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Éléments de Calcul TensorielÉléments de Calcul Tensoriel
I Les TenseursII Les Opérateurs Différentiels
J.C. Charmet © 2002
II Les Tenseurs Les Tenseurs
I-1 Définition des TenseursI-2 Opérations sur les TenseursI-3 Symétrie et AntisymétrieI-4 Tenseurs Identité et d’AntisymétrieI-5 Produits Scalaire et Vectoriel
I-1I-1 Définition des Tenseurs Définition des TenseursTenseur : Opérateur liant dans un même repère deux grandeurs
physiques en un même point d’un espace de dimension d
M
T(M)=
u
v
vu =
Ses composantes dans un repère donné
ne dépendent que du M
Le Rang d’un tenseur caractérise son nombre d’indices
T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d0 =1 composante T(M)
T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 composantes Ti(M)
T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 composantes Tij(M)
T(n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn composantes Tij…n(M)
I-2I-2 Opérations sur les Tenseurs Opérations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang
C(n) = A(n) + B(n) Cij…n = Aij…n + Bij…n
Produit tensoriel ()
C(n+m) = A(n) B(m) Cij…n…n+m = Aij…n Bij…m
Produit Contracté (·) sur l’indice k
C(n+m-2) = A(n) · B(m) Cij…n+m-2 = Aij…k...n Bij…k…m k=1
d
La contraction peut s’effectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant
Convention des indices muets
Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur l’ensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice
Cij = AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai2B3j C(2) = A(2) · B(2) k=1
3
I-3I-3 Symétrie et Antisymétrie Symétrie et AntisymétrieSymétrie par rapport au couple d’indices l,r
Les propriétés de Symétrie et d’Antisymétrie sont intrinsèques Elles se conservent par changement de repère
C(t) symétrique {l,r} Cij…l…r…t = Cij…r…l...t
C(t) antisymétrique {l,r} Cij…l…r…t = -Cij…r…l...t
Symétrie complète le couple d’indices , {1..t}
C(t) symétrie complète Cij………t = Cij……...t
C(t) antisymétrique complète Cij………t = (-1)PCij……...t
P étant la parité de la permutation {ij………t} {ij………t}
Exemple : {1.2….5.…9} {1.2….5.…9} Paire P = 0 modulo 2
{1.2….5.…9} {1.2….7.…9} Impaire P = 1 modulo 2
I-4I-4 Tenseurs Identité et d’Antisymétrie Tenseurs Identité et d’AntisymétrieTenseur Identité
1
ij = 1 si i = j
ij = 0 si i j le repère
Tenseur d’Antisymétrie
ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3}
ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}
ijk = 0 si au moins 2 indices égaux
a pour composantes :ip iq ir
jp jq jr
kp kq kr
ijkpqr = Det
ijkpqr = ip(jqkr-jrkq)-jp(iqkr-irkq)+kp(iq jr-irjq)
Contraction {i,p} ijkiqr =jkqr = ijkiqr = jqkr-jrkq = Det jq jr
kq kr
Contraction {i,p} {j,q}
ijkijr =jkjr = ijkijr = 2kr
Contraction {i,p} {j,q} {k,r} ijkijk =jkjk = ijkijk = 2kk = 6
Det(T(2)) = ijkpqrTipTjqTkr16
I-5I-5 Produits Scalaire et Vectoriel Produits Scalaire et Vectoriel
Produit Tensoriel de deux Vecteurs
u1
u2 u3
u =
v1
v2
v3
v = Cu1v1 u1v2 u1v3
u2v1 u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 u3v3
u v Cij= uivj
Produit Scalaire de deux Vecteurs vu · = ukvk = Ckk = Tr( )u v
Produit Vectoriel de deux Vecteurs
u2v3 – u3v2
u3v1 – u1v3
u2v1 – u1v2
w vu w1
w2 w3
=w =P23
P31 P21
0 u1v2-u2v1 u1v3-u3v1
u2v1-u1v2 0 u2v3-u3v2
u3v1-u1v3 u3v2-u2v3 0
Produit Extérieur de deux Vecteurs
P- =
u v uv CtC
· ·
u v=w vu
wi = ijkCjk
IIII Les Opérateurs Différentiels Les Opérateurs Différentiels
II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur II-4 Les Rotationnels d’un Tenseur de Rang 2 II-5 Le Laplacien
II-1II-1 Le Gradient Le GradientGradient d’un Scalaire (x)
d=Grad·dx
Grad =
x1
x2
x3
u1
x1
Gradu =
u3
x1
u1
x2
u2
x1
u2
x2
u2
x3
u3
x2
u1
x3
u3
x2
Gradient d’un Vecteur u(x)
du=Gradu·dx
Gradient d’un Tenseur de Rang 2 (x) dT=GradT ·dx
Gijk = GradT =
Tij
xk
II-2II-2 La Divergence La Divergence
Divergence d’un Vecteur u(x)
Divergences d’un tenseur de Rang 2 (x)
Divu = = + +uk
xk
u2
x2
u3
x3
u1
x1
DivD = =Tij
xj
T13
x3
T11
x1
T12
x2
+ +
T23
x3
T21
x1
T22
x2
+ +
T33
x3
T31
x1
T32
x2
+ +
Divergences des Vecteurs Ligne
DivG = =Tij
xi
T31
x3
T11
x1
T21
x2
+ +
T32
x3
T12
x1
T22
x2
+ +
T33
x3
T13
x1
T23
x2
+ +
Divergences des Vecteurs Colonne
DivD = DivGt
DivG = DivDt
= t symétrie DivD = DivG
II-3II-3 Le Rotationnel d’un Vecteur Le Rotationnel d’un Vecteur
Opérateur Nabla =
x1
x2x3
Divergence Div = Tr( )u· u= u = Tr( )u Grad
tGrad
Tenseur Rotationnel
u2
x3
u1
x3
u3
x2
u3
x1
u2
x1
u1
x2
u1
x2- -
u1
x3
-u2
x3
u3
x2-
u3
x1-
-u2
x1
0
0
0u Gradu-Rot =u =
Pseudo Vecteur Rotationnel
Rot =u u
u3
x2-u2
x3
u1
x3
u3
x1-
u1
x2-u2
x1
· ·
=
ijk
Rot =u u uGrad
=Rot u[ ]i
uk
xj
u1
u2 u3
u = uu =tGrad
u2
x3
u1
x3
u3
x3
u3
x2
u2
x2
u3
x1
u2
x1
u1
x2
u1
x1
=et Gradient
II-4II-4 Rotationnels d’un Tenseur Rotationnels d’un Tenseur TT(2)(2)
Pseudo Rotationnels d’un tenseur de Rang 2 (x)
tRotD = RotGt
tRotG = RotDt
= t symétrie RotD = tRotG
Gradient d’un tenseur de Rang 2 (x) F = Grad(3)T(2) Fijk =Tij
xk
Rotationnels des Vecteurs Ligne
[ ]lkRotD ==T kij
Tlj
xi
RotD ==T
T31
x3
T33
x2
T22
x1
T12
x1
T23
x2
T11
x3
T13
x1- -
T11
x2
-T21
x2
T33
x1-
T32
x3-
-T22
x3
T13
x2
T12
x3-
T21
x3
T23
x1-
T32
x1
T31
x2-
Rotationnels des Vecteurs Colonne
[ ]klRotG ==T kij
Tjl
xi
RotG ==T
T22
x1
T21
x1
T13
x3
T33
x2
T11
x3
T32
x2
T22
x3- -
T23
x3
-T33
x1
T12
x2-
T11
x2-
-T31
x1
T31
x2
T21
x3-
T12
x3
T32
x1-
T23
x1
T13
x2-
II-4II-4 Le Laplacien Le Laplacien
u[ ]kRot = klm
um
xl
Laplacien d’un Vecteur u(x)
u = DivD( ) =Grad =2ui
xk xk
2u1
x12
2u1
x22
2u1
x32
++
2u2
x12
2u2
x22
2u2
x32
++
2u3
x12
2u3
x22
2u3
x32
++
u
u[ ]i[ ]i=ijk =(iljm-imjl)2um
xjx1
klm
um
xl[ ]iRot (Rot )u
xj= -2uj
xixj
2ui
xjxj
= -Grad(Div )u
Laplacien et Rotationnel
(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - u
Laplacien d’un Scalaire (x) =Div(Grad)
xk xk=Div(Grad) =
2x1
2
2x2
2
2x3
2++=
2
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