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  • ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE

    Cours de

    MATHEMATIQUES

    - Equation de la parabole -

    VERSION PROVISOIRE

    H. Schyns

    Juin 2011

  • Equation de la parabole Sommaire

    H. Schyns S.1

    Sommaire

    1. INTRODUCTION

    2. LA PARABOLE

    2.1. Forme simple 2.2. Ouverture de la parabole 2.3. Altitude de la parabole 2.4. Dcalage latral la parabole 2.5. Equation canonique

    3. EXERCICES

    3.1. Exercice 1 3.2. Exercice 2

    4. SOURCES

  • Equation de la parabole 1 - Introduction

    H. Schyns 1.1

    1. Introduction

    Nous rencontrons des paraboles tous les jours de notre vie

  • Equation de la parabole 1 - Introduction

    H. Schyns 1.2

    ( dvelopper)

  • Equation de la parabole 2 - La parabole

    H. Schyns 2.1

    2. La parabole

    2.1. Forme simple

    La parabole la plus simple est dfinie par la fonction

    2xy =

    C'est une fonction quadratique car la variable [ x ] est au carr. On dit aussi que c'est une fonction du deuxime degr car l'exposant de [ x ] est 2.

    Pour tracer son graphe, on procde exactement comme dans le cas de la droite : on cre un tableau dans lequel on choisit les valeurs de [ x ] (variable indpendante) et on calcule les valeurs de [ y ] (variable dpendante)

    x y=x2 0 0

    1/2 1/4 1 1

    3/2 9/4 2 4 3 9 4 16

    -1/2 1/4 -1 1

    -3/2 9/4 -2 4 -3 9 -4 16

    fig. 2.1 La parabole la plus simple : y=x2

    Ce graphe appelle quelques commentaires :

    - les valeurs sont toujours positives. Elles occupent le premier et le deuxime quadrant.

    - Le graphe est symtrique par rapport l'axe des ordonnes. On dit que cette fonction est paire.

    - la concavit est oriente vers le haut (parabole ouverte en haut) - le graphe passe par un minimum en (0,0). Il n'est pas "pointu" en ce point, la

    tangente est horizontale - les segments entre les points ne sont pas des droites.

    2.2. Ouverture de la parabole

    Nous pouvons jouer sur l'ouverture ou la fermeture de la parabole en multipliant le terme en [ x2 ] par un facteur [ a ] :

  • Equation de la parabole 2 - La parabole

    H. Schyns 2.2

    2xay =

    x 2x

    21y =

    2x2y =

    0 0 1/2 1/8 1/2 1 1/2 2

    3/2 9/8 9/2 2 2 8 3 9/2 18 4 8 32

    -1/2 1/8 1/2 -1 1/2 2

    -3/2 9/8 9/2 -2 2 8 -3 9/2 18 -4 8 32

    fig. 2.2 Le coefficient [ a ] contrle l'ouverture de la parabole: y=ax2

    Lorsque le coefficient [ a ] diminue tout en restant positif, la parabole s'ouvre et se rapproche de l'axe horizontal mais ses valeurs restent positives (Ier et IIme quadrant) (fig. 2.2).

    Par contre, lorsque le coefficient [ a ] augmente, la parabole se resserre et se rapproche de l'axe vertical. Toutefois, autour du minimum, la tangente reste horizontale.

    Si nous changeons le signe du coefficient [ a ], les coordonnes [ y ] de tous les points changent de signe. Cela signifie que chaque point de la parabole passe de l'autre ct de l'axe des abscisses (fig. 2.3).

    x 2xy = 2xy =

    0 0 0 1/2 1/4 -1/4 1 1 -1

    3/2 9/4 -9/4 2 4 -4 3 9 -9 4 16 -16

    -1/2 1/4 -1/4 -1 1 -1

    -3/2 9/4 -9/4 -2 4 -4 -3 9 -9 -4 16 -16

  • Equation de la parabole 2 - La parabole

    H. Schyns 2.3

    fig. 2.3 Le signe de [ a ] contrle l'orientation de la paraboleLes paraboles d'quation

    2axy = et 2axy =

    sont l'image symtrique l'une de l'autre par rapport l'axe des abscisses.

    Nous en dduisons que

    Si a > 0 la concavit est oriente vers le haut (positive)

    Si a < 0 la concavit est oriente vers le bas (ngative)

    2.3. Altitude de la parabole

    Nous pouvons jouer sur l'altitude de la parabole en ajoutant un terme indpendant [ c ] l'quation :

    cxay 2 +=

    x y = x2+5 y = x2-5 0 5 0

    1/2 21/4 -19/4 1 6 -4

    3/2 29/4 -11/4 2 9 -1 3 14 4 4 21 11

    -1/2 21/4 -19/4 -1 6 -4

    -3/2 29/4 -11/4 -2 9 -1 -3 14 4 -4 21 11

    fig. 2.4 La valeur de [ c ] contrle l'altitude de la parabole

    Ceci signifie qu' chaque valeur de [ y ] de la parabole de base, on ajoute une certaine quantit [ c ]. Si [ c ] est positif, la parabole est dcale vers le haut ; si [ c ] est ngatif, la parabole est dcale vers le bas (fig. 2.4).

    Notons que

    - si [ a ] est positif et [ c ] ngatif, la parabole est oriente vers le haut (concavit positive) mais son sommet est situ en dessous de l'axe des abscisses. Le graphe de la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points appels racines (fig. 2.5).

    - si [ c ] augmente, la parabole s'lve peu peu et les deux racines se rapprochent l'une de l'autre. Pour une certaine valeur de [ c ] la parabole est tangente l'axe des abscisses et elle ne prsente plus qu'une seule racine (on

  • Equation de la parabole 2 - La parabole

    H. Schyns 2.4

    dit alors que les deux racines sont confondues, ou qu'il s'agit d'une racine double).

    - si [ c ] augmente encore, la parabole "dcolle" de l'axe des abscisses et ne le coupe plus. La parabole n'a pas de racines.

    fig. 2.5 Le nombre de racine varie avec l'"altitude" de la parabole.

    2.4. Dcalage latral la parabole

    Pour dcaler latralement la parabole (1) il suffit de remplacer dans l'quation

    x x + m (vers la gauche)

    x x m (vers la droite)

    Si nous partons de l'quation la plus simple

    2xy =

    dans laquelle nous remplaons [ x ] par [ x + m ], nous obtenons

    22

    2

    mm2xy

    mxy

    ++=

    +=

    x)(

    ce qui fait apparatre un terme du premier degr.

    Ds que l'quation d'une parabole contient un terme du premier degr, son axe de symtrie ne concide plus avec l'axe des ordonnes.

    Vrifions cela en ajoutant un terme du premier degr [ bx ] l'quation :

    xbxay 2 +=

    1 Ceci vaut aussi pourle graphe de n'importe quelle fonction.

  • Equation de la parabole 2 - La parabole

    H. Schyns 2.5

    x y = x2+4x y = x2-4x 0 0 0

    1/2 9/4 -7/4 1 5 -3

    3/2 33/4 -15/4 2 12 -4 3 21 -3 4 32 0

    -1/2 9/4 -7/4 -1 -3 5

    -3/2 -15/4 33/4 -2 -4 12 -3 -3 21 -4 0 32

    fig. 2.6 La valeur de [ b ] contrle le dcalage la parabole g. ou dr.

    Nous voyons que la parabole se dcale effectivement vers la gauche ou vers la droite (fig. 2.6) mais aussi vers le bas (c'est normal).

    2.5. Equation canonique

    Ceci nous conduit l'quation canonique ou quation complte de la parabole :

    cxbxay 2 ++=

    Cette expression est appele trinme complet du second degr :

    - trinme car il y a trois termes - second degr car le terme de plus haut degr est [ x2 ] - complet car il y a tous les termes intermdiaires : en [ x2 ], en [ x1 ] et en [ x0 ] (le

    terme indpendant)

    Les trois coefficients ou paramtres [ a ], [ b ], [ c ] nous permettent de placer la parabole o nous le dsirons dans le plan (fig. 2.7)

  • Equation de la parabole 2 - La parabole

    H. Schyns 2.6

    fig. 2.7 Trois paraboles dans le plan

  • Equation de la parabole 3 - Exercices

    H. Schyns 3.1

    3. Exercices

    3.1. Exercice 1

    3.2. Exercice 2

  • Equation de la parabole 4 - Sources

    H. Schyns 4.1

    4. Sources

    - Elementary and Intermediate Algebra for College Students Allen R. Angel Prentice Hall ISBN : 0-13-013980-7

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