Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres

1

Vibrations des poutres Équations

Poutre en flexion dans le plan ( , , )o oO x y

Équation locale : ] [ 4,0, 0xx Sv EIvρ∀ ∈ + =

Avec des C.L. homogènes : ,

(., ) 0 (., ) 0x

v t ouv t

=⎧⎨ =⎩

et 2

3

,

,

(., ) 0

(., ) 0x

x

EIv t ou

EIv t

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

Libre – Libre

Encastré – Libre

Encastré – Encastré

Appuyé – Libre

Encastré – Appuyé

Appuyé – Appuyé

Glissant – Libre

Glissant – Encastré

Glissant – Appuyé

Glissant – Glissant

Solution analytique

On cherche des solutions de la forme : ( , ) ( ) ( )v x t V x f t= avec 2f fω= −

Équation locale : 44

, 0xV Vλ− = avec 4 2 /S EIλ ω ρ=

Les solutions sont de la forme : Pour 0ω = 2 3

0 1 2 3( )V x A A x A x A x= + + + Pour 0ω ≠ ( ) cos sin cosh sinhV x A x B x C x D xλ λ λ λ= + + +

Le système homogène des Conditions aux limites homogènes, admet une solution non banale si son déterminant est nul. Cette équation caractéristique donne une infinité dénombrable de solutions iλ

( )24i i

EIS

ω λρ

=

Les modes propres associés ( )iV x sont définis à une Cte multiplicative près

Propriétés des modes

K et M Orthogonalité : 0

iii j

o

m i jV V dx

i j=⎧

= ⎨ ≠⎩∫ et 4,

0ii

i j xo

k i jV EI V dx

i j=⎧

= ⎨ ≠⎩∫

avec 2 iii

ii

km

ω =

Norme : ( )2 2 2 2 2

2i i i i io

V dx A B C D= + + −∫

En pratique on utilise la M norme 2i

o

S V dx mρ =∫ 2 2 2 2 2i i i iA B C D+ + − =

Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres

2

Fréquences et modes de vibration pour les 10 CL homogènes simples

Libre – Libre

2modes rigides translation de la poutre

0 0( )V x A= rotation de la poutre

0 1( )V x A x=

Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ − =

cosλ1/ chλ

λ1λ 2λ

/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

1 4,73004λ = 2 7,85320λ = Puis 2 (2 1)2ii i πλ> ≅ +

( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh

i ii i i i i

i i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

−= + − +

− M normé

Encastré - Libre

Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ + =

cosλ

1/ chλ−

λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

3λ 4λ

1 1,87510λ = ; 2 4,69409λ = ; 3 7,85473λ = Puis 3 (2 1)2ii i πλ> ≅ −

( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh

i ii i i i i

i i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

+= − − −

+

Encastré - Encastré

Équation caractéristique : cos cosh 1 0λ λ − =

cosλ1/ chλ

λ1λ 2λ

/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

1 4,73004λ = 2 7,85320λ = Puis 2 (2 1)2ii i πλ> ≅ +

( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh

i ii i i i i

i i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

−= − − −

−

Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres

3

Appuyé – Libre

1 mode rigide rotation de la poutre

0 1( )V x A x=

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ− =

tanλ

t hλ

λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

3λ 7 / 2π

1 3,9266λ = 2 7,0686λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ +

sin( ) sin shsh

ii i i

i

V x x xλλ λλ

= +

Appuyé - Encastré

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ− =

tanλ

t hλ

λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π

3λ 7 / 2π

1 3,9266λ = 2 7,0686λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ +

( )cos ch( ) cos ch sin shsin sh

i ii i i i i

i i

V x x x x xλ λλ λ λ λλ λ

−= − − −

−

Appuyé - Appuyé

Équation caractéristique : sin sinh 0λ λ =

i iλ π=

( ) sin /iV x i xπ=

Glissant – Libre

1 mode rigide translation de la poutre

0 0( )V x A=

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ+ =

tanλ

-t hλ

λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π 3λ 7 / 2π

1 2,3650λ = 2 5, 4978λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ − +

cos( ) cos chch

ii i i

i

V x x xλλ λλ

= +

Fiche de cours du chapitre V Vibrations des poutres

4

Glissant - Encastré

Équation caractéristique : tan t h 0λ λ+ =

tanλ

-t hλ

λ1λ 2λ/ 2π 3 / 2π 5 / 2π 3λ 7 / 2π

1 2,3650λ = 2 5, 4978λ = Puis 24ii iπλ π> ≅ − +

cos( ) cos chch

ii i i

i

V x x xλλ λλ

= −

Glissant - Appuyé

Équation caractéristique : cos cosh 0λ λ =

(2 1)2i i πλ = −

et ( ) cos(2 1)2i

xV x i π= −

Glissant – Glissant

1 mode rigide translation de la poutre

0 0( )V x A=

Équation caractéristique : sin sinh 0λ λ =

i iλ π=

et ( ) cos /iV x i xπ=