MODELISATION DU RATIO DE SINISTRALITE D’UN PORTEFEUILLE … · 2018-11-07 · Daria Ioana BATIU iii Modélisation du ratio de sinistralité d’un portefeuille pour le calcul de

EURO-INSTITUT D’ACTUARIAT JEAN DIEUDONNE

– EURIA

MODELISATION DU RATIO DE

SINISTRALITE D’UN

PORTEFEUILLE EN RUN OFF

POUR LE CALCUL DE L’EUROPEAN

EMBEDDED VALUE

par Daria Ioana BATIU

Mémoire présenté pour l’obtention du

Titre d’actuaire - DESS Actuariat

EURIA (Euro-Institut d'Actuariat), Brest, France

Directeur de mémoire Marine CORLOSQUET Entreprise BNP Paribas Assurance (Cardif)

Encadrant Philippe LENCA Etablissement ENST-Bretagne/EURIA

Septembre 2007

CONFIDENTIEL

CONFIDENTIEL

DESS Actuariat, Euro-Institut d’Actuariat EURIA, Brest, France Septembre 2007

Daria Ioana BATIU iii Modélisation du ratio de sinistralité d’un portefeuille pour le calcul de l’European Embedded Value

RESUME

Notre étude a pour objectif la modélisation du ratio de sinistralité d’un portefeuille en run-off, c’est-à-dire

en excluant la valeur des contrats futurs. L’étude réalisée lors de ce stage s’inscrit dans le cadre du calcul de

l’European Embedded Value (EEV) et regroupe les métiers assurance des emprunteurs et prévoyance

individuelle pour le risque décès. L’impact majeur d’une telle étude porte sur l’obtention de la meilleure

estimation de la sinistralité future d’un portefeuille, à cause de son influence significative sur l’évaluation de

l’EEV et donc sur la valeur de la société.

L’analyse se divise en deux étapes distinctes : la simulation d’un portefeuille, dans un premier temps, suivie

par sa projection en run-off, dans un deuxième temps. Les résultats obtenus apportent une solution pour

prédire la sinistralité future d’un portefeuille, selon plusieurs variables discriminantes : la durée moyenne des

contrats, l’âge moyen du portefeuille et le taux de croissance. Ainsi, les scénarios de projection obtenus

rendent possible une mesure de l’évolution de la sinistralité et même une quantification pertinente du risque

technique pour l’horizon de projection considéré.

Nous soulignons l’impact important de notre modèle de prédiction sur le calcul de l’EEV puisque, jusqu’à

maintenant, la pratique habituelle était de faire l’hypothèse que la sinistralité d’un portefeuille restait

constante pendant la période de projection. Les formules obtenues ont déjà été intégrées dans la version

opérationnelle de calcul de l’EEV.

MOTS CLES :

European Embedded Value, modélisation, prévoyance individuelle, assurance des emprunteurs, ratio de

sinistralité, portefeuille en run-off, prédiction.


Daria Ioana BATIU Modélisation du ratio de sinistralité d’un portefeuille pour le calcul de l’European Embedded Value

iv



ABSTRACT

The aim of this study is to model the loss ratio of a run-off portfolio, meaning without the value of the

future contracts. The study made during this internship concerns the European Embedded Value (EEV)

calculation, and treats the individual protection and the creditor insurance for the death risk. The main

impact of this study is the best estimation obtained of the future loss ratio of a portfolio. This is due to the

important consequences on the EEV’s evaluation and on the company’s value.

In order to operationalize the research question, we distinguish two main steps: the portfolio’s simulation

on one hand, and it’s projection on the other hand. The results obtained provide the forecast of the future

loss ratio. The average contracts’ duration, the portfolio’s average age and its growth rate, are the variables

that influence the loss ratio. The generated projection scenarios give a better measure of the loss ratio’s

evolution, and allow the quantification of the technical risk on the projection horizon.

This study underlines the interest of using a method that models the loss ratio, in function of some

characteristics of the portfolio since, until now, this ratio was considered constant during the projection

horizon. The study's results and the mathematical formulae have been included in the operational version

of the EEV calculation tool.

KEY WORDS:

European Embedded Value, modeling, individual protection, creditor insurance, loss ratio, run-off

portfolio, forecast.

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vi



REMERCIEMENTS

Je tiens tout d’abord à remercier Mlle. Marine CORLOSQUET, mon maître de stage, ainsi que M. Tristan

ESKINAZI et M. Jean-Paul FELIX tous les trois membres de l’équipe « Risque et Valeur », au sein de la

direction Prévoyance de la BNP PARIBAS ASSURANCE, pour leurs conseils, leur soutien, leur pédagogie

et leur disponibilité. Grâce à eux, j’ai eu l’opportunité de traiter un sujet très intéressant et d’actualité et de

mener à terme mon étude.

J’adresse ensuite toute ma reconnaissance à M. Renaud DUMORA et M. Jacques FAVEYROL pour leur

accueil chaleureux au sein du service actuariat de BNP PARIBAS ASSURANCE.

Je témoigne également toute ma sympathie aux autres membres du service Prévoyance qui, par leur

attention et leurs explications diverses, ont contribué à favoriser ma compréhension de l’entreprise et à

rendre ce stage agréable.

J’aimerai enfin remercier M. Philippe LENCA, mon tuteur, enseignant chercheur à l’ENST-Bretagne ainsi

que professeur à l’EURIA, pour ses conseils et son aide technique.

vii



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Daria Ioana BATIU ix Modélisation du ratio de sinistralité d’un portefeuille pour le calcul de l’European Embedded Value

Pour des raisons de confidentialité, certaines données ont été modifiées ou masquées.

Cependant, les ordres de grandeur sont respectés.



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Daria Ioana BATIU xi Modélisation du ratio de sinistralité d’un portefeuille pour le calcul de l’European Embedded Value

« Il faut toujours prendre le maximum de risques avec le maximum de

précautions. »

Rudyard Kipling



TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION 1

I. CONTEXTE DE L’ETUDE 3

1. PRESENTATION DE BNP PARIBAS ASSURANCE 5

2. PERIMETRE DE L’ETUDE 9 2.1. Prévoyance individuelle 9 2.2. Assurance des emprunteurs 10

2.2.1. Les différents types de crédits 11 2.2.2. Les garanties en Assurance des Emprunteurs 14 2.2.3. La carence et la franchise 16

3 PRESENTATION ET UTILITE DE L’EUROPEAN EMBEDDED VALUE (EEV) 19 3.1 Définition et objectifs 19 3.2 Les différents éléments constitutifs de la valeur 21 3.3 Hypothèses et méthode de calcul de l’European Embedded Value 25

3.3.1. Les 12 principes de l’European Embedded Value dictés par le CFO Forum 25 3.3.2 Les données utiles 26 3.3.3 Méthode de calcul de l’European Embedded Value 27 3.3.4 Les contraintes et les limites 32

II. MODELISATION DE L’EVOLUTION DU RATIO DE SINISTRALITE 33

1. PRINCIPE ET OBJECTIFS 35

2. SIMULATION DU PORTEFEUILLE D’ASSURES 37 2.1. Simulation des âges des assurés 37 2.2. Répartition des contrats en fonction de leur durée restante 41

2.2.1. Simulation des durées des contrats 41 2.2.2. Simulation des dates de début des contrats 41

2.3. Simulation des montants de crédit 49

3. DEROULEMENT DU COMPTE DES RESULTATS 51 3.1. Rappels succincts sur le modèle de survie 51 3.2. Modélisation des sinistres 53 3.3 Modélisation des primes 54

3.3.1 Principe de la tarification en assurance 54 3.3.2 Méthodes de calcul de primes pour un individu 55

a) Tarification en fonction du capital financé 58 b) Tarification en fonction du capital restant dû 59

3.3.3 Méthodes de calcul de primes pour un portefeuille 60 a) Tarification en fonction du capital financé 60 b) Tarification en fonction de l’âge moyen arithmétique et de l’âge actuariel 62

3.4 Modélisation des provisions 63

4. PROJECTION DES RATIOS DE SINISTRALITE 67

xii



4.1. Stock de contrats à l’année 0 68 4.1.1. Portefeuille en régime de croisière 68 4.1.2. Portefeuille en régime de croissance ou décroissance 69

4.2. Projection du stock de contrats en run-off 70

5. INTEGRATION DE LA SELECTION MEDICALE 73

III. ETUDE DE LA TENDANCE DU RATIO DE SINISTRALITE 77

1. OBJECTIFS 79

2. LES OBSERVATIONS 81 2.1. Prévoyance individuelle – résultats obtenus 81

2.1.1. Evaluation à partir d’un ratio initial fixé 82 2.1.2. Tarification en fonction de l’âge moyen et de l’âge actuariel du portefeuille 84 2.1.3. Application de la sélection médicale 85

2.2. Assurance des emprunteurs – résultats obtenus 88 2.2.1. Tarification en fonction du capital financé 89

a) Crédit à la consommation 90 b) Crédit immobilier 91

2.2.2. Application de la sélection médicale 94

3. AJUSTEMENT D’UNE LOI PARAMETRIQUE 95 3.1. Méthodologie 95 3.2. Régression polynomiale 96 3.3. Méthode des moindres carrés 96 3.4. Régression linéaire 97

4. MISE EN EQUATION DE LA MODELISATION DU RATIO DE SINISTRALITE 103 4.1. Prévoyance individuelle 103

4.1.1. Formule mathématique de l’évolution du ratio de sinistralité 104 4.2. Assurance des emprunteurs 107

4.2.1. Etude de modèles à plusieurs paramètres 108 4.2.2. Formule mathématique de l’évolution du ratio de sinistralité 116

CONCLUSION 123

BIBLIOGRAPHIE 125

ANNEXES 127

ANNEXE 1 – Application de la sélection médicale – assurance des emprunteurs 127

ANNEXE 2 – Taux d’évolution moyen du ratio S/P – prévoyance individuelle 135

ANNEXE 3 – Paramètres de la formule mathématique – assurance des emprunteurs 137

xiii



xiv



INTRODUCTION

Quel que soit leur domaine de spécialité, les compagnies d’assurance sont aujourd’hui confrontées aux

mêmes problématiques : les exigences accrues des actionnaires, les législateurs et les analystes. Conseils

d’administration et dirigeants doivent ainsi gérer une pléthore d’exigences réglementaires nouvelles et de

normes de comptabilité financière changeantes.

Depuis plus de dix ans, les sociétés d’assurances ont appris à intégrer dans leurs indicateurs clés la notion

d’Embedded Value (EV), estimation de la valeur intrinsèque de leur portefeuille. Son calcul permet de

résumer en un chiffre la valeur d’une société si cette dernière venait à cesser son activité. La méthode

d’évaluation consiste d’une part à valoriser l’actif net comptable de la compagnie, d’autre part à évaluer la

valeur du portefeuille de contrats constitué, en effectuant une projection des flux générés par ce

portefeuille. Malgré une complexité assez marquée, l’EV est devenue un outil incontournable de mesure de

la richesse et de la profitabilité de l’entreprise d’assurance. La croissance de la concurrence entre les

différentes compagnies nécessite la mise en place de règles communes pour le calcul leur EV afin de

permettre une comparaison de leur valeur. Le CFO forum propose ainsi un cadre de travail uniformisé

permettant d’arriver à l’évaluation d’une European Embedded Value (EEV). Afin de se conformer aux

nouvelles normes européennes, BNP Paribas Assurance a choisi de suivre les principes publiés par le CFO

Forum pour le calcul de son European Embedded Value.

L’enjeu du calcul de l’EEV est d’obtenir la meilleure estimation possible de la sinistralité future ; d’une part

parce qu’elle est le coeur du métier d’assureur, reflétant ainsi la justesse des tarifications et des méthodes de

provisionnement, et d’autre part parce qu’elle a un impact significatif sur le résultat et donc sur la valeur de

la société. Jusqu’à maintenant, dans l’outil de calcul de l’EEV, la pratique habituelle était d’imposer

l’hypothèse selon laquelle la sinistralité d’un portefeuille restait constante pendant la période de projection.

Les faits confirment que cette hypothèse ne se vérifie pas dans la réalité.

L’étude réalisée lors de ce stage s’inscrit dans le cadre du calcul de l’EEV. Le contexte de cette étude

regroupe les métiers assurance des emprunteurs (AdE) et prévoyance individuelle (PI) de l’activité

prévoyance monde pour le risque décès. Précisons que dans le cadre de l’assurance des emprunteurs, en cas

de décès de l’emprunteur, l’assureur règle le montant du crédit restant à payer à la date du décès. Ce solde,

plus communément appelé capital restant dû (CRD) décroît systématiquement pendant la durée du contrat.

La problématique dans le cadre de ce type de contrats est l’existence de deux facteurs, qui ont un impact

1



considérable sur la sinistralité : le premier est le capital restant dû, qui décroît, et le second est le risque

décès des assurés, qui augmente pendant la durée de leur contrat. Les questions qui en découlent sont :

Quel est l’impact de ces deux facteurs sur la sinistralité future ? Est-ce que nous pouvons trouver une

solution pour prédire son évolution ?

L’objet de cette étude est donc la modélisation de l’évolution de la sinistralité d’un portefeuille en run-off,

c’est-à-dire en excluant la valeur des contrats futurs. Pour répondre aux questions évoquées auparavant, une

difficulté majeure rencontrée a été l’absence d’informations individuelles fiables et disponibles pour chaque

pays. D’où l’obligation de simuler des portefeuilles à l’aide des données agrégées, comme l’âge moyen et la

durée moyenne d’un portefeuille réel. L’analyse se divise en deux étapes distinctes : la simulation, dans un

premier temps, d’un portefeuille générique pendant la période qui précède le moment de l’évaluation de

l’EEV, suivie par sa projection, dans un deuxième temps. Nous analysons enfin la sinistralité générée et

nous essayons de trouver une formule de prédiction à la fois assez générale et cohérente. Il y a des facteurs

qui peuvent aggraver le risque de sinistralité et qui ne sont pas connus a priori par l’assureur. C’est le cas de

l’anti-sélection exposant le portefeuille à un risque de sinistralité plus élevé. Afin de parer à ce risque,

l’assureur peut appliquer une sélection médicale. Ses conséquences seront étudiées dans la suite.

Ce mémoire se constitue de trois parties principales. Nous définirons dans un premier temps le contexte de

l’étude, son périmètre ainsi que la présentation, l’utilité et la méthode de calcul de l’EEV. La seconde partie

est consacrée à la modélisation de l’évolution de la sinistralité que nous présenterons ici en deux étapes : la

simulation d’un portefeuille d’assurés dans un premier temps, et sa projection dans un deuxième temps.

Nous étudierons aussi l’impact de la sélection médicale sur le portefeuille simulé. Nous étudierons enfin

dans la troisième partie la tendance de la sinistralité obtenue à partir des résultats de notre modélisation, et

chercherons à donner une formule mathématique pour la prédiction de son évolution. Cette formule

remplacera l’hypothèse que la sinistralité reste constante au cours du temps et sera intégrée dans l’outil de

calcul de l’EEV.

2



I. CONTEXTE DE L’ETUDE

Chapitre 1. Présentation de BNP Paribas Assurance

Chapitre 2. Périmètre de l’étude

2.1. Prévoyance individuelle

2.2. Assurance des emprunteurs

Chapitre 3. Présentation et utilité de l’European Embedded Value

3.1. Définition et objectifs

3.2. Les différents éléments constitutifs de la valeur

3.3. Hypothèses et méthode de calcul de l’EEV

3



4



C h a p i t r e 1

1. PRESENTATION DE BNP PARIBAS ASSURANCE

Compagnie d’assurance vie de BNP Paribas, Cardif conçoit des produits et services dans les domaines de

l’épargne et de la prévoyance, commercialisés dans 32 pays par de multiples partenaires : banques,

institutions financières, sociétés de crédit et conseillers en gestion de patrimoine indépendants (CGPI). Elle

leur propose des produits adaptés aux besoins de leurs clients, dans le cadre d’une relation personnalisée :

proximité des interlocuteurs, back-office décentralisé, formation, appui juridique ou fiscal et conseil

marketing.

Cardif a été la première compagnie d’assurance à distribuer, il y a plus de trente ans en France, ses produits

d’assurance par l’intermédiaire de banques, de sociétés de crédit et de sociétés de distribution. Pour réussir à

se développer sur des marchés différents et répondre aussi bien aux besoins d’une banque qu’à ceux d’une

société financière, d’un courtier ou d’un conseiller en gestion de patrimoine indépendant, Cardif fait preuve

d’adaptation, d’écoute et d’innovation. Aujourd’hui, Cardif a développé cette expertise dans l’ensemble des

pays dans lesquels elle est implantée et compte parmi ses partenaires 35 des 100 premières banques

mondiales.

Cardif a mis en place des services commerciaux destinés aux conseillers en gestion de patrimoine

indépendants dès 1973, date de création de la compagnie d’assurance. Aujourd’hui, Cardif travaille en

étroite collaboration avec 3 000 conseillers en gestion de patrimoine indépendants. Par le nombre de ses

collaborateurs dédiés aux conseillers en gestion de patrimoine et le nombre de ses partenaires, le réseau

Cardif est le plus important de France. Le dispositif BNP Paribas Assurance est présenté dans la figure

suivante :

5



Figure 1-1 Cardif - une offre complète et innovante en protection

Cardif conçoit et commercialise par de multiples réseaux de distribution des produits et services dans le

domaine de l’épargne et de la prévoyance individuelle et collective. Son approche multi partenariale

constitue sa spécificité, en nouant et gérant des partenariats dans chaque pays. Ainsi Cardif développe une

approche personnalisée, grâce à des produits et des modes de distribution adaptés aux attentes et aux

contraintes locales.

La compagnie possède un savoir-faire dans le domaine actuariel fondé sur l’expérience acquise dans trente-

deux pays, grâce à un portefeuille large et varié de partenaires locaux et multinationaux. Les actuaires de

l’ensemble des implantations du groupe développent en commun les outils actuariels de tarification, de

"profit testing" et de suivi des risques. Ils constituent ainsi une base de connaissance actuarielle partagée par

l’ensemble des pays. Cette méthodologie actuarielle est conçue dans le cadre d’une stratégie

rentabilité/risque unifiée mais également dans un souci de transparence et de pérennité des relations avec

les partenaires. Cette vision de l’actuariat fait partie intégrante de l’offre commerciale de Cardif. En matière

d’expertise financière, Cardif dispose d’une société de gestion, Cardif Asset Management. Filiale de la

Banque Financière Cardif, celle-ci exerce des activités de gestion pour compte de tiers.

Pour satisfaire les besoins de ses clients, Cardif enrichit régulièrement sa gamme de produits. Le partenariat

avec Cortal Consors - leader européen de l’épargne et du courtage en ligne – opéré en 2005 a permis à

Cardif de compléter son offre assurance de produits bancaires et de proposer des solutions performantes.

Parmi les solutions offertes, se distinguent :

6



• Assurance vie : Régulièrement plébiscité par les professionnels, Cardif Multi-Plus 2 propose une offre

financière étendue, adaptée aux attentes du client, et constitue plus qu’un contrat d’assurance vie. Il est

le socle de toute une gamme de produits patrimoniaux : Cardif Multi-Plus 2 Capitalisation, Cardif

Multi-Plus PEP et Cardif Multi-Plus PEA.

• Retraite : En plus d’une offre d’épargne salariale et de prévoyance, Cardif joue la carte de la modularité

avec Cardif Ambition Retraite Professionnels - contrat Madelin -, Cardif Ambition Retraite Entreprise

- contrat article 83 - et Cardif Multi-Plus PERP. En fonction des besoins du client et du niveau de

sophistication recherché, les sommes collectées sur ces différents contrats peuvent être investies sur

différents supports de placement.

• Assurance des emprunteurs : Lancé en juin 2002, Cardif Garantie Emprunteur propose depuis 2005

une couverture élargie et un tarif adapté à chaque âge et à chaque situation. Ces évolutions permettent à

l’assuré de bénéficier d’une protection encore plus solide. En 2005, il a reçu pour la deuxième année

consécutive le label d’excellence par les Dossiers de l’épargne. Cardif est devenu le numéro 2 mondial

en assurance des emprunteurs et un leader en assurance individuelle des emprunteurs en France auprès

des courtiers. Il a plus de 35 millions assurés dans le monde.

BNP PARIBAS ASSURANCE propose une large gamme de produits :

• ASSURANCE des emprunteurs : BNP Paribas Assurance couvre de nombreux risques : décès, perte totale ou irréversible d’autonomie, incapacité de travail, perte d’emploi, maladies redoutées, invalidité, garanties achats…

• PRÉVOYANCE individuelle : BNP Paribas Assurance assure le décès, le décès accidentel, la santé, l’hospitalisation, l’incapacité de travail, l’invalidité…

• ASSURANCE des factures : Pour protéger le budget des consommateurs, BNP Paribas assurance propose une assurance des factures.

• PROTECTION des moyens de paiement : BNP Paribas Assurance offre une assurance des moyens de paiement qui couvre de multiples risques dans de nombreux pays.

• EXTENSION de garanties : BNP Paribas Assurance propose des extensions de garanties pour couvrir le coût de réparations en cas de panne intervenant sur des biens (automobile, électroménager, hi-fi, téléphonie…).

• GAP : BNP Paribas Assurance propose des produits “gap”, garanties complémentaires permettant de racheter un véhicule neuf en cas de vol ou d’incendie du véhicule.

7



• PRÉVOYANCE collective : Contrats de prévoyance collective personnalisés et standard proposés aux grandes entreprises comme aux PME.

• Epargne :

o L’épargne individuelle Cardif est le 4e GROUPE d’assurance vie en France. Il propose des contrats d’assurance vie multi supports et multi gestionnaires. Les produits d’épargne individuelle sont proposés dans plusieurs pays.

o Retraite et épargne collectives : Cardif propose des contrats collectifs de retraite, d’indemnités de fin de carrière ou de préretraite. Les produits de retraite et d’épargne collectives sont proposés en France.

Figure 1-2 Cardif - 3 métiers, des positions de leader

8



9

C h a p i t r e 2

2. PERIMETRE DE L’ETUDE


L’assurance prévoyance individuelle à pour objet de protéger la famille contre les aléas de la vie en prenant

en charge les conséquences financières d'un décès, d’une incapacité de travail, d’une invalidité, d’une

maladie ou d’un accident. Contrairement à l'assurance vie de type épargne qui est un placement financier, le

contrat de prévoyance ne joue que si l'aléa se réalise.

Les produits de prévoyance individuelle et collective ne sont liés à des crédits. Les capitaux sous risque sont

les capitaux forfaitaires versés aux bénéficiaires en cas de sinistres. La prévoyance individuelle est une

activité d’assurance vendue par à un réseau de distribution établi.

Prestation en cas de décès

En cas de décès, des garanties telles les garanties obsèques déterminent un capital défini de manière

contractuelle. Le risque supporté dans cette activité est donc un risque de déviation de la mortalité car le

capital à verser est défini à l’avance.

Prestation en cas d’incapacité/d’invalidité

L’incapacité est définie comme étant une inaptitude temporaire, partielle ou totale, en raison d’un handicap

physique ou psychique résultant d’une maladie ou d’un accident, à exercer une activité, professionnelle ou

non, définie dans le contrat d’assurance. Nous noterons que l’incapacité se transforme en invalidité à partir

du 36ème mois en incapacité.

Les garanties se présentent sous deux formes : une indemnisation mensuelle en cas d’incapacité et un

capital en cas d’invalidité. Le tarif est établi à partir d’un taux d’entrée et d’une loi de maintien. Cependant,

le produit Invalidité ne comporte pas de durée de maintien. Ainsi, à la tarification, le produit de la durée de

maintien par l’indemnité mensuelle est remplacé par le capital garanti. Les taux d’entrée retenus doivent

également tenir compte du degré d’invalidité à couvrir. Un chèque hospitalisation peut-être rajouté, il

s’intègre dans le calcul de la même façon que le capital Invalidité.



10

Prestation en cas d’hospitalisation

Ces contrats sont conclus pour une durée initiale de un an prolongeable annuellement par tacite

reconduction. Le tarif est segmenté par tranches d’âge.

Le contrat d’un produit « Hospitalisation » garantit le versement d’indemnités journalières en cas

d’hospitalisation de l’assuré suite à une maladie ou à un accident. Ce risque est tarifié à partir des taux

d’entrée en hospitalisation de durée supérieure à la franchise et des durées moyennes après franchise. Ces

taux sont déterminés sur la base d’expérience acquise sur le portefeuille de BNP PARIBAS

ASSURANCES.

De nombreux opérateurs interviennent sur le marché de l’assurance individuelle, il s’agit notamment de

compagnies d’assurance traditionnelles, de mutuelles sans intermédiaire, d’acteurs directs, de bancassureurs,

de groupes d’institution de prévoyance de retraite, de courtiers.

BNP Paribas Assurance intervient dans cette branche d’activité avec plusieurs produits phares tels que

Cardif Garantie Accidents, BNP Protection Accidents, BNP Prévoyance (Prévoyance Plus), BNP

Protection Familiale BNP Protection Familiale Plus).


Lancée en 1974 chez Cardif, l’Assurance des Emprunteurs (AdE) a connu un essor important et constitue

aujourd’hui un domaine prépondérant de la société. Apparue aux Etats-Unis depuis le début du siècle, puis

en France à l’après guerre, elle consiste en un contrat d’assurance souscrit auprès d’une société de crédit.

Ces garanties correspondent ainsi à un schéma d’assurance particulier dans lequel le contrat collectif lie trois

parties. Ce système répond donc à une logique double, prémunissant le prêteur contre une défaillance de

son emprunteur, mais également l’assuré contre son propre défaut. La déclaration du sinistre est ainsi à

charge de l’assuré ou de ses ayants droit, qui doit alors fournir tous les justificatifs nécessaires, puis le

versement de la prestation est effectué directement auprès du bénéficiaire (prêteur qui, étant partie au

contrat, est appelé “contractante”), sans transiter par l’emprunteur, ceci afin de s’assurer du bon usage des

sommes versées, qui sont destinées uniquement à la couverture du crédit.



11

Les domaines concernés par l’Assurance des Emprunteurs sont les prêts à la consommation, crédits

classiques (crédit auto,…) ou revolving (comptes permanents, cartes), et l’accession à la propriété (crédit

immobilier). Seules les personnes ayant un lien de même nature avec le souscripteur (la contractante)

peuvent adhérer au contrat souscrit entre la contractante et l’assureur, comme par exemple tous les

emprunteurs d’un établissement de crédit.

Adh

ésio

n

Contrat

Emprunteur Assuré

Prêteur Souscripteur et bénéficiaire

Assureur Promettant

Figure 2-1 Principe de l’assurance des emprunteurs

2.2.1. Les différents types de crédits

• Le crédit immobilier et le crédit à la consommation Les crédits immobiliers sont généralement des crédits destinés au financement d’un bien immobilier

(acquisition de terrains, logements…), caractérisé par une longue durée de crédit (jusqu’à 20 ans) avec un

capital financé élevé. Les crédits à la consommation sont quant à eux, des prêts consentis à un particulier,

pour le paiement de biens de consommations (achat de mobilier, électroménagers…) ou de services. Ce

sont généralement des crédits de courte ou moyenne durée (souscrits pour une durée pouvant aller jusqu’à

cinq ans) où le capital financé est relativement faible.

La courbe du plan d’amortissement du crédit présente l’aspect général de la figure 2-2. Néanmoins dans

certains cas, l’emprunteur peut bénéficier d’un différé de paiement, la première mensualité ne sera émise

qu’après une période définie.



12

Som

me e

n eu

ros

Mois

Solde du crédit à la charge de

l’emprunteur et restant à

payer

Différé

Figure 2-2. Crédit immobilier et crédit à la consommation

Soit un client empruntant un capital C, qu’il doit rembourser avec les intérêts (taux d’intérêt mensuel i), sur

une durée T définie par le contrat. Les mensualités et le Capital Restant Dû vérifient

alors pour les relations suivantes. Dans le cas du crédit classique, la mensualité est constante au

cours du temps :

)(km )(kCRD

Tk <

k∀

mkm =)( ∑= +

=T

kki

kmC1 )1(

)(

)()1(*)1()( kmkCRDikCRD −−+= avec CCRD =)0(

Figure 2-3. Le plan d’amortissement de ce crédit (taux d’intérêt i=10%).



13

• Le crédit permanent (revolving) Ce sont des crédits particuliers constitués d’une réserve d’argent dont l’emprunteur peut disposer à tout

moment. Le remboursement se fait en principe par mensualités dont le montant et le nombre sont fixés par

l’emprunteur en collaboration avec l’organisme prêteur. Ce type de crédit est également connu sous le nom

de compte permanent. On distingue différents découverts :

o Le découvert autorisé (DA) qui est le découvert maximum autorisé pour un type de compte

permanent. Il est propre au contrat, et reste le même pour tous les clients.

o Le découvert utile (DU), qui est le découvert maximum accordé par l’organisme de crédit. Il

est propre à chaque client, et doit rester inférieur au DA.

Cas d’une mensualité constante : C’est le cas où la mensualité est fixée par le contrat comme un

pourcentage de la limite de crédit. L’évolution du CRD en fonction de la mensualité est alors représentée

par le graphique suivant (taux d’intérêt i=1%). On constate que la mensualité du dernier versement n’est

pas égale aux mensualités précédentes. Elle est, en effet, égale au montant nécessaire au remboursement

total du crédit.

Figure 2-4. Evolution du CRD pour un crédit permanent de mensualités constantes

Cas d’une mensualité variable : En général, la mensualité est alors exprimée en pourcentage du capital

restant dû. Il est alors nécessaire dans ce cas de définir une valeur minimale pour cette mensualité. En effet,

dans le cas contraire, l’emprunteur ne pourrait jamais rembourser totalement son crédit, puisque sa durée

de crédit deviendrait infinie.



14

Tarification des contrats d’assurance des emprunteurs

La tarification des contrats d'assurance des emprunteurs (contrat groupe) en décès, incapacité de travail et

perte d'emploi repose sur un risque calculé pour une structure de population définie. Elle est donc unique

pour l’ensemble de cette population. La prime de risque est construite de manière à couvrir le risque d'une

génération de production sur l'ensemble de son amortissement. Elle correspond à l’espérance augmentée

des marges techniques.

2.2.2. Les garanties en Assurance des Emprunteurs

Les garanties proposées à l’origine concernaient uniquement les risques décès, invalidité, pour lesquels

l’assureur se substitue à l’emprunteur pour la liquidation de sa dette, et incapacité de travail, où l’assureur

prend en charge les mensualités pendant la durée de l’interruption de travail, durée modulée par les

éventuels délais de carence, franchises ou plafonds de prestations. Ces garanties ont aujourd’hui été

étendues aux utilisations frauduleuses des cartes de paiement, à la couverture des biens financés (par

exemple assurant pendant une durée précise les biens acquis au moyen d’une carte,…), les pertes

pécuniaires (en cas de destruction d’un bien devant être remplacé alors que le crédit est toujours en cours),

les maladies redoutées et surtout la perte d’emploi. Il convient cependant de préciser que, à l’international,

si certains pays proposent uniquement des garanties « classiques », d’autres, plus imaginatifs, peuvent être

amenés à proposer des garanties plus « exotiques ». Dans le cadre de notre étude le risque décès sera le seul

étudié.

• Les garanties décès et invalidité

En cas de décès ou d’invalidité de l’emprunteur, l’assureur règle à l’organisme prêteur le solde du crédit à la

date du décès ou de la mise en invalidité permanente et totale. Ce solde, plus communément appelé capital

restant dû (CRD), correspond au capital financé (CF) majoré des intérêts et dont sont déduites les

mensualités déjà acquittées par l’emprunteur. D’où la nécessité, pour l’assureur, de connaître le type du

crédit afin de calculer son plan d’amortissement. Contrairement au décès, l’invalidité doit être définie de

manière univoque. En France, l’invalidité est classée selon trois catégories. La dernière catégorie induit

notamment la nécessité de l’assistance d’une tierce personne.



15

Octroi du crédit Souscription de l’assurance Sinistre : décès de l’emprunteur

Fin du contrat de crédit et de l’assurance

Paiement du solde du capital restant dû par l’assureur

Figure 2-5. Garanties décès et invalidité

• La garantie incapacité de travail

En cas d’incapacité de travail de l’assuré, Cardif règle les mensualités de crédit en vigueur au 1er jour d’arrêt

de travail, et ce jusqu’à la fin de l’arrêt de travail. L’assuré reprenant une activité professionnelle normale, il

prend à nouveau en charge les mensualités du prêt contracté.

Octroi du créditSouscription de l’assurance

Fin du sinistreSinistre : accident

Prise en charge des mensualités par l’assureur

Figure 2-6. Garanties incapacité de travail

• La garantie perte d’emploi



16

La garantie perte d’emploi, ou plus simplement garantie chômage, prévoit, en cas de sinistre, c’est à dire une

perte d’emploi suite à un licenciement le règlement des mensualités de crédit en vigueur à la date de

notification du licenciement.

Octroi du créditSouscription de l’assurance

Fin du sinistreSinistre : perte d’emploi

suite à un licenciement

Prise en charge des mensualités par

l’assureur

Figure 2-7. Garanties perte d’emploi (chômage)

2.2.3. La carence et la franchise

Chacune de ces couvertures est susceptible d’induire un changement de comportement de l’assuré. Ces

produits peuvent alors faire l’objet de multiples réglages.

La carence est une des multiples réponses à l’anti-sélection, c’est à dire une demande d’assurance accrue

pour une population se sachant plus risquée. Elle consiste en un délai qui débute à l’octroi du crédit

pendant lequel l’assuré n’est pas encore couvert. Il permet par exemple d’éviter que les emprunteurs, ayant

connaissance de leur prompt licenciement à la date de souscription du crédit, ne souscrive une assurance

perte d’emploi. Un exemple est d’imposer que les garanties prennent effet 180 jours (6 mois) après l’octroi

du crédit. Peuvent être également nécessaires, pour éviter cette anti-sélection, une déclaration de bonne

santé, un questionnaire médical ou des examens médicaux pour les garanties chômage ou maladie.

De la même façon, les aléas moraux sont d’autres comportements qui doivent faire l’objet de réglages.

L’aléa moral ex ante est un risque comportemental accru chez les individus se sachant assurés et l’aléa moral

ex post une stagnation dans l’état de sinistré de l’assuré se sachant pris en charge. Pour éviter ces aléas, les

paramètres tels que la franchise et la limitation de prise en charge sont ajustés, le tout appuyé par une

définition sans aucune ambiguïté possible des garanties et des prestations.



17

La franchise est la période comprise entre la date de survenance du sinistre et celle de la première prise en

charge de l’assureur, à l’issue de laquelle l’assureur se substitue à l’emprunteur pour le paiement des

mensualités du crédit. Deux types de franchise sont communément utilisés.

o La franchise relative qui permet à l’assuré, si la durée du sinistre est supérieure à la durée de

franchise, de voir ses mensualités, comprises dans cette période de franchise, prises en charge par

l’assureur.

o La franchise absolue qui ne permet pas l’indemnisation des mensualités comprises dans la période

de franchise.

Un exemple de franchise, est en cas de mise en jeu de la garantie Incapacité de Travail (IT), quand

l’assureur se substitue à l’emprunteur après une période de 90 jours consécutifs d’interruption totale de

travail pour le paiement des mensualités de crédit.

La limitation de prise en charge est un plafonnement, soit en temps, soit en montant, du remboursement

des mensualités. Dans le premier cas, le contrat limite généralement l’indemnisation à 12 mois de prise en

charge. Dans le second cas, la somme des mensualités est plafonnée.

FFigure 2-8. Les effets de l’anti-sélection, de l’aléa moral et

du sous sélection pendant la durée de vie d’un contrat

ALEA-MORAL EX POSTANTI-SELECTION

temps

Octroi Crédit

Survenance Sinistre

Reprise Activité Fin Crédit

ALEA-MORAL EX ANTE SOUS-DECLARATION



18



C h a p i t r e 3

3 PRESENTATION ET UTILITE DE L’EUROPEAN

EMBEDDED VALUE (EEV)

3.1 Définition et objectifs

Les sociétés d’assurance présentent la particularité, par rapport aux entreprises industrielles, de posséder un

actif facilement valorisable dans la mesure où il est constitué essentiellement d’obligations, d’actions et

d’immeubles. En revanche, l’évaluation du passif est plus complexe, et c’est en règle générale son

estimation qui demande le plus de travail. En prévoyance il y a très peu d’interactions entre l’actif et le

passif.

Une spécificité de l’assurance est l’inversion du cycle de production: l’assureur encaisse d’abord les primes

versées par les assurés, sa prestation n’est réalisée qu’à l’issue d’une période plus ou moins longue. La

compagnie d’assurance doit ainsi faire face à des risques dont la survenance et le montant ne sont connus

qu’à l’issue de plusieurs années. Ainsi, le résultat des contrats d’assurance ne peut être déterminé lors de la

vente mais seulement à l’achèvement du contrat : les coûts de l’assureur ne sont connus de façon certaine

qu’après avoir versé les indemnités et les capitaux garantis.

L’European Embedded Value, littéralement « Valeur Engrangée », ou « Valeur Intrinsèque », est une

notion retenue depuis plusieurs années par les analystes anglo-saxons du secteur de l’assurance. Elle permet

d’expertiser la valeur actualisée des contrats en portefeuille d’une compagnie d’assurances et complète la

photographie annuelle que constitue l’analyse du résultat et de la rentabilité sur fonds propres (ROE). C’est

une métrique permettant de valoriser économiquement l’activité qui a été « engrangée » dans le ou les

portefeuilles.

Conçue à l’origine pour évaluer une société d’assurance ou, plus précisément, pour éviter que son

évaluation fasse impasse sur des éléments de valeur n’apparaissant pas au bilan, l’EEV est aussi un

instrument de gestion. L’analyse de sa variation dans le temps permet d’alerter les dirigeants sur les facteurs

qui ont eu une influence sur cette évolution et d’y apporter des corrections éventuelles. Son calcul fait appel

à un certain nombre d’hypothèses, de conventions et de paramètres, dans un contexte économique et

financier donné. L’EEV permet d’une part de suivre l’évolution dans le temps de la « création de valeur »

ainsi que de la « consommation de valeur », et d’autre part, d’analyser les facteurs agissant sur la valeur.

19



L’EEV constitue un outil de valorisation en externe devant les autres compagnies ainsi que les autorités de

tutelle mais aussi en interne (indicateur de performance) pour décider des processus à mettre en place dans

le cadre d’une stratégie risque/rentabilité. Le contexte actuel est caractérisé par le besoin croissant de

transparence, d’où l’utilisation croissante des mesures de valeur.

L’EEV, comme outil de valorisation en Externe, est utile aux :

- Actionnaires et analystes financiers dans le but de suivre la performance des compagnies dans lesquelles ils

ont investi, et sélectionner les entreprises dans lesquelles il est intéressant d’investir. L’EEV est utile lors des

cessions de titres, fusions acquisitions, de ventes de portefeuilles ou encore d’introduction en bourse.

- Autorités de tutelle, dans le but de porter un jugement sur la santé économique de l’entreprise. L’objectif

est protéger les assurés de la faillite de la société.

L’EEV, comme indicateur de Performance Interne, sert aux :

- Dirigeants, comme outil de gestion et de pilotage de la société, dans le but d’indiquer où résident les

centres de profits. L’analyse de la variation de la valeur dans le temps leur permet de déterminer les

opérations créatrices et destructrices de valeur.

- Service marketing, par la rentabilité obtenue des différents produits, branches, et systèmes de distribution

des compagnies d’assurance. Le but est d’éliminer les moins performants et devenir le plus compétitif

possible. Actuellement, cette analyse est devenue fondamentale du fait de la concurrence accrue du marché.

- Suivi du risque.

L’utilisation de l’EEV demande plusieurs précautions :

o l’énoncé de la méthode et de l’ensemble des hypothèses, conventions et paramètres retenues;

o informer les investisseurs et les analystes financiers des conditions de calcul d’une part, mais aussi

que l’European Embedded Value ne peut prétendre à elle seule déterminer le prix d’une société

d’assurance.

20



Outils de Valorisation

Communication Externe

Indicateur de Performance Interne

AnalystesFinanciers

Indicateur de la valeur de la compagnie(Fusion Acquisition)

Autorités de tutelle

Indicateur du niveaude solvabilité de l’entreprise

Mesure de l’exposition aux risques (scenarii catastrophes)

Pilotage Interne

Identification des opérations qui créent ou détruisent de la valeur

Rémunération des dirigeants

Commercial et Marketing

Mesure de rentabilitécommerciale

Suivi duRisque

Stress Test, Stochastique

=> Politiqued’allocationdu capital

Figure 3-1. L’European Embedded Value – outil de valorisation en externe et en interne

3.2 Les différents éléments constitutifs de la valeur

• Valeur historique : Net Worth (NW)

Synonyme : Net Asset Value (NAV); Traduction : Actif Net Comptable

Tirée directement du bilan, la NW devrait refléter exactement la valeur du patrimoine accumulé dans le

passé par l’entreprise. Néanmoins, elle représente mal cette valeur du fait de la comptabilisation en coûts

historiques, ou des surévaluations et sous évaluations latentes. En fait, la NW renvoie une vision comptable

de l’entreprise, souvent déconnectée de sa réalité économique.

Il s’agit donc de l’ensemble des éléments d’actif diminué du « passif externe » (c'est-à-dire des dettes de

l’entreprise). Le NW correspond également à ce qu’on appelle les capitaux propres (capital social + réserves

+ bénéfices reportés)

• Valeur patrimoniale : Adjusted Net Worth (ANW)

Synonyme : Adjusted Net Asset Value ; Traduction : Actif Net Réévalué

21



L’ANW correspond à la valeur du patrimoine de l’entreprise à la date d’observation. L’ANW est égal au

NW ajusté par réévaluation des principaux postes du bilan (à l’actif comme au passif). Les corrections

appliquées sont de deux ordres :

o corrections comptables : réévaluation des actifs et des dettes à leur valeur de marché ;

o corrections économiques : prise en compte des plus-values ou des moins-values latentes

(nettes de toute fiscalité).

Remarque : si l’ANW est une valeur dont il est facile de voir la correspondance au niveau d’une société, il

est moins aisé d’appliquer cette notion à un portefeuille. Dans ce dernier cas il faut répartir l’ANW totale

selon une clé de répartition pertinente mais le principe même d’un calcul d’ANW par portefeuille n’a pas de

sens au niveau économique.

• Valeur des contrats existants : Present Value of In-Force Business (PVIF)

Traduction : Valeur des contrats existants

La PVIF correspond à la valeur de rendement des portefeuilles existants ; elle est égale à la valeur actualisée

probable des flux générés par le stock de contrats en portefeuille.

L’actionnaire considère que la PVIF est égale à la somme actualisée des flux entre lui et l’entreprise. Ces

flux sont de deux ordres : flux de résultat et flux de capital :

o Present Value of Future Profits (PVFP) : il s’agit de la valeur actualisée probable des flux

de bénéfices distribuables. Nous faisons l’hypothèse que ces derniers sont égaux à la

marge nette (ni report à nouveau ni alimentation des réserves) et donc que les résultats

positifs sont des flux de la société vers l’actionnaire et les résultats négatifs sont des flux de

l’actionnaire vers la société.

o Cost of Holding Capital (CoC) : il s’agit de la valeur actualisée probable des flux du capital

alloué (et des produits financiers sur ce capital). Cee qui correspond au coût de

l’immobilisation du capital (ce dernier ayant un rendement généralement inférieur au taux

d’actualisation).

Ainsi PVIF = PVFP – CoC

22



• Valeur intrinsèque : European Embedded Value (EEV)

Définition globale

L’EEV est une estimation de la valeur économique d’une société d’assurance vie en excluant la valeur

générée par les contrats futurs (concept actuariel qui donne la valeur d’une compagnie d’assurance en run-

off).

Comme l’European Embedded Value est basée sur les profits futurs des contrats en cours, le résultat n’est

donc pas influencé uniquement par les pertes de la première année, mais essaie de tenir compte de la

contribution des contrats dans la valeur de la compagnie.

Les calculs de l’European Embedded Value sont complexes et prennent du temps. Lors de la mise en place

de ces calculs, les compagnies européennes mettent en moyenne cinq ans pour résoudre les problèmes

techniques et sept ans pour que la Direction interprète correctement les résultats. Des difficultés

surviennent également lors de la communication des résultats à un public qui n’est pas familier aux

techniques actuarielles.

Importance des hypothèses: Les calculs d’European Embedded Value ne sont valables que si les

hypothèses émises le sont aussi. Or, il est délicat de les établir. Dans le même temps, sans les publier, l’EEV

n’a pas de signification.

Limites en terme d’harmonisation: Le concept de l’European Embedded Value n’est pas réglementé à

l’heure actuelle : il y a des différences non seulement entre les pays mais aussi au sein d’un même pays.

Etant donné qu’aucune méthode officielle n’a été établie, les compagnies établissent elles-mêmes leur

propre méthode, et certaines peuvent manipuler leurs résultats.

• Economic Value Added (EVA)

Traduction : Evolution de la valeur

Il s’agit sans doute du concept le plus intéressant puisqu’il correspond à la création de valeur (au sens de

l’EEV) sur une période donnée :

Vue de l’actionnaire :

EVA(t) = EEV(t) – EEV(t-1) + Dividendes distribués (entre t-1 et t) – Capital injecté (entre t-1 et t)

23



Remarque : nous nous intéressons ici à la valeur créée de façon intrinsèque, sans tenir compte des flux du

capital entre l’actionnaire et la société (sur la période étudiée).

Vue du manager

EVA(t) = EEV(t) – EEV(t-1)

Remarque : cette mesure est tout à fait adaptée pour mesurer la performance du manager.

• Valeur intrinsèque : Appraisal Value (AV)

L’AV correspond à la valeur théorique de la société ; elle est égale à la somme de la valeur patrimoniale de

la société (ANW) et de la valeur de rendement des portefeuilles existants (VIF) et futurs.

• Valeur de marché : Fair Value (FV)

Synonyme : Market Value (MV) ; Traduction : Valeur Juste

La Fair Value est le montant pour lequel un actif pourrait être échangé ou un passif réglé, entre des parties

bien informées et consentantes dans le cadre d'une transaction effectuée dans des conditions de

concurrence normale.

La Fair Value des passifs d’assurance, c’est-à-dire les provisions techniques, devraient être égale à la valeur

de marché dans le cadre d’une transaction entre l’assureur et un tiers autre que le souscripteur du contrat

d’assurance. Comme les contrats d’assurance ne font pas l’objet d’un marché (sauf titrisation), la Fair Value

est estimée par recours à des modèles internes de valorisation, on parle alors d’Entity Specific Value (ESV).

o La FV d’une société est la valeur à laquelle le marché la valorise. Si la FV n’est pas égale à

l’AV c’est que certains éléments, non pris en compte dans l’AV, ont une influence sur

l’appréciation du marché. Ces éléments, le plus souvent très subjectifs, peuvent être :

o l’offre et la demande ;

o le talent de négociateur des acheteurs et vendeurs ;

• Valeur stratégique : Trade Value (TV)

La différence entre la TV et la FV vient du fait que pour prendre le contrôle d’une société il est

généralement nécessaire d’offrir aux actionnaires une prime par rapport à la cotation des parts avant le

lancement de l’opération. En effet, en prenant le contrôle d’une société, la holding pourra réaliser des

24



synergies créatrices de valeur. De plus le nouveau positionnement stratégique donnera un poids plus

important au groupe, lui permettant d’être plus exigeant dans les négociations avec ses fournisseurs,

augmentera sa part de marché, et lui permettra aussi de devenir un price maker.

3.3 Hypothèses et méthode de calcul de l’European Embedded

Value

3.3.1. Les 12 principes de l’European Embedded Value dictés par le CFO

Forum

Le CFO Forum réunit les directeurs financiers des 20 principaux acteurs européens du secteur de

l'assurance, rassemblés pour la première fois sous une bannière commune. Son objectif est de progresser

dans l'harmonisation des normes comptables et l'information financière en accord avec l'IASB

(International Accounting Standard Board, organisme privé élaborant les normes comptables

internationales pour l''information financière générale (IAS et IFRS)) et les autorités de contrôle et de

régulation des marchés. Afin de se conformer aux nouvelles normes européennes, BNP Paribas Assurance

a choisi de suivre les principes publiés par le CFO Forum pour le calcul de son European Embedded

Value :

Principe 1 : L’EEV est la mesure de la valeur consolidée des intérêts des actionnaires dans le business

couvert (« covered business »).

Principe 2 : Le business couvert par la méthodologie de l’EEV doit être clairement identifié et mentionné.

Principe 3 : L’EEV est la valeur actuelle des intérêts des actionnaires dans les revenus distribuables issus

des actifs alloués au business couvert après prise en compte de l’ensemble des risques liés au business

couvert. L’EEV est la somme des 3 éléments suivants : le « capital libre » (ou « free surplus ») alloué au

business couvert, le capital requis (ou « required capital »), moins le coût d’immobilisation de celui-ci, et la

valeur actuelle des profits futurs.

Principe 4 : Le capital libre est la valeur de marché des actifs en représentation du capital complémentaire

au capital requis.

25



Principe 5 : Le capital requis doit être au minimum égal à la marge de solvabilité réglementaire. Chaque

compagnie est libre de fixer, au dessus de ce minimum, un niveau de capital. L’EEV doit tenir compte du

coût d’immobilisation du capital requis.

Principe 6 : La valeur des cash-flows est la valeur actuelle des cash-flows générés par le business couvert.

Cette valeur est réduite par la valeur des options et des garanties offertes aux assurés.

Principe 7 : L’EEV doit tenir compte de l’impact éventuel des options et garanties sur les cash-flows

futurs. L’évaluation de la valeur temps des options et garanties basée sur des techniques stochastiques doit

être cohérente avec la méthodologie et les hypothèses de l’European Embedded Value.

Principe 8 : La nouvelle production est définie par le volume de production lié aux nouveaux contrats. La

valeur du New business inclut les nouveaux contrats à primes périodiques et les versements libres. La

valeur de la nouvelle production est exclue du calcul de l’EEV.

Principe 9 : La détermination des hypothèses doit se fonder sur l’analyse du passé, du présent et du futur

attendu et de toute autre information utile. Les hypothèses doivent être activement revues et les

changements éventuels sans équivoques.

Principe 10 : Les hypothèses économiques doivent être cohérentes entre elles, avec l’ensemble du

« reporting « financier et avec les données de marché.

Principe 11 : Pour les contrats avec participations aux bénéfices (PB), la méthodologie doit prendre en

compte les PB futures (taux et allocation entre actionnaires et assurés). Les hypothèses de PB futures

doivent être cohérentes avec les hypothèses économiques, les pratiques de la compagnie et du marché.

Principe 12 : La publication doit être documentée à un niveau consolidé (hypothèses,

sensibilités…).

3.3.2 Les données utiles

Les données nécessaires au calcul de d’European Embedded Value, soit la Valeur Intrinsèque, dépendent

de multiples contraintes variant selon l’utilité du calcul. En effet, nous voulons être précis par rapport à

l’évolution du portefeuille ou alors effectuer le calcul sur des durées moyennes par exemple. Aussi, son

calcul souvent fastidieux peut nécessiter beaucoup de temps. Enfin, il est fréquent que certaines données ne

26



soient pas disponibles à la date d’évaluation. Les informations essentielles pour le calcul de l’European

Embedded Value sont :

• Informations sur la compagnie : Les états comptables, les rapports des commissaires aux comptes,

le rapport de solvabilité, les business plan, les traitements fiscaux, les divers postes du bilan

• Informations sur les contrats : une base de données contrat par contrat , les volumes par types de

produits, les analyses techniques, les hypothèses sur les chutes, l’analyse de frais, l’évaluation de la

Participation aux Bénéfices

• Informations sur les tiers : la rémunération partenaires, les réseaux (commissions)

3.3.3 Méthode de calcul de l’European Embedded Value

L’European Embedded Value est composée de deux parties : le FS (Free Surplus), acronyme anglais de

capital libre qui est un capital dont l’actionnaire peut disposer librement et immédiatement et le NEV

(Notional Embedded Value). Le calcul de l’EEV peut donc se résumer par la formule suivante.

EEV (European Embedded Value) = FS (Free Surplus) + NEV (Notional Embedded Value)

La figure suivante présente un schéma simplifié du calcul de l’EEV :

Figure 3-2. European Embedded Value – outil de calcul simplifié

ANALYSE DES PROMESSES FUTURES

Pari sur l’avenir

Valeur de rendement : PVIF

Temps Date

d’évaluation

ANALYSE DU PASSE

Evaluation du passé

Valeur patrimoniale : ANW

27



Au moment de l’évaluation de l’European Embedded Value, deux analyses importantes sont prises en

compte :

o L’analyse du passé, donnée par l’ANW : Adjusted Net Worth, qui représente le patrimoine

accumulé dans le passé. C’est une réévaluation de la NAV (Net Asset Value) à l’actif et au passif.

o L’analyse du futur, donnée par le PVIF : Present Value of In Force Business, qui constitue la

valeur du rendement de la projection des gains futurs que va rapporter le portefeuille d’assurances

en cours au moment de l’évaluation. PVIF est basée sur la projection du compte de résultats sur un

horizon de temps donné.

Le schéma suivant décrit plus en détails les différentes parties qui entrent dans le calcul complexe de

l’EEV :

Solvency margin(0),

Boni(0), Profit sharing rate

ANW(Adjusted Net

Worth)

Figure 3-3. European Embedded Value – Outil de calcul

Solvency Margin

RC FS(Required Capital)

(Free Surplus)

VRC(Value of Required Capital)

Solvency Margin

Discount rate, Tax Rate, Real interest rate

CoC(Cost of Holding

Capital)

Discount Rate (rd)

PVIF(Present Value

of In Force Business)

NEV (Notional

Embedded Value)

EV(EMBEDDED

VALUE)

GOI after tax

28



a) Le FS (Free Surplus)

Acronyme anglais de capital libre, FS est un capital dont l’actionnaire peut disposer librement et

immédiatement à la date d’évaluation. Le FS contient des éléments comme la provision pour égalisation et

des boni (plus values).

RCANWFS −=

Où ANW (Adjusted Net Worth) est l’acronyme anglais désignant la valeur patrimoniale de la compagnie et

RC (Requiered Capital), l’acronyme anglais de capital cible.

• L’ANW (Adjusted Net Worth)

L’ANW est calculée à partir de la NW tirée directement du bilan, la NW devrait refléter exactement la

valeur du patrimoine accumulé dans le passé par l’entreprise. Néanmoins, elle représente mal cette valeur

du fait de la comptabilisation en coûts historiques, ou des surévaluations et sous évaluations latentes. En

fait, la NW renvoie une vision comptable de l’entreprise, souvent déconnectée de sa réalité économique.

Par exemple, si l’entreprise acquiert un immeuble à l’année N à X euros, la valeur de cet immeuble peut

fluctuer au cours du temps (plus ou moins values latentes), mais dans les comptes de l’entreprise elle restera

figée à X Euros, qui est son coût d’achat.

retenuesvaluesplusnetprofitreservespropresfondsexternspassifsactifspatrimoineducomptablevaleurNW

____)_(___

+++≈−=

Ainsi, pour obtenir une vision économique de la valeur de la société, des retraitements à l’actif et au passif

s’imposent : Nous parlons alors d’ANW, qui représente un ajustement de la NW, et qui reflète une image

économique de l’entreprise. L’actif et le passif sont ainsi réévalués à leur valeur du marché, comme par

exemple :

• Réévaluation de l’actif – prise en compte des plus-values réalisées sur les placements.

• Réévaluation du passif – la provision d’égalisation de l’assureur après impôts disparaît (elle

devient nulle, auprès les nouvelles normes réglementaires IFRS).

)_(__ externspassifsactifsmarchéduvaleurANW −=

29



• Le RC (Required Capital)

Le capital cible correspond à l’immobilisation d’une marge de solvabilité (imposée par la réglementation des

autorités de tutelle) à laquelle l’entreprise peut décider de rajouter un montant variable indexé sur les

objectifs de rating de la direction.

∆+= ésolvabilitdeemRC __arg

Où ∆ constitue le montant variable indexé sur les objectifs de rating de l’entreprise.

b) Le NEV (Notional Embedded Value)

La NEV représente la valeur attendue des gains futurs, que va rapporter le portefeuille d’assurances en

cours, au moment de l’évaluation. La NEV est calculée à partir d’un set de hypothèses et d’un set des

meilleures estimations actuarielles. Elle est net déductible du coût d’immobilisation du capital (CoC).

PVIFVRCNEV +=

• VRC (Value of required Capital)

Le VRC est égal au capital cible correspondant à l’immobilisation d’une marge de solvabilité diminué par le

coût d’immobilisation du capital.

CoCRCVRC −=

o Le fait que le RC ne soit pas disponible pour l’actionnaire, c'est-à-dire qu’il ne peut ni

recevoir de dividendes, ni investir son argent, représente une contrainte, ou un coût. Il y a

une autre façon de voir les choses : le RC est placé à un taux sans risque, inférieur au taux

d’actualisation des cash flows donc valeur actuelle nette des actifs sera inférieure à la

valeur de marché. La différence entre ces deux valeurs est appelée coût d’immobilisation

du capital.

30



• La PVIF (Present Value of In-Force Business)

La PVIF correspond à la valeur actualisée des flux de résultats futurs (intérêts sur le capital non compris

Pour ce faire, un horizon de projection de 30 est fixé sur lequel les comptes de résultats de l’année N à

l’année N + 30 sont projetés. La somme de ces flux de résultats actualisés donne la PVIF.

Le calcul de la PVIF s’écrit selon la formule suivante :

∑=

−+=n

i

iii rdPPVIF

1

)1(*

Où : taux d’actualisation ird

flux de résultats futurs :iP

: horizon de projection n

En effet, la PVIF intègre un résultat technique, un résultat financier ainsi qu’un résultat de gestion. Parmi

ces résultats, celui le moins évident à prévoir est celui utilisant l’évolution future de la sinistralité : Il s’agit du

résultat technique ( RT ) qui se décompose comme suit :

CSPRRT −=

où désigne la prime de risque et CS la charge de sinistralité actuarielle (nette de boni). PR

Nous arrivons à projeter facilement l’actif de ce résultat correspondant à la prime de risque car il s’agit

d’une donnée issue d’un choix de tarification (connu). En revanche, le passif est plus difficile à évaluer. En

effet, nous ne pouvons pas estimer la charge de sinistralité future car nous disposons uniquement de

données agrégées qui rendent la modélisation des sinistres difficile pour leur projection, étant donné que

ces derniers ont lieux tête par tête et indépendamment les uns des autres.

Aussi, afin d’obtenir une projection de cette charge de sinistralité future, nous avons recours à l’évaluation

d’une dérive de la sinistralité, dérive que nous estimons grâce au ratio S/P, le résultat technique devient

alors :

31



CSPRCSPRRT ×−=

Remarquons que les provisions n’interviennent pas dans la modélisation. En effet, nous considérons des

primes périodiques ce qui rend les provisions pour primes obsolètes. De même, il n’y a pas de provisions

pour sinistres car les délais de règlement pour le risque décès sont très courts.

3.3.4 Les contraintes et les limites

L’European Embedded Value est donc un indicateur fournissant la valeur cumulée des profits futurs d’une

société ou d’un portefeuille. Les choix des paramètres, ainsi que les hypothèses utiles pour son calcul

doivent être analysés et établis avec précaution. Aussi, les valeurs calculées ne tiennent pas compte d’effets

externes pouvant influer sur le résultat au cours de l’extinction des contrats, qui peuvent être d’ordre

réglementaire ou fiscales. Le choix du taux d’actualisation est crucial. En effet, plus il sera élevé plus les

perspectives de profits seront valorisés. A l’inverse, un taux d’actualisation trop bas sur des durées longues

surestime les valeurs terminales, qui sont incertaines parce que lointaines, et la conséquence de l’application

prolongée d’hypothèses dont la robustesse ne peut être constante dans le temps.

Le calcul des valeurs de portefeuilles ne consiste pas à donner seulement les valeurs. Il est nécessaire de

fournir les hypothèses qui ont été faites et des tests de sensibilités avec tout résultat du calcul de l’EEV.

Enfin, l’analyse des chroniques de résultats peut aussi être un élément utile, puisqu’elle permet de

déterminer les périodes de risques, mais aussi de s’assurer que le chemin suivi passe par une zone d’états

acceptables.

32



II. MODELISATION DE L’EVOLUTION DU RATIO DE SINISTRALITE

Chapitre 1. Principe et objectifs

Chapitre 2. Simulation du portefeuille d’assurés

2.1. Simulation des ages

2.2. Répartition des contrats en fonction de leur durée restante

2.3. Simulation des montants de crédit

Chapitre 3. Déroulement du compte de résultats

3.1. Rappels succincts sur le modèle de survie

3.2. Modélisation des sinistres

3.2. Modélisation des primes

3.2. Modélisation des provisions

Chapitre 4. Projection des ratios de sinistralité

4.1. Stock des contrats à l’année 0

4.2. Projection du stock des contrats en run-off

Chapitre 5. Intégration de la sélection médicale

33



34



C h a p i t r e 1

1. PRINCIPE ET OBJECTIFS

Dans le calcul de l’European Embedded Value, la prédiction de l’évolution du ratio de sinistralité d’un

portefeuille dans le cas de la prévoyance individuelle et de l’assurance des emprunteurs est une des parties

les plus importantes ; d’une part parce qu’elle est le coeur du métier d’assureur, reflétant ainsi la justesse des

tarifications et des méthodes de provisionnement, et d’autre part parce qu’elle a un impact significatif sur le

résultat. Il convient donc d’établir une méthode d’évaluation à la fois générale et précise, tenant compte de

plusieurs contraintes comme par exemple, la tarification appliquée, les politiques de provisionnement, les

durées limites de prestation, ainsi que certaines particularités propres à chaque pays. De plus, le calcul

devant se faire dans certains cas en l’absence d’informations fiables pour chaque pays, la méthode de calcul

ne doit pas demander à l’utilisateur de l’outil une quantité trop importante d’informations. Cette partie a

donc pour but d’établir un modèle d’évaluation à la fois assez général et cohérent du ratio de sinistralité

pour le type de risque étudié – le décès, ne tenant compte que de paramètres aisément disponibles pour

chaque actuaire.

Les valeurs du ratio S/P (i.e. charges de sinistres de l’exercice par rapport à la prime de risque acquise au

titre de l’exercice) ne sont pas disponibles en échelle suffisante pour nous permettre de le modéliser, c’est

pourquoi dans un premier temps, la sinistralité a été simulée tête par tête (micro simulations) afin d’obtenir

un nombre d’observations suffisant.

Pour la modélisation du ratio il va falloir dans un premier temps construire des portefeuilles couvrants un

type de contrat donné. Chaque portefeuille simulé correspond à un ensemble d’individus ayant souscrits un

contrat pour le risque donné, le décès dans notre cas.

Une fois ce dernier construit nous allons le faire évoluer et vieillir au cours du temps jusqu'à l’extinction de

tous les contrats présents à la production (contrat en run-off). Les flux de résultats générés par ce

portefeuille seront projetés sur un horizon donné.

La simulation du portefeuille d’assurés se fait par le tirage aléatoire des âges des assurés (i.i.d1) dont la

répartition suit une loi bêta ainsi que des dates de contrats (i.i.d). En effet, pour un portefeuille donné, les

1 Indépendants et Identiquement Distribués

35



contrats n’ont pas tous commencés à la même date, il faut donc simuler la production du stock de contrat

passé et en déduire les encours à la date initiale de calcul et de projection.

La construction de ce portefeuille fictif nous permet de déterminer un montant de sinistre et de prime tête

par tête à la date initiale en se basant sur les probabilités de décès issues de la table de mortalité TD88-90.

Nous pouvons alors en déduire la dérive de sinistralité S/P pour le portefeuille en date initiale. Ce premier

ratio est alors projeté sur un horizon donné en faisant vieillir le portefeuille d’assurés année par année.

Des facteurs peuvent aggraver le risque de sinistralité et ne sont pas connus a priori par l’assureur. C’est le

cas de l’anti-sélection exposant le portefeuille à un risque de sinistralité plus élevé. Afin de parer à ce risque,

l’assureur peut appliquer une sélection médicale.

Dans la suite, nous étudierons plusieurs modèles : en premier lieu l’évolution du ratio de sinistralité pour le

portefeuille de contrats en run-off dans le cas de la prévoyance individuelle puis dans le cas de l’assurance

des emprunteurs, avec et sans sélection médicale.

36



C h a p i t r e 2

2. SIMULATION DU PORTEFEUILLE D’ASSURES

Nous considérons un portefeuille qui garantit un risque de décès que nous allons faire vieillir au cours du

temps. La construction du portefeuille sera effectuée par un tirage tête par tête, où une classe représente un

individu.

Nous simulons les âges des assurés tête par tête et des durées des contrats de chaque individu. Afin de

modéliser la répartition des âges des assurés, nous avons fait le choix d’utiliser une loi bêta à quatre

paramètres. Ce choix a été fait parce que la famille de la loi bêta fournit des modèles non uniformes sur des

intervalles bornés et parce qu’elle est facile à paramétrer, étant donné les contraintes concernant les

informations sur les portefeuilles existants, c’est-à-dire que des données agrégées, comme l’âge maximum,

l’âge minimum, l’âge moyen et la variance d’un portefeuille. Si des variables indépendantes suivent la loi

uniforme sur [0,1], leurs statistiques d'ordre suivent des lois bêta. En effet, il s’agit de la loi la plus simple à

calibrer au vu des données dont nous disposons.

Les données à renseigner sont les suivantes :

• Age minimum de la population, âge maximum, âge moyen, variance de l’âge

• Type de contrat : prévoyance individuelle et assurance des emprunteurs

• Pour chaque type de contrat nous donnons : sa durée minimale, maximale, moyenne et la variance

de la durée

• En plus, pour les contrats d’assurance des emprunteurs on renseigne les champs suivants : le

montant minimal garanti de crédit d’un contrat, le montant maximal, les taux d’intérêt de

remboursement minimal et maximal.

2.1. Simulation des âges des assurés

La loi Bêta est normalement définie pour x appartenant à [0,1]. Ici, nous l'utilisons pour x appartenant à

[age min, age max] en considérant le changement de variable suivant :

37



min(max( min,0), max min)max min

x age age ageyage age− −

=−

Il est nécessaire de renormaliser l’âge moyen m, ainsi que la variance (ν) du portefeuille de l’intervalle

[agemin ; agemax] à l’intervalle [0 ; 1].

[ ][ ]min.... max

0..1

min

max minage agem age

mage age

−=

−

[ ][ ]min.... max

0...1 2( max min)age agev

vage age

=−

A partir de la moyenne m et de la variance s² renormalisées, nous calculons à nouveau les paramètres p et q de la loi Bêta (p, q). En effet, sur [0 ; 1] nous avons a les relations suivantes :

qppm+

=

22

))(1( qpqppqs

+++=

Ce qui donne :

2

2 )(s

smmmp +−−=

2

2 ))(1(s

smmmq +−−−=

Remarque : Les fonctions de distributions sont les suivantes

Si : ]1;0[∈x ),()1()(

11

1 qpBxxxf

qp −− −=

avec )())(),(

qpqpqpB

+ΓΓΓ

=

Si : ];[ bax∈ 2

11

2 ))(,()()()( −+

−−

−−−

= qp

qp

abqpBxbaxxf

38



Lors du paramétrage de la loi Bêta utilisée pour simuler l’âge des assurés, la valeur de l’écart type est bornée

et ses bornes peuvent être déterminées à partir de celles de la moyenne. En effet, en se plaçant sur

l’intervalle [0 ; 1] :

Soit r=p+q>0. Nous avons alors :

[0...1p r m= ⋅ ] et [ ]( )0...1. 1q r m= −.

Ce qui peut alors réécrire

[ ] [ ]

( ) [ ] [ ]

2¨0...1 ¨0...1

¨0...1 ¨0...1

(1 )(1 )1

1

r m mm mr

r rσ

⋅ ⋅ −

⋅ −+= =

+

[ ] [ ]¨0...1 ¨0...11(1 )2

m m⋅ − p, valeur atteinte pour

[ ]0...112

m = et dans ce cas là p=q

Donc l’écart-type

12

σ pen général puisque s+1>1.

Sur [ ]min... maxage age , la variable aléatoire Y représentant un âge tiré sur cet intervalle est telle que

où min ( max min)Y age age age X= + − ⋅ ( , )X Beta p qa .

Ainsi, il faudra donc choisir un écart-type ( )Yσ tel que

1( ) ( max min)2

Y age ageσ − ⋅p lors du

paramétrage de la loi Bêta utilisée.

Le graphe suivant représente la répartition d’une population dont l’âge évolue entre 18 et 80 ans, d’âge

moyen 40 ans, pour les trois niveaux d’écart-type (faible, moyen, fort).

39



Figure 2-1. Répartition de la population – loi bêta

Technique de simulation des réalisations indépendantes et identiquement distribuées d’une

variable aléatoire

Soit U=(U1…Un) vecteur de n valeurs uniformément réparties dans [0 ; 1].

Soit Y a variable aléatoire représentant l’âge des assurés et FY sa fonction de répartition.

Pour chaque assuré k appartenant de 0 à n :

Nous cherchons Yk tel que Uk = FY (Yk )

Nous pouvons en déduire que Yk = FY-1 (Uk )

Nous obtenons alors n réalisations indépendantes et identiquement distribuées de la variable aléatoire Y

constituant ainsi le portefeuille d’assurés.

40



2.2. Répartition des contrats en fonction de leur durée restante

La problématique est la suivante : connaissant la structure de la production annuelle nouvelle de contrats et

l’état du portefeuille (régime de croisière, croissance ou décroissance), nous cherchons à connaître au

moment de la projection, la répartition de l’ensemble des contrats en portefeuille en fonction de leur durée

restante.

Pour cela, deux étapes sont nécessaires :

• Déterminer la répartition des contrats en fonction de leur durée initiale.

• Indiquer l’état du portefeuille, afin de simuler une date de souscription pour chaque contrat :

o Régime de croisière

o Croissance

o Décroissance

2.2.1. Simulation des durées des contrats

• Nous simulons la durée du contrat à l’aide d’une loi bêta à quatre paramètres. Les données à

renseigner sont les suivantes : la durée minimale, maximale et moyenne des contrats et la variance.

Le choix de la loi bêta pour modéliser la répartition des durées de contrats du portefeuille s’est fait pour

les mêmes raisons que pour la modélisation de la répartition des âges. Au regard des données transmises

par le chargé de pays, le calibrage de cette loi est direct.

2.2.2. Simulation des dates de début des contrats

L’approche de considérer que tous les contrats ont été souscrits simultanément en t0=0 n’est pas réaliste

car il est vraisemblable de dire qu’il existe très peu de chance (sauf dans le cas du lancement d’un nouveau

produit) pour que chacun des assurés du portefeuille souscrive son contrat à une même date.

41



Ainsi, nous souhaitons simuler, pour chacun d’entre eux, une date de début de contrat (date de

souscription). En effet, si le contrat le plus long du portefeuille est de durée Dmax, alors en se plaçant à la

date initiale de projection (en t0=0), l’ensemble des dates de souscription possibles sont

-Dmax, -Dmax+1,….,0, comme nous pouvons le voir sur l’axe temporel du schéma suivant.

Figure 2-2. Simulation de la production de contrats du portefeuille et la projection du ratio de sinistralité sur un

horizon donné

Par conséquent, nous simulerons pour chaque assuré et donc pour chaque contrat une date de début entre

la date de souscription la plus ancienne (-Dmax) qui vient d’être définie et la date initiale de projection (date

des calculs t0 = 0).

Deux types de contrats sont alors engendrés en simulant ainsi les dates de début de contrat sur I1 =

[-Dmax…0] et leurs durées respectives :

• les contrats passés : ceux dont la date de fin (début +durée) est antérieure ou égale à la date initiale

de projection.

• les contrats en cours : ceux dont la date de fin dépasse strictement la date initiale de projection.

Seuls les résultats générés par les contrats en cours entrent en compte dans le calcul de la PVIF (Present

Value of In-Force = valeur des contrats existants) et feront donc l’objet d’une projection sur l’intervalle I2.

Les résultats générés par les contrats passés sont comptabilisés au niveau de la valeur patrimoniale de

l’European Embedded Value (l’ANW).

30-Dmax

to-1 to=0

SIMULATION -Durée contrats

-Date de souscription

PROJECTION du ratio de sinistralité

I1 I2

42



Soit Uk la variable aléatoire représentant la date de début de contrat de l’assuré k. La loi suivie par U nous

donne donc la répartition du nombre de nouveaux contrats (ou nouvelles souscriptions) en fonction du

temps. L’ensemble des réalisations possibles pour Uk correspond à l’ensemble des dates discrétisées de I1.

Pour modéliser la loi suivie par cette variable aléatoire, nous avons besoin du taux de croissance de la

production en fonction du temps. Or la seule information dont nous disposons est le taux de croissance

entre la date précédant celles des calculs (t0-1) et la date de calcul (t0). taux_croiss désignera ce taux de

croissance qui s’écrit donc comme suit :

)10(_)10(_)0(__

−−−

=tcroisstaux

tcroisstauxcroisstauxcroisstaux

Le schéma suivant replace l’état de la connaissance que nous avons sur l’évolution du taux de croissance

dans notre modélisation.

Figure 2-3. Evolution du taux de croissance du nombre de contrats en fonction du temps

Pour modéliser le nombre de nouvelles souscriptions au cours du temps, nous construisons une loi

paramétrable à partir du taux_croiss. En pratique, pour des portefeuilles réels, le taux taux_croiss peut

prendre un large spectre de valeurs. Pour cette construction, nous émettrons les deux hypothèses

suivantes :

30-Dmax

to-1 to=0

SIMULATION PROJECTION Production de

contrats Du ratio de sinistralité

Taux de croissance inconnus Croissance de

taux_croiss %

I1 I2

43



• H1 : Si le taux de croissance est nul, alors le nombre de nouvelles souscriptions sur l’ensemble de

l’intervalle suit un régime de croisière.

• H2 : Le taux de croissance est le même pour chaque année de simulation du portefeuille c’est-à-

dire sur l’intervalle I1, entre [-Dmax …0].

En procédant ainsi, nous pourrons donc simuler un portefeuille récent pour lequel le nombre de

souscription évolue de façon croissante au cours du temps et réciproquement, un portefeuille ancien, un

portefeuille pour lequel le nombre de souscriptions décroît. La construction de cette loi permettra d’étudier

l’impact de l’anti-sélection en fonction de l’ancienneté du portefeuille.

Etant données les hypothèses (H1) et (H2), l’évolution de la production de contrats, et donc l’évolution du

stock, peut se faire selon 3 régimes :

• un régime de croisière si taux_croiss = 0

• un régime de croissance si taux_croiss > 0

• un régime de décroissance taux_croiss < 0

Soit SDmax… S3, S2, S1 les productions des années Dmax … 3, 2, 1 antérieures à la projection, c’est-à-dire sur

l’intervalle I1. Sachant que le taux de croissance de la production est taux_croiss, nous pouvons exprimer les

productions de chaque année de la façon suivante :

max1max *)_1( DD ScroisstauxS +=−

max1max2max *)²_1(*)_1( DDD ScroisstauxScroisstauxS +=+= −−

……………….

max1max

21 *)_1(*)_1( DD ScroisstauxScroisstauxS −+=+=

S1 correspond à la production de l’année qui précède la projection des contrats en run-off (t0-1)

Regardons l’évolution de la structure du portefeuille pendant l’intervalle I1, en supposant une production

annuelle qui dépend du taux de croissance :

44



Durée restante

jusqu’à la projection

Production

1

max1max

21 *)_1(*)_1( DD ScroisstauxScroisstauxS −+=+=

2 max

2max32 *)_1(*)_1( D

D ScroisstauxScroisstauxS −+=+=

…. …..

Dmax-1 max1max *)_1( DD ScroisstauxS +=−

Dmax maxDS

Table 2-1 Structure du portefeuille pendant l’intervalle I1

En se plaçant pendant l’intervalle I1, nous pouvons déduire la proportion de la production de l’année

Dmax – i , i∈ [1 ; Dmax] par rapport à la proportion de la production totale des contrats, en fonction du

taux de croissance.

Pour chaque assuré k du portefeuille, nous voulons simuler une date de souscription du contrat par tirage

d’une loi uniforme sur l’intervalle de production I1. Pour cela, plusieurs étapes sont nécessaires :

• Nous effectuons un tirage d’une durée initiale dur_init ∈ [1 ; Dmax] pour un contrat du

portefeuille, durée simulée à l’aide d’une loi bêta à quatre paramètres

• Pour chaque durée initiale et donc pour chaque assuré k, nous voulons trouver les probabilités que

le contrat ait été souscrit pendant l’année Dmax – i , i∈ [1 ; Dmax].

[ ]∑∑=

−

=

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

+=

+

+=

max

1

max

max

max

1

max

max

_11*)_1(

)_1(

)_1(

)_1(D

j

jD

iD

D

j

jD

iDk

croisstauxcroisstaux

croisstaux

croisstaux

croisstauxiP

∑=

−

−

++

+= max

1

max

max

)_1(*)_1(

)_1(D

j

jD

iD


croisstaux

45



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+=

−



croisstauxD

D

iD

_11*

_111

_111

*)_1(

)_1(max

max

max

( )croisstauxcroisstauxcroisstaux

croisstaux

croisstauxD

D

iD

_1*__1

11*)_1(

)_1(max

1max

max

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

+=

−

−

1)_1()_1(*_

_1)_1(

)_1(max

max

max

max

−++

=−+

+=

−−

D

iD

D

iD

croisstauxcroisstauxcroisstaux

croisstauxcroisstauxcroisstaux

[ ]1)_1()_1(*_' max

max

−++

=⇒−

D

iDk

croisstauxcroisstauxcroisstauxiPoùD

Nous obtenons donc le tableau suivant, qui contient, pour une durée initiale de contrat donnée, les

probabilités annuelles qu’il ait été souscrit pendant chaque année Dmax – i , i∈ [1 ; Dmax] de l’intervalle

I1.

Durée

restante

jusqu’à

Probabilité que le contrat ait été souscrit pendant

l’année max];1[;max DiiD ∈∀−

Intervalles de probabilités que le

contrat ait été souscrit pendant l’année

max];1[;max DiiD ∈∀− 1

[ ]1)_1()_1(*_1 max

1max

−++

=−

D

Dk

croisstauxcroisstauxcroisstauxP 0

2 [ ]

1)_1()_1(*_2 max

2max

−++

=−

D

Dk

croisstauxcroisstauxcroisstauxP [ ]10 kP+

3 [ ]

1)_1()_1(*_3 max

3max

−++

=−

D

Dk

croisstauxcroisstauxcroisstauxP [ ] [ ]21 kk PP +

46



…. ….. …..

Dmax-1 [ ]

1)_1()_1(*_

max

1max

−++

=−

D

Dk

croisstauxcroisstauxcroisstauxiP [ ] [ ] [ 2max...21 −+++ DPPP kkk ]

Dmax [ ]

1)_1()_1(*_

max

1max

−++

=−

D

Dk

croisstauxcroisstauxcroisstauxiP [ ] [ ] [ 1max...21 −+++ DPPP kkk ]

[ ] [ ] [ ] 1max...21 =+++ DPPP kkk

Table 2-2 Probabilités qu’un contrat ait été souscrit pendant l'année max];1[;max DiiD ∈∀−

• Nous effectuons ensuite un tirage d’une variable uniforme sur l’intervalle [0 ; 1]. Cet intervalle

représente l’ensemble des années Dmax – i , i∈ [1 ; Dmax]. Et de ce fait, ce tirage permet d’obtenir

une date de début du contrat. En effet, pour obtenir la date de souscription, il suffit de chercher

dans quel intervalle de probabilités la valeur de la variable uniforme a été tirée.

Technique de simulation des réalisations indépendantes et identiquement distribuées d’une

variable aléatoire

Soit V=(V1…Vn) vecteur de n valeurs uniformément réparties dans [0…1].

Soit X la variable aléatoire qui suit une loi uniforme et FY sa fonction de répartition.

Pour chaque assuré k, nous cherchons Xk tel que Vk = FX (Xk )

Nous pouvons en déduire que Xk = FX-1 (Vk )

Nous obtenons alors n réalisations indépendantes et identiquement distribuées de la variable aléatoire X.

En effet, soit un espace probabilisable (Ω, Τ, Ρ). Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme telle

que X→Unif (0 ; 1). Soit Uk la variable aléatoire représentant la date de début de contrat de l’assuré k. La loi

suivie par U : [0 ; 1] → [1 ; Dmax] nous donne donc la répartition des dates de souscription des contrats

47



existants dans le portefeuille. La loi suivie par cette variable aléatoire dépend de la durée moyenne du

contrat souscrit par l’assuré k, ainsi que de la probabilité que le contrat ait été souscrit pendant l’année

Dmax – i , i∈ [1 ; Dmax]et implicitement du taux de croissance de la production du portefeuille.

En résumé, pour déterminer les dates de souscription de chaque contrat nous suivons les étapes suivantes :

• Tirage d’une loi uniforme sur [0 ;1] en utilisant la technique expliquée avant : )1,0(UnifX a

• Recherche de l’intervalle de probabilités qui contient la valeur la plus proche de la valeur tirée de X

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

∑

∑

∑

−

=

=

=

][.....

][

][

]1[0

];1;0[]1;0[:

1max

1

3

1

2

1

jP

jP

jP

P

VV

D

j

k

j

k

j

k

k

k a si

)1];[[....

])4[]3[]2[]1[];3[]2[]1[[

])3[]2[]1[];2[]1[[

])2[]1[];1[[])1[;0[

1max

1jPX

PPPPPPPX

PPPPPX

PPPXPX

D

j

k

kkkkkkk

kkkkk

kkk

k

∑−

=

∈

+++++∈

+++∈

+∈∈

• Renvoi de la date de souscription correspondante à l’intervalle trouvé : U : [0 ; 1] → [1 ; Dmax]

si

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

max.....4321

max];;1[]1;0[:

D

UDU k a

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

∑

∑

∑

−

=

=

=

][.....

][

][

]1[0

1max

1

3

1

2

1

jP

jP

jP

P

V

D

j

k

j

k

j

k

k

k

La variable aléatoire U ainsi construite représente alors la date de souscription d’un contrat, dans les trois

cas : régime de croisière, croissance et décroissance.

Les tableaux suivants schématisent le résultat de la simulation du portefeuille dans le deux cas généraux

(simulation de toutes les variables) : prévoyance individuelle et assurance des emprunteurs.

48



Assuré k

Age de l’assuré k Durée du contrat de l’assuré k

Début du contrat de l’assuré k

1 Bêta.Inverse (p1, q1, âge min, âge max)

Bêta.Inverse (p2, q2, durée min, durée max)

U1 (taux_croiss)

… k Uk (taux_croiss)

k+1 Uk+1 (taux_croiss) ….. ……

…

Nombre assurés

Bêta.Inverse (p1, q1, âge min, âge max)

Bêta.Inverse (p2, q2, durée min, durée max)

Unb_ass (taux_croiss)

Table 2-3. Simulation du portefeuille d’assurés – prévoyance individuelle

Assuré k Age de l’assuré k

Durée du contrat de l’assuré k

Début du contrat de l’assuré k

Durée restante en

t0

Montant du capital

financé

Taux d’intérêt

1 Bêta.Inverse (p1, q1,

âge min, âge max)

Bêta.Inverse (p2, q2,

durée min, durée max)

U1 (taux_croiss)

Durée du contrat 1 +

début contrat 1

Capital 1

Taux 1

… k Uk

(taux_croiss)

k+1 Uk+1 (taux_croiss)

… ….. …… ….. ….. …..

Nombre assurés


âge min, âge max)


durée min, durée max)

Unb_ass (taux_croiss)

Durée du dernier

contrat + début dernier

contrat 1

Capital nb_ass

Taux

nb_ass

Table 2-4. Simulation du portefeuille d’assurés – assurance des emprunteurs

2.3. Simulation des montants de crédit

Dans le cadre des contrats de type assurance des emprunteurs, se distingue deux types de crédits : le crédit

immobilier et le crédit à la consommation.

49



Crédit immobilier

Ce sont généralement des crédits destinés au financement d’un bien immobilier (acquisition de terrains,

logements…), caractérisés par une longue durée de crédit avec un capital financé élevé, compris

généralement entre 100000 et 400000 euros et un taux d’intérêt de remboursement faible.

Crédit à la consommation

Les crédits à la consommation sont des prêts consentis à un particulier, pour le paiement de biens de

consommations (achat de mobilier, électroménagers…) ou de services. Ce sont généralement des crédits de

courte ou moyenne durée où le capital financé est relativement faible et un taux d’intérêt de remboursement

plus élevé.

Pour la simulation des montants de crédit et des taux d’intérêt de remboursement de l’emprunt dans les

deux cas (crédit à la consommation et crédit immobilier) nous utilisons la fonction alea (), qui renvoie un

nombre aléatoire supérieur ou égal à 0 et inférieur à 1. Pour générer des valeurs aléatoires comprises entre

une valeur minimale et une valeur maximale, nous utilisons la formule suivante :

min_min)_max_(*()_ capitalcapitalcapitalaleafinancécapital +−=

min_min)_max_(*()int'_ tauxtauxtauxaleaérêtdtaux +−=

50



C h a p i t r e 3

3. DEROULEMENT DU COMPTE DES RESULTATS

3.1. Rappels succincts sur le modèle de survie

L’observation de la survenue du décès d’un individu constitue la base d’une modélisation de survie. Nous

présentons ci-dessous les principaux outils utilisés en analyse de la survie.

• Durée de vie

La durée de vie peut être associée à un processus stochastique indexé par l’âge de l’assuré.

Considérons un individu, et notons T0 sa durée de vie future, il s’agit d’une variable aléatoire positive et

continue de fonction de répartition :

F0 (t) = P (T0 ≤ t) pour tout t réel

F0 (t) = 0 lorsque t ≤ 0

F0 (t) = 0 lorsque t≥ω où ω est l’âge limite de la vie humaine

Nous désignons par Tx la durée de vie résiduelle d’une tête d’âge x.

La fonction de répartition de Tx est définie par :

0 0 0( ) ( / ) ( / )x xF t P T x t T x P T t T x= − ≤ = ≤f f

• Probabilité de survie

La probabilité de survie est notée tpx (notation actuarielle) et se définit comme suit :

( / 0) 1 (t x x x x )p P T t T F t= > > = −

La durée de vie humaine étant bornée par ω, donc tpx = 0 pour t ≥ ω - x

Pour t=0, 0px = P (Tx > 0) = 1 puisque l’assuré est vivant à l’époque d’observation.

51



• Probabilité de décès

La probabilité de décès entre t et t’ d’une tête d’âge est définie par :

\ ' ( '/t t x x xq P t T t t T 0)= ≤ + >p

Il s’agit de la probabilité de décès de l’individu sur un intervalle de temps donné, sachant qu’il est vivant à

l’âge x. La probabilité de décès s’exprime en fonction de la probabilité de survie :

\ ' 't t x t x t xq p p= −

Notons que qx = lqx est appelé taux annuel de mortalité pour un individu d’âge x. Il s’agit du taux que

nous allons par la suite utilisé dans nos calculs de ratios.

• Loi de probabilité du nombre de vivants à l’époque t

Le nombre de survivants à l’époque t d’un groupe initialement constitué de Lx individus est définit par :

1 2( ) ( ) ... ( )Xx t LL X t X t X t+ = + + +

Où la variable Xk (t) est l’indicateur de survie de l’individu k à l’instant t, qui prend la valeur 1 si l’individu

est vivant et 0 sinon. Les variables Xk (t) sont supposées indépendantes les unes des autres.

Le nombre probable de vivants à l’âge x+t est :

( )x t x t x tl E L L+ + xp= = ⋅ .

De plus , lorsque t tend vers zéro : ( )x x xl E L L= =

D’où la relation : x

txxt l

lp +=

52



3.2. Modélisation des sinistres

Puisque nous nous plaçons dans le cadre de la garantie décès, le sinistre correspond au moment du décès de

l’assuré. Pour un assuré k donné, nous considérons que la probabilité de mourir à l’instant t correspond à

l’intersection des deux évènements (indépendants) suivants :

• celui d’être encore vivant en t-1 : ktx

kxt qp 11 1 −+− −=

• celui de mourir en t : txkq +

En notant , la probabilité de décès à l’âge x pour l’assuré k donné par la table de mortalité TD 88-90,

mnt_assuré le montant assuré, alors le montant du sinistre de l’assuré k à l’instant t est donné par la formule

suivante :

kxq

)1).((_).(_)( 11k

txtxkk

xttxkk qtassurémntqptassurémntqtS −++−+ −⋅=⋅=

où τ+∈+ kk âgeâgetx ,...., , c'est-à-dire l’âge de l’assuré k sur toute la période de projection, et τ

désigne l’horizon de projection. Il faut préciser ici que nous ne calculons les montants de la sinistralité que

pour les contrats qui sont toujours en cours pendant l’horizon de projection (les durées des contrats

diminuent chaque année). Si le contrat a pris fin la sinistralité est égale à zéro.

La sinistralité finale d’un portefeuille pour l’année de projection t, sera alors la somme des sinistres de tous

les individus tombés en sinistre, c'est-à-dire décédés. La sinistralité S pour l’ensemble du portefeuille à

l’instant t est alors donnée par la formule suivante :

∑ −+ ⋅=k

kxttx

k ptassurémntqtfinaletéSinistrali 1).(_)(_

Dans le cas d’un contrat assurance des emprunteurs (AdE), le montant assuré mnt_assuré (t) est le capital

restant dû (CRD), correspondant au capital financé majoré des intérêts et dont sont déduites les annuités

déjà acquittées par l’assuré. Donc au moment du sinistre (le décès dans notre cas) l’assureur se substitue à

l’assuré pour solder le crédit.

Dans le cas d’un contrat de prévoyance individuelle le montant assuré _assuré (t) est le capital garanti à la

souscription du contrat.

53



3.3 Modélisation des primes

3.3.1 Principe de la tarification en assurance

En souscrivant à un contrat d’assurance, l’assuré cherche à se prémunir contre un risque ; l’assureur quant à

lui, n’accepte d’assumer ce risque qu’en contre partie du versement de primes. Il est donc nécessaire pour

l’assureur de mettre en place un tarif prudentiel avec le plus de justesse possible.

Pour cela, l’assureur doit bien entendu modéliser le risque assuré, paramétrer ce risque (probabilités de

survenance) puis il convient d’ajouter des chargements. Le processus de tarification se déroule alors en

quatre étapes:

• Le calcul de la prime pure (PP), correspondant exactement à la couverture du risque considéré,

c'est-à-dire au coût probable du risque

• Le calcul de la prime de risque (PR), correspondant à la valeur actuelle probable des engagements

de l’assureur et intégrant une marge technique (il s’agit d’une marge de sécurité prise

systématiquement lors de la tarification dans le cadre d’une mesure prudentielle) :

PR = PP + Marge

• Le calcul de la prime hors taxes (PHT), obtenu par addition des chargements : rémunération de

l’assureur, frais de gestion, commission versée à la contractante :

PHT = PR + Rémunération Assureur (RA) + Frais de gestion (FG) + Commission

• La prime tous taux compris (TTC) s’obtient par ajout des taxes, il faut cependant souligner qu’il n’y

a pas de taxes quand le risque est le décès.

La prime pure est donc la « clé » de l’équilibre du contrat. Son évaluation repose essentiellement sur l’étude

des données liées au risque couvert.

54



Le calcul de la prime pure

Elle représente le coût du risque calculé à partir des bases techniques (tables de mortalité…) et du taux

d’intérêt technique retenu. Elle sert à financer le risque de survenance d’un sinistre et est utilisée pour payer

les sinistres intervenus au cours de la période couverte.

Pour chaque individu k, elle sera calculée conditionnellement à la durée d’exposition au risque (ou durée de

contrat) et à la probabilité de réalisation des différents risques, autrement dit :

=kPrimePure ∑=

tratduréedecon

ttt Sinistreq

1

Plus précisément, dans le cas du décès en prévoyance individuelle on a :

=kPrimePure ∑=

tratduréedecon

ttSinistrexq

1

)(

où q(x) est la probabilité de l’individu k de mourir à l’age x, et Sinistre t un montant fixe déterminé lors de la

souscription du contrat. Nous calculons ces primes selon plusieurs tarifications afin d’étudier l’impact sur

l’évolution du ratio de sinistralité.

3.3.2 Méthodes de calcul de primes pour un individu

Nous présentons ici deux méthodes de tarification des contrats en assurance des emprunteurs, qui ont

été étudiées dans le cadre de notre modèle. L'analyse de la tarification se divise en quatre étapes :

• plan d'amortissement du crédit assuré

• probabilité de réalisation du risque

• coût probable de la prestation

• calcul de la prime pure

55



Plan d’amortissement du crédit assuré

Dans le cas d’un contrat assurance des emprunteurs, le montant assuré est le CRD, correspondant au

capital financé majoré des intérêts et dont sont déduites les annuités déjà acquittées par l’assuré.

En notant annuité t l’annuité à la date t, alors le Capital Financé (CF), qui correspond au montant du crédit

emprunté, est calculé par la relation suivante :

( )∑= +

=T

tt

k

iannuité

CF1 1

Où : annuité : est l’annuité acquittée par l’assuré.

T : est la durée totale du contrat

i : est le taux annuel d’actualisation

L’annuité constante s'exprime donc par :

TT

T

T

t

t iiCF

iiiCF

i

CFannuité −

=

− +−⋅=

−++⋅

⋅=+

=

∑ )1(11)1()1(

)1(1

Le capital restant dû à la date t+1 s’écrit :

annuitéitCRDi

annuitétCRD

T

tktkk −+=

+=+ ∑

+=− )1(*)(

)1()1(

1

Probabilité de réalisation du risque décès

La probabilité de décès d'un assuré entre deux années t et t+1, sachant que l'assuré était vivant au début du

contrat est le produit de deux facteurs :

• la probabilité de survie de l'assuré de l'âge x (début du contrat) jusqu'à l'année x+t :

txxt qp +−= 1

• la probabilité de décéder entre les années x+t et x+t+1 : 1++txq

56



D’où la probabilité de réalisation du risque décès est : 1++⋅= txxtt qpP Coût probable de la prestation

Dans le cas d’un contrat AdE, en cas de décès de l’assuré, l’assureur rembourse le montant restant à payer à

sa place. D’où le coût probable de la prestation : )(tCRDCt = .

Calcul de la prime pure

A partir de la probabilité de réalisation du risque Pt, et du coût probable de la prestation, Ct calculés

précédemment, une prime pure unique est calculée par actualisation au taux technique i. Elle constitue le

coût total de la couverture du risque décès pour la durée de la garantie.

xt

T

ttx

tT

tt

t

t pqi

tCRDPi

C ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

=Π ∑∑=

++

−

= 11

1

00 .

11).(.

11.

Cette prime pure unique peut être exprimée en taux π, pourcentage d'une assiette A qui sera soit le capital

financé, soit le CRD décroissant.

CRD=Aou CF=A avec /0 AΠ=π

Cette prime unique pourra être exprimée en primes périodiques, qui seront comme précédemment

rapportées à une assiette A. Notons /0 tt AΠ=π le montant de la t-ième prime périodique. La

somme actualisée probable des primes pures périodiques doit être égale à la prime pure unique Π0.

La prime périodique constante et le taux de prime en fonction de l'assiette souhaitée sont :

∑=

+≠Π −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

Π=Π

T

ttx

tt

qit

10

0

)1(1

11

57



∑=

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

Π=

T

ttx

t

t qi

A1

0

)1(1

1π

En fonction de l’assiette utilisée pour le calcul des primes, nous distinguons deux types de tarifications : une

en fonction du capital financé et une autre en fonction du CRD.

a) Tarification en fonction du capital financé

Dans le cadre de ce type de tarification, nous avons une assiette fixe constituée par le capital financé. Les

primes annuelles restent donc constantes pendant toute la période du contrat.

∑=

+

+××

= T

1t x

tx

)1(1

ll CF

unique Prime CF %en annuelle Prime

ti

où

xt

T

ttx

t

pqi

tCRD ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

= ∑=

++1

1.1

1).(unique Prime

où : x représente l’âge de l’assuré,

x

tx

ll + le facteur viager (i.e.la probabilité de survie à la date t),

T la durée maximale des contrats

i le taux d’actualisation.

La marge générée par un contrat d’Assurance des Emprunteurs ne se construit pas uniformément au fil du

crédit. La tarification influence la création de cette marge. Dans le cadre de primes constantes, nous

observons deux effets : le premier est le capital restant dû, qui décroît, et le second est le risque décès des

assurés, qui augmente. Les primes constantes ne suffisent pas à couvrir la sinistralité au début de la période

du remboursement du crédit, mais cet effet est compensé par leur valeur élevée en fin de période par

rapport au coût probable de la prestation. La prestation chute plus vite que ne monte le risque de

survenance de sinistre ; la marge est donc constituée en fin de crédit, comme dans le graphe suivant :

58



€

2 000 €

4 000 €

6 000 €

8 000 €

10 000 €

12 000 €

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54

Mois

CR

D

-

0

0

1

1

1

1

1

2

Mon

tant

des

pre

stat

ions

et d

es P

M

CRD Prestation probable Prime périodiqueRetour Pilotage

Figure 3-1 Tarification en fonction du capital financé

b) Tarification en fonction du capital restant dû

Dans le cadre de ce type de tarification, nous avons une assiette variable constituée par le CRD. Les primes

annuelles décroissent en fonction du coût probable de la prestation pendant toute la période du contrat.

L’âge de l’assuré change aussi au cours du crédit. Son risque de survenance de sinistre décès augmente par

la même occasion.

∑=

+

+××

= T

1t x

tx

)1(1

ll )CRD(t

unique Prime CRD %en annuelle Prime

ti

Pour une assiette variable, les primes et les prestations chutent conjointement tandis que le risque de

survenance de sinistre augmente ; la marge est donc constituée en début de crédit, comme dans le

graphe suivant :

59



€

2 000 €

4 000 €

6 000 €

8 000 €

10 000 €

12 000 €

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54

Mois

CR

D

-

0

0

1

1

1

1

1

2

2

Mon

tant

des

pre

stat

ions

et d

es P

M

CRD Prestation probable Prime périodiqueRetour Pilotage

Figure 3-2 Tarification en fonction du CRD

3.3.3 Méthodes de calcul de primes pour un portefeuille

Une difficulté majeure rencontrée au cours de cette étude a été l’absence d’informations individuelles fiables

et disponibles pour chaque pays. D’où l’obligation de simuler des portefeuilles à l’aide des données

agrégées, comme l’âge moyen et la durée moyenne d’un portefeuille réel. Nous cherchons maintenant à

évaluer l’évolution du montant de primes sur l’ensemble de ce portefeuille simulé, afin de voir l’impact sur

l’évolution du ratio de sinistralité. Cette démarche nous permet d’agréger les coûts "individuels", pondérés

de façon à prendre en compte la structure de l'encours (répartition des durées des contrats et des âges des

assurés).

a) Tarification en fonction du capital financé

Une particularité dans la modélisation des primes de l’ensemble d’assurés dans notre portefeuille simulé est

que nous calibrons la prime de la première année de projection afin d’avoir un ratio de sinistralité qui

correspond à sa valeur correspondante d’un portefeuille réel. En effet, en considérant les primes constantes

pendant la durée du crédit pour chaque assuré, et en connaissant le ratio de sinistralité du portefeuille de la

première année de projection (l’utilisateur de l’outil du calcul EEV est supposé le renseigner) ainsi que la

structure du portefeuille, nous pouvons calibrer la prime de chaque assuré. Dans la suite de la projection les

primes resteront constantes, due à la tarification en fonction du capital financé. Ainsi nous pouvons étudier

60



l’impact sur la sinistralité du portefeuille de plusieurs facteurs : la décroissance des durées des contrats, de

leur nombre, du capital restant dû et de la croissance du risque décès, suite au vieillissement des assurés. Le

démarche est expliqué dans la suite :

Le ratio de sinistralité utilisé est le S/P actuariel : )()()(

tPRtCSt

PS

=, où CS : Charge de Sinistres et PR :

Prime de Risque.

Les primes pour la première année d’évaluation se calculent à partir du ratio S/P espéré de l’année 1,

estimation fournie par les charges de portefeuille des pays, et de la sinistralité correspondante à chaque

assuré du portefeuille pour l’année 1, calculée auparavant.

Figure 3-3 Méthode de calcul des primes pour la première année de projection

Pour la suite, nous nous intéressons que aux primes restantes à payer, pour la période pendant laquelle le

contrat est toujours en cours, c'est-à-dire tant qu’il y a encore des annuités à payer par l’assuré, et seulement

si l’assuré est toujours en vie. Nous avons donc la prime pour chaque assuré, qui est égale à la prime de

l’année d’avant : Pk (t-1), à la condition que l’assuré k soit toujours en vie à la fin de l’année d’avant :

: D’où nous avons la prime à payer pour l’année de projection t, pour l’assuré k : k

txkxt qp 11 1 −+− −=

)1(*)1()*1()( 11k

txkk

xtkk qtPptPtP −+− −−=−=

S/P (1) estimation fournie par le chargé de pays

S(1) = sinistralité en 1 (calculée)

)1(

)1()1(

PSSP =

1 2

Prime (1)

S/P (1) espéré

S/P (2)

Prime (2)

S/P (30)

30

Prime (30)

61



où τ+∈+ kk âgeâgetx ,...., et τ désignant l’horizon de projection. Si le contrat a pris fin, c'est-à-dire si

l’assuré a fini de rembourser son emprunt, ou si l’assuré est décédé, la prime est égale à zéro.

Le montant des primes d’un portefeuille en prévoyance individuelle où en assurance des emprunteurs pour

l’année de projection t, sera alors la somme des primes payées par tous les assurés vivants au moment du

calcul, qui ont encore des annuités à payer pour le remboursement du crédit :

)1(*)1()()(_Pr 11∑ ∑ −+−−−==k

ktxt

k

kk qtPtPttotaleime

b) Tarification en fonction de l’âge moyen arithmétique et de l’âge actuariel

Nous présentons ici deux méthodes de tarification des contrats en prévoyance individuelle, qui ont été

étudiées dans le cadre de notre modèle.

Soit Ptot la prime totale pour le portefeuille, pour une tarification en fonction de l’âge moyen

arithmétique :

1

0( ) 0 (1 )i k

tot x x ji j

P i q C q− −

∑ ∏ +=

= ⋅ ⋅ −

où

• désigne la probabilité de décès correspondant à l’âge moyen du portefeuille simulé sur la durée

de projection

xq−

k

x

nba

kx q

nbaq

21

1τ

+=

−

∑= , avec nba correspondant au nombre d’assurés dans le

portefeuille.

• C0 le capital initial garanti.

• Probabilité d’être encore vivant en i-1 : )1(

1

0jx

ki

j

q +

−

=

−∏

Avec cette probabilité de décès, nous considérons ici un âge moyen au sens arithmétique calculé sur la

durée de projection et sur l’ensemble des assurés. Une première approche peut nous faire choisir cette

62



tarification mais il ne faudrait pas négliger les écarts de risque entre les assurés. En effet, la probabilité de

décès évolue de manière croissante et convexe au cours du temps : plus la population est âgée, plus le risque

décès est important. Aussi, nous pouvons comprendre qu’une simple moyenne arithmétique des âges ne

puisse tenir compte du risque propre à chaque assuré. Avec cette tarification, les assurés sont mutualisés

mais sans tenir compte du poids propre à chacun dans une mesure du risque du portefeuille.

Soit Ptot la prime totale pour le portefeuille, pour une tarification en fonction de l’âge actuariel :

)1(.0.)(1

0jx

ki

jixtot qCqiP +

−

=

∧

−= ∏∑

où désigne une probabilité de décès moyenne pour chaque assuré et sur l’horizon de projection

considéré. Cette probabilité de décès correspond à « l’âge actuariel ».

xq∧

∑ ∑= =

+

∧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=nba

k i

kixx q

nbaq

1 0111 τ

τ L’âge actuariel se définit comme étant l’âge moyen du groupe au regard des risques assurés. Cet âge

actuariel n’est pas égal à la moyenne arithmétique des âges projetés comme c’est le cas pour la première

tarification. En effet, si l’on considère deux personnes ayant respectivement 30 et 60 ans : la moyenne

arithmétique des âges s’établit évidemment à 45 ans, mais, en termes de risques courus, la personne de

60 ans ( ) "pèse" plus de neuf fois plus lourd que celle de 30 ans ( ), en sorte

que la moyenne tenant compte des risques courus par l’assureur s’établira au-dessus de 45 ans, ici à 52 ans.

015.0~60q 0016.0~30q

Ainsi, avec cette tarification l’âge moyen est calculé non plus à partir d’une pondération en occurrence mais

à partir d’une pondération en probabilité de subir un sinistre. L’avantage de cette tarification est qu’elle

permet de tenir compte du risque propre à chaque assuré et par conséquent propre à l’ensemble du

portefeuille.

3.4 Modélisation des provisions

Les primes émises (ou à émettre) calculées précédemment, couvrent une période de garantie qui ne

coïncide pas avec l’exercice comptable. La portion de primes relatives à l’exercice suivant est reportée

prorata temporis, par la constitution d’une provision pour primes non acquises (PPNA). Cette provision est

l’estimation des sinistres couverts par les contrats en cours et survenant après la date d’inventaire.

63



Il existe 3 méthodes de calcul des PPNA :

• la méthode 12

• la méthode 78

• la méthode 45(ou mean)

Le choix de la méthode utilisée dépendra de la tendance du risque pour un type de contrat donnée.

La méthode 12-rule

Le principe la méthode linéaire ou 12-rule, est de considérer un risque constant durant la durée du contrat,

et par conséquent une prime de risque constante.

Considérons une prime pure P, la durée totale du contrat (par mois) et une date de calcul t (par mois).

La méthode linéaire est définie comme suit : eDureeTotalteDureeTotaltPPNALinéaire −

=)(

Nous avons alors pour chaque individu une prime de risque mensuelle égale à eDureeTotalP

et

eDureeTotalteDureeTotalPtPPNA −

×=)(

12-rule

01020

3040506070

8090

100

0 6 12 18 24 30 36

Unearned Premium Reserve Monthly Risk Premium

Figure 3-4 Evolution PPNA – méthode linéaire (12-rule)

64



La méthode 78-rule

La méthode 78 suppose que le risque est très concentré sur les premières périodes et décroît de manière

constante (celle-ci est particulièrement adaptée pour l’assurance des emprunteurs, lorsque la prestation est le

capital non amorti du prêt). Dans cette méthode nous considèrons un risque décroissant pendant la durée

du contrat et par conséquent une prime de risque décroissante continuellement.

En reprenant les mêmes notations que précédemment, nous obtienons une prime de risque mensuelle pour

le mois t de

( )( )1

12+

+−×

eDureeTotaleDureeTotalteDureeTotalP

et

)1()1()()(78

+×+−×−

=eDureeTotaleDureeTotal

teDureeTotalteDureeTotaltPPNA

78-rule

01020304050

60708090

100

0 6 12 18 24 30 36


Figure 3-5 Evolution PPNA – méthode 78-rule

La méthode 45-rule

La méthode mean généralisée ou 45-rule, sera présentée mais celle-ci n’a pas été intégrée au modèle.

Pour certains risques, certaines caractéristiques de produits et certaines conditions d’assurance des

populations, l’utilisation de la méthode linéaire peut paraître très prudente et la méthode exponentielle peu

prudente. Dans ces cas, nous pouvons utiliser une méthode alternative qui est la méthode mean généralisée

qui représente la moyenne des deux méthodes précédentes. Cette méthode se caractérise par un risque

décroissant mais avec une diminution initiale moins importante. En considérant les mêmes notations que

65



précédemment, la prime de risque mensuelle pour le mois t est de

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+

−×12

3eDureeTotaleDureeTotal

teDureeTotal

P et

( )

( )1

12)(

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

×=eDureeTotaleDureeTotal

teDureeTotalteDureeTotalPtPPNA

45-rule

01020304050

60708090

100

0 6 12 18 24 30 36


Figure 3-6 Evolution PPNA – méthode 78-rule

-

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Durée en année

PPNA (t)

linéaire 78 Mean

Figure 3-7 Comparaison des 3 méthodes de calcul da la PPNA

Remarque : Le risque de décès étant un risque d’assurance Vie, il ne convient pas d’utiliser le terme PPNA,

propre à l’assurance Non-Vie. Cependant, par abus de langage et dans un souci d’homogénéité avec les

données internes à la société nous conserverons le terme de PPNA pour le risque de décès.

66



C h a p i t r e 4

4. PROJECTION DES RATIOS DE SINISTRALITE

Nous appelons vieillissement du portefeuille, la projection du stock des contrats en run – off sur un

horizon donné. Le vieillissement consiste en l’arrêt de toute souscription d’affaire nouvelle sur le

portefeuille de risques, qui entraîne le déroulement, dans le temps, du stock des provisions techniques

jusqu’à leur épuisement complet. Dans notre étude cette opération de run-off prendra trente ans (car les

contrats constituants ce portefeuille sont d’une durée maximales de trente ans).

Considérons un portefeuille couvrant le risque décès en prévoyance individuelle ou assurance des

emprunteurs. Soit 0, la date de début de la projection du portefeuille, ce dernier sera modélisé grâce aux

différentes méthodes énoncées précédemment en fonction du type de contrat qu’il contient. La projection

du portefeuille traduira alors le vieillissement de la population, et l’encours des contrats présents.

Afin de pouvoir projeter le stock des contrats en run-off sur un horizon donné, nous devons reconstruire le

stock de contrats de l’année 0 à partir de la production passée.

Les inputs nécessaires sont les suivants :

• S0 : Stock de contrats en portefeuille en t=0 (en nombre) ;

• taux_croiss : taux de croissance du portefeuille (Stock de contrats en t / Stock de contrats en t-1) ;

• αi : Répartition du New Business(NB) en fonction de la durée à la souscription i (en pourcentage),

où i ∈ [-Dmax…0]

Nous supposons que la répartition du New Business est constante : ∀ t∈ [1…h]], αi (t) = αi.

Nous noterons St le stock de contrats en portefeuille en t (en nombre). L’objectif est donc d’obtenir :

• N : Nombre de nouveaux contrats en 0 ;

• βi (t) : Répartition des contrats de durée restante i à l’année t. 1)0(

max_

1

=∑=

durée

iiβ

67



4.1. Stock de contrats à l’année 0

Nous considérons un portefeuille dans sa globalité (In Force et New Business). Nous avons :

)(Pr)()1()( tNouvelleoductiontSortiestcontratsdeStocktcontratsdeStock +−−=

Les sorties représentent les contrats de durée restante nulle.

4.1.1. Portefeuille en régime de croisière

Pour un portefeuille en régime de croisière, nous avons :

Durée restante

Stock IF+NB ent=0 (Nombre de contrats)

Stock IF en t=1 NB en t=1 Stock IF + NB en

t=1

D_max βD_max (0) S0 β D_max (1) S0 = 0 α D_max N α D_max N

D_max -1 β D_max -1(0) S0 β D_max -1(1) S0 = β D_max (0) S0 αdurée_max-1 N βD_max(0) S0 +

D_max -2 β D_max -2(0) S0 β D_max -2(1) S0 = β D_max -1(0) S0 αdurée_max-2 N β D_max -1(0) S0 +

… … … … …

1 β 1(0) S0 β1 (1) S0 = β2 (0) S0 α1 N β 2(0) S0+α1 N

0 β 0(0) S0 β0 (1) S0 = β1 (0) S0 α0 N β 1(0) S0+α0 N

Total S0 S0(1 - β1(0)) N S1

Où IF = In Force Business et NB = New Business. D’après la formule précédente en t=1 :

)1(Pr)1()0()1( NouvelleoductionSortiescontratsdeStockcontratsdeStock +−=

NSSS +⋅−= )0(001 β

De plus, le portefeuille est en régime de croisière, le stock de contrats (IF + NB) reste donc constant au

cours du temps. Ainsi : 01 SS =

Nous déduisons que :0

)0(SN

=β , où N = le nombre de nouveaux contrats en 0 et S0 = le stock de contrats

en portefeuille en t=0 (en nombre).

68



L’équation

)1(Pr)1()0()1( NouvelleoductionSortiescontratsdeStockcontratsdeStock +−=

est vraie pour tout c’est-à-dire :[ ,max_..0 Di∈ ]

NSS ⋅+⋅=⋅ 00100 )0()0( αββ 0

001 )0()0(SN

⋅−= αββ

NSS ⋅+⋅=⋅ 10201 )0()0( αββ 0112 )0()0(

SN

⋅−= αββ

… ….

NSS iii ⋅+⋅=⋅ −− 1001 )0()0( αββ 0

11 )0()0(SN

iii ⋅−= −− αββ

En utilisant 0

)0(SN

=β , nous en déduisons que : ∑∑=

−

=

⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⋅=≥∀

max_

0

1

00

1)0(,1D

ikk

i

kki S

NSNi ααβ

Or 1)0(max_

1=∑

=

D

iiβ 1

0

max_

0

=⇔ ∑ ∑= =

h

i

D

ikkS

N α 1)1(max_

00

=×+⇔ ∑=

D

iii

SN α

⇔1_

0

+=

moyenneduréeSN

D’où : [ ] ∑=

×+

=∈∀max_

1_1)0(,max_..0

D

ikki moyennedurée

Di αβ

4.1.2. Portefeuille en régime de croissance ou décroissance

On a : 01 *)_1( ScroisstauxS +=

)1(*)_1()1( =++==+ tNBIFStockcroisstauxtNBIFStock ii [ ],max_...0 Di∈∀

En procédant de la même manière que précédemment, nous obtenons :

69



[ ]1max_

0 _11)0(,max_...0

+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

××=∈∀ ∑ikD

ikki croisstauxS

NDi αβ

De plus, 1)0(max_

1=∑

=

D

iiβ

1_1

11_1

1max_

00

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−×⇔+

=∑

iD

ii croisstauxcroisstauxS

N α

⇔1

max_

0

0

)_1(1

_−−

=

+×−

×=

∑ kdurée

kk croisstaux

croisstauxSNα

Ainsi, [ ],max_...0 Di∈∀1max_

1max_

0

_11

)_1(1

_)0(+−

=−−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

××+×−

= ∑∑

ikD

ikk

kD

kk

i croisstauxcroisstaux

croisstaux αα

β

4.2. Projection du stock de contrats en run-off

Ayant déterminé le stock total de contrats en t = 0, nous ne nous intéressons maintenant qu’à la partie In

Force du portefeuille.

Durée

restante

Stock IF+NB

en t=0

Stock IF

Stock IF en t=2 Stock IF

en t=30D_max βD_max (0) S0 0 0 0

D_max -1 β D_max -1(0) S0 βD_max (0) S0 0 0

D_max -2 β D_max -2(0) S0 β D_max -1(0) S0 βD_max (0) S0 0

… … … … …

1 β 1(0) S0 β 2(0) S0 β 1(0) S0 0

0 β 0(0) S0 β 1(0) S0 β 2(0) S0 0

Total S0 S1 IF = S0 (1-

β0(0))

S2 IF = S0 (1-β0(0) –

β1(0))

0

70



Nous avons ainsi : ))0(1(

1

00 ∑

−

=−=

i

kk

IF

i SS β, le stock de contrats de l’In Force Business pendant l’année i

de la projection.

Ayant déterminé le stock total de contrats en t = 0, nous ne nous intéressons maintenant qu’à la partie In

Force du portefeuille et nous projetons indépendamment les sinistres par assurés ainsi que les primes en

faisant mourir le portefeuille d’assurés en probabilité d’année en année. Nous utilisons pour chaque année

de projection la probabilité de décès correspondant à l’âge itéré à partir de la date initiale de projection.

Nous obtenons une cadence de sinistres ainsi qu’une cadence de primes sur l’horizon de projection que

nous sommons périodiquement sur l’ensemble des assurés. Une cadence de ratios S/P est obtenue sur

l’horizon de projection pour le portefeuille.

Afin d’étudier l’évolution du S/P d’un portefeuille couvrant un risque donné pour un type de contrat donné

il nous faut connaître l’évolution moyenne de ce type de portefeuille, pour cela nous allons simulé un grand

nombre de portefeuilles contenant le type de contrat étudié.

Soit N le nombre de contrats simulés de type donné ; chaque portefeuille a des caractéristiques importantes

qui sont l’age moyen du portefeuille, la durée moyenne des contrats qui le composent et le taux de

croissance de la production.

Pour l’année 0 (la première année de projection), chaque portefeuille noté Pm avec 1≤m≤N est caractérisé

par les variables suivantes :

1P 1_ PmoyAge 1_ PmoyDurée 1_ PcroissTaux

2P 2_ PmoyAge 2_ PmoyDurée 2_ PcroissTaux

3P 3_ PmoyAge 3_ PmoyDurée 3_ PcroissTaux … … … …

mP PmmoyAge _ PmmoyDurée _ PmcroissTaux _ … … … …

NP PNmoyAge _ PNmoyDurée _ PNcroissTaux _ Table 4-1 Caractéristiques plusieurs portefeuilles

Les variables qui figurent dans ce tableau sont déterministes. En effet, ces valeurs sont observables pour

tous les portefeuilles simulés en 0.

71



La projection de ces portefeuilles nous permettra également de déterminer pour chaque année t, t ∈0, 1,

2, …30 , le montant du sinistre final et des primes acquises pour chacun des portefeuilles.

Année 0 Année 1 Année t Année 30

Portefeuille Sinistre

final :

Prime

Acquise

Sinistre

final :

Prime

Acquise

Sinistre

final :

Prime

Acquise

Sinistre

final :

Prime

Acquise

1P 01SinP 01Pr imP 11Pr imP timP1Pr 301Pr imP11SinP tSinP1 301SinP

2P 02SinP 02Pr imP 12SinP 12Pr imP tSinP2 timP2Pr 302SinP 302Pr imP

3P 03SinP 03Pr imP 13SinP 13Pr imP tSinP3 timP3Pr 303SinP 303Pr imP… ... ... ... …

mP 0SinPm 1SinPm jSinPm jimPmPr 30SinPm 30Pr imPm… … … … …

NP 0SinPN 0Pr imPN 1SinPN 1Pr imPN jSinPN jimPNPr 30SinPN 30Pr imPNTable 4-2 Montant des sinistres et des primes acquises pour chacun des portefeuilles pour chaque année de projection

La simulation d’un portefeuille « Moyen » jusqu'à son extinction correspondra alors, à l’espérance de ces N

portefeuilles simulés. Chaque caractéristique de ce portefeuille sera calculée comme étant l’espérance des

valeurs des N portefeuilles pour cette même caractéristique.

Pour l’année 0:

moyenP )_( PimoyAgeEsp )_( PimoyDuréeEsp )_( PicroissTauxEsp où i ∈1,….,N et Esp est l’espérance de la variable entre parenthèse.

Pour les années de projection ce sera :

Année 0 Année 1 Année 30

moyenP Esp ( )

0SinPi

Esp )1(Pr 0imP

--

--

Esp ( )

30SinPi

Esp )1(Pr 30imP

72



C h a p i t r e 5

5. INTEGRATION DE LA SELECTION MEDICALE

Intuitivement, nous pouvons affirmer que la mortalité humaine est influencée par des facteurs induits par

des causes extérieures aux contrats d’assurance, comme l’âge moyen, le sexe ou encore le pays

d’appartenance des assurés.

Mais il existe également des facteurs de risque liés au phénomène d’assurance. En effet, l’assurance vie étant

souscrite librement, les personnes souscrivant un tel contrat le font pour des raisons diverses et variées

(protection, éducation des enfants,…). Or lorsque la démarche d'assurance ne résulte pas d'une obligation,

toutes les personnes qui souhaitent s'assurer ne constituent pas pour l'assureur des risques de même niveau.

En effet, à côté de ces risques considérés comme normaux, il existe des assurés dont l’état de santé est

susceptible de modifier et d’écourter sensiblement la durée de vie moyenne. Ces assurés vont naturellement

être attirés par les contrats proposant des garanties en cas de décès. Il s’agit des risques aggravés, c’est à dire

de risque présentant une surmortalité. Ce type de comportement correspond au phénomène d’auto

sélection (ou anti-sélection).

Or la prévision de la sinistralité est effectuée sur la base de la mortalité d’assurés normaux, c’est à dire sur

une population type cible en bonne santé et avec des activités « à risques moyens ». Il est donc nécessaire

pour l’assureur de repérer l’anti-sélection et d’éviter ainsi qu’une population non ciblée souscrive le contrat,

sans avoir un tarif adapté et des garanties adaptées.

Pour pallier aux effets négatifs liés à l’anti-sélection, l’assureur peut pratiquer la sélection médicale. Les deux

moyens principalement utilisés sont les suivants : le questionnaire médical et l'examen médical

Le questionnaire médical constitue la base d'information qui permet à l'assureur de mesurer le risque

encouru. Cette formalité engage la responsabilité de l'assuré puisqu’en cas d’erreur ou de fausse déclaration

du risque, l’assureur peut être amener à remettre en cause les garanties souscrites. L’assureur cherche ainsi à

être renseigné le plus précisément possible sur l’état de santé passé et présent de l’assuré afin de pallier à la

non symétrie de l’information.

La sélection médicale constitue donc une réelle appréciation des risques permettant à l’assureur de

conserver la qualité de son portefeuille et de veiller à l’équilibre entre les primes reçues et les prestations

73



versées. Aussi, nous souhaitons étudier l’intégration d’une sélection médicale à nos simulations afin de

rendre notre étude plus réaliste.

Exemple d’un produit de prévoyance individuelle

Le tableau suivant récapitule les caractéristiques du contrat correspondant. La sélection médicale est

fonction de l’âge à la souscription et du capital souscrit :

Age à la souscription

CAPITAL Jusqu'à 55 ans A partir de 56 ans

Garantie inférieure à 50 000€ Déclaration d'état de santé Déclaration d'état de santé

Garantie comprise entre 50 000€ et

80 000€

Déclaration d'état de santé Questionnaire médical

Garantie supérieure à 80 000€ Questionnaire médical Questionnaire médical

Table 5-1 Exemple d’un produit de prévoyance individuelle – caractéristiques

Nous allons étudier les effets de la sélection médicale sur l’évolution du ratio de sinistralité. Afin de simuler

la sélection médicale, nous appliquons un taux d’abattement sur les probabilités de décès utilisées pour la

modélisation des sinistres (celles des primes restent inchangées) et pendant une période de sélection définie

d’avance (λ).

L’application de la sélection médicale à la souscription d’un assuré implique une baisse de la sinistralité. En

effet, la population sélectionnée est une population pour laquelle le risque de sinistralité est plus faible.

Cette baisse du risque de sinistralité est plus prononcé en début de vie du contrat et puis s’estompe au cours

du temps ce qui paraît assez naturel car au fil du temps, l’état de santé de l’assuré peut se dégrader. Cette

atténuation de l’effet de la sélection médicale intervient non seulement à l’échelle d’un assuré, mais

également à l’échelle du portefeuille. En effet, tous les assurés ne souscrivent pas leurs contrats la même

année et il en résulte donc des périodes d’abattement décalées entre eux dans le temps. Ainsi à l’étape de

projection, la durée d’effet de la sélection médicale (ou durée d’abattement) restante pour les contrats en

cours sera comprise entre 0 et λ-1 années.

Etant donné que nous disposons uniquement d’un taux d’abattement unique au cours du temps et pour

une durée unique pour l’ensemble du portefeuille, nous modéliserons l’effet de l’atténuation de la sélection

médicale à l’échelle de l’ensemble des assurés en simulant le stock de contrats en cours.

74



Si nous considérons le coefficient d’abattement x

x

qq

CA λλλ +−−= )(~

1; où désigne la probabilité de

décès d’une tête d’âge x venant de se soumettre à la sélection médicale et

xq

λλ+−xq~ 2 la probabilité de décès

d’une tête d’âge également x mais dont la sélection médicale remonte à λ années. Intuitivement nous nous

attendons bien à ce que λλ+−xx qq ~p 0fλ∀ , ce qui induit donc un ratio de sinistralité plus faible dans le

cas avec sélection médicale (( ) ( )

~

, S Si iP P

∀ p i

).

Ainsi, pour étudier l’impact de l’anti-sélection, il est nécessaire d’introduire la simulation du stock de

contrats à notre modèle afin de prendre en compte l’atténuation de l’effet de la sélection médicale à l’échelle

du portefeuille. En effet, nous venons de voir que les assurés ayant souscrit un contrat d’assurance

récemment, c'est-à-dire venant de se soumettre à la sélection médicale n’auront pas la même dérive de

sinistralité que des assurés ayant fait l’objet de cette sélection λ années auparavant (λ correspondant à la

durée de la sélection médicale).

La simulation des dates de contrats a été intégrée à la simulation du portefeuille d’assurés selon les

méthodes précédemment expliquées. Ce qui va permettre l’application d’une sélection médicale à chacun

des assurés au moment de son entrée en souscription selon un taux d’abattement et une durée d’abattement

entrés en paramètre de l’outil.

En date initiale des calculs (to=0), nous aurons alors un portefeuille dont le nombre d’assurés encore

soumis à la sélection médicale résultera du tirage aléatoire des nouvelles entrées en souscription (i.i.d) selon

un des différents régimes (décroissance, croisière ou croissance) précédemment établis.

Le schéma suivant illustre l’entrée en souscription pour 3 contrats différents, λk désignant la période de

sélection médicale initialisée en date k.

2Notation reprise de l’ouvrage Théorie et pratique de l’assurance vie, P. Petauton

75



3λ2λ

1λ

Figure 5-1 Entrée en souscription pour 3 contrats différents soumis à la sélection médicale

L’applicatif Excel développé permet donc désormais, à partir d’un taux d’abattement et d’une durée

d’abattement donné, de projeter la cadence de ratios de sinistralité d’un portefeuille simulé et de donner un

comparatif avec la cadence d’un portefeuille sans sélection médicale.

L’effet de la sélection médicale est important sur les âges élevés ; il s’agit d’un effet bénéfique pour

l’assureur, puisque le risque de décès est d’autant plus important que l’âge de l’assuré est élevé. Elle conduit

à la diminution de la probabilité de décès, et cette diminution est d’autant plus forte que la sélection

médicale est récente. L’effet de la sélection médicale tend à disparaître avec le temps.

Exemple d’un produit d’assurance des emprunteurs

En assurance des emprunteurs, il n’y a pas systématiquement de sélection médicale à proprement parler,

c'est-à-dire que les assurés ne sont pas soumis à d’éventuels examens médicaux. Cependant, à la

souscription d’un contrat, l’assuré remplit une « déclaration de bonne santé »3 (DBS), qui, si elle se révèle

fausse, entraînera la nullité du contrat. Si l’assuré n’est pas en mesure de signer la DBS, l’assureur lui

propose de répondre à un questionnaire médical plus approfondi et assure le client au même tarif, ou en

appliquant des surprimes. Il peut également appliquer des exclusions aux garanties.

3 Déclaration dans laquelle l’assuré certifie ne pas être atteint d’affection nécessitant une surveillance ou un traitement médical

régulier, ne pas être actuellement en arrêt de travail, ne pas avoir subi plus de 30 jours consécutifs ou non d’arrêt de travail pour maladie ou accident dans les 12 mois précédents.

. . .Tempsto

DateDébut 2

DateDébut 3

-Dmax

DateDébut 1 PROJECTION

76



III. ETUDE DE LA TENDANCE DU RATIO DE SINISTRALITE

Chapitre 1. Objectifs

Chapitre 2. Les observations



Chapitre 3. Ajustement d’une loi paramétrique

3.1. Méthodologie

3.2. Régression polynomiale

3.3. Méthode des moindres carrées

3.2. Régression linéaire

Chapitre 4. Mise en équation de la modélisation du ratio S/P



77



78



C h a p i t r e 1

1. OBJECTIFS

Dans la partie II, nous avons présenté en détail la façon dont se modélise l’évolution du ratio de sinistralité

sur un horizon de projection à partir d’un portefeuille généré en fonction de différents paramètres d’entrée.

Cette modélisation concerne deux types de contrats d’assurance prévoyance, dont le risque couvert est le

décès. Pour récapituler, nous projetons indépendamment les sinistres par assurés ainsi que les primes en

faisant mourir le portefeuille d’assurés en probabilité d’année en année. Nous obtenons une cadence de

sinistres ainsi qu’une cadence de primes sur l’horizon de projection de maximum 30 ans que nous

sommons périodiquement sur l’ensemble des assurés. S’en déduit alors une cadence de ratios S/P sur

l’horizon de projection pour le portefeuille. Pour étudier l’évolution de ces cadences, un outil de calcul a été

développé sur Excel. A partir du choix de :

• un âge moyen du portefeuille,

• une durée moyenne des contrats et

• un taux de croissance (nul, positif où négatif)

il permet de lancer les projections de ratios sur un horizon donné.

Nous avons pris en compte un portefeuille « moyen » pour chaque type de contrat donné couvrant le risque

décès (voir le chapitre II.4. Projection des ratios de sinistralité). La simulation d’un portefeuille en espérance

tel que nous l’avons décrit précédemment nous permet d’obtenir un échantillon de N portefeuilles aux

mêmes caractéristiques. L’outil développé a permis d’étudier la sensibilité des différents paramètres sur

l’évolution du ratio de sinistralité. A l’issue de cette étude, nous avons retenu les trois facteurs (âge moyen ;

durée moyenne et taux de croissance de la production) comme étant les plus significatifs sur l’évolution des

ratios de sinistralité.

Enfin, l’objectif est de trouver une formule mathématique permettant de prévoir les S/P de la période de

projection (en run-off), comprise entre 1 et 30, à partir des données observables. Il faudra trouver une

formule pour chacun des deux cas : prévoyance individuelle et assurance des emprunteurs. Le modèle

envisagé permettra d’évaluer le ratio de sinistralité S/P à l’aide d’une formule générique pour la période de

projection.

79



80



C h a p i t r e 2

2. LES OBSERVATIONS

Cette partie est fondamentale pour se faire une idée de la validité des modèles proposés. Dans un premier

temps, nous présenterons les résultats de notre modélisation de plusieurs portefeuilles de prévoyance

individuelle, qui varient en fonction des paramètres d’entrée exprimés auparavant. Dans un deuxième

temps, nous exposerons les résultats obtenus dans le cas de l’assurance des emprunteurs. Nous porterons

notre attention sur l’évolution du ratio de sinistralité sur l’intervalle de projection, mais aussi sur la

modélisation du portefeuille (primes, sinistres, capital restant dû). Nous ne présenterons pas ici toutes les

classes de portefeuilles que nous pouvons obtenir en faisant variant l’âge moyen du portefeuille, la durée

moyenne de contrats où le régime (de croisière, croissant, décroissant), mais que les cas les plus significatifs.

Pourtant, l’analyse complète de toutes les situations sera effectuée afin de trouver une formule

mathématique permettant de prévoir les S/P de la période de projection

2.1. Prévoyance individuelle – résultats obtenus

L’outil Excel implémenté pour la modélisation d’un portefeuille en prévoyance individuelle (modèle

expliqué dans la section II) nous permet de saisir les paramètres utiles à sa valorisation. Il nous permet

d’étudier la sensibilité des facteurs tels que l’âge moyen, la durée moyenne des contrats ou le taux de

croissance sur les sinistres, sur les primes et donc sur l’évolution du ratio de sinistralité. Nous voulons

maintenant présenter les caractéristiques d’un portefeuille de 1000 assurés, qui sera modélisé suivant les

méthodes décrites auparavant:

Paramètre Valeur

Age minimum de la population 18 ans Age maximum 70 ans Age moyen 40 ans Variance de l’âge 100 Durée maximale d’un contrat 10 ans Durée minimale 2 ans Durée moyenne 5 ans Variance de la durée 3 Capital garanti max 100 000 euros Capital garanti min 10 000euros Taux croissance 0% ; 30% ; -30% S/P espéré (1) 80%

81



Table de mortalité TD 88-90 Table 2-1. Modélisation d’un portefeuille de prévoyance

individuelle – paramètres

2.1.1. Evaluation à partir d’un ratio initial fixé

Les résultats présentés dans cette section sont obtenus à partir d’un portefeuille ayant les caractéristiques

décrites au-dessus, dans le tableau 2-1. Nous allons présenter les sinistres, les primes et les cadences du

ratio de sinistralité sur l’horizon de projection. Nous rappelons la particularité que les primes pour la

première année d’évaluation se calibrent à partir du ratio S/P espéré de l’année 1, estimation fournie par les

charges de portefeuille des pays. Nous supposons le S/P de la première année égal à 80%. Toutes les

méthodes de calcul ont été expliquées en détail dans la partie II.

Taux

crois

Année de projection

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-30% Sinistres [Euro*103]

223 066 172 464 134 265 89 179 56324 25 412 10 932 4 052 3 650 0

[Euro*103] 278 832 203 083 147 454 91 239 53 588 22 676 8 877 2 869 2 371 0

Résultante S/P [%]

80% 84,92% 90,06% 97,74% 103,10% 112,07% 123,14% 138,24% 151,96% 0%

Evolution relative S/P

6,15% 6,04% 8,54% 5,49% 8,69% 9,88% 12,26% 9,92% 0%

0% Sinistres [[Euro*103]

295 308 253 660 2184 49 168 437 120 216 73 800 42 285 13 277 2 429 0

Primes [Euro*103]

369 135 198 773 238 897 171 630 114 512 65 264 34374 9 579 1 577 0

Résultante S/P [%]

80% 84,90% 91,44% 98,14% 104,98% 113,03% 123,01% 138,61% 153,61% 0,00%


6,13% 7,70% 7,33% 6,97% 7,71% 8,79% 12,68% 11,07% 0,00%

30% Sinistres [Euro*103]

391 114 378 122 338 437 288 664 220 658 138 008 69 148 28 946 6 245 0

Primes [Euro*103]

488 892 444 658 370 340 294 860 210 179 123 026 55 795 20 883 4 016 0

Résultante S/P [%]

80% 85,03% 91,38% 97,89% 104,98% 112,17% 123 ,91

%

138,61% 155,50% 0%


6,30% 7,47% 7,13% 7,24% 6,85% 10,48% 11,48% 12,19% 0%

Table 2-2 Cadence de S/P obtenue pour un portefeuille de prévoyance individuelle, d’âge moyen 40 ans, de durée

moyenne 5 ans, pour les 3 régimes (décroissance, croisière, croissance)

82



Evolution des sinistres et des primes sur l'horizon de projection

0

100000

200000300000

400000

500000

600000

1 2 3 4 5 6 7 8 9


Mon

tant

[KE

uros

]Sinistres - régimedécroissancePrimes - régimedécroissanceSinistres - régimecroisièrePrimes - régimecroisièreSinistres - régimecroissancePrimes - régimecroissance

Figure 2-1 Evolution des sinistres et des primes sur

l’horizon de projection pour les 3 régimes – prévoyance individuelle

Evolution du ratio S/P sur l'horizon de projection

0.00%20.00%40.00%60.00%80.00%

100.00%120.00%140.00%160.00%180.00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8


S/P

[%]

S/P - RégimedécroissantS/P - RégimecroisièreS/P - Régimecroissant

Figure 2-2 Evolution du ratio S/P sur l’horizon de

projection – sans sélection médicale

Nous pouvons remarquer dans le cas de la prévoyance individuelle une évolution linéaire croissante du

ratio de sinistralité S/P.

83



2.1.2. Tarification en fonction de l’âge moyen et de l’âge actuariel du

portefeuille

Au lieu de calculer les primes et les sinistres à payer sur l’horizon de projection à partir d’un ratio de

sinistralité initial connu, nous effectuons ici deux tarifications au sens classique, qui ont été expliquées en

détail dans la partie II.

Rappelons que nous considérons dans un premier temps un âge moyen au sens arithmétique calculé sur la

durée de projection et sur l’ensemble des assurés. Nous nous rendons compte que les écarts de risque entre

les assurés sont négligés. Avec cette tarification, nous mutualise les assurés mais sans tenir compte du poids

propre à chacun dans une mesure du risque du portefeuille.

Une deuxième approche est la tarification en fonction de l’âge actuariel qui se définit comme étant l’âge

moyen du groupe au regard des risques assurés. Avec cette tarification l’âge moyen est calculé non plus à

partir d’une pondération en occurrence mais à partir d’une pondération en probabilité d’avoir un sinistre.

L’avantage de cette tarification est qu’elle permet de tenir compte du risque propre à chaque assuré et par

conséquent propre à l’ensemble du portefeuille.

Le graphique suivant montre l’évolution du ratio de sinistralité obtenue :


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

140,00%

160,00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


S/P

[%]

Tarification en fonctionde l'âge moyen global

Tarification en fonctionde l'âge actuariel

Figure 2-3 Impact de la tarification sur l’évolution du ratio S/P – prévoyance individuelle

84



En comparant les évolutions de ratio pour ces deux tarifications, il apparît que la tarification en fonction de

l’âge actuariel est plus prudente que la tarification en fonction de l’âge moyen global, pour laquelle est

obtenu un ratio de sinistralité plus élevé. La mutualisation des risques sur l’ensemble du portefeuille permet

une répartition des risques sur l’ensemble du portefeuille, les assurés les moins risqués compensant ainsi les

plus risqués.

Comme nous l’avons expliqué auparavant, l’outil de calcul l’European Embedded Value n’a pas comme but

la tarification des contrats, mais l’estimation de la valeur de l’entreprise, en fonction des contrats existants

dans les portefeuilles des différents pays, et donc en fonction des tarifications déjà existantes. C’est donc la

première approche qu’il faut garder pour les résultats finaux. L’approche dans laquelle le ratio de sinistralité

initial, fourni par les chargés de portefeuille de chaque pays, constitue le point de départ pour les calculs des

années à venir.

2.1.3. Application de la sélection médicale

Dans cette partie, nous allons étudier les effets de la sélection médicale sur l’évolution du ratio de sinistralité

d’un portefeuille de prévoyance individuelle ayant les mêmes caractéristiques (âge moyen 40 ans, durée

moyenne des contrats 5 ans), dans les 3 régimes (décroissance, croisière, croissance). Afin de simuler la

sélection médicale, nous appliquons un taux d’abattement de 30% sur les probabilités de décès utilisées

pour la modélisation des sinistres (celles des primes restent inchangées) et pendant une période de sélection

définie de 5 ans (λ). Ces valeurs nous ont été fournies par les chargés de portefeuilles, afin d’avoir des

chiffres proches de la réalité. Nous présentons dans le tableau suivant les valeurs du ratio obtenues pour les

trois régimes, en ayant appliqué la sélection médicale :

Taux croiss


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-30% Résultante S/P [%]

80% 91 ,81

%

108,05

%

125,21

%

152,82

%

164,29

%

175,96

%

186,29

%

195,48

%

0%


14,76% 17,69% 15,88% 22,05% 7,51% 7,10% 6,19% 4,62% 0%

0% Résultante S/P [%]

80% 88,86% 102,44

%

119,19

%

149,64

%

170,93

%

187,63

%

200,81

%

206,81

%

0%


11,08% 15,25% 16,39% 25,54% 14,23% 9,77% 7,06% 2,97% 0,00%

30% Résultante S/P [%]

80% 86,34% 95,34% 112,94

%

152,54

%

168,09

%

182,62

%

192,65

%

213,99

%

0%


7,93% 10,42% 18,46% 35,07% 10,19% 8,65% 5,49% 11,08% 0%

Table 2-3 Cadence de S/P obtenue pour un portefeuille de prévoyance individuelle – avec sélection médicale

85



Evolution du ratio S/P sur l'horizon de projection - avec sélection médicale

0,00%

50,00%

100,00%

150,00%

200,00%

250,00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8


S/P

[%]

S/P - RégimedécroissanceS/P - RégimecroisièreS/P - Régimecroissance

Figure 2-4 Evolution du ratio S/P – prévoyance

individuelle avec sélection médicale

L’application de la sélection médicale réduit le ratio de sinistralité sur la période pendant laquelle elle est

appliquée et augmente son taux d’évolution moyen. Passé cette période, l’évolution du ratio retrouve la

courbe d’un portefeuille sans sélection médicale. Sur la figure 2-5, les valeurs des cadences du S/P

pourraient laisser penser à tort que la sélection médicale entraîne une augmentation du ratio. Normalement

les primes pour la première année d’évaluation se calculent à partir du ratio S/P espéré de cette même

année, mais ici nous prenons un ratio initial de 80% pour les deux cas : sans mais aussi avec sélection

médicale. L’important ici est en fait d’analyser les deux tendances d’évolution sur l’horizon de projection.

En effet, l’application de la sélection médicale perturbe l’évolution normale de la loi de décès sur la période

projetée et impose notamment un saut important entre la fin de la durée d’abattement et la période

consécutive, comment nous pouvons voir dans le tableau précèdent.

86



Evolution du ratio S/P sur l'horizon de projection - régime croisière

0,000%

50,000%

100,000%

150,000%

200,000%

250,000%

0 1 2 3 4 5 6 7 8


S/P

[%]

S/P - Régimecroisière - sanssélection médicaleS/P - Régimecroisière - avecsélection médicale

Figure 2-5 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de croisière

Nous pouvons remarquer sur ce graphe l’impact de la sélection médicale sur un portefeuille en régime de

croisière : un scénario médian dans la mesure où le nombre de nouvelles souscriptions est considéré ici

uniformément réparti sur la période de production des nouveaux contrats (c’est-à-dire entre -30 et 0).

Comme nous pouvons le voir, l’évolution du ratio de sinistralité est plus forte les 5 premières années, c’est-

à-dire là où cette sélection est appliquée. Passé cette période, l’évolution du ratio de sinistralité retrouve

l’allure de la courbe d’un portefeuille sans sélection médicale.

Evolution du ratio S/P sur l'horizon de projection - régime croissance

0,000%

50,000%

100,000%

150,000%

200,000%

250,000%

0 1 2 3 4 5 6 7 8


S/P

[%]

S/P - Régimecroissance - sanssélection médicaleS/P - Régimecroissance - avecsélection médicale

Figure 2-6 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec

et sans sélection médicale – régime de croissance

87



En régime de croissance du stock de contrat, l’impact de la sélection médicale est plus marqué. En effet,

nous simulons ici un portefeuille récent (plus de contrats en cours que de contrats passés). Il en résulte en

moyenne (et par rapport à un scénario médian de régime de croisière), un nombre d’assurés soumis à la

sélection médicale plus important et pendant une durée plus longue. Cela explique l’effet plus prononcé sur

l’ensemble du portefeuille de l’impact étudié.

Evolution du ratio S/P sur l'horizon de projection - régime décroissance

0,00%

50,00%

100,00%

150,00%

200,00%

250,00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8


S/P

[%]

S/P - Régimedécroissance - sanssélection médicaleS/P - Régimedécroissance - avecsélection médicale

Figure 2-7 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de décroissance

Dans le cas d’un régime de décroissance, l’impact de la sélection médicale est plus atténué que pour un

régime de croissance. En effet, nous simulons ici un portefeuille ancien (plus de contrats passés que de

contrats en cours), l’impact de la sélection médicale s’en ressent car en moyenne (et par rapport à un

scénario médian de régime de croisière), nous nous retrouvons avec moins de contrats soumis à la sélection

et pendant moins longtemps. Il en résulte donc un impact moins fort de la sélection médicale sur

l’ensemble du portefeuille.

2.2. Assurance des emprunteurs – résultats obtenus

L’outil Excel implémenté pour la modélisation d’un portefeuille en assurance des emprunteurs (modèle

expliqué dans la section II) nous permet, comme dans le cas de la prévoyance individuelle, saisir les

paramètres utiles à sa valorisation. Nous étudions la sensibilité de l’âge moyen du portefeuille, de la durée

moyenne des contrats, du taux de croissance, du montant des crédits sur : les sinistres, les primes et donc

sur l’évolution du ratio de sinistralité. Dans le tableau suivant, sont présentées les caractéristiques de deux

88



portefeuilles de 1000 assurés (un pour les crédits à la consommation, donc de courte durée et le deuxième

pour les crédits immobiliers, de longue durée) qui seront modélisés dans les trois régimes (croissance,

décroissance et croisière) afin de pouvoir étudier la tendance de l’évolution du ratio de sinistralité :

Paramètre Crédit à la consommation Crédit immobilier

Age minimum de la population 18 ans 18 ans Age maximum 70 ans 70 ans Age moyen 30 ans 30 ans

Variance de l’âge 100 100 Durée maximale d’un contrat 4 ans 28 ans Durée minimale 1 an 7 ans Durée moyenne 2 ans 14 ans

Variance de la durée 1 22 Montant maximal garanti de crédit 10 000 euros 400 000 euros Montant minimal 1 000 euros 100 000 euros Taux de croissance du nombre de contrats 0% ; 30% ; -30% 0% ; 30% ; -30% Taux maximal d’intérêt 17% 7% Taux minimal d’intérêt 12% 2% S/P espéré (1) 80% 80%

Table de mortalité TD 88-90 TD 88-90 Table 2-4. Modélisation du portefeuille AdE – paramètres

2.2.1. Tarification en fonction du capital financé

Dans le cas d’un contrat assurance des emprunteurs (AdE), le montant assuré est le capital restant dû

(CRD) correspondant au capital financé majoré des intérêts et dont sont déduites les annuités déjà

acquittées par l’assuré. Donc au moment du sinistre (le décès dans notre cas) l’assureur se substitue à

l’assuré pour solder le crédit. Nous allons présenter les sinistres, les primes et les cadences du ratio de

sinistralité sur l’horizon de projection pour les deux types de portefeuilles : crédit à la consommation et

crédit immobilier, avec les paramètres décrits dans le tableau 2-3. Nous rappelons de nouveau que les

primes pour la première année d’évaluation se calibrent à partir du ratio S/P espéré de l’année 1.

89



a) Crédit à la consommation

Taux croiss

Année de projection 0 1 2 3 4

-30% Sinistres [Euro*103] 1 557,87 529,18 127,33 0 0

Primes [Euro*103] 1 972,33 1 402,65 661,16 0 0

Résultante S/P [%]

80% 37,72% 19,25% 0% 0%

0% Sinistres [Euro*103] 2 443,53 838,18 221,38 0 0

Primes [Euro*103] 3 054,42 2 242,34 1 023,90 0 0

Résultante S/P [%]

80% 37,37% 21,62% 0% 0%

30% Sinistres [Euro*103] 3 352,85 1 208,00 201,28 0 0

Primes [Euro*103] 4 191,06 3 293,90 1 611,80 0 0

Résultante S/P [%]

80% 36,67% 12,48% 0% 0%

Table 2-5 Cadence de S/P obtenue pour un portefeuille AdE de crédits à la consommation – âge moyen 30 ans, de

durée moyenne 2 ans, dans les 3 régimes (croisière, croissance, décroissance)

Evolution des sinistres et des primes sur l'horizon de projection

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 1 2 3


Mon

tant

[K

euro

s]

Sinistres - régimedécroissancePrimes - régimedécroissanceSinistres - régimecroisièrePrimes - régimecroisièreSinistres - régimecroisancePrimes - régimecroisance

Figure 2-8 Evolution des sinistres et des primes sur l’horizon de projection – crédit à la consommation

90




0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00%90,00%

0 1 2 3


S/P

[%]

Régime décroissance(-30%)Régime croisière(0%)Régime croissance(+30%)

Figure 2-9 Evolution du ratio S/P sur l’horizon de projection – crédit à la consommation

b) Crédit immobilier

Taux croiss

Année de projection 0 1 2 3 4 5 6

-30% Sinistres [Euro*103] 161 835 150 938 140 785 132 188 132 191 114 147 105 046

Primes [Euro*103] 202 294 199 771 193 847 185 062 177 050 165 740 153 693

Résultante S/P [%]

80% 75,56% 72,63% 71,43% 69,58% 68,87% 68,87%

0% Sinistres [Euro*103] 211 224 201 493 191 507 182 184 172 152 161 289 152 515

Primes [Euro*103] 364 030 261 724 255 616 245 956 2317862 219 808 207 369

Résultante S/P [%]

80% 76,99% 74,92% 74,07% 72,37% 73,38% 73,55%

30% Sinistres [Euro*103] 458 047 450 183 442 081 431 727 419 631 406 237 392 099

Primes [Euro*103] 572 559 569 024 564 099 557 093 546 683 534 683 513 053

Résultante S/P [%]

80% 79,11% 78,37% 77,50% 76,76% 75,98% 76,42%

Le tableau continue sur la page suivante.

91



7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

95 036 85 550 76 551 66 781 58 384 49 654 41 014 31 900 24 492 16 873 10 295 5 628

141 497 125 619 110 269 97 834 79 535 71 971 60 535 46 472 39 796 33 509 20 659 10 577

67,16% 68,10% 69,42% 68,26% 73,41% 68,99% 67,75% 68,64% 61,54% 50,35% 49,83% 53,21%

142 393 132 536 121 662 110 655 99 260 88 001 75 561 63 763 50 134 38 703 27 449 18 187

191 592 175 146 159 471 143 645 126 005 113 117 95 019 87 021 73 295 58 816 41 949 32 610

74 ,32% 75 ,72% 76 29% 77,03% 79,03% 77,80% 79,52% 73,27% 68,40% 65,80% 65,43% 55,77%

377 282 361 254 344 327 325 577 304 602 280 596 253 029 225 079 194 118 162 280 130 273 100 916

485 056 452 667 417 679 380 493 354 183 324 303 288 499 252 654 216 381 187 197 157 088 114 100

77,78% 79,81% 82,44% 85,57% 86,00% 86,52% 87,71% 89,09% 89,71% 86,69% 82,93% 88,45%

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

2 754 707 0 0 0 0 0 0 0 0

6 745 5 527 0 0 0 0 0 0 0 0

40,83% 12,80% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

10 103 4 747 1 831 612 0 0 0 0 0 0

22 150 15 009 5 549 3 218 0 0 0 0 0 0

45,62% 31,63% 33,01% 19,02% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

76 814 53 735 29 792 11 319 1 970 0 0 0 0 0

88 066 63 769 53 761 28 761 10 243 0 0 0 0 0

87,22% 84,27% 55,42% 39,69% 19,24% 0% 0% 0% 0% 0%

Table 2-6 Cadence de S/P obtenue pour un portefeuille AdE de crédits immobiliers – âge moyen 30 ans, de durée moyenne 14 ans, dans les 3 régimes (croisière, croissance,

décroissance)

92



Nous remarquerons l’évolution sous forme de "cloche" du ratio de sinistralité S/P dans le cas de l’AdE.

Evolution des sinistres et des primes sur l'horizon de projection - régime décroissance

-

50 000,00

100 000,00

150 000,00

200 000,00

250 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28


Mon

tant

[KEu

ros]

Sinistres - régimedécroissancePrimes - régimedécroissance

Evolution des sinistres et des primes sur l'horizon de projection - régime croisière

-

50 000,00

100 000,00

150 000,00

200 000,00

250 000,00

300 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28


Mon

tant

[KE

uros

]]

Sinistres - régime croisière

Primes - régime croisière

Evolution des sinistres et des primes sur l'horizon de projection - régime croissance

- 100 000,00 200 000,00 300 000,00 400 000,00 500 000,00 600 000,00 700 000,00

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28


Mon

tant

[KEu

ros]

Sinistres - régimecroissancePrimes - régimecroissance

Figure 2-10. Evolution des sinistres et des primes sur l’horizon de projection – crédit immobilier (régime de

décroissance, croisière et croissance)

93




0,00%10,00%20,00%30,00%40,00%50,00%60,00%70,00%80,00%90,00%

100,00%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28


S/P

[%]

Régime décroissance (-30%)Régime croisière (0%)

Régime croissance(+30%)

Figure 2-11 Evolution du ratio de sinistralité – crédit

immobilier (régime de décroissance, croisière et croissance)

2.2.2. Application de la sélection médicale

Dans le cadre des crédits à la consommation, l’application de la sélection médicale réduit le ratio de

sinistralité pendant toute la période pendant laquelle est appliquée. En réalité, les assureurs n’appliquent pas

souvent la sélection médicale pour ce type de crédits parce que le montant couvert est assez faible et que le

risque décès n’augmente pas beaucoup pendant la durée des contrats (qui est de maximum 5 ans).

Dans le cadre des crédits immobiliers, l’application de la sélection médicale sur les premières années de vie

des contrats (maximum 5 ans) ne change pas, d’une façon significative, l’évolution du ratio et donc la valeur

de l’European Embedded Value.

Pourtant, nous avons décidé d’analyser aussi ces situations, même si elles ne seront intégrées dans l’outil de

calcul de l’European Embedded Value (dans la formule mathématique de l’évolution du ratio de

sinistralité). Le ratio initial est de 80% pour les deux cas : avec et sans sélection médicale et nous analysons

les deux tendances d’évolution des deux portefeuilles (crédits à la consommation et immobiliers) sur

l’horizon de projection et pour les trois régimes. Les résultats des analyses sont présentés dans les annexes.

94



C h a p i t r e 3

3. AJUSTEMENT D’UNE LOI PARAMETRIQUE

3.1. Méthodologie

Le but est d’identifier la forme de la tendance d’évolution du ratio de sinistralité et de trouver une formule

mathématique permettant de prévoir les S/P de la période de projection (en run-off), comprise entre 1 et la

durée maximale des contrats (max 30 ans) à partir des données observables (les S/P générés par notre

modèle). Pour cela, plusieurs modèles sont mis en place et un ensemble de tests de régression sont

effectués. Etant donné que le ratio de sinistralité évolue différemment pour les types de contrats étudiés,

nous avons deux méthodologies différentes :

• Pour la prévoyance individuelle, nos procédons à plusieurs régressions polynomiales sur les ratios

de sinistralité générés par notre modèle, afin de choisir l’ordre du polynôme de régression, ainsi

que les taux d’évolution moyen du S/P. Nous avons observé que les valeurs du ratio S/P varient

en fonction du type de portefeuille (en fonction de l’âge moyen, la durée moyenne et le taux de

croissance), et nous décidons donc d’étudier et de trouver une formule mathématique à partir de

plusieurs classes de portefeuilles. Nous obtenons ainsi la valeur du taux d’évolution moyen

correspondante à chaque classe.

• Pour l’assurance des emprunteurs la situation est plus compliquée. Sachant que l’évolution du ratio

de sinistralité a une forme de cloche, nous ne pouvons pas appliquer la même méthodologie que

dans le cas de la prévoyance individuelle. Nous analysons à l’aide des macros Excel des modèles à

plusieurs paramètres (de 2 à 7 paramètres), afin de pouvoir diviser l’horizon de projection en

intervalles et identifier la tendance par morceaux. Il faut faire, dans un premier temps, le choix du

modèle le plus adapté et pour pouvoir trouver une formule mathématique qui calcule l’évolution

du ratio S/P pour plusieurs classes de portefeuilles, variant en fonction de l’âge moyen du

portefeuille, de la durée moyenne des contrats et du régime. Le choix du nombre de paramètres du

modèle se fait par le critère visuel d’une part, et par des critères statistiques d’autre part. Nous

cherchons alors les valeurs des paramètres de la formule mathématique de façon à ce que la courbe

théorique qu’elle génère s’approche au mieux de l'ensemble des valeurs expérimentales du ratio

(obtenues grâce à notre modélisation et notre simulation du portefeuille d’assurés).

95



3.2. Régression polynomiale

Le but de la régression est d’expliquer une variable y en fonction de variables explicatives. Dans le cas de

l’ajustement polynomiale, nous ne sommes en présence que de deux variables x et y, et nous désirons

approcher par un polynôme en x.

Dans notre cas, le vecteur représente le vecteur des années de projection et

correspond aux ratios de sinistralité S/P simulés sur la période de projection.

);....;;( 21 nxxxx =

);....;;( 21 nyyyy =

Le polynôme de régression de degré p s’écrit alors :

pipiii xxxy *....**ˆ 2

210 ββββ +++=

Il faut ensuite résoudre cette équation pour trouver la meilleure courbe d'ajustement. C'est le rôle de la

méthode des moindres carrés.

3.3. Méthode des moindres carrés

Cette méthode recherche les paramètres (β1, β2, …, βp) en minimisant la somme des carrés des distances

entre et : iyiy

∧

)²ˆ(1

ii

n

iyy −∑

=

Cette grandeur se nomme SCE (Somme des Carrés des Erreurs) ou en anglo-saxon SSE (Sum Square

Errors).

Une amélioration de cette méthode est celle des moindres carrés pondérés, qui permet d’introduire le poids

exact relatif à chaque observation. Il faut alors minimiser la grandeur :

)²ˆ(.1

ii

n

ii yywD −=∑

=

96



Dans une régression pondérée, chaque carré a un poids wi proportionnel à l’effectif de la classe, c'est-à-dire

au ratio de sinistralité S/P considéré.

Pour minimiser D, il faut annuler les p+1 dérivées partielles :

0=∂∂

k

Dβ avec k = 0, 1, …, p

Le choix du degré du polynôme est une étape importante puisqu’il conditionne la qualité du lissage : plus il

sera élevé plus le polynôme aura tendance à passer par tous les points de la courbe.

Le choix du degré du polynôme se fait par le critère visuel d’une part, et par un critère statistique d’autre

part : il s’agit du coefficient de détermination noté R² qui permet d’exprimer le pourcentage de variance de

la variable expliquée par le modèle polynomial proposé. Il s’interprète comme l’indicateur mesurant la

qualité de la régression obtenue. R² appartient à l’intervalle [0, 1], et plus il est proche de 1, meilleure est la

modélisation. Il sera présenté plus en détails dans la section suivante.

3.4. Régression linéaire

De nombreuses quantités physiques sont reliées par des conditions du type . Par des

expériences, nous arrivons à connaître des couples , et nous cherchons alors à déterminer a et b.

En général, en raison des erreurs de mesure, les points ne sont pas alignés, mais sont "presque"

sur une même droite. La régression linéaire consiste à déterminer une estimation des valeurs de nos

coefficients et à quantifier la validité de la relation

bxay +⋅=

);( ii yx

);( ii yx

bxay +⋅= grâce au coefficient de corrélation

linéaire. Il faut alors choisir a et b (respectivement le coefficient directeur de la droite et son ordonnée à

l’origine) de sorte que la droite soit la meilleure possible.

Pour cela, il faut choisir une mesure de l'écart entre une droite bxay +⋅= et le nuage de points

expérimentaux . La méthode des moindres carrés est généralement la plus utilisée ; elle consiste à

calculer le carré de la différence entre le point théorique et le point expérimental .

L'écart total est donc :

);( ii yx

2))(( bxay ii +⋅−

97



)²();(1

bxaybaJ ii

n

i

−⋅−=∑=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅−−=⇔ ∑∑

==

)()(2²);(11

ii

n

iii

n

ixayxaybnbbaJ

Les formules que nous utiliserons dans la suite sont :

• La moyenne des : ix ∑=

=n

iix

nx

1

1

• La moyenne des : iy ∑=

=n

iiy

ny

1

1

• Le point moyen G a pour coordonnées : ),( yx

• La variance des : ix ∑=

−=n

ii xx

nxVar

1

2)(1)( = la moyenne des carrés moins le carré de la

moyenne

• L’écart-type des : ix )()( xVarx =σ

• La variance des : iy ∑=

−=n

ii yy

nyVar

1

2)(1)( = la moyenne des carrés moins le carré de la

moyenne

• L’écart-type des : iy )()( yVary =σ

• La covariance des : ii yx , ∑=

−−=n

iii yyxx

nyx

1))((1),cov( = la moyenne des produits

moins le produit des moyennes

Le minimum de J défini par l'annulation des dérivées partielles conduit aisément aux expressions

analytiques de a et b.

98



0)(21

=−⋅−⋅−=∂∂ ∑

=

n

iiii bxayx

aJ

021

=−⋅−−=∂∂ ∑

=

n

iii bxay

bJ

D’où l’expression xayxay

nb

n

iii ⋅−=⋅−= ∑

=1

)(1

. Il reste à remplacer dans la somme de départ, b par

cette valeur.

( )∑=

−⋅−−=n

iii xxayybaJ

1²)()();(

Il suffit de développer et ordonner ce polynôme du second degré en a. Nous obtenons alors :

( ) ²)()()(2²²)();(111∑∑∑===

−+−⋅−⋅−⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

n

ii

n

iii

n

ii yyyyxxaaxxbaJ

)(),cov(2²)();( yVarnyxnaaxVarnbaJ ×+××−××=

Ce polynôme atteint son minimum en : )(),cov(

xVaryxa =

La droite rendant minimale la somme précédente passe par le point G ),( yx et a pour coefficient

directeur )(),cov(

xVaryx

. Son équation est donc :

yxxxVaryxy +−⋅= )()(),cov(

avec :

99



²²)(),cov(

11

111

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅⋅−⋅==

∑∑

∑∑∑

==

===n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

xxn

yxyxn

xVaryxa

²²

²

)(),cov(

11

1111

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⋅⋅−⋅=⋅−=

⋅−=

∑∑

∑∑∑∑

==

====n

ii

n

ii

i

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

xxn

yxxxyxay

xVaryxxyb

Le coefficient de détermination R² mesurera la qualité de l'estimation. Il peut être interprété comme la

proportion de la variance de y imputable à la variance de x.

Pour le déterminer, nous essayons de chercher la droite '' byax +⋅= qui rende minimale la somme

. )²''();('1

byaxbaJ ii

n

i−⋅−= ∑

=

Nous trouvons alors une droite qui passe aussi par le point moyen G ),( yx et telle que :

)(),cov('

yVaryxa = .

Le but est évidemment de tomber sur la même droite. Ce sera le cas si et seulement si a

a 1'= c’est-à-dire si

et seulement si . 1'=aa

Les droites sont confondues si et seulement si 1)()(

)²,cov(=

⋅ yVarxVaryx 1

)()(),cov(

±=⋅

⇔yx

yxσσ

.

Appelons la quantité :

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑

∑∑

∑

= == =

= ==

==

=

−⋅−

−−=

−⋅−

−−=

⋅=

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

yn

yn

xn

xn

yn

yxn

xn

yyn

xxn

yyxxn

yxyxR

1

2

11

2

1

1 11

1

2

1

2

1

)1(1)1(1

)1)(1(1

)(1)(1

))((1

)()(),cov(

σσ

100



le coefficient de corrélation linéaire entre x et y, qui est toujours compris entre -1 et 1. Dans la suite le

coefficient R² sera utilisé, il est compris entre 0 et 1.

Dans notre cas, le vecteur représente le vecteur des années de projection et

correspond aux ratios de sinistralité S/P simulés sur la période de projection, n

correspondant à la durée maximale des contrats (Dmax).

);....;;( 21 nxxxx =

);....;;( 21 nyyyy =

101



102



C h a p i t r e 4

4. MISE EN EQUATION DE LA MODELISATION DU

RATIO DE SINISTRALITE


Les valeurs du ratio S/P variant en fonction du type de portefeuille (en fonction de l’âge moyen, la durée

moyenne et le taux de croissance), nous décidons de trouver une formule mathématique pour l’évolution

du ratio de sinistralité pour chaque classe de portefeuilles. Nous cherchons donc la valeur du taux

d’évolution moyen correspondante à chaque classe.

Afin d’identifier la forme de la tendance d’évolution, un ensemble de tests de régression ont été menés sur

les ratios générés par plusieurs portefeuilles modélisés selon les méthodes expliquées dans la partie II.

D’après les résultats obtenus, le modèle linéaire (donc un polynôme de régression de degré p=1) semble le

plus adapté.

Les classes identifiées sont décrites dans le tableau suivant. Nous allons analyser chaque classe dans les trois

régimes étudiés (croissance, croisière et décroissance) :

N°. classe Durée moyenne contrats

Age moyen

portefeuille

N°. classe Durée moyenne contrats

Age moyen

portefeuille

Classe I – 1 2 à 5 ans 25 à 35 ans Classe III – 1 11 à 16 ans 25 à 35 ans

I – 2 35 à 45 ans III – 2 35 à 45 ans

I – 3 45 à 55 ans III – 3 45 à 55 ans

I – 4 55 à 65 ans III – 4 55 à 65 ans

Classe II – 1 6 à 10 ans 25 à 35 ans Classe IV – 1 17 à 22 ans 25 à 35 ans

II – 2 35 à 45 ans IV – 2 35 à 45 ans

II – 3 45 à 55 ans IV – 3 45 à 55 ans

II – 4 55 à 65 ans IV – 4 55 à 65 ans Table 4-1 Classes de portefeuilles – prévoyance individuelle

103



Pour chaque classe, nous avons effectué un ensemble de tests de régression linéaire sur les ratios de

sinistralité générés par 100 portefeuilles ayant les mêmes caractéristiques, afin de déterminer le taux

d’évolution moyen, en espérance. Dans notre cas, le vecteur );....;;( 21 nxxxx = représente le vecteur des

années de projection et correspond aux ratios de sinistralité S/P simulés sur la

période de projection, n correspondant à la durée maximale des contrats (Dmax). La qualité de nos

estimations sera mesurée par le coefficient de détermination R², expliqué dans la section précédente.

);....;;( 21 nyyyy =

Nous présentons sur le graphe ci-dessous l’évolution du ratio pour une des classes analysées, ainsi que le

droite générée par la régression linéaire :


y = 0,0885x + 0,6551R2 = 0,9634

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

140,00%

160,00%

180,00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8


S/P

[%]

Ratio S/PLinéaire (Ratio S/P)

Figure 4-1 Exemple de test de régression linéaire sur

l’évolution du ratio de sinistralité

Le taux moyen d’évolution µ choisi constitue le coefficient directeur généré par la régression linéaire, en

utilisant la méthode de moindres carrés (voir section précédente pour la théorie). Nous avons un coefficient

différent pour chaque classe classeµ .

4.1.1. Formule mathématique de l’évolution du ratio de sinistralité Nous obtenons à partir de ce taux moyen et du S/P initial, la cadence d’évolution du ratio de sinistralité

prédite pour chaque classe de portefeuilles. La formule mathématique cherchée est donc :

104



( )( ) ( ) max];2[);1(_/1_/*_/

)0(/0/*)1(_/_)0(/

DttthéoriquePStthéoriquePStthéoriquePSPSPSthéoriquePS

donnéinputPS

classe

classe

∈−+−=+=

=

µµ

Les valeurs du taux moyen d’évolution pour chaque classe dans le régime de croisière sont présentées dans

le tableau suivant. Les valeurs pour les régimes de croissance et de décroissance sont présentées dans les

annexes.

• Régime croisière (taux = 0%)

No. classe Durée moyenne contrats

Age moyen

portefeuille

Taux d’évolution

moyen classeµ

Coefficient détermination R²

Classe I – 1 2 à 5 ans 25 à 35 ans 6,51% 0,9856

I – 2 35 à 45 ans 6,67% 0,9937

I – 3 45 à 55 ans 7,17% 0,9893

I – 4 55 à 65 ans 7,72% 0,9948

Classe II – 1 6 à 10 ans 25 à 35 ans 7,41% 0,9869

II – 2 35 à 45 ans 7,74% 0,9916

II – 3 45 à 55 ans 8,77% 0,9782

II – 4 55 à 65 ans 8,84% 0,9830

Classe III – 1 11 à 16 ans 25 à 35 ans 8,26% 0,9856

III – 2 35 à 45 ans 8,40% 0,9792

III – 3 45 à 55 ans 8,55% 0,9693

III – 4 55 à 65 ans 8,53% 0,9571

Classe IV – 1 17 à 22 ans 25 à 35 ans 8,20% 0,9903

IV – 2 35 à 45 ans 8,32% 0,9805

IV – 3 45 à 55 ans 8,11% 0,9913

IV – 4 55 à 65 ans 7,44% 0,9839 Table 4-2 Taux moyens d’évolution pour toutes les classes

d’âges – régime croisière

Nous remarquons une augmentation du taux moyen d’évolution du ratio de sinistralité entre les classes de

portefeuilles jeunes et celles de portefeuilles formés par des gens plus âgés. Ce qui est tout a fait normal

dans le cadre de la prévoyance individuelle, en tenant compte de l’évolution normale de la loi de décès.

Nous pouvons observer la prédiction de l’évolution du ratio de sinistralité (donnée par la formule

mathématique présentée précédemment) pour un portefeuille contenant des contrats de durées moyennes

entre 6 et 10 ans, en régime de croisière :

105



Evolution du ratio S/P théorique - durée contrats 6 à 10 ans - régime croisière

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

160%

180%

200%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


S/P

[%]

25 - 35 ans - 0%

35 - 45 ans - 0%

45 - 55 ans - 0%

55 - 65 ans - 0%

Figure 4-2 Evolution du ratio théorique

Nous remarquons aussi une augmentation du taux d’évolution pour la même classe pendant le régime de

croissance du portefeuille par rapport à un scénario médian de régime de croisière, et une baisse pendant un

régime de décroissance. C’est le phénomène auquel nous nous attendions, car dans le cadre d’une

décroissance de la production nous avons un portefeuille ancien (plus de contrats passés que de contrats en

cours) et nous nous retrouvons avec moins de contrats soumis au risque et pendant moins longtemps. A

l’inverse, pendant un régime de croissance nous avons de plus en plus de contrats soumis au risque et

pendant plus longtemps. Nous avons une illustration visuelle dans le graphe suivant :

Evolution du ratio S/P théorique - durée contrats 6 à 10 ans - âge entre 25 - 35 ans

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

160%

180%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


S/P

[%] Régime décroissance

Régime croisière

Régime croissance

Figure 4-3 Evolution du ratio théorique

106




Sachant que l’évolution du ratio de sinistralité dans le cas de l’assurance des emprunteurs a une forme de

cloche, comme nous avons pu voir dans la section Observations, nous ne pouvons pas appliquer la même

méthodologie que dans le cas de la prévoyance individuelle, c’est-à-dire d’appliquer une régression linéaire

sur l’ensemble des ratios générés par la modélisation. Nous allons donc analyser à l’aide du solveur et des

macros Excel plusieurs modèles de deux à sept paramètres, afin de pouvoir diviser l’horizon de projection

en intervalles et identifier la tendance morceau par morceau. Nous allons diviser l’étude dans deux étapes :

• Premièrement nous devons faire le choix du modèle le plus adapté, avec le nombre de paramètres

correspondant.

• Et deuxièmement, comme dans le cas de la prévoyance individuelle, nous essayons de trouver une

formule mathématique qui calcule l’évolution du ratio S/P pour plusieurs classes de portefeuilles à

partir d’un S/P initial donné, variant en fonction de l’âge moyen du portefeuille, de la durée

moyenne des contrats et du régime (de croisière, croissance où décroissance).

Les classes identifiées sont décrites dans le tableau suivant. Nous allons analyser chaque classe dans les trois

régimes étudiés (croissance, croisière et décroissance) :


Age moyen

portefeuille

Classe I – 1 3 à 7 ans 25 à 39 ans

I – 2 40 à 49 ans

I – 3 50 à 65 ans

Classe II – 1 8 à 11 ans 25 à 39 ans

II – 2 40 à 49 ans

II – 3 50 à 65 ans

Classe III – 1 12 à 14 ans 25 à 39 ans

III – 2 40 à 49 ans

III – 3 50 à 65 ans

Classe IV – 1 15 à 17 ans 25 à 39 ans

IV – 2 40 à 49 ans

IV – 3 50 à 65 ans

Classe V – 1 18 à 22 ans 25 à 39 ans

107



V – 2 40 à 49 ans

V – 3 50 à 65 ans Table 4-3 Classes de portefeuilles – assurance des

emprunteurs

4.2.1. Etude de modèles à plusieurs paramètres

Le choix du nombre de paramètres du modèle se fait par le critère visuel d’une part, et par des critères

statistiques d’autre part. Nous allons étudier six modèles, de deux jusqu’à sept paramètres, afin de trouver

celui qui constitue la meilleure estimation de la courbe des ratios de sinistralité générés par les classes de

portefeuilles décrites auparavant.

Chaque modèle génère une courbe « théorique » de cadences S/P sur l’horizon de projection, c'est-à-dire

de l’année 0 jusqu’à l’année correspondante à la durée maximale des contrats du portefeuille. Pour chaque

modèle le point de départ est le S/P initial donnée, qui est une valeur connue. Le but est de trouver la

meilleure courbe d'ajustement avec les ratios de sinistralité générés par la modélisation des portefeuilles.

Pour cela nous utilisons la méthode des moindres carrés.

Le vecteur représente les années de projection et

correspond aux ratios de sinistralité S/P simulés sur la période de projection, Dmax correspondant à la

durée maximale des contrats. Nous divisons ces vecteurs en plusieurs intervalles plus petits. Le nombre

d’intervalles dépend du nombre de paramètres du modèle, comme nous le verrons dans la suite. Une macro

Excel a été constituée pour chaque type de modèle et les valeurs des paramètres ont été calculées à l’aide du

solveur Excel en appliquant sur chaque morceau déjà déduit, la méthode des moindres carrés. La qualité de

l’estimation est mesurée à l’aide du paramètre R². A partir du modèle choisi, nous pourrons trouver la

formule mathématique de prédiction des cadences de S/P.

);....;;( max21 Dxxxx = );....;;( max21 Dyyyy =

108



Modèle à deux paramètres

Ce modèle est assez simple. Nous essayons de prédire l’évolution du ratio de sinistralité à partir de deux

variables d’entrée (le ratio de sinistralité initial et de la durée maximale des contrats du portefeuilles) et de

deux paramètres. Nous considérons ici que en partant du S/P (0), les valeurs du ratio ont la tendance

d’augmenter (pour les crédits de longue durée) où de diminuer (pour les crédits de courte durée) avec une

pente α jusqu’à l’année t1. A partir de t1, les S/P diminuent constamment jusqu’à la durée maximale des

contrats, Dmax. Les valeurs de ces deux paramètres sont ajustées à l’aide du solveur Excel, afin d’avoir les

valeurs qui minimisent l’écart entre les cadences des S/P générés par le portefeuille modélisé dans la partie

II et les ratios prédits à l’aide de la formule présentée au-dessus.

Paramètres :

• pente α

• année t1

Entrées :

• S/P (0)

• Durée maximale du contrat : Dmax

Formule :

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈−⋅+−

−∈−⋅+

=max];1[_);1(/

1maxmax

)1;1[_);1(/)1()(/

DtisiiPSiD

iDtisiiPS

iPSα

S/P

0 Date début projection

Pente α

S/P (0)

Dmaxt1 Année de projection i

109



Modèle à trois paramètres

Nous ajoutons un paramètre au modèle précèdent, en gardant les mêmes variables d’entrée. Nous

considérons ici, comme dans le cas d’avant, que en partant du S/P (0), les valeurs du ratio ont la tendance

d’augmenter (pour les crédits de longue durée) où de diminuer (pour les crédits de courte durée) avec un

pente α jusqu’à l’année t1 de la projection. Entre l’année t1 et l’année t2 nous considérons un ratio constant.

A partir du t2, les S/P diminuent constamment jusqu’à la durée maximale des contrats, Dmax. Cette

diminution est due à la baisse du capital restant dû, comme nous avons vu dans la partie II. Les valeurs des

trois paramètres sont ajustées à l’aide du solveur Excel.

Paramètres :

• pente α

• année t1

• année t2

Entrées :

• S/P (0)


Formule :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∈−⋅+−

−∈−

∈−⋅+=

max];2[_);1(/1max

max)2;1[_);1(/

)1;1[_);1(/)1()(/

DtisiiPSiD

iDttisiiPS

tisiiPSiPS

α

S/P

Pente α

0 Date début projection

Dmaxt1

S/P (0)

Année de projection i t2

110



Modèle à quatre paramètres

Nous ajoutons encore un paramètre au modèle précèdent. Nous considérons ici que en partant d’un ratio

de sinistralité initial, l’évolution du rapport entre le montant des sinistres à payer et le montant de primes

perçues reste constante pendant la période [0 ; t1). A partir de l’année t1, les valeurs du ratio ont la

tendance d’augmenter ou de diminuer avec un pente α, positive où négative, jusqu’à l’année t2 de la

Paramètres :

• pente α

• année t1

• année t2

• année t3

Entrées :

• S/P (0)


Formule :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−⋅+−

−∈−

∈−⋅+∈

=

max];3[_);1(/1max

max)3;2[_);1(/

)2;1[_);1(/)1()1;1[_);0(/

)(/

DtisiiPSiD

iDttisiiPS

ttisiiPStisiPS

iPSα

S/P

Pente α

0

Date début projection

Dmaxt1

S/P (0)

Année de projection i t2 t3

111



projection. Entre l’année t2 et l’année t3 de la projection nous considérons de nouveau un ratio constant. A

partir du t3, les S/P diminuent constamment jusqu’à l’extinction des contrats en Dmax. Comme dans les

cas précédents, les valeurs des quatre paramètres sont ajustées à l’aide du solveur Excel. La méthode des

moindres carrées est appliquée sur chaque intervalle [0 ; t1) , [t1 ; t2), [t3 ; Dmax). Nous obtenons les

valeurs de la pente α et des années de projection t1, t2, t3 qui minimisent l’écart entre les cadences des S/P

générés par le portefeuille modélisé dans la partie II et les ratios prédits à l’aide de la formule présentée au-

dessus.

112



Modèle à cinq paramètres

Nous modifions le modèle précèdent en considérant que entre l’année t2 et l’année t3 de la projection les

cadences du ratio de sinistralité ne sont constantes, mais qu’elles diminuent avec une pente β. Nous avons

donc ajouté un nouveau paramètre à notre modèle. Pour le calcul de la valeur optimale de chaque

paramètre nous avons implémenté une nouvelle macro Excel.

Paramètres :

• pente α

• pente β

• année t1

• année t2

• année t3

Entrées :

• S/P (0)


Formule :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−⋅+−

−∈−⋅+∈−⋅+

∈

=

max];3[_);1(/1max

max)3;2[_);1(/)1()2;1[_);1(/)1(

)1;1[_);0(/

)(/

DtisiiPSiD

iDttisiiPSttisiiPS

tisiPS

iPS βα

S/P

0


Dmax

Pente α

t1 Année de projection i

S/P (0)

t2

Pente β

t3

113



Modèle à six paramètres

Ce qui change par rapport à la situation antérieure est l’hypothèse que entre l’année de projection t3 et

l’année t4, les cadences restent constantes.

Paramètres :

• pente α

• pente β

• année t1

• année t2

• année t3

• année t4

Entrées :

• S/P (0)


Formule :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−⋅+−

−∈−

∈−⋅+∈−⋅+

∈

=

max];4[_);1(/1max

max)4;3[_);1(/

)3;2[_);1(/)1()2;1[_);1(/)1(

)1;1[_);0(/

)(/

DtisiiPSiD

iDttisiiPS

ttisiiPSttisiiPS

tisiPS

iPS βα

S/P

0


Dmax

Pente α


S/P (0)

t2

Pente β

t3 t4

114



Modèle à sept paramètres

Paramètres :

• pente α

• pente β

• pente γ

• année t1

• année t2

• année t3

• année t4

Entrées :

• S/P (0)


Formule :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−⋅+−

−∈−⋅+∈−⋅+∈−⋅+

∈

=

max];4[_);1(/1max

max)4;3[_);1(/)1()3;2[_);1(/)1()2;1[_);1(/)1(

)1;1[_);0(/

)(/

DtisiiPSiD

iDttisiiPSttisiiPSttisiiPS

tisiPS

iPSγβα

S/P

0


Dmax

Pente α


S/P (0)

t2

Pente βPente γ

t3 t4

115



Nous ne considérons plus les cadences du ratio de sinistralité constantes pendant la période [t3 ; t4) et

l’année t4. Nous supposons qu’elles diminuent avec une pente γ. A partir du t4, les S/P diminuent

constamment jusqu’à la durée maximale Dmax. La méthodologie reste la même :pour le calcul de la valeur

optimale de chaque paramètre nous avons implémenté une nouvelle macro Excel.

Modèle choisi

Les modèles à deux et trois paramètres ne donnent pas une prédiction satisfaisante des cadences du ratio

sur l’horizon de projection, à cause de l’insuffisance d’intervalles analysés. Celui à quatre paramètres nous

fournit une évolution des ratios très proche de la courbe générée par la modélisation décrite dans la partie

II. Les modèles à cinq, six où sept paramètres donnent des bonnes prédictions, mais ils n’apportent pas

beaucoup plus d’information que celui à quatre paramètres. En plus, ils nécessitent un temps d’analyse

beaucoup plus élevé dû à l’augmentation du nombre de paramètres.

Les calculs pour chaque modèle étant très laborieux, nous avons décidé de présenter seulement les résultats

numériques et la formule mathématique générée par le modèle qui fournit la meilleure prédiction du ratio

de sinistralité c’est-à-dire le modèle à quatre paramètres.

4.2.2. Formule mathématique de l’évolution du ratio de sinistralité

Nous cherchons donc les valeurs des paramètres du modèle choisi pour chaque classe de portefeuille, afin

de donner la prédiction de l’évolution du ratio de sinistralité à partir de la formule mathématique suivante

(voir le modèle à quatre paramètres pour plus de détails) :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−⋅+−

−∈−

∈−⋅+∈

=

max];3[_);1(/1max

max)3;2[_);1(/

)2;1[_);1(/)1()1;1[_);0(/

)(/

DtisiiPSiD

iDttisiiPS

ttisiiPStisiPS

iPSα

Les valeurs numériques des paramètres α, t1, t2, t3 pour chaque classe de portefeuilles, dans les trois

régimes étudiés (croissance, croisière et décroissance) sont présentées dans les annexes. Nous présentons ici

les courbes théoriques obtenues :

116



Evolution S/P - durée moyenne 3 - 7 ans

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30


S/P

S/P - age 25 - 39 ans;croisière 0%S/P - age 40 - 49 ans; croisière 0%S/P - age 50 - 65 ans;croiss 0%S/P - age 25 - 39 ans;croissance 30%S/P - age 40 - 49 ans;croissance 30%S/P - age 50 - 65 ans;croissance 30%S/P - age 25 - 39 ans;décroissance -30%S/P - age 40 - 49 ans;décroissance -30%S/P - age 50 - 65 ans;décroissance -30%

Pente< 0

t1=0 t2=t2=5

Figure 4-4 Evolution du ratio selon la formule mathématique – classe I de portefeuilles

Nous remarquons que pour la classe I de portefeuilles, correspondante à une durée moyenne de contrats

comprise entre 3 et 7 ans, les cadences du ratio prédites ont des valeurs très proches, qui diminuent chaque

année, indifféremment de l’âge moyen du portefeuille. Nous avons donc une pente α négative. En plus, en

partant d’un ratio S/P initial, les cadences ne dépassent jamais cette valeur, le portefeuille générant chaque

année des gains. Cette situation est tout à fait normale et elle est due à la durée courte des contrats, comme

dans le cadre des crédits à la consommation. Les valeurs approximatives des paramètres t1, t2, t3 sont

données dans la figure précédente. Nous observons que les S/P diminuent chaque année suivant la pente α,

et que t1=0 et t2=t3. Le ratio ne reste jamais constant d’une année à l’autre. Pour analyser toutes les

valeurs exactes prises par les paramètres en fonction de la classe et du régime, consulter les annexes.

117




0%10%

20%30%

40%50%

60%70%

80%90%

0 3 9 2 15 18 21 24 27 30


S/P

6 1

S/P - age 25 - 39 ans;croisière 0%S/P - age 40 - 49 ans;croisière 0%S/P - age 50 - 65ans;croisière 0%S/P - age 25 - 39 ans;croissance 30%S/P - age 40 - 49 ans;croissance 30%S/P - age 50 - 65 ans;croissance 30%S/P - age 25 - 39 ans;décroisssance -30%S/P - age 40 - 49 ans;décroissance -30%S/P - age 50 - 65 ans;décroissance -30%t1=0 t2 t2

Pente< 0

Figure 4-5 Evolution du ratio selon la formule mathématique – classe II de portefeuilles

Pour la classe II de portefeuilles, c’est-à-dire pour des durées moyennes qui varient entre 8 et 11 ans, nous

commençons à mieux distinguer les différences provoquées par l’âge moyen du portefeuille et par le régime

suivi. Les portefeuilles jeunes (d’âge moyen entre 25 et 39 ans) pour lesquelles le risque couvert par

l’assureur est faible, génèrent une cadence de ratios de sinistralité moins élevé que dans le cas des

portefeuilles vieux (d’âge moyen entre 50 et 65 ans), où le risque décès est plus élevé. La probabilité que les

personnes jeunes puissent rembourser en totalité les crédits pris est plus forte que dans le deuxième cas.

Dans le cas d’un régime de croissance de la production nous nous retrouvons avec plus de contrats récents

par rapport un régime médian de croisière, et donc avec un nombre d’assurés soumis au risque plus

important et pendant une durée plus longue. Cela explique les ratios plus élevés du S/P par rapport à un

régime de croisière.

A l’inverse, dans le cas d’un régime de décroissance nous avons un portefeuille ancien, avec plus de contrats

vieux que de contrats récents, et donc avec moins d’assurés soumis au risque et pendant moins longtemps.

Les montants des crédits sont aussi plus faibles. Les ratios de sinistralité générés par un portefeuille en

régime de décroissance sont moins élevés par rapport aux régimes de croissance et de croisière.

118



Les valeurs approximatives des paramètres t1, t2, t3 sont données dans la figure précédente. Nous

observons que les S/P diminuent chaque année suivant une pente plus faible que pour les classes de type I

pente α. Nous avons t1=0 et t2 différent de t3. Le ratio reste constant pendant la période [t2 ; t3).


0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

160%

180%

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30


S/P

S/P - age 25 - 39 ans;croisière 0%S/P - age 40 - 49 ans;croisière 0%S/P - age 50 - 65 ans;croisière 0%S/P - age 25 - 39 ans;croissance 30%S/P - age 40 - 49 ans;croissance 30%S/P - age 50 - 65 ans;croissance 30%S/P - age 25 - 39 ans;décroissance -30%S/P - age 40 - 49 ans;décroissance -30%S/P - age 50 - 65ans;décroissance -30%

Pente< 0

Pente> 0

t1>0 t2 t3

Figure 4-6 Evolution du ratio selon la formule mathématique – classe III de portefeuilles

Pour la classe III de portefeuilles, c’est-à-dire pour des durées moyennes qui varient entre 12 et 14 ans, tous

les paramètres du modèle ont des valeurs différentes de zéro. Nous rappelons ici qu’en partant d’un ratio de

sinistralité initial, l’évolution du rapport entre le montant des sinistres à payer et le montant de primes

perçues reste constante pendant la période [0 ; t1). A partir de l’année t1, les valeurs du ratio ont tendance à

augmenter ou à diminuer avec un pente α, positive où négative, jusqu’à l’année t2 de la projection. La pente

est positive pour les portefeuilles vieux, d’âge moyen 40 ans où plus, et pour les portefeuilles plus risqués,

en régime de croissance. Elle est négative pour les portefeuilles jeunes où en décroissance, qui sont moins

risqués. Entre l’année t2 et l’année t3 de la projection le ratio devient de nouveau constant. A partir du t3,

les S/P diminuent constamment jusqu’à l’extinction des contrats en Dmax.

119




0%

100%

200%

300%

400%

500%

600%

700%

0 3 9 12 15 18 21 24 27 30


S/P

6

S/P - age 25 - 39 ans;croisière 0%S/P - age 40 - 49 ans;croisière 0%S/P - age 50 - 65 ans;croisière 0%S/P - age 25 - 39 ans;croissance 30%S/P - age 40 - 49 ans;croissance 30%S/P - age 50 - 65 ans;croissance 30%S/P - age 25 - 39 ans;décroissance -30%S/P - age 40 - 49 ans;décroissance -30%S/P - age 50 - 65 ans;décroissance -30%t1 t2

Pente> 0

t3

Figure 4-7 Evolution du ratio selon la formule mathématique – classe IV de portefeuilles

La classe IV de portefeuilles est caractérisée par des durées moyennes longues qui varient entre 15 et 17

ans. Nous observons sur la figure au-dessus que dans le cas d’un portefeuille vieux en régime de croissance

le S/P peut atteindre des valeurs inacceptables pour l’assureur, de plus de 500%, c’est-à-dire une énorme

perte. Nous remarquons aussi que l’allure de la courbe reste similaire à celle de la classe III, à la différence

qu’elle présente une plus forte augmentation du ratio de sinistralité. Comme expliqué auparavant, les ratios

obtenus pour les régimes de croissance sont plus élevés que dans le cas d’une décroissance de la production

des contrats.

La classe V contient les portefeuilles de durées moyennes très longues, entre 18 et 22 ans. Nous obtenons

dans cette situation des ratios qui augmentent encore plus que dans la situation précédente. Cette classe

contient les portefeuilles les plus défavorables pour l’assureur, car le S/P dépasse de beaucoup la valeur de

100% pendant la plus grande partie de l’horizon de projection.

120




0%

100%

200%

300%

400%

500%

600%

700%

800%

0 3 9 12 15 18 21 24 27 30

nnée de projection

S/P

6

A

S/P - age 25 - 39 ans;croisière 0%S/P - age 40 - 49 ans;croisière 0%S/P - age 50 - 65 ans;croisière 0%S/P - age 25 - 39 ans;croissance 30%S/P - age 40 - 49 ans;croissance 30%S/P - age 50 - 65 ans;croissance 30%S/P - age 25 - 39 ans;décroissance -30%S/P - age 40 - 49 ans;décroissance -30%S/P - age 50 - 65 ans;décroissance -30%

Pente>> 0

t1 t3t2

Figure 4-8 Evolution du ratio selon la formule mathématique – classe V de portefeuilles

121



122



CONCLUSION

La mesure et l’estimation de la sinistralité future sont au cœur de l’activité de l’actuaire puisqu’elles

constituent le fondement de la rentabilité des produits considérés. Les études réalisées dans ce mémoire

s’inscrivent dans le cadre du calcul de l’European Embedded Value, regroupant les métiers assurance des

emprunteurs et prévoyance individuelle pour le risque décès. L’impact majeur d’une telle étude porte sur

l’obtention de la meilleure estimation de la sinistralité future d’un portefeuille, à cause de son influence

significative sur le résultat de l’EEV et donc sur la valeur de la société.

Les résultats obtenus permettent de répondre aux questions que nous nous sommes posées au début de

cette étude, notamment en apportant une solution pour prédire la sinistralité future d’un portefeuille selon

le contexte. Dans le cadre de l’assurance des emprunteurs, les effets croisés du capital restant dû qui décroît,

et du risque décès qui augmente, agissent d’une façon opposée sur la sinistralité. Les analyses effectuées

nous ont permis de trouver que les variables discriminantes qui influencent la force de chacun de ces effets

sont : la durée moyenne des contrats, l’âge moyen du portefeuille et le taux de croissance. Dans le cadre de

la prévoyance individuelle, le capital garanti reste constant pendant la durée du contrat et seul le risque

décès augmente. D’où la croissance du ratio de sinistralité au cours du temps. Au travers de notre étude

nous avons trouvé le taux d’évolution moyen de cette croissance, en fonction de l’âge moyen du

portefeuille et du régime (croisière, croissance ou décroissance). Ainsi, les scénarios de projection obtenus

rendent possible une mesure de l’évolution de la sinistralité et même une quantification pertinente du risque

technique pour l’horizon de projection considéré, et cela, dans les deux situations : la prévoyance

individuelle et l’assurance des emprunteurs.

Pour une prédiction encore améliorée, il serait possible d’approfondir l’étude en élargissant le périmètre

d’analyse sur plusieurs pays. Pour cela, une première approche consisterait à refaire les calculs en utilisant

d’autres tables de mortalité, afin d’avoir une prédiction de la sinistralité future par pays. Ensuite nous

pourrions donner une estimation par zone géographique, en regroupant les pays qui ont la même évolution

du ratio de sinistralité sur l’horizon de projection.

123



124



BIBLIOGRAPHIE

Ouvrages [1] Petauton P. : Théorie et pratique de l’assurance vie , DUNOD, 3ème édition, 2003. [2] Hess C. : Méthode actuarielle de l’assurance vie, Economica, 2000. [3] Gourieroux C. : Statistique de l’assurance, Economica, 1999. [4] Saporta G. : Probabilités, analyse des données et statistiques, Technip, édition 2004. [5] Tassi P. : Méthodes statistiques, Economica, 2004. Manuels d’outils informatiques [1] SAS/STAT User’s Guide, Volume 1 et 2 [2] Riva Fabrice : Applications financières sous Excel en Visual Basic, Economica, 2ème édition, 2005. Mémoires d’actuariat [1] Aguir Naila : Modélisation du ratio de sinistralité pour les portefeuilles de prévoyance individuelle, mémoire master

recherche ISFA, 2006.

[2] Samama David : Etude technique des garanties décès sur des contrats de prévoyance individuelle et

d’assurance des emprunteurs, mémoire master Université Paris IX Dauphine.

Notes de doctrine interne Cardif [1] Corlosquet Marine et Felix Jean-Paul., L’European Embedded Value, note de doctrine interne, avril

2006. [2] Corlosquet Marine, Formation SAS, note de doctrine interne, 2006.

125



126



ANNEXES

ANNEXE 1 – Application de la sélection médicale – assurance des

emprunteurs

Nous allons présenter les effets de la sélection médicale sur l’évolution du ratio de sinistralité de deux

portefeuilles d’assurance des emprunteurs, un pour les crédits à la consommation et l’autre pour les crédits

immobiliers. Ils ont les mêmes caractéristiques (âge moyen 30 ans, durée moyenne des contrats 2,

respectivement 14 ans) et nous allons les étudier dans les 3 régimes (décroissance, croisière, croissance).

Afin de simuler la sélection médicale, nous appliquons un taux d’abattement de 30% sur les probabilités de

décès utilisées pour la modélisation des sinistres (celles des primes restent inchangées) et pendant une

période de sélection définie de 5 ans (λ ).

Crédit à la consommation

Nous présentons dans le tableau suivant les valeurs des primes, des sinistres et des ratios obtenues pour les

trois régimes, en ayant appliqué la sélection médicale :

Taux

croiss


0 1 2 3 4

-30% Sinistres [Euro*103]

1 177,87 352 ,63 68,166 0 0

Primes [Euro*103] 1 472,33 1 087,65 341,16 0 0

Résultante S/P [%]

80% 32,42% 16,99% 0% 0%


1 723,94 654,92 149,94 0 0

Primes [Euro*103] 2 154,42 1 711,79 825,30 0 0

Résultante S/P [%]

80% 38,26% 18,17% 0% 0%


2 654,85 1 011,00 205,28 0 0

Primes [Euro*103] 3 318,06 2 752,66 1 076,82 0 0

Résultante S/P [%]

80% 36,74% 12,06% 0% 0%

Table 1 Cadence de S/P obtenue pour un portefeuille d’assurance des emprunteurs – crédit à la consommation –

avec sélection médicale

127



Evolution du ratio S/P su l'horizon de projection - avec sélection médicale

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

0 1 2 3


S/P

[%]

Régime décroissance(-30%) - avecsélection médicaleRégime croisière(0%) - avec sélectionmédicaleRégime croissance(+30%) - avecsélection médicale

Figure 1 Evolution du ratio S/P – assurance des emprunteurs – crédit à la consommation – avec sélection médicale

Dans le cadre des crédits à la consommation, l’application de la sélection médicale réduit le ratio de

sinistralité pendant toute la période pendant laquelle elle est appliquée. Comment nous avons déjà expliqué,

en réalité, les assureurs n’appliquent pas souvent la sélection médicale pour ce type de crédits car le montant

couvert est assez faible (entre 1 000 et 10 000 euros) et que le risque de décès n’augmente pas beaucoup

pendant la durée des contrats (qui est de maximum 5 ans).


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

0 1 2 3


S/P

[%

S/P - Régimecroisière - sanssélection médicaleS/P - Régimecroisière - avecsélection médicale

Figure 2 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de croisière

128



Nous pouvons remarquer sur ce graphe l’impact de la sélection médicale sur un portefeuille en régime de

croisière. Il nous donne un scénario médian dans la mesure où on considère ici que le nombre de nouvelles

souscriptions est uniformément réparti sur la période de production des nouveaux contrats (c’est-à-dire

entre -30 et 0). Comme nous pouvons le voir, l’évolution du ratio de sinistralité a l’allure de la courbe d’un

portefeuille sans sélection médicale, sauf qu’il ne faut pas oublier que nous partons dans le deux cas d’un

ratio de sinistralité fourni par les chargés de pays (que nous le considérons à 80%). Donc l’application de la

sélection médicale entraîne une baisse de la sinistralité pendant la période où elle est appliquée (ici pendant

toute la durée des contrats).


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

0 1 2 3


S/P

[%] S/P - Régime croissance

- sans sélection médicaleS/P - Régime croissance- avec sélection médicale

Figure 3 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de croissance

129




0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

0 1 2 3


S/P

[%]


Figure 4 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de décroissance

Crédit immobilier

Nous présentons dans le tableau suivant les valeurs des primes, des sinistres et des ratios obtenues pour un

portefeuille de crédits immobiliers dans les trois régimes, en ayant appliqué la sélection médicale :

Taux

croiss

Année de projection 0 1 2 3 4 5 6

-30% Sinistres [Euro*103] 161 701 156 214 152 633 145 075 138 115 129 756 120 979

Primes [Euro*103] 202 124 199 121 194 847 188 164 176 307 164 208 155 107

Résultante S/P [%]

80% 78,45% 78,34% 77,10% 78,34% 79,02% 78,00%

0% Sinistres [Euro*103] 185 283 180 678 177 982 173 961 169 818 159 694 149 086

Primes [Euro*103] 231 603 229 183 223 183 217 184 207 404 195 970 183 207

Résultante S/P [%]

80% 78,84% 79,95% 80,10% 71,88% 81,49% 81,38%

30% Sinistres [Euro*103] 333 433 344 169 352 184 364 006 387 065 373 346 358 203

Primes [Euro*103] 416 792 414 955 411 936 406 325 399 481 386 393 375 071

Résultante S/P [%] 80% 82,94% 85,49% 89,58% 96,89%

96,62% 92,50%

130



7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

111 147 101 417 90 719 81 596 71 103 60 191 50 725 41 321 32 114 23 432 13 872 7 301

143 667 129 020 117 415 99 485 88 547 72 867 57 505 51 162 38 088 32 457 25 738 16 754

77,36% 78,61% 77,26% 82,02% 80,30% 82,60% 88,21% 80,77% 84,32% 72,19% 53,90% 43,58%

139 081 128 213 117 443 106 825 95 053 82 838 71 199 59 768 48 888 38 321 28 514 19 079

169 017 153 213 134 341 116 930 108 120 92 140 78 015 63 030 51 703 38 392 29 909 23 128

82 ,29% 83 ,68% 87,42% 91,36% 87,92% 89,90% 91,26% 94,82% 94,55% 99,82% 95,34% 82,49%

342 814 327 013 311 037 292 960 272 813 251 278 227 556 201 955 174 269 145 341 117 049 90 744

350 814 322 151 299 203 273 891 247 175 220 214 197 710 173 880 149 052 124 458 103 323 82 151

97,82% 101,51% 103,96

%

106,96

%

110,37% 114,11% 115,10% 116,15% 116,92% 116,78% 113,23% 110,46%

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

2 576 375 0 0 0 0 0 0 0 0

7 745 2 785 554 0 0 0 0 0 0 0

33,24% 13,48% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

10 978 6 662 2 795 613 0 0 0 0 0 0

13 829 7 986 3 571 980 985 0 0 0 0 0

79,39% 83,43% 78,26% 62,55% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

66 417 44 558 27 516 14 575 6 976 984 0 0 0 0

55 972 43 603 24 920 14 293 8 708 1 449 0 0 0 0

118,66% 102,19% 110,42% 101,97% 80,11% 67,89% 0% 0% 0% 0%

Table 2 Cadence de S/P obtenue pour un portefeuille AdE de crédits immobiliers – âge moyen 30 ans, de durée

131



moyenne 14 ans, dans les 3 régimes (croisière, croissance, décroissance) – avec sélection médicale

Evolution du ratio S/P sur l'horizon de projection - avec sélection médicale

0,00%20,00%40,00%60,00%80,00%

100,00%120,00%140,00%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28


S/P

[%]

Régime décroissance (-30%) - avec sélectionmédicaleRégime croisière (0%) -avec sélection médicale

Régime croissance(+30%) - avec sélectionmédicale

Figure 5 Evolution du ratio S/P – assurance des

emprunteurs – crédit immobilier – avec sélection médicale

Dans le cadre des crédits immobiliers, l’application de la sélection médicale réduit le ratio de sinistralité

pendant toute la période pendant laquelle elle est appliquée, mais étant donnée que cette dernière est courte

(5 ans) par rapport à la durée maximale des contrats (30 ans), l’impact en est de beaucoup réduit.


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

0 2 4 6 8 10121416182022242628


S/P

[%]

S/P - Régime croisière- sans sélectionmédicaleS/P - Régime croisière- avec sélectionmédicale

Figure 6 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de croisière

132




0,00%20,00%40,00%60,00%80,00%

100,00%120,00%140,00%

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28


S/P

[%] S/P - Régime croissance

- sans sélection médicaleS/P - Régime croissance- avec sélection médicale

Figure 7 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de croissance


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

0 2 4 6 8 10 121416 1820 222426 28


S/P

[%]


Figure 8 Comparaison de l’évolution du ratio S/P – avec et sans sélection médicale – régime de décroissance

133



134



ANNEXE 2 – Taux d’évolution moyen du ratio S/P – prévoyance

individuelle

Nous présentons les valeurs du taux d’évolution moyen du ratio de sinistralité sur l’horizon de projection

pour toutes les classes de portefeuilles :

• Régime croissance (taux = 30%)


Age moyen

portefeuille

Taux d’évolution

moyen classeµ

Coefficient détermination

R²


I – 2 35 à 45 ans 7,01% 0,9691

I – 3 45 à 55 ans 7,50% 0,9931

I – 4 55 à 65 ans 7,81% 0,9742


II – 2 35 à 45 ans 7,94% 0,9963

II – 3 45 à 55 ans 8,76% 0,9803

II – 4 55 à 65 ans 8,91% 0,9928


III – 2 35 à 45 ans 8,49% 0,9901

III – 3 45 à 55 ans 8,66% 0,9932

III – 4 55 à 65 ans 8,53% 0,9857


IV – 2 35 à 45 ans 8,35% 0,9976

IV – 3 45 à 55 ans 8,19% 0,9871

IV – 4 55 à 65 ans 7,83% 0,9651 Table 1 Taux moyens d’évolution pour toutes les classes

d’âges – régime croissance

135



• Régime décroissance (taux = –30%)


Age moyen

portefeuille

Taux d’évolution

moyen classeµ

Coefficient détermination

R²


I – 2 35 à 45 ans 6,41% 0,9893

I – 3 45 à 55 ans 7,09% 0,9919

I – 4 55 à 65 ans 7,43% 0,9948


II – 2 35 à 45 ans 7,59% 0,9728

II – 3 45 à 55 ans 8,49% 0,9815

II – 4 55 à 65 ans 8,66% 0,9941


III – 2 35 à 45 ans 8,26% 0,9820

III – 3 45 à 55 ans 8,50% 0,9792

III – 4 55 à 65 ans 8,38% 0,9698


IV – 2 35 à 45 ans 8,20% 0,9937

IV – 3 45 à 55 ans 7,98% 0,9850

IV – 4 55 à 65 ans 7,27% 0,9827 Table 2 Taux moyens d’évolution pour toutes les classes

d’âges – régime croissance

136



ANNEXE 3 – Paramètres de la formule mathématique – assurance des

emprunteurs

Rappelons le modèle à quatre paramètres choisi pour la prédiction de l’évolution du ratio de sinistralité sur

l’horizon de projection :

Paramètres :

• pente α

• année t 1• année t 2• année t 3

Entrées :

• S/P (0)


Formule :

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈−⋅+−

−∈−

∈−⋅+∈

=

max];3[_);1(/1max

max)3;2[_);1(/

)2;1[_);1(/)1()1;1[_);0(/

)(/

DtisiiPSiD

iDttisiiPS

ttisiiPStisiPS

iPSα

S/P

Pente α

0


Dmax t1

S/P (0)

Année de projection i t2 t3

137



Nous présentons ici les valeurs obtenues pour les quatre paramètres du modèle,

α_,3,2,1 pentettt , dans les trois régimes de fonctionnement et pour chaque classe de

portefeuille.

• Régime décroissance (taux = –30%)


Age moyen

portefeuille t1 t2 t3 Pente α

Classe I – 3 à 7 ans 25 à 39 ans 0 5 5 -0,2015

I – 2 40 à 49 ans 0 5 5 -0,1981

I – 3 50 à 64 ans 0 4 5 -0,2011

Classe II – 8 à 11 ans 25 à 39 ans 0 8 10 -0,0761

II – 2 40 à 49 ans 0 9 10 -0,0752

II – 3 50 à 64 ans 0 8 11 -0,0676

Classe III – 12 à 14 ans 25 à 39 ans 3 10 15 -0,0325

III – 2 40 à 49 ans 4 11 16 -0, 210

III – 3 50 à 64 ans 8 14 17 0,0093

Classe IV – 15 à 17 ans 25 à 39 ans 6 18 21 0,0211

IV – 2 40 à 49 ans 6 19 22 0,0364

IV – 3 50 à 64 ans 7 19 23 0,0870


IV – 2 40 à 49 ans 3 19 23 0,0389

IV – 3 50 à 64 ans 4 22 25 0,0890 Table 1 Valeurs des quatre paramètres pour toutes les

classes d’âges – régime décroissance

• Régime croisière (taux = 0%)


Age moyen



I – 2 40 à 49 ans 0 5 5 -0,1657

I – 3 50 à 64 ans 0 5 5 -0,1740

138




II – 2 40 à 49 ans 0 9 11 -0,0566

II – 3 50 à 64 ans 2 9 12 -0,0450

Classe III – 12 à 14 ans 25 à 39 ans 3 11 17 -0,0189

III – 2 40 à 49 ans 7 13 18 0,0002

III – 3 50 à 64 ans 9 17 18 0,0412


IV – 2 40 à 49 ans 3 21 25 0,0443

IV – 3 50 à 64 ans 4 24 26 0,1078


IV – 2 40 à 49 ans 3 21 25 0,0491


classes d’âges – régime croisière

• Régime croissance (taux = 30%)


Age moyen



I – 2 40 à 49 ans 0 5 5 -0,1580

I – 3 50 à 64 ans 0 5 5 -0,1638


II – 2 40 à 49 ans 0 10 12 -0,0426

II – 3 50 à 64 ans 2 10 13 -0,0268

Classe III – 12 à 14 ans 25 à 39 ans 3 11 18 0,0002

III – 2 40 à 49 ans 7 15 19 0,0236

III – 3 50 à 64 ans 9 18 20 0,0771


IV – 2 40 à 49 ans 6 23 25 0,0651

IV – 3 50 à 64 ans 7 24 26 0,1290


IV – 2 40 à 49 ans 3 22 26 0,0599


classes d’âges – régime croissance

139

Documents

MODELISATION DU RATIO DE SINISTRALITE D’UN PORTEFEUILLE … · 2018-11-07 · Daria Ioana BATIU iii Modélisation du ratio de sinistralité d’un portefeuille pour le calcul de