Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Leçon n°14 :

Equation des cordes vibrantes, Solution en ondes stationnaires de l’équation de d’Alembert

Equation du mouvement d’une corde (1)

•On peut obtenir l’équation du mouvement directement : en considérant une corde de longueur l soumise à une force f(x,t) par unité de longueur. Le déplacement transversal de la corde u(x,t) est supposé petit.


• L’équation des forces dans la direction z donne :

où T est la tension, est la masse par unité de longueur et θ l’angle de déflexion de la corde avec l’axe des x.• Pour un élément de corde dx :

et

sinTfdxdsindTTdt

uddx

2

2

x

utgsin,dx

x

TdT

dxx

u

x

udtgdsin

2

2


• qui donne :

• Si la corde est uniforme, et la tension constante, nous obtenons :

• Si f(x,t)=0, on obtient l’équation d’onde :

t,xfx

t,xuT

xt

t,xu2

2

2

2

2

2

t

t,xut,xf

x

t,xuT

Tv

1avec0

t

u

v

1

x

u22

2

22

2

Conditions initiales et conditions aux limites (1)

• L’équation d’onde est du deuxième ordre en x et en t. Nous avons donc besoin de deux conditions initiales et de deux conditions aux limites pour trouver la solution u(x,t).

• Si la corde a une déflexion u0(x) et une vitesse au temps t=0 connues, les conditions initiales s’écrivent :

• Si la corde est fixée au point x=0 par exemple, le déplacement est égal à zéro, la condition aux limites limite s’écrit :

xu0t,xt

uxu0t,xu 00

xu0

0t0t,0xu


• Si la corde est connectée à un bouton qui se déplace dans la direction perpendiculaire comme le montre la figure de gauche, l’extrémité ne peut pas avoir de force transversale et la condition aux limites s’écrit :

0

x

t,xuxT


Si l’extrémité x=0 par exemple est libre et T est constante cette équation devient :

• Si l’extrémité x=l est fixée à un ressort comme le montre la figure, la condition aux limites s’écrit :

où k est la constante de raideur du ressort.

0t0

x

t,0u

0tt,xkux

t,xuxT

lxlx

Vibrations libres d’une corde uniforme

• l’équation d’onde peut être résolue par la méthode de séparation des variables. On écrit dans ce cas :

• En substituant dans l’équation d’ondes, on obtient :

• Puisque le membre de gauche dépend de x seulement et le membre de droite de t seulement, leur valeur commune doit être une constante. On écrit

tTxUt,xu

2

2

2

22

dt

Td

T

1

dx

Ud

U

v

2

2

2

2

22

dt

Td

T

1

dx

Ud

U

v

Vibrations libres d’une corde

• Les fonctions U(x) et T(t) obéissent donc aux équations :

• Les solutions de ces équations s’écrivent :

où est la fréquence des vibrations et les constantes A, B, C et D peuvent être évaluées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites.

0Tdt

Td0U

vdx

Ud 22

2

2

2

2

2

tsinDtcosCtTv

xsinB

v

xcosAxU

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (1)

• Les conditions aux limites sont

ce qui veut dire

U(0)=0 veut dire que

• La constante A doit être égale à zéro, ce qui implique :

• Comme B ne peut pas être égal à zéro pour une solution non triviale, nous obtenons l’équation caractéristique satisfaite pour plusieurs valeurs de :

0t,lut,0u 0lU0U

0v

lsinB

,...2,1n,l

nv0

v

lsin

n


• La solution un(x,t) correspondant à n peut s’exprimer par :

où les Cn et Dn sont des constantes arbitraires. La solution un(x,t) est appelée le nième mode de vibration ou la nième

harmonique ou le nième mode normal de la corde.•Dans chacun de ces modes, chaque point de la corde vibre avec une

amplitude proportionnelle à la valeur de Un à ce point avec la fréquence circulaire

• La fonction Un(x) est appelée la nième fonction caractéristique ou nième fonction normale.

tnvsinD

tnvcosC

xnsintTxUt,xu nnnnn

nv

n


Figure : trois premiers modes de vibration d’une corde fixe aux extrémités. Le premier mode est appelée mode fondamental et 1 est appelée la fréquence fondamentale. La période fondamentale est

Les points où un=0 sont appelés des nœuds de vibration.

.v

22

11


• La solution générale pour une corde fixée aux deux extrémités est donnée par la superposition de tous les un(x,t) :

• Cette équation donne toutes les vibrations possibles de la corde. Toute vibration particulière est uniquement déterminée à partir de spécifiques conditions initiales qui donnent des valeurs uniques aux constantes Cn et Dn.

1n 1n

nnn l

tnvsinD

l

tnvcosC

l

xnsint,xut,xu


• Si les conditions initiales sont spécifiées, nous obtenons dans l’intervalle 0xl

qui sont les développements en séries de fourrier des fonctions

• Les valeurs de Cn et Dn peuvent être trouvées en multipliant les équations précédentes par sin (nx/l) et en intégrant de zéro à l :

1n0n

1n0n

xul

xnsinD

l

v

xul

xnsinC

xuetxu00

l

0 0n

l

0 0n

dxl

xnsinxu

nv

2D

dxl

xnsinxu

l

2C

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (1)

Énoncé : Une corde de longueur l, fixée aux extrémités, est pincée au milieu, comme le montre la figure, et ensuite relâchée. Déterminer son mouvement.

Fig.5 : Déflexion initiale d’une corde pincée


Solution :

Puisque et donc Dn=0, notre solution s’écrit :

0xu0

lx2

l

l

xlh22

lx0

l

hx2

xu

où

dxl

nππsinxu

l

2C

avec

l

tnvcos

l

xnsinCt,xu

0

l

0 0n

1nn

pour

pour


En substituant l’équation de u0(x) dans celle de Cn, nous obtenons

En utilisant la relation

On peut écrire

Dans ce cas, aucune harmonique paire n’est excitée.

,...6,4,2npour0

,...5,3,1npour2

nsin

n

h8

dxl

xnsinxl

l

h2dx

l

xnsin

l

hx2

l

2C

22

l

2l

2l

0n

...5,3,1n,12

nsin 2

1n

...vt3

sin9

1vtcos

xsin

h8t,xu

2

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