonsde courbure sont positifs si le centre de courbure se trouve dans le liquide. Nous re-trouverons la tension superficielle à plusieurs reprises : tout d’abord lorsqu’on étudieral’équilibre des fluides, puis quand on traitera des ondes de surface.

7.4 Les conditions initialesPour finir, nous devons dire quelques mots des conditions aux limites temporelles.Les équations du mouvement sont toutes du premier ordre en temps ; cela impliqueque la donnée de l’état initial détermine complètement l’évolution ultérieure du fluide.Ceci n’est vrai qu’en principe. L’exemple de la météorologie, où on calcule l’évolution

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physiqueIndex

accélération, 15acoustique, 151advection, 5agitation thermique, 399Alfvén (vitesse d’), 379allée tourbillonnaire, 135analogie

inverse, 82électrostatique, 81

analyseglobale, 148locale, 146multi-échelle, 271

angle de mouillage, 61anneau de vorticité, 98anélastique (approximation), 244approche cinétique, 395approximation

anélastique, 244de Boussinesq, 239

Archimède, 1Atlantique (océan), 182, 183atmosphère

isentropique, 50isotherme, 50standard, 52unité, 19

auto-similarité, 127autosimilaire, 354, 453, 475

ballon atmosphérique, 65bar, 19barocline, 35, 92, 246

baromètre, 49barotrope, 35barye, 19basson, 182Bernoulli, 1Bernoulli (théorème de), 71β-plan, 294Bhatnagar, Gross & Krook, 424bifurcation, 214–216

de Hopf, 216en fourche, 215sous-critique, 216supercritique, 215

binormale, 445Biot (nombre de), 207Blasius, 127Boltzmann (équation de), 410–418Borda-Carnot (formule de), 134Boussinesq, 2

approximation de, 239nombre de, 240

Brunt-Väisälä (fréquence), 157, 203Bryan, 293bulle d’air, 102Bénard, 2

Cahn-Hilliard, 275caractéristique, 161, 162, 180, 449cascade

inverse, 359turbulente, 334

caténaire, 60centre de carène, 58

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champpoloïdal, 10, 387toroïdal, 10, 386, 390

Chapman-Enskog, 425Chapman-Proctor, 273charge (hydraulique), 73choc

droit, 165faible, 168fort, 168hypersonique, 169radiatif, 169

circulation d’Ekman, 301circulation de la vitesse, 75clarinette, 152coefficient de

portance, 138traînée, 138

coin d’huile, 119collision (intégrale de), 412compressibilité, 76concave (fonction), 345condition de Kutta, 90conditions

aux limites, 35–41avec dérivées obliques, 292périodiques, 263

de passage, 164, 170, 184conducteur parfait, 38conductivité

thermique, 23, 400électrique, 370

connexe, 79constante

d’entraînement, 356de Kolmogorov, 333

continuité, 11contraintes, 2

de Reynolds, 321tenseur des, 13

convectionforcée, 235humide, 307naturelle, 235thermique, 235–281

convexe, 345coordonnées ellipsoïdales, 293corrélation

de vitesse, 322de vorticité, 324double, 320en deux points, 320longueur, 315temps, 315triple, 328

cosmologie, 43couche

d’Ekman, 297d’ozone, 52limite, 121limite en mathématiques, 445limite thermique, 269, 279

Couette (écoulement de), 201Couette cylindrique (écoulement de), 141courant

fonction de, 10ligne de, 5

coussin d’air, 119critère de

Jeans, 189, 231Rayleigh, 190Richardson, 203, 204Schwarzschild, 250

Crocco (équation de), 70cumulant, 319cône de Mach, 160

Debye (longueur de), 370dense (spectre), 291densité de probabilité, 318densité surfacique de flux de chaleur, 23diagramme de Friedrichs, 383diffusion

de vorticité, 111visqueuse, 111équation de, 452

diffusivitémagnétique, 372thermique, 24

498

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Index

discontinuité, 160, 180disque d’accrétion, 231dissipation

visqueuse, 24, 114échelle, 331

distribution de Maxwell-Boltzmann ,434–438

divergence, 8dynamo, 383

cinématique, 384de Ponomarenko, 388

décollement, 126déformation plastique, 32Dérive de Stokes, 182, 476dérivée

de Lie, 42lagrangienne, 42particulaire, 4, 11

échellede dissipation, 331de Taylor, 335intégrale, 330

Eckert (nombre d’), 242écoulement

autour d’une sphère, 115de Couette, 201de Poiseuille, 120, 129fluvial, 171géostrophique, 285plan-parallèle, 129, 192torrentiel, 171

EDQNM, 347effet lift-up, 229Ekman

circulation d’, 301couche d’, 297nombre d’, 284pompage d’, 301spirale d’, 299

elliptique (équation), 454Emden (équation d’), 66énergie d’une onde, 210ensemble résolvant, 225

enstrophie, 327entraînement turbulent, 356entropie, 12, 16, 24Eötvös, 205épaisseur de peau, 374épitaxie, 432équation

d’Emden, 66d’Euler, 18, 69d’onde, 150, 449, 452d’Orr-Sommerfeld, 196, 220d’Oseen, 118de Blasius, 127de Boltzmann, 410–418de Burgers, 180de Cahn-Hilliard, 275de Chapman-Proctor, 273de Crocco, 70de diffusion, 111, 452de Falkner-Skan, 142, 475de Kármán–Howarth, 337, 338, 341de Kolmogorov, 339de l’entropie, 16, 24de l’énergie interne, 24de Landau, 214, 267de Laplace, 293, 454de Liouville, 408–409de Navier-Stokes, 23de Poincaré, 291de Poisson, 188de Prandtl, 125de propagation, 149de Rayleigh, 194de Squire, 220de Stokes, 112de Taylor-Goldstein, 202elliptique, 454hyperbolique, 452parabolique, 452

équations de Maxwell, 371équipartition (solution), 379esclave (mode), 265espace des phases, 408Etoile céphéide, 169Eucken (relation d’), 433

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Euler, 1

Falkner-Skan (équation de), 142fermeture, 317filamentation, 361film fluide, 119Fjørtoft, 195, 232, 480fluide

autogravitant, 53diphasique, 29en rotation, 283–312et solide, 32incompressible, 8newtonien, 19parfait, 18, 69–105visqueux incompressible, 107–143à mémoire, 28

flux de chaleur, 23flûte, 151fonction

d’Airy, 179d’erreur, 454de courant, 10de structure, 319, 343harmonique, 83spectrale, 324

fonctionnelle, 113force de

traînée, 90courbure, 377Magnus, 90traînée, 137viscosité, 44

formule deJurin, 62Stokes, 139Young, 61

Fourier (loi de), 24, 400Froude (nombre de), 171fréquence

de Brunt-Väisälä, 157, 202épicyclique, 191

glissement à la paroi, 142

gradient adiabatique, 237granulation solaire, 277Grashof (nombre de), 240GSF, 38géostrophique

contours, 286écoulement, 285

harmoniques sphériques, 296hautbois, 182hauteur piézométrique, 73hectopascal, 19Helmholtz, 2Helmholtzien, 102Hill (vortex de), 95hyperbolique (équation), 452hypothèse de Stokes, 22

instabilitécentrifuge, 190, 192de Kelvin-Helmholtz, 197, 212de Rayleigh-Taylor, 199de Taylor-Couette, 192globale, 190gravitationnelle, 188locale, 187

instruments à vent, 151interaction d’ondes, 210interface fluide-solide, 142intégrale de collision, 412invariant collisionnel, 419invariant de collision, 435invariants de Riemann, 161, 180ionosphère, 52irrotationnel, 77irréversibilité, 25isochore, 48isolant parfait, 38

jacobien, 41Jeans (longueur de), 189jet turbulent, 354, 364Joukovski (transformation de), 83

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Index

Jupiter (troposphère de), 65Jurin (formule de), 62

K41, 332Kármán–Howarth (équation de), 337,

338, 341Kelvin, 2Kelvin (théorème de), 75Kelvin-Helmholtz (instabilité), 197, 212Knudsen (régime de), 432Kolmogorov, 2

hypothèses de, 332spectre de, 333équation de, 339

Kutta (condition de), 90

lagrangien (formalisme), 5, 41–43laminaire, 121Landau

constante de, 214, 267équation de, 214, 267

ligne de courant, 5limite singulière, 112Liouville

théorème de, 409équation de, 408–409

liquides, 35Log-normale (théorie), 340Log-Poisson (théorie), 346loi

rhéologique, 15de comportement, 15de Fourier, 24de similitude, 111des quatre cinquièmes, 339

longitudinale (onde), 150longueur de

Debye, 370Jeans, 189, 479mélange, 350

Lorenz, 276

Magnus (force de), 90

magnétohydrodynamique, 369–394Marangoni (nombre de), 206Marangoni-Bénard, 39mascaret, 181masse solaire, 189massique (énergie interne), 12Maxwell

équations de, 371modèle de, 27

Maxwell-Boltzmann (distribution de),434–438

milieux continus, 3millibar, 19minimum

d’énergie cinétique, 80de dissipation, 115

modeacoustique, 151inertiel, 290planétaire, 295propre, 148

modèlede Lorenz, 276de fermeture, 349de Kelvin, 27de Maxwell, 27de Smagorinsky, 350de sous-maille, 350K-ε, 351

moment, 319mouillage (angle de), 61mouillage total, 62moyenne d’ensemble, 318mécanisme d’Orr, 230mésosphère, 52méthodes spectrales, 448

nappes tourbillonaires, 99Navier, 1Newton, 1newtoniens (fluides), 19nombre

d’Avogadro, 404d’Eckert, 242

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d’Ekman, 284de Biot, 207de Boussinesq, 240de Deborah, 26de Froude, 171de Grashof, 240de Knudsen, 3de Mach, 159de Marangoni, 206de Nusselt, 269de Prandtl, 24de Prandtl magnétique, 372de Péclet, 245de Rayleigh, 240de Reynolds, 111, 372de Richardson, 203de Rossby, 284

non-newtoniens (fluides), 26non-normal (opérateur), 224nuage interstellaire, 231Nusselt (nombre de), 269

Oberbeck, 2Oboukhov, 333, 340octave, 152onde

capillaire, 155d’Alfvén, 381de choc, 160de compression, 162de discontinuité, 158de gravité, 156de gravité superficielle, 153de Rossby, 294de surface, 152inertielle, 289interne, 156longitudinale, 150magnétosonore, 381–383solitaire, 172–181sonore, 149sonore d’amplitude finie, 160transversale, 158

ondes dans les fluides, 145–185

optimales (perturbations), 219–230opérateur non-normal, 224Orr (mécanisme d’), 230Orr-Sommerfeld, 196, 220ouragans, 307

palier hydraulique, 119panache turbulent, 354parabolique (équation), 449, 452parfait

fluide, 18gaz, 34

Pascal, 1pascal (unité), 19perte de charge, 73, 133perturbations optimales, 219–230Pitot (tube de), 73plan en incidence, 104plan-parallèle (écoulement), 129plasma, 369Poincaré (équation de), 291point d’arrêt, 90point figuratif, 408points fixes, 214Poiseuille, 1poloïdal, 10, 387polynômes de Legendre, 87, 116pompage d’Ekman, 301pompage de couche limite, 129Ponomarenko (dynamo de), 388poreux (matériaux), 36portance, 88portance (coefficient de), 138potentiel

complexe, 83des vitesses, 77

Prandtl, 2, 350Prandtl (équations de), 125pression

atmosphérique, 49contrainte de, 17dynamique, 71, 137magnétique, 377

principe variationnel, 113

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Index

produit tensoriel, 440Prout, 2pseudo-scalaire, 323psi, 19pulsation Coriolis, 284Péclet (nombre de), 245

rapport d’aspect, 277Rayleigh, 2

critère de, 190nombre, 240équation de, 194

Rayleigh-Taylor (instabilité de), 199rayon de courbure, 444–445relation d’Eucken, 433relation de dispersion, 150

des modes acoustiques, 151des ondes capillaires, 156des ondes de gravité superficielles,

154des ondes internes de gravité, 157du son, 150

ressaut hydraulique, 170Reynolds, 2rhéofluidifiant, 29rhéologie, 17, 27rhéoépaississant, 29Riemann (invariants de), 161rotationnel, 7Rumford, 2règle d’Eötvös, 205régime de Knudsen, 432régulière (perte de charge), 133résolvante, 225réversibilité, 113

Saint-Venant (relation), 71scalaire passif, 235seconde viscosité, 428section différentielle efficace, 414, 433sillage, 135similaire, 112similitude, 111singularité équatoriale, 300

Smagorinsky, 350solution autosimilaire, 453, 475solution d’équipartition, 379son, 149spectre, 225, 326

continu, 201d’enstrophie, 327d’hélicité, 327de Kolmogorov, 333dense, 291, 293infra-rouge, 359

spectre infra-rouge, 328sphère, 115spin-up, 301spirale d’Ekman, 299spécifique (entropie), 12Squire (théorème de), 193Squire (équation de), 220stabilité des écoulements, 187–233statique des fluides, 47–68Stokes, 1

dérive de, 182, 476équation de, 112formule de, 139hypothèse de, 22

stratosphère, 52, 280, 482stries, 229Sturm-Liouville (problème de ), 447superfluides, 22supernova, 200surface de contact, 167séparation d’échelle, 397

Taylor (longueur de), 339Taylor-Couette (écoulement de), 141Taylor-Goldstein (équation de), 202temps

de corrélation, 315de diffusion visqueuse, 111dynamique, 111

température potentielle, 238tenseur

de cisaillement, 21de Maxwell, 375

503

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de projection, 326de Reynolds, 321des contraintes, 13des déformations, 7gradient de vitesse, 6

tenseurs (notion sur les), 439tension magnétique, 377tension superficielle, 39, 60–63thermodynamique (équilibre), 33thermosphère, 52théorie

Log-normale, 340Log-Poisson, 346

théorèmeantidynamo, 386central limite, 342d’Archimède, 57de Bernoulli, 71de Bélanger, 134de Cowling, 386de Fjørtoft, 232, 480de Kelvin, 75de l’énergie cinétique minimale, 80de Lagrange, 79de Squire, 193de Taylor-Proudman, 285du champ gelé, 376

topologie, 78toroïdal, 10, 386, 390torr, 19Torricelli, 1Torricelli (relation de), 73torsion, 445tourbillon de vidange, 287tourbillons de la turbulence, 334, 342tourbillons de recirculation, 135traînée, 88traînée (coefficient de), 138transformation de Joukovski, 83, 84, 104transformée de

Fourier, 325Laplace, 453

transportdiffusif, 111dynamique, 111

macroscopique, 111microscopique, 111

tribologie, 119trièdre de Frenet, 445tropopause, 52troposphère, 52tsunamis, 181tube de Pitot, 73turbulence, 315–367

bidimensionnelle, 358de grille, 343en rotation, 361inhomogène, 349isotrope, 320, 323, 327universelle, 332

unités de pression, 19

van der Waals (rayon de), 404, 405variables d’Elsässer, 379vidange (tourbillon de), 287visco-élasticité, 27viscosité, 19

de volume, 21cinématique, 21d’extension, 30de cisaillement, 21dynamique, 21seconde, 21, 428turbulente, 349

vitesse d’Alfvén, 379von Kármán (allée de), 135vortex

de Hill, 95de Rankine, 94

vorticité, 7, 111vorticité potentielle, 102

Weissenberg, 28

Young (formule d’), 61

504

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Michel Rieutord


ISBN 978-2-8041-8554-1

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Une véritable introduction à la mécanique des fluides qui ancre cette discipline dans la phy-sique en s'appuyant sur de nombreux exemples issus des sciences de l'Univers.

Après le succès de la première édition, cette deuxième édition propose un texte revu et corrigé mais surtout enrichi de nouveaux sujets.

Ce livre illustre les différents domaines de la dynamique des fluides par des exemples puisés dans les sciences de l'Univers. La Terre, les planètes géantes, les disques d'accrétion et les étoiles fournissent ainsi de nombreuses illustrations aux sujets discutés, soulignant par ailleurs l'importance de cette branche de la physique en astrophysique ou en géophysique.

Le souci de l'auteur est d'amener l’étudiant, pourvu d'un bagage en physique et en mathé-matiques de première année d'université, vers une solide connaissance du mouvement fluide. L'ouvrage ne suppose donc aucun savoir préalable. Les quatre premiers chapitres guident d'abord le lecteur vers les connaissances de base de la mécanique des fluides tout en donnant une information claire sur la physique ou les mathématiques nécessaires au franchissement de chaque étape. On aborde alors les ondes et les nombreuses applications de la dynamique des fluides : les instruments de musique, les vagues à la surface de l'eau ou même les ondes de choc dans les étoiles. On poursuit avec la présentation des multiples instabilités qui peuvent affecter le mouvement des fluides et conduire à la turbulence si commune dans l'environnement ; on s'intéresse enfin aux effets surprenants d'une rotation d'ensemble, effets dont la météorologie doit nécessairement tenir compte.

Les lecteurs les plus passionnés pourront aussi aborder des thèmes où la recherche est encore très active : la turbulence, la magnétohydrodynamique et la théorie cinétique des gaz. Ces sujets sont touffus et là encore l'auteur prend soin de guider le lecteur pour l'ame-ner aisément aux résultats essentiels de ces domaines.

Michel Rieutord est astrophysicien et professeur à l'université Paul Sabatier à Toulouse, membre honoraire de l'Institut Universitaire de France. Agrégé de physique et docteur ès sciences, il a enseigné la dynamique des fluides à tous les niveaux de l'université. Ses tra-vaux sur la dynamique des fluides en rotation sont reconnus internationalement. Depuis de nombreuses années il a travaillé au développement de la dynamique des fluides en Astrophysique et au rayonnement de cette discipline.

Les «plus» Différents niveaux de lecture

De nombreux exercices et leur solution

De nombreux exemples sont tirés de l'astrophysique

Des références bibliographiques

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Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre les niveaux : En France : Licence 2-3 et Master 1-2.En Belgique : Licence 2-3 et Master 1-2.En Suisse : Licence 2-3 et Master 1-2.Au Canada : Licence 2-3 et Master 1-2.

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