11

Ch. 6 Guides d’ondes métalliques

creux

IntroductionIntroduction

1 – Propagation TEM ?

2 – Équations de propagation pour une onde TE ou TM

3 – Ondes TE dans un guide sans pertes 1 - Expression du champ électromagnétique 2 - Fréquences de coupure et modes de propagation

4 – Ondes TM

5 - Puissance transportée

Bloc 13

22

Exemples de guide d’ondes ?

Câble à fils parallèles Câble coaxial Ligne micro-ruban (microstrip line) Guide d’ondes métallique creux Fibre optique et guide optique plan (cf.

propa 2)

Introduction

33

Câble à fils parallèles Installations électriques

basse fréquence (50 – 100 Hz), téléphonie

très élevée (en kms) Ondes TEM Traitement électrique :

pas de phénomène ondulatoire observable

Câble coaxial De l’électronique basse fréquence aux hyperfréquences Phénomènes ondulatoires en hyperfréquences ( faible) Ondes TEM

44

Lignes microruban Lignes de transmission

dans les circuits imprimés

Antennes collées f : 1 à 10 GHz : de qqs cm à qqs 10 cm

1 mm

Qqs mm

Peu coûteuses Pertes acceptables Transmission : pour des

faibles distances et faibles puissances

55

Lignes microruban Champ mal confiné

(pertes, interactions externes)

Ondes TEM (approx. ) : réflexions multiples, modes de propagation

66

Guide métallique creux

Hyperfréquences Transmission :

puissance élevée et distances faibles (pertes aux connexions)

Réflexions multiples sur les parois du guide

Existence de « Modes de propagation »

Antenne émettrice

Antenne émettrice

77

Ch. 6 Guides d’ondes métalliques

creux

Introduction

1 – Propagation TEM ?1 – Propagation TEM ?

2 – Équations de propagation pour une onde TE ou TM

3 – Ondes TE dans un guide sans pertes 1 - Expression du champ électromagnétique 2 - Fréquences de coupure et modes de propagation

4 – Ondes TM

5 - Puissance transportée

88

1 – Propagation TEM ?

z

La propagation d’ondes TEM est-elle possible dans un guide creux métallique ?

Hypothèses retenues : une onde TEM se propageant selon z (axe du

guide)

EEzz = B = Bzz = 0 = 0

Côtés x et y équivalents (a et b ) géométriquement par rapport à z

Exemple : Ex, By, kz (trièdre direct)

Soit :

xgo u).tz.k(jexp.EE

0

x

y

Ekg

B

99

Guide métallique creux : description

Section rectangulaire standard

Côtés a et b (a > b)

Parois conductrices : laiton, aluminium, argent

Diélectrique : air

Hypothèses d’étudeHypothèses d’étude : parois parfaitement conductrices propagation dans le diélectrique parfait

0

z

a

by

x

1010

Parois parfaitement conductrices Champs nuls dans les parois

Relations de continuité sur les parois (interface métal-diélectrique) :

ET = 0 aux interfaces en y = 0 et y = b,x

BN = 0 aux interfaces en y = 0 et y = b,x

Ex(y=0) = Ex(y=b) = 0

By(y = 0) = By(y = b) = 0

Amplitudes Ex et By dépendent de y

0

zE

E

Ekg

B

1111

Rappeler l’expression des équations de Maxwell dans l’air (diélectrique parfait à l’intérieur du guide).

Exercice 1

1212

0Ez

Ey

Ex zyx

Ex ne dépend pas de x

De même : By ne dépend pas de y

zxy

yzx

xyz

Bt

Ey

Ex

Bt

Ex

Ez

Bt

Ez

Ey

Ex ne dépend pas de y

Impossible sauf si Bz 0!

Pas TEMPas TEM

Quelles sont les équations de Maxwell utilisées pour établir le résultat sur cette diapositive ? Justifier les affirmations , , , , , ..

Exercice 2

1313

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creux

Introduction

1 – Propagation TEM ?

2 – Équations de propagation pour une 2 – Équations de propagation pour une onde TE ou TMonde TE ou TM

3 – Ondes TE dans un guide sans pertes 1 - Expression du champ électromagnétique 2 - Fréquences de coupure et modes de propagation

4 – Ondes TM

5 - Puissance transportée

1414

2 – Equations de propagation d’une onde TE ou TM

)tz.k(jexp).y,x(B)t,z,y,x(B

)tz.k(jexp).y,x(E)t,z,y,x(E

gm

gm

z

Onde TE se propageant selon z

EEzz = 0 = 0 et BBzz 0 0

0

x

y

Em(x,y) onde non plane

Hypothèses :

1515

)tz.k(jexp).y,x(B)t,z,y,x(B

)tz.k(jexp).y,x(E)t,z,y,x(E

gm

gm

Équations de Maxwell Équations de Maxwell

Toutes les composantes Emx, Emy,Bmx et Bmy s’expriment en fonction des dérivées des seules

composantes longitudinales EEmzmz et BBmz mz

Voir démonstrations

dans les documents déposés sur

Moodle : démos bloc 13

1616

On obtient :

²c²

²k

Ey

jkBx

jE

g

mzgmz

my

Voir démonstrations

dans les documents déposés sur

Moodle : démos bloc 13

²c²

²k

Ex

jkBy

jE

g

mzgmz

mx

²c²

²k

By

jkEx²c

jB

g

mzgmz

my

²c²

²k

Bx

jkEy²c

jB

g

mzgmz

mx

1717

mzogmzmz E²)k²k(E²y²

E²x²

mzogmzmz B²)k²k(B²y²

B²x²

Montrer que l’on obtient les équations de propagation suivantes , pour les composantes longitudinales Emz et Bmz :

Exercice 3

1818

Ch. 6 Guides d’ondes métalliques

creux

Introduction

1 – Propagation TEM ?

2 – Équations de propagation pour une onde TE ou TM

3 – Ondes TE dans un guide sans pertes3 – Ondes TE dans un guide sans pertes 1 - Expression du champ électromagnétique 2 - Fréquences de coupure et modes de propagation

4 – Ondes TM

5 - Puissance transportée

1919

3 –Ondes TE dans un guide sans pertes

1 – Expression du champ électromagnétique

Diviser par f.g

mzogmzmz B²)k²k(B²y²

B²x²

HypothèseHypothèse : Onde TE se propageant selon z

EEzz = 0 = 0 et BBzz 0 0

Posons : -kc²=kg²-ko²

)y(g.)x(f)y,x(Bmz Cherchons une solution de la forme :

0)y(g.)x(f².k)y(g²y²

.)x(f)x(f²x²

.)y(g c

0²k)y(g²y²

)y(g1

)x(f²x²

)x(f.1

c

Expression de Bz

2020

)y(g.)x(f)y,x(Bmz

0²k)y(g²y²

)y(g1

)x(f²x²

)x(f.1

c

Variables x et y indépendantes kc = cste (ne

dépend pas de x ni de y)

²k)y(g²y²

)y(g1

²k)x(f²x²

)x(f.1

y

x

Séparation des

variables

On pose : ²k²k²k cyx

Kx et ky sont des constantes

2121

yjkyjkxjkxjk yyxx DeCe)y(gBeAe)x(f Cherchons une solution de la forme :

²k²k²k

²k)y(g²y²

)y(g1

²k)x(f²x²

)x(f.1

cyx

y

x

Conditions aux limites : en x =0 et x =a, y

z

0

x

y

0

²c²

²k

Ey

jkBx

jE

g

mzgmz

my

0B

x mz

A = B

Idem avec Emx C = D

E

E

A, B, C, D ?

Parois horizontales

Composante tangentielle sur la paroi horizontale

2222

yjkyjkxjkxjk yyxx DeCe)y(gBeAe)x(f

Solution de la forme :

A = B

C = D

A, B, C, D ?

ykcos.C)y(g

xkcos.A)x(f

y

x

2323

)tz.k(jexp).y,x(B)t,z,y,x(B gm

Hypothèse : Onde TE se propageant selon z

-kc²=kg²-ko²

ykcosC)y(gxkcosA)x(f yx

)tz.k(jexp).y.kcos().x.kcos(.B)t,z,y,x(B gyxmz

2424

Exercice 4

A l’aide des expressions établies, sur la diapositive 16 , pour les composantes du champ électromagnétique , et de celle de Bmz , établir l’expression des amplitudes complexes des composantes transversales Emx, Emy, Bmx et Bmy.

2525

)tz.k(jexp).y.kcos().x.kcos(.B)t,z,y,x(B gyxmz

)tzk(jyxmy

c

gy

)tzk(jyxmx

c

gx

)tzk(jyxmx

cy

)tzk(jyxmy

cx

g

g

g

g

e.yksin.xkcos.B.k²k

jkB

e.ykcos.xksin.B.k²k

jkB

e.ykcos.xksin.B.k²k

jE

e.yksin.xkcos.B.k²kj

E

KKxx ? K ? Kyy ? ?

z0

x

y

x=a

y=b

Ey

Ey

Bx

Bx

2626

)tz.k(jexp).y.kcos().x.kcos(.B)t,z,y,x(B gyxmz

)tzk(jyxmy

c

gy

)tzk(jyxmx

c

gx

)tzk(jyxmx

cy

)tzk(jyxmy

cx

g

g

g

g

e.yksin.xkcos.B.k²k

jkB

e.ykcos.xksin.B.k²k

jkB

e.ykcos.xksin.B.k²k

jE

e.yksin.xkcos.B.k²kj

E

En x=0 , y , Ey = 0 et Bx = 0

En y=0 , x , Ex = 0 et By = 0

En y=b, x , Ex = 0 et By = 0 sin ky.b = 0

En x=a , y, Ey = 0 et Bx = 0 sin kx.a = 0

Nn,mb

nketa

mk yx

z0

x

y

x=a

y=b

Ey

Ey

Bx

Bx

2727

)tz.k(jexp).y.bn

cos().x.a

mcos(.B)t,z,y,x(B gmz

-kc²=kg²-ko²

)tzk(jm

c

gy

)tzk(jm

c

gx

)tzk(jm

cy

)tzk(jm

cx

g

g

g

g

e.ybn

sin.xa

mcos.B.

bn

²k

jkB

e.ybn

cos.xa

msin.B.

am

²k

jkB

e.ybn

cos.xa

msin.B.

am

²kj

E

e.ybn

sin.xa

mcos.B.

bn

²kj

E

)²b²n

²a²m

²(²k²k²k

Nn,mb

nka

mk

cyx

yx

Les coefficients m et n caractérisent le « Mode de propagation (m,n) : TETEm,n m,n »»

La propagation peut se faire selon des « Modes de propagation (m,n) : TETEm,n m,n » différents» différents

D’où l’expression des composantes du champ électromagnétique :

2828

Début du bloc 14….

Fin du bloc 13