Ondes mécaniques - Alain Le Rille - Physique en PC*

physique année scolaire 2018/2019

Ondes mécaniquesLes points du cours à connaître

I- Etablissement de l'équation de D'Alembert

1. Onde le long d'une corde

La �gure 1 représente On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant unaxe Ox tendue avec la tension T0, de masse linéique µ`. On néglige la pesanteur. On note~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de �l d'abscisse supérieure à x sur lapartie de �l d'abscisse inférieure à x. Le petit élément de longueur dx entre les abscisses xet x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t)petit.

Modélisation d'une corde tendue horizontalement schéma

Figure 1 � Modélisation d'une corde tendue horizontalement

Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂2y

∂t2= c2

0

∂2y

∂x2avec c0 =

√T0

µ`

1 Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tenduehorizontalement exercice

Le théorème du centre de masse s'écrit :

µ` dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)

dont la projection suivant ~ux donne :

µ` dx∂2x

∂t2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx

Aussi, on pourra considérer Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈

∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant

~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet

spé PC*1 page n◦ 1 Lycée Saint Louis


axe du théorème du centre de masse :

µ` dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x

on en déduit l'équation ∂2y∂t2

= c20∂2y∂x2

avec la célérité de l'onde

c0 =√

T0µ`.

2. Propagation du son dans un solide

Dans l'approximation des milieux continus, la dimension entre les atomes, ions ou mo-lécules (notée a) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui s'y propagent sonttelles que

a� λ

Approximation des milieux continus dé�nition

La �gure 2 représente l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueurau repos ` voit cette longueur varier de ∆` sous l'action d'une force ~F .

Elasticité d'un solide schéma

Figure 2 � Elasticité d'un solide

La loi de Hooke stipule que la force pour faire varier la longueur ` d'une barre solide desection S est proportionnelle à l'allongement ∆` :

F = E S∆`

`

où E est le module de Young (ou module d'élasticité), typiquement de l'ordre de E ≈1011 N ·m−2.

Loi de Hooke et module de Young à retenir



La �gure 3 représente On s'intéresse à une tige solide de section S, de masse volumique µ,suivant la loi de Hooke avec le module de Young E. On néglige la pesanteur.

Modélisation d'une tige solide par un milieu continu déformable schéma

Figure 3 � Modélisation d'une tige solide par un milieu continu déformable

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peuts'écrire :

∂2ξ

∂t2= c2

0

∂2ξ

∂x2avec c0 =

√E

µ

2 Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige déformableexercice

La longueur du système à vide est

` = [(x+ dx)]− [x] = dx

La longueur du système allongé est

`′ = [(x+ dx) + ξ(x+ dx, t)]− [x+ ξ(x, t)] = `+∂ξ

∂xdx⇒ ∆` =

∂ξ

∂xdx

Le théorème de la résultante cinétique donne

µS dx∂2x

∂t2= µS dx

∂2ξ

∂t2Fx(x+ dx, t)− Fx(x, t) =

∂Fx∂x

dx

En�n la loi de Hooke donne

∂Fx∂x

=∂

∂x

(E S

∆`

`

)= E S

∂

∂x

(∂ξ

∂x

)= E S

∂2ξ

∂x2

En remplaçant, on trouve µS dx∂2x∂t2

= E S ∂2ξ∂x2

dx. On a donc bien c0 =√

Eµ.

La �gure 4 représente On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sansmasse, tous identiques, de longueur à vide l0, de constante de raideur k, séparés par desparticules ponctuelles toutes identiques, de masse m. La masse numéro n est à l'abscissexn(t). On négligera la pesanteur.

Modélisation d'un solide par une chaîne in�nie de ressorts schéma



Figure 4 � Modélisation d'un solide par une chaîne in�nie de ressorts

Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peuts'écrire :

∂2ξ

∂t2= c2

0

∂2ξ

∂x2avec c0 = a

√k

m

3 Établissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne in�niede ressorts exercice

Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= md2ξndt2

= −k. (Xn + ξn −Xn−1 − ξn−1 − l0) + k. (Xn+1 + ξn+1 −Xn − ξn − l0)

En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :

d2ξndt2

=k

m(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varielentement devant a : ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t). Aussi, on pourra déterminer la déformation enx ≈ (n− 1) a et en x ≈ (n+ 1) a{

ξn+1(t) = ψ(x ≈ (n+ 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t) + ∂ψ∂xa+ ∂2ψ

∂x2a2

2

ξn−1(t) = ψ(x ≈ (n− 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t)− ∂ψ∂xa+ ∂2ψ

∂x2a2

2

L'équation de la déformation devient alors ∂2ψ∂t2

= c20∂2ψ∂x2

avec c0 = a√

km.

Le tableau 1 présente des vitesses du son dans di�érents solides.

Valeurs de la vitesse du son dans di�érents solides tableau

solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit

c0 en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0

Table 1 � Vitesse du son dans di�érents solides

3. Généralisation : équation de d'Alembert



à une dimension, ψ (x, t) suit l'équation de d'Alembert

1

c20

∂2ψ

∂t2=∂2ψ

∂x2

La célérité de l'onde c0 s'exprime en m · s−1

A trois dimensions, on peut généraliser :

1

c20

∂2ψ

∂t2= ∆ψ =

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

Equation de d'Alembert dé�nition

l'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il s'agit d'une équationaux dérivées partielles en x, y, z et t.La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition. Si ψ1 et ψ2 sont solu-tions de l'équation de D'Alembert, alors a1.ψ1 + a2.ψ2 est aussi solution (avec n'importequelles constantes a1 et a2).L'équation de D'Alembert est réversible. En e�et t→ −t laisse invariante l'équation. Enoptique, on parle de la loi du retour inverse de la lumière.

Propriétés de l'équation de D'Alembert s'y retrouver

II- Ondes planes stationnaires

1. Ondes planes stationnaires monochromatiques

Dans le cas d'une onde stationnaire plane,

ψ(x, t) = F (x)G(t)

(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des variables d'espace et de tempssont découplées.)

Onde stationnaire plane dé�nition

ψ(x, t) = F (x).G(t) véri�e l'équation de D'Alembert ∂2ψ∂x2

= 1c20

∂2ψ∂t2

, qui devient

F”(x)G(t) =1

c20

F (x).G”(t)⇔ c20

F”(x)

F (x)=G”(t)

G(t)= cste

en e�et, le premier terme ne dépend que de x, le second que de t : il ne peut s'agirque d'une constante. Si cette constante est positive, les fonctions sont exponentielles,et divergent à l'in�ni : ce n'est pas physiquement acceptable. Aussi, cette constanteest négative, et on la notera −ω2. On trouve la solution de G”(t)

G(t)= −ω2 : G(t) =

G0. cos (ω.t+ ϕG). De même, la solution de F”(x)F (x)

= −ω2

c20est : F (x) = F0. cos

(ωc0.x+ ϕF

).

⇒

4 Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques(OSPM) théorème



En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutionsstationnaires de l'équation de D'Alembert sous la forme

ψ (x, t) = ψ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0.

Les n÷uds de vibration sont les endroits où ψ(x, t) = 0∀t.N÷uds de vibration dé�nition

Les ventres de vibration sont les endroits où l'amplitude est maximale.

Ventres de vibration dé�nition

cos (k.xn + ϕF ) = cos (k.xn+1 + ϕF ) = 0 si{k.xn + ϕF = π

2+ n.π

k.xn+1 + ϕF = π2

+ (n+ 1) .π

soit k. (xn+1 − xn) = π, ou bien encore xn+1 − xn = λ2.

de même pour les ventres : cos (k.xk + ϕF ) = cos (k.xk+1 + ϕF ) = ±1 si{k.xk + ϕF = k.π

k.xk+1 + ϕF = (k + 1) .π

soit k. (xk+1 − xk) = π, ou bien encore xk+1 − xk = λ2. ⇒

Deux n÷uds de vibration successifs sont éloignés de λ2.

Deux ventres de vibration successifs sont éloignés de λ2.

5 Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventres théorème

Les fuseaux sont séparés par deux n÷uds de vibration. Ils contiennent chacun un ventrede vibration.La largeur d'un fuseau est la distance entre deux n÷uds de vibration consécutifs, doncelle vaut λ

2.

Fuseaux s'y retrouver

La �gure 5 représente un fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration.

Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration schéma

2. Modes propres



Figure 5 � Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration

Les conditions aux limites pour une corde de longueur L �xée à ses deux extrémitésimposent un n÷ud aux deux extrémités donc un nombre entier de fuseaux donc

L = nλ

2⇒ f =

n c0

2L

⇒Les conditions aux limites pour une corde de longueur L �xée à ses deux extrémitésimposent des solutions de types OPSM telles que

L = nλ

2⇒ f =

n c0

2L

où n est un entier non nul. Ces solutions sont appelées modes propres de la corde.

6 Modes propres d'une corde vibrante �xée à ses deux extrémités théorème

Une extrémité de la corde vibre, tandis que l'autre est �xe. Les vibrations sont importantesuniquement si la fréquence d'excitation est une fréquence propre de la corde.Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.

Résonances sur la corde de Melde vidéo

3. Spectre



La solution générale de l'équation d'onde est

y(x, t) =∞∑n=1

sin (kn x) (An cos (ωn t) +Bn sin (ωn t))

où kn = nπL

et ωn = nπ c0L

. On admet que

An =2

L

∫ L

0

y(x, t = 0) sin (kn x) dx

Bn =2

ωn L

∫ L

0

dy

dt(x, t = 0) sin (kn x) dx

Synthèse de Fourier en OPSM pour une corde �xée à ses deux extrémités s'y

retrouver

• le continu, la moyenne, l'o�set : fcontinu = C0 ;

• l'ondulation : fond (t) =∞∑n=1

[Cn cos (nω t+ φn)] ;

• le fondamental : f1 (t) = C1 cos (ω t+ φ1) ;

• l'harmonique de rang n : fn (t) = Cn cos (nω t+ φn) ;

• la valeur e�cace : feff =√〈f 2 (t)〉 =

√C2

0 + 12

∞∑n=1

C2n (formule de Parseval).

Dé�nitions physiques relatives à la décomposition de Fourier s'y retrouver

La représentation de |Cn| en fonction de n, ωn ou de la fréquence fn = ωn

2πest le spectre

de f .Exemple de spectre :

Spectre dé�nition



III- Ondes planes progressives

1. Ondes planes progressives monochromatiques

Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique, ou encore OPPM)

• vers les x croissants :hω = A cos [ω t− k x− ϕ0]

• vers les x décroissants :mω = A cos [ω t+ k x− ϕ0]

avec k = ωc.

On peut généraliser avec la forme :

ψ = A cos[ω t− ~k ·~r − ϕ0

]

Forme d'une OPPM dé�nition

Sous quelle conditionA. cos [ω.t− k.x− ϕ0],A. cos [ω.t+ k.x− ϕ0] etA. cos[ω.t− ~k.~r − ϕ0

]sont-elles solutions de l'équation de D'Alembert ?

7 Véri�cation qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert exercice

Il faut que ‖~k‖ = ωc.

• ω : pulsation (en rad · s−1) ;

• ν = ω2π

: fréquence (en Hz) ;

• T = 1ν

= 2πω

: période (en s).

Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation, fréquence, période dé�nition

• ~k : vecteur d'onde (en rad ·m−1) ;

• σ =|~k|2π

: nombre d'onde (en m−1) ;

• λ = 1σ

= 2π

|~k| : longueur d'onde (en m).

Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteur d'onde, longueur d'onde, nombred'onde dé�nition

une onde plane progressive monochromatique a pour amplitude :

ψ(~r, t) = Re(ψ(~r, t)

)où ψ est l'OPPM complexe associée.L'amplitude complexe (en ~r, à l'instant t), associée à une onde plane monochromatique

Relation entre OPPM complexe et réelle dé�nition



de pulsation ω et de vecteur d'onde ~k est :

ψ = ψ0 ej(~k ·~r−ω t+ϕ0)

où ψ0 et ϕ sont des constantes.

on aurait pu choisir le complexe conjugué ψ0 e−j(~k ·~r−ω t+ϕ0) qui a la même partie réelle.

Mais, une fois choisie la convention, il faut s'y tenir.

remarque

Si l'OPPM se propage suivant ~uz, ~k = k.~uz, et on peut réécrire :

ψ = ψ0.ej(k.z−ω.t+ϕ)

remarque

On pourra remplacer l'OPPM réelle ψ par sa forme complexe associée ψ dans touteéquation suivie par ψ, pour peu que cette équation soit linéaire. L'intérêt est de rendre,avec les complexes, les calculs... plus simples qu'avec des fonctions trigonométriques !

Intérêt des OPPM complexes s'y retrouver

Sous quelle condition ψ0.ej(~k.~r−ω.t+ϕ0) est-elle solution de l'équation de D'Alembert ?

8 Véri�cation qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alem-bert exercice

Il faut que∣∣∣~k∣∣∣ = ω

c.

2. Lien entre ondes progressives et ondes stationnaires

ψ = ψ0.ej.k.x.e−j.ω.t semble être de la forme F (x) ·G(t), cependant seule compte l'onde réelle

ψ = Re(ψ) = ψ0 cos (ω.t− k.x). On voit ainsi qu'il ne s'agit pas d'une onde stationnaire.

remarque

Montrer que l'onde stationnaire apparaît comme la superposition

• d'une onde plane progressive monochromatique

ψ+ =ψ0

2cos (ω.t− k.x+ ϕG − ϕF )

qui se propage vers les x croissants ;

9 Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives exercice



• et d'une onde plane progressive monochromatique

ψ− =ψ0

2cos (ω.t+ k.x+ ϕG + ϕF )

de même amplitude qui se propage vers les x décroissants.

ψ = ψ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

peut se réécrire

ψ =ψ0

2[cos (ω.t− k.x+ ϕG − ϕF ) + cos (ω.t+ k.x+ ϕG + ϕF )]

cette onde stationnaire peut donc naître en particulier de la ré�exion totale d'une OPPMincidente, du fait de la superposition de l'OPPM se propageant vers les x croissants (ondeincidente) et de l'OPPM se propageant vers les x décroissants (onde ré�échie).

Ondes stationnaires et ré�exion s'y retrouver

3. Ondes progressives en général et paquet d'ondes

une OPPM n'est pas physique car elle a une extension in�nie dans l'espace et dans letemps. Elle ne �nit jamais, et a débuté il y a un temps in�ni !L'OPPM est un outil mathématique intéressant car on peut décomposer une onde sousla forme de superposition d'OPPM.

Nécessité d'une superposition d'OPPM s'y retrouver

On cherche des solutions à l'équation de D'Alembert :(∂

∂t− c0

∂

∂x

)(∂

∂t+ c0

∂

∂x

)ψ(x, t) = 0

Si on pose u = t− xc0, ∂h(u)

∂t= ∂h

∂u∂u∂t

= dhdu

et ∂h(u)∂x

= ∂h∂u

∂x∂t

= − 1c0

dhdu.

De même, si v = t+ xc0, ∂m(v)

∂t= ∂m

∂v∂v∂t

= dmdv

et ∂m(v)∂x

= ∂m∂v

∂x∂t

= 1c0

dmdv.

h(t− x

c0

)et m

(t+ x

c0

)sont donc solutions de l'équation de D'Alembert. ⇒

Une onde plane progressive vers les x croissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = h

(t− x

c0

)Une onde plane progressive vers les x décroissants peut s'écrire :

ψ(x, t) = m

(t+

x

c0

)

10 Forme d'une onde plane progressive en général théorème



La décomposition continue d'une onde plane complexe se propageant suivant Ox parune superposition d'OPPM peut s'écrire

ψ =

∫ ∞0

A (ω) ej (ω t−k x) dω

où A (ω) est le spectre de cette onde.

Forme mathématique d'un paquet d'onde dé�nition

Bien souvent A (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur ∆ω : on parle de paquetd'ondes.Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension ∆ν = ∆ω

2π.

Extension d'un paquet d'ondes s'y retrouver

La �gure 6 représente un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtained'OPPM.

Paquet d'ondes schéma

Figure 6 � Paquet d'ondes

On peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée ∆t telle que

∆t∆ω ≈ 1

De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale de l'onde est ∆x,reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :

∆x∆k ≈ 1

Spectre et transformée de Fourier s'y retrouver



Exercice traité en �n de cours

exo 10.1) Modélisation d'un instrument à corde

Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques homogènes, tendus entre deux pointsséparés par une longueur L. Le rayon du cylindre est a avec a� L.

1) La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T0. Au repos la corde est rectiligne et parallèleà l'axe horizontal (Ox).

On étudie les mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre. On note y (x, t) le déplacement (ouébranlement) du point de la corde à l'abscisse x à l'instant t. L'axe Oy est l'axe vertical ascendant.

1.a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles que véri�e l'ébranlement y(x, t).1.b) Calculer la célérité c pour une corde de piano de masse volumique ρ = 7800 kg ·m−3, de tension

T0 = 850 N, de diamètre φ = 1, 2 mm.2) La corde est �xée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L. On cherche une solutions de l'équation

di�érentielle précédente sous la forme d'une onde harmonique caractérisée par la pulsation ω et la norme duvecteur d'onde k.

2.a) Quelle doit être la forme de cette onde harmonique ?2.b) Montrer que seulement certaines fréquences sont possibles, qu'on appellera fréquences propres de

la corde.2.c) Pour un mode propre donné, dé�nir les ventres et les n÷uds de vibration. Quelle est la distance

entre deux ventres consécutifs ? entre deux n÷uds consécutifs ? entre un ventre et un n÷ud consécutifs ?3) Solution généraleOn écrit la solution correspondant aux conditions aux limites y(0, t) = y(L, t) = 0 comme une superposition

des modes propres :

y(x, t) =

∞∑n=1

[an cos

(nπ c t

L

)+ bn sin

(nπ c t

L

)]sin(nπ x

L

)On donne les spectres calculés pour une corde pincée à la moitié de sa longueur puis au cinquième de celle-ci,

où cn =√a2n + b2n :

3.a) Comment peut-on expliquer l'absence de certains harmoniques dans ces spectres ?On peut montrer que les coe�cients an associés à la corde pincée décroissent globalement comme 1/n2. En

revanche les amplitudes des di�érents harmoniques de la corde frappée décroissent plutôt en 1/n (au moins àpartir d'une certaine valeur de n).

3.b) Comparer alors les sons d'un clavecin (instrument à corde pincées) et d'un piano (instrument àcorde frappées). Quel caractère du son est alors ressenti à l'oreille ?

1) Mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre1.a) Puisque le poids est négligé, l'élément de corde, de longueur d` ≈ dx, de masse dm = µd`, est

soumis à :

• la tension de la portion de �l située à droite : ~T (x+ dx, t) ;

• la tension de la portion de �l située à gauche : −~T (x, t).



Le mouvement de la corde ayant lieu selon Oy, le théorème de la résultante cinétique appliqué à cet élémentde corde s'écrit :

dm∂2y

∂t2~ey = ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)

La projection sur Ox donne

0 = T (x+ dx, t) cosα(x+ dx, t)− T (x, t) cosα(x, t) ≈ T (x+ dx, t)− T (x, t)⇒ T (x, t) = T0

car les angles sont petits. La projection sur Oy donne

µdx∂2y

∂t2= T0 sinα(x+ dx, t)− T0 sinα(x, t) ≈ T0 [α(x+ dx, t)− α(x, t)] = T0

∂α

∂xdx = T0

∂2y

∂x2dx

On trouve donc

(1)∂2y

∂t2= c2

∂2y

∂x2

où c =√

T0

µ .

1.b) Pour la corde de piano : c =√

850

7800×π(1,2×10−3)2

4

⇒ c = 3, 1× 102 m · s−1 .

2) Modes propres, fréquences propres2.a) A cause des conditions aux limites, il faut prendre des ondes stationnaires :

y(x, t) = y0 cos (ω t+ ϕ) cos (k x+ ψ)

alors∂2y

∂t2= −ω2 y(x, t)

et∂2y

∂x2= −k2 y(x, t)

(1)⇒ ω2 = c2 k2, soit ω = c k .2.b) Les conditions aux limites imposent :

∀t, y(0, t) = 0⇒ y(x, t) = y0 cos (ω t+ ϕ) sin (k x)

et∀t, y(L, t) = 0⇒ sin (k L) = 0⇔ k L = nπ ⇔ k =

nπ

L

où n est entier. Or, comme on a vu que ω = c k, alors fn = n c2L où n est entier sont les fréquences propres.

L'élongation correspondante, y(x, t) = y0 cos(nπ c tL + ϕ

)sin(nπ xL

)est le mode propre associé.

2.c)Un n÷ud de vibration est un point qui reste immobile :

∀t, y(x, t) = 0⇔ sin(nπ x

L

)= 0⇔ nπ x

L= p π ⇔ x =

p

nL =

pλ

2

où p est entier.Un ventre de vibration est un point où l'amplitude de vibration est maximale :

∀t sin(nπ x

L

)= ±1⇔ nπ x

L= q π +

π

2= (2 q + 1)

π

2⇔ x = (2 q + 1)

L

2n= (2 q + 1)

λ

4

où q est entier.

Deux n÷uds (ou deux ventres) consécutifs sont donc distants de λ2 .

Un n÷ud et un ventre consécutifs sont distants de λ4 .

3) Solution générale3.a) Les harmoniques éteints sont ceux qui s'annulent là où α(x) est maximal :

- harmoniques pairs pour le premier spectre (L/2),- harmoniques multiples de 5 pour le second spectre (L/5). NB : pour la corde pincée en son milieu, il n'y aque des harmoniques impairs parce qu'une translation d'une demi-période (c'est-à-dire de L) transforme lafonction en son opposé.

3.b) Le son d'un clavecin est moins riche en harmoniques que le son d'un piano puisque les amplitudesdes harmoniques élevés sont plus faibles que pour le piano, ce qui se traduit par une di�érence de timbre.



Techniques à maîtriser

I- Etablir une équation d'onde

Établir l'équation d'onde pour des ondes transversales sur une corde vibrante in�niment souple dansl'approximation des petits mouvements transverses en utilisant un système in�nitésimal.Relier la raideur des ressorts �ctifs à l'énergie de liaison et évaluer l'ordre de grandeur du moduled'Young.Établir l'équation d'onde dans une tige solide dans l'approximation des milieux continus en utilisant unsystème in�nitésimalReconnaître une équation de d'Alembert.Associer qualitativement la célérité d'ondes mécaniques, la raideur et l'inertie du milieu support.

ce qu'il faut savoir faire capacités

On part de l'étude d'un petit élément de longueur dx, et on prend garde à faire la di�érence entre lesactions qui s'exercent à gauche (−~F (x)) et à droite (+~F (x+ dx)).

A) Equation de propagation dans un milieu continu méthode

On part de l'étude d'un élément n, on observe l'équilibre, puis ce qui se passe hors équilibre, ce qui donneune équation de récurrence sur les déformations. Ensuite, on utilise l'hypothèse des milieux continus enfaisant un développement limité au deuxième ordre des déformations pour les éléments n, n− 1 et n+ 1.On réinjecte dans la relation de récurrence pour trouver l'équation de propagation.

B) Equation de propagation dans un milieu discontinu méthode

10.1.1) Corde tendue horizontalement

On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un axe Ox tendue avec la tension T0, de masselinéique µl. Montrer que l'altitude y(x, t) à l'instant t suit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2

On note ~T (x, t) la tension qu'exerce à l'instant t la partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de�l d'abscisse inférieure à x. On négligera l'e�et de la pesanteur. Le petit élément de longueur dx entre lesabscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément fait avec l'axe Ox un angle α(t) petit.

Le théorème du centre de masse s'écrit :

µl.dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)


µl.dxd2x

dt2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx


∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la projection suivant ~uy de la

tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du

centre de masse :

µl.dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx



Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x on en déduit l'équation

∂2y

∂t2= c20

∂2y

∂x2

avec la célérité de l'onde c0 =√

T0

µl.

10.1.2) Chaine de ressorts

On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sans masse, tous identiques, de longueur àvide l0, de constante de raideur k, séparés par des particules ponctuelles toutes identiques, de masse m. Lamasse numéro n est à l'abscisse xn(t). On négligera la pesanteur.

1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

1) Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= 0 = −k. (Xn −Xn−1 − l0) + k. (Xn+1 −Xn − l0)

2) Le théorème de la résultante cinétique donne

md2xndt2

= md2ξndt2

= −k. (Xn + ξn −Xn−1 − ξn−1 − l0) + k. (Xn+1 + ξn+1 −Xn − ξn − l0)


d2ξndt2

=k

m(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

3) Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentementdevant a :

ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t)

Aussi, on pourra déterminer la déformation en x ≈ (n− 1) .a et en x ≈ (n+ 1) .a{ξn+1(t) = ψ(x ≈ (n+ 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t) + ∂ψ

∂x a+ ∂2ψ∂x2

a2

2

ξn−1(t) = ψ(x ≈ (n− 1) .a, t) ≈ ψ(x ≈ n.a, t)− ∂ψ∂x a+ ∂2ψ

∂x2a2

2

L'équation de la déformation devient alors

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

avec c0 = a√

km .

10.1.3) Echelle de perroquet

On s'intéresse à un �l de torsion suivant un axe Oz vertical, le long duquel sont disposées à des distances ades barrettes horizontales identiques, de moment d'inertie J par rapport à Ox.

La barrette numéro n fait un angle θn(t) avec un axe Ox horizontal. Le �l entre les barrettes numéro n etn+ 1 exerce sur la barrette numéro n le moment

~Mn+1→n = Γ. (θn+1 − θn) ~uz



1) Montrer que dans l'approximation continue, l'équation suivie par la déformation peut s'écrire :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂z2

1) A l'équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barrette numéro n qui fait l'angleθn(t) = αn avec Ox :

Jd2θndt2

= 0 = −Γ. (θn−1 − θn) + Γ. (θn+1 − θn) = Γ. (αn+1 + αn−1 − 2.αn) = Γ. (αn+1 + αn−1 − 2.αn)

Hors équilibre, le théorème du moment cinétique donne pour la barrette numéro n fait maintenant l'angleθn(t) = αn + ξn(t) :

Jd2θndt2

= Jd2ξndt2

= −Γ. (αn + ξn − αn−1 − ξn−1) + Γ. (αn+1 + ξn+1 − αn − ξn)


d2ξndt2

=Γ

J(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn)

Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformation ξn varie lentement devanta :

ξn(t) = ψ(z ≈ n.a, t)

Aussi, on pourra déterminer la déformation en z ≈ (n− 1) .a et en z ≈ (n+ 1) .a{ξn+1(t) = ψ(z ≈ (n+ 1) .a, t) ≈ ψ(z ≈ n.a, t) + ∂ψ

∂z a+ ∂2ψ∂z2

a2

2

ξn−1(t) = ψ(z ≈ (n− 1) .a, t) ≈ ψ(z ≈ n.a, t)− ∂ψ∂z a+ ∂2ψ

∂z2a2

2

L'équation de la déformation devient alors

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂z2

avec c0 = a√

ΓJ .

II- Chercher des solutions sous la forme d'ondes stationnaires

Di�érencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.Décrire les modes propres.En négligeant l'amortissement, associer mode propre et résonance en régime forcé.


On injecte dans l'équation de propagation des ondes stationnaires. Cela donne la relation de dispersionentre k et ω. Puis on utilise les deux conditions aux limites pour déterminer la partie spatiale.

C) Ondes stationnaires sur une corde méthode

10.2.1) Onde sur une corde �xée à ses deux extrémités

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, deux extrémités où elle est �xée, telle que l'élongationverticale y(x, t) suit l'équation de D'Alembert avec la célérité c.



Montrer que les solutions possibles peuvent s'écrire

y(x, t) =

∞∑n=1

yn. sin

(2π

x

λn

). cos (2π.νn.t+ ϕG)

On donnera λn et νn.

On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires :

y(x, t) = y0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0

à cause de l'équation de D'Alembert.Les conditions aux limites imposent : y(x = 0, t) = y(x = L, t) = 0, soit cos (k.x+ ϕF ) = sin (k.x) avec

k.L = n.π où n ∈ Z, soit λ = 2.Ln .

Aussi, on peut réécrire en prenant en compte les conditions aux limites

y(x, t) =

∞∑n=1

yn. sin

(2π

x

λn

). cos (2π.νn.t+ ϕG)

avec

λn =2L

net νn =

n.c02L

où n ∈ N

Ce sont les modes propres de la corde �xée aux deux extrémités.

10.2.2) Corde d'un violoncelle

Un violoncelle baroque joue le la3 dont la fréquence est ν = 415Hz.1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm, de masse volumique µ = 8000kg.m−3 et de

rayon r = 250µm ?

1) La longueur de la corde est reliée à la longueur d'onde par l = λ2 (la corde est �xée aux deux bouts).

La masse linéique de la corde est µl = µ.π.r2. La célérité est c =√

Tµl

= ν.λ = 2.ν.l qui conduit à la tension

T = µ.π.r2.4.ν2.l2 = 67 N

10.2.3) Onde sur la corde de Melde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation deD'Alembert avec la célérité c. Une des extrémités est �xée

y(x = L, t) = 0 ∀t

quant à l'autre limite, en x = 0, un vibreur e�ectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a. cos (ω.t), donc :

y(x = 0, t) = a. cos (ω.t) ∀t

1) Donner la forme de la solution de l'équation de propagation pour la corde de Melde.2) Déterminer les conditions de résonance de la corde de Melde.

1) On peut chercher les solutions de l'équation de D'Alembert sous la forme d'onde stationnaires :

y(x, t) = y0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0. La condition à la limite x = L impose d'une part k.L+ϕF = π

2 , ce qui donne cos (k.x+ ϕF ) =sin (k. (L− x)). D'autre part, la condition à la limite x = 0 impose :

y0. cos (ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG) = a. cos (ω.t)



soit ϕG = 0 et y0. cos (ϕF ) = y0. sin (k.L) = a. En prenant en compte les nouvelles conditions aux limites,

y(x, t) =a

sin (k.L)sin (k. (L− x)) . cos (ω.t)

avec k = ωc0.

2) On constate que pour

k = kn =nπ

Loù n ∈ N

l'amplitude tend -théoriquement - vers l'in�ni : asin(kn.L) →∞. On parle de résonance.

Bien entendu, du fait d'inévitables amortissements, l'amplitude de la corde ne tend en fait pas vers l'in�ni.

10.2.4) Onde sur la corde de Melde - le retour

1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur L de la corde et une masse Maccrochée à celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour troisfuseaux.

1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbationsur cette corde ?

3) La masse accrochée à la corde est M = 25g.3.a) Quelle est la tension T0 de la corde ?3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µl de la corde.

1)1.a) Les fréquences de résonance valent

νn = nc

2.L

Or ν2 = 19Hz et ν3 = 28Hz, ce qui donne :

ν3

ν2= 1, 47 au lieu de

3

2= 1, 5

Ces valeurs numériques sont donc compatibles entre elles.1.b) Les fréquences suivantes sont données par la formule νn = n c

2.L , soit :{ν4 = 38Hzν5 = 47Hz

2)

c =2.L.νnn

= 22m.s−1

3)3.a) La tension de la corde est donc

T0 = M.g = 0, 25N

3.b) La vitesse de propagation étant c =√

T0

µl, on en déduit la masse linéique de la corde :

µl = 5.10−4kg.m−1 = 0, 5g/m

Cette valeur aurait pu être trouvée en pesant, par exemple, 10m de �l sur une balance de précision.

10.2.5) Solutions de la corde de Melde



Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur e�ectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)

La corde, de longueur L, est �xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T0.1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.

1) La solution stationnaire sinusoïdale :

ψ (x, t) = ψ0. cos (ω.t+ ϕt) . cos (k.x+ ϕx)

avec k = ωc convient si elle satisfait aux conditions aux limites, c'est-à-dire :{

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)ψ (L, t) = 0

Ceci est réalisé si nous prenons ϕx = π

2 − k.Lϕt = 0

ψ0 = asin(k.L)

Conclusion :ψ (x, t) =

a

sin (k.L)cos (ω.t) . sin (k. (L− x))

2) Nous constatons que, pour k = kn = n.πL (avec n entier) l'amplitude devient (théoriquement !) in�nie :

la corde entre en résonance.À la résonance, a est très faible devant l'amplitude des ventres de vibration. De ce fait, le vibreur peut

quasiment être considéré comme un n÷ud de vibration de la corde. Les fréquences de résonance valent

νn = nc

2.L

III- Chercher des solutions sous la forme d'OPPM

Di�érencier une onde stationnaire d'une onde progressive par la forme de leur représentation réelle.


On cherche une onde de la forme :

ψ = ψ0.e−j.(ω t−veck ~r−ϕ0) = ψ0 e

−j.(ω.t−kx.x−ϕ0)

On repasse ensuite aux réels.

D) Forme de l'onde solution méthode

10.3.1) Forme des ondes planes progressives

1) Montrer que ψ(t, x) = f(x− c0.t) ou h(t− x

c0

)est solution de l'équation de D'Alembert.

2) De même, montrer que ψ(t, x) = g(x+c0.t) oum(t+ x

c0

)est aussi solution de l'équation de D'Alembert.



1) On va chercher f(t, x) = f(u), où u est une fonction de x et de t. Comme f est telle que(∂∂t + c0

∂∂x

)f(t, x) = 0, on en déduit

(∂u∂t + c0

∂u∂x

)dfdu = 0. On voit que u = x− c0.t convient.

2) On va chercher maintenant g(t, x) = g(v), où v est une fonction de x et de t. Comme g est telle que(∂∂t − c0

∂∂x

)g(t, x) = 0, on en déduit

(∂v∂t − c0

∂v∂x

)dgdv = 0. On voit que v = x+ c0.t convient.

10.3.2) Réécriture de l'équation de D'Alembert à une dimension

1) montrer que l'éqution de D'Alembert à une dimension peut se réécrire sous la forme :

∂

∂u

∂

∂vψ = 0

où les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f(u) ;

• ψ = g(v).

2) Quel sens donner à ces deux types de solutions ?

1) ∂2ψ∂t2 − c

20∂2ψ∂x2 = 0 en (

∂

∂t− c0

∂

∂x

)(∂

∂t+ c0

∂

∂x

)ψ = 0

Les solutions de l'équation de d'Alembert à une dimension sont de type :

• ψ = cste, qu'on exclut habituellement ;

• ψ = f(t, x), telle que(∂∂t + c0

∂∂x

)f(t, x) = 0 ;

• ψ = g(t, x), telle que(∂∂t − c0

∂∂x

)g(t, x) = 0.

2) Les premières sont des OPP se propageant vers les x croissants ; les secondes vers les x décroissants.

10.3.3) Vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique

On dé�nit la vitesse de phase comme la vitesse à laquelle il faut se déplacer pour que la phase φ = ω t−~k ·~r−ϕsoit constante.

1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive monochromatique vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive monochromatique vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t+ ∆t, x+ ∆x) = ψ(t, x), pour peu que

ω t− k x− ϕ = ω (t+ ∆t)− k (x+ ∆x)− ϕ

Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de +∆x, avec

∆x =ω

k∆t = +c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse ∆x∆t = +c0

2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x), pour peu que x + c0.t = x + ∆x + c0. (t+ ∆t).Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de ∆x, avec

∆x = −c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique ∆x∆t = −c0.

10.3.4) Vitesse de phase d'une onde plane progressive

On dé�nit la vitesse de phase comme la vitesse ~vϕ = vx~ux à laquelle il faut se déplacer pour qu'on retrouvela même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on ait déplacé cetteforme de vx ∆t.



1) Déterminer la vitesse de phase d'une onde plane progressive vers la droite.2) Même chose pour une onde plane progressive vers la gauche.

1) Dans le premier cas, ψ(t+∆t, x+∆x) = ψ(t, x), pour peu que x− c0.t = x+∆x− c0. (t+ ∆t). Aussi,on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t+ ∆t qu'à l'instant t, pour peu qu'on aitdéplacé cette forme de +∆x, avec

∆x = +c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x croissants, avec une vitesse ∆x∆t = +c0

2) Dans le deuxième cas, ψ(t + ∆t, x + ∆x) = ψ(t, x), pour peu que x + c0.t = x + ∆x + c0. (t+ ∆t).Aussi, on retrouve la même forme (la même "photographie") à l'instant t + ∆t qu'à l'instant t, pour peuqu'on ait déplacé cette forme de ∆x, avec

∆x = −c0.∆t

La phase de l'onde se propage vers les x décroissants, avec une vitesse algébrique ∆x∆t = −c0.

10.3.5) Onde progressive sur une corde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation deD'Alembert avec la célérité c.

1) On excite la corde en x = 0 par y(0, t) = e(t) telle que :

• si 0 < t < τ , e = atτ ;

• si τ < t < 3τ , e = a ;

• si 3τ < t < 5τ , e = a2τ (5τ − t) ;

• si t > 5τ , e = 0.

Représenter e(t).On se place dans le cas où c.τ = 0, 1L.2) On suppose d'abord que t = 6τ .

2.a) Représenter la corde à cette date.2.b) Donner la valeur de la vitesse en x = 0, 2L, x = 0, 4L et x = 0, 55L.

3) On suppose maintenant que t = 7τ . Représenter la corde à cette date.

1) Deux pentes et un plateau.2)

2.a) Une onde plane progressive suivant les x croissants se propage. Le graphique de e(t) estretourné.

2.b) En x = 0, 2L v = − a2τ la corde redescend ! ; en x = 0, 4L, v = 0 et en x = 0, 55L, v = a

τ lacorde monte.

3) Une onde plane progressive suivant les x croissants se propage. Le graphique précédent est décalé de0, 1L vers la droite. Comme le milieu est non dispersif, le paquet d'ondes ne se déforme pas !

10.3.6) Onde régressive sur une corde

Soit une corde horizontale tendue de x = 0 à x = L, telle que l'élongation verticale y(x, t) suit l'équation deD'Alembert avec la célérité c.

1) On excite la corde en x = L par y(0, t) = e(t) telle que :

• si 0 < t < τ , e = atτ ;

• si τ < t < 3τ , e = a ;

• si 3τ < t < 5τ , e = a2τ (5τ − t) ;

• si t > 5τ , e = 0.

Représenter e(t).On se place dans le cas où c.τ = 0, 1L.2) On suppose d'abord que t = 6τ .

2.a) Représenter la corde à cette date.2.b) Donner la valeur de la vitesse en x = 0, 8L, x = 0, 6L et x = 0, 45L.

3) On suppose maintenant que t = 7τ . Représenter la corde à cette date.



1) Deux pentes et un plateau.2)

2.a) Une onde plane progressive suivant les x décroissants se propage. Le graphique de e(t) est dansle même sens.

2.b) En x = 0, 8L v = − a2τ la corde redescend ! ; en x = 0, 6L, v = 0 et en x = 0, 45L, v = a

τ lacorde monte.

3) Une onde plane progressive suivant les x décroissants se propage. Le graphique précédent est décaléde 0, 1L vers la gauche. Comme le milieu est non dispersif, le paquet d'ondes ne se déforme pas !

IV- Pour aller plus loin

On réécrit la solution sous forme de séries de Fourier de l'onde stationnaire :

y (x, t) =

∞∑n=1

[An. cos

(nπ.c.t

L

)+Bn. sin

(nπ.c.t

L

)]sin(nπ.x

L

)On écrit les conditions initiales en position et vitesse :

y (x, t = 0) =∞∑n=1

An. sin(nπ.xL

)dydt (x, t = 0) =

∞∑n=1

Bnn.π.cL sin

(nπ.xL

)On invente ensuite une fonction périodique (de période 2L) qui est telle que :

s (x) =A′02

+

∞∑n=1

[A′n. cos

(n

2π.x

2L

)]+

∞∑n=1

[B′n. sin

(n

2π.x

2L

)]On se sert ensuite de l'expression des coe�cients de Fourier :

A′n =1

L

L∫−L

s (x) . cos(nπ.x

L

).dx et B′n =

1

L

L∫−L

s (x) . sin(nπ.x

L

).dx

On pourra utiliser un logiciel pour calculer les coe�cients !

E) Calcul d'un spectre d'une onde stationnaire méthode

10.4.1) Spectre d'une guitare

On s'intéresse à une corde de guitare de longueur L (entre x = 0 et x = L), sur laquelle se propagent desondes avec la célérité c. On lâche cette corde sans vitesse initiale en la pinçant en son milieu (en x = L

2 ), aprèsl'avoir éloignée de la distance h de l'axe Ox.

Déterminer le spectre de cette corde pincée.

Les conditions initiales en position et vitesse sont :y (x, t = 0) =

∞∑n=1

An. sin(nπ.xL

)dydt (x, t = 0) =

∞∑n=1

Bnn.π.cL sin

(nπ.xL

)= 0

On en déduit déjà que tous les Bn sont nuls. D'autre part, on crée une fonction s(x) périodique de période2L, impaire, qui correspond à y (x, t = 0) pour x ∈ [0;L], qui est :

si x ∈[−L; −L2

]s(x) = − 2h

L x− 2.hsi x ∈

[−L2 ; +L

2

]s(x) = +2h

L xsi x ∈

[+L2 ;L

]s(x) = − 2h

L x+ 2.h



Le calcul des coe�cients An = B′n donne : A2p = 0 et A2p+1 = (−1)p 8hπ2.(2p+1)2 . Les harmoniques décroissent

comme 1n2 : le spectre est assez pur.

10.4.2) Spectre d'un piano

On s'intéresse à une corde de piano de longueur L (entre x = 0 et x = L), sur laquelle se propagent desondes avec la célérité c. On frappe cette corde initialement à l'équilibre avec un marteau de largeur e� L (enx ∈ [x0;x0 + e]), qui a une vitesse u.

Déterminer le spectre de cette corde frappée.

Les conditions initiales en position et vitesse sont :y (x, t = 0) =

∞∑n=1

An. sin(nπ.xL

)= 0

dydt (x, t = 0) =

∞∑n=1

Bnn.π.cL sin

(nπ.xL

)= u pour x ∈ [x0;x0 + e] et 0 ailleurs

On en déduit déjà que tous les An sont nuls. D'autre part, on crée une fonction s(x) périodique de période2L, impaire, qui correspond à dy

dt (x, t = 0) pour x ∈ [0;L], qui est : si x ∈ [−x0 − e;−x0] s(x) = −usi x ∈ [x0;x0 + e] s(x) = +u

autre part s(x) = 0

Le calcul des coe�cients A′n = Bnn.π.cL donne : Bn = 2.u.e

n.π.c sin(n.π.x0

L

). Les harmoniques décroissent comme

1n : le spectre est riche. On peut s'arranger pour éliminer la 7ième harmonique si 7.π.x0

L = π, soit x0 = L7

(par exemple).

10.4.3) Spectre d'une harpe

On s'intéresse à une corde de harpe de longueur L (entre x = 0 et x = L), sur laquelle se propagent desondes avec la célérité c. On lâche cette corde sans vitesse initiale en la frottant en son milieu (en x = L

2 ),après l'avoir éloignée de l'axe Ox, de telle sorte que la position initiale soit dé�nie par la fonction parabole :y (x, t = 0) = 4.h

L2 x. (L− x).Déterminer le spectre de cette corde frottée.

Les conditions initiales en position et vitesse sont : y (x, t = 0) = 4.hL2 x. (L− x)

dydt (x, t = 0) =

∞∑n=1

Bnn.π.cL sin

(nπ.xL

)= 0

On en déduit déjà que tous les Bn sont nuls. D'autre part, on crée une fonction s(x) périodique de période2L, impaire, qui correspond à y (x, t = 0) pour x ∈ [0;L], qui est :{

s(x) = − 4.hL2 x. (L− x) si x ∈ [−L; 0]

s(x) = +4.hL2 x. (L− x) si x ∈ [0; +L]

Le calcul des coe�cients An = B′n donne : A2p = 0 et A2p+1 = 32hπ3.(2p+1)3 . Les harmoniques décroissent

comme 1n3 : le spectre est très pur.

10.4.4) Propriétés d'une onde

On va étudier les propriétés d'une onde dont la forme en coordonnées cartésiennes est :

~ξ (~r, t) = ~ξ0. cos [kx. (x− c′.t)] . cos [ky.y + kz.z]



1) Donner les caractéristiques de cette onde.2) Montrer que l'on peut comprendre cette onde comme la superposition de deux ondes progressives planes.3) Comparer c′ à la vitesse c qui apparaît dans l'équation de D'Alembert dont ~ξ est solution.

1) Il s'agit d'une onde progressive monochromatique se déplaçant dans la direction des x croissants à lavitesse c′ et de pulsation ω′ = c′ |kx|.

2) Elle peut s'écrire comme la superposition de deux ondes progressives planes de vecteurs d'onde(kx, ky, kz) et (kx,−ky,−kz). En e�et,

~ξ (~r, t) =~ξ02. cos [kx.x+ ky.y + kz.z − ω′.t] +

~ξ02. cos [kx.x− ky.y − kz.z − ω′.t]

3) Les deux ondes planes se déplacent chacune à la vitesse c qui intervient dans l'équation de D'Alembert :

c =ω′√

k2x + k2

y + k2z

On a bien c′ > c dès que ky ou kz sont non nuls.

10.4.5) Ondes sphériques

On donne le laplacien, en coordonnées sphériques, d'une fonction f(r, θ, ϕ) = f(r) :

∆f(r) =1

r

∂2

∂r2(r.f(r))

1) Etablir la forme générale des ondes sphériques, dont l'amplitude ne dépend que de t et de la distancer = OM au point origine O : ψ(x, y, z, t) = ψ(r, t) solutions de l'équation de propagation de D'Alembert.

2) Interpréter les termes intervenant dans cette expression.3) Caractériser les surfaces d'onde.4) Commenter énergétiquement l'intervention d'un facteur décroissant comme 1

r dans l'amplitude de l'onde.

1) L'équation de D'Alembert à trois dimensions se ramène, dans le cas d'une onde sphérique, à l'équation

de propagation unidimensionnelle : c2.∆ψ = ∂2ψ∂t2 ⇒

∂2(r.ψ)∂t2 = c2 ∂

2(r.ψ)∂r2 , donc :

∂2F

∂r2=

1

c2∂2F

∂t2

véri�ée par la fonction F (r, t) = r.ψ(r, t). Les ondes sphériques, solutions de l'équation de propagation, sontdonc de la forme :

ψ(r, t) =f(t− r

c

)r

+g(t+ r

c

)r

2) Les deux termes peuvent être interprétés comme deux ondes sphériques se propageant radialement àla vitesse c.

f(t− rc )r est une onde sphérique divergente issue du point O.

g(t+ rc )

r est une onde sphérique qui converge au point O.3) Les surfaces d'ondes de l'onde sphérique sont des sphères centrées au point O. Leur surface croît

comme le carré de la distance r = OM .4) Les grandeurs énergétiques liées à l'onde sont liées à son amplitude de façon quadratique. Elles vont

donc décroître comme 1r2 , ce qui a pour e�et de permettre la conservation de l'énergie véhiculée par l'onde

sur des surfaces qui augmentent comme r2.



Les techniques mathématiques à connaîtreSynthèse de Fourier

Fonction périodiqueToutes les fonctions périodiques peuvent être écritescomme une somme de fonctions trigonométriques.

f (t) = C0 +

∞∑n=1

[Cn cos (nω t+ φn)]

est une fonction périodique de période T = 2πω

(cf. exemple ci-contre).Autre présentationpuisque

cos (nω t+ φn) = cos (nω t) cos (φn)− sin (nω t) sin (φn)

on peut réécrire

f (t) =A0

2+

∞∑n=1

[An cos (nω t)] +

∞∑n=1

[Bn sin (nω t)]

avec

• A0

2 = C0,

• An = Cn cos (φn) ∀n > 0 ,

• Bn = −Cn sin (φn) ∀n > 0.Dé�nitions physiques

• le continu, la moyenne, l'o�set : fcontinu = C0 ;

• l'ondulation : fond (t) =∞∑n=1

[Cn cos (nω t+ φn)] ;

• le fondamental : f1 (t) = C1 cos (ω t+ φ1) ;

• l'harmonique de rang n : fn (t) = Cn cos (nω t+ φn) ;

• la valeur e�cace : feff =√〈f2 (t)〉 =

√C2

0 + 12

∞∑n=1

C2n (formule de Parseval).

Suite CnLa représentation de |Cn| en fonction de n, ωn ou de lafréquence fn = ωn

2π est le spectre de f .La série converge ⇒ lim

n→∞Cn = 0.

Si f est continue (mathématiquement), Cn ≈ 1n2 si n →

+∞ ;Si f est discontinue (mathématiquement), Cn ≈ 1

n si n→+∞.Il apparaît parfois une déformation du signal, connue sousle nom de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est une�et de bord qui se produit à proximité d'une disconti-nuité : pour représenter convenablement une fonction dis-continue, il faudrait une in�nité d'harmoniques.



Programmation en python

exo 10.2) Résolution de conditions aux limites

Une corde inextensible de longueur L = 1 m, de masse linéique µ` = 10 g ·m−1, avec une tension T0 = 10 Nest �xée en x = 0. En x = L, elle est liée à un anneau de masse M = 10 g pouvant glisser sans frottement surune tige.

L'équation d'onde admet des solutions d'ondes stationnaires de la forme y (x, t) = y0 sin (k x) cos (ω t) où lapulsation ω de ces ondes stationnaires obéit à

tan

(πω

ω0

)=b

ω

où c0 =√

T0

µ`, ω0 = π c0

L et b = T0

M c0:

1) Proposer une solution pour trouver les pulsations ω.

1)

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

nb_points=1000

mu,L,T,M=0.01 ,1 ,10 ,0.01

c = (T/mu)**0.5

omega0 = c*np.pi/L

x=np.linspace(0.001,4,nb_points)

y=np.zeros(nb_points)

y=np.tan(x*np.pi)

z=T/(M*c*x*omega0)

diff=z-y

mode=[]

for i in range(1,nb_points) :

test1=diff[i] /diff[i-1]

test2=y[i]-y[i-1]

if test1<0 and test2>0:

resultat=str(round( x[i] ,3 ))

mode.append ( resultat )

print(mode)

plt.plot ( x , y )

plt.plot ( x , z )

plt.xlabel ( " $\omega/\omega_0$ " )

plt.ylabel ( " $ f (\omega ) $ et $g (\omega )$ " )

plt.axis ( [ 0 , 4 , -4 , 4 ] )

plt.grid (True )

plt.title ( "Corde avec une masse à l?extrémité " )

plt.legend ( )

plt.show ( )



Résolution de problème

Les cordes d'une guitare électrique

extrait de l'article wikipédia � Corde de guitare �

Changer l'épaisseur pour changer la note.

Accord des cordesL'accord de référence, pour les six cordes à vide, est Mi, Si, Sol, Ré, La, Mi de l'aigu au grave.

Tirant de cordesLe tirant des cordes, c'est leur diamètre. Cette valeur est exprimée en millièmes de pouces.

Exemple en corde souples : le pack 8/38 (.008/.038 : .008/.011/.014/.022/.030/.038 - Extra light) où il fautcomprendre :

• tirant du mi grave = 38 (0, 97 mm)

• tirant du mi aigu = 8 (0, 2 mm)

L'âme et le �lage

Une corde de guitare possède une âme (c'est-à-dire un �l principal) autour de laquelle vient s'enrouler unsecond �l, qui formera le �lage.

Les cordes de guitare d'une guitare électrique sont souvent en acier plaqué nickel. L'acier permet une inter-action très forte avec les aimants des micros, pour un son plus fort en sortie de guitare, tandis que le nickelprotège la corde de la corrosion et améliore le toucher.

exo 10.3) Enoncé

Combien d'octaves séparent les notes mi de la plus �ne et de la plus épaisse corde de guitare électrique pourl'accord de référence ?Données :• Longueur d'une corde de guitare : 25,5 pouces

• Masse volumique du nickel : 8, 9 g · cm−3

• Masse volumique de l'acier : 7, 8 g · cm−3

• 1 pouce =2,54 centimètres

Si on assimile la corde à un solide homogène de diamètre d, de longueur L et de masse volumique µ, doncde masse linéique

µ` = µπd2

4

il y a résonance pour le fondamental si

L =λ

2=

c

2 ν=

1

2 ν

√T

µ`



où T est la tension de la corde. Donc en passant de la première corde de mi de fréquence ν et de diamètred à la dernière corde de mi de fréquence ν′ et de diamètre d′, on a (si on suppose que les tensions des deuxcordes sont identiques)

1 =ν′

ν

√µ′`µ`⇒ µ`

µ′`=

(ν′

ν

)2

=d2

d′2⇒ ν′

ν=

d

d′

AN :ν′

ν=

38

8= 4, 75 ≈ 22

Aussi, il y a deux octaves entre les deux mi.



Exercices d'oral pour s'entraîner

exo 10.4) Ondes dans un ressort

Un ressort à spires non jointives de longueur L et de masse linéique µ a uneraideur K. Le ressort est placé sur un axe horizontal. Le déplacement desspires se fait sans frottement.On étudie une longueur élémentaire dx du ressort au repos qui, au passaged'une onde de déformation, voit ses extrémités se déplacer de ξ(x, t) et ξ(x+dx, t).

1) On considère deux ressorts associés en série de raideur k. L'ensemble est considéré comme un ressortunique de raideur K.

1.a) Déterminer la relation entre k et K.1.b) En déduire que l'expression de la raideur d'une longueur dx du ressort est kdx = K L

dx .2) On s'intéresse à un élément de ressort de longueur dx.

2.a) Exprimer l'allongement de cet élément de ressort en fonction de dξdx .

2.b) Exprimer les forces de rappel s'exerçant aux extrémités de cet élément.2.c) En déduire l'équation di�érentielle véri�ée par ξ(x, t) ainsi que la vitesse de propagation des ondes

dans le ressort.3) On considère le ressort �xé en x = 0 et relié à une masse ponctuelle m, libre de se déplacer en x = L.

3.a) Déterminer la forme des solutions d'ondes stationnaires.3.b) Montrer que ξ (x, t) = ξ0 sin (k x) cos (ω t).3.c) Montrer que la pulsation ω de ces ondes stationnaires obéit à

tan

(ω

c0L

)=

K L

mc0 ω

1)1.a) Association en série : l'élongation se somme (double) et la force reste identique, soit k = 2K.1.b) Pour N ressorts en série avec N = L

dx , kdx = k = N K = K Ldx .

2) On s'intéresse à un élément de ressort de longueur dx.2.a) L'allongement de cet élément de ressort est

∆x = +ξ(x+ dx)− ξ(x) =∂ξ

∂xdx

2.b) Les forces de rappel s'exerçant aux extrémités de cet élément sont :à gauche ~F (x) = −kdx ∆x(x) ~ux = −K L

dx∂ξ∂x (x) dx~ux

à droite ~F (x+ dx) = +kdx ∆x(x+ dx) ~ux = +K Ldx

∂ξ∂x (x+ dx) dx~ux.

2.c) Le théorème de la quantité de mouvement donne l'équation di�érentielle véri�ée par ξ(x, t) :

µ dx∂2ξ

∂t2~ux = ~F (x) + ~F (x+ dx)⇒ µ dx

∂2ξ

∂t2= −K L

dx

∂ξ

∂x(x) dx+K

L

dx

∂ξ

∂x(x+ dx) dx = +K L

∂2ξ

∂x2dx

On retrouve donc l'équation de D'Alembert ∂2ξ∂t2 = c20

∂2ξ∂x2 avec la vitesse de propagation des ondes dans le

ressort c0 =√

K Lµ .

3) On considère le ressort �xé en x = 0 et relié à une masse ponctuelle m, libre de se déplacer en x = L.3.a) Les solutions d'ondes stationnaires monochromatiques sont

ξ(x, t) = F (x)G(t)

ξ(x, t) = F (x).G(t) véri�e l'équation de D'Alembert ∂2ξ∂x2 = 1

c20

∂2ξ∂t2 , qui devient

F”(x)G(t) =1

c20F (x).G”(t)⇔ c20

F”(x)

F (x)=G”(t)

G(t)= cste

en e�et, le premier terme ne dépend que de x, le second que de t : il ne peut s'agir que d'une constante. Si cetteconstante est positive, les fonctions sont exponentielles, et divergent à l'in�ni : ce n'est pas physiquement



acceptable. Aussi, cette constante est négative, et on la notera −ω2. On trouve la solution de G”(t)G(t) = −ω2 :

G(t) = G0. cos (ω.t+ ϕG). De même, la solution de F”(x)F (x) = −ω

2


(ωc0.x+ ϕF

).

En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnaires del'équation de D'Alembert sous la forme

ξ (x, t) = ξ0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0.

3.b) La condition aux limites en x = 0 impose :

ξ (x = 0,∀t) = 0⇒ ξ (x, t) = ξ0 sin (k x) cos (ω t)

en choisissant bien l'origine des temps.3.c) Système : la masse ponctuelle m en x = L

Référentiel : sol (galiléen)Bilan des forces :

Force imposée par le ressort à gauche : ~F = −kdx ∆x(x = L) ~ux = −K L ∂ξ∂x (x = L) ~ux.

Le principe fondamental de la dynamique donne alors :

md2x

dt2~ux = ~F ⇒ m

∂2ξ

∂t2= −K L

∂ξ

∂x(x = L)

soit

m(−ω2

)ξ0 sin (k L) cos (ω t) = −K Lk ξ0 cos (k L) cos (ω t) ⇔ tan

(ω

c0L

)=

K L

mc0 ω

exo 10.5) Spectre d'une guitare

Une corde de guitare, inextensible, de longueur L, de masse linéique µ`, est tendue avec une tension T0.On note y(x, t) les déplacements transversaux, supposés petits. On néglige la pesanteur. On note ~T (x, t) latension qu'exerce à l'instant t la partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de �l d'abscisse inférieureà x. Le petit élément de longueur dx entre les abscisses x et x + dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cetélément fait avec l'axe Ox un angle α(x, t) petit.

1) Déterminer l'équation di�érentielle véri�ée par y(x, t) ainsi que la vitesse de propagation des ondes dansla corde.

La corde de guitare, de longueur L, est �xée en x = 0 et en x = L.2) Montrer que l'équation d'onde admet comme solutions les OPSM :

yn(x, t) = Cn sin (kn x) cos (ωn t+ ϕn)

On donnera les expressions de kn et ωn.3) Expliquer pourquoi la solution générale de l'équation d'onde est

y(x, t) =

∞∑n=1

sin (kn x) (An cos (ωn t) +Bn sin (ωn t))

On admet que

An =2

L

∫ L

0

y(x, t = 0) sin (kn x) dx et Bn =2

ωn L

∫ L

0

dy

dt(x, t = 0) sin (kn x) dx

On lâche cette corde sans vitesse initiale en la pinçant en son milieu (en x = L2 ), après l'avoir éloignée de la

distance h de l'axe Ox.4) Déterminer les coe�cients An et Bn.5) Tracer l'allure du spectre de cette corde pincée et commenter.

1) Le théorème du centre de masse s'écrit :

µ` dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)




µ` dx∂2x

∂t2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx




centre de masse :

µ` dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x on en déduit l'équation ∂2y

∂t2 = c20∂2y∂x2 avec la célérité de l'onde c0 =

√T0

µ`.

2) Les solutions d'ondes stationnaires monochromatiques sont

y(x, t) = F (x)G(t)

y(x, t) = F (x).G(t) véri�e l'équation de D'Alembert ∂2y∂x2 = 1

c20

∂2y∂t2 , qui devient

F”(x)G(t) =1

c20F (x).G”(t)⇔ c20

F”(x)

F (x)=G”(t)

G(t)= cste

en e�et, le premier terme ne dépend que de x, le second que de t : il ne peut s'agir que d'une constante. Si cetteconstante est positive, les fonctions sont exponentielles, et divergent à l'in�ni : ce n'est pas physiquementacceptable. Aussi, cette constante est négative, et on la notera −ω2. On trouve la solution de G”(t)

G(t) = −ω2 :

G(t) = G0. cos (ω.t+ ϕG). De même, la solution de F”(x)F (x) = −ω

2


(ωc0.x+ ϕF

).

En utilisant la méthode de la séparation des variables, on peut réécrire les solutions stationnaires del'équation de D'Alembert sous la forme

y (x, t) = y0. cos (k.x+ ϕF ) . cos (ω.t+ ϕG)

avec k = ωc0.

La condition aux limites en x = 0 impose :

y (x = 0,∀t) = 0⇒ y (x, t) = y0 sin (k x) cos (ω t+ ϕG)

La condition aux limites en x = L impose :

y (x = L,∀t) = 0⇒ sin (k L) = 0⇒ k L = nπ

donc kn = nπL et ωn = nπ c0

L .

3) On peut réécrire

Cn cos (ωn t+ ϕn) = (An cos (ωn t) +Bn sin (ωn t))

4) On en déduit déjà que tous les Bn sont nuls. D'autre part, on crée une fonction s(x) qui correspondà y (x, t = 0) pour x ∈ [0;L], qui est :

si x ∈[−L; −L2

]s(x) = − 2h

L x− 2.hsi x ∈

[−L2 ; +L

2

]s(x) = +2h

L xsi x ∈

[+L2 ;L

]s(x) = − 2h

L x+ 2.h

Le calcul des coe�cients An donne : A2p = 0 et A2p+1 = (−1)p 8hπ2.(2p+1)2 .

5) Les harmoniques décroissent comme 1n2 : le spectre est assez pur.

exo 10.6) Corde attachée à un point matériel oscillant



Une corde inextensible de longueur in�nie, de masse linéique µ`, avec unetension T0 est �xée en x = 0 à un point matériel de masse m en S d'ordonnéeyS(t) qui peut se mouvoir suivant Oy sans frottement. S subit la force dedeux ressorts parallèles à Oy de raideur k. Lorsque S est en O, la force desressorts est nulle.

1) Etude de la cordeOn néglige la pesanteur. On note y(x, t) les déplacements transversaux, supposés petits et ~T (x, t) la tension

qu'exerce à l'instant t la partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de �l d'abscisse inférieure à x. Lepetit élément de longueur dx entre les abscisses x et x+ dx est à l'altitude y(x, t) à l'instant t. Cet élément faitavec l'axe Ox un angle α(x, t) petit.

1.a) Déterminer l'équation di�érentielle véri�ée par y(x, t) ainsi que la vitesse de propagation des ondesdans la corde.

1.b) Montrer que Zc =Tyvy

est indépendant de la position x sur la corde et de la date t.1.c) Véri�er l'équation locale suivante et en donner la signi�cation physique :

∂

∂t

(1

2µ` v

2y +

T 2y

2T0

)=

∂

∂x(vy Ty)

2) Etude du point matériel en S2.a) Exprimer la force exercée par la corde sur le point matériel en S en fonction de µ`, T0 et dyS

dt .2.b) Montrer que S suit l'équation d'un oscillateur : yS + ω0

Q yS + ω20 yS = 0.

2.c) En donner une solution si l'amortissement est faible.

1) Etude de la corde1.a) Le théorème du centre de masse s'écrit :

µ` dxd2~r

dt2= ~T (x+ dx, t)− ~T (x, t)


µ` dx∂2x

∂t2≈ 0 = Tx (x+ dx, t)− Tx (x, t) =

∂Tx∂x

dx




centre de masse :

µ` dx∂2y

∂t2= T0α (x+ dx, t)− T0α (x, t) = T0

∂α

∂xdx

Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x on en déduit l'équation ∂2y

∂t2 = c20∂2y∂x2 avec la célérité de l'onde c0 =

√T0

µ`.

1.b)

Zc =Tyvy

=T0 sinα

∂y∂t

= T0

∂y∂x∂y∂t

or l'équation de propagation peut se réécrire

0 =∂2y

∂t2− c20

∂2y

∂x2=

(∂

∂t− c0

∂

∂x

)(∂

∂t+ c0

∂

∂x

)y

Ici, on considère des ondes progressives vers x croissants,(∂∂t + c0

∂∂x

)y = 0, donc Zc = −T0

c0est indépendant

de la position x sur la corde et de la date t.1.c)

∂

∂t

(1

2µ` v

2y +

T 2y

2T0

)= µ` vy

∂vy∂t

+TyT0

∂Ty∂t

= µ`∂y

∂t

∂2y

∂t2+

1

T0

(T0∂y

∂x

)∂

∂t

(T0∂y

∂x

)⇒

∂

∂t

(1

2µ` v

2y +

T 2y

2T0

)= µ`

∂y

∂t

∂2y

∂t2+ T0

∂y

∂x

∂2y

∂t ∂x= µ` c

20

∂2y

∂x2

∂y

∂t+ T0

∂y

∂x

∂2y

∂t ∂x= T0

[∂2y

∂x2

∂y

∂t+∂y

∂x

∂2y

∂t ∂x

]



d'après l'équation d'onde. Or

∂

∂x(vy Ty) =

∂

∂x

(T0∂y

∂x

∂y

∂t

)= T0

(∂2y

∂x2

∂y

∂t+∂y

∂x

∂2y

∂t ∂x

)(cqfd).

On reconnaitl'énergie cinétique linéique 1

2µ` v2y ;

l'énergie potentielle linéiqueT 2y

2T0;

la puissance de la force vy TyIl s'agit donc du théorème de la puissance mécanique !2) Etude du point matériel en S

2.a) La force exercée par la corde sur le point matériel en S est

~F = ~T (x = 0, t) = Tx (x = 0, t) ~ux + Ty (x = 0, t) ~uy = T0 ~ux + Zc vy (x = 0, t) ~uy

or , comme Zc = −T0

c0,

~F = T0 ~ux −T0

c0vS (t) ~uy = T0 ~ux −

√T0 µ`

dySdt

~uy

qui est une force de frottement �uide !2.b) Système : S (point matériel)

Référentiel terrestre (galiléen)Bilan des forces :

Force de la corde : ~F = T0 ~ux −√T0 µ`

dySdt ~uy ;

Force des ressorts ~Fr = −2 k yS ~uy ;Réaction de la tige ~N = Nx ~ux.

Principe fondamental de la dynamiqueprojeté suivant ~uy : m

d2ySdt2 = −

√T0 µ`

dySdt − 2 k yS .

Soit l'équation d'un oscillateur

yS +ω0

QyS + ω2

0 yS = 0

avec ω20 = 2 k

m et ω0

Q =√T0 µ`m .

2.c) ∆ =(ω0

Q

)2

− 4ω20 = −

(2ω0

√1− 1

4Q2

)2

. Si Q > 12 , ∆ < 0 et les racines de l'équation

caractéristique sont r± = − ω0

2Q ± j ω0

√1− 1

4Q2 .

On pose donc ω = ω0

√1− 1

4Q2 et τ = 2Qω0

, ainsi la solution est yS(t) = a e−tτ cos (ω t+ ϕ).



Approche documentaire (DNS)

Chevaucher les ondes

Jean-Michel COURTY et Roland LEHOUCQIdées de physique c© Pour la Science.

Un mobile rattrapant les ondes qu'il émet au cours de son mouvement en subitles rudes e�ets. Au contraire, quand il les dépasse, il peut en pro�ter. De violentsmouvements agitaient la carlingue d'un avion transsonique qui dépassait le mur

du son ; ce phénomène �t courir de graves dangers aux pilotes d'essais quifranchirent en premier le mur du son après la Seconde guerre mondiale.Actuellement, la conception des avions supersoniques modernes permet

d'atténuer considérablement tous ces e�ets.

Un avion qui vole à la vitesse du son vibre tant qu'il est di�cile à piloter. Depuis 1947, date à laquelle le�mur du son� fut vaincu par l'aviateur américain Charles Yeager, les pilotes savent que les fortes vibrationsqui, au passage du mur du son, secouent la carlingue d'un avion non préparé à cette �n, disparaissent dès quesa vitesse excède celle du son.

L'apparition de vibrations au passage de la vitesse de propagation d'une onde est un phénomène général.Il existe ainsi un �mur de l'onde� pour chaque type : un �mur de l'onde mécanique�, un �mur de la vague�etc. Quand la vitesse du mobile a dépassé celle de l'onde qu'il vient de chevaucher, celui-ci reprend une allurepaisible.Le mur de la caténaireEn 1990, les ingénieurs de la SNCF qui préparaient le record de vitesse du TGV furent confrontés au

phénomène : le train ne pouvait dépasser 500 kilomètres par heure car, à cette vitesse, le captage du courantdevient di�cile à cause des mouvements qui agitent la caténaire (le câble tendu, suspendu à l'horizontale au-dessus du train où circule le courant).

Ce courant alimentant enénergie la motrice est prélevépar le pantographe, un bras ar-ticulé situé sur le toit.

Telle une corde de piano,la caténaire vibre verticale-ment dans une direction per-pendiculaire à son axe : des�ondes transverses� s'y pro-pagent. Leur vitesse est d'au-tant plus grande que la caté-naire est légère et qu'elle esttendue (cette vitesse est égaleà la racine carrée du quotientde la tension par la masse parunité de longueur de la caté-naire).

À titre de comparaison, lacorde de piano qui donne lela du diapason (440 hertz) estsoumise à une tension d'en-viron 85 kilogrammes. D'unelongueur de 42 centimètres etd'un diamètre de un millimètre, une telle corde d'acier (de densité 7,86) pèse environ 6,2 grammes par mètre.



Les ondes qui la parcourent avancent à 370 mètres par seconde (1 330 kilomètres par heure) ; elles font ainsiexactement 440 aller et retour par seconde.

Le problème des ingénieurs de la SNCF était que les ondes transverses qui parcourent une caténaire sontplus lentes que sur une corde à piano et deviennent comparables aux vitesses des trains les plus rapides. Unecaténaire de TGV est constituée d'un câble pro�lé de cuivre pur d'une section de 150 millimètres carrés, soutenupar un câble porteur en bronze. Comme la densité du cuivre est de 8,9, la masse par unité de longueur d'untel câble est de quelque 1,4 kilogramme par mètre soit environ 200 fois plus que celle de la corde à piano déjàévoquée ; il est mis sous une tension 30 fois plus forte que celle de cette corde, soit 2 600 décanewtons. La vitessede propagation des ondes transverses le long de la caténaire est, par conséquent, seulement deux fois et demieplus faible que le long de la corde à piano. Elle vaut environ 500 kilomètres par heure.

Toutefois, contrairement au marteau du piano, le pantographe ne frappe pas la caténaire, mais la soulève.A�n de créer le bon contact électrique recherché, il pousse le câble de cuivre vers le haut. Lorsque le train est àl'arrêt, le pantographe soulève le câble avec une force d'environ cinq décanewtons ; la caténaire adopte la formed'un V renversé dont la pointe est soutenue par le pantographe. La situation est similaire lorsque le train sedéplace lentement. La vitesse augmentant, le V renversé dû au pantographe se déforme et des ondulations sonttransmises dans la caténaire.

L'amplitude de ces déformations augmente avec la vitesse d'autant plus que l'on s'approche de la vitesse depropagation des ondes. Le soulèvement de la caténaire atteint alors 30 à 35 centimètres par endroits : tout sepasse comme si le câble se dérobait devant le pantographe. Le phénomène dégrade le captage du courant jusqu'àentraîner la disjonction des engins de traction, voire des avaries sur les installations !

Ainsi, la vitesse de propagation de ce type d'onde apparaît comme une vitesse limite. Il existe un �murde la caténaire� analogue au mur du son. Sur une voie de TGV normale, où la vitesse de propagation desondes mécaniques est proche de 500 kilomètres par heure, un bon captage de l'électricité n'est possible que sile TGV ne dépasse pas 470 kilomètres par heure. La SNCF a d'ailleurs spéci�é que, lors des trajets normaux,la vitesse de ses TGV ne devait jamais excéder 70 pour cent de la vitesse de propagation des ondes le long dela caténaire. Pour franchir la barre symbolique des 500 kilomètres sur rails il faut donc augmenter la vitesse depropagation des ondes mécaniques le long de la caténaire. Pour y parvenir, les ingénieurs avaient le choix entredeux solutions : abaisser la masse par unité de longueur de la caténaire ou augmenter sa tension. La premièresolution imposait de changer de matériau ; moins dense que le cuivre, le cadmium aurait fait l'a�aire. Cependant,le temps disponible pour préparer le record de vitesse ne su�sait pas pour concevoir, fabriquer et tester descaténaires d'un nouveau type. Aussi, les ingénieurs ont-ils choisi d'augmenter la tension de la caténaire. Aprèsdes tests de résistance des installations en place, la caténaire a été retendue sous une plus forte tension, 3 000décanewtons. Cette précaution a porté la vitesse de propagation des ondes mécaniques à 532 kilomètres parheure sur tout le tronçon du record. Finalement, le 18 mai 1990, la rame 325 a pu atteindre la vitesse record de515,3 kilomètres par heure. Conformément à ce qu'avaient prévu les ingénieurs, la caténaire ne se souleva pasplus de 30 centimètres.

Le mur des ondes de gravitéSi le �mur de la caténaire� semble infranchissable, la plupart des �murs d'ondes� ne le sont pas. Bien avant

le mur du son, un autre mur, moins célèbre avait été franchi, dès le début du XIXe siècle, sur les canauxanglais : le �mur des ondes de gravité�. Les ondes de gravité sont, par exemple, les vagues sur la mer ou cellesque crée un bateau sur une surface d'eau. Leur formation est un phénomène d'analyse délicate, car la vitessede propagation de telles vagues varie avec leurs longueurs d'onde, lesquelles dépendent à leur tour de leursconditions de création.

La situation se simpli�e toutefois dans un canal peu profond car la vitesse de propagation de toutes les



vagues dont la longueur d'onde est supérieure à la profondeur du canal y est constante ; elle est égale à la racinecarrée du produit de la profondeur du canal par l'accélération de la pesanteur.

Dans les canaux de faible profondeur (1,2 mètre) en usage en Angleterre au XIXe siècle pour la navigationde barges à fond plat, cette vitesse excède à peine 12 kilomètres par heure. Si le canal est étroit, les ondesen occupent toute la largeur, et le sillage en V habituellement observé à l'arrière des bateaux ne se développepas. Les ondes prennent naissance à l'avant du bateau et forment plusieurs ondulations qui suivent la poupede l'embarcation. Ces ondes se déplacent avec la barge, leurs crêtes restant quasi perpendiculaires au bord ducanal. Elles ralentissent le bateau qui doit en permanence gravir la vague qu'il crée devant lui, contrairementau surfeur qui pro�te de l'énergie de la vague qu'il chevauche en la descendant continuellement.

Comme les déformations d'une caténaire, ces ondulations de la surface de l'eau augmentent en amplitudequand s'accroît la vitesse de l'embarcation. Ces oscillations commencent à se briser et à écumer quand le bateauapproche de la vitesse de propagation des ondes dans le canal (12 kilomètres à l'heure). Ce phénomène dissipe del'énergie, ce qui freine encore plus le bateau. Cet e�et est toutefois beaucoup moins gênant que les oscillations dela caténaire ou que les e�ets aérodynamiques à l'approche du mur du son. Le bateau peut continuer à naviguermalgré l'apparition de ces vagues turbulentes, et si l'on dispose d'un bon cheval, il est même possible de lui fairedépasser la vitesse des vagues.

Dans un savoureux texte de 1844, l'Anglais Scott Russel raconte comment le phénomène fut découvert parhasard dans le canal de Glasgow à Ardrossan. �Un cheval fougueux tirant une barge de William Houston, l'un despropriétaires du canal, prit peur et partit au galop, tirant le bateau avec lui. Il fut observé par Monsieur Houstonà son grand étonnement, que les vagues pleines d'écume de la poupe qui dévastaient les rives habituellementavaient disparu ; le bateau semblait porté sur une eau bien plus lisse qui freinait beaucoup moins le bateau.Monsieur Houston eut l'intelligence de reconnaître l'intérêt de cette découverte pour la société exploitant le canal,dont il était actionnaire. Il s'occupa lui-même d'introduire sur le canal des bateaux naviguant à des vitessespouvant atteindre neuf miles par heure, ce qui augmenta considérablement les béné�ces des propriétaires ducanal�.

Une fois le �mur de l'onde� passé, les vagues créées par le bateau sont désordonnées et ont une amplitudetrès faible. L'eau est à nouveau plate devant le bateau et la résistance à l'avancement fortement réduite.

Le grand physicien Rutherford, à qui l'on demandait s'il suivait la mode dans ses recherches en physique,avait déjà répondu : �Je crée la vague, je ne la suis pas ?�. Comme le batelier de William Houston.

Enoncé

1) Corde de pianoOn s'intéresse à une corde de piano en acier suivant l'axe Ox, soumise à une tension T0, de masse linéique

µl, de longueur `. Véri�er :1.a) qu'une telle corde "de densité 7, 86 d'un diamètre d'un millimètre pèse 6, 2 g ·m−1".1.b) que sur une telle corde, soumise à une tension "d'environ 85 kg", les ondes se propagent à la

vitesse de 1330 km ·h−1 (on donnera l'équation di�érentielle suivies par les ondes transverses).1.c) qu'une telle corde "de longueur 42 cm donne le la du diapason à 440 Hz" (on donnera la forme

des solutions de l'équation di�érentielle pour ce "la").2) Caténaire

2.a) Véri�er qu'une caténaire "de section 150 mm2 de densité 8,9 tendue à 2 600 décanewtons" voitdes ondes se déplacer à 500 kilomètres par heures.

2.b) Que devient cette vitesse si les caténaires sont tendues à "3 000 décanewtons" ?



Correction

1) Corde de pianoOn s'intéresse à une corde de piano en acier suivant l'axe Ox, soumise à une tension T0, de masse linéique

µl, de longueur `. Véri�er :1.a) Comme la masse volumique de l'eau est µ0 = 1, 0× 103 kg ·m−3, la masse linéique de la corde

de densité dc = 7, 86 et de diamètre d = 1mm est

µl = dc µ0π d2

4= 7, 86× 1, 0× 103 ×

π ×(10−3

)24

= 6, 2× 10−3 kg ·m−1

1.b) Sur une telle corde, soumise à une tension T0 = mg = 85× 9, 81 = 8, 3× 102 N", les ondes sepropagent à la vitesse

c0 =

√T0

µl=

√8, 3× 102

6, 2× 10−3= 3, 7× 102 m · s−1 = 1, 3× 103 km ·h−1

L'équation di�érentielle suivies par les ondes transverses est celle de D'Alembert :

∂2ψ

∂x2=

1

c20

∂2ψ

∂t2

1.c) Une telle corde de longueur ` = 42cm présente comme mode fondamental celui qui correspondà

` =λ

2=

c02 f⇒ f =

c02 `

=3, 7× 102

2× 0, 42= 4, 4× 102 Hz

La forme des solutions de l'équation di�érentielle pour ce "la" est celle d'une onde stationnaire :

ψ (x, t) = ψ0 sin (k x) sin (ω t+ ϕ) = ψ0 sin(π x`

)sin

(π c0 t

`+ ϕ

)2) Caténaire

2.a) Pour une caténaire "de section s = 150× 10−6 m2 de densité d0 = 8, 9 tendue avec une tensionT0 = 2600× 101 N, les ondes ont pour célérité

c0 =

√T0

µl=

√T0

d0 µ s=

√2, 6× 104

8, 9× 103 × 150× 10−6= 1, 4× 102 m · s−1 = 5, 0× 103 km ·h−1

2.b) Si les caténaires sont tendues à "3 000 décanewtons"

c0 =

√3, 0× 104

8, 9× 103 × 150× 10−6= 1, 5× 102 m · s−1 = 5, 4× 103 km ·h−1



Problème (DNS)Propagation d'ondes sismiques

Les vibrations sismiques se composent, d'une part d'ondes de compression, et d'autre part d'ondes de ci-saillement. Ces ondes ne se propagent pas à la même vitesse, ce qui permet de les distinguer. En�n, il y aégalement des � ondes de surface �.

La source de ces ondes peut être naturelle (tremblement de Terre), ou arti�cielle (explosion souterraine deforte puissance, camion vibreur). L'étude du temps de propagation de ces ondes apporte des renseignementsprécieux sur la nature du sous-sol et des couches internes de la Terre. Dans cette partie, on montre dans uncas simple comment le temps de propagation de ces ondes permet de connaître la vitesse de propagation enprofondeur.

Dans ce qui suit, le sous-sol est modélisé comme une succession de couches horizontales, au sein desquellesla vitesse de propagation de l'onde sismique V (z), dépend de la profondeur z, supposée positive. L'axe Ozcaractérise la verticale orientée vers le bas.

Pour étudier la propagation des vibrations dans le sous-sol, on a recours à une analogie avec l'optique. Unesource de vibration émet à la surface du sol, en un point O, un train d'ondes sismiques. On appelle rai sismiquela trajectoire normale à toutes les surfaces de l'onde émise. Le rai sismique est l'analogue du rayon lumineux.

1) Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction d'un rayon lumineux à l'interface de deux milieuxtransparents d'indice de réfraction respectivement égaux à 1 et n > 1. Illustrer votre réponse par un schéma.

Par analogie avec l'optique, on dé�nit l'�indice de réfraction� des ondes sismiques comme égal à l'inversede la vitesse : n(z) = 1

V (z) . L'indice de réfraction ainsi dé�ni a donc la dimension de l'inverse d'une vitesse,contrairement à l'indice optique qui est sans dimension.

2) Dé�nir pour les ondes sismiques, l'analogue du chemin optique dans un milieu d'indice variable, etmontrer que cette quantité τ est égale au temps de propagation de l'onde sismique le long du rai sismique.

Le rai sismique peut être vu comme une trajectoire z(x). On introduit i, angle en radian entre la tangenteà la trajectoire et la verticale dé�nie par ~ez.

3) En raisonnant sur un milieu constitué de couches horizontales d'indice nm (cf. �gure précédente), et enappelant im l'angle du rai avec la verticale dans la couche m, montrer que le produit nm sin(im) reste constantle long du rai (les lois sont les mêmes qu'en optique).En déduire que dans un sol où l'indice dépend continûment de la profondeur z, la grandeur sin(i(x))

V (z(x)) resteconstante le long de la trajectoire.Exprimer sin (i(x)) en fonction de la dérivée dz

dx de la trajectoire du rai sismique.

On considère un rai OA issu d'une source O située à l'origine x = 0, z = 0 du repère. Ce rai est incurvé de



façon à revenir vers la surface en un point A situé à une distance ∆ = xA de la source des ondes, après êtrepassé par un point A′ de profondeur maximale z = h (cf. �gure précédente).

4) Quel doit être le sens de variation de l'indice avec la profondeur, et par voie de conséquence, de la vitesseV (z), pour qu'une telle situation soit observée ?A quel phénomène optique fréquent dans les régions chaudes et désertiques du globe, la situation ci-dessusest-elle comparable ?

5) Si A′ est le point de profondeur maximale h, la quantité sin(i(x))V (z(x)) reste égale à 1

V (h) le long de latrajectoire. Donner en fonction de V (z) et de V (h), l'équation di�érentielle à laquelle obéit la trajectoire z(x)du rai sismique.

6) En supposant que la vitesse de propagation des vibrations sismiques obéit à la loi V (z) = V0 + κ.z, eten se limitant aux rais sismiques dont la profondeur h reste su�samment faible pour que la quantité κ.z

V0soit

petite devant 1, véri�er que la trajectoire d'équation

z(x) = h−(√

h− x√

κ

2V0

)2

est solution de l'équation di�érentielle obtenue.Quelle est la forme géométrique de ce rai sismique ?Pour quelle valeur de x, z(x) s'annule-t-il ?

Remarque : la constante V0 n'est autre que la vitesse de propagation des ondes au voisinage de la surface,et κ le premier coe�cient du développement limité de V (z) au voisinage de la surface.

La �gure précédente représente deux rais issus de O sous des incidences très proches de i0 (angle entre le raiet la verticale), émergeant en deux points voisins A et B, et contenus dans un même plan vertical. Le point Cappartenant au rai émergeant en B, forme avec A et B un triangle (presque) rectangle. Il en résulte que A etC appartiennent à la même surface d'onde, vibrent en phase, et que le temps de propagation de l'onde depuisla source est identique pour A et C.

7) Exprimer la distance CB en fonction des coordonnées xA et xB des points A et B et de sin i0. Sachantque dans cette zone proche de la surface du sol, la vitesse reste quasi égale à V0 = V (z = 0), exprimer ladi�érence entre le temps de propagation τ(A) le long du rai OA et τ(B) le long du rai OB.

8) Montrer que la vitesse apparente des ondes en surface, dé�nie comme Va = xB−xAτ(B)−τ(A) pour deux rais

sismiques émergeant en deux points A et B proches, est égale à la vitesse de l'onde au point A′ de profondeurmaximale z = h.

9) Cette question peut être traitée indépendemment des questions précédentes. Le résultat de la questionprécédente suggère qu'il doit être possible de déduire la vitesse de propagation des ondes en profondeur V (h),à partir de mesures faites en surface. Malheureusement, la profondeur h du rai reste inconnue. Le principe dela détermination de la vitesse V (z), fonction de la profondeur z, repose sur la formule d'inversion de Herglotz-Wiechert :

h(∆) =1

G

∫ ∆

0

ArgCh

(Va(∆)

Va(u)

)du

où ArgCh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique, ∆ la distance à la source, Va(∆) la vitesseapparente des ondes en surface, fonction de la distance ∆, u une variable muette d'intégration, et G uneconstante qui reste à déterminer.

D'autre part, le résultat d'une question précédente permet d'établir facilement la relation entre h et ∆. Ontrouve que :

h(∆) =κ

8V0∆2

En substituant à Va(∆), l'expression Va(∆) = V (h(∆)) = V0 + κh = V0 + κ2 ∆2

8V0, puis Va(u) = V (h(u)) =

V0 + κu = V0 + κ2 u2

8V0dans la formule de Herglotz-Wiechert, et en ne retenant que les termes d'ordre les plus

bas en κ2 ∆2

V0et κ2 u2

V0, calculer la valeur numérique de la constante G.

Données : ArgCh(x) ≈√

2 (x− 1) au voisinage de x ≈ 1.

1) La loi de Snell-Descartes s'écrit n1. sin i1 = n2. sin i2 donc

sin i1 = n. sin i2

n > 1 ⇒ i2 < i1, ainsi, le rayon réfracté se rapproche de la normale. Le schéma de la �gure ?? résume lasituation dans le plan d'incidence.



2) En optique L =∫n.ds, on peut dé�nir l'analogue par

τ =

∫ds

V (z)=

∫dt

qui est bien la durée de propagation de l'onde sismique le long du rai sismique.3) Le rayon réfracté à chaque interface reste dans le plan d'incidence dé�ni par le premier rayon et la

normale à la première interface (Oxz ici). D'autre part, pour chaque dioptre,

n1. sin i1 = n2. sin i2 = ... = nm. sin im = cste

Il vient donc en remplaçant n par sa valeur, si la variation est continue :

sin (i(x))

V (z(x))= cste

On peut exprimer la dérivée dzdx de la trajectoire du rai sismique en fonction de l'angle i par :

dzdx = tan

(π2 − i(x)

)= cos i(x)

sin i(x) =

√1−sin2 i(x)

sin i(x)

relation qu'il s'agit d'inverser :(dzdx

)2sin2 i(x) = 1− sin2 i(x), soit :

sin i(x) =1√

1 +(dzdx

)24) i augmente avec z, donc n diminue avec z et ainsi V (z) augmente avec z.On peut comparer cette situation à celle d'un mirage optique.5) On a vu que sin(i(x))

V (z(x)) = cste = 1V (h) et sin i(x) = 1√

1+( dzdx )2, aussi :

V (h)

V (z(x))=

√1 +

(dz

dx

)2

6) Développons à l'ordre 1 en κ.zV0

ou κ.hV0

:V (h)V (z(x)) =

1+κ.hV0

1+κ.zV0

≈(

1 + κ.hV0

).(

1− κ.zV0

)≈ 1 + κ.h

V0− κ.z

V0= 1 + κ.(h−z)

V0. L'équation di�érentielle à véri�er

est donc : √1 +

(dz

dx

)2

≈ 1 +κ. (h− z)

V0

On donne la solution de l'équation, il s'agit donc simplement de dériver pour véri�er que ça marche ! dzdx =

−2.(√

h− x√

κ2.V0

).(−√

κ2.V0

)=√

2.κV0

(√h− x

√κ

2.V0

).

Qui nous permet de calculer :(dzdx

)2= 2.κ

V0

(√h− x

√κ

2.V0

)2

= 2.κV0

(h− z).

Aussi, un dl à l'ordre 1 en κ.zV0

ou κ.hV0

donne :



√1 +

(dzdx

)2=√

1 + 2.κV0

(h− z) ≈ 1 + 12

2.κV0

(h− z).On a bien : √

1 +

(dz

dx

)2

≈ 1 +κ. (h− z)

V0

Aussi, la fonction z(x) donnée est bien solution de l'équation di�érentielle.z(x) est une parabole.

z(x) = 0⇔√h− x

√κ

2.V0= ±√h La première solution est : x = 0 = xO (solution triviale) ; la seconde

x =

√8.V0.h

κ= xA

7) Dans le triangle ABC rectangle en C, cos(π2 − i0

)= CB

xB−xa = sin (i0), on en déduit donc :

CB = (xB − xa) . sin (i0)

Comme A et C sont dans la même surface d'onde : τ(A) =∫OA

dsV (z) = τ(C) =

∫OC

dsV (z) . D'autre part,∫

CBdsV (z) ≈

CBV0

= xB−xaV0

sin (i0). D'où l'on déduit :

τ(B)− τ(A) =xB − xA

V0sin (i0)

8) Va = xB−xAτ(B)−τ(A) = V0

sin(i0) .D'autre part la vitesse de l'onde au point A′ de profondeur maximale z = h est : V (h) = V0 + κ.h. Or

on a vu que la quantité sin(i(x))V (z(x)) restait égale à 1

V (h) .Donc, on a bien :

Va = V (h) = V (A′)

9) Récapitulons : d'une part h(∆) = 1G

∫∆

0ArgCh

(Va(∆)Va(u)

)du = κ

8.V0∆2,

d'autre part, en substituant Va(∆) = V0 + κ2.∆2

8.V0et Va(u) = V0 + κ2.u2

8.V0, on trouve en faisant un dl :

Va(∆)Va(u) =

1+κ2.∆2

8.V 20

1+κ2.u2

8.V 20

≈(

1 + κ2.∆2

8.V 20

).(

1− κ2.u2

8.V 20

)≈ 1 + κ2.∆2

8.V 20− κ2.u2

8.V 20

= 1 +κ2.(∆2−u2)

8.V 20

,

Comme ArgCh(x) ≈√

2.(x− 1) au voisinage de x ≈ 1,

ArgCh(Va(∆)Va(u)

)≈√

2.(κ2.(∆2−u2)

8.V 20

) =κ.√

(∆2−u2)

2.V0

On remplace maintenant dans la formule de Herglotz-Wiechert :h(∆) = κ

2.V0.G

∫∆

0

√∆2 − u2du =.

Pour calculer cette intégrale, on fait le changement de variables u = ∆ sin θ :∫∆

0

√∆2 − u2du = ∆2.

∫ π2

0

√1− sin2 θdθ = ∆2.

∫ π2

0cos2 θ.dθ = ∆2 π

4Reste à remplacer : κ

8.V0∆2 = κ

2.V0.G∆2 π

4 , d'où l'on tire :

G = π


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Ondes mécaniques - Alain Le Rille - Physique en PC*