TRAITEMENT D’IMAGE

SIF-1033

Amélioration des images par filtrage spectral

Correction du Mini-test #1 Filtrage spectral Lissage d’images (élimination du bruit) Rehaussement d’images (mise en

évidence de structures dans l’image) Travail pratique #3 (3a)

Filtrage spectral

Fondements– Série de Fourier (synthèse du signal

d’une onde carrée 1-D)

– Transformée de Fourier (représentation du signal dans le domaine spectral)

Transformée de Fourier (TF)– Propriétés utiles

Fig. 377 et 378 [rf. N.PISKOUNOV, Calcul différentiel et intégral, p. 362-3]

Série de Fourier (synthèse du signal d’une onde carrée 1-D)

...12

)12(sin...

55sin

33sin

1sin4

)(p

xpxxxxf

)(sin4

1 xs

33sin

sin4

2

xxs

55sin

33sin

sin4

2

xxxs

Transformée de Fourier (représentation du signal dans le domaine spectral)

.dn2cosa)(f Fourier de sériesaux grâce )(f décrirepeut on carrée, onde unePour

111

11

n xxx

.)4/a de intensité une a ordrel'et a de intensité une a 0-(ordre ordres plusieurs possède FT

2

20

n

n

Transformée de Fourier (TF)

où x, y : coordonnées spatiales u, : coordonnées spectrales

dvduevuFyxfvuF

dydxeyxfvuFyxf

vyuxj

vyuxj

)(21

)(2

),(),(),(

),(),(),(

Transformée de Fourier (TF)

La transformée de Fourier d’une gaussienne

dxeeuF

exf

uxjx

x

22

2

)(

)(

Nous multiplions le membre de droite par

122

uu ee

Transformée de Fourier (TF)

F(u) devient alors

2

2

22

22

)(

1

)(

)(

)(

)(

)(

u

w

wu

juxu

euF

dwe

dweeuF

dxdw

juxw

dxeeuF

Propriétés de la transformée de Fourier

P r o p r i é t é s D o m a i n e s p a t i a l D o m a i n e s p e c t r a l

A d d i t i o n ),(),( yxgyxf ),(),( vuGvuF

S i m i l a r i t é ),( byaxf ),(1

b

v

a

uF

ab

D é c a l a g e ),( byaxf )(2),( bvaujevuF

C o n v o l u t i o n ),(),( yxgyxf ),(),( vuGvuF

Transformée de Fourier de la gaussienne

x u

xu

2

1

CAS CONTINU CAS DISCRET

xu

DIMX

2

x2

11

Transformée de Fourier de la gaussienne

Transformée de Fourier de la gaussienne

Forme générale du filtre gaussien spectral

2

22

2

)(

),( u

vu

evug

FIGURE 1-12 [rf. SCHOWENGERDT, p. 26]

Lissage d’images (élimination du bruit)

c

c

c

OTF PSF Profil d’une ligne

cutoff frequency

Figure 4.30 [rf. GONZALEZ, p. 203]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB)

0

1

D0

D ( u, )

H ( u, )

(a) Tracé en perspective de la fonction de transformation d’un filtre passe-bas idéal

(b) section transversale du filtre.

H ( u, )

u

Figure 4.34 [rf. GONZALEZ, p. 208]

Filtre spectral PASSE-BAS (PB)

0

1

D0

D ( u, )

H ( u, )

0.5

1 2 3u

H ( u, )

(a) Un filtre passe-bas de Butterworth (b) section radiale transversale pour n = 1.

Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image)

Filtre spectral PASSE-HAUT (PH)

),(),(),(

),(),(),(1 vuPBvuFyxhp

yxpbyxfyxhp

Figure 4.37 [rf. GONZALEZ, p. 212]

Filtre spectral PASSE-HAUT (PH)

0

1

D0

D ( u, )

H ( u, )H ( u, )

u

Tracé en perspective et section radiale transversale du filtre passe-haut idéal.

Figure 4.38 [rf. GONZALEZ, p. 213]

Filtre spectral PASSE-HAUT (PH)

Tracé en perspective et section radiale transversale du filtre passe-haut Butterworthpour n = 1.

0

1

D0

D ( u, )

H ( u, )

0.5

1 2 3

H ( u, )

u

Travail pratique 3 a)

Voir les utilitaires de la transformée de Fourier au répertoire:

/u/dmatensr/meunier/sif1033/fourier Voir plus spécifiquement les fichiers:

fourier.c et procFourier.c

Résumé

Amélioration des images par filtrage spectral– Filtrage spectral

– Lissage d’images (élimination du bruit)

– Rehaussement d’images (mise en évidence de structures dans l’image)

Remise du TP3 : 24 mars 1999.