Analyse, surviellance et controle te5240

27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour

Analyses temps-frquence linaireset quadratiques

par Nadge THIRION-MOREAUMatre de Confrences lISITV, Universit de Toulon et du Var

et Pierre-Yves ARQUSProfesseur lISITV, Universit de Toulon et du Var

1. Outils de description temporelle et frquentielle dun signal .... TE 5 250 - 3

2. Les reprsentations temps-frquence................................................ 32.1 Introduction.................................................................................................. 32.2 Diffrents types de reprsentations temps-frquence ............................. 7

3. Transformation de Fourier court terme et transformationen ondelettes............................................................................................. 12

3.1 Dfinitions et proprits.............................................................................. 123.2 Avantages et inconvnients. Applications................................................. 12

4. Transformation de Wigner et fonction dambigut ....................... 144.1 Dfinitions et proprits.............................................................................. 144.2 Avantages et inconvnients. Applications................................................. 144.3 Transformation de Wigner-Ville.................................................................. 15

5. Reprsentations temps-frquence quadratiques particulires ... 155.1 Spectrogramme et scalogramme............................................................... 165.2 Transformation pseudo-Wigner lisse et transformation Wigner lisse

affine ............................................................................................................. 175.3 Transformation de Cho-Williams .............................................................. 18

6. Comment choisir et mettre en uvre une RTF ? ........................ 186.1 Application des signaux de modulation ................................................. 186.2 Application ltude de signaux musicaux............................................... 23Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Tlcoms TE 5 240 1

objet du traitement du signal est ltude, la conception et la ralisation desystmes dexploitation des signaux, un signal tant un modle de repr-

sentation dun phnomne voluant dans le temps, lespace... et ayant pourvocation de transporter de linformation. La thorie du signal, quant elle,concerne llaboration de ces modles et y adjoint ltude des diffrents outilsdanalyse qui leur sont applicables. Un grand nombre de phnomnes ou dedispositifs physiques produisent des signaux : synthtiseur de parole, antennesradar et sonar, appareil photographique, metteur de tlvision, capteur linterface dun milieu physique et dun systme de mesure, cotation boursiredes actions...

Les grandes catgories de signaux sont dfinies par des caractres lis au sup-port (domaine de variation des variables), lensemble de valeurs et au modede gnration du signal. Dans tout cet article, on se limite ltude des signauxdterministes, temps continu (ou permanents), scalaires rels ou complexes,univariables, temporels ; les versions discrtes et chantillonnes des diffren-tes transformes prsentes sont fournies titre dinformation et en vue duneventuelle implantation sur ordinateur.

Rfrences bibliographiques ......................................................................... 26

L27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour



ANALYSES TEMPS-FRQUENCE LINAIRES ET QUADRATIQUES _________________________________________________________________________________

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite.TE 5 240 2 Techniques de lIngnieur, trait Tlcoms

Une mthode classique danalyse dun signal dterministe consiste lui asso-cier une transforme particulire de sa reprsentation initiale. On utilise habi-tuellement, pour les quantits satisfaisant au principe de superposition, et selonle besoin ou la nature du signal, une des diverses formes des transformationsfonctionnelles de Fourier, de Laplace, ou en z. La reprsentation obtenue estconstitue par les coefficients complexes dune combinaison linaire de quan-tits de base reconstruisant la quantit de dpart.

Si lanalyse frquentielle de Fourier met en uvre deux reprsentationsconjugues et globales, lune de type temporel, lautre de type frquentiel, lanature est cependant riche en signaux pour lesquels linformation utile est vhi-cule non seulement par les frquences mises mais aussi par la structure tem-porelle mme du signal ; lexemple de la musique est en cela caractristique(une partition musicale rend compte la fois de la frquence des notes maisgalement de lordre dans lequel elles doivent tre joues). Une reprsentationdu signal comme fonction du temps uniquement donne peu dindications surle comportement en frquence, tandis que son analyse de Fourier masque lins-tant dmission et la dure de chacun des lments composites du signal. Pourles besoins du traitement du signal, on a donc cherch associer, un signaltemporel ou frquentiel, des reprsentations dpendant des deux variablestemps et frquence et possdant donc simultanment les deux caractres tem-porel et frquentiel. Ces transformes sont qualifies de reprsentations temps-frquence (RTF), elles ne doivent surtout pas tre confondues avec des repr-sentations frquentielles partielles, dun signal bivariable spatio-temporel(dpendant alors du temps et de la frquence associe la variable spatiale).

Il convient de voir le passage par RTF au domaine temps-frquence, non pascomme un gain dinformation, mais plutt comme une redistribution de linfor-mation contenue dans le signal analys de faon en faciliter linterprtation.Les RTF ont en effet lavantage de mettre en vidence des comportementslocaux non stationnaires : la liaison existant entre reprsentation temps-frquence et reprsentation frquentielle dun signal peut se comparer la rela-tion entre une suite de notes musicales et lhistogramme de ces notes. Diversesmthodes engendrent des RTF de proprits et performances varies. Elles seregroupent au sein densembles cohrents, bass soit sur le type (paramtriqueou non) de modlisation, soit sur le caractre (linaire, quadratique ou autre)de la transformation engendrant la reprsentation.

Notations et symboles

Symbole Dfinition

Corps des rels

Corps des complexes

Ensemble des entiers algbriques

Imaginaire pur (de module 1 et dargument /2 )

t, Respectivement temps, frquence

ou Sommation pour i ou j

Sommation pour j { j0, ..., j0 + N 1}, avec j0 quelconque

(t a) Distribution de Dirac en t = a

i

i

j

j

N

(F G) (u) Produit de convolution de F (u ) et G (u )

{X (t) ; } ou ou : t

Transforme de Fourier (temps t frquence )

{x () ; t }

ou

ou : t

Transforme de Fourier inverse (frquence temps t )

E , D Transformes de Fourier chantillonne,de Fourier discrte

, E , D Versions permanente, chantillonne etdiscrte de la transforme TX (ainsi, pourla transforme de Fourier court terme,TX est remplac par T.FCT).

Notations et symboles

Symbole Dfinition

FF X .( )

; { }F

F 1

F 1 x .( ) ; t { }F 1

F F

TX TX TX


_________________________________________________________________________________ ANALYSES TEMPS-FRQUENCE LINAIRES ET QUADRATIQUES

1. Outils de description temporelle et frquentielle dun signal

Le lecteur pourra se reporter aux rfrences ([4] [5] [6] [10] [18][25] [33] [40] [42] [47] [49]) de la bibliographie.

La reprsentation frquentielle x () du signal X (t ), rel oucomplexe temps continu de support , est la transforme deFourier (en un sens quelconque) de la reprsentation temporelle :

(1)

Inversement, la reprsentation temporelle sen dduit par larelation :

(2)

Nota : les problmes de convergence des intgrales suscitent des dveloppementsdans des contextes divers : fonctions sommables, fonctions de carr sommable,distributions... [47].

Les versions chantillonne et discrte sont rappeles au niveaudu tableau 1. On rservera ici le terme spectre pour le modulede la reprsentation frquentielle.

Le signal X ayant EX pour nergie, on rappelle que (thorme deParseval) :

(3)

Pour dcrire le signal dans le temps, on peut introduire : le temps ou instant moyen (t ) du signal :

(4)

la dure du signal quantifiant son talement autour dutemps moyen :

(5)

la frquence moyenne () du signal :

(6)

la largeur de bande quantifiant ltalement en frquencedu signal autour de sa frquence moyenne :

(7)

Dune manire gnrale, on peut montrer que les reprsenta-tions temporelle et frquentielle dun signal sont soumises auprincipe dincertitude dHeisenberg-Gabor lequel se traduit parlingalit suivante :

(8)

Lgalit est atteinte pour un signal gaussien de la forme :

avec constante arbitraire.

Au sens des dfinitions choisies pour les rsolutions temporelleet frquentielle, le produit dure-bande de tout signal estborn infrieurement, induisant un invitable compromis entrersolution temporelle et rsolution frquentielle, lesquelles nepourront tre simultanment arbitrairement petites.

2. Les reprsentationstemps-frquence

2.1 Introduction

La reprsentation temporelle et la reprsentation frquentiellebien que contenant toute linformation relative au signal ne met-tent pas toujours en vidence toutes les caractristiques fines de cesignal. Lobjet de ce paragraphe est de montrer lintrt de dispo-ser dautres types de reprsentation combinant la fois le temps

F X .( ) ; { } x ( )

X t ( ) e 2 i t d t = =

F 1 x .( ) ; t { } X t ( )

x ( ) e 2 i t d = =

EX X t( ) 2dt x ( ) 2d= =

t

t X t( ) 2dt=df

t( )

t2 1

EX-------

t t( )2 X t( ) 2dt=

df

x ( ) 2d=df( )

2 1

EX---------

( )2 x ( ) 2d=

df

t1

4---------

X t( ) -----

14-----

e t2 2

=

t

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Tlcoms

TE 5 240

3

Pour dcrire le signal en

frquence

, on peut introduire :

et la frquence.

Tableau 1 Transformations univariables de Fourier

Notation Transformation Inversion

Fourier X (t ) : t ; x ( ) : ;

Fourier chantillonne X (tk) : k , tk = t0 + k ; xE ( ) : ;

Fourier discrte Xk : k {0,..., N 1} ; xm : m {0, ..., N 1} ;

X t( ) x ( )F x ( )

X t( )e2it dt= X t( )

x ( )e2it d=

X tk( ) xE ( )FE xE ( ) X tk( )e2itk

k Z=

X tk( ) 1 / xE ( )e2itk d=

Xk xmFD xm

k 0=

N 1 Xke2imk /N= Xk 1 / N m

0

=

N

1

x m e 2 i mk / N =27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour




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2.1.1 Frquence instantane

Une premire mthode pour traduire le comportement en fr-quence au cours du temps dun signal est de chercher lui asso-cier une frquence instantane, celle attribue un signalsinusodal tant bien videmment constante.

Une mthode classique de dfinition dune frquence instanta-ne dun signal rel X (t ) est de la dfinir partir du signal analy-tique XA (t ) associ ce signal :

XA (t ) = X (t ) + iXQ (t ) (9)

(10)

avec H {.} transformation de Hilbert,

VP valeur principale de lintgrale.

Le signal analytique sexprime aussi sous forme polaire (AX etarg XA sont lamplitude et la phase instantanes) :

(11)

La reprsentation frquentielle du signal analytique scrit :

(12)

(sgn(.) reprsente la fonction signe).

La frquence instantane du signal X (t ), linstant t, est alors :

(13)

On remarque par ailleurs que le passage au signal analytique neprserve pas lnergie car .

Le retard de groupe est la quantit duale de la frquenceinstantane :

(14)

On peut associer cette dfinition la notion de stationnarit dunsignal dterministe ( ne pas confondre avec la stationnarit dessignaux alatoires), lie intuitivement lide de rgime perma-nent, tant en amplitude quen frquence. Un signal X (t ) certain eststationnaire sil scrit comme une somme de composantes Yj pos-sdant toutes une amplitude instantane ( ) et une frquenceinstantane ( ) constantes.

Toutefois, le retard de groupe et la frquence instantane ne per-mettent de rendre correctement compte de la localisation tempo-relle des diffrentes composantes spectrales dun signal que pourune classe trs restreinte de signaux. Ainsi, la frquence instanta-ne reprsente-t-elle la frquence comme une fonction explicite du

temps : elle revient donc supposer qu chaque instant une seulefrquence est prsente dans le signal. Est-ce satisfaisant si le signalest une somme chaque instant de composantes de frquencesdiffrentes ? Aussi, dun point de vue pratique, prfre-t-on cesgrandeurs des reprsentations bidimensionnelles susceptibles decombiner la fois le temps et la frquence et appeles pour cetteraison reprsentations temps-frquence .

XQ t( ) H X t( ){ }1-----VP

X ( )t -------------- d= =

XA t( ) AX t( )ei arg X A t ( ) =

AX t( ) XA t( ) X 2 t( ) X Q2 t( )+= =

arg X A t ( ) arctan X

Q

t

( )

X t ( ) ------------------ =

df

xA ( ) F XA t( ); { }= x ( ) i i sgn ( )( ) x ( ) += si2

x

( )

0

0 si

X t( )1

2---------

arg XA t( )t----------------------------------

12---------

X t( ) XQ t( )t--------------------- XQ t( )X t( )

t-----------------

X 2 t( ) X Q2 t( )+--------------------------------------------------------------------------------= =

df

EXA 2EX=

TX ( ) 1

2---------

arg xA ( )---------------------------------=

df

AYj t( )Yj t( )

L

exemple

suivant illustre sur un cas simple les limites de cette ana-lyse. On considre le signal analytique dun mlange de deuxsinusodes :

(les amplitudes

A

1

et

A

2

sont supposes constantes et les frquen-ces

1

et

2

positives).Il a pour transforme de Fourier :

s

(

) =

A

1

(

1

) +

A

2

(

2

)

et pour phase :

et amplitude :

La frquence instantane est alors :

avec comme cas particulier quand les sinusodes

sont de mme amplitude. Les figures

1

et

2

permettent de comparerfrquence instantane (figure

1

b

ou

2

b

) et reprsentation temps-frquence (figure

1

a

ou

2

a

) ici le spectrogramme

(cf. 5.1)

, dansles deux cas suivants :

le signal de 1 024 points tudi est constitu dune somme dedeux sinusodes damplitudes

A

1

=

A

2

= 1 et de frquences rduites

SA t( ) A1e2i1t A2e2i2t+ A t( )ei t( )= =

t( ) arctan A1 21t( )sin A2 22t( )sin+A1 21t( )cos A2 22t( )cos+--------------------------------------------------------------------------------------- =

A t( ) A 12 A 22 2A1A2 (2cos 2 1( )t )+ +=

S t( )1 2+

2--------------------

12------+ 2 1( )

A 22 A 1

2

A2 t( )-----------------------=

S t ( )

1

2 +

2

--------------------=

exploitation du droit de copie est strictement interdite.

ieur, trait Tlcoms

2.1.2 Reprsentations bivariables

On montre dans ce paragraphe sans pour autant entrer dans leprincipe de construction de telles reprsentations, qui fait lobjetdes paragraphes ultrieurs au moyen dexemples synthtiquesou exprimentaux, lintrt descriptif dune reprsentation bivaria-ble dpendant la fois du temps et de la frquence.

1 = 0,1 et 2 = 0,3 (figure 1) ; le signal de 1 024 points tudi est constitu dune somme de

deux sinusodes damplitudes A1 = 1 et A2 = 1,2 et de frquencesrduites 1 = 0,1 et 2 = 0,3 (figure 2).

Dans les deux cas, sur les 341 premiers points, seule la sinusode deplus basse frquence rduite est prsente ; sur les 341 points suivantsles deux sinusodes sont prsentes ; enfin, sur les 342 derniers points,seule la sinusode de plus haute frquence rduite est prsente. Onvrifie bien que lorsquune seule sinusode est prsente la frquenceinstantane concide avec la frquence de la sinusode tandis quelleoscille entre deux valeurs ou sajuste sur la frquence moyenne (ici 0,2cf. figure 1b ) lorsque deux sinusodes sont prsentes.



Figure 1 Signal compos dun mlange de deux sinusodes de mme amplitude : RTF et frquence instantane

2

1

0

1

Rea

l par

tSignal in time

02.18864.3771x 105

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty

SP, Lh=46, Nf=512, lin. scale, imagesc, Threshold=5%

Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

frquence instantane calcule sur le mme signalbRTF d'un mlange de deux sinusodes de mme amplitudea

2

1

0

1

2

Rea

l par

t

Signal in timeToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Tlcoms TE 5 240 5

Figure 2 Signal compos dun mlange de deux sinusodes damplitudes diffrentes : RTF et frquence instantane

03.15366.3072

x 105

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty


Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

frquence instantane calcule sur le mme signalbRTF d'un mlange de deux sinusodes d'amplitudes diffrentesa27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour




Toute reproduction sans autorisation du Centre franais d

TE 5 240

6

Techniques de lIngn

Exemples

Un signal de type modulation linaire de frquence (encore

appel

chirp

et de la forme : ) est reprsent sur lafigure

3

; on constate que son analyse de Fourier conduit un spectreen apparence large bande alors quune analyse plus fine ralise aumoyen dune RTF type montre qu un instant donn, seule une fr-quence est prsente (la frquence instantane

i

(

t

) de ce signalvalant

ct

, elle crot donc linairement avec le temps) (cf.

2.1.1

).

Des exemples de signaux constitus de sinusodes de duresfinies et de frquence

f

1

et

f

2

apparaissent sur les figures

4

et

5

puissur les figures

6

et

7

. La dure totale des signaux tudis est de512 points. Sur les figures

4

et

5

: les deux sinusodes qui constituentle signal analys ont une dure de 384 points ; dans le premier cas(figure 4), la sinusode basse frquence commence au temps t = 1 etsachve en t = 384 tandis que la sinusode haute frquencecommence au temps t = 128 et sachve au temps t = 512 ; sur lafigure 5, cest linverse. Alors que ces deux exemples conduisent unmme spectre (module de la reprsentation frquentielle), lanalysetemps-frquence fait clairement ressortir les diffrences qui existententre ces deux signaux. Sur les figures 6 et 7 : les deux frquencescoexistent aux mmes instants (figure 6) ou sont en alternance(figure 7) et conduisent une conclusion analogue.

Un signal de parole, en loccurrence le mot caillou, apparat sousforme RTF, dune part, figure 8, synthtis par un filtre passe-bandeexcit par une dent de scie ; il apparat dautre part, figure 9, pro-nonc par un locuteur (lanalyse des signaux de parole est loriginedu dveloppement des analyses temps-frquence dans le courantdes annes 1940). Ce mot prsente un maximum dvolution forman-tique (les formants sont des zones o lnergie est concentre : ilscaractrisent les voyelles et correspondent aux frquences de rso-nance du conduit buccal). Le traitement temps-frquence permet deretrouver un certain nombre dlments propres aux signaux deparole (les trois rsonances ou formants ainsi que la valeur de lapriode fondamentale ou pitch ), inaccessibles avec lanalyse tempo-relle ou frquentielle.

Des cliquetis de dauphin sont prsents figure 10 : lanalysetemps-frquence permet daffiner la connaissance du signal tudi.

Un signal sismologique provenant de lenregistrement dunsisme superficiel localis la verticale des les Andreanof (archipeldes Aloutiennes) est prsent figure 11 : lanalyse temps-frquencepermet de rendre compte du caractre dispersif de londe propage.

Figure 3 RTF dune modulation linaire de frquence

x t( ) e2ic2---- t 2

=

0.5

0

0.5

1

Rea

l par

t

Signal in time

012042408

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty


Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Sur ces courbes (figures 3 11), on trouve : au centre, la reprsentation temps-frquence (ici le spec-

trogramme) avec, en abscisse, lchelle des temps, et en ordon-ne, lchelle des frquences (limite en tenant compte de lasymtrie hermitienne, au segment [0, 0,5[ de variation des fr-quences rduites). Les chelles damplitude sont linaires oulogarithmiques ;

en haut, la reprsentation temporelle du signal tudi ; gauche, son spectre en chelle linaire.

Figure 4 RTF dune somme de deux sinusodes dcales dans le temps (basse puis haute frquence)

2

1

0

1

Rea

l par

t

Signal in time

03.61977.2394x 104

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty


Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

1rt

Signal in timeexploitation du droit de copie est strictement interdite.ieur, trait Tlcoms

Figure 5 RTF dune somme de deux sinusodes dcales dans le temps (haute puis basse frquence)

1

0

Rea

l pa

03.64467.2892x 104

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty


Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45



Figure 6 RTF dune somme de sinusodes haute et basse frquences prsentes simultanment

2

1

0

1

Rea

l par

t

Signal in time

01.45062.9012x 104

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty


Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

1

0.5

0

0.5

Rea

l par

t

Signal in time

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty


Freq

uen

cy [

Hz]

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Figure 8 RTF dun signal de parole synthtique : mot caillou

[prlev dans la bibliothque du GDR PRC ISIS, CNRS]

0,5

0

0,5

Rea

l par

t

Signal in time

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty

SP, Lh=31, Nf=255, log. scale, imagesc, Threshold=0.1%

Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

01.59683.1936x 104

0.2

0

0.2R

eal p

artSignal in time

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty

SP, Lh=31, Nf=437.5, log. scale, imagesc, Threshold=0.001%

Freq

uen

cy [

Hz]

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Tlcoms TE 5 240 7

2.2 Diffrents types de reprsentations temps-frquence

Un grand nombre de mthodes sont susceptibles de rpondreau problme pos par le temps-frquence savoir de pouvoir dis-poser de reprsentations dpendant la fois du temps et de la fr-quence. Toutefois, si lon retarde (ou lon avance) un signal dunequantit , il semble assez lgitime de chercher ce que la signa-ture de ce signal soit translate de cette mme quantit au niveaudu plan temps-frquence. Ainsi, en imposant des contraintes sup-plmentaires telles que des proprits dinvariance par translationsen temps et/ou frquence et/ou changement dchelle, etc., on en

limite considrablement le nombre. Les mthodes satisfaisant toutes ces exigences ont permis dengendrer un certain nombre detransformations aux proprits et aux performances variables. Tou-tes ces mthodes peuvent tre regroupes au sein densemblescohrents, la classification utilise pouvant tre base :

sur le type de modlisation utilis (paramtrique ou nonparamtrique) ;

sur le caractre de la transformation utilise (linaire, quadra-tique ou autre...).

En outre, les besoins, en analyse du signal, peuvent conduire distinguer diverses versions dune reprsentation temps-frquence(RTF), selon que les trois variables intervenantes sont continues oudiscrtes et support born ou non.

Figure 7 RTF dune somme de sinusodes haute et basse frquences prsentes alternativement

01.67373.3473x 104 Time [s]

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.05

0.1

Figure 9 RTF dun signal de parole enregistr : mot caillou

039577914Time [s]

500 1000 1500 2000 2500 3000 35000

0.05

0.127/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





On se limite au cas classique permanent (variables continues supports non borns). On peut tendre avec des modalits diver-ses, que nous ne dtaillerons pas ici, au cas discret. Notons cepen-dant que toutes les courbes prsentes dans cet article ont tobtenues au moyen des versions discrtes utilises dans le calculsur ordinateur.

On prsente ici les grandes classes de RTF, en utilisant la classi-fication base sur le caractre linaire, quadratique ou autre de latransformation et leurs principaux reprsentants. On se limite auprincipe des transformations, leurs principales proprits, avan-tages et inconvnients. On dveloppe ensuite quelques exemplesdapplications.

2.2.1 RTF linaires

Diverses transformations linaires permettent dengendrer unepremire catgorie de reprsentations temps-frquence (RTF), qua-lifies de linaires.

Dans le cas dun signal X (t ) temps continu, toute RTF linairecLX (t, ; A) lui tant associe, peut scrire :

(15)

La proprit de linarit est souhaitable pour des signauxphysiques satisfaisant au principe de superposition et en parti-culier pour des signaux multicomposantes (combinaisons designaux ou signaux complexes tels que la parole...). Elle se traduitpar le fait que toute RTF linaire dune combinaison linaire designaux est gale la mme combinaison linaire des RTF de cessignaux :

(16)

Le noyau A ( ; t, ) de la transformation permet de pourvoir laRTF de proprits spcifiques.

Les deux RTF linaires les plus utilises et par consquent lesplus connues sont la transforme de Fourier court terme (T.FCT)et la transforme en ondelettes (T.Ond) ( 3).

2.2.2 RTF quadratiques

Diverses transformations quadratiques permettent dengendrerune seconde catgorie de RTF dites quadratiques (cf. tableau 4) etsusceptibles dinterprtations en terme de quantits physiques telles que corrlation ou, de faon duale, nergie. Une RTF quadra-tique, que lon qualifie encore de RTF bilinaire, peut treconsidre comme la restriction Xi = Xj dune transformation bili-naire applicable un couple de signaux (Xi, Xj ) :

(17)

Figure 10 RTF dun signal biologique : enregistrement de cri de dauphin

0.5

0

0.5R

eal p

art

Signal in time

09911983

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty

SP, Lh=31, Nf=512, log. scale, imagesc, Threshold=0.1%

Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

X t( ) cLX t, ; A ( ) = A ; t , ( ) X ( ) d RTFLin

RTF Lini Xi t ( )

a

i

X

ii

a

i

c

L

X

, i t , ; A ( ) i

c

L

X

, i t , ; A ( ) RTF Lin

Figure 11 RTF dun signal sismologique

[provenance LIS INPG et LGIT Grenoble]

2

0

2

x 105

Rea

l par

t

Signal in time

04.45558.9109x 1013

Linear scale

En

erg

y sp

ectr

al d

ensi

ty

SP, Lh=31, Nf=128, log. scale, imagesc, Threshold=1%

Time [s]

Freq

uen

cy [

Hz]

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Xi cQX, i c B X , i , i = telle que X i , X j ( ) c B X ,i,j RTFQ RTFBexploitation du droit de copie est strictement interdite.ieur, trait Tlcoms

Une telle transformation bilinaire peut sexprimer sous la forme(X * est le complexe conjugu de X ) :

(18)

nouveau, le noyau permet de dterminer des classes parti-culires de solutions (classes caractrises par la possession decertaines proprits ou par des solutions pourvues de propritsspcifiques). Une RTF quadratique dune combinaison linaire designaux est gale une combinaison linaire des RTF quadratiquesde ces diffrents signaux, laquelle sajoutent des termes dinter-frences entre signaux, selon le schma :

(19)

RTFBXi t ( ) , X j t ( )( ) c B X , i , j t , ; R ( )

=

2

X

i ( ) X j * ( ) R , ; t , ( ) d d

Xi cQX, i X

i

, X j ( ) c B X , i , j

a

i

X

ii

a

i

2

c

Q

X

, ii

a i a j* c B X , i , ji

, j , i j

+

intertermes

RTFQ

RTFQ

RTFB



On cherche des RTF quadratiques munies, dans la mesure dupossible, de diverses proprits mathmatiques choisies par rf-rence celles des reprsentations temporelles et frquentielles :les principales que possde par exemple la transformation deWigner, apparaissent dans le tableau 13. On distingue ainsi, ausein de la catgorie des RTF quadratiques, des classes particuli-res, non forcment disjointes, dfinies par la possession de pro-prits intressantes, et constituant des cadres unificateurs. Laclasse de Cohen (ou classe des RTF quadratiques nergtiquesinvariantes par translations temporelles et frquentielles) et laclasse affine (ou classe des RTF quadratiques nergtiques inva-riantes par translations temporelles et changements dchelle)sont deux classes particulires de RTF nergtiques ( 2.2.4). Laclasse par corrlation est une troisime classe, duale de la classede Cohen par transformation de Fourier bivariable ( 2.2.4).Notons, enfin, que dautres types de contraintes ont t suggrs(invariance par changements dchelle et par translations hyperbo-liques des temps ; invariance par changements dchelle et partranslations en temps gnralises (et potentiellement dispersi-ves)) conduisant de nouvelles classes [31] dont la classe hyper-bolique [32] [39] que nous ne dtaillerons pas ici.

Alors que les lments des classes de Cohen et affine sont desdistributions dnergie, fonctions de deux variables temps et fr-quence notes t et , les lments de la classe par corrlation,transformes de Fourier des lments de la classe de Cohen,dpendent de deux variables temps et frquence notes et , secomportant comme des variations des variables t et ; les cou-ples de variables et , dune part, t et , dautre part, sont duauxen ce sens quils se correspondent par transformation de Fourier.Une transformation X (, ), duale par double transformation deFourier dune RTF quadratique cQX (t, ), satisfera lensemble desproprits duales de celles de cQX .

Ces trois classes peuvent tre caractrises de maniresdiverses : par exemple, elles se construisent simplement partirdune RTF particulire, la transformation de Wigner, ou de satransforme de Fourier bivariable, RTF appele fonction dambi-gut. La RTF de Wigner et la fonction dambigut jouent donc unrle central au sein des RTF quadratiques (voir 4).

Quelques caractristiques et proprits de ces RTF apparaissentdans le tableau 2.

Par ailleurs, on constate que le choix dune RTF quadratiquersulte dun compromis : soit les termes dinterfrences (interter-mes) sont importants au profit dune meilleure localisation dans leplan temps-frquence (tel est le cas avec la transforme de Wigner-

Ville), soit les termes dinterfrences sont rduits au dtriment dela localisation dans le plan temps-frquence (tel est le cas avec lescalogramme ou le spectrogramme).

Une RTF quadratique cQX (t

) associe est dite

nergtique

si elle peut tre considre comme une distributiondnergie : son intgration dans tout le plan temps-frquenceredonne lnergie du signal ; son noyau satisfait alors la conditiond

nergticit

. Elle peut de plus satisfaire les proprits margina-les. Cependant la possession des proprits prcdentes nimpli-que pas que

c

Q

X

(

t

,

) soit une densit, car elle peut possder desvaleurs ngatives.

2.2.3 Rpartition en classes des RTF quadratiques

On montre que toute RTF de lune des trois classes de

Cohen

,

affine

et

par corrlation

, associe , peut sexprimerde quatre manires quivalentes et deux deux duales par trans-formations de Fourier. Ces expressions, dont les structures sontdtermines par la classe, dpendent des quatre mmes

fonctionsgnratrices

dpendant du signal

X

(

t

) analyser et de quatre

noyaux spcifiques

de la RTF (noyaux bivariables en raison desproprits dinvariance (tableau

3

) ; les noyaux des trois classessont dsigns par les mmes appellations, ceux de la classe affinese distinguant

via

ladjonction dun (

) (cf. tableau

4

). Les fonctionsgnratrices dpendant du signal

P

X

(

t

,

),

w

X

(

t

,

),

pX (, ) etX (, ) et les noyaux K (t, ), Q (t, ), k (, ) et q (, ), sont lispar transformations de Fourier univariables ou bivariables(tableau 3).

2.2.4 Classes particulires de Cohen,affine et par corrlation

La classe de Cohen rassemble des RTF nergtiques invariantespar translations temporelles et frquentielles ; la classe affinerassemble des RTF nergtiques invariantes par translations tem-porelles et changements dchelle. Leurs lments, associs X (t )et dnomms respectivement X et , satisfont, dune part, lacondition de dfinition de la classe qui permet de spcifier lesquatre formes quivalentes des lments de la classe, et, dautrepart, la condition dnergticit qui se traduit par des conditions satisfaire par les noyaux des formes reprsentant les lments dela classe (tableau 4).

X t( ) x ( )F

X t( ) x ( )F

X


TE 5 240

9

Tableau 2 Proprits des RTF quadratiques

RTF nergtique : Dualit de la distribution dnergie :

Condition dnergticit du noyau :

Proprits marginales dune RTF : Duales des proprits marginales :

X, 2

cQX t, ( ) d t d E X X t ( ) 2 d t x ( ) 2 d = = = X, X 0, 0 ( ) E X X t ( ) 2 d t x ( ) 2 d = = =

2

R , ; t , ( ) d t d ( ) =

X,

cQX t , ( ) d t x ( ) 2 = X, X 0, ( ) X t 2 -----+ X * t 2 ----- d t =

X,

cQX t , ( ) d X t ( ) 2 = X, X , 0 ( ) x 2 -----+ x * 2 ----- d =27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





(0)

Tableau 3 Fonctions gnratrices et noyaux des trois classes

Transformations de Fourier liant fonctions gnratrices et noyaux :

transformations de Fourier monovariables :

transformations de Fourier bivariables :

Fonctions gnratrices dpendant du signal :

Noyaux spcifiques de RTF :

pX , ( ) k

, ( )

X

, ( ) q

, ( ) P

X

t

, ( ) K t

, ( ) w

X

t

, ( ) Q t

, ( )

F

1

:

F

:

t

F 1

:

F

:

F 1

: t F :

pX , ( ) k

, ( )

X

, ( ) q

, ( ) P

X

t

, ( ) K t

, ( ) w

X

t, ( ) Q t

, ( )

F

:

t

F :

F

1

:

t

F 1 : F 1 : t F :

F

:

t

F 1 :

wX t, ( ) P X t , ( ) e 2 i d = (RTF de Wigner de X ) p

X

, ( ) x 2 ------+ x * 2

------ =

X

, ( )

2 w X t , ( ) e 2 i t ( ) d t d = (fonction d ambigut de X )

P

X

t

, ( ) X t 2 -----+ X * t 2

----- =

K t, ( )

Q t , ( ) e 2 i d

2 k , ( ) e 2 i t + ( ) d d

q , ( ) e 2 i t d = = =

Q t

, ( )

k , ( ) e 2 i t d

2 q , ( ) e 2 i t ( ) d d

K t , ( ) e 2 i d = = =

k

, ( )

q , ( ) e 2 i d

2 K t , ( ) e 2 i t + ( ) d t d

Q t , ( ) e 2 i t d t = = =

q

, ( )

K t , ( ) e 2 i t d t

2 Q t , ( ) e 2 i t ( ) d t d

k , ( ) e 2 i d = = =

Tableau 4 Proprits de la classe de Cohen et de la classe affine

Condition de dfinition de la classe de Cohen

:

Condition de dfinition de la classe affine

:

Formes quivalentes des RTF de la classe de Cohen

:

F

Conditions d

nergticit

satisfaites par les noyaux des RTF de la classe de Cohen

:

C

d

X t( ) X t, ( ) Y t

( )

X t

( )

e

2

i

t

=

Y

t

, ( ) X t , ( ) =X t( ) X t,( )

1 -----

X t, ( ) 2 X 2 -----+ X * 2 ----- K t , ( ) e 2 i d d =

X

t

, ( )

2

w X , ( ) Q t , ( ) d d =

X

t

, ( )

2

x 2 -----+ x * 2

----- k , ( ) e 2 i t d d =

X

t

, ( )

2

X , ( ) q , ( ) e 2 i t ( ) d d =

q 0, 0 ( ) 1 =

k 0, ( ) d 1 =

K t

, 0 ( ) d t 1 =

2

Q t

, ( ) d t d 1 =


ieur, trait Tlcoms

ormes quivalentes des RTF de la classe affine :

onditions dnergticit satisfaites par les noyaux des RTF e la classe affine :

Y t( ) a 2 X a t ( )( ) = Y t , ( ) X a t ( ) , a ----- =

X t, ( ) 2 X 2 -----+ X * 2 ----- K t ( ) , d d = X

t

, ( )

2

w X , ( ) Q t ( ) , ----- d d =

X

t

, ( )

2

1

--------- x 2 -----+ x *

2

----- k ----- , ----- e 2 i t d d =

X

t

, ( )

2

X , ( ) q ----- , e 2 i t d d =

1

---------k 0, ( ) d 1 =

2

1

--------- q 0, ( ) e 2 i d d 1 =

3

1

---------

K

t

, ( ) e 2 i d t d d 1 =

2

1

---------

Q

t

, ( ) d t d 1 =



La classe par corrlation est lensemble des lments X dduitsdes lments X de la classe de Cohen par transformation deFourier bivariable :

(20)

Toute RTF X de la classe par corrlation, sexprime donc commetransforme de Fourier bivariable dune des expressions de la RTFX duale de la classe de Cohen. En particulier elle se dduit sim-plement de la fonction dambigut X de X :

(21)

Elle satisfait la proprit de dualit de linvariance par translation(cf. tableau 4) :

(22)

2.2.5 Autres RTF

RTF paramtriques

Les RTF dites paramtriques consistent reprsenter le signal X analyser comme un processus alatoire et en exploiter unemodlisation paramtrique, cest--dire une structure impose dereprsentation dpendant dun nombre fini de paramtres. La miseen uvre de ces mthodes et, en particulier, le choix de la struc-ture sappuient au moins implicitement sur linformation a priorique lon dtient sur le signal analyser. Linformation spectrale dusignal est reprsente, conditionnellement la structure choisie,par lensemble des valeurs des paramtres du modle et sobtientvia une estimation de ces valeurs. La dpendance temporelle decette information spectrale peut tre obtenue de diverses

formations multilinaires des signaux tudis. Fonollossa etNikias [23] ont ainsi gnralis la distribution de Wigner au bispec-tre de Wigner, au trispectre de Wigner et ainsi de suite...

Soit X (t ) un signal complexe dterministe, sa distribution deWigner dordre k scrit alors :

(23)

X t( )X t, ( )

X

, ( )

X

, ( )

2

X t , ( ) e 2 i t ( ) d t d =

X , ( ) 2 X 2 ---+ X * 2 --- K t , ( ) e 2 i t d t d =

X

, ( )

4 w X , ( ) Q t , ( ) e 2 i t ( ) d t d d d =

X

, ( )

2 x

2 ---+ x * 2 --- k , ( ) e

2

i

d d =

X

, ( ) X , ( ) q , ( ) =

X t( ) X , ( ) Y t

( )

X t

( )

e

2

i

t

Y

, ( ) X , ( ) e 2 i ( ) = =

Bref historique

On trouve dans [15] un panorama des principales distribu-tions temps-frquence, replaces dans le contexte historique.On en prsente un bref rsum. En 1822, Joseph Fourier publieson livre Thorie analytique de la chaleur exposant desides lorigine de lanalyse frquentielle. Il faut attendre 1949et les travaux de Claude Shannon ( Thorie mathmatique descommunications ), pour voir lextension de ces ides auxsignaux chantillonns. Limplantation sur ordinateur (signauxnumriques) fut facilite par lalgorithme de la FFT (

Fast FourierTransform

), que lon doit James Cooley et John Tuckey,datant de 1965.

Cest le dsir danalyser les signaux de parole, conjointementen temps et en frquence, durant les annes 1940 [35] [44], quiconduisit lide dune analyse de Fourier fentre, plus prci-sment la transforme de Fourier court terme et au spectro-gramme. Gabor [24], Ville [50] et Page [38], mus par leur dsir demieux comprendre les phnomnes physiques lorigine dessignaux spectre variable dans le temps et dexprimer les idesmathmatiques ncessaires une description plus juste de cessignaux, vont, grce leurs travaux, ouvrir la voie unemanire diffrente daborder le problme temps-frquence :celle des distributions nergtiques. Cest ainsi quen 1948 Villeretrouve une distribution dj propose par Wigner [51] dans lecadre de la mcanique statistique. Il faut attendre 1966 et les tra-vaux fdrateurs de Cohen [13] pour que lon ralise quunensemble de distributions proposes indpendamment lesunes des autres en rponse au problme temps-frquence,appartiennent en fait toutes une seule et mme classe, laclasse de Cohen (ou classe des distributions temps-frquencenergtiques invariantes par translation en temps et en fr-quence). Elles ne diffrent que par leur noyau. Suivront de nom-

wk, X t , 1 , ..., k ( ) k X * t 1 k 1 +-------------- mm

1

=

k

=

X

i

1

=

k

t kk

1

+--------------

i

1

k

1

+--------------

jj

1

=

, j i

k

+

e

2

i

i

i

d

i


TE 5 240

11

manires : une premire approche consiste raliser lanalyse travers

une fentre glissante (comme cest le cas avec la T.Ond ou la T.FCT).Cest notamment le cas avec les modles AR glissants, etc.

une seconde approche consiste utiliser un modle param-trique volutif cest--dire dont les paramtres dpendent expli-citement du temps (modle AR volutif).

La qualit de la RTF obtenue dpend du choix du modle (de sabonne adquation avec le signal tudi) et des estimations effec-tues. Cest pourquoi les RTF paramtriques et les RTF nonparamtriques dveloppes prcdemment, apparaissent pluscomme des outils danalyse complmentaires quantagonistes.Parce quelles ncessitent moins dinformation

a priori

sur lessignaux tudis, on prfrera gnralement utiliser les RTF nonparamtriques en premier lieu, ceci afin daccrotre la connaissancedtenue sur le signal analys, ce qui dans un second temps facili-tera le choix dune modlisation paramtrique mieux adapte ausignal...

RTF dordre suprieur

Une gnralisation possible des RTF passe par la construction deRTF dordre suprieur, lesquelles reposent sur lutilisation de trans-

breux travaux tant mthodologiques qu valeur applicative,Bouachache tant peut-tre le premier appliquer ces mtho-des des problmes rels [9] ds la fin des annes 1970.

En ce qui concerne les ondelettes, reprsentations temps-chelle pouvant se ramener des reprsentations temps-fr-quence, la paternit en est habituellement attribue un go-physicien de Elf-Aquitaine, Jean Morlet, qui les utilise ds 1975.De sa collaboration avec le physicien Alec Grossmann (mcani-que quantique), une formulation mathmatique plus rigoureusevoit le jour [26]. Suivront de nombreux travaux thoriques etpratiques. la fin des annes 1980, Stphane Mallat montre[36], avec laide dYves Meyer, que les ondelettes, les algo-rithmes pyramidaux, les filtres miroirs en quadrature et lecodage en sous-bande sont des techniques quivalentes. YvesMeyer et Ingrid Daubechies dmontrent ensuite lexistence debases orthonormes dondelettes, ce qui ouvre de nombreusesperspectives dun point de vue des applications (codage,reconstruction...). Paralllement ces travaux, une alternative la classe de Cohen est propose par P. Flandrin [20], J. etP. Bertrand [8] et O. Rioul [45] : il sagit de la classe affine (classedes distributions temps-frquence nergtiques invariantes partranslation en temps et changement dchelle). Rcemment, denouvelles classes ont t proposes : classe hyperbolique, power class [31] [39]... Enfin, notons que lon doit P. Flan-drin [21] un livre en franais (1993) traitant du temps-frquence.27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





titre dexemple, le bispectre de Wigner (cas k = 2 dans lqua-tion prcdente) est dfini de la faon suivante :

(24)

Ils ont galement dfini une classe de Cohen dordre suprieuret montr que le recours aux ordres suprieurs pouvait permettredamliorer les performances de la distribution de Wigner notam-ment dans les problmes de dtection de phnomnes non linai-res pouvant surgir au niveau de signaux non stationnaires.

Toutefois les problmes lis la visualisation de telles reprsen-tations constituent un frein lessor de ces techniques, cest pour-quoi en pratique on se restreint souvent des coupes dans desdirections particulires :

par exemple.

Rallocation des RTF

La technique de rallocation [7] [34], applicable de nombreusesreprsentations temps-frquence et temps-chelle, a pour butdaccrotre leur lisibilit : elle najoute aucune information, maisredistribue lnergie diffremment dans le plan temps-frquenceou temps-chelle en veillant toutefois ce que cette dernire soitconserve. On peut considrer quune RTF ou une RTE (reprsen-tation temps-chelle) classique rsulte dune valuation nergti-que sur une fentre danalyse, la moyenne des contributionsnergtiques sur la fentre tant affecte au centre gomtrique dela fentre (sans tenir compte dune possible dlocalisation de cettenergie). Le principe de la rallocation est de conserver linforma-tion de phase et de concentrer ensuite la moyenne descontributions nergtiques non plus au centre de gravit de lafentre mais au centre de gravit des contributions nergtiques.Il en rsulte une plus grande concentration de lnergie des diff-rentes composantes du signal dans le plan temps-frquence.

3. Transformation de Fourier court terme et transformation en ondelettes

Le lecteur pourra se reporter aux rfrences ([2] [3] [11] [14] [16][17] [22] [30] [37] [41] [43] [46]) de la bibliographie.

3.1 Dfinitions et proprits

La transformation de Fourier court terme (T.FCT) ralise uneanalyse harmonique locale du signal X traiter : cest unereprsentation frquentielle du signal via une fentre danalyse court terme H, de reprsentation frquentielle, . Elleconsidre implicitement que lvolution du signal est peuconsquente sur ltendue de la fentre qui nest gnralementsignificativement diffrente de zro que sur un intervalle born.Les fentres danalyse [27] les plus usuelles sont rectangulaires, deKaiser-Bessel, de Hamming...

Une forme de transformation en ondelettes (T.Ond) revient projeter le signal analyser sur une base de fonctions Hb, a (t ) ;celles-ci sont dduites par dcalage temporel (de valeur b ) etdilatation/compression (dun facteur dchelle a) dune fonction ini-tiale H0 (t ), relle ou complexe, appele ondelette danalyse, onde-lette mre ou ondelette de base et de reprsentation frquentielle,

; elle devient reprsentation en ondelettes temps-

frquence en considrant que les reprsentations temporelle et fr-quentielle de londelette danalyse sont concentres autour, respec-tivement, de linstant 0 et dune frquence 0 appele frquencecentrale ; la variable chelle est alors lie la frquence par la

relation : .

Ces deux transformations, habituellement prsentes dans ledomaine temporel, sexpriment galement dans le domainefrquentiel ; elles possdent, la premire, une version chantillon-ne (T.FCTE) et une version discrte (T.FCTD) (dduites naturelle-ment des transformes de Fourier chantillonne et discrte), laseconde, une version discrtise (T.OndD). Moyennant certainesconditions, il est possible de reconstruire le signal de dpart(cest--dire dinverser la transformation) partir de sa transformede Fourier court terme ou de sa transforme en ondelettes, en uti-lisant une fentre de synthse G, de reprsentation frquentielle g,lie la fentre danalyse H.

La T.FCT et la T.Ond peuvent galement sinterprter en termede filtrage du signal X analyser par un banc de filtres. Ces filtressont largeur de bande constante dans le premier cas : la T.FCT sedduit par dmodulation, pour chaque frquence 0 analyse, de lasortie du filtrage du signal par un filtre passe-bande, centr sur lafrquence analyse et de largeur de bande indpendante de cettefrquence ; la rponse impulsionnelle F et le gain complexe f du fil-tre se dduisent de la fentre danalyse par modulation la fr-quence analyse. Ces filtres sont largeur de bande variable dansle second cas : cest pour chaque valeur dchelle a0 analyse, lersultat du filtrage du signal par un filtre de rponse impulsion-nelle , dpendant de cette valeurdchelle a0 analyse.

Les diffrentes formes des deux RTF, leurs expressions dereconstruction, les relations satisfaites par les filtres dinterprta-tion sont donnes dans le tableau 5, pour un signal tempscontinu,

w2, X t , 1 , 2 ( ) 2 X * t 1 3 -------- 2 3 -------- X t 2 1 3 ------------ 2 3 --------+ = X

t

1

3

--------

2

2

3

------------+

e

2

i

1

1

2

2

+

( )

d

1

d

2

w2

, X t , ( ) w 2, X t , 1 , 2 ( ) 1 2 = = =

, h ( )

, h0 ( )

a0

-------=

Fa0 t( ) et gain complexe fa0 ( )

t , X t( ) , tel que x ( ) F X t( ) ; { } =exploitation du droit de copie est strictement interdite.ieur, trait Tlcoms

3.2 Avantages et inconvnients. Applications

Transforme de Fourier court terme

Trs proche de lanalyse de Fourier traditionnelle, la T.FCToccupe, en dpit de ses limites, un rle clef au sein des RTF. Ellepossde de nombreuses proprits : en particulier, elle prserveles translations temporelles ( une modulation prs) ainsi que lestranslations frquentielles. Sa simplicit dinterprtation, sa facilitdimplantation et son faible cot en temps de calcul constituentdes avantages importants.

Les inconvnients majeurs de la T.FCT tiennent lhypothsede stationnarit locale sous-jacente et au compromis implicite dansle choix de la fentre danalyse. Le principe dincertitude dHeisen-berg suggre que laccroissement de la dure de la fentre doitpermettre une amlioration de la rsolution frquentielle au dtri-ment de la rsolution temporelle, et inversement. En particulier, laT.FCT ne discernera deux sinusodes que diffrant en frquence deplus de et deux pulses que distants en temps dau moins . t



(0)

Tableau 5 Transformation de Fourier court terme et transformation en ondelettes.Diffrentes formes et proprits

T.FCT : version temporelle

:

X

(

t

,

) =

F

{

X

(.)

H

*(.

t

) ;

}

T.Ond ; version temporelle

:

T.FCT : version temporelle dveloppe

:

T.Ond : version temporelle dveloppe

:

T.FCT : version frquentielle

:

T.Ond : version frquentielle

:

T.FCTE (chantillonne) et T.FCTD (discrte)

:version temporelle pour un signal temps discret,

T.OndD (discrtise)

:version temporelle pour un signal temps discret,

Cas particulier : transformation de Gabor ou T.FCT fentre gaussienne :

Intrt : compromis optimal entre rsolution temporelle et rsolution frquentielle.

Cas particulier : ondelette de Morlet

:

Remarque : cette ondelette est complexe.

O X t, ; 0 ( ) O X t ,

0

------- =

O

X

b

, a ( )

X ( ) H * b , a ( ) d =

H

b

, a t ( ) a 1 2 / H 0 t b a ------------- = avec

X t,( )

X ( )H* t( )e 2i d= O X t, ( )

X ( )

0

------- 1 2

/

H * 0 t ( ) 0 ---------------------- d =

X t,( ) F 1 x .( )h* . ( );t{ } e 2it

x ( )h* ( )e2itd= = O X t, ( )

x ( )

0

-------

1 2

/

h * 0

0

----------- e 2 i t d =

k , X k ( ) ou X X k : k 0, , N 1 { }{ } = : k

, ,EX k, ( ) F E X . ( ) H * . k ( ) ; { } =

X j

( )

H

*

j

k

( )

e

2

i

j

j

=

k

, m ( ) 0, , N 1 { }( ) 2

X

, k , m F D X j H * j k ( ) j 0, , N 1 { } ; m { } =

X

j

H

*

j k

e

2

i

mjN

-------------------

j

0

=

N

1

=

k , X k( ) : a

n

,

b k

n

,

0 souvent 2 = ( ) , > = =

k

,

n

,

ODX k, n ( ) X j ( ) H k , n * j ( ) j

=

H

k

, n j ( ) n 2 H 0 j n k ( ) =

H t( ) 14----- et 2

2-------=

H t( ) t 02( )14----- e

12------

tt0------

22i0t+=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Tlcoms TE 5 240 13

Inversion de la T.FCT :

En particulier :

Inversion de la T.Ond :

En particulier :

Interprtation de la T.FCT : Interprtation de la T.Ond ;

G t( ) :

G t ( ) H * t ( ) d t 1 =

X t

( )

2

X

, ( ) G t ( ) e 2 i t d d =

H t( ) :

H t ( ) 2 d t 1 =

X t

( )

2

X

, ( ) H t ( ) e 2 i t d d =

G t( ) :

h 0 ( ) g * ( )

d

--------- 1 =

X t

( )

2

O

X

b

, a ( ) a 1 2 G t b a

------------- d b d aa

2

-----------------=

H t( ) :

h 0 ( ) 2

d

--------- 1 =

X t

( )

2

O

X

b

,

a

( )

a

1

2

H

0

t b

a

-------------

d

b

d

aa

2

-----------------=

t , 0 , X t, 0 ( ) e 2 i 0 t X * F 0 ( ) t ( ) ; = F0 t( ) H* t( )e

2i0t ; f0 ( ) h* 0( )= =

a0 fix, t , O X t , a 0 ( ) X * F a 0 ( ) t ( ) ; = F

a

0

t( ) a012----- H *0 ta0------- ; f a 0 ( ) a 0

12 ----- h * 0 a 0 ( ) = =27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





Applications : la T.FCT ou son module carr (appel spectro-gramme) ont t utiliss dans des domaines signaux lentementnon stationnaires (biomdical, gophysique interne et externe,acoustique, traitement de la parole...), permettant divers typesdapplications : analyse de signaux, identification de systmes,estimation spectrale, dtection et estimation de paramtres, spa-ration de modes, dtermination de vitesse et/ou de retard degroupe, valuation de frquence instantane, analyse du pitch etdes formants en parole, dmodulation complexe, filtrage,compression de signaux...

Transformation en ondelettesLa T.Ond constitue une alternative la T.FCT : alors que celle-ci

utilise une fentre danalyse unique dont le support fixe les rso-lutions temporelle et frquentielle dans tout le plan temps-fr-quence, la T.Ond utilise une fentre variable ( support temporeltroit aux hautes frquences et large aux basses frquences),impliquant des rsolutions variables dans le plan temps-frquence ; selon le principe dincertitude dHeisenberg-Gabor, larsolution temporelle samliore et la rsolution frquentielle sedgrade avec la croissance de la frquence.

La T.Ond possde de nombreuses proprits ; en particulierelle prserve les translations temporelles et les changementsdchelle ; elle nest toutefois pas invariante par translations fr-quentielles. Les fonctions Hb, a (t ) peuvent tre ou non orthogona-les. Londelette danalyse a avantage possder diversesproprits dont une bonne localisation en temps et en frquence etladmissibilit (impliquant dtre moyenne nulle).

Les principaux avantages de la T.Ond sont, dune part, ungrand choix possible dondelettes (ondelette de Morlet, de Daube-chies, de Haar, chapeau mexicain...), et, dautre part, son caractredanalyse multirsolution : on peut ainsi zoomer sur les dis-continuits dun signal. Une gnralisation du concept de change-ment de rsolution diffrentes frquences sobtient avec lespaquets dondelettes o des rsolutions temps-frquence arbitrai-res (mais toujours lies par le principe dincertitude) sont choisiesen fonction du signal.

Les inconvnients majeurs de la T.Ond tiennent aucomportement des rsolutions temporelle et frquentielle et labsence de critre de choix sur le type dondelette utiliser.

Applications : lanalyse logarithmique en frquence se rvleadapte la description de certains phnomnes naturels acousti-ques ou visuels. La reconstruction possible des signaux de dpartpermet des applications en codage dimages ou de signaux

Enfin, il existe des algorithmes pyramidaux rapides , permet-tant une implantation sur DSP (Digital Signal Processor) pourapplications temps-rel .

La T.Ond a t utilise en prospection sismique, en tomographie,en traitement de la parole, en acoustique musicale, en vision, enmathmatiques appliques, en mcanique quantique, en thoriequantique des champs, en turbulence, en astrophysique..., per-mettant divers types dapplications : codage en sous-bande pour lacompression des images ou de la parole, analyse de signaux etdimages, dtection/estimation, tude dondes dispersives et calculde vitesse de groupe et de phase, analyse multirsolution en visionpar ordinateurs, dbruitage, restauration et reconstruction dima-ges, synthse et analyse de signaux fractals, tude des signauxmultifractals...

4. Transformation de Wigner et fonction dambigut

Le lecteur pourra se reporter aux rfrences [2] [16] [20] [29] [30][48] [52] de la bibliographie.

4.1 Dfinitions et proprits

La transformation de Wigner (T.W) analyse la symtrie localedun signal autour dun point temps-frquence. Nutilisant pas defentre de pondration, elle ne suppose pas la stationnarit localedu signal. Vrifiant un large ventail de proprits (cf. tableau 13),drivant de noyaux simples, la RTF de Wigner occupe une placeprivilgie au sein des RTF nergtiques car elle engendre defaon simple les classes de Cohen, affine et par corrlation.

La fonction dambigut (F.Amb) ralise une fonction de corr-lation bivariable retard -dcalage Doppler : elle fournit unemesure du degr de ressemblance entre le signal analys et sesdiverses translates dans le plan (dcalage temporel-dcalage fr-quentiel ou Doppler). Transforme de Fourier bivariable de la RTFde Wigner, la F.Amb engendre la classe par corrlation des RTFquadratiques (de manire simple), mais engendre aussi les classesde Cohen et affine.

Ces transformations, habituellement prsentes dans ledomaine temporel, sexpriment galement dans le domaine fr-quentiel. On peut en dvelopper des formes discrtes.

La RTF de Wigner et la fonction dambigut dun signal, t ,X (t ), de reprsentation frquentielle, , x ( ), peuventscrire en termes de transforme de Fourier ou sous forme dve-loppe (symtrise ou non symtrise, utilise par exemple, en cequi concerne la F.Amb, en radar et sonar) ou sexprimer commeune transformation de Fourier court terme (T.FCT) dont la fentredanalyse H est lie au signal analyser (tableau 6).

Moyennant certaines conditions, il est possible de reconstruirele signal de dpart partir de sa transforme de Wigner ou de safonction dambigut ; ces dernires possdent de plus un grandnombre de proprits duales deux deux (tableau 7).

4.2 Avantages et inconvnients. Applications

Transformation de Wigner

La T.W possde de nombreuses proprits (cf. tableau 13) :entre autres, elle a des distributions marginales temporelle et


ieur, trait Tlcoms

frquentielle cohrentes, elle satisfait les translations temporelleet frquentielle, ainsi que le changement dchelle... Elle est, deplus, lie la fonction dambigut par transformation de Fourierbidimensionnelle.

Les principaux avantages de la T.W sont de ne requrir aucunehypothse de stationnarit locale (elle nutilise pas de fentre),doffrir une bonne localisation des structures nergtiques dans leplan temps-frquence et de savrer bien adapte aux modulationslinaires de frquence (ou chirps idaux) dans la mesure o elleconcentre lnergie le long de la frquence instantane.

Les principaux inconvnients de la T.W sont de ne pouvoirtre considre part entire comme une densit dnergie (ellepeut en effet prendre des valeurs ngatives, daprs le thormede Wigner prcisant lincompatibilit entre positivit et bilinaritassortie de marginales correctes), et davoir une lisibilit rduite depar la prsence de termes dinterfrences pouvant tre importants.Ce second facteur est rdhibitoire ds lors que le signal estcompos de plusieurs lments (toutefois ces interfrences sont degomtrie connue et reclent de linformation sur les relations dephase entre composantes). La transformation de Wigner-Ville( 4.3), par suppression des frquences ngatives, permet de dimi-nuer les termes dinterfrence.



(0)

Applications : la T.W et ses drives (voir 5) ont t utilisesdans de nombreux domaines, notamment en gophysique, enacoustique, en turbulence, en mcanique quantique, en vibrations,en ocanographie, en biomdical, en traitement de la parole, et defaon plus gnrale dans des problmes impliquant des signaux non-stationnarits rapides (signaux transitoires) et petit nombrede composantes... Les principales applications en sont lanalysedes signaux de parole, sismiques, vibratoires..., la dtection, lareconnaissance de forme, le traitement dimages...

reprsentation de Wigner-Ville wVX (t, ) (avec ), enappliquant le schma suivant :

X signal temporel rel, Transforme de Hilbert H de X :

,

Signal en quadrature XQ associ X : XQ (t ) = H {X ; t }, Signal analytique XA associ X : XA (t ) = X (t ) + iXQ (t ),

Tableau 6 Transformation de Wigner et fonction dambigut. Diffrentes formes

Forme symtrise Fourier de T.W : Forme symtrise Fourier de F.Amb :

Forme symtrise dveloppe de T.W : Forme symtrise dveloppe de F.Amb :

Forme non symtrise de T.W :

wX (t, ) = 2e4it F{X (u ) X * (2t u ) ; u 2 }

Forme non symtrise de F.Amb :

X (, ) = ei F{X (u )X * (u ) ; u 2 }

Forme T.FCT de T.W( fentre danalyse dduite du signal) :

wX (t, ) = 2e4it X (2t, 2 ; X (.))

avec :

Forme T.FCT de F.Amb( fentre danalyse gale au signal) :

X (, ) = ei X (, ; X )

avec :

wX t, ( ) F X t .2 ---+ X * t .2

--- ;

=

F

1

x

.2---+ x * .2--- ; t

=

X , ( ) F 1 F w X t , ( ) ; t { } ; { } =

F

X

.

2

-----+

X

*. 2----- ;

=

F

1

x

.

2

-----+

x

*

.

2----- ;

=

t , ,

w

X

t

, ( )

X t 2 ---+ X * t 2

--- e 2 i d =

x

2

---+

x

*

2

---

e

2

i

t

d

=

, ,

X

, ( )

2

w X t , ( ) e 2 i t ( ) d t d =

x

2

-----+

x

*

2

-----

e

2

i

d

=

X t 2-----+ X *t2----- e 2it dt=

X t, ; H ( ) X ( ) H * t ( ) e 2 i d = X t, ; H ( ) X ( ) H * t ( ) e 2 i d =

t ,

H X ; t { } 1

---- VP

X ( ) t

-------------- d =Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Tlcoms TE 5 240 15

Fonction dambigut Le principal avantage de la F.Amb est de ne requrir aucune

fentre de pondration (ce rle est jou par le signal lui-mme) etdonc aucune hypothse de stationnarit locale, tout en offrant unebonne localisation des structures dans le plan transform.

Son principal inconvnient rside dans la prsence de termesdinterfrences nuisant la lisibilit, surtout lorsque le signal tu-di est constitu de plusieurs composantes.

Applications : la F.Amb a surtout t applique dans lesdomaines du radar, du sonar, de la radioastronomie, des tlcom-munications, de loptique..., o elle a permis lestimation de lavitesse Doppler et de la distance de cibles mobiles, lanalyse descanaux de communication...

4.3 Transformation de Wigner-Ville

La transformation de Wigner (T.W) sapplique un signal rel oucomplexe ; dans le cas dun signal X rel, elle peut tre appliqueau signal analytique XA associ au signal X . On appelle alors trans-formation de Wigner-Ville (T.WV) du signal X rel, la transforma-tion de Wigner de son signal analytique XA. On obtient la

Transforme de Wigner wXA de XA :

Transforme de Wigner-Ville w VX de X : w VX (t, ) = wXA (t, ).

5. Reprsentations temps-frquence quadratiques particulires

Le lecteur pourra se reporter aux rfrences [2] [12] [19] [21] [30]de la bibliographie.

De nombreuses RTF particulires sont utilises ou proposes defaon possder des proprits spciales, sadapter une appli-cation originale, rpondre un besoin spcifique, obtenir unrsultat caractristique... Les plus classiques, prsentes dans lesparagraphes 3 et 4, sont la T.FCT et la T.Ond, pour les RTF linaires,et la T.W et la F.Amb, pour les RTF quadratiques ; quelques repr-sentations moins classiques quadratiques, variables continues,slectionnes dans les classes de Cohen ou affine, sont prsentesdans ce paragraphe.

XA t( ) wX A t, ( ) w27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour





(0)

5.1 Spectrogramme et scalogramme

Le spectrogramme (SP) (encore appel sonogramme dans ledomaine frquentiel) et le scalogramme sont les modules carrsrespectivement de la transformation de Fourier court terme etde la transformation en ondelettes (tableau 8). Dans le domainetranslation-chelle le scalogramme fournit une mesure du degr deressemblance entre le signal analys et londelette analysante H0dilate ou comprime dun facteur dchelle a et translate dunequantit b ; il se transpose dans le domaine temps-frquence de lamme faon que la transformation en ondelettes. Le spectro-gramme et le scalogramme peuvent tre valus dans le domainetemporel ou dans le domaine frquentiel. Le scalogrammesexprime de manire simple en fonction de la T.W wX du signal et

Tableau 7 Transformation de Wigner et fonction dambigut. Proprits

Inversion de la T.W : Inversion de la F.Amb :

Appartenance de la T.W aux classes de Cohenet affine avec les noyaux :

Appartenance la classe par corrlation avec les noyaux :

T.W est une transformation nergtique : F.Amb est maximale lorigine o elle est gale lnergie du signal :

T.W a pour valeur lorigine : F.Amb nest gnralement pas une transformation nergtique :

Traduction de la translation en temps du signal : Traduction de la translation en temps du signal :

Traduction de la modulation du signal : Traduction de la modulation du signal :

Traduction du changement dchelle du signal : T

X t( ) 1X* 0( )------------------- wX t2----- , e 2 i t d =

x

( )

1

x

* 0

( )

------------------

wX t, 2 -----

e 2 i t d t =

X t( ) 1X* 0( )------------------- X , t ( ) e 2 i t / 2 d =

x

( )

1

x

* 0

( )

-----------------

X

, ( ) e 2 i / 2 d t =

QW t, ( ) t ( ) 1 ( ) =

q

W

, ( ) 1 =

q

W

, ( ) e 2 i = k W , ( ) 1 ( ) , = K

W

t

, ( ) t ( ) e 2 i , = k

W

, ( ) ( ) , = Q

W

t

, ( ) t ( ) ( ) = K W t , ( ) t ( ) , =

qA , ( ) 1 = Q

A

t

, ( ) t ( ) ( ) = K A t , ( ) t ( ) , = k

A

, ( ) ( ) , =

2

wX t, ( ) d t d X t ( ) 2 d t E X = = 0, 0 ( ) x ( ) x * ( ) d X t ( ) X * t ( ) d t E X = = =

wX t, 0 ( ) X t 2 -----+ X * t 2 ---- d =

w

X

0, ( )

X

2

----- X * 2

--------- e 2 i d =

w

X

0, 0 ( )

X 2

----- X * 2

--------- d =

x

2

-----

x

*

2

-----

e

2

it d=

x 2-----+ x* 2----- d=

X 0, ( ) X t 2 -----+ X * t 2 ---- d t =

X

, 0 ( )

X t ( ) 2 e 2 i t d t =

2

X

, ( ) d d

X 2

----- X * 2

--------- d =

x ( ) 2 e2i d=

x 2-----+ x* 2----- d=

Y t( ) X t t0( )= wY t, ( ) w X t t 0 , ( ) = Y t( ) X t t0( )= Y , ( ) X , ( ) e 2 i t 0 =

Y t( ) X t( ) e2i0t= wY t, ( ) w X t , 0 ( ) = Y 2i0t 2i0

Y t( ) a X at( )= wY t, ( ) w X at , a ----- = Yexploitation du droit de copie est strictement interdite.ieur, trait Tlcoms

de la T.W wH de londelette danalyse (tableau 8). Deux versionschantillonne et discrte du spectrogramme et une version discr-tise du scalogramme se dduisent des versions homologues deT.FCT et T.Ond.

Le spectrogramme et le scalogramme dans le domaine temps-frquence sont des RTF nergtiques respectivement de la classede Cohen et de la classe affine dont les noyaux sexpriment enfonction de la fentre danalyse respectivement H de la T.FCT et H0de la T.Ond, ou de leur RTF de Wigner wH et , ou de leur repr-sentation frquentielle h et h0 , ou enfin de leur fonction dambi-gut H et ; ils satisfont donc les quations de leur classe avec

les noyaux exprims dans le tableau 9.

raduction du changement dchelle du signal :

t( ) X t( )e= Y , ( ) X , ( ) e =

t( ) a X at( )= Y , ( ) X

a

----- , a =

wH0

H0



(0)

(0)

Tableau 8 Spectrogramme et scalogramme. Dfinitions, expressions

Spectrogramme : Scalogramme :

Expressions dveloppes : Expressions dveloppes :

Expressions en termes de RTF de Wigner : Expressions en termes de RTF de Wigner :

X t( ) X t, ( )

X t

( )

X

t

, ( )

X

t

, ( ) X t , ( ) 2 = FCT

Sp

X t( ) OX b, a ( )

X t

( )

X

b

, a ( )

X

b

, a ( ) O X b , a ( ) 2 =

X

t

, ( ) O X t , ( ) 2 =

Ond

Sc

x ( )h* ( )e2itd2

=

X t, ( ) X ( ) H * t ( ) e 2 i d 2

= X t, ( )

X ( )

0

------- 1 2

H * 0 t ( ) 0

---------------------- d 2

=

x

( )

0

-------

1 2

h

*

0

0

-----------

e

2

i

t

d

2

=

X t, ( )

2

w X , ( ) w H t , ( ) d d = X b, a ( )

2

w X , ( ) w H b a -------------- , a d d =

Tableau 9 Spectrogramme et scalogramme. Expressions des noyaux

Spectrogramme : Scalogramme :

Condition pour un spectrogramme nergtique : Condition pour un scalogramme nergtique :

K t, ( ) H 2 ----- t H * 2

----- t = Q

t

, ( ) w H . ( ) t , ( ) =

k

, ( ) h *

2

-----+ h

2

----- =

q

, ( ) H . ( ) , ( ) =

K Sc t, ( ) 1

0

------- H * 0 1 0 ------- t

2

----- H 0 1 0 ------- t

2

----- +=

Q

Sc

t

, ( ) w H 0 t

0 ------- , 0 =

k

Sc

, ( ) 0 h * 0 0

2

-----+ h 0 0

2

----- =

q

Sc

, ( ) H 0 0 ,

0 ------- =

EH

H t( )H* t( )dt 1= =

0

------- h0 ( ) 2d 1=


TE 5 240

17

Pour que le spectrogramme et le scalogramme soient

nerg-tiques

, leurs noyaux doivent satisfaire les relations correspondan-tes, ce qui est le cas lorsque les fentres

H

h

et

H

0

h

0

vrifientles relations figurant dans le tableau 9 .

Les

avantages

et

inconvnients

du spectrogramme et du sca-logramme sont comparables ceux respectivement de la T.FCT etde la T.Ond. En particulier, comme la T.FCT, le spectrogrammeimplique une hypothse de stationnarit locale du signal tudi.

5.2 Transformation pseudo-Wigner lisse et transformation Wigner lisse affine

Chaque RTF de la classe de Cohen ou de la classe affine peuttre considre comme le rsultat respectivement dun filtrage etdun lissage affine, tous deux bivariables en temps et frquence, dela distribution de Wigner. En consquence, on utilise souvent enplace de la T.W une de ses transformations drives, appartenant la

classe de Cohen

: cest la

transformation pseudo-Wigner lisse

(T.PWL), ou la

classe affine

: cest la

transformation Wigner lisseaffine

(T.WLA),

via

un

filtrage

ou un

lissage

, dont le noyau estsparable par rapport ses deux variables.

Le choix du filtrage ou du lissage permet de modifier lecomportement de la reprsentation : ainsi, la (T.PWL) cherche diminuer les termes dinterfrences dans le plan temps-frquence,en effectuant une transformation de Wigner rduite une analyse locale , dans un tat desprit analogue celui de laT.FCT, par introduction dune fentre glissante court terme, spa-rable en temps et en frquence. La transformation pseudo-Wigner(T.PW) est un cas particulier de la T.PWL pour lequel la fentre glis-sante est purement frquentielle.

On note :

G

(

t

)

h

(

), avec

H

(

t

) =

F

1

{

h

(

) ;

t

} et

g

(

) =

F {G(t ) ; }

la fentre variables t et continues applique la T.W ; les ver-sions classiques, les noyaux dappartenance aux classes de Cohenou affine, les conditions de la T.PWL et de la T.WLA scrivent selonle tableau 10.

Les expressions relatives la T.PW se dduisent du cas T.PWLen posant :

t , G t( ) t( ), et, , g ( ) 1= =27/09/2008DOCUMENTATIONDossier dlivr pour




Toute reproduction sans autorisation du Centre franais d

TE 5 240

18 Techniques de lIngn

(0)

(0)

La T.PWL et la T.WLA correspondent une gamme varie defiltrages et lissages, gnrant des RTF plus ou moins proches dela T.W. Certaines versions lisses de la T.W permettent dattnuerles termes quadratiques croiss, mais lintroduction dun lissagesupprime certaines proprits satisfaites par la T.W (cf. tableau 13).

Les versions lisses de la T.W requirent une fentre de pond-ration et donc une hypothse implicite de stationnarit locale. Cestransformes rsultent dun compromis : la localisation moins pr-cise en temps et/ou en frquence des structures nergtiques, dueau lissage, compense la diminution des termes dinterfrences.

5.3 Transformation de Cho-Williams La transformation de Cho-Williams (T.CW) est une RTF ner-

gtique, appartenant simultanment aux classes affine et deCohen ; elle cherche rduire les termes dinterfrences de la dis-tribution de Wigner, tout en conservant une bonne part de ses pro-prits, en particulier celles des distributions marginalestemporelle et frquentielle. Elle sexprime donc directement, enparticulier sous des formes associes aux classes affine et deCohen (tableau 11).

La T.CW dpend dun paramtre choisi dans lintervalle[1, 80] et tend, pour croissant indfiniment, vers la T.W. Ses avan-tages tiennent aux nombreuses proprits satisfaites, notamment

concernant les distributions marginales temporelle et frquentielle,et la rduction des termes dinterfrences. Inversement ses incon-

Tableau 10 Transformations pseudo-Wigner lisse et Wigner lisse affine. Dfinitions, noyaux

T.PWL : T.WLA :

Noyaux dappartenance de la T.PWL la classe de Cohen : Noyaux dappartenance de la T.WLA la classe affine :

Condition pour une T.PWL nergtique :

g (0) H (0) = 1

Condition pour une T.WLA nergtique :

wPWL,X t, ( )

2

X 2 ----- + X * 2

----- G t ( ) H ( ) e 2 i d d =

2

w

X

, ( ) G t ( ) h ( ) d d =

w WLA, X t , ( ) 2 X 2 ----- + X * 2 ----- G t ( )( ) H ( ) d d =

2

w

X

,

( )G t ( )( )h ----- dd=

KPWL t, ( ) G t ( ) H ( ) Q PWL t , ( ) G t ( ) h ( ) == k

PWL

, ( ) g ( ) h ( ) q PWL , ( ) g ( ) H ( ) ==K WLA t, ( ) G t ( ) H ( ) Q WLA t , ( ) G t ( ) h ( ) == k

WLA

, ( ) g ( ) h ( ) q WLA , ( ) g ( ) H ( ) ==

g 0( )

1

---------h ( )d 1=

Tableau 11 Transformation de Cho-Williams. Diffrentes formes

Formes associes la classe de Cohen : Formes associes la classe affine :

KCW t, ( )

4

---------

1

-------- e

t

2

4 2 ----------- =

2

X

2

-----+

X

*

2

-----

K

CW

t

, ( ) e 2 i d d =

c

CW, X t , ( )

K CW t, ( )

4

--------- 1

-------- e

t

2

4 2 ----------- e 2 i =

2

X

2

-----+

X

*

2

-----

K

CW

t

( )

, ( ) d d =

c

CW, X t , ( )

qCW , ( ) e 2

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2

------------------------- =

2

X

, ( ) q CW , ( ) e 2 i t ( ) d d =

c

CW, X t , ( )

q CW , ( ) e 2

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------------------------- e 2 i =

2

X

, ( ) q CW ----- , e 2 i t d d =

c

CW,

X

t

, ( )exploitation du droit de copie est strictement interdite.ieur, trait Tlcoms

vnients rsultent de la non-conservation des supports temporelset frquentiels et de ce que la rduction de lamplitude des interf-rences, et non leur complte suppression, se fait au prix dune cer-taine dlocalisation, contrepartie au respect des distributionsmarginales. Cette transformation a, en particulier, t applique enbiomdical.

6. Comment choisir et mettre en uvre une RTF ?

6.1 Application des signauxde modulation

Chaque RTF a, pour un mme signal, des caractristiques parti-culires. Pour illustrer ces caractristiques et permettre decomparer les diffrentes RTF prsentes, elles seront toutes appli-ques un signal synthtique compos de plusieurs signaux l-



mentaires dont les caractristiques ont t choisies de faon mettre en vidence les qualits ou dfauts des reprsentationstestes ; les RTF sont construites avec la bote outils temps-frquence [1].

Le signal test, discret de 512 points, est la somme dune modu-lation sinusodale de frquence (oscillant entre 0,05 et 0,45 en fr-quence rduite) et dune modulation linaire de frquence (variantde 0,35 0,15 en frquence rduite). Lchelle des temps est limiteau segment [0, 512] correspondant la dure du signal test.Lchelle des frquences est limite, en tenant compte de la sym-trie hermitienne, au segment [0, 0,5] de variation des frquences

rduites (elles prennent des valeurs et sont

gales aux 256 premires frquences issues de la transforme deFourier discrte divises par 512). Les chelles damplitude sontlinaires ou logarithmiques. La figure

12

reprsente lallure thori-que dans le plan temps-frquence des diffrentes composantes dusignal test. Elle joue le rle d

image de rfrence

pour juger de la

Figure 12 Allure thorique dans

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