Cours dAnalyse Numrique
Professeur Longin SOME,Laboratoire dAnalyse Numrique dInformatique et de Biomathmatique
(LANIBIO),Unit de Formation en Sciences Exactes et Appliques
(UFR/SEA), Universit de Ouagadougou.
Anne Acadmique 2012 - 2013
Table des matires
1 Chap 1 : Rsolution numrique de systmes linaires Ax = b 31.1 Gnralits sur les vecteurs et les matrices . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 1.1 Les vecteurs de Rn= R R ::: R . . . . . . . . 31.1.2 Matrice de Mnp (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Applications des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Mthodes "thoriques" de rsolution de Ax = b : Cramer,Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Mthodes des dterminants ou de cramer . . . . . . . . 121.2.2 Mthode de linverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Mthode directes : Gauss, Jordan, Choleski, ... . . . . . . . . 131.3.1 Rsolution des systmes triangulaires et diagonaux . . 131.3.2 Mthode directe de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Mthode de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.4 Mthode de Choleski ou des racines carres . . . . . . . 18
1.4 Mthodes itratives de rsolution de systmes linaires : Ja-cobi, Gauss-Seidel, SOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1 Algorithmes des mthodes itratives . . . . . . . . . . . 211.4.2 Mthode itrative de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3 Mthode itrative de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . 251.4.4 Mthodes SOR = Successive Over - Relaxation . . . . 26
2 Chap 2 : Interpolation et Approximation, Intgration et D-rivation numriques 282.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Approximation (polynmiale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Polynme epn de meilleure approximation uniforme (m.a. u) dune fonction ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Polynme eqn de m. a. des moindres carrs de ' . . . . 371
2.2.3 Polynme eqn de m.a.m.c discrtes de ' . . . . . . . . . 392.3 Intgration numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2 Formule de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3 Formules de Newton - cotes . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.4 Formules dintgration numrique de Gauss . . . . . . 43
2.4 Drivation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Le problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.2 Quelques formules dapproximations des drives : M-
thode des dirences nies. . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Chap 3 : Rsolution numrique des ODEs et des PDEs parla mthode des dirences nies 473.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Rsolutions des ODEs ou des systmes dODEs . . . . . . . . 48
3.2.1 Formules thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2 Rsolution numrique par les dirences nies . . . . . 49
3.3 Rsolution numrique des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2
Chapitre 1
Chap 1 : Rsolution numriquede systmes linaires Ax = b
1.1 Gnralits sur les vecteurs et les ma-trices
1.1.1 1.1 Les vecteurs de Rn= R R ::: RDenition 1 b 2 Rn , b = (b1; :::;bi; :::;bn); bi2 R:
a) Vecteur ligneb = (b1; :::;bi; :::;bn) vecteur ligne, format 1 nb) Vecteur colonne
b =
[email protected]::bi::bn
1CCCCA vecteur colonne, format n1Sous Matlab>>b = [b1;b2;b3] - % b vecteur ligne
b =b1 b2 b3
>>b = [b1;b2;b3]0 - % b vecteur colonne
3
b =b1b2b3
c) Vecteurs particuliers
- Vecteur nul ou de "0"( zeros en anglais)
z =(0; :::;0) ou z =
[email protected] 0::0
1ASous Matlab>> z= zeros (1,n); % vecteur nul (ligne) de n coordonnes>>z= zeros (1,n)0; % vecteur nul (colonne) de n coordonnes>>z= zeros (n,1); % vecteur nul (colonne) de n coordonnes- Vecteur de "1"(ones en anglais)
w =(1;1:::1) ou w =
[email protected]::1
1CCASous Matlab>> w= ones (1,n);% vecteur ligne de "1", n coordonnes>> w= ones (1,n);% vecteur colonne de "1", n coordonnes>> w= ones (n,1);% vecteur colonne de "1", n coordonnesRemarque : les vecteurs nuls ou de 1permettent, en programmation
informatique, dinitialiser respectivement dans les boucles de somme ou deproduit :
X
Y
:
d) Normes vectorielles :k:k
Denition 2 soit E un Rev. On appelle norme vectorielle dans E;toute application notek:k : E ! R+
v 7! kvkvriant les proprits suivantes :(i) kvk 0; kvk = 0 si v = 0E (positivit)(ii) kvk = jjkvk; 8 2 R;8 v 2 E (homognit circulaire)(iii) ku+ vk kuk+ kvk; 8 u;v 2 E (ingalit triangulaire)
4
Example 3 E = R ; kxk = jxj ( valeur absolue)E = R2; x =(x1 ;x2) ; kxk =
px21+ x2
2norme euclidienne
Normes de Holder dans Rn Soit p 2 N ou p =1. Pour tout x 2 Rn
kxkp =
nXi=1
jxijp! 1
p
est une norme dnomme norme p de Hlder.Cas classiques : p = 1; 2; 1p = 1 : norme_un : kxk1 =
nXi=1
jxij (norme des valeurs absolues)
p = 2 : norme_deux : kxk2 =
nXi=1
jxij2!1
2
(norme euclidienne)
p =1 : norme_innie : kxk1 = maxi=1;n
jxijAdditif (Matlab)p = 1 : norme_moins_inf kxk1 = min
i=1;njxij
Sous Matlab x = [x1; x2:::xn] ; N1 = norm (x; 1) N2 = norm (x; 2)Ou
N2 = norm (x) N inf = norm (x; inf) N_ inf = norm (x; inf)
NB :o help norm -
Remark 4 Syntaxe : norm (x; p) avec p = 1; 2 inf, -inf
1.1.2 Matrice de Mnp (R)Denition 5 Soient n; p 2 N;on appelle matrice de format (n; p) ou de typen p; coe cient rels, tout tableau de la forme suivant :
5
A =
26666664a11 a12 ::: a1j ::: a1pa21 a22 ::: a2j ::: ap::: ::: ::: ::: ::: :::ai1 ai2 ::: aij ::: aip::: ::: ::: ::: ::: :::an1 an2 ::: anj ::: anp
37777775Remark 6 On peut remplacer [] par () : Lensemble des matrices de format(n; p) cocient dans R se noteMnp (R).
a) Notations? A = (aij)1in
1jn;
? Matrice comme une ligne de vecteurs
En posant ; a:j =
[email protected]:::anj
1CCA colonne j=) [a:1 a:2:::a:j:::a:p]?Matrice comme une colonne de vecteurs. En
En posant ai: = [ai1 ai2:::aip] ligne i
=) A =
26666664a1:a2::::ai::::an:
37777775b) Matrices particulieres.? matrices 1 p ou vecteurs lignesv = [v11 v12:::v1p] [v1 v2:::vp]
? matrices n 1 ou vecteurs colonnes
C =
26666664c11c12:::ci1:::cn1
37777775 26666664c1c2:::ci:::cn
377777756
? matrices scalaires : n = p = 1S = (s11) = (s)Saisie de matrice de0 00 et de 010 sous Matlab. n = 10 p = 15 z = zeros (n; p) 0 = ones (n; p)Cas gnral A = [ligne 1; ligne 2; ligne der] -A =
Introduction utiles (commandes) help : aide save : enregistrer la session load : ramne une session enregistre whos : donne la liste de toutes les variables de la session clc : (clear commande window)
eacer lcran ou la fentre de commande(travail) edit quit exitc) les matrices carres dordre n : Mn (R)A = (aij)1i;jn? Matrice nulle : n = 10
z = zeros (n)? Matrice de1: 0 = ones (n)? Matrice identit : I = eye (n)
I =
[email protected] 0 ::: 00 ::: ::: :::::: ::: 00 ::: ::: 1
1CCA? A =
2664a11 ::: :::: a1n: : : :: : : :an1 ::: ::: ann
3775 Matrice diagonale associe
7
D =
[email protected] 0 ::: 00 : : :: : : 00 ::: 0 ann
1CCA dij = 0 si i 6= jaij si i = j9 fonction diag- diag (matrice carre) =vecteur form par la diagonale de la matrice- diag (vecteur) = matrice carre diagonale ayant vecteur comme diago-
nale D = diag (diagA) Matrice triangulaire suprieur (Up) associ
U =
2664a11 0 ::: a1n0 : : :: : : :an1 ::: 0 ann
3775 Uij = 0 si i jaij si i j9 fonction tri(u)
U =tri u (A) -? Matrice triangulaire infrieure (low)
L =
266664a11 0 ::: ::: 0a21 : : : :::: : : : :: : : : 0an1 ::: ::: an;n1 ann
377775 L = tril (A) - (Matlab extrait la matrice triangulaire infrieur de
A).Autres fonctions sur les matrices carres dordre n :det () : calcule le dterminant
exemple :
a11 ::: a1n: : :an1 ::: ann
inv () : calcule linverseexemple : A1 =
1
detA
t
(com (A))
Normes de matrices carres
Denition 7 On appelle norme matricielle sur Mn (R), toute applicationnote jjj jjj dnie de :
8
Mn (R) ! RuA 7! jjjAjjj
qui vrie les 4 proprits suivantes :(i) : jjjAjj j 0;8 A 2Mn (R) ; jjjAjjj = 0 () A = 0 (positivit)(ii) : jjjAjjj =j j jjjAjjj;8 2 R;8 A 2Mn (R) (homogneit circulaire)(iii) : jjjA + Bjjj jjjAjjj + jjjBjjj;8 A;B 2 Mn (R) (ingalit triangu-
laire)(iv) : jjjABjjj jjjAjjj jjjBjjj;8 A;B 2Mn (R) (consistance)
Exemples
exemple 1 : Norme matricielle de Frobenius
jjjAjjjF =
nXi=1
nXj=1
j aij j2! 1
2
exemple 2 : Norme matricielle subordonne des normes vectorielles Dnition : Soit k k une norme vectorielle alors jjj jjj
dnie par :jjjAjjj = max
x6=0kAxkkxk = maxjjxjj=1
k Axk est une norme baptise norme matriciellesubordonne la norme vectorielle. Cas des normes subordones k kp(Holder)? jjjAjjjpq = max kAxkpkAxkq
x 6= 0? jjjAjjjp = max kAxkpkxkp
x 6= 0-exemples de p-normes classiques
p = 1 jjjAjjj1 = maxj=1;n
nXi=1
j aij j
p = 2 jjjAjjj2 = ((AAt))12 o () : le rayon spectral (M) = max ji
p =1 jjjAjjj1 = maxj=1;n
nXi=1
jaijj
(dessin)
Calcul sous matlab
9
9 fonction norm ()syntaxe : jjjAjjjp = norm(A; p), avec p = 1; 2; inf; fro0Ainsi (sur matlab)o A = [ligne 1; ligne 2; :::; ligne n] -o N1 = norm(A; 1) -o N2 = norm(A; 2) -oo N2 = norm(A) -o Ninf = norm(A; inf) -o Nfro = norm(A;0 fro0) -
