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C O L E P O L Y T E C H N I Q U EF DR A L E D E L A U S A N N
E
Christophe Ancey
Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)
cole Polytechnique Fdrale de Lausanne
cublens
CH-1015 Lausanne
Notes de cours
Mcanique des fluidesUne introduction lhydraulique pour les
ingnieurs civils
version 12.1 du 2 mars 2016
-
TABLE DES MATIRES 1
Table des matires
1 Proprits des fluides 9
1.1 Dfinition physique dun fluide . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Matire divise : dispersions, suspensions, mulsions . . . .
. . . . . . . . . . . 12
1.2 Dfinition rhologique dun fluide . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Viscosit des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Manifestation lchelle macroscopique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 19
1.4 Tension de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Similitude 29
2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Objet de la thorie de la similitude . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Invariance dchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Units de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Principaux nombres adimensionnels . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 36
2.4.1 Mthode de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2 Thorme de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 38
2.4.3 Application no 1 du thorme : force de trane . . . . . . .
. . . . . . . . . . 39
2.4.4 Application no 2 du thorme : puissance dune explosion
nuclaire . . . . . . 42
2.4.5 Application no 3 du thorme : loi de Manning-Strickler . .
. . . . . . . . . . 43
2.5 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Similitude en ingnierie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
2.6.2 Similitude en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.3 Courbe matresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 48
3 Statique des fluides 51
3.1 Origine physique de la pression dans les fluides . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Loi de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Principe dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 54
3.2.3 Calcul des forces de pression en pratique . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 54
-
2 TABLE DES MATIRES
3.3 Mesure de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 quations de bilan 57
4.1 Thormes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Vue gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Thorme de transport en dimension 1 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 58
4.1.3 Gnralisation et thorme de Reynolds . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 63
4.1.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 64
4.1.5 Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 64
4.1.6 Conservation de lnergie, thorme de Bernoulli . . . . . . .
. . . . . . . . . . 67
4.2 Quelques applications du thorme de Bernoulli . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Formule de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Intrusion dun courant de gravit . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 72
4.2.3 Tube de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 74
5 coulement surface libre 75
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 75
5.2 Hydraulique des canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.1 Charge totale et charge spcifique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 91
5.2.2 Courbes de remous obtenues par lquation de Bernoulli . . .
. . . . . . . . . . 95
5.3 Rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.1 Relation dquilibre pour un rgime permanent uniforme . . .
. . . . . . . . . . 97
5.3.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3.3 Justification physique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.4 Hauteur normale selon la section dcoulement . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 104
5.4 Rgime permanent non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.1 Canal large . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.2 Canal quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.3 Courbes de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.4 Classification des rgimes dcoulement . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 111
5.4.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 113
5.5 Courbes de remous et coulement critique . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5.1 Hauteur critique et rgimes associs . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 113
5.5.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 116
5.5.3 Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 120
5.5.4 Effet dun obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 126
6 coulements laminaires et turbulents 133
6.1 quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1 Bases thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 133
-
TABLE DES MATIRES 3
6.1.2 Forme gnrique des quations de Navier-Stokes . . . . . . .
. . . . . . . . . . 134
6.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 Base phnomnologique du comportement newtonien . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 137
6.3 Mthodes de rsolution des quations de Navier-Stokes . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 139
6.3.1 Exprience de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 139
6.3.2 Exprience de Trouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 141
6.4 Adimensionalisation des quations . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.1 Choix des chelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.2 Rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 146
6.5 coulements domins par la viscosit . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 147
6.5.1 Sdimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 147
6.5.2 coulement dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 148
6.5.3 Effet coin dhuile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 150
6.6 Couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6.2 quation de la couche-limite . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 154
6.6.3 quation de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 155
6.7 La turbulence ou les limites du modle newtonien (laminaire)
. . . . . . . . . . . . . . 157
6.8 Moyenne des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 162
6.9 Problme de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.10 Exemple dapplication : coulement sur un plan inclin . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 166
Annexe 171
A Rappels de mathmatiques 173
A.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . .
. . . . . . . . . . . 173
A.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 175
A.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 176
A.1.4 Calcul des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 178
A.2 Quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 179
A.2.1 Oprateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 179
A.2.2 Oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 180
A.2.3 Oprateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 181
A.2.4 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire . .
. . . . . . . . . . 182
A.2.5 Quelques relations sur les oprateurs . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 184
B Rappels de mcanique des milieux continus 185
B.1 Quelques lments de cinmatique . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 185
B.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 185
B.2 Trajectoires et lignes de courant . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
B.2.1 coulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 187
-
4 TABLE DES MATIRES
B.2.2 coulement non permanent . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 188
B.3 Dformation et rotation dun volume de fluide . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 189
B.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 189
B.3.2 criture matricielle de W et D . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 191
B.3.3 Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement .
. . . . . . . . . . . . . 192
B.3.4 Interprtation de W : vitesse de rotation . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 193
B.4 Quelques lments de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 195
B.4.1 Types de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 195
B.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . .
. . . . . . . . . . . . . 195
B.4.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 196
B.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans diffrents systmes .
. . . . . . . . . . . . . 198
B.5.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 198
B.5.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 199
C Proprits thermodynamiques 201
C.1 Premier et second principes . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 201
C.2 Chaleurs spcifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 202
C.3 Chaleur latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
C.4 Vaporisation et cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Bibliographie 207
-
TABLE DES MATIRES 5
Avant-propos
Il sagit dun recueil de notes contenant les principales notions
du cours ainsi que les formules utiles connatre. Il ne sagit pas
dun cours complet de mcanique des fluides. Le support complet de
moncours peut tre trouv travers :
les deux ouvrages Hydrodynamique et Hydraulique de Graf &
Altinakar ; le manuel de cours Mcanique des fluides de Rhyming ; le
cours mcanique des fluides : une introduction par Botsis &
Deville ; louvrage Constructions hydrauliques de Sinniger &
Hager.
tous publis aux PPUR (collection Traits de Gnie Civil pour les
ouvrages de Graf & Altinakaret Sinniger & Hager). Un grand
nombre des donnes biographiques donnes travers les
diffrentschapitres sont issues du livre du prof. Willi Hager de
lETHZ Hydraulicians in Europe 18002000 publi par lInternational
Association of Hydraulic Engineering and Research (Delft,
2003).
Jemploie les notations usuelles modernes :
les exemples sont le plus souvent introduits laide de Exemple.
et on indique la findun exemple par le symbole qed ;
les parties qui peuvent poser des problmes dinterprtation sont
indiques par le symbole dansla marge ;
les dmonstrations un peu techniques (qui peuvent tre sautes en
premire lecture) sont signalespar le symbole h ;
les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; les variables
scalaires sont en italique ; les fonctions, oprateurs, et nombres
sans dimension sont en roman ; le symbole O (O majuscule) signifie
est de lordre de ; le symbole o (o minuscule) signifie est
ngligeable devant ; je nemploie pas la notation D/Dt pour dsigner
la drive particulaire, mais d/dt (quil ne
faudra donc pas confondre avec la diffrentielle ordinaire selon
t). Je considre que le contexteest suffisant pour renseigner sur le
sens de la diffrentielle et prfre garder le symbole D/Dtpour
dautres oprations diffrentielles plus complexes ;
le symbole veut dire proportionnel ; le symbole ou veut dire peu
prs gal ; les units employes sont celles du systme international :
mtre [m] pour les longueurs, seconde
[s] pour le temps, et kilogramme [kg] pour la masse. Les units
sont prcises entre crochets ; pour la transpose dune matrice ou dun
vecteur, jemploie le symbole en exposant : A veut
dire transpose de A .
Remerciements pour les relecteurs suivants : Damien Bouffard,
Steve Cochard, Nicolas An-dreini, Sbastien Wiederseiner, Martin
Rentschler, Maxime Trolliet, Madeleine Bouchez, Jonas Haller,Scott
Favre, Franois Gallaire, Roberto Siccardi, Arnaud Eggimann.
Ce travail est soumis aux droits dauteurs. Tous les droits sont
rservs ; toute copie, partielle oucomplte, doit faire lobjet dune
autorisation de lauteur.
La gestion typographique du franais a t ralise avec LATEX laide
du package french.sty de Ber-nard Gaulle. Les figures A.1, A.2, et
1.2 ont t ralises partir du code PSTricks de F. Vandenbrouck.La
figure A.3 est de Manuel Luque.
-
6 TABLE DES MATIRES
Nomenclature
variable significationa rayon dune particuleB largeur au miroirC
coefficient de ChzyCf coefficient de frottementc clrit des ondesD
tenseur des taux de dformationD diamtre dune conduitee nergie
interne massiquef coefficient de frottement (Darcy-Weissbach)g
acclration de la gravith hauteur dcoulementhc hauteur critiquehn
hauteur normaleH charge de lcoulementHs charge spcifiquei pente dun
biefj vecteur courant (p. ex. flux de chaleur)jf pente de
frottementk vecteur normal unitairek nergie cintique massiquek
conductivit hydrauliqueks rugositK coefficient de Manning-Strickler
chelle de longueur largeurm longueur de mlangeL longueur
caractristiquemp masse dune particulen vecteur normal unitairep
pressionp hauteur de pelle (pour un seuil)P chelle de pressionQ
dbitQ chaleurq dbit par unit de largeurR rayon de courbureR
constante des gaz parfaitsRH rayon hydrauliqueRe nombre de
ReynoldsS section dcoulementS entropieT tenseur des
extra-contraintes (appel encore partie
dviatorique)t tempsT tempratureu vitesse, composante de la
vitesse dans la direction
xu vitesse de glissement, vitesse de cisaillementu vitesse
moyenne selon la hauteur dcoulementu vitesse moyenne dans le tempsu
vitesseu fluctuation de vitesse
-
TABLE DES MATIRES 7
variable significationU chelle de vitesseus vitesse de
sdimentationv vitesse, composante de la vitesse dans la
direction
yv vitesse quadratique moyennev vitesseV volume de contrleW
tenseur des taux de rotation
Symboles grecs et autres
variable signification diffusion thermique primtre mouill
fonction de Dirac petite variation dformation tension de surface
taux de cisaillement rapport daspect conductivit thermique
constante de von Krmn viscosit dynamique potentiel de vitesse
fonction de dissipation fonction de vitesse potentiel gravitaire
nergie totale nombre sans dimension masse volumique contrainte
contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillementp
contrainte de cisaillement la paroi variable de similitude1 tenseur
identit oprateur nabla
-
9
1Proprits des fluides1.1 Dfinition physique dun fluide
1.1.1 tats de la matire
Il y a trois tats de la matire (voir figure 1.1) pour un corps
simple :
solide : matriau faible temprature ; liquide : matriau
temprature moyenne et pression suffisamment leve ; gaz : matriau
temprature suffisamment leve et faible pression.
b
b
b
b
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(a) (b) (c)
Figure 1.1 : reprsentation idalise des trois tats de la matire :
(a) solide (rseau ordonn de mol-cules/atomes), (b) fluide
(collection dense et dsordonne de molcules), (c) gaz (collection
dilue et trsagite de molcules).
Les diffrents tats occups par un corps simple peuvent tre
reprsents dans un diagramme p,T , V comme le montre la figure 1.2.
Les surfaces grises reprsentent des tats purs o un seul
tatsubsiste, alors que la surface blanche reprsente lensemble des
tats o deux phases peuvent co-exister.Le point C est appel point
critique.
Ltat solide est un tat organis de la matire : les arrangements
entre molcules prsentent unordre relativement stable dans le temps.
Les tats gazeux et liquide reprsentent la matire en dsordre :il
nexiste pas dordre privilgi dans lagencement des molcules car
celles-ci sont perptuellement enmouvement. Un fluide au repos
lchelle humaine est en fait, lchelle molculaire, en
perptuelleagitation.
Les tats gazeux et liquide prsentent des similarits : ce sont
des fluides. Un fluide na pas de formepropre : plac dans un
rcipient, il adopte les formes du rcipient. Il existe galement des
diffrencesnotables : un liquide a une surface libre ; si lon place
un liquide dans un bol, on observe une interfacenette, appele
surface libre, entre ce liquide et le gaz environnant. Un gaz a
tendance occuper toutle volume qui soffre lui. Un gaz na donc pas
de surface libre.
lchelle atomique, ces diffrences peuvent sexpliquer assez
simplement : un gaz est une collectiontrs dilue de molcules ou
datomes. Si d reprsente la taille dune molcule, alors la distance
entre deuxmolcules est de lordre de 10d. Dans le cas dun liquide,
cette distance intermolculaire est beaucoupplus faible, de lordre
de d en gnral. Cela a des rpercussions considrables sur les
interactions
-
10 1. Proprits des fluides
b
C
L/G
S/L
S/G
P
V
T
S L
G
Fluide
Figure 1.2 : diagramme schmatique des phases dun corps simple
dans un espace pression (p), temprature(T ), et volume (V ).
entre molcules : pour un gaz, les molcules se rencontrent
rarement et interagissent principalement aumoment des collisions
par des changes de quantit de mouvement. Pour un liquide, les
interactions sontbien plus frquentes et sont dune nature diffrente
: il sagit le plus souvent dinteraction lectrostatiquedattraction
ou de rpulsion. La figure 1.3 montre le potentiel dinteraction V
(r), dit de Lennard-Jones 1, et la force dinteraction qui en
dcoule
V (r) = 4
((d
r
)12
(d
r
)6)
,
o r est la distance depuis le centre de la molcule et est le
potentiel dadhsion de deux molcules( kT pour du mthane ou de
largon). Aux faibles distances r/d < 1, linteraction est une
trsforte rpulsion qui soppose linterpntration des atomes, puis vers
r d la force devient ngative :deux molcules voisines se sentent
attires, mais cette force dattraction diminue trs rapidementavec r.
Il sagit des forces de Van der Waals 2. Les molcules polyatomiques
simples (comme leau)peuvent galement porter des charges lectriques,
qui donnent naissance des forces lectrostatiquesdattraction ou de
rpulsion sensiblement plus fortes que les forces de Van der Waals
dues aux atomesqui les composent.
Notre connaissance des proprits dun gaz est bien plus avance que
celle des liquides. Ds lafin du xixe sicle, reprenant des ides
formules par de nombreux physiciens de Bernoulli Clausius,les
physiciens Maxwell et Boltzmann 3 ont labor les bases de la thorie
dite thorie cintique des
1. Edward Lennard-Jones (18941954) tait un mathmaticien anglais,
considr comme un des pionniers de la chimiemolculaire. Ses travaux
ont port sur les forces intermolculaires, la valence, la catalyse
de surface, et la structuremolculaire.
2. Johannes Diderik van der Waals (18371923) tait un physicien
hollandais. Instituteur, il sest passionn pour laphysique et a
consacr son temps libre ses recherches. Son mmoire de thse
prsentait une thorie importante sur lesgaz ; il fut honor par le
prix Nobel en 1910.
3. Les physiciens anglais et autrichien James Clerk Maxwell
(18311879) et Ludwig Eduard Boltzmann (18441906)sont deux monuments
de la physique. Ils sont les auteurs de vritables tours de force.
Maxwell est surtout connu pourses travaux sur le magntisme ; les
quatre quations connues aujourdhui sous le nom dquations de Maxwell
sont laformalisation (par un mathmaticien anglais, Oliver
Heaviside) de ses travaux. Maxwell a fait aussi des avances
majeuresen thermodynamique. Boltzmann est considr comme le pre de
la mcanique statistique puisquil a cr la plupartdes outils encore
utiliss aujourdhui. Mme si lide des atomes est trs vieille
(Dmocrite en parlait dj cinq siclesavant notre re), cest bien
Boltzmann qui a fourni une thorie complte et rigoureuse. Trs
critiqu par ses confrres (lathorie de lther prvalait la fin du xixe
sicle), Boltzmann sen trouva trs affect et se suicida. Il fallut
attendre lesexpriences de Planck sur le corps noir et dEinstein sur
leffet photolectrique pour quon rende justice ses travaux.
-
1.1 Dfinition physique dun fluide 11
0 1 2 3 4 5
r/d
0
1
2
3
V(r
)/
Figure 1.3 : potentiel de Lennard-Jones (trait continu) et force
drive f = dV/dr (courbe en tiret) enfonction de la distance r du
centre de la molcule. Pour un corps simple comme largon (Ar), on a
d = 0,34nm et = 120kB K2, avec kB = 1,380 1023 J/K, kB la constante
de Boltzmann.
gaz , qui permet dexpliquer les proprits macroscopiques des gaz
(notamment la relation entrepression et temprature) en se fondant
sur une description simplifie des interactions
molculaires(mouvements alatoires avec des changes de quantit de
mouvement lors des collisions). Cette thoriea galement marqu le
fondement de la mcanique statistique, branche de la physique qui
vise tablirles proprits macroscopiques de la matire partir du
comportement lmentaire des molcules. ce jour, aucune thorie
cintique des liquides aussi simple et performante que la thorie
cintique desgaz nexiste. Cette difficult caractriser le
comportement liquide se retrouve en thermodynamiquelorsquon cherche
tablir une quation dtat, cest--dire une relation entre pression p,
tempratureT , et volume V (ou masse volumique) : f(V, p, T ) = 0.
La loi de Boyle-Mariotte 4 est lquation dtatla plus simple quon
puisse imaginer
pV = xRT,
avec p la pression, V le volume du gaz, x le nombre de moles, T
la temprature, et R la constantedes gaz parfaits (R = 8,31 = kBNA
J/K/mol, avec NA le nombre dAvogadro). Elle a t tablie la fin du
xviie sicle indpendamment par les physiciens Boyle et Mariotte
partir dexpriences delaboratoire. De nos jours, on utilise une
variante de cette loi, connue sous le nom de loi de Van derWaals,
qui est plus prcise
(
p+a
V 2
)
(V b) = xRT,
avec a et b deux constantes, qui dpendent du gaz. Il nexiste pas
dquation pour un liquide car onne peut pas relier simplement la
pression et la temprature.
La manipulation des concepts de base de la thorie cintique et de
lois empiriques comme laloi des gaz parfaits permet daboutir des
ordres de grandeur trs bons pour des gaz simples (gazmonoatomique
comme largon) et relativement corrects pour des gaz plus complexes.
Mme si lathorie cintique ne permet pas de prdire le comportement de
tous les gaz, les explications quellesdonnent sont qualitativement
correctes et sappliquent la plupart des fluides. Lide de base est
queles particules sont sans cesse agites. Ainsi, pour un gaz au
repos, si la vitesse moyenne est nulle, lavitesse instantane des
particules ne lest pas. On peut faire une dcomposition de la
vitesse instantaneu en une vitesse moyenne u (nulle quand le gaz
est au repos) et une vitesse fluctuante u : u = u + u,
4. Robert Boyle (16261691) tait un aristocrate anglais passionn
par la physique. Il est lorigine de la Royal Societyof London
(lquivalent de lAcadmie des Sciences en France) et a fortement
plaid en faveur des sciences exprimentales.Edme Mariotte (16201684)
tait un ecclsiastique, physicien et botaniste franais. La loi des
gaz parfaits fut dtermineindpendamment par Boyle (1662) et Mariotte
(1676).
-
12 1. Proprits des fluides
avec u = u (moyenne dans le temps de la vitesse) et u = 0. Si on
calcule la vitesse quadratique
u2 = u u = (u + u)2 = u2 + 2u u + u2,
et quon prend la valeur moyenne
u2 = u2 + 2u u
0
+u2,
on peut dfinir la quantit v =
u2 comme tant la vitesse quadratique moyenne ; pour un fluideau
repos, cette vitesse donne une chelle de variation des fluctuations
de vitesse et on lappelle vitessethermique ou vitesse dagitation
thermique. Pour un gaz dilu, les agitations des particules crent
desfluctuations de quantit de mouvement, qui on le verra par la
suite, peuvent tre interprtes lchellemacroscopique comme une force.
La force par unit de surface dun gaz au repos sappelle la
pressionet la thorie cintique montre que sil y a n atomes de masse
m par unit de volume, alors la pressionse dfinit partir de la
vitesse quadratique
p =13nmv2,
or daprs la loi de Boyle-Mariotte, la pression lchelle
macroscopique est p = nkT (puisque lenombre de moles x renferment
xNA molcules dans un volume V ), do lon dduit immdiatement
v =
3kBTm
,
ce qui montre que lagitation thermique ne dpend que de la
temprature et de la masse des atomes.
Exemple. Considrons un gaz de masse atomique 14 g/mol (azote) la
pression atmosphriqueet temprature ordinaire (T = 20 C= 293 K). On
tire que la densit particulaire n vaut n =p/kB/T = 105/293/(1,38
1023) = 2,47 1025 atomes/m3. La vitesse dagitation est donc
v =
3 1,38 293 6,0214 103 720 m/s !
On se rapportera lannexe C pour plus dinformations sur les
proprits thermodynamiques des
fluides.
1.1.2 Matire divise : dispersions, suspensions, mulsions
Tous les fluides ne sont pas de purs liquides ou gaz. On
rencontre des fluides o deux phases enquilibre thermodynamique
coexistent. Par rapport aux liquides purs, la prsence de particules
(bulles de gaz, particules solides, gouttelettes) induit la prsence
dune multitude dinterfaces entre leliquide (phase continue) et les
particules (phase disperse), qui peuvent radicalement changer la
naturedu mlange. On distingue :
les dispersions : ce sont des mlanges de particules trs fines
(taille infrieure 1 m). Cesont souvent des particules collodales
telles que des argiles. Les dispersions ne sdimentent
passpontanment et il est donc trs difficile de filtrer une eau
contenant des particules argileusesfines. En revanche, ce sont des
mlanges trs sensibles chimiquement tout ce qui peut modifierla
nature des interactions entre particules. La simple modification du
pH dune solution affecteconsidrablement le comportement des
interfaces des particules, ce qui produit des variationsbrutales de
comportement mcanique lchelle macroscopique. Par exemple, en
ajoutant du selde cuisine sur un gel pour cheveux, on peut liqufier
le gel (constitu de chanes polymriques) ;
les suspensions : ce sont des mlanges de particules fines ou
grossires (taille suprieure 1 m),en gnral sans interaction
collodale entre elles. Contrairement aux dispersions, les
suspensions
-
1.2 Dfinition rhologique dun fluide 13
sdimentent (plus ou moins rapidement selon la taille des
particules et les conditions de sdimen-tation) et peuvent tre
filtres mcaniquement. En gnral, les suspensions sont peu
sensiblesaux variations chimiques du liquide. Du sable fin (sable,
limon, silt) peut tre transport ensuspension dans un cours deau
;
les mulsions : ce sont des mlanges de fines gouttelettes dun
liquide dans un autre. Les mulsionsen gel sont des mulsions trs
concentres o les gouttelettes ne peuvent quasiment plus sedplacer
les unes par rapport aux autres. La plupart des liquides tant non
miscibles, les mulsionssont trs courantes. Le lait ou bien la
mayonnaise sont des exemples dmulsion de globules degraisse dans
une phase aqueuse. Comme pour les dispersions collodales, la
physique de cesmlanges est dicte par le comportement des
interfaces. Un problme important est la stabilitdes mulsions
(coalescence des gouttelettes, sparation des phases). Les mousses
sont des casparticuliers dmulsion o les gouttelettes sont des
bulles de gaz (voir figure 1.4). Leau blanchequi se forme dans les
cours deau trs forte pente ou bien lcume des vagues sont des
mulsionsdair dans de leau ; la cavitation dans les conduites peut
amener la formation dmulsions.
Figure 1.4 : la mousse dun caf est un mlange de bulles de gaz
dans un liquide.
1.2 Dfinition rhologique dun fluide
Un fluide est le plus souvent dcrit comme un milieu continu,
dformable, et scoulant. Ainsi,quoique discret lchelle molculaire,
un gaz comme lair peut tre dcrit comme un milieu continu notre
chelle dobservation, cest--dire que lon peut ngliger le
comportement individuel des molcules(un cube de 1 m de ct contient
3 107 molcules !) et dcrire le comportement local laide dechamps
vectoriels continus. Ainsi le champ vitesse u(x,t) signifie la
vitesse du fluide la position x etau temps t (ce que lon mesure
avec un appareil comme un tube de Pitot) et correspond physiquement
la vitesse moyenne des molcules contenues dans un voisinage
infinitsimal autour de x. Cetteapproximation de milieu continu est
trs utile car elle permet dtudier le comportement mcaniquedes
fluides laide dune relation liant contraintes et vitesses (taux) de
dformation et quon appelle loi de comportement . La loi de
comportement la plus simple est la loi newtonienne, selon
laquelleles tenseurs des contraintes et des taux de dformation sont
relis linairement par lintermdiaire dunparamtre appel viscosit ;
cest ce que lon va voir dans la section suivante. Lcoulement dun
fluidedpend foncirement de la loi de comportement. Comme le montre
la figure 1.5, les lignes de courantvarient fortement selon que le
fluide scoule comme un fluide newtonien en rgime laminaire (
droite)ou que son coulement prend la forme dun coulement potentiel
( gauche).
Tous les matriaux sont dformables et peuvent tre considrs comme
fluide si lon attend suf-fisamment longtemps. Cest donc lchelle de
temps qui est importante. On introduit cet effet unnombre sans
dimension dit de Dborah 5 :
De =trte,
5. Ce nombre a t appel ainsi en rfrence un passage dans la
Bible, o la prophtesse Dborah dclara lesmontagnes scouleront avant
le Seigneur , ce qui fut interprt par les rhologues modernes comme
la premireaffirmation que tout scoule si on attend suffisamment
longtemps.
-
14 1. Proprits des fluides
avec tr temps de relaxation du matriau et te le temps de
lexprience (ou de lobservation). Si De 1,le matriau se comporte
comme un fluide et inversement si De 1, il se comporte comme un
solide.Par exemple, un glacier est fluide lchelle gologique (voir
figure 1.6) !
Un fluide peut tre compressible, cest--dire le volume quil
occupe change avec la pression appli-que. Ainsi, les gaz peuvent
facilement changer de volume, mais les liquides sont caractriss par
unetrs faible compressibilit. Un fluide compressible peut scouler
volume constant. On dit alors quelcoulement est isochore. faible
vitesse, un coulement dair est isochore : on peut ngliger
toutevariation de volume du gaz. En revanche, trs grande vitesse,
le gaz va se comprimer et on ne peutplus ngliger la compressibilit
de lair ; un phnomne caractristique est londe de choc (une
sautebrutale de la masse volumique du gaz) lors du passage du mur
du son par un avion supersonique. Enaronautique, on se sert ainsi
du nombre de Mach, rapport de la vitesse de lobjet sur la vitesse
duson, comme indice servant caractriser limportante de la
compressibilit dans la dynamique du gaz.
-
1.2 Dfinition rhologique dun fluide 15
(a)
(b)
Figure 1.5 : coulement permanent dun fluide visqueux autour dun
solide de section rectangulaire, avec gauche (a) un coulement
potentiel dans une cellule de Hele-Shaw (fluide : eau) et droite
(b) un coulementde Stokes tridimensionnel (Re = 0,02 ; dans ce
dernier cas, on note lapparition de zones mortes, siges devortex
(fluide : glycrine). Source : S. Taneda et D.H. Peregrine in (Van
Dyke, 1982). Pour limage (b) onvisualise lcoulement dans une
cellule de Hele-Shaw, qui est un dispositif exprimental compos de
deuxplaques parallles, trs rapproches, ce qui permet de crer des
coulements bidimensionnels. Quoi que dansun rgime laminaire
(coulement de Stokes), de tels coulements prsentent un champ
cinmatique similaire celui dun coulement potentiel. Un coulement
est dit potentiel lorsque le champ de vitesse est le gradientdune
fonction scalaire appele potentiel . Ce type dcoulement est trs
important sur le plan thorique caril sert dcrire des coulements de
fluide parfait (ou fluide dEuler), cest--dire des fluides pour
lesquels il nya aucune dissipation dnergie (par frottement
visqueux). En pratique, un coulement potentiel sert dcriredes
coulements en rgime turbulent loin de toute paroi. Dans le cas
prsent, lcoulement potentiel autourdun obstacle rectangulaire est
donc une idalisation dun coulement turbulent autour dun obstacle
sans effetde couche limite et de sillage (cest--dire prcisment deux
effets dus au frottement du fluide sur les parois delobstacle), des
effets qui seront tudis au chapitre 6 ; lcoulement est alors
gouvern par un quilibre entregradient de pression et termes
inertiels (acclration). Pour limage(b), on visualise un coulement
laminairedit de Stokes. Cest coulement purement visqueux, sans
effet inertiel. La dynamique de lcoulement estalors entirement
commande par lquilibre entre termes de frottement visqueux et
gradient de pression. Ontudiera ces coulements au chapitre 6.
-
16 1. Proprits des fluides
Figure 1.6 : tout scoule, mme les montagnes [DR] !
Figure 1.7 : passage du mur du son par un avion militaire [DR].
Londe de choc induit un changementbrutal de pression, qui provoque
la condensation de la vapeur deau et la formation de
micro-gouttelettes quimatrialise londe de choc aux abords de
lavion.
-
1.3 Viscosit des fluides 17
1.3 Viscosit des fluides
1.3.1 Manifestation lchelle macroscopique
Beaucoup de fluides de lenvironnement courant sont des fluides
newtoniens. Ces fluides se carac-trisent notamment par une
dpendance linaire des contraintes et des vitesses de dformation.
Ainsi,Newton montra que lorsquon cisaille un fluide (voir figure
1.8)
il se produit une force de rsistance du fluide contre cette
action de cisaillement ; cette force est proportionnelle au taux de
cisaillement, ici U/h [1/s].
h
U
ex
ey
Figure 1.8 : cisaillement dun fluide entre deux plaques
parallles espaces dune distance h ; la plaquesuprieure se dplace la
vitesse U .
Si on dfinit la contrainte de cisaillement comme la force par
unit de surface [Pa=N/m2], alorson a la relation :
= U
h,
o est le coefficient de viscosit dynamique [en Pas]. On
introduit aussi une viscosit cinmatique = / [en m2/s] (cette
relation sert par exemple dans la dfinition du nombre de Reynolds).
Lunitde mesure de la contrainte est le Pascal [Pa], cest--dire 1 Pa
= 1 N/m2. On verra plus loin auchapitre 6 que cette loi empirique
scrira
= , (1.1)
avec le taux de cisaillement ou gradient de vitesse, qui dans le
cas particulier examin ici prend lavaleur U/h.
La viscosit dpend foncirement de la temprature du liquide : en
gnral, elle diminue avec latemprature (plus la temprature est leve,
plus lagitation molculaire est grande, moins le fluideoppose de
rsistance). Ainsi, la viscosit de leau liquide vaut 1,8 103 Pas
pour T = 0 C, 1,0 103 Pas pour T = 20 C, 0,35 103 Pas pour T = 80
C, et 0,28 103 Pas pour T = 100 C.Pour un gaz, cest linverse : on
observe une augmentation de la viscosit avec la temprature.
Letableau 1.1 donne les valeurs des viscosits pour leau et lair
temprature ambiante ainsi que lamasse volumique. Le tableau 1.2
donne la viscosit dynamique pour des produits courants.
Tableau 1.1 : quelques valeurs de viscosit T = 20 30 C.
kg/m3 Pas m2/s
eau 1000 103 106
air 1,17 2105 1,6 105
retenir que lunit de la viscosit dynamique est le Pas (unit du
systme international ou USI).Auparavant on employait le poiseuille
(1 Po = 1 Pas) ou le poise (le plus souvent le centipoise) : 1Pas =
10 Po = 100 cPo. Pour la viscosit cinmatique, on emploie le m2/s ;
certains ont recours austokes (St) 1 St = 1 cm2/s = 104 m2/s et 1
cSt = 1 mm2/s = 106 m2/s.
1.3.2 Origine physique
La viscosit des gaz monoatomiques dilus peut sexpliquer assez
simplement laide de la thoriecintique. Pour des gaz polyatomiques
ou concentrs, les prdictions de cette thorie sont un peu
moinsbonnes. Pour les liquides, le sujet a t abord depuis
longtemps, mais reste encore trs dbattu.
-
18 1. Proprits des fluides
Tableau 1.2 : quelques valeurs de viscosit de matriaux familiers
temprature ordinaire.
(Pas)air 2 105eau 103
huile dolive 0,1miel 1 10sirop drable 100bitume 108
Considrons lexprience de Newton, o le gaz est cisaill entre deux
plaques. lchelle atomique,les molcules vont en moyenne dans la
direction x, mais sont galement en perptuelle agitation.
Consi-drons deux couches voisines et parallles de molcules, dont le
mouvement moyen est un glissementrelatif selon x. Si le libre
parcours moyen 6 des molcules est , alors lordre de grandeur de la
spara-tion entre deux couches dans la direction y est 2. Une
molcule est anime dune vitesse fluctuantedue lagitation thermique,
qui est isotrope et qui prend donc une valeur v(T )
T dans toutes les
directions v = (v, v), et dune vitesse moyenne u(y) selon la
direction x. La vitesse instantane estdonc la somme de ces deux
vitesses u = (u+ v, v).
y
y +
x x + x
n
Figure 1.9 : thorie cintique trs simplifie : on considre un
volume de contrle compris entre deux couchesde glissement lchelle
molculaire.
Considrons un petit volume de contrle entre deux couches, long
de x, comme le montre lafigure 1.9. Du fait de lagitation
thermique, chaque instant, peu prs n/6 molcules passent delaltitude
y + y (les autres vont dans les autres directions de lespace), o n
dsigne le nombremoyen de molcules par unit de volume ( ne pas
confondre avec la normale n). Le flux lmentairede quantit de
mouvement pour une particule entrant dans le volume scrit sur la
face suprieure (laltitude y + )
(y + ) = m(u n)ux = m(v(T )u(y + )
v(T )2
)
x,
avec n la normale la facette. Comme il y a en n/6 particules
entrant dans le volume par unit detemps, on dduit que le flux
tangentiel (dans la direction x) scrit donc x(y+) = nmvu(y+)x/6.On
fait de mme avec la facette intrieure sachant que les flux latraux
ne comptent pas (flux nul car levolume est pris entre deux couches
adjacentes) et on tire que le flux est x(y) = nmvu(y)x/6.Le flux
total tangentiel par unit de longueur est donc
t =x(y + ) + x(y )
x=nmv
6(u(y + ) u(y )) nmv
3dudy+O(),
quand on fait un dveloppement limit au premier ordre. On peut
faire de mme avec le flux normal,mais comme la vitesse fluctuante
ne dpend que de la temprature, on trouve que les deux
composanteslmentaires du flux sont de signe oppos et il ny a donc
pas de flux de quantit de mouvement dans
6. Le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par
une molcule entre deux collisions.
-
1.3 Viscosit des fluides 19
la direction y. Comme on peut interprter un flux de quantit
comme une contrainte, on en dduitque ce flux tangentiel quivaut une
contrainte de frottement tangentiel
= dudy,
avec = nmv/3
le coefficient de viscosit. Grce la thorie cintique, on peut
expliquer le comportement newtoniendes gaz, mais galement calculer
le coefficient de viscosit dynamique, notamment prvoir sa
variationavec la temprature : T , ce qui est bien vrifi
exprimentalement.
1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens
Dans ce cours, on sintresse essentiellement des fluides
newtoniens. Pour un fluide newtonien temprature constante et plac
dans un coulement dit en cisaillement simple, la contrainte de
cisaille-ment est relie au taux de cisaillement (gradient de
vitesse) par la relation linaire (1.1). Autrement dit,si lon trace
le rapport = / en fonction du taux de cisaillement, on obtient une
droite horizontale,comme le montre la figure 1.10.
110 010 210 310110210
110
010
110
rho-fluididiant
rho-paississant
newtonien
Figure 1.10 : loi de viscosit pour diffrents types de
fluide.
Tous les fluides ne vrifient pas cette relation ou bien la
vrifient partiellement. Par exemple,lhuile de cuisine est
newtonienne, mais la mayonnaise ne lest pas : si on place de la
mayonnaise sur uneassiette et quon incline lgrement cette assiette,
rien ne se passe. En fait, il faut exercer une contrainteminimale
pour que la mayonnaise scoule. On dit que la mayonnaise possde un
seuil de contrainte.On peut faire une exprience en plaant un objet
la surface de la mayonnaise : un cornichon a toutesles chances de
rester la surface tandis quon peut facilement y enfoncer une
cuillre. Le seuil decontrainte peut empcher la sdimentation dun
corps si la pression exerce par ce corps est infrieure ce seuil. Si
lon trace la relation = f() pour un tel fluide, on obtient une
courbe comme cellereporte sur la figure 1.12, avec une valeur non
nulle de la contrainte de cisaillement quand le tauxde cisaillement
tend vers 0. Les fluides non newtoniens possdent des proprits
parfois stupfiantesqui les distinguent des fluides newtoniens. Par
exemple, leffet Weissenberg sert caractriser defaon simple un
comportement non newtonien : un fluide newtonien mis en rotation a
tendance secreuser sous leffet des forces centrifuges, mais un
liquide polymrique (constitu de longues chanesde macromolcules)
senroule autour du cylindre (voir figure 1.11) comme sil tait
aspir.
Dautres fluides nont pas de seuil de contrainte, mais une
viscosit qui dpend du taux de cisaille-ment. On distingue ainsi
deux classes de comportement (voir figure 1.10) :
comportement rho-paississant : plus le taux de cisaillement est
important, plus la rsistancedu fluide est grande. Cela se traduit
souvent par des comportements exprimentaux de la forme n, avec n
> 1. Dans les produits alimentaires, les produits base damidon
sont le plussouvent rhopaississants (cest aussi en partie pour
cette raison quon les utilise pour paissir une sauce) ;
-
20 1. Proprits des fluides
Figure 1.11 : effet Weissenberg. Cest la remonte dun liquide
polymrique le long dun cylindre plong dansun bain et mis en
rotation.
comportement rhofluidifiant : plus le taux de cisaillement est
important, plus la rsistance dufluide est faible. Exprimentalement,
on observe des variations de la forme n, avec n < 1.Le ketchup
est un produit rhofluidifiant. Certaines peintures possdent cette
proprit pourfaciliter leur application ; elles peuvent galement tre
thixotropes : lapplication dune contrainteprovoque une
dstructuration du matriau, entranant une chute de viscosit, qui
varie au coursdu temps (si le matriau est laiss au repos, il
retrouve sa structure originale et donc sa viscositoriginale).
1
10 0
102
103
101
102
10
110
010
110
Figure 1.12 : loi dcoulement = f() pour un fluide seuil.
noter que la plupart des matriaux un tant soit peu complexes
sont non newtoniens, maison emploie frquemment lapproximation de
fluide newtonien car assez souvent on travaille sur unegamme
restreinte de taux de cisaillement et que dans ce cas-l,
lapproximation peut tre correcte.Par exemple, on parle de viscosit
dun glacier lorsquon fait des calculs de fluage approximatifs surde
trs grandes chelles de temps.
-
1.4 Tension de surface 21
1.4 Tension de surface
La tension de surface est une proprit des fluides, qui sont
attirs ou repousss lorsquils sont encontact avec un solide, un
liquide, ou un gaz. Cette proprit est importante puisquelle
explique lastabilit des gouttes de pluie dans latmosphre, les
larmes du vin, le dplacement des insectes lasurface de leau, les
proprits anti-adhrence de certains ustensiles de cuisine, les
mulsions en cuisine,leffet du savon, les remontes capillaires dans
les solides poreux, etc. La squence de photographies1.13 montre
comment sous leffet de la tension de surface, un jet liquide se
scinde et forme une goutte.La tension de surface est un phnomne
gnral que lon rencontre pour tous les fluides ; toutefois, selonla
nature du fluide, leffet de la tension de surface peut amener des
phnomnes dallure diffrentecomme lillustre la figure 1.14 dans le
cas de ressauts capillaires avec des fluides newtonien et
nonnewtonien.
(a)
(b)
(c)
Figure 1.13 : formation dune goutte. Les ondes de surface ainsi
que la rupture de la goutte sont commandespar les effets de tension
de surface.
linterface entre deux fluides, il existe des interactions
molculaires en gnral de rpulsion : lesmilieux ntant pas miscibles,
il existe une force la surface de contact qui permet de sparer les
deuxfluides et viter leur imbrication ou leur mlange. On appelle
tension de surface ou tension capillairecette force surfacique
permettant de maintenir deux fluides en contact le long dune
interface commune.
-
22 1. Proprits des fluides
(a) (b)
Figure 1.14 : (a) formation dun ressaut capillaire avec de leau
dans un vier. (b) effet de la tension desurface provoquant une
rupture de symtrie dans le ressaut circulaire dans le cas dune
fluide non newtonien[John W. M. Bush,
http://web.mit.edu/jeffa/Public/web/jump.htm].
On la note ; a la dimension [Pam]. On lexprime parfois aussi
comme une nergie par unit desurface [J/m2]. La tension de surface
de leau en contact avec lair est = 70 103 Pam ; le tableau1.3
fournit quelques valeurs de tension de surface.
Tableau 1.3 : tension de surface de quelques liquides temprature
ambiante ou celle indique entreparenthses
Fluide [Pam]huile silicone 20 103eau 70 103thanol 23 103glycrol
63 103mercure 0,485hlium ( 4 K) 104
verre fondu (1500 K) 0,3
Si lon considre maintenant un liquide le long dune paroi solide,
on observe leffet inverse : il existedes forces dadhsion. On dira
le plus souvent que le fluide est mouillant sil est attir par le
solide : unegoutte deau a ainsi le plus souvent le caractre dun
fluide mouillant. On dit quil est non mouillantlorsquil est repouss
par la surface solide ; cest par exemple ce quon cherche produire
en fabriquantdes ustensiles de cuisine avec des revtements en tflon
pour viter ladhsion des graisses ou bienquand on farte les skis
avec des farts fluors. La figure 1.15 montre un exemple
dapplication en legnie civil avec la couverture du stade de la
Maracan Rio-de-Janeiro (Brsil). La figure 1.16 montrela forme dune
goutte sur un support plan en fonction de son caractre mouillant.
Langle que formela goutte avec le support solide est appel angle de
contact. Pour un fluide en quilibre statique, cestune grandeur
constante, qui ne dpend que des proprits (nergies de surface) du
solide, du liquide,et du gaz. Si le fluide nest plus au repos, la
valeur de langle varie avec la vitesse et la direction
delcoulement.
Considrons un cadre mtallique surmont dune barre mobile. On
plonge lensemble dans de leausavonneuse (la mme solution qui sert
faire des bulles de savon), puis on le retire. On constate quela
barre roule immdiatement vers la gauche. Il faut exercer une
force
F = 2,
pour immobiliser la barre. Le facteur 2 correspond aux deux
interfaces liquide/air de part et dautredu cadre.
-
1.4 Tension de surface 23
Figure 1.15 : pour le projet de rhabilitation du stade Maracan
de Rio de Janeiro pour le Mondial de footballet les Jeux
Olympiques, les concepteurs ont prvu de couvrir les gradins laide
dune enveloppe comportantun film plastique couvert de tflon pour
viter limprgnation (qui serait prjudiciable au poids que
doiventsupporter les poutres de la structures) et faciliter le
drainage (dans un climat subtropical, les pluies peuventtre trs
intenses). Source : http://placar.abril.com.br.
(a)
(b)
Figure 1.16 : goutte sur une surface solide dans le cas dun
fluide au repos (a) mouillant et (b) non mouillant.
Cette exprience montre donc que la force de tension agit comme
une force normale ( la barre)proportionnelle la longueur de film
(en contact avec la barre). De manire gnrale, la force rsultantde
la tension de surface sur tout lment de longueur ds de la surface
libre oriente par la normale nest
dF = n ds. (1.2)Si on prend par une surface solide en contact
statique avec un liquide (voir figure 1.18), on trouve
F = t =
sin cos
0
avec le primtre de lobjet en contact avec linterface et langle
de linterface; un facteur 2 peuttre ncessaire lorsquil sagit dun
film avec deux interfaces. On note ainsi que la composante
verticale
http://placar.abril.com.br/wp-content/uploads/2012/06/projeto-maracana-divulgacao.jpg
-
24 1. Proprits des fluides
F
film
de
savon
film
air
F
force applique par lexprimentateur
barre cylindrique
cadre
Figure 1.17 : la tension de surface cre une force normale la
tige.
de la force est maximale larrachage, cest--dire lorsquon retire
lobjet du bain et que la force detension est oriente verticalement
( 0 dans lquation ci-dessus). Dans le cas prsent, langle
delinterface correspond aussi la dfinition de langle de contact
.
n
t
s
y
x
d
Figure 1.18 : la tension de surface cre une force normale au
plan (ds, n). La direction de cette force estdonc donne par t.
Cest ce principe qui est exploit dans un appareil appel
tensiomtre (de Lecomte du Noy)qui sert mesurer la tension de
surface : il sagit de placer un petit anneau la surface du liquide
donton veut mesurer la tension, puis de mesurer la force ncessaire
son soulvement. Si le rayon intrieurest R1, le rayon extrieur R2,
lpaisseur de lanneau e, cette force scrit
F = 2(R1 +R2) + ge(R22 R21),
avec le second terme correspondant au poids de lanneau. En gnral
ce poids est trs faible et R2 R1 R = 12 (R2 +R1) de telle sorte
quon peut crire :
F 4R.
On peut mesurer de faon trs prcise la tension de surface avec ce
simple appareil.
Quand on place une petite entit de fluide dans un autre fluide,
cette entit isole prend la formedune goutte sphrique si rien ne
vient (comme un mouvement du fluide environnant) sopposer cette
forme. En effet, la forme sphrique est la forme qui minimise
lnergie de surface, cest--direlnergie que doit dpenser la particule
pour viter que du fluide environnant ne pntre dans la
goutte.Considrons une goutte de rayon R dun fluide au repos immerge
dans un autre fluide au repos. Lapression dans la goutte est pi ;
celle dans le fluide extrieur est pe ; voir figure 1.20. La goutte
est lquilibre si le travail des forces de surface est contrebalanc
par le travail des forces de pression (onsuppose quon augmente
virtuellement le rayon dun incrment dR et on impose que la goutte
retrouve
-
1.4 Tension de surface 25
h
2R1 2R2
F
Figure 1.19 : tensiomtre de Noy.
sa position dquilibre, donc tous les travaux des diffrentes
forces doivent se compenser) :
travail lmentaire des forces Wp de pression (force de volume) :
pression incrment de volume= p d
(43R
3), avec p = pi pe ;
travail lmentaire des forces Wt de tension (force de surface) :
tension incrment de surface= d
(4R2
).
2R
ep
ip
Figure 1.20 : goutte en quilibre.
On doit avoir Wp + Wt = 0. En diffrentiant, puis en simplifiant,
on trouve :
p = pi pe =2R. (1.3)
Cest la loi de Laplace 7. travers toute interface entre deux
fluides, il existe une saute de pressiongale 2/R. Cette loi peut se
gnraliser des surfaces libres non sphriques
p = pi pe = (
1R
+1R
)
, (1.4)
avec R et R les rayons de courbure principaux. Attention, si on
considre une bulle sphrique au lieu dune goutte, lintrieur et
lextrieur de la bulle sont composs de gaz et ils sont spars par un
filmavec deux interfaces, donc la loi de Laplace est dans ce cas
particulier
p = pi pe = 4
R.
Il faut aussi prendre garde lemploi de cette loi lorsque la
surface libre est concave (comme dansle cas de la remonte
capillaire dun fluide mouillant, voir lexemple de la loi de Jurin
plus bas) : la
7. Pierre-Simon Laplace (17491827) a t un mcanicien et
mathmaticien franais la fin du xviiie sicle et dbut duxixe sicle.
Ses travaux ont port sur des problmes de mcanique cleste, o il
analysa linteraction laide dquationsdiffrentielles, de mathmatiques
(loi de probabilit, transforme de Laplace), et de la thermomcanique
des fluides(changement dtat des corps).
-
26 1. Proprits des fluides
pression du fluide est alors plus petite qu lextrieur. Il faut
donc considrer que le rayon de courbureest algbrique : R > 0
pour une surface convexe et R < 0 pour une surface concave.
La tension de surface permet dexpliquer la remonte capillaire le
long dune paroi solide. Eneffet, exprimentalement on observe que la
surface libre dun liquide ne forme pas un angle droit avecune
paroi, mais est lgrement incurve vers le haut (liquide mouillant)
ou vers le bas (liquide nonmouillant). Lordre de grandeur de la
remonte capillaire est obtenu en galant la pression
(supposehydrostatique) due la gravit et la saute de pression due
aux forces capillaires, ce qui donne daprslquation (1.4)
gh R, (1.5)
avec R le rayon de courbure et h la remonte capillaire, R et o
lon a nglig la pressionatmosphrique (voir figure 1.21). En faisant
lapproximation R h, on dduit lordre de grandeursuivant
h2 = O(
g
)
.
h
x
y
Figure 1.21 : remonte capillaire le long dune paroi solide dans
le cas dun fluide mouillant.
Ce calcul peut se faire plus rigoureusement en intgrant lquation
(1.5) et en se servant de ladfinition du rayon de courbure
R(x) =(1 + y2)3/2
y,
o y(x) est lquation de la surface libre. Pour rsoudre cette
quation, on a besoin dune conditionaux limites. Celle-ci est donne
exprimentalement par langle que forme le liquide avec la paroi
solide,angle qui est appel angle de contact. En partant de lquation
diffrentielle gy(x) = /R(x) associe la condition aux limites y(0) =
cotan, en la multipliant par y, puis en intgrant une fois,
onobtient
d
(
12y2 +
g
1
1 + y2
)
= 0
ce qui veut dire que la quantit = y2 + 2/(g
1 + y2) se conserve. Comme la surface libre doitdevenir
horizontale quand x crot, on trouve que doit tre nul (car y 0 et y
0 quand x ).Lquation diffrentielle du premier ordre qui en rsulte
est assez complique, mais on peut obtenirla remonte capillaire sans
la rsoudre. En se servant de la condition aux limites y(0) = cotan,
ontrouve finalement
h2 = 2
gsin .
Une manifestation des effets de tension de surface est la
remonte capillaire due la dpressionlocale cause par la courbure de
la surface libre. Considrons un tube de petites dimensions
(diamtre
-
1.4 Tension de surface 27
2r petit devant la hauteur du tube) plong dans un liquide de
masse volumique . La pression souslinterface (point A sur la figure
1.22) est
PA = Pa 2
R,
o R dsigne le rayon de courbure (en valeur absolue) de la
surface libre suppose de forme hmisph-rique et Pa est la pression
atmosphrique. Il y a un signe ngatif devant le rayon de courbure
car ilfaut tenir compte de la concavit de la surface libre (le
mnisque de fluide forme une surface concave).Ce rayon de courbure
peut tre reli au diamtre du tube et langle de contact de la faon
suivante :r = R cos . Au point B, la pression vaut donc :
PB = PA + gh,
or ce point tant la mme altitude que la surface libre non
perturbe du liquide, la pression doit tregale la pression
atmosphrique. On en dduit donc la remonte capillaire
h =2 cos gr
. (1.6)
Cest la loi de Jurin.
h
2r
b
b
A
B
Figure 1.22 : remonte capillaire le long dun tube
cylindrique.
-
29
2Similitude2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la
similitude
2.1.1 Objet de la thorie de la similitude
Par thorie de la similitude, on entend aussi bien lanalyse des
dimensions (units physiques) desparamtres dun problme, lusage de
nombres sans dimension que le support thorique
permettantdinterprter les expriences ralises petite chelle et
visant reproduire des phnomnes complexes( grande chelle). La thorie
de la similitude est donc un ensemble de rgles qui vise :
proposer des nombres sans dimension 1 tels que le nombre de
Reynolds ou le nombre de Froude ; simplifier les quations de base
en supprimant les termes ngligeables ; diminuer le nombre de
paramtres pertinents ncessaires ltude exprimentale (mais
galement
numrique ou thorique) des phnomnes ; tablir les critres
respecter pour quune exprience chelle rduite soit reprsentative
dun
phnomne en grandeur relle (on dit alors que lexprience est en
similitude avec le phnomne) ; fournir les relations de changement
dchelle entre expriences.
Exemple. Par exemple, il est souvent trs difficile de calculer
numriquement ou thorique-ment le fonctionnement dun ouvrage
hydraulique ou le comportement dun coulement. Si cela estpossible,
il peut tre trs coteux (en temps, en argent) de faire une tude
complte. Il peut alors treintressant de procder des essais chelle
rduite en laboratoire sur des maquettes. La question estcomment
utiliser les donnes obtenues chelle rduite pour dduire les
caractristiques du phnomneen grandeur relle. Par exemple, une
avalanche de neige ou de rochers peut provoquer, en cas dimpactavec
une tendue deau, une vague dite dimpulsion. Le phnomne est
difficile tudier, notamment cause du couplage complexe entre
lcoulement gravitaire et leau. Si dans le cadre dune tude
din-gnierie, par exemple pour dimensionner une hauteur de remblai
suffisante, on souhaite calculer lescaractristiques de la vague,
une faon de procder est de raliser un modle rduit (voir figure
2.1).Le problme est alors de savoir comment passer des mesures
ralises en laboratoire aux grandeursrelles.
2.1.2 Invariance dchelle
En filigrane, il existe une notion essentielle en physique : la
notion dinvariance. Cest parce queles lois de la physique sont
invariantes par rapport tout changement dunit quelles peuvent
semettre sous des formes sans dimension ou bien quelles peuvent tre
valables pour une large plagedchelles de temps et despace. Cette
notion dinvariance permet de dboucher sur lauto-similaritde
certains phnomnes physiques. Un phnomne qui varie au cours du temps
est dit auto-similairesi les variations spatiales de ses proprits
diffrents moments se dduisent les unes des autres par
1. cest--dire qui nont pas de dimension (unit) physique.
-
30 2. Similitude
(a)
(b)
(c)
Figure 2.1 : (a) vague dimpulsion cre par un boulement rocheux
de 300 000 m3 dans un lac morainiquesous le glacier de Grindelwald
(BE) le 22 mai 2009 ; source : Tages Anzeiger. (b) schmatisation du
calcul dela vague dimpulsion. (c) essai en laboratoire.
une simple transformation similaire. En bref, si par simple
translation, rotation, et tirement, toutesles courbes peuvent tre
ramenes une seule courbe matresse, alors le phnomne est
auto-similaire.
Les solutions auto-similaires sont intressantes plus dun titre
:
lexistence dune solution auto-similaire permet de comprendre
analytiquement un processusphysique complexe, notamment le
comportement court/long terme dune solution ;
la mise en vidence de lauto-similarit fournit un moyen pratique
de reprsenter une fonctions plusieurs variables dune faon simple et
riche en interprtation physique ;
exprimentalement, les donnes issues de conditions exprimentales
diffrentes tombent sur unecourbe unique si on choisit de les
reprsenter laide des variables auto-similaires ;
il est possible de rduire une quation aux drives partielles en
diffrentielle ordinaire et/oude rduire lordre de lquation
diffrentielle, ce qui permet parfois darriver des
solutionsanalytiques.
http://www.tagesanzeiger.ch/mobile/region/thun/Wahrhaft-gewaltiges-Schauspiel/s/22267418/index.html
-
2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude 31
Pour bien comprendre cette notion dinvariance, on peut se servir
des connaissances acquises engomtrie. Par exemple, des triangles
sont dits similaires gomtriquement si le rapport de leurslongueurs
reste identique (voir figure 2.2)
=a
a=b
b=c
c,
avec le rapport de similitude, le facteur dchelle, ou lchelle.
On parle de transformation isomorphequand on transforme un triangle
en un autre par longation de ses cts dun facteur identique .
Il est possible de gnraliser cette notion en considrant des
rapports de longueur diffrents selonles axes du plan. Ainsi, une
transformation affine conserve les rapports de longueur, avec des
rapportsdiffrents selon les axes (voir figure 2.2)
x =a
aet y =
b
b,
avec x et y les rapports selon lhorizontale et la verticale.
Lors dune transformation affine, on noteque
certaines quantits sont conserves. On parle dinvariant. Par
exemple le rapport de la surfaceS et du produit des demis axes
:
s =S
ab=
S
ab= .
dautres quantits ne le sont pas. Par exemple le primtre nest pas
invariant
P = 4 /2
0
a2 cos2 + b2 sin2 d
(a)
(b)
Figure 2.2 : (a) transformation isomorphe de triangles. (b)
transformation affine dune ellipse.
Pourquoi certaines quantits se conservent et dautres non? On
parle de loi dchelle pour dfinirla relation de proportionnalit
entre une certaine grandeur et lchelle (ici gomtrique) du problme
:
le primtre P , la surface S 2, le volume V 3,
-
32 2. Similitude
avec une chelle caractristique de lobjet (voir figure 2.3).
Selon la dimension de la grandeur et ledegr de libert de la
transformation, il est possible dobtenir plus ou moins simplement
la relationqui lie cette grandeur lchelle ou bien aux rapports de
changement dchelle. Par exemple, dans lecas de la transformation
cercle (rayon a = b) en ellipse (de demis grand et petit axes a et
b) par unetransformation affine (avec deux degrs de libert x et y),
on trouve que le primtre de lellipsevaut
P = 4 /2
0
a2 cos2 + b2 sin2 d = 4 /2
0
a22x cos2 + a22y sin2 d.
En introduisant r = y/x et P = 2a, on peut crire ce primtre sous
la forme dun rapport :
P
P= f(x,y) =
2x
/2
0
cos2 + r2 sin2 d =2x
E(1 r2),
avec E une fonction spciale dite intgrale elliptique complte. Le
primtre P est donc proportionnel P via un coefficient f qui dpend
des deux paramtres dchelle x et y. Dans ce cas-ci, il nestpas
possible de relier simplement par un simple argument dimensionnel
la grandeur (primtre) auxchelles de transformation.
La thorie de la similitude cherche prdterminer la structure des
dpendances entre variableset paramtre(s) dchelle du problme.
Figure 2.3 : longueur caractristique dun objet.
2.2 Units de mesure
Dans ce cours, on utilise les units du systme international ou
systme mtrique dcimal 2. Cesystme repose sur 7 units fondamentales
:
longueur : le mtre [m] ; masse : le kilogramme [kg] ; temps : la
seconde [s] intensit lectrique : lampre [A] ; temprature : le
kelvin [K] ; intensit lumineuse : le candela [cd] ; quantit de
matire : la mole [mol].
Chaque mesure est associe un symbole, dont la typographie a t
fixe. On se sert soit de nomspropres (le symbole commence alors par
une majuscule), soit des units de base. Par exemple :
force : le newton [N] (1 N = 1 kgm/s2) ; pression : le pascal
[Pa] (1 Pa = 1 kgm1s2) ;
2. Le systme mtrique fut instaur sous la Rvolution franaise pour
remplacer les units employes sous lAncienRgime (poise, pied, etc.).
La dfinition et lusage des mesures ont t fixs la fin du xixe sicle
et au xxe sicle par laConfrence gnrale des poids et mesures. Seuls
quelques pays, dont le Royaume-Uni et les tats-Unis, nont pas
encoreadopt le systme mtrique.
-
2.2 Units de mesure 33
vitesse : [m/s] ; masse volumique : [kg/m3] ; acclration :
[m/s2] ; surface : [m2] ; dbit : [m3/s] ; nergie : le joule (1 J =
1 kgm2/s2) ; puissance : le watt (1 W = 1 kgm2/s3).
On introduit des puissances de 10 pour pondrer lunit. Les plus
usuelles en mcanique sont donnesdans le tableau 2.1.
Tableau 2.1 : nom des puissances de 10 et symbole associ.
Nom Puissance de 10 symbole
micro 106 milli 103 mcenti 102 cdci 101 ddca 101 dahecto 102
hkilo 103 kmega 106 M
Quelques rappels :
les units sont en caractre roman et non en italique : 12 m et
non 12m ; les units sont spares par un espace du nombre qui les
prcde : 12 m et non 12m ; les noms propres qui ont servi fabriquer
des units deviennent des noms ordinaires et saccordent
en consquence. Il faut ainsi noter quil ny a pas de majuscule
pour la premire lettre du nom.La seule exception concerne les degrs
: on crit degr Celsius et degr Fahrenheit ;
on crit 0 C (0 degrs Celsius 3) et 273 K (273 kelvins) ;
certains noms dunit concident avec leur symbole ; cest le cas du
bar par exemple. Dans ce
cas-l, il est possible dcrire 10 bar ou bien 10 bars selon que
bar est pris comme un symbole(invariable) ou un nom ( accorder en
consquence).
Dans la vie courante, on emploie souvent des units diffrentes :
le litre [, l, ou L] pour les volumes,le bar [bar] pour la pression
atmosphrique, etc. noter que pour le litre admet plusieurs
symboles.Initialement, le symbole tait la lettre l minuscule, mais
pour la plupart des polices de caractres,elle se distingue mal du
chiffre 1. Aussi, on lui substitue souvent la lettre L majuscule ou
la lettre rond. Certaines units qui nappartient pas au systme
international restent dun emploi courant. Parexemple, pour la
quantit dnergie absorbe ou dpense par des tres vivants, on parle
plus souventen calories (symbole cal) quen joules. Initialement, la
calorie a t introduite comme la quantit dechaleur quil faut
apporter pour lever de 1 C la temprature dun gramme deau.
Toutefois, cettedfinition est peu rigoureuse car la quantit de
chaleur ncessaire dpend en fait de la pression et dela temprature
initiale de leau. Aujourdhui, il est courant demployer la dfinition
suivante
1 cal = 4,184 joules.
On considre que la ration alimentaire dun homme sdentaire de 70
kg est voisine de 2800 kcal (11,7kJ) sil veut couvrir ses besoins
journaliers. Pour les units de puissance, principalement des
vhiculesautomobiles, on parle souvent en chevaux-vapeur (CV) 4,
dont lorigine remonte au xixe sicle quand
3. Anders Celsius (17011744) est un savant sudois, professeur
dastronomie luniversit dUppsala. Il est loriginedune chelle
relative des tempratures dont lunit, le degr Celsius (C), honore
son nom. Il participa galement uneexpdition dirige par lastronome
franais Pierre Louis Maupertuis dans la valle de la Torne, dans le
nord de la Sude(Laponie). Lobjectif tait de mesurer la longueur dun
arc de mridien de 1 afin de savoir si la terre tait aplatie ounon
au niveau des ples ; il fut montr que, conformment aux prdictions
de Newton, la terre tait bien un sphrodeaplati.
4. En France et en Belgique, il existe un cheval-vapeur fiscal,
qui sert tablir une grille de taxation en fonction dela puissance
et du rejet en CO2 des vhicules. Les Anglais emploient le horse
power (hp), avec 1 hp = 746 W.
-
34 2. Similitude
les machines vapeur ont commenc tre substitues aux chevaux pour
la traction des vhicules. Letaux de conversion est :
1 CV = 736 W.
On peut utiliser un petit moyen mnmotechnique pour dcomposer une
unit physique quelconqueen units fondamentales. Prenons lexemple du
joule ; le joule sert comme unit pour lnergie et letravail. Le
travail dune force, cest une force multiplie par une distance, donc
on a :
travail = force longueur = N m = kg m2/s2.
2.3 Principaux nombres adimensionnels
En mcanique des fluides, on est souvent amen manipuler des
groupes de variables sans dimen-sion, appels nombre adimensionnel
ou rapport de similitude . Ces groupes sont construits enfaisant
des rapports entre des termes apparaissant dans les quations du
mouvement, ce qui permetde les interprter physiquement. On
distingue ainsi
le nombre de Reynolds
Re =u
, (2.1)
avec une chelle de longueur, u une chelle de vitesse, la
viscosit du fluide, et sa massevolumique. Le nombre de Reynolds est
le plus souvent interprt comme le rapport des forcesdinertie sur
les forces de viscosit. Il sert notamment classer le rgime
dcoulement en dis-tinguant les coulements laminaires (Re 1) et les
coulements turbulents (Re 1). Si onintroduit la viscosit cinmatique
du fluide ( = /f avec f la masse volumique du fluide),alors on a
aussi : Re = u/ ;
le nombre de StokesSt =
tptf,
avec tp le temps de relaxation de la particule (le temps typique
de variation de la vitesse quand onperturbe ltat dquilibre de la
particule) et le temps caractristique du fluide (lchelle de
tempssur laquelle le fluide sajuste tout changement de la
particule). Ce nombre sert dans ltudedes coulements biphasiques
(par exemple, une suspension de particules) quantifier les
effetsbiphasiques, cest--dire le couplage entre phases. Lorsque St
1, la phase solide est entirementgouverne par la phase fluide
tandis que pour St 1, les deux phases sont dcouples. Notonsque dans
bien des problmes dintrt pratique (sdimentation de particules par
exemple), lenombre de Stokes est trouv tre proportionnel au nombre
de Reynolds. Par exemple, pour uneparticule de rayon a, de masse m
et de masse volumique p, sdimentant la vitesse us dansun fluide
newtonien au repos, on a tf = a/us et tp = mus/Fv, o Fv = 6aus est
la force defrottement visqueux. On aboutit alors :
St =29pf
usa
=
29pf
Re ;
le nombre de FroudeFr =
ugh, (2.2)
avec h une chelle de hauteur, u une chelle de vitesse, g
lacclration de la gravit. Le nombrede Froude est le plus souvent
interprt comme le rapport de lnergie cintique sur
lnergiepotentielle. Il sert notamment en hydraulique classer le
rgime dcoulement en distinguant lescoulements supercritiques (Fr
> 1) et les coulements subcritiques (Fr < 1) ;
le nombre de MachM =
u
c,
avec u une chelle de vitesse et c =
dp/d la clrit du son (ou clrit des ondes dans lair).Le nombre de
Mach sert en arodynamique valuer la compressibilit de lair. On
distingueainsi les coulements supersoniques (M > 1) et
subsoniques (M < 1) ;
-
2.3 Principaux nombres adimensionnels 35
le nombre de Pclet
Pe =u
D,
o est une chelle caractristique du systme tudi (taille de la
particule ou libre parcoursmoyen), u une chelle de vitesse, et D un
coefficient de diffusion. Le nombre de Pclet sert enrhologie et
dans ltude de la diffusion valuer leffet respectif de la convection
et de la diffusion.Lorsque Pe 1, la convection lemporte sur la
diffusion. Les particules sont donc transportes(advectes) par le
fluide. Dans le cas contraire, lorsque Pe 1, la diffusion lemporte
sur laconvection. En diffusion turbulente ou bien thermique, on
emploie le nombre de Schmidt et lenombre de Prandtl ;
le nombre de capillarit ou nombre capillaire
Ca =u
,
avec u une chelle de vitesse, la viscosit du fluide, et la
tension de surface. Ce nombre sert valuer les effets de tension de
surface, par exemple lorsquon tale un fluide ou bien dansun milieu
poreux. Lorsque Ca 1, les effets de tension lemportent sur les
forces visqueuseset rciproquement quand Ca 1, la viscosit est
tellement grande que les effets de tension desurface la surface
libre sont ngligeables. Le nombre de Bond, de Weber, et de Kapitza
sontgalement des variantes courantes du nombre de capillarit.
Dans ces diffrentes expressions, les chelles sont en gnral des
grandeurs macroscopiques caract-risant le systme tudi. Par exemple,
le nombre de Reynolds dun coulement deau dans une rivireest Re =
uh/, avec u la vitesse moyenne de leau, h la profondeur deau, et la
viscosit cinmatique.On parle de nombre de Reynolds macroscopique ou
bien de nombre d
