Structure de l'espace des tenseurs d'élasticité en 2D · PDF filePlan de l’exposé Introduction Paramétrisation de l’espace des tenseurs d’élasticité Invariants du tenseur

Plan de l’exposeIntroduction

Parametrisation de l’espace des tenseurs d’elasticiteInvariants du tenseur d’elasticite

Structure de l’espace des tenseurs d’elasticiteTranche lineaire globale et separation des orbites

Stratification de l’espace des orbites et classes de materiauxConclusions et perspectives

Structure de l’espace des tenseurs d’elasticite en2D

Gery de Saxcea Claude Valleeb

a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve d’Ascqb LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers

10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques AppliqueesPoitiers, 26-31 aout 2010

August 22, 2010Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve d’Ascq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de l’espace des tenseurs d’elasticite en 2D





Plan de l’expose

Introduction

Parametrisation de l’espace des tenseurs d’elasticite

Invariants du tenseur d’elasticiteInvariants joints

Structure de l’espace des tenseurs d’elasticite

Tranche lineaire globale et separation des orbites

Stratification de l’espace des orbites et classes de materiauxClasse de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

Conclusions et perspectives

Gery de Saxcea Claude Valleeb a LML (UMR CNRS 8107), Villeneuve d’Ascq b LMS (UMR CNRS 6610), Poitiers 10eme Colloque Franco-Roumain de Mathematiques Appliquees Poitiers, 26-31 aout 2010Structure de l’espace des tenseurs d’elasticite en 2D





Contexte du travail

I CITV (Colloque International de Theories Variationnelles)http://citv.iam.rwth-aachen.de/citv

I Programme PEPS Maths-ST2I 09-99 ”Classification desmateriaux elastiques et calcul des invariants”

I Partenaires : LATP (Marseille), LML, LIFL (Lille), MSME(Paris-Est), LMS (Poitiers), LMS (Palaiseau), IAM (Aachen),FAST (Paris-Sud)






Contexte du travail









Contexte du travail









Origine du probleme

I En elasticite, les materiaux sont decrits par les orbites del’action du groupe des rotations sur l’espace des systemes decoefficients elastiques. Leur description s’effectue par ladetermination d’un systeme fini d’invariants polynomiaux quiseparent les orbites.

I Quoique le probleme en 3D a deja fait l’objet d’etudes parPratz (1983), Cowin (1988), Boehler, Kirillov Jr et Onat(1993), Ostrasablin (1998), Bona, Bucataru et Slawinski(2008), l’ambition est de le resoudre de maniere exhaustive.






Origine du probleme

I En elasticite, les materiaux sont decrits par les orbites del’action du groupe des rotations sur l’espace des systemes decoefficients elastiques. Leur description s’effectue par ladetermination d’un systeme fini d’invariants polynomiaux quiseparent les orbites.

I Quoique le probleme en 3D a deja fait l’objet d’etudes parPratz (1983), Cowin (1988), Boehler, Kirillov Jr et Onat(1993), Ostrasablin (1998), Bona, Bucataru et Slawinski(2008), l’ambition est de le resoudre de maniere exhaustive.






Origine du probleme

I Les retombees attendues sont nombreuses concernant lesmateriaux composites, biologiques et les geomateriaux.

I Toutefois, l’etude du cas 2D est interessante per se.L’identification du comportement elastique d’un materiauanisotrope dont la symetrie materielle est a priori inconnueest par exemple un probleme de premiere importance engeotechnique.






Origine du probleme

I Les retombees attendues sont nombreuses concernant lesmateriaux composites, biologiques et les geomateriaux.

I Toutefois, l’etude du cas 2D est interessante per se.L’identification du comportement elastique d’un materiauanisotrope dont la symetrie materielle est a priori inconnueest par exemple un probleme de premiere importance engeotechnique.






Objectif

I Loi de Hooke σij = Cijklεkl

I Espace E(d) = S2S2Rd des systemes de coefficients elastiquesC = (Cijkl)1≤i ,j ,k,l≤d

I Pour la representation lineaire de SO(d) dans E(d)

C ′ = ρ(r)C ⇐⇒ C ′ijkl = rp

i rqj r r

k r sl Cpqrs ,

I Objectif : Etude de la structure geometrique sous-jacente del’espace quotient Ela(d) = E(d)/SO(d)






Objectif





i rqj r r

k r sl Cpqrs ,







Objectif





i rqj r r

k r sl Cpqrs ,







Objectif





i rqj r r

k r sl Cpqrs ,







Demarche

I Etape 1 : choix d’un systeme de parametres faisant apparaıtrela decomposition en sous-espaces irreductibles

I Etape 2 : determination des invariants de l’orbite

I Etape 3 : determination de la structure geometriquesous-jacente de Ela(2)

I Etape 4 : determination d’une tranche lineaire globale etseparation des orbites

I Etape 5 : stratification de l’espace des orbites et classes demateriaux






Demarche











Demarche











Demarche











Demarche











Representation de Kelvin

I en 2D : σ11

σ22√2σ12

=

C1111 C1122

√2C1112

C2211 C2222

√2C2212√

2C1211

√2C1222 2C1212

ε11

ε22√2ε12

m

s = c e

I Notation suggeree par Kelvin, reintroduite et utilisee parWalpote, Rychlewski, Mohrabadi et Cowin

I Theoreme : dans la representation de Kelvin, toute matriceorthogonale, r ∈ O(2) agit sur σ ∈ S2R2 comme une matriceorthogonale R ∈ O (3) agissant sur s ∈ R3.







I en 2D : σ11

σ22√2σ12

=

C1111 C1122

√2C1112

C2211 C2222

√2C2212√

2C1211

√2C1222 2C1212

ε11

ε22√2ε12

m

s = c e









I en 2D : σ11

σ22√2σ12

=

C1111 C1122

√2C1112

C2211 C2222

√2C2212√

2C1211

√2C1222 2C1212

ε11

ε22√2ε12

m

s = c e








Parametrisation de l’espace des tenseurs de contraintes

I Idee-cle : le changement de variable s = P−1s, avecp = s1+s2√

2, κ′ = s1−s2√

2 pκ′

s3

=

1√2

1√2

01√2− 1√

20

0 0 1

s1

s2s3

.

I induit sur le tenseur d’elasticite le changement de variable

c = P−1 c P =

2(λ + µ) 0 00 2µ 00 0 2µ

+

0 η αη 2γ −2βα −2β γ






Parametrisation de l’espace des tenseurs de contraintes

I Idee-cle : le changement de variable s = P−1s, avecp = s1+s2√

2, κ′ = s1−s2√

2 pκ′

s3

=

1√2

1√2

01√2− 1√

20

0 0 1

s1

s2s3

.

I induit sur le tenseur d’elasticite le changement de variable

c = P−1 c P =

2(λ + µ) 0 00 2µ 00 0 2µ

+

0 η αη 2γ −2βα −2β γ







I ou apparaissent les coefficients de Lame :

λ =1

8(c11 + c22 + 6c12 − 2c33) ,

2µ =1

4(c11 + c22 − 2c12 + 2c33) ,

I et d’autres variables :

η =c11 − c22

2, γ =

1

8(2c33 + 2c12 − c11 − c22)

α =c23 + c13√

2, β =

c23 − c13

2√

2.







I ou apparaissent les coefficients de Lame :

λ =1

8(c11 + c22 + 6c12 − 2c33) ,

2µ =1

4(c11 + c22 − 2c12 + 2c33) ,

I et d’autres variables :

η =c11 − c22

2, γ =

1

8(2c33 + 2c12 − c11 − c22)

α =c23 + c13√

2, β =

c23 − c13

2√

2.






Decomposition en sous-espaces irreductibles

I Le choix des nouvelles variables revele la decompositionirreductible :

λ′

µ′

η′

α′

γ′

β′

=

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 cos2θ sin2θ 0 00 0 −sin(2θ) cos2θ 0 00 0 0 0 cos4θ sin4θ0 0 0 0 −sin4θ cos4θ

λµηαγβ






Invariants joints

Invariants de chaque sous-espace irreductible

I Sous-espace E0 : un invariant λ

I Sous-espace E′0 : un invariant µ

I Sous-espace E2 : un invariant I 22 = η2 + α2

I Sous-espace E4: un invariant I 24 = γ2 + β2

I Mais attention ! Quand SO(2) agit sur E(2), L’orbitecirculaire O4 dans E4 est parcouru deux foix plus vite quel’orbite circulaire O2 dans E2 (ces orbites sont ”couplees”)






Invariants joints












Invariants joints












Invariants joints












Invariants joints

Invariants joints

I Ce couplage est pris en compte par des invariants joints quel’on peut determiner simplement en travaillant avecz2 = η + i α et z4 = γ + i β.

I On obtient un invariant complexe

ζ =z22

z4I 24 = z2

2 z4 = (η + i α)2(γ + i β)

I Mais attention ! Il est lie aux autres par | ζ |2= I 24 I 4

2

I D’ou deux invariants reels :

ζr = <ζ = 2αβη + γ (η2 − α2) ,

ζi = =ζ = 2αγη − β (η2 − α2) .






Invariants joints

Invariants joints



ζ =z22

z4I 24 = z2

2 z4 = (η + i α)2(γ + i β)


2


ζr = <ζ = 2αβη + γ (η2 − α2) ,

ζi = =ζ = 2αγη − β (η2 − α2) .






Invariants joints

Invariants joints



ζ =z22

z4I 24 = z2

2 z4 = (η + i α)2(γ + i β)


2


ζr = <ζ = 2αβη + γ (η2 − α2) ,

ζi = =ζ = 2αγη − β (η2 − α2) .






Invariants joints

Invariants joints



ζ =z22

z4I 24 = z2

2 z4 = (η + i α)2(γ + i β)


2


ζr = <ζ = 2αβη + γ (η2 − α2) ,

ζi = =ζ = 2αγη − β (η2 − α2) .







I Si I2 > 0 et I4 > 0, les orbites (generiques) sont des lignescompactes. Leur ensemble Elag , de dimension 5, peut etreparametrise par les coordonnees (λ, µ, I2, I4, ζr ) ou(λ, µ, I2, I4, ζi ).

I Si I2 = 0 et I4 > 0, ζr = ζi = 0, les orbites sont des cercles derayon I4. Leur ensemble est un volume Ela4 qui peut etreparametrise par les coordonnees (λ, µ, I4).

I Si I2 > 0 et I4 = 0, ζr = ζi = 0, les orbites sont des cercles derayon I2. Leur ensemble est un volume Ela2 qui peut etreparametrise par les coordonnees (λ, µ, I2).

I Si I2 = I4 = 0, les orbites sont des points. Leur ensemble estune surface Elaiso parametrisable par les coordonnees (λ, µ).




































Determination d’une tranche lineaire globale

I un sous-espace vectoriel S ⊂ E(2) tel que chaque orbite deSO(2) dans E(2) intersecte S en un point d’une orbite d’ungroupe fini Γ est appele une tranche lineaire globale.

I L’existence d’une telle tranche rend l’etude des tenseursd’elasticite beaucoup plus aisee car

Ela(2) = E(2)/SO(2) ∼= S/Γ .

I on identifie E(2) a l’espace R6 des vecteurs

c =(

λ µ η α γ β)T

.









Ela(2) = E(2)/SO(2) ∼= S/Γ .


c =(

λ µ η α γ β)T

.









Ela(2) = E(2)/SO(2) ∼= S/Γ .


c =(

λ µ η α γ β)T

.







I Une tranche lineaire globale est

S ={c ∈ R6 | η = 0

},

I le groupe fini Γ = Z2 × Z2 agissant sur S par

(ε1, ε2) ·(

λ µ 0 α γ β)T

=(

λ µ 0 ε1α ε2γ β)T

.

I L’algebre R[E(2)]SO(2) des invariants des tenseurs d’elasticiteest generee par un nombre fini de polynomes

R[E(2)]SO(2) = R[λ, µ, I2, I4, ζi ] .








S ={c ∈ R6 | η = 0

},


(ε1, ε2) ·(

λ µ 0 α γ β)T

=(


.


R[E(2)]SO(2) = R[λ, µ, I2, I4, ζi ] .








S ={c ∈ R6 | η = 0

},


(ε1, ε2) ·(

λ µ 0 α γ β)T

=(


.


R[E(2)]SO(2) = R[λ, µ, I2, I4, ζi ] .






Separation des orbites

I On obtient l’application polynomiale

P : E(2) → R5 : c 7→(

λ(c) µ(c) I2(c) I4(c) ζi (c))T

.

I ”Les invariants separent les orbites” signifie que l’applicationP induit une application injective P : Ela(2) → R5.

I En effet, utilisant S , l’application P est injective

P

λµ0±α±γβ

= P

λµ0| α || γ |β

=

λµI2I4ζi

=

λµ| α |

| γ2 + β2 |1/2

βα2

.








P : E(2) → R5 : c 7→(


.I ”Les invariants separent les orbites” signifie que l’application

P induit une application injective P : Ela(2) → R5.

I En effet, utilisant S , l’application P est injective

P

λµ0±α±γβ

= P

λµ0| α || γ |β

=

λµI2I4ζi

=

λµ| α |

| γ2 + β2 |1/2

βα2

.








P : E(2) → R5 : c 7→(


.I ”Les invariants separent les orbites” signifie que l’application

P induit une application injective P : Ela(2) → R5.I En effet, utilisant S , l’application P est injective

P

λµ0±α±γβ

= P

λµ0| α || γ |β

=

λµI2I4ζi

=

λµ| α |

| γ2 + β2 |1/2

βα2

.






Classe de materiaux en elasticite anisotropeMateriau monocliniqueMateriau orthotropeMateriau tetragonalMateriau isotrope

Classe de materiaux en elasticite anisotrope

I Le stabilisateur d’un tenseur d’elasticite est appele groupe desymetrie. A chacun correspond une classe de materiaux.

I Une methode pour trouver les invariants consiste a etudier lesstabilisateurs de C ∈ E(2), donc les sous-groupes fermes deO(2) (voir par exemple [J.M. Souriau, Structure des systemesdynamiques, 1970]).

I Idee-cle :combiner cette methode avec la representation deKelvin et la decomposition en irreductibles, ce qui permet detravailler dans un repere quelconque.

I On va pouvoir ainsi identifier le comportement elastique d’unmateriau anisotrope dont la symetrie materielle est a prioriinconnue (probleme de premiere importance en geotechnique).








































Materiau monoclinique

I Un materiau dont le stabilisateur contient une reflexion parrapport a une droite ∆ est dit etre monoclinique.

I Si la normale a ∆ est inclinee d’un angle ϕ par rapport a l’axeOx1, la reflexion mϕ a une representation de Kelvin de laforme

Mϕ = P−1 Mϕ P =

(1 00 −m2ϕ

).

I On decompose c par bloc

c =

(2 (λ + µ) vT

v A

).










Mϕ = P−1 Mϕ P =

(1 00 −m2ϕ

).


c =

(2 (λ + µ) vT

v A

).










Mϕ = P−1 Mϕ P =

(1 00 −m2ϕ

).


c =

(2 (λ + µ) vT

v A

).








I L’action de la reflexion sur les coefficients elastiques s’ecrit

c ′ = Mϕ c (Mϕ)T =

(2 (λ + µ) (−mϕv)T

−mϕv mϕAmTϕ

).

I Le materiau est monoclinique si les coefficients elastiques sontinvariants par une reflexion :

v = −mϕv , A = mϕAmTϕ ,








I L’action de la reflexion sur les coefficients elastiques s’ecrit

c ′ = Mϕ c (Mϕ)T =

(2 (λ + µ) (−mϕv)T

−mϕv mϕAmTϕ

).

I Le materiau est monoclinique si les coefficients elastiques sontinvariants par une reflexion :

v = −mϕv , A = mϕAmTϕ ,








I d’ou les relations :

α = tan(2ϕ) η , β = tan(4ϕ) γ . (1)

I Eliminant ϕ entre les deux relations donne la condition pourqu’un materiau soit monoclinique

ζi = 2αγη − β (η2 − α2) = 0 . (2)

I Si (2) est verifiee, elles permettent de determiner la valeur deϕ donc le repere de symetrie s’il n’est pas connu a priori.









α = tan(2ϕ) η , β = tan(4ϕ) γ . (1)


ζi = 2αγη − β (η2 − α2) = 0 . (2)










α = tan(2ϕ) η , β = tan(4ϕ) γ . (1)


ζi = 2αγη − β (η2 − α2) = 0 . (2)








Materiau orthotrope

I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 2 droites orthogonales est dit etre orthotrope.

I Si les relations (1) sont satisfaite pour ϕ, elle le sont pourϕ + π/2, ce qui montre en 2D qu’un materiau monocliniqueest orthotrope.

I ζi = 2αγη − β (η2 − α2) est une mesure invariante du defautd’orthotropie.







Materiau orthotrope










Materiau orthotrope










Materiau tetragonal

I Un materiau dont le stabilisateur contient les reflexions parrapport a 4 droites obtenues par rotation successive de π/4est dit etre tetragonal.

I Un materiau orthotrope est tetragonal si α = η = 0 (ou siI 22 = η2 + α2 = 0), donc si :

c11 = c22 , c23 = −c13 .

I Pour un materiau orthotrope, I2 est une mesure invariante dudefaut de tetragonalite.







Materiau tetragonal



c11 = c22 , c23 = −c13 .








Materiau tetragonal



c11 = c22 , c23 = −c13 .








Materiau isotrope

I Un materiau dont le stabilisateur est O(2) lui-meme est ditetre isotrope.

I Un materiau tetragonal est isotrope si γ = β = 0 (ou siI 24 = γ2 + β2 = 0).

I Pour un materiau tetragonal, I4 est une mesure invariante dudefaut d’isotropie.







Materiau isotrope










Materiau isotrope










I En 2D, l’espace des tenseurs d’elasticite est parametrisablepar 5 coordonnees choisies parmi 6 invariants.

I C’est une variete stratifiee dont les parties Elag , Ela4, Ela2 etElaiso sont respectivement de dimensions 5, 3, 3 et 2.

I Son etude est beaucoup plus aisee en utilisant larepresentation de Kelvin, la decomposition en sous-espacesirreductibles et une tranche lineaire globale.

I Les invariants ζi , I2, I4, λ, µ separent les orbites.I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut de

symetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.

I Perspectives : traiter le cas 3D.


































I Les invariants ζi , I2, I4, λ, µ separent les orbites.

I Les 3 premiers sont des mesures invariantes du defaut desymetrie par rapport respectivement aux materiauxorthotropes, tetragonaux et isotropes.



























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