Mathmatiques (L3) Quelques exercices supplmentaires

OPTIMISATION CONTRAINTE

1. Optimisation contrainte deux variables . . . . . . . . . . . . 1 2. Optimisation contrainte trois variables . . . . . . . . . . . . 5

1. Optimisation contrainte deux variables

Exercice 1.1. On considre la fonction f (x, y) = x2+y24xy soumise la contrainte x2+y2 = 8.Quels sont les extremums de cette fonctions ?

Corrig de lexercice 1.1. On doit rsoudre un problme dextremum pour une fonction de deuxvariables soumise une contrainte donne sous forme dgalit. On utilise donc la mthode duLagrangien. Posons (x, y) = x2 + y2. Les fonctions f et sont des polynmes donc admettentdes drives partielles continues de tous les ordres sur louvert U = R2.

Rgularit de la courbe de contrainte. Avant toute chose, on vrifie que la courbe de contrainte(x, y) = 8 est rgulire. Pour cela, on montre que le systme suivant na pas de solutions :

x = 0

y = 0

(x, y) = 8

2x = 0

2y = 0

x2 + y2 = 8

x = y = 00 = 8

La dernire quation est impossible, donc le systme na pas de solution.

Points stationnaires du Lagrangien. On forme le Lagrangien

L(x, y, ) = f (x, y) ((x, y) 8) = x2 + y2 4xy (x2 + y2 8),

et on dtermine les points stationnaires, cest--dire les solutions du systme suivant :Lx = 0Ly = 0L= 0

2x 4y 2x = 02y 4x 2y = 0x2 + y2 = 8

1

Notons que, daprs les deux premires quations, si x ou y est nul, alors ils le sont tous lesdeux. Or, daprs la troisime quation, x et y ne peuvent pas tre nuls en mme temps, donc xet y sont ncessairement non nuls. On peut donc diviser par x et y volont :

= x2yx = y2xyx2 + y2 = 8

= x2yxx2y

x =y2x

y

x2 + y2 = 8

= x2yxxy 2y2 = xy 2x2

x2 + y2 = 8

= x2yxx2 = y2

x2 + y2 = 8

= x2yxx2 = y2

2x2 = 8

= x2yxx2 = y2 = 4

x = 2y = 2 = x2yx

On trouve donc les quatre points stationnaires suivants : le point (x, y) = (2, 2) auquel correspond = 1 ; le point (x, y) = (2, 2) auquel correspond = 3 ; le point (x, y) = (2,2) auquel correspond = 3 ; le point (x, y) = (2,2) auquel correspond = 1.

Nature des points stationnaires. Pour chacun des points stationnaires prcdents, puisque lesfonctions admettent des drives partielles dordre deux continues, on peut dterminer leurnature en examinant le signe de la forme quadratique hessienne sur les espaces tangents.

Lespace tangent la courbe de contrainte (x, y) = 8 en (x, y) = (x, y) est lespace vecto-riel T donn par

(u, v) T x

(x, y)u +

y(x, y)v = 0 2xu + 2yv = 0

xu + yv = 0.

La forme quadratique hessienne au point (x, y, ) est donne par

Q(u, v) =2Lx2

(x, y, )u2 + 22Lxy

(x, y, )uv +2Ly2

(x, y, )v2

= (2 2)u2 8uv + (2 2)v2

Nature du point (x, y) = (2, 2). Pour ce point, on a = 1,

(u, v) T v = u et Q(u, v) = 4u2 8uv + 4v2.

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) u , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(u,u) = 4u2 + 8u2 + 4u2 = 16u2 > 0,

donc le point (x, y) = (2, 2) correspond un minimum.

Nature du point (x, y) = (2,2). Ici (ce nest pas le cas en gnral), le calcul est le mmeque dans le cas prcdent, donc le point (x, y) = (2, 2) correspond un minimum.

Nature du point (x, y) = (2, 2). Pour ce point, on a = 3,

(u, v) T v = u et Q(u, v) = 4u2 8uv 4v2.

2

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) u , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(u, u) = 4u2 8u2 4u2 = 16u2 < 0,

donc le point (x, y) = (2, 2) correspond un maximum.Nature du point (x, y) = (2,2). Ici (ce nest pas le cas en gnral), le calcul est le mme quedans le cas prcdent, donc le point (x, y) = (2,2) correspond un minimum.

Exercice 1.2. On considre la fonction f (x, y) = x3 + y3 soumise la contrainte x2 + y2 = 4.Quels sont les extremums de cette fonctions ?

Corrig de lexercice 1.2. On doit rsoudre un problme dextremum pour une fonction de deuxvariables soumise une contrainte donne sous forme dgalit. On utilise donc la mthode duLagrangien. Posons (x, y) = x2 + y2. Les fonctions f et sont des polynmes donc admettentdes drives partielles continues de tous les ordres sur louvert U = R2.

Rgularit de la courbe de contrainte. Avant toute chose, on vrifie que la courbe de contrainte(x, y) = 4 est rgulire. Pour cela, on montre que le systme suivant na pas de solutions :

x = 0

y = 0

(x, y) = 4

2x = 0

2y = 0

x2 + y2 = 4

x = y = 00 = 8

La dernire quation est impossible, donc le systme na pas de solution.

Points stationnaires du Lagrangien. On forme le Lagrangien

L(x, y, ) = f (x, y) ((x, y) B) = x3 + y3 (x2 + y2 4),

et on dtermine les points stationnaires, cest--dire les solutions du systme suivant :Lx = 0Ly = 0L= 0

3x2 2x = 03y2 2y = 0x2 + y2 = 4

Distinguons trois cas. premier cas : x = 0 ; alors la troisime quation fournit y2 = 4 et donc y = 2 ; la

deuxime quation fournit alors = 32y = 3. deuxieme cas : y = 0 ; alors la troisime quation fournit x2 = 4 et donc x = 2 ; la

deuxime quation fournit alors = 32 x = 3. troisieme cas : x , 0 et y , 0 ; alors la premire quation se rcrit 3x = 2 et la deuxime

3y = 2 ; par suite, 3x = 3y et donc x = y ; la troisime quation fournit alors 2x2 = 4cest--dire x2 = 2 cest--dire x =

2. On a donc x = y =

2 et = 32 x =

32

2.

On trouve donc les six points stationnaires suivants : le point (x, y) = (0, 2) auquel correspond = 3 ; le point (x, y) = (0,2) auquel correspond = 3 ; le point (x, y) = (2, 0) auquel correspond = 3 ; le point (x, y) = (2, 0) auquel correspond = 3 ;

3

le point (x, y) = (

2,

2) auquel correspond = 32

2 ; le point (x, y) = (

2,

2) auquel correspond = 32

2.

Nature des points stationnaires. Pour chacun des points stationnaires prcdents, puisque lesfonctions admettent des drives partielles dordre deux continues, on peut dterminer leurnature en examinant le signe de la forme quadratique hessienne sur les espaces tangents.

Lespace tangent la courbe de contrainte (x, y) = 4 en (x, y) = (x, y) est lespace vecto-riel T donn par

(u, v) T x

(x, y)u +

y(x, y)v = 0 2xu + 2yv = 0

xu + yv = 0.

La forme quadratique hessienne au point (x, y, ) est donne par

Q(u, v) =2Lx2

(x, y, )u2 + 22Lxy

(x, y, )uv +2Ly2

(x, y, )v2

= (6x 2)u2 + (6y 2)v2.

Nature du point (x, y) = (0, 2). Pour ce point, on a = 3,

(u, v) T v = 0 et Q(u, v) = 6u2 + 6v2.

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) u , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(u, 0) = 6u2 < 0,

donc le point (x, y) = (0, 2) correspond un maximum.

Nature du point (x, y) = (0,2). Pour ce point, on a = 3,

(u, v) T v = 0 et Q(u, v) = 6u2 6v2.

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) u , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(u, 0) = 6u2 > 0,

donc le point (x, y) = (0,2) correspond un minimum.Nature du point (x, y) = (2, 0). Pour ce point, on a = 3,

(u, v) T u = 0 et Q(u, v) = 6u2 6v2.

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) v , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(0, v) = 6v2 < 0,

donc le point (x, y) = (2, 0) correspond un maximum.

Nature du point (x, y) = (2, 0). Pour ce point, on a = 3,

(u, v) T u = 0 et Q(u, v) = 6u2 + 6v2.

4

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) v , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(0, v) = 6v2 > 0,

donc le point (x, y) = (2, 0) correspond un minimum.Nature du point (x, y) = (

2,

2). Pour ce point, on a = 32

2,

(u, v) T v = u et Q(u, v) = 3

2(u2 + v2).

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) u , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(u,u) = 6

2u2 > 0,

donc le point (x, y) = (

2,

2) correspond un minimum.

Nature du point (x, y) = (

2,

2). Pour ce point, on a = 32

2,

(u, v) T v = u et Q(u, v) = 3

2(u2 + v2).

Soit (u, v) T , on a (u, v) , (0, 0) u , 0 et, sous cette condition,

Q(u, v) = Q(u,u) = 6

2u2 > 0,

donc le point (x, y) = (

2,

2) correspond un maximum.

2. Optimisation contrainte trois variables

Exercice 2.1. Trouver les extremums de la fonction f (x, y, z) = (x 2)2 + y2 + z2 soumise lacontrainte x2 + 2y2 + 3z2 = 1.

Corrig de lexercice 2.1. Posons (x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2.

Premire tape : les fonctions f et sont C2 sur un certain ouvert U R3. Puisque f et sontdes polynmes, ils sont C sur U = R3.

Deuxime tape : la surface de contrainte est rgulire. Pour cela, on montre que le systmesuivant na pas de solutions :

x = 0

y = 0

z = 0

(x, y, z) = 1

2x = 0

4y = 0

6z = 0

x2 + 2y2 + 3z2 = 1

x = y = z = 00 = 1

Le systme na donc pas de solutions donc la surface de contrainte est rgulire.

Troisime tape : points stationnaires du lagrangien. Formons le lagrangien :

L(x, y, z, ) = f (x, y, z) (h(x, y, z) 1) = (x 2)2 + y2 + z2 (x2 + 2y2 + 3z2 1)

5

Dterminons les points stationnaires :Lx = 0Ly = 0Lz = 0L= 0

2(x 2) 2x = 02y 4y = 02z 6z = 0(x2 + 2y2 + 3z2 1) = 0

x(1 ) = 2y(1 2) = 0z(1 3) = 0x2 + 2y2 + 3z2 = 1

Daprs la premire quation, on a x , 0 et , 1. Montrons que , 12 et ,13 . Si =

12 , on a

alors x = 4 et donc la troisime quation devient 42+2y2+3z2 = 1 cest--dire 2y2+3z2 = 15 cequi est absurde. De mme, si = 13 , on a x = 3 et donc troisime quation devient 2y

2+3z2 = 8ce qui est absurde. Par suite, puisque , 12 et ,

13 , les deuximes et troisimes quations

fournissent y = z = 0 et donc x2 = 1 do x = 1. Daprs la premire quation, on a = 1 2xdonc si x = 1, on a = 1 et si x = 1, on a = 3.

Il y a donc deux points stationnaires : le point (x, y, z) = (1, 0, 0) correspondant = 1 ; le point (x, y, z) = (1, 0, 0) correspondant = 3.

Quatrime tape : nature des points stationnaires. Puisque f et sont C2, on utilise les condi-tions du second ordre. La forme quadratique hessienne est

Q(u, v,w) =2Lx2

(x, y, z, )u2 +2Ly2

(x, y, z, )v2 +2Lz2

(x, y, z, )w2

+2Lxy

(x, y, z, )uv +2Lxz

(x, y, z, )uw +2Lyz

(x, y, z, )vw

= 2(1 )u2 + 2(1 2)v2 + 2(1 3)w2.Lorsque = 1, on a Q(u, v,w) = 4u2+6v2+8w2 donc, ds que (u, v,w) , (0, 0, 0), Q(u, v,w) >0. Sans mme calculer lquation de lespace tangent, on peut donc dire que dans ce cas on esten prsence dun minimum au point (1, 0, 0).

De mme, lorsque = 3, on a Q(u, v,w) = 4u2 10v2 16w2 donc, ds que (u, v,w) ,(0, 0, 0), Q(u, v,w) < 0. Sans mme calculer lquation de lespace tangent, on peut donc direque dans ce cas on est en prsence dun maximum au point (1, 0, 0).

Exercice 2.2. Optimiser la fonction dfinie par f (x, y, z) = 13 x3 + y + z2 sous les contraintes

x + y + z = 0 et x + y z = 0.

Corrig de lexercice 2.2. Posons (x, y, z) = x + y + z et (x, y, z) = x + y z.Premire tape : les fonctions f , et sont C2 sur un certain ouvert U R3. Puisque f , et sont des polynmes, elles sont C sur U = R3.

Deuxime tape : la courbe de contrainte est rgulire. On doit montrer que les deux systmessuivants nont pas de solutions :

x = 0

y = 0

z = 0

(x, y, z) = 0

(x, y, z) = 0

et

x = 0

y = 0

z = 0

(x, y, z) = 0

(x, y, z) = 0

6

Puisque x = 1 et

x = 1, les deux premires quations de ces deux systmes sont impossiblesdonc la courbe (x, y, z) = (x, y, z) = 0 est rgulire (cette courbe est en fait la droite dquationz = 0 et y = x, donc est rgulire en tant que droite).Troisime tape : points stationnaires du lagrangien. On dfinit le lagrangien :

L(x, y, z, , ) = f (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)

=13

x3 + y + z2 (x + y + z) (x + y z).

Trouvons les points stationnaires :

Lx = 0Ly = 0Lz = 0L= 0

L= 0

x2 = 01 = 02z + = 0(x + y + z) = 0(x + y z) = 0

+ = x2

+ = 1

= 2zx + y = z

x + y = z

x2 = 1

+ = 1

= 0z = 0

y = x

x = 1y = xz = 0

= = 12

On trouve donc deux points stationnaires pour lesquels on a = = 12 : le point (x, y, z) = (1,1, 0) ; le point (x, y, z) = (1, 1, 0).

Quatrime tape : nature des points stationnaires. Puisque les fonctions f , et sont C2, onpeut utiliser les conditions du second ordre pour dterminer la nature des points stationnaires.La forme quadratique hessienne est

Q(u, v,w) =2Lx2

(x, y, z, )u2 +2Ly2

(x, y, z, )v2 +2Lz2

(x, y, z, )w2

+2Lxy

(x, y, z, )uv +2Lxz

(x, y, z, )uw +2Lyz

(x, y, z, )vw

= 2xu2.

On na pas Q(u, v,w) > 0 pour tout (u, v,w) , (0, 0, 0) ou Q(u, v,w) < 0 pour tout (u, v,w) ,(0, 0, 0), donc on doit dterminer les quations des espaces tangents.

Lespace tangent T la courbe de contrainte (x, y, z) = (x, y, z) = 0 est donn par

(u, v,w) T x (x, y, z)u + y (x, y, z)v + z (x, y, z)w = 0x (x

, y, z)u + y (x

, y, z)v + z (x

, y, z)w = 0

u + v + w = 0u + v w = 0

w = 0v = uEn particulier, lespace tangent est indpendant du point considr. Soit (u, v,w) T . On a

(u, v,w) , (0, 0, 0) (u,u, 0) , (0, 0, 0) u , 0

et, dans ce cas, lorsque (x, y, z) = (1,1, 0)

Q(u, v,w) = Q(u,u, 0) = 2u2 > 0,

7

donc le point correspond un minimum ; lorsque (x, y, z) = (1, 1, 0), on a, toujours quandu , 0,

Q(u, v,w) = Q(u,u, 0) = 2u2 < 0,

donc le point correspond un maximum.

8

Optimisation contrainte 1. Optimisation contrainte deux variables 2. Optimisation contrainte trois variables