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Notes de cours Mécanique des fluideslivres-ebooks- · PDF fileB.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 ... et tenseurs sont en

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  • C O L E P O L Y T E C H N I Q U EF DR A L E D E L A U S A N N E

    Christophe Ancey

    Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)

    cole Polytechnique Fdrale de Lausanne

    cublens

    CH-1015 Lausanne

    Notes de cours

    Mcanique des fluidesUne introduction lhydraulique pour les ingnieurs civils

    version 12.1 du 2 mars 2016

  • TABLE DES MATIRES 1

    Table des matires

    1 Proprits des fluides 9

    1.1 Dfinition physique dun fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.1.1 tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.1.2 Matire divise : dispersions, suspensions, mulsions . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2 Dfinition rhologique dun fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3 Viscosit des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3.1 Manifestation lchelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3.2 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.4 Tension de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2 Similitude 29

    2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1 Objet de la thorie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.2 Invariance dchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2 Units de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.3 Principaux nombres adimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.4.1 Mthode de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    2.4.2 Thorme de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.4.3 Application no 1 du thorme : force de trane . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.4.4 Application no 2 du thorme : puissance dune explosion nuclaire . . . . . . 42

    2.4.5 Application no 3 du thorme : loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . . 43

    2.5 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.6 Similitude en ingnierie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6.2 Similitude en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.6.3 Courbe matresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3 Statique des fluides 51

    3.1 Origine physique de la pression dans les fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.2 Loi de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.2.1 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.2.2 Principe dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.2.3 Calcul des forces de pression en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  • 2 TABLE DES MATIRES

    3.3 Mesure de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    4 quations de bilan 57

    4.1 Thormes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.1.1 Vue gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.1.2 Thorme de transport en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.1.3 Gnralisation et thorme de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.1.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.1.5 Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    4.1.6 Conservation de lnergie, thorme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    4.2 Quelques applications du thorme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.1 Formule de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.2 Intrusion dun courant de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.3 Tube de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5 coulement surface libre 75

    5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.2 Hydraulique des canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5.2.1 Charge totale et charge spcifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    5.2.2 Courbes de remous obtenues par lquation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 95

    5.3 Rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.3.1 Relation dquilibre pour un rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . 97

    5.3.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.3.3 Justification physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    5.3.4 Hauteur normale selon la section dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    5.4 Rgime permanent non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.4.1 Canal large . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.4.2 Canal quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    5.4.3 Courbes de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    5.4.4 Classification des rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    5.4.5 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.5 Courbes de remous et coulement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.5.1 Hauteur critique et rgimes associs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    5.5.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    5.5.3 Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    5.5.4 Effet dun obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6 coulements laminaires et turbulents 133

    6.1 quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    6.1.1 Bases thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

  • TABLE DES MATIRES 3

    6.1.2 Forme gnrique des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    6.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    6.2 Base phnomnologique du comportement newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    6.3 Mthodes de rsolution des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    6.3.1 Exprience de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    6.3.2 Exprience de Trouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    6.4 Adimensionalisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    6.4.1 Choix des chelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    6.4.2 Rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    6.5 coulements domins par la viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    6.5.1 Sdimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    6.5.2 coulement dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    6.5.3 Effet coin dhuile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

    6.6 Couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6.6.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6.6.2 quation de la couche-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    6.6.3 quation de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    6.7 La turbulence ou les limites du modle newtonien (laminaire) . . . . . . . . . . . . . . 157

    6.8 Moyenne des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    6.9 Problme de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    6.10 Exemple dapplication : coulement sur un plan inclin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    Annexe 171

    A Rappels de mathmatiques 173

    A.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    A.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . 173

    A.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    A.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    A.1.4 Calcul des volumes . . .

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