Memoire v0 vince - ressources-actuarielles.net · Résumé La loi du 21 août 2003 portant réforme des retraites, puis la loi du 26 juillet 2005 pour la confiance et la modernisation

PROMOTION 2010

Mémoire présenté devant

L ’ I n s t i t u t d e S t a t i s t i q u e De l'Université Pierre et Marie Curie

Pour l'obtention du

D i p l ô m e d e S t a t i s t i c i e n

M e n t i o n A c t u a r i a t

A s s u r a n c e �� F i n a n c e ��

Par Vincent RAJAUD Sujet : Modélisation d’un contrat d’assurance sur la vie diversifié

Lieu du stage : AG2R LA MONDIALE Responsable du stage : Carl GUEVEL Invité(s) :

CONFIDENTIEL ��

Modélisation d’un contrat d’assurance sur la vie diversifié

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Remerciements Avant toute chose, je tiens tout particulièrement à remercier mon maître de stage, Carl Guével, pour ses nombreux conseils, ses réponses à mes questions et son suivi tout au long de mon stage. Je remercie également Fabrice Sauvignon, Actuaire, Président de l’Institut des Actuaires et Directeur Technique et Financier de la DECP d’AG2R LA MONDIALE, ainsi qu’Anthony Merlhe, responsable du Contrôle Technique et Financier à la DECP d’AG2R LA MONDIALE pour leurs contributions à ma compréhension du sujet. Je tiens également à remercier Mathilde Jung, actuaire responsable de la modélisation et du modèle interne, pour ses réponses à mes questions. Je remercie Arnaud Cohen, mon tuteur à l’ISUP, pour sa connaissance sur le sujet dont il m’a fait profiter. Enfin, je remercie les collaborateurs d’AG2R LA MONDIALE, et tout particulièrement les équipes de Carl et de Mathilde pour leur accueil chaleureux qui a facilité mon adaptation dans l’entreprise.


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Résumé La loi du 21 août 2003 portant réforme des retraites, puis la loi du 26 juillet 2005 pour la confiance et la modernisation de l’économie, ont introduit sur le marché de l’assurance vie français une nouvelle offre d’assurance : « le contrat d’assurance sur la vie diversifié ». Ce nouveau type de contrat a pour vocation à se différentier des garanties actuelles (à savoir les garanties libellées en euros et libellés en unités de compte) en proposant notamment un cantonnement, une valorisation en valeur de marché et un partage des risques plus équitable entre assureur et assuré. Ce partage des risques repose sur la mise en place d’une garantie contractuelle accordée par l’assureur à l’assuré. Il exige donc en contrepartie et pour le respect de l’équité, la bonne compréhension par ce dernier de la garantie donnée. La garantie étant définie, l’assureur a la charge de définir les meilleures stratégies en termes d’investissement et de participation aux bénéfices pour une gestion optimale de son produit en termes de rentabilité et de risque pour les différentes parties du contrat. Pour ce faire et compte tenu des spécificités techniques du contrat d’assurance sur la vie diversifié, l’assureur doit disposer d’un modèle Actif-Passif propre à ce type de contrat pour décliner les différentes stratégies et en mesurer les différents impacts. Cette étude a comme premier objectif de définir un cadre de modélisation adapté aux contrats d’assurance sur la vie diversifié lancés par AG2R LA MONDIALE courant 2008. Pour cela, nous avons réparti les actifs entre actifs de couverture et actifs diversifiés selon leur rôle dans la modélisation. En effet, nous avons choisi de faire la distinction entre les actifs qui veillent au respect des engagements et les actifs qui sont le moteur de croissance du contrat. La modélisation ayant été réalisée, l’étude s’intéressera à l’analyse de la rentabilité et du risque de cette nouvelle offre d’assurance selon les différentes stratégies possibles, les différentes perspectives économiques et financières et les différentes hypothèses contractuelles et comportementales pour les différentes parties du contrat, à savoir l’assureur et l’assuré. Ainsi, du point de vue de l’assuré, nous avons pu montrer que les contrats diversifiés fournissent des rendements attrayants, qui peuvent suppléer à l’avenir les contrats en euros classiques à condition que les assureurs réussissent à familiariser les épargnants avec le fonctionnement de ces contrats. D’ailleurs, les assureurs ont intérêt à développer ces contrats puisque les résultats que nous avons obtenus en termes de rentabilité pour l’assureur sont prometteurs. La dernière partie a enfin pour vocation à projeter le concept du contrat d’assurance sur la vie diversifié sous la nouvelle ère prudentielle « Solvabilité II » en se basant notamment sur les dernières spécificités techniques connues à ce jour, à savoir la cinquième étude d’impact « QIS5 ». Dans ce cadre, l’étude propose pour le contrat d’assurance sur la vie diversifié des premières pistes de réflexion, des estimations des provisions « Best Estimate » et du nouveau besoin de capital « Solvency Capital Requirement ». Les résultats obtenus accroissent l’importance des contrats diversifiés pour l’avenir puisque nous avons montré que l’exigence en capital s’avérait plus faible sous Solvabilité 2. Enfin, l’immensité et la relative nouveauté du sujet nous ont poussé à émettre des hypothèses parfois simplificatrices qui sont autant de pistes à explorer pour une nouvelle analyse et pour conforter l’idée entrevue que les contrats diversifiés sont des contrats d’avenir pour tous les acteurs de l’assurance vie.


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Mots clés : Assurance sur la vie, Épargne, Diversifié, Modélisation, Actif/Passif, Solvabilité II, QIS5, Best Estimate, Formule standard, SCR


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Abstract The law of 21 August 2003 reforming pensions and the law of 26 July 2005 for the trust and the modernization of the economy brought on the French market a new Life insurance offer, "the diversified life insurance contract". This new type of contract aims to differentiate itself from current guarantees (i.e. guarantees denominated in euro and guarantees denominated in units of account) by proposing a ring-fenced fund, mark-to-market value and a more equitable risk sharing between insurer and insured person. This risk sharing is based on the establishment of a contractual guarantee given by the insurer to the insured person. It therefore demands in return for respect and equity, the understanding by the latter of the guarantee. The guarantee set, the insurer has the burden to define the best strategies in terms of investment and profit sharing for an optimal management of its product in terms of profitability and risk for each part of the contract. To do so, and given the technical characteristics of diversified life insurance contract, the insurer must have a asset-liability model suitable for this type of contract to decline the different strategies and measure the different impacts. The study's primary objective is to define a modeling framework suitable for diversified life insurance contract launched by AG2R LA MONDIALE in 2008. For this, we divided the assets between hedging assets and diversified assets according to their role in modeling. Indeed, we chose to distinguish between assets that ensure compliance with the commitments and other assets which are the growth engine of the contract. The modeling performed the study focus on the analysis of profitability and risk of this new offer of insurance under the various possible strategies, the different economic and fiscal outlook and the different contractual and behavioral assumptions for each part of the contract, namely the insurer and the insured. Thus, from the insured person point of view, we could show that diversified life insurance contracts provide attractive returns, which can replace in the future guarantees denominated in euros on condition that insurers are able to familiarize investors with the management of these contracts. Moreover, insurers have an incentive to develop these contracts because the results we obtained in terms of profitability for the insurer are promising.

The last part aims to project the concept of diversified life insurance contract in the new prudential framework "Solvency II" based on the last technical specifications known, namely the fifth study of impact "QIS5. In this context, the study provides first lines of thoughts for the diversified life insurance contract, estimates of "Best Estimate" reserves and the new capital requirement "Solvency Capital Requirement". The results increase the importance of diversified life insurance contract for the future as we observe that the capital requirement seems to be lower under Solvency 2. Finally, the vastness and the relative novelty of the subject led us to make simplifying assumptions that are as many tracks to explore for further analysis and to reinforce the idea that diversified life insurance contracts are promising contracts for all actors in the life insurance market.


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Keywords: Life Insurance, Savings, Diversified, Modeling, Asset / Liabilities, Solvency II, QIS5, Best Estimate, Standard Form, SCR


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Plan du mémoire Remerciements ......................................................................................................................... 3

Résumé ...................................................................................................................................... 5

Abstract ..................................................................................................................................... 7

Plan du mémoire....................................................................................................................... 9

Introduction ............................................................................................................................ 11

I. Les contrats d’assurance sur la vie diversifiés............................................................... 13

I.1. Origine et Fondements ................................................................................................. 13 I.2. Spécificités techniques des contrats diversifiés ........................................................... 14

a. Engagements et Cotisations ................................................................................. 14 b. Tarif..................................................................................................................... 15 c. Les provisions......................................................................................................15 d. Les règles comptables .......................................................................................... 17 e. Rachats et Prélèvements ...................................................................................... 18 f. Participation aux bénéfices techniques et financiers ............................................ 18 g. Les acteurs du marché des contrats diversifiés..................................................... 19

I.3. Les produits diversifiés d’AG2R LA MONDIALE..................................................... 19 II. Description des travaux de modélisation ....................................................................... 23

II.1. Génération des scénarios.............................................................................................. 23 II.2. Présentation du modèle ................................................................................................ 23

a. Hypothèses retenues............................................................................................ 24 b. Cinématique du modèle ...................................................................................... 25 c. Stratégie de couverture financière........................................................................ 26 d. Mécanismes du modèle ....................................................................................... 29

III. Analyse du couple rentabilité/risque pour l’assuré....................................................... 41

III.1.Méthodologie retenue................................................................................................... 41 III.2.Résultats centraux ........................................................................................................ 42

a. Dilution ou relution des TRI liée à de nouveaux adhérents dans le canton ........ 43 b. Impact de la durée du contrat sur la distribution des TRI du premier assuré ..... 46 c. Choix du niveau de garantie ................................................................................ 48

III.3.Sensibilités aux stratégies............................................................................................. 49 a. Stratégie de couverture : Approche pratique contre approche théorique ............ 49 b. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Monétaire dans l’actif diversifié .......... 51 c. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Actions dans l’actif diversifié............... 52 d. Stratégie de participation aux bénéfices : Augmentation du Nombre de parts de

PTD….................................................................................................................. 53 e. Stratégie de participation aux bénéfices : Revalorisation des engagements exprimés

en euros ............................................................................................................... 60 III.4.Sensibilités aux hypothèses financières ....................................................................... 65

a. Sensibilité aux obligations ................................................................................... 66


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b. Sensibilité à l’actif Monétaire ............................................................................... 67 c. Sensibilité à l’actif Actions ................................................................................... 68 d. Sensibilité à l’actif Immobilier ............................................................................. 69

IV. Analyse du couple rentabilité/risque pour l’assureur................................................... 71

IV.1. Méthodologie retenue........................................................................................... 71 IV.2. Résultats centraux ................................................................................................ 73

a. Effet dilution ou effet relution sur la rentabilité de l’assureur selon le nombre de

vagues de souscription successives. ...................................................................... 74 b. Influence des reversements et des rachats dynamiques sur la distribution des TRI

de l’assureur......................................................................................................... 75 c. Impact de la durée du contrat sur la distribution des TRI de l’assureur .............. 78 d. Impact de la garantie au terme sur la rentabilité de l’assureur ............................. 79

IV.3. Sensibilités aux stratégies..................................................................................... 80 a. Approche théorique contre approche pratique ...................................................80 b. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Monétaire dans l’Actif diversifié ......... 81 c. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Actions dans l’Actif diversifié.............. 81 d. Stratégie de participation aux bénéfices : Augmentation du nombre de parts de

PTD .................................................................................................................... 83 e. Stratégie de participation aux bénéfices : revalorisation des engagements exprimés

en euros ............................................................................................................... 83 IV.4. Sensibilités aux hypothèses financières ............................................................... 84

a. Sensibilité aux obligations .................................................................................... 85 b. Sensibilité à l’actif Monétaire ............................................................................... 85 c. Sensibilité à l’actif Actions ................................................................................... 86 d. Sensibilité à l’actif Immobilier ............................................................................. 86

V. Application du cadre « Solvabilité II »........................................................................... 89

V.1. Choix méthodologiques retenus ................................................................................... 89 V.2. Estimations du « Best Estimate »................................................................................. 93 V.3. Estimation du « Solvency Capital Requirement »....................................................... 97

a. Présentation générale du SCR ............................................................................. 97 b. Application des SCR au modèle........................................................................ 100 c. Résultats............................................................................................................. 104

Conclusion............................................................................................................................. 115

Annexes : ............................................................................................................................... 117

Annexe I : Textes réglementaires....................................................................................... 117 Annexe II : Copies écran Modèle....................................................................................... 119 Annexe III : Scénarii financiers ......................................................................................... 121

a. Modélisation Risque Neutre .............................................................................. 121 b. Modélisation monde réel................................................................................... 124

Bibliographie......................................................................................................................... 125


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Introduction En 2008, l’assurance vie a connu un très net recul de son activité puisque les cotisations enregistrées ont baissé de près de 11%, avec une chute de plus de 40% sur les supports en unités de compte, conséquence de l’effondrement des marchés financiers. Cependant, malgré ce ralentissement, l’assurance vie, qui représentait près de 76% des cotisations en affaires directes de l’assurance de personnes et 35% du patrimoine financier des ménages Français, demeure un produit attractif. En effet, une enquête réalisée par l’institut de sondage CSA pour la FFSA (Fédération Française des Sociétés d’Assurances) en 2009 sur le comportement des Français vis-à-vis de l’épargne longue, a montré que les Français considèrent l’assurance vie comme le placement le mieux rémunéré et offrant le meilleur compromis entre rendements et risques. Ainsi, afin de maintenir l’assurance vie comme moteur de l’économie et comme moyen de préparation à la retraite, les contrats d’assurance vie diversifiés ont vu le jour et se développent peu à peu. Ces nouveaux contrats répondent aux besoins actuels du marché de l’épargne longue puisque l’allongement de la durée de vie humaine ainsi que la diminution des prestations des régimes complémentaires de retraite poussent la population à se constituer un retraite complémentaire individuelle afin d’augmenter le capital lors de la liquidation. Cela dit, ces nouveaux contrats se doivent de remplir les conditions actuelles de performance et de sécurités relatives à ce genre d’investissement. En matière de sécurité, les assurances vie dites classiques (supports en euros) répondent parfaitement à ce critère. Cependant, les rendements apportés ne sont plus assez attractifs, ce qui peut conduire à une augmentation des placements à court terme au détriment des placements à long terme comme l’assurance vie. Pour obtenir des placements à rendements plus élevés, les assurés disposent de placements comme les assurances vie en unités de compte. Cependant, à la suite de la crise de 2008 durant laquelle les rendements des placements en unités de compte ont fortement chuté (baisse de 40% du CAC40), le fossé séparant la répartition €/UC des assurances vie s’est creusé atteignant les proportions 83% € / 17% UC pour l’année 2009. Cette répartition est contradictoire avec ce que préconisent les experts pour préparer la retraite puisqu’ils suggèrent une épargne plus fortement investie en actions. Afin d’élargir le panel de contrats de l’assurance vie et d’orienter les ménages vers une épargne dynamique mais sûre, les assureurs ont lancé les contrats d’assurance vie diversifiés. Les contrats d’assurance vie diversifiés sont à mi-chemin entre les contrats en euros classiques et les contrats en unités de compte. En effet, ils offrent la possibilité d’investir sur des placements risqués tout en garantissant un montant de capital au terme du contrat. Ce type d’investissement est rendu possible grâce à la provision mathématique et grâce à l’instauration d’une nouvelle provision technique : la provision technique de diversification. La provision mathématique représente l’engagement pris par l’assureur de fournir à terme du contrat un montant de capital, alors que la provision technique de diversification est le moteur du croissance du contrat puisqu’elle est destinée à absorber les fluctuations des actifs, aussi bien à la hausse qu’à la baisse. Cette nouvelle provision est gérée par l’assureur et confère des droits à l’assuré qui sont matérialisés sous forme de parts de provision technique de diversification dont l’assureur garantit un nombre et non une valeur.


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Le but de ce mémoire est l’étude des produits diversifiés développés par la Direction Épargne et Clientèle Patrimoniale (DECP) d’AG2R LA MONDIALE. Nous avons réalisé pour cela un modèle de gestion Actif/Passif qui nous a permis d’analyser le fonctionnement de ces contrats. Nous présenterons ainsi dans une première partie le concept des produits diversifiés à l’aide des textes du code des Assurances et des caractéristiques des contrats. Nous présenterons également les offres qui sont proposées sur le marché et les offres développées au sein d’AG2R LA MONDIALE. Dans une seconde étape, nous présenterons le travail de modélisation. Les deux parties qui suivront la présentation du travail de modélisation seront consacrées à l’analyse des résultats, notamment en termes de rentabilité pour l’assuré et pour l’assureur. Enfin dans une cinquième et dernière partie, nous donnerons une vision des contrats diversifiés sous la future réglementation Solvabilité 2.


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I. Les contrats d’assurance sur la vie diversifiés La loi du 21 Août 2003 sur la réforme des retraites, dite « loi Fillon » (loi N° 2003-775) a permis, par ses articles 107 et 108, la mise en place d’un système d’épargne retraite complétant les régimes obligatoires de retraite par répartition : le Plan d’Épargne Retraite Populaire ou PERP. Ensuite, le décret du 21 Avril 2004 (N° 2004-342) a proposé aux personnes souscrivant ce contrat la possibilité d’épargner pendant la vie active et de bénéficier d’une rente viagère à l’âge de la retraite. La loi a prévu pour ce produit d ‘épargne de long terme :

o Soit l’acquisition d’unités de rente (régimes de retraites en points) ;

o Soit l’acquisition d’une épargne obligatoirement convertie en rente viagère lors de la sortie du plan ;

o Soit enfin, l’acquisition d’une rente viagère différée exprimée en euros.

C’est d’ailleurs pour ces deux dernières opérations que la possibilité de souscrire des contrats de type « euros diversifiés » est apparue, s’ajoutant aux contrats « classiques » en euros et affichant deux nouveautés :

o La constitution d’une nouvelle provision technique consacrée à absorber les fluctuations des actifs, nommée la provision technique de diversification ;

o Le cantonnement des actifs et des passifs du contrat.

I.1. Origine et Fondements Ce n’est que grâce à la loi pour la confiance et la modernisation de l’économie du 26 juillet 2005 (N°2005-842) que la notion d’euro diversifié a été élargie à l’assurance vie en instaurant dans le Code des Assurances un nouveau type de contrat : les contrats d’assurance vie diversifiés. Les mécanismes élaborés pour les PERP euros diversifiés sont retranscrits dans ces contrats afin d’être applicables à l’assurance vie. Puis, le décret du 26 juillet 2006 (N°2006-920) et l’arrêté de cette même date ont établi les règles propres à ces nouveaux types de contrats tant au niveau comptable que technique. Selon une étude de la Direction Générale du Trésor et de la Politique Économique publiée en Juillet 2006, la part des actions dans l’épargne des français, dont l’assurance-vie est le placement préféré, n’est pas assez investie en actions alors qu’une épargne plus fortement investie en actions est recommandée pour préparer la retraite. Ce contexte contribue à diminuer le rendement des placements et renchérit le coût de financement des entreprises. Les contrats diversifiés ont été créés pour accroître le rendement de l’épargne par rapport à un contrat en euros classique mais sans s’exposer aux risques de marchés comme c’est le cas pour les contrats en unités de compte. En effet, selon cette même étude, un investissement en actions de l’ordre de 36% pour les contrats diversifiés fournirait 1,8 point de rendement


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supplémentaire à l’assuré avec une prise de risque inférieure à un investissement uniquement en actions. C’est le rôle que remplissent les contrats d’assurance-vie diversifiés. Ils sont intermédiaires entre les contrats en euros classiques et les contrats en unités de compte. Ils peuvent fournir à l’assuré une garantie totale ou partielle au terme, tout en n’étant que partiellement exposé aux risques de marchés. Enfin, contrairement aux PERP euros diversifiés dont ils sont issus, les contrats d’assurance-vie diversifiés propose une option supplémentaire : La sortie du contrat peut se faire également sous forme de capital ce qui constitue un atout puisque la sortie en rente viagère est dans l’esprit des français un frein à l’investissement.

I.2. Spécificités techniques des contrats diversifiés Les contrats diversifiés sont des contrats d’assurance de groupe en cas de vie ou en cas de décès (sauf les assurances temporaires en cas de décès) dont la loi établit le principe de cantonnement des actifs en représentation du contrat. De plus, elle met en place une nouvelle provision technique dans le but d’absorber les fluctuations des actifs et sur laquelle chaque souscripteur possède un droit matérialisé sous forme de parts.

a. Engagements et Cotisations

La loi donne la possibilité à l’adhérent de répartir sa prime entre engagements en €uros et provision de diversification (article R.142-2 1). Cette possibilité doit être prévue dans le contrat et peut être soit spécifique à chacun soit commune à tous les adhérents. Ainsi, il existe deux types de contrats diversifiés : un contrat de type actuariel et un autre de type contractuel. Pour le premier, l’assureur s’engage à garantir au terme un montant de capital. Cet engagement est le produit de trois facteurs : la prime nette versée par l’assuré Π(0), un niveau de garantie sur cette prime τgar (allant de 0% à 100%) et un taux d’intérêt minimum

garanti appelé également taux de tarif τtarif qui dépend d’un taux réglementé et de tables certifiées ou homologuées. Cet engagement dépend également de la durée du contrat, notée n. Ainsi, on peut écrire sous forme d’équation l’engagement au terme pris par l’assureur pour ce

genre de contrat : Engagement = Π(0) * τgar * (1+τtarif)n. Ce contrat est dit actuariel car la

provision mathématique est calculée comme étant la valeur actuelle de cet engagement, l’actualisation se faisant elle aussi selon un taux réglementé (taux technique) et selon des tables certifiées ou homologuées. Dans le cas d’un contrat de type contractuel, la garantie en €uros est due à tout moment par l’assureur et l’assuré choisit lui-même la part de sa prime qui lui est garantie. L’assureur peut également offrir à l’assuré un rendement minimum garanti choisi selon les mêmes contraintes que dans le cas d’un contrat actuariel. De ce fait, l’assureur provisionne la provision mathématique à hauteur de son engagement pris envers l’assuré, ce qui implique que le taux technique est nul pour ce type de contrat. Ce type de contrat est similaire à un contrat multi-supports mais en diffère par sa gestion et son fonctionnement. Nous allons voir à présent comment est calculé le taux de tarif.


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b. Tarif Les engagements pris par l’assureur sont exprimés comme un pourcentage des cotisations nettes versées, ce pourcentage pouvant être supérieur ou égal à 100%, partiel (inférieur à 100%) ou nul (article R.142-1 à R.142-12). En effet, la loi donne la possibilité à l’assuré de ne répartir sa prime qu’en provision de diversification. Dans ce cas-là, l’assuré privilégie le rendement au détriment du risque puisque l’assureur n’a aucun engagement au terme envers lui. Dans les cas contraires, l’engagement de l’assureur est déterminé selon un taux : le taux de tarif. Ce taux est réglementé et calculé selon deux critères :

o Un taux au plus égal à 75% du taux moyen des emprunts de l’État Français (TME) calculé sur une base semestrielle sans pour autant pouvoir être supérieur après 8 ans au minimum des deux taux suivants : 3.5% ou 60% du TME (A.142-1 du Code des Assurances) ;

o De tables certifiées ou homologuées (A.335-1 du Code des Assurances)

Les cotisations et le taux précédemment expliqué vont servir aux calculs des différentes provisions que nous allons détailler par la suite.

c. Les provisions

La réglementation prévoit que soient constituées par l’assureur une provision mathématique (PM), une provision technique de diversification (PTD) et le cas échéant une provision globale de gestion et une provision pour frais d’acquisition reportés.

i. La provision mathématique C’est la provision qui représente la garantie en capital au terme du contrat. Elle est exprimée en €uros et son calcul se réalise en fonction de la date d’échéance du contrat. Elle est calculée à chaque date d’inventaire selon deux critères :

o Un taux d’actualisation (taux technique) décidé par l’assureur, proche du TME et dont la règle de définition est semblable à celle du taux de tarif. Ce taux reflète la prévision prudente de l’assureur des produits financiers futurs. Il permet ainsi d’évaluer à chaque date d’inventaire la valeur comptable des engagements futurs. De plus, ce taux peut être différent du taux de tarif et peut varier d’un exercice à l’autre.

o Des tables homologuées ou certifiées.

Le taux de tarif et le taux technique sont donc calculés selon les mêmes critères mais peuvent être différents. En effet, le taux technique varie à chaque date d’inventaire alors que le taux de tarif est fixé au début du contrat.


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ii. La provision technique de diversification (ou provision de diversification) C’est une nouvelle provision qui a été ajoutée à l’article R.331-3 du Code des Assurances. Elle est destinée à absorber les fluctuations des actifs en représentation du contrat. Chaque assuré possède un droit individualisé sur cette PTD matérialisé sous forme de parts. A la souscription du contrat, elle est obtenue comme la part de cotisation versée par l’assuré qui n’est pas destinée à la provision mathématique. Ensuite, elle se calcule comme la différence entre la valeur de réalisation des actifs du contrat et le niveau des provisions mathématiques. L’assureur ne garantit pas la valeur de cette PTD mais un nombre de parts de celle-ci. La valeur de la part est obtenue en divisant le montant global de la PTD par le nombre de parts détenu par TOUS les adhérents. Enfin, le nombre de parts de chaque assuré diffère selon leur date d’entrée dans le contrat, leur montant des cotisations versées et leur garantie au terme. Remarque : L’assureur garantit en réalité une valeur de part minimale identique à tous les adhérents. Elle est égale à 5% de la valeur de la part au moment de la création du contrat. Par exemple, si lors du lancement d’un contrat diversifié, l’assureur fixe la valeur de la part à 100 €uros, il garantit à tous les adhérents du contrat une valeur de la part égale à 5 €uros. Nous allons illustrer le mécanisme de répartition des primes entre PM et PTD à l’aide des schémas ci-dessous.

Schéma 1 : Détermination de la PM et de la PTD à la souscription (t=0) pour un contrat actuariel

Schéma 2 : Détermination de la PM et de la PTD à la date t pour un contrat de type actuariel

Cotisation B

rute

Cotisation N

ette

Part G

arantie

Niveau Garanti =100%

Engagem

ent

PTD

Tarif Taux Tech

Engagem

ent

PM

Valeur de M

arché des Actifs

PTD

Taux Tech

PM


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d. Les règles comptables

La grande nouveauté avec les contrats diversifiés vient du fait que les actifs sont comptabilisés en valeur de marché, alors que les actifs des contrats en €uros sont comptabilisés en valeur d’achat. L’Actif en représentation est commun aux deux provisions (PM et PTD). Cela oblige donc l’assureur à adopter une gestion Actif/Passif rigoureuse afin de pouvoir respecter ses engagements. Si l’assureur n’est pas en mesure de fournir la garantie au terme (pour cause de dépréciation très forte de ses placements par exemple), il doit injecter des capitaux propres qui lui permettront de tenir son engagement. Par ailleurs, la loi impose pour ce genre de contrats le principe de cantonnement. Le contrat fait l’objet d’une comptabilité auxiliaire d’affectation, c’est-à-dire qu’il fait l’objet d’un compte de résultat et d’une participation aux bénéfices spécifiques au sein du contrat collectif. Cela permet d’empêcher tout transfert de bénéfices ou de pertes sur d’autres contrats d’assurance. En ce qui concerne la marge de solvabilité, l’exigence minimale d’un contrat diversifié est semblable à celle d’un contrat en unités de compte. Ainsi, la marge minimale à constituer sur la PM et sur la part de PTD garantie (5% de la valeur de la part initiale) est de 4% des ces provisions alors que la marge minimale à constituer sur la part de PTD non garantie est de 1%. Voici ci-dessous le schéma représentatif simplifié d’un bilan cantonné d’un contrat diversifié et d’un contrat en €uros classique : Bilan Cantonné d’un Contrat €uros Classique Bilan Cantonné d’un Contrat Diversifié

Rachats et Prélèvement

ACTIF PASSIF ACTIF PASSIF

Titres

amortissables (comptabilisation

en valeur historique)

Titres non


en valeur historique)

Reserve de Capitalisation

Provision pour Participations aux

Excédents

Provision

Mathématique

Provision pour Risque

d’Exigibilité

Titres amortissables

(comptabilisation en valeur de

Marché)

Titres non


en valeur de Marché)

Provision Mathématique

Provision de

Diversification

Source : Altia


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e. Rachats et Prélèvements

Lorsque le contrat permet un éventuel rachat par l’assuré, la valeur de rachat est égale à la somme de la provision mathématique et du produit du nombre de parts de provision de diversification par la valeur de la part. Cependant, les contrats peuvent ne pas inclure de possibilité de rachat pendant les 10 premières années. Cette position fait actuellement débat en matière de fiscalité. En effet, pour certains acteurs du marché, cette absence de rachat temporaire permettrait une exonération à l’ISF. Mais en janvier 2010, le ministère de l’Économie a déclaré que les contrats diversifiés étaient assujettis à cet impôt. Enfin, en ce qui concerne les prélèvements, la loi a laissé la liberté aux organismes assureurs de choisir les éléments sur lesquels ils peuvent appliquer leurs chargements. Ainsi des prélèvements peuvent être appliqués sur :

o Les cotisations versées, les montants transférés ou rachetés ; o Les montants consécutifs aux conversions de l’adhérent entre les droits

exprimés en €uros et les droits exprimés en unités de compte ; o Les prestations versées ; o Les performances de gestion financière du contrat ;

o Le montant des droits individuels des participants ; o Le solde du compte de participation aux résultats.

f. Participation aux bénéfices techniques et financiers

Le mode de répartition de la participation aux bénéfices techniques et financiers soulève une question importante au niveau de l’équité entre adhérents d’un contrat diversifié. A l’heure actuelle, il existe trois moyens de répartir la participation aux bénéfices :

o L’assureur peut procéder à une revalorisation des engagements exprimés en €uros (PM), ce qui signifie que l’assureur augmente le capital garanti au terme. Mais ce type de revalorisation possède des contraintes. Tout d’abord, la revalorisation doit être identique pour tous les assurés. Ensuite, la part de provision de diversification doit être suffisante. Dans les faits, les textes (article R.142-5) précisent d’une part que la provision de diversification doit rester supérieure à 1,5 fois la différence entre le montant des engagements garantis au terme et la provision mathématique (montant des engagements actualisés au taux réglementaire). D’autre part, il faut que le montant de la provision de diversification, déduite du montant minimal sur cette provision (5%), soit supérieur à 10% de la provision mathématique. Ces deux dernières contraintes imposent donc un montant minimal de provision de diversification et la revalorisation de la provision de diversification en priorité afin d’éviter qu’elle n’atteigne le niveau minimum garanti. Cependant, revaloriser la PM a généralement un effet négatif sur le moteur de croissance. Si l’on veut obtenir


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de meilleurs rendements, il est préférable d’investir sur des actifs plus risqués qui sont liés à la provision de diversification.

o Ainsi, l’assureur peut augmenter la valeur liquidative de la part de provision de

diversification. Il peut décider d’affecter tout ou une partie de la participation aux bénéfices à la revalorisation de la part.

o Enfin, l’assureur peut augmenter le nombre de parts de provision de

diversification. Rien n’est prévu dans les textes quant à cette augmentation. L’assureur peut donc augmenter le nombre de parts au prorata de l’encours de provision mathématique ou de l’encours de provision de diversification.

Ces trois modes de répartition de la participation aux bénéfices peuvent engendrer des iniquités entre les assurés. Ces iniquités subsistent entre générations de souscription et entre générations de classes d’âge.

g. Les acteurs du marché des contrats diversifiés A l’heure actuelle, les contrats diversifiés ne sont pas encore autant répandus que les contrats en €uros classiques ou même que les contrats en UC. Cependant, les acteurs du marché sont de plus en plus nombreux à se lancer sur ce nouveau type de produit. On peut citer par exemple Dexia, Swiss Life, Groupe Crédit Mutuel, April Group, AG2R LA MONDIALE qui sont autant d’acteurs du marché de l’assurance à avoir lancé un produit de type diversifié. De plus, nous pouvons également citer BNP Paribas qui vient de lancer un produit de type diversifié, afin de se constituer, comme nous le mentionnions en introduction, une retraite complémentaire puisque la durée d’engagement par défaut est de 40 ans. D’ailleurs, il s’agit du premier « Bancassureur » à se lancer dans un produit diversifié, ce qui démontre l’attente et le potentiel de ces contrats. Concernant cette étude, nous nous intéresserons par la suite aux deux produits que distribuent AG2R LA MONDIALE : Pierre de Lune et Pluie d’Etoiles.

I.3. Les produits diversifiés d’AG2R LA MONDIALE En matière de contrats d’assurance vie diversifiés, AG2R LA MONDIALE propose depuis 2008 deux nouveaux produits : un contrat diversifié rachetable et un autre non rachetable. Ce sont des contrats de groupe à adhésion individuelle et qui proposent deux types de supports diversifiés :

o Des supports diversifiés avec garantie, totale ou partielle et exprimée en €uros, des sommes investies sur ce support ;

o Des fonds internes qui ne bénéficient d’aucune garantie et qui sont constitués

uniquement de parts de provision de diversification.


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L’adhérent peut cependant répartir son épargne entre :

o Des supports diversifiés avec garantie ; o Des fonds interne ; o Des unités de compte

Schéma 3 : Structure d’un produit diversifié chez AG2R LA MONDIALE

Voici la liste des caractéristiques des contrats diversifiés proposés par AG2R LA MONDIALE :

o Contrats de type actuariel ; o La garantie en capital (τgar) est choisie par l’assuré et elle peut être de 80%,

90% ou 100% ;

o La durée du contrat est elle aussi fixée par l’assuré au moment de l’adhésion et elle peut être de 8, 9 ou 10 ans ;

o L’assuré a la possibilité d’effectuer des versements programmés. Ces

versements peuvent être mensuels, trimestriels, semestriels ou annuels ;

o Les contrats ne disposent pas de taux de tarif ; o La valeur d’origine de la part de provision de diversification a été fixée à

100€ ;

o L’assureur calcule chaque semaine la valeur de la part de la PTD ; o Enfin, l’attribution des participations aux bénéfices retenue est la revalorisation

de la part de provision de diversification.


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Avec cette partie, nous venons de rappeler les origines et les caractéristiques techniques des contrats diversifiés et nous avons également montré quels sont les produits développés au sein d’AG2R LA MONDIALE. Dans la partie suivante, nous allons détailler l’ensemble des travaux qui ont été accomplis sur la modélisation du modèle de gestion Actif/Passif et de génération des scénarios.


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II. Description des travaux de modélisation Cette partie présente les travaux effectués et les outils utilisés pour modéliser le fonctionnement et l ‘évolution d’un produit de type diversifié. Nous allons détailler successivement les hypothèses retenues lors de la construction de notre modèle, puis nous expliquerons les différents mécanismes qui s’opèrent à l’Actif et au Passif, pour enfin terminer par le choix des indicateurs retenus qui serviront à l’analyse des résultats. Mais avant cela, nous allons voir comment sont générés les différents scénarios de taux et de rendements qui sont utilisés par le modèle.

II.1. Génération des scénarios Afin de mesurer l’évolution d’un contrat diversifié dans le temps, le modèle utilise les résultats issus d’un générateur de scénarios. Ce générateur a été développé sous la plateforme MoSes qui permet de modéliser des scénarios en Risque Neutre et en Monde Réel. Il permet la modélisation des taux et des rendements suivants :

o Taux d’intérêts ; o Rendement des actions ; o Rendement de l’actif immobilier ; o Évolution du taux monétaire.

La modélisation Risque Neutre est mise en place afin que les scénarios soient « Market Consistent » et conformes aux principes de calcul d’une MCEV (Market Consistent Embedded Value) tandis que la modélisation Monde Réel est une approche de modélisation permettant le calcul d’une EEV (European Embedded Value). Les modèles utilisés pour les scénarios en Risque Neutre et en Monde Réel sont identiques mais la calibration des différents paramètres est différente. De plus, les données « Risque Neutre » vont nous servir dans la dernière partie de ce mémoire pour l’étude des contrats diversifiés sous l’angle du QIS5. Le choix des modèles utilisés au sein d’AG2R LA MONDIALE et la calibration de ceux-ci ne sont pas le sujet de ce mémoire, c’est pourquoi nous ne parlerons qu’en Annexes des modèles choisis.

II.2. Présentation du modèle Afin de répondre à la problématique de ce mémoire, un modèle Excel a été développé permettant d’établir les différents flux à l’Actif et au Passif d’un contrat d’assurance diversifié. Dans le but de faciliter la compréhension du modèle aux lecteurs, nous allons détailler tout au long de ce paragraphe les différentes caractéristiques qui constituent notre modèle. Nous énumèrerons dans un premier temps les hypothèses que nous avons retenues pour ensuite décrire la cinématique du modèle. Nous terminerons, enfin, par les différents mécanismes qui s’opèrent tant à l’Actif qu’au Passif.


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a. Hypothèses retenues Nous allons dresser une liste exhaustive de tous les choix pris sur les différents paramètres du modèle.

o Le pas de temps utilisé pour le modèle est annuel. La date initiale (t=0) est fixée à l’année 2009 et la projection est effectuée sur 20 ans et le calcul du Bilan s’effectue chaque année à la date du 31 décembre;

o Les chargements de gestion et d’acquisition sont fixés respectivement à 0.96% et

5%. Le taux d’inflation est fixé à 2% et s’applique sur le montant des affaires nouvelles et des reversements;

o Le stock initial de contrats est nul. De ce fait, les quantités d’actifs initiales

nécessaires à la gestion de ces contrats sont nulles également ;

o La table de mortalité utilisée est la table TH 00-02. L’âge actuariel du portefeuille est calibré sur l’âge actuariel des produits d’épargne d’AG2R LA MONDIALE. Le pas d’évolution de l’âge actuariel est de 0,5 ans, i.e. si l’âge actuariel est de 50 ans, en t = 1 il sera de 50,5 ans. Grâce à ces éléments, nous pouvons définir les taux de décès de nos assurés pour chaque période du contrat ;

o Les taux de rachat en montant et en nombre sont calibrés sur les données existantes

sur les contrats d’épargne d’AG2R LA MONDIALE ;

o Le montant moyen des primes nouvelles et le montant moyen des reversements sont des paramètres que nous fixons respectivement à 200 000€ et 20 000€. Les taux de reversements sont également calibrés sur les contrats d’épargne existants au sein d’AG2R LA MONDIALE ;

o Le modèle gère plusieurs Model Point dans lesquels nous fixons le nombre de

contrats, la date de début de chaque Model Point et la durée du contrat. Pour rappel, un Model Point est un groupe de contrats ;

o Les actifs dans lesquels nous investissons sont de 4 types : les obligations, les

actions, l’immobilier et le monétaire assimilé à un taux sans risque. Le nominal des obligations est fixé à 100 et le remboursement s’effectue au pair ;

o Le montant des dividendes des actions, des loyers de l’immobiliers et des « loyers »

du monétaire sont des paramètres que nous fixons grâce à la formule suivante : max(Rendement de l’année ; 0) / 2

o Les opérations financières (calcul des valeurs boursières des actifs) s’effectuent à la

même date que le calcul du Bilan (31 Décembre de l’année) et les revenus des actifs (coupons, loyers ou dividendes) sont perçus juste avant ce calcul. Cela signifie par exemple pour les obligations que le calcul de la valeur boursière ne tient pas compte du dernier coupon ;


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o Par souci de simplicité, nous décidons d’allouer à chaque Model Point une obligation dont la maturité est égale à la durée du contrat. Le taux nominal de cette obligation dépend des conditions du marché à la date d’investissement.

Ces hypothèses générales nous permettent de poser les bases de notre modèle et introduisent la suite de ce paragraphe qui est la cinématique du modèle.

b. Cinématique du modèle La cinématique du modèle permet de décrire en fonction du temps tous les flux qui s’opèrent sur le contrat diversifié. La cinématique de notre modèle peut être schématisée de la façon suivante :

Schéma 4 : Cinématique du modèle

Mouvements

Contrôle

Bilan après

Mouvements

Bilan avant

Mouvements

Intervention Assureur

Eta

pe

1 l

e 3

1/1

2/N

-ε

+ Reversements, Affaires nouvelles

- Rachats, Décès, Fin de contrat, Frais

Revalorisation de l’Actif :

� Obligations � Coupons � Actions et Dividendes � Immobilier et Loyers � Rendement Monétaire

Revalorisation du Passif : � Provision Mathématique � Provision de diversification

� Nombre de parts � Valeur de la part

� Chargement sur encours

Eta

pe

2 l

e 3

1/1

2/N

Nouvelles conditions de marchés

Calcul du nouveau stock d’Actifs

� Obligations � Coupons � Actions � Immobilier � Monétaire

Calcul du nouveau stock de Provisions :

� Provision Mathématique � Provision de diversification

� Nombre de parts � Valeur de la part


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Cette cinématique reprend les hypothèses que nous avons choisies pour le modèle. En effet, nous pouvons voir que l’intégralité des calculs s’effectue le 31 décembre de chaque année et que lors de ce même jour deux bilans sont calculés, propres aux deux étapes de la cinématique. Dans la première étape, nous supposons que les revenus de nos différents actifs (coupons, dividendes et loyers) sont perçus et qu’un nouvel environnement de taux (courbe des taux) est présent. Ainsi, nous procédons à une nouvelle évaluation de l’Actif et du montant des provisions. De plus, lors de cette étape, nous nous assurons que la condition portant sur le niveau minimal de provision de diversification est respectée. Lors de la seconde étape, une nouvelle notion apparaît : il s’agit des mouvements. Les mouvements regroupent toutes les entrées et sorties d’argent qui ont lieu dans le canton. Nous verrons par la suite quelle est la stratégie financière que nous avons adoptée en fonction de ces mouvements. Enfin, une fois que les mouvements sont incorporés au canton, nous recalculons de nouveau l’Actif et le Passif du canton. La cinématique permet de fournir une vision générale des mécanismes que nous avons créés pour le modèle. Nous allons expliquer dés à présent ces mécanismes en détaillant par la suite les deux étapes du modèle. Mais avant cela, nous allons expliquer les choix d’allocations d’actifs que nous avons retenus pour couvrir nos engagements.

c. Stratégie de couverture financière Comme le rappelle l’une de nos hypothèses, nous avons choisi d’investir dans quatre catégories d’actifs : les obligations, les actions, l’immobilier et le monétaire. Parmi ces actifs, les obligations jouent un rôle important dans la stratégie de couverture de nos engagements. En effet, nous avons choisi de répartir les différents actifs en deux catégories : d’un côté ceux que l’on détient pour respecter nos engagements et de l’autre, ceux qui sont utilisés pour tenter d’améliorer le rendement du contrat. Dans cette optique, nous avons choisi les obligations comme les actifs permettant de couvrir les engagements, c’est-à-dire la provision mathématique à échéance. Dans la suite de ce mémoire, lorsque nous parlerons « d’Actifs de couverture », nous ferons référence aux obligations et lorsque nous parlerons « d’actifs diversifiés » nous ferons référence aux actions, à l’immobilier et au monétaire. Par ailleurs, il nous a fallu également déterminer la part de la prime à investir en obligations pour couvrir l’engagement de chaque contrat. Ces montants dépendent de la méthode utilisée par notre modèle. En effet, notre modèle permet de simuler l’évolution de contrats diversifiés selon deux approches : une approche théorique ou « monde parfait », dans laquelle les « actifs de couverture » sont des obligations zéro coupon, et une approche pratique où les « actifs de couverture » sont des obligations à taux fixes. Nous allons détailler dès à présent ces deux approches.

i. Approche théorique Dans cette approche, tous les « actifs de couverture » sont des obligations zéro coupon dont on connaît la valeur de remboursement et le taux d’actualisation. La valeur de remboursement est un paramètre que nous fixons à 100€ et le taux d’actualisation est fourni par la courbe des taux. Le taux choisi est le taux qui correspond à la maturité de l’obligation zéro coupon, i.e. pour une obligation de maturité 10 ans, le taux d’actualisation retenu est le taux 10 ans de la courbe des taux. Dans ce cas, la part de la prime à investir dans les obligations correspond à


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l’actualisation de l’engagement de l’assureur au taux correspondant à la durée du contrat. Par exemple, si l’assuré verse une prime nette de 100 000€ sur un contrat de 10 ans pour une garantie de 100% et que le taux 10 ans de la courbe des taux est de 4%, la part de la prime nette investie en obligations sera :

67556%)41(

%100*000100Pr_

10=

+=imePart €

Ce montant s’appelle le Best Estimate Liabilities ou BEL. La part de la prime restante est investie sur les « actifs diversifiés ». En schématisant la répartition de la prime vers les différents actifs, nous obtenons :

Schéma 5: Répartition de la prime nette entre les actifs du portefeuille dans le cadre de l’approche théorique

Cette approche permet de nous assurer de fournir l’engagement prévu à la fin du contrat. L’investissement réalisé dans les « actifs diversifiés » est plus important et ainsi, le rendement du contrat s’en retrouve amélioré. Nous verrons dans le prochain chapitre les résultats que nous avons obtenus par le biais de cette approche.

Prime Nette Garantie

Engagement

au Terme

Courbe des taux

BEL

Obligations

Différence entre la

Prime Nette et BEL

Allocation

Actifs diversifiés

Allocation


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ii. Approche pratique Pour cette approche, les « actifs de couverture » sont des obligations à taux fixes. Le taux nominal est obtenu par le générateur de scénarios, la valeur du nominal est un paramètre que nous fixons à 100€ et nous calculons la valeur boursière de chaque obligation en fonction de leur date d’émission et de leur maturité, et enfin les coupons sont perçus une fois par an, le 31 Décembre. De la même façon que pour la précédente approche, nous avons dû déterminer la part de la prime nette à investir dans les obligations afin d’être en mesure de respecter nos engagements. Pour cela, nous avons remarqué qu’un investissement en obligations pour un montant égal à la provision mathématique initiale permettait de couvrir, dans 100% des cas, la provision mathématique au terme du contrat, qui n’est autre que l’engagement. En effet, les coupons perçus tout au long du contrat qui viennent s’ajouter au remboursement in fine et au pair de l’obligation suffisent à couvrir la provision mathématique à échéance. Cela soulève également un nouveau point : il s’agit de la gestion des coupons. Les coupons sont nécessaires à couvrir l’engagement. De ce fait, nous avons choisi de ne pas considérer les coupons comme des « actifs diversifiés » mais comme des « actifs de couverture »et de réinvestir les coupons perçus dans un actif « sûr », appelé « Monétaire Coupons » différent de l’actif Monétaire « classique ». Cet actif subit cependant la même évolution de rendement et de loyers que l’actif monétaire. De la même manière que nous avons schématisé la répartition de la prime nette entre les différents actifs pour l’approche théorique, nous faisons de même avec l’approche pratique :

Schéma 6 : Répartition de la prime nette dans le cadre d’une approche pratique

Prime Nette Garantie

Engagement

au Terme

Taux technique

Provision Mathématique

Allocation

Obligations

Différence

entre la Prime Nette

et la PM

Actifs

diversifiés

Allocation


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Enfin, dans le cadre de cette approche, nous avons rajouté un outil de gestion permettant de nous prémunir en cas de rachat trop important et portant sur le stock d’obligations détenues dans le portefeuille. Cet outil permet de contrôler l’écart entre la valeur des obligations du portefeuille et la provision mathématique. Nous avons décidé que le stock d’obligations devait être à chaque date compris entre 105% et 95% de la provision mathématique et cela pour chaque Model Point. Dans le cas contraire, nous procédons à un ajustement en vendant ou achetant des obligations. L’argent permettant d’acheter des obligations ne provient pas des fonds propres de l’assureur mais de la vente des « actifs diversifiés ». Par symétrie, si nous devons procéder à un ajustement en vendant des obligations l’argent qui résulte de cette vente ira dans l’achat « d’actifs diversifiés ». Ce paragraphe ne fait état pour ces deux approches que de la répartition de la prime nette entre les différents actifs du portefeuille. Le but étant de faire comprendre aux lecteurs quels sont les choix qui ont été faits en matière de stratégie de couverture des engagements et de faire comprendre la notion « d’actifs de couverture » et « d’actifs diversifiés ». Nous verrons par la suite, dans l’explication des différents mécanismes du contrat, quelles sont les stratégies de couverture pour ces deux approches dans le cadre de rachats et de fin de contrat par exemple. De plus, les résultats que nous avons obtenus grâce à ces deux méthodes seront analysés dans le chapitre suivant. Mais pour l’heure, nous allons continuer de dérouler les détails de la cinématique du modèle en décryptant les différents mécanismes qui s’opèrent lors de cette dernière.

d. Mécanismes du modèle Cette partie va décrire les différents mécanismes qui agissent entre l’Actif et le Passif du contrat. Nous allons décrire les mécanismes du modèle en suivant l’ordre chronologique de la cinématique. Dans un premier temps nous allons voir en détail le mécanisme de l’étape 1 de la cinématique

i. Zoom sur l’étape 1 de la cinématique Cette étape peut se décomposer en deux parties : la première où nous calculons un bilan en fonction de l’évolution des marchés et du nouvel environnement de taux, et la seconde où nous procédons à un contrôle des conditions réglementaires de la provision de diversification. Le schéma ci-dessous qui se lit de gauche à droite permet de visualiser ces étapes :


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Schéma 7 : Zoom sur l’étape 1 de la cinématique

Stock (N-1)

Couverture : Obligations

Coupons

Diversifiés Actions

Immobiliers Monétaire

Marchés (N)

Courbe des taux

Rendements : *Actions *Immobiliers *Monétaire

Stock (N-1)

Provision mathématique

Provision de

diversification : *nombre de parts *Valeur de la part

Conditions Techniques :

*Taux technique

Stock (N)

Valeur de marché : *Obligations *Actions *Immobiliers *Monétaire *Chargement

Stock (N)

Provision mathématique

Avant

mouvements

Stock (N)

Provision de diversification

Avant

Mouvements

PTD > Nombre de parts * Valeur minimale

Stratégie de participation aux bénéfices

PTD < Nombre de parts * Valeur minimale

Intervention

*impact Actifs de couverture *Intervention Fonds propres *impact Actifs diversifiés

Revalorisation des engagements

Augmentation du nombre de parts

Évolution valeur de la part

Sens de la lecture


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Au niveau de l’Actif, nous regardons les différents stocks d’actifs que nous possédions l’année précédant la date de calcul (Stock (N-1)). Cela englobe les obligations et les coupons tombés juste avant la date de calcul, les actions et leurs dividendes et enfin l’immobilier et le monétaire avec leurs loyers respectifs. Ensuite, le nouvel environnement de marchés et de taux (Marchés (N)) nous donne d’une part, les nouvelles valeurs de marché de nos « actifs diversifiés », et nous permet d’autre part de calculer les valeurs boursières de nos obligations au 31 Décembre de l’année N. Pour rappel, la valeur boursière d’une obligation correspond à l’actualisation de ses flux futurs en utilisant la courbe des taux. En y ajoutant les chargements de gestion des contrats, nous obtenons la nouvelle valeur de marché de notre Actif Global cette même année (Stock (N)). Au niveau du Passif, de la même façon nous regardons le stock de provisions mathématiques que nous détenons l’année précédent la date de calcul, c’est-à-dire au 31 Décembre de l’année N-1. Nous regardons également la valeur de la part de provision de diversification et le nombre de parts de cette provision que tous les assurés détiennent (Stock (N-1)). Ensuite, grâce au nouvel environnement de taux et aux différents engagements de chaque Model Point, nous calculons l’ensemble des provisions mathématiques qui forment la nouvelle provision mathématique Globale au 31 Décembre de l’année N. Ainsi, avec la valeur de l’Actif Global et la valeur de la provision mathématique Globale, nous pouvons en déduire la valeur de la provision de diversification du canton et par conséquent la valeur du Bilan avant mouvements. A ce stade de l’étape 1, l’assureur doit effectuer un contrôle sur la valeur de la provision de diversification. En effet, nous avons vu dans la première partie de ce mémoire que la provision de diversification ne devait pas être inférieure à un montant défini comme le produit entre le nombre total de parts de cette provision détenu par tous les assurés du canton et la valeur d’une de ces parts.

• Cas où la provision de diversification est supérieure au produit entre le nombre de parts et la valeur minimale d’une part (partie Actif du schéma 6)

Qu’elle soit inférieure ou supérieure à la provision de diversification du précédent exercice, l’assureur intervient au niveau du mode de répartition de la participation aux bénéfices. En effet, il possède trois leviers pour la gestion de cette participation aux bénéfices : soit il revalorise l’engagement au terme en augmentant la provision mathématique, soit il augmente le nombre de parts de provision de diversification, soit enfin il fait évoluer la valeur de la part de provision de diversification. Nous remarquerons que pour cette dernière méthode, nous n’avons pas utilisé le verbe revaloriser ou augmenter car il se peut que la valeur de la part diminue si la provision de diversification a baissé par rapport à sa dernière valeur. En revanche, les deux premières méthodes ne peuvent être réalisées que si d’une part la provision de diversification a augmenté d’une année sur l’autre et si d’autre part, les conditions liant les deux provisions sont respectées. (cf. page 6 Art R.142-5). Cette contrainte a pour but de privilégier l’investissement sur des actifs un peu plus risqués mais apportant un meilleur rendement. Ces trois leviers de gestion seront testés et analysés dans les parties 3 et 4 du mémoire.


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• Cas où la provision de diversification est inférieure au produit entre le nombre de parts et la valeur minimale d’une part (partie Passif du schéma 6)

Ce cas se produit lorsqu’il y a une forte dépréciation des actifs financiers (baisse des rendements des actifs diversifiés et/ou une importante hausse des taux faisant baisser le prix des obligations). Cette dépréciation engendre un écart entre l’Actif et le Passif du canton. L’assureur intervient pour combler cet écart et équilibrer le Bilan en effectuant un versement issu de ses fonds propres vers le canton. Ainsi, grâce à cette intervention, la valeur de la part de provision de diversification revient à sa valeur minimale, i.e. 5% de la valeur initiale lors du lancement du contrat. Ce que nous appelons « intervention Fonds propres » dans le schéma 6 est le montant de fonds propres injecté par l’assureur dans le canton afin d’équilibrer le Bilan. Cependant, la baisse de la valeur des actifs financiers n’a pas pour seule conséquence l’intervention de l’assureur. En effet, dans le cas de l’approche pratique uniquement, cette intervention entraîne un mouvement des actifs au sein du canton. Puisque nous avons choisi de couvrir nos engagements par des obligations et que nous avons décidé que notre stock d’obligations ne doit pas être inférieur à un pourcentage de la provision mathématique, en l’occurrence 95%, si la valeur boursière des obligations chute cela peut engendrer un écart entre la valeur de notre stock d’obligations et de coupons et la valeur de la provision mathématique. Si un tel cas se produit, nous faisons en sorte que la valeur de notre stock d’obligations et de coupons soit exactement égale à la valeur de la provision mathématique. Pour cela, deux possibilités s’offrent à nous :

� Soit l’intervention fonds propres de l’assureur est suffisante à combler l’écart entre le stock d’obligations et de coupons et la valeur de la provision mathématique : dans ce cas, nous investissons grâce à l’intervention de l’assureur dans les obligations de façon à annuler cet écart. Une nouvelle notion apparaît, il s’agit de l’impact Actifs de couverture. Il s’agit du montant, issu des fonds propres, que nous investissons dans les obligations du portefeuille.

� Soit l’intervention fonds propres est insuffisante : alors, pour combler l’écart entre la

provision mathématique te le stock d’obligations, nous choisissons d’utiliser la totalité de l’intervention fonds propres de l’assureur et également de vendre des actifs diversifiés. La vente des actifs diversifiés s’effectue au prorata et de façon à ce que cette vente en plus de l’intervention fonds propres de l’assureur annule l’écart entre la provision mathématique et le stock d’obligations. Encore une fois, cette situation fait apparaître une nouvelle notion vue dans le schéma précédent : il s’agit de l’impact Actifs diversifiés. Cet impact est égal au montant d’actifs diversifiés que nous avons du vendre pour combler l’écart entre PM et le stock d’obligations.

Nous remarquons donc que les deux notions que nous avons appelées impact sont de nature différente selon le type d’actifs. En effet, dans le cas des actifs de couverture, l’impact sur ces derniers correspond à un investissement tandis que pour les actifs diversifiés l’impact correspond à une vente. Les deux schémas ci-dessous résument le mécanisme d’intervention :


33

Schémas 8 et 8bis : Mécanisme d’intervention

Actifs en Valeur de Marché

PASSIF

Intervention

de l’assureur

PASSIF

PM

PTD

Actifs de couverture

Obligations Coupons

Actifs diversifiés

Actifs de

couverture avant

Intervention

Intervention de l’assureur

Vente Actifs diversifiés

Impact Actifs de couverture

Impact Actifs diversifiés


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Pour conclure ce mécanisme d’intervention et donc la description de l’étape 1 de notre modèle nous allons faire trois remarques. Tout d’abord, le mécanisme d’intervention est propre à chaque Model Point. En effet, tous les Model Point ne sont pas impactés de la même manière par une baisse du prix des obligations. Ensuite, lors du prochain calcul du bilan, soit en année N+1, nous contrôlons le stock d’obligations et de coupons par rapport à notre stock de provision mathématique. Dans le cas d’une hausse du prix des obligations, puisqu’en année N nous avons fortement investi dans celles-ci afin de contrôler l’écart entre la provision mathématique et le stock d’obligations, il y a de fortes chances pour que notre stock d’obligations et de coupons soit supérieur à 105% de la provision mathématique. Dans ce cas, nous vendons le surplus d’obligations au profit des « Actifs diversifiés ». C’est donc la provision de diversification qui bénéficie d’une baisse puis d’une hausse du prix des obligations. Enfin, dernière remarque, nous avons dit que ce mécanisme d’intervention ne pouvait se produire que dans le cas d’une approche pratique. En fait, il s’agit plutôt de « l’impact actifs de couverture » qui n’a lieu que lors de cette approche. En effet, dans le cas de l’approche théorique, nous sommes certains d’obtenir au terme du contrat exactement la provision mathématique grâce à nos investissements sur des obligations zéro coupon. C’est pourquoi si une intervention doit avoir lieu, elle se fera au profit des « Actifs diversifiés ». Nous venons de terminer l’explication de l’étape 1 de la cinématique de notre modèle. Nous allons voir dès à présent, les mécanismes de l’étape 2.

ii. Zoom sur l’étape 2 de la cinématique pour plusieurs Model Point Cette seconde étape fait intervenir une nouvelle notion que sont les mouvements. C’est à ce moment là que sont pris en compte les nouveaux contrats et les reversements des assurés ayant déjà un contrat qui court et également les fins de contrat, les décès et les rachats. Ces mouvements représentent donc des flux d’argent à incorporer dans le canton ou au contraire à prélever. Nous allons voir dès à présent par le biais du schéma ci-dessous quelles ont été les stratégies d’allocation d’actifs que nous avons retenues lors de cette seconde étape.


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Décomposé en

Schéma 9 : Mécanismes des mouvements pour 3 Model Point

CANTON

MP1 : Mouvements

MP2 : Mouvements

MP3 : Mouvements

MP1 : Mouvements de couverture

Mouvements diversifiés



Stratégie unique pour

chaque MP

Actifs de couverture

MP1 : Obligation Coupons



+ Dividendes + Loyers + Cash - Frais ± Impact Actifs diversifiés

Investissement

Actifs

diversifiés

En transit

Positif

Négatif

Achat : *Actions *Immobilier *Monétaire

Vente au prorata : *Actions *Immobilier *Monétaire

Ou


36

Le schéma ci-dessus, dont le sens de lecture s’effectue de gauche à droite, représente les choix que nous avons effectués en termes d’allocation d’actifs suite aux différents mouvements qui ont pu avoir lieu au sein du canton. Nous proposons pour l’instant un schéma représentant 3 Model Point afin de donner une vision générale et pour ne pas oublier le caractère collectif des contrats diversifiés. Par la suite, nous proposerons un nouveau schéma qui sera restreint à un unique Model Point. Mais pour l’heure, décryptons ce schéma. Les mouvements représentent les entrées et sorties d’argent qui sont effectués sur le canton. Les entrées peuvent être les primes nouvelles et/ou les reversements, alors que les sorties peuvent être les rachats, les décès, les fins de contrat et/ou les frais d’acquisition. Le schéma peut être décomposé en deux parties : la partie supérieure de ce schéma représente la stratégie d’allocation d’actifs que nous avons choisie pour les actifs de couverture, et la partie inférieure représente la stratégie d’allocation d’actifs pour les actifs diversifiés.

• Stratégie pour les « actifs de couverture » Cette stratégie fait référence à la partie supérieure du schéma précédent. Tout d’abord, nous pouvons remarquer que les mouvements au sein de chaque Model Point sont décomposés en mouvements de couverture d’un côté et mouvements diversifiés de l’autre. De plus, nous pouvons également remarquer que les mouvements de couverture sont propres à chaque Model Point tandis que les mouvements diversifiés représentent un « tout », et plus précisément la somme de tous les mouvements diversifiés de chaque Model Point. Le fait de dissocier les mouvements de couverture des mouvements diversifiés est lié à notre stratégie de couverture des engagements par des obligations et, le fait de ne pas regrouper les mouvements de couverture de chaque Model Point de telle sorte en n’en faire qu’un seul est lié à notre choix de départ d’associer une unique obligation à un Model Point. Vous l’aurez compris, ce paragraphe s’adresse à la stratégie adoptée pour les mouvements de couverture. Ainsi, nous regardons pour chaque Model Point les entrées et sorties d’argent, et nous dressons un bilan de celles-ci. Ces entrées et ces sorties vont engendrer le calcul d’un nouvel engagement et donc d’une nouvelle provision mathématique, ce qui va nous conduire à adopter la stratégie financière adéquate en vendant ou achetant l’obligation correspondant au Model Point considéré de telle sorte à ce que notre stock d’obligations soit approprié à la provision mathématique de ce Model Point. Avant de montrer ce qu’il se passe en particulier pour un Model Point, nous allons voir quelle est la stratégie que nous avons adoptée pour la partie inférieure du schéma 8.

• Stratégie pour les « actifs diversifiés » Comme nous pouvons le constater sur le schéma, l’investissement que nous réalisons sur les différents actifs qui composent les actifs diversifiés dépend de deux paramètres. Premièrement, cela dépend du montant de mouvements diversifiés qui est issu de tous les mouvements diversifiés de chaque Model Point. Ensuite, cela dépend de tous les résultats des actifs diversifiés (dividendes et loyers), des frais de gestion des contrats et de l’impact actifs diversifiés dont nous avons vu la définition dans la partie expliquant l’éventuelle intervention de l’assureur lors de la première étape du modèle. Ces deux montants sont alors mis en commun de telle sorte à constituer l’investissement à réaliser sur les différents actifs diversifiés. L’équation suivante résume les propos précédents :


37

Investissement = Dividendes + Loyers + Loyers Monétaire – Frais de Gestions ± impact actifs diversifiés Ensuite, selon le signe de ce montant nous adoptons la stratégie d’allocation financière adéquate. Si ce montant est positif, cela signifie que nous pouvons acheter des actifs diversifiés. Alors, la répartition de ce montant entre les trois actifs dépend du pourcentage respectif que nous avons fixé. A l’inverse, si ce montant est négatif, cela signifie que nous devons vendre des actifs diversifiés. Cette vente s’effectue au prorata de ces actifs en valeur de marché.

iii. Zoom sur l’étape 2 de la cinématique pour un Model Point Comme nous l’avions annoncé, le schéma ci-dessous représente l’étape 2 de la cinématique mais pour un unique Model Point. Les mouvements qui ont lieu pour ce Model Point sont décomposés en mouvements de couverture et mouvements diversifiés. Ces derniers viennent s’ajouter aux résultats financiers des actifs diversifiés du canton. Ensuite, selon le signe de ce montant, nous procédons à un achat ou une vente au prorata des actifs diversifiés comme nous l’avons expliqué dans le paragraphe précédent. Concernant les mouvements de couverture, nous voyons grâce au schéma ci-dessous que la mécanique est différente. La première question qu’il nous vient à se poser est de savoir si les mouvements de couverture sont positifs, autrement dit si les reversements qui s’opèrent au sein de ce Model Point sont plus élevés que les rachats. Si tel est le cas, alors nous réinvestissons dans l’obligation de ce Model Point pour un montant égal aux mouvements de couverture. En revanche, si les mouvements de couverture sont négatifs, nous devons regarder si cela est du à une fin du contrat pour ce Model Point, ou si les rachats sont plus élevés que les reversements. Si nous sommes dans le cas d’une fin de contrat, alors la stratégie a adopté est simple puisque nous vendons tout notre stock d’obligations et de coupons relatifs à ce Model Point. Cette vente d’obligation vient s’ajouter à la vente d’actifs diversifiés pour constituer à elles deux le montant total à reverser au Model Point (ou à l’assuré). Cela dit, si nous ne sommes pas en situation de fin de contrat, la stratégie adoptée est différente. En effet, si nous sommes en simple situation de rachats partiels, nous avons choisi de regarder le stock de coupons relatif à ce Model Point que nous détenons et de définir une stratégie en fonction de ce stock. En effet, si la valeur de marché des coupons de ce Model Point est supérieure au montant des mouvements de couverture alors nous vendons une quantité de coupons pour un montant égal aux mouvements de couverture. Enfin, si la valeur de marché du stock de coupons de ce Model Point est inférieure aux mouvements de couverture alors nous avons choisi comme stratégie financière de vendre l’intégralité des coupons de ce Model Point et de compléter par la vente des obligations relatives à ce Model Point.


38

Ou Ou Ou

Décomposé en

Ou

Schéma 10 : Mécanisme des mouvements pour un Model Point

Mouvements

Model Point 1

Mouvements de couverture

(PM)

Positif

Négatif

+Dividendes +Loyers +Cash -Frais ± impact Actifs diversifiés

Actifs

diversifiés

en transit

Achat : Obligations MP1

Coupons > mouvements de couverture

Positif

Négatif

Achat : *Actions *Immobilier *Monétaire

Vente : Coupons à hauteur de la PM

Vente : Tous les coupons + Obligations à hauteur de l’écart Mouvement de couverture-Coupons

Vente au prorata : *Actions *Immobilier *Monétaire

Mouvements diversifiés

Rachat

Fin de contrat

Vente : Liquidation totale des coupons et de l’obligation du MP1

Coupons < mouvements de couverture


39

Ce schéma termine ainsi ce second chapitre de ce mémoire. Grâce à lui, nous avons pu comprendre la mécanique des contrats diversifiés et aussi expliquer tout le travail de modélisation que nous avons réalisé. Ce chapitre est essentiel pour le lecteur afin qu’il puisse comprendre pleinement les choix de modélisation qui ont été pris mais il permet également d’introduire les chapitres suivants qui sont destinés à l’analyse des résultats à commencer par l’analyse de la rentabilité des contrats pour l’assuré.


40


41

III. Analyse du couple rentabilité/risque pour l’assuré Suite au développement réalisé, nous allons nous intéresser dans un premier temps à l’analyse du couple rentabilité/risque pour l’assuré ayant choisi d’investir dans un contrat d’assurance sur la vie diversifié. Nous présenterons brièvement dans un premier temps la méthodologie retenue pour ces analyses, puis nous considérerons les résultats selon l’hypothèse centrale. Nous conclurons enfin cette partie en réalisant des sensibilités selon les stratégies d’investissement et de participation aux bénéfices et les hypothèses financières.

III.1. Méthodologie retenue Le scénario central retenu pour cette analyse repose sur les hypothèses suivantes :

• Hypothèses comportementales : On considère un assuré unique réalisant un investissement de 200 k€ en t=0. Il opte pour une garantie en capital de 100% de son investissement sur un terme de 10 ans. Il ne prévoit aucun reversement et aucun rachat intermédiaire d’ici le terme.

• Scénarii financier :

Il s’agit du jeu de scénarii financier (structure de taux, marché monétaire, marché actions, marché immobilier) en monde réel au 31 décembre 2009 dont les modalités et les caractéristiques sont décrites en annexes.

• Stratégie d’investissement :

On considère la mise en place d’un actif sécurisé selon la stratégie de couverture de l’engagement du capital en euros en obligations couponnées telle que décrite dans le paragraphe précédent. La règle d’investissement en actif diversifié est comme suit : 10% sur le marché monétaire, 45% sur le marché actions et 45% sur le marché immobilier. De plus, les dividendes et les loyers des actifs diversifiés sont définis de la façon suivante :

Dividendes ou Loyers = Max (0 ; Rendement de la période)/2

Cela signifie qu’en cas de rendement positif des actifs diversifiés, les loyers ou dividendes sont égaux à la moitié des rendements, sinon, aucun loyer ou dividende n’est versé.

• Stratégie de participation aux bénéfices : On considère que la participation aux bénéfices se fait en totalité par revalorisation de la part de provision de diversification. L’étude de l’analyse rentabilité/risque pour l’assuré se fera simplement sur la base de la distribution du taux de rentabilité interne (« TRI ») sur les 1000 scénarii financiers et des paramètres suivants (moyenne, écart type, minimum et maximum). Pour lever toute ambigüité


42

de définition, on peut se référer à la définition de ce taux sous l’aide Excel : « Le taux de rentabilité interne considéré équivaut au taux d'intérêt perçu pour un investissement à remboursements et revenus réguliers. »

III.2. Résultats centraux Le premier graphique que nous allons montrer correspond à la distribution des TRI de l’investissement réalisé par notre assuré selon les 1000 scenarii financiers. Il servira par la suite d’élément de comparaison par rapport aux différentes sensibilités testées. Pour montrer cette distribution, nous avons choisi de définir des classes d’appartenance des TRI et de compter le nombre de TRI appartenant à chaque classe. Les classes d’appartenance sont définies de la façon suivante : un TRI est comptabilisé dans la classe i s’il appartient à l’intervalle [Xi-1 ; Xi[. De plus, au vue des observations, nous avons choisi de fixer la taille de nos classes à 0.5%, i.e. Xi - Xi-1 = 0.5% ; la première classe est ]-∞ ; 0%[, tandis que la dernière est [9.5% ; ∞ [. Nous obtenons ainsi le graphique suivant :

De plus, la génération des 1000 scenarii nous donne les statistiques suivantes :

Minimum Maximum Moyenne 1.21% 8.55% 3.46%

Écart type Coefficient de Variation Écart interquartile

Q3-Q1 Quantile 95%

1.02% 29.60% 3.96%-2.75%= 1.21% 5.23%

Si nous regardons les causes du minimum et du maximum obtenus, nous nous rendons compte que dans le cas du minimum, les actifs diversifiés ont subi de forte chute de rendements pour chaque période du contrat, notamment l’actif Actions ce qui a eu pour

Distribution des TRI du scénario central

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50

100

150

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1.0

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%

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8.0

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ou

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Classes

Fréq

uenc

es

TRI Scenario central


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conséquence de freiner la progression de la provision de diversification. A l’inverse, le scenario pour lequel le maximum est atteint, nous constatons une forte hausse des rendements des actifs diversifiés combinée à une importante baisse des taux de la courbe des taux pour toute la période du contrat. Cette combinaison a pour conséquence d’augmenter la valeur de marché de l’Actif, ce qui se répercute sur la provision de diversification. Ensuite, la moyenne obtenue par le calcul se retrouve visuellement sur le graphique, aux alentours de 3.50%. Enfin, les critères de dispersion nous permettent de voir que les TRI sont peu dispersés autour de la moyenne et l’obtention de TRI élevé n’est du qu’à des cas extrêmes.

a. Dilution ou relution des TRI liée à de nouveaux adhérents dans le canton En finance, lorsqu’on emploie le terme dilution, on fait référence à la diminution du bénéfice par actions d’une société liée par exemple à la modification de la structure financière de l’entreprise (souscription de nouvelles actions, recours à l’endettement). Il peut également signifier la réduction du pourcentage d’un actionnaire dans le capital d’une société suite à une augmentation de capital ou une fusion. Dans ce mémoire, nous avons choisi d’appliquer ce terme à la rentabilité de l’assuré et de l’assureur dans le cas où plusieurs générations de souscription se présentent successivement dans le canton. Ainsi, lorsque nous parlerons de dilution de la rentabilité de l’assuré ou de l’assureur, nous signifierons que la rentabilité de ces derniers est modifiée par l’entrée successive de nouvelles générations de souscriptions. Enfin, la relution est le phénomène inverse qui est, dans ce mémoire, l’augmentation de la rentabilité due à de nouvelles entrées dans le canton. Pour mesurer cela, nous nous concentrons sur la rentabilité du 1er assuré lorsque nous faisons intervenir 1 puis 2 puis 3 puis enfin 4 nouveaux assurés dans le canton et de façon à ce qu’un nouvel arrivant intervienne exactement un an après le précédent. Le montant moyen des investissements réalisés par chaque nouvel entrant est égal à l’investissement moyen du premier assuré revalorisé au taux d’inflation de la période. Les adhérents successifs souscrivent des contrats d’une durée identique à celle du premier assuré (10 ans) et pour une garantie totale au terme (100%). Concrètement, comme nous avons décidé que notre premier assuré adhérait au contrat en 2009, cela signifie que la prochaine adhésion se fera en 2010, la suivante en 2011 pour terminer par la dernière en 2013. Cela fait donc 4 simulations de 1000 scenarii chacune dans lesquelles nous avons recueilli le TRI du premier assuré (celui de 2009) afin d’en mesurer les variations. Le graphique ci-dessous permet de visualiser les résultats obtenus :

Impact d'entrées successives dans le canton sur la distribution des TRI du premier assuré

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100

150

200

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0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%

ou p

lus.

..

Classes

Fré

quen

ces

TRI du scenariocentralTRI du premier assuréavec un nouvel entrant2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants


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Pour effectuer ce graphique, nous avons procédé de la même manière que pour le premier graphique et nous avons également utilisé les mêmes classes. Ce que nous pouvons remarquer est que la distribution des TRI du premier assuré n’est pas impacté significativement par l’apparition dans le canton de nouveaux assurés, ce qui est également confirmé par les différentes statistiques données dans le tableau ci-dessous : 1 nouvel

adhérent 2 nouveaux adhérents

3 nouveaux adhérents

4 nouveaux adhérents

Minimum 1.32% 1.28% 1.24% 1.22%

Maximum 8.71% 8.78% 8.92% 8.96%

Moyenne 3.51% 3.48% 3.49% 3.50%

Écart type 1.03% 1.04% 1.05% 1.05%

Coefficient de Variation

29.42% 29.87% 29.97% 30.02%

Q3 – Q1 4.04-2.8=1.24% 3.99-2.75=1.24% 5.3-2.74=1.26% 4.05-2.75=1.30%

Q95% 5.30% 5.27% 5.30% 5.31%

Les statistiques ci-dessus sont du même ordre que celles dans le cas où le premier assuré est le seul dans le canton. L’entrée de nouveaux adhérents n’a donc pas d’influence pour l’assuré ayant souscrit en premier un contrat diversifié. Mais la question d’une éventuelle dilution (ou relution) des TRI se pose également au niveau des autres générations de souscription. Le schéma ci-dessous montre la distribution des TRI de l’assuré 2, i.e. l’assuré qui adhère au contrat un an après l’assuré du scénario central, en tenant compte de la présence de l’assuré du scenario central et de l’intervention dans le canton de nouveaux adhérents les années suivantes :

Visuellement, nous pouvons constater que la distribution des TRI du 2ème assuré n’est pas impactée par l’entrée successive de nouveaux adhérents. Cependant, nous pouvons également remarquer que cette distribution n’est pas identique à celle du 1er assuré. La distribution des TRI du 2ème assuré est plus volatile mais offre des rendements espérés supérieurs aux rendements espérés du 1er assuré :

Impact d'entrées succéssives dans le canton sur la distribution des TRI du deuxième assuré

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%

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%

9.0

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ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Assuré 2 est dernier arrivé

1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants


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Assuré 1 Assuré 2 Minimum 1.32% 0.55%

Maximum 8.71% 8.91%

Moyenne 3.51% 3.61%

Écart type 1.03% 1.28%

Coefficient de Variation 29.42% 35.34%

Q3 – Q1 4.04-2.8=1.24% 4.35-2.71=1.64%

Q95% 5.30% 5.96%

Nous remarquons donc clairement une volatilité plus importante des rendements du 2ème assuré ainsi qu’une espérance de rendements plus importante. Cela est dû essentiellement à la valeur de la part de provision de diversification calculée lors de la date d’entrée dans le canton du 2ème adhérent. Cette valeur dépend de l’environnement de taux de la période (prix des obligations et valeur de la provision mathématique du 1er assuré) ainsi que des rendements des différents actifs de couverture qui sont par nature plus volatiles. Nous pouvons constater ainsi, qu’une valeur de part faible lors de l’entrée du 2ème assuré liée à une chute des actifs financiers, procure par construction au 2ème assuré un nombre élevé de parts de provision de diversification. Ce nombre élevé de parts, puisqu’il reste constant jusqu’au terme du contrat, permet au 2ème assuré d’espérer des rendements plus élevés dans le cas où la valeur finale de la part de provision de diversification augmente. A l’inverse, le plus faible rendement obtenu par ce 2ème assuré est dû à une combinaison entre une forte chute des taux de la période correspondant à son entrée dans le contrat et une valeur de part de provision de diversification supérieure à celle d’origine. Cette forte baisse des taux entraîne donc un faible taux technique et par construction une provision mathématique liée au versement élevée. Ainsi, la provision de diversification liée au versement du 2ème assuré est faible, et donc le nombre de parts détenu par le 2ème assuré est moins important. Par ailleurs, l’absence de dilution et de relution des TRI liée à de nouveaux adhérents dans le canton se vérifie également pour les assurés 3 et 4:

Enfin, si nous regardons la volatilité et l’espérance des rendements de chaque génération de souscription, nous pouvons constater que la volatilité et l’espérance des rendements augmentent en fonction de la date d’entrée dans le canton.

Impact d'entrées succéssives dans le canton sur la distribution des TRI du troisème assuré

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0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%

ou

plu s

...

Classes

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uenc

es

Assuré 3 est le dernierentrant

1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

Impact d'entrées succéssives dans le canton sur la distribution des TRI du quatrième assuré

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lus.

..

Classes

Fré

quen

ces

Assuré 4 est le dernierentrant

1 nouvel entrant


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Assuré 1 Assuré 2 Assuré 3 Assuré 4 Assuré 5

Minimum 1.22% 0.54% 0.39% 0.05% -0.25%

Maximum 8.96% 8.77% 10.49% 9.99% 10.63%

Moyenne 3.50% 3.58% 4.12% 3.97% 4.16%

Écart type 1.05% 1.29% 1.49% 1.57% 1.65%

Coefficient de Variation

30.02% 35.96% 36.24% 39.47% 39.62%

Q3 – Q1 4.05-2.75=1.30%

4.32-2.68=1.64%

4.96-3.06=1.90%

4.91-2.89=2.02%

5.22-3.02=2.20%

Q95% 5.31% 6.00% 6.81% 6.79% 7.15%

Cette volatilité s’explique de la même façon que dans le cas où il n’y a que deux assurés dans le canton. Les rendements attendus dépendent de la valeur de la part de provision de diversification qui elle-même dépend des scenarii financiers. En revanche, l’absence d’impact des nouvelles générations de souscriptions sur les TRI des générations déjà existantes est une caractéristique spécifique au mode de répartition de la participation aux bénéfices choisie. Nous verrons par la suite, lors des tests sur les sensibilités liées au choix du mode de répartition, que la stratégie visant à faire évoluer le nombre de parts de provision de diversification, plutôt que la valeur de celle-ci, modifie la tendance précédemment observée que ce soit en termes de dilution-relution ou de volatilité des rendements attendus. Mais avant de voir cela, nous allons tester les sensibilités de la distribution des TRI pour le premier assuré en fonction de la durée et du niveau de garantie choisie.

b. Impact de la durée du contrat sur la distribution des TRI du premier assuré La durée du contrat est un paramètre qui est à l’initiative de l’assuré. Les contrats diversifiés proposés par AG2R LA MONDIALE offrent la possibilité d’adhérer à des contrats pour une durée de 8, 9 ou 10 ans, cette dernière étant la durée de base. Le graphique ci-dessous montre la distribution des TRI du premier assuré pour les 3 durées proposées et dans le cas où il est le seul assuré du canton.

Distribution des TRI par générations de souscriptio n

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Classes

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es

TRI 1er assuré

TRI 2ème assuré

TRI 3ème assuré

TRI 4ème assuré

TRI 5ème assuré


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Nous pouvons d’ores et déjà remarquer que la durée du contrat influence la rentabilité de l’assuré car nous constatons une translation vers la gauche au fur et à mesure que la durée du contrat diminue. Les statistiques qui suivent confirment cette tendance :

Scenario central Durée 9 ans Durée 8 ans Minimum 1.21% 1.04% 0.86%

Maximum 8.55% 7.64% 7.47%

Moyenne 3.46% 3.26% 3.04%

Écart type 1.02% 0.96% 0.89%

Coefficient de variation 29.60% 29.35% 29.14%

Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 3.76-2.58=1.18% 3.57-2.40=1.17%

Q95% 5.23% 4.96% 4.64%

Nous pouvons remarquer que la durée est corrélée positivement avec la moyenne et l’écart type. Il en est de même pour le maximum et le minimum, ce qui confirme la tendance aperçue sur le graphique qui montrait une translation vers la gauche de la distribution des TRI quand la durée du contrat diminue. Ce résultat est dû au fait que la provision mathématique initiale, celle calculée au moment de l’investissement, est plus importante car la durée d’actualisation est plus courte. Pour rappel, la formule qui permet de calculer la provision mathématique en t= 0 est la suivante :

PM(0) = Prime Nette × Garantie × contratduréetechniquetaux _)0( )_1( −+

Ainsi, lorsque la durée du contrat augmente, la provision mathématique initiale diminue. Or, par construction, nous savons que la provision de diversification à l’origine se calcule comme la différence entre la prime nette et la provision mathématique à l’origine :

PTD(0) = Prime Nette – PM(0) De ce fait, pour un même montant investi, l’investissement ayant une durée d’engagement plus grande obtiendra une provision de diversification initiale plus importante. Comme cette

Impact de la durée de l'engagement sur la distribut ion des TRI du premier assuré

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esTRI scenario central

TRI pour un contrat d'unedurée de 9 ans

TRI pour un contrat d'unedurée de 8 ans


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provision constitue le moteur de croissance du contrat grâce aux actifs diversifiés, le contrat perd en rendement lorsque cette provision est moins importante. Pour la même raison, lorsque la durée du contrat est plus courte, la volatilité des rendements est moins grande.

c. Choix du niveau de garantie Le niveau de garantie représente la part de la prime nette investie au début du contrat que l’assuré souhaite récupérer au terme. Il s’agit donc du dernier levier de gestion qui est proposé à l’assuré par les conditions générales du contrat. Les produits proposés par AG2R LA MONDIALE comportent des garanties au terme de 80, 90 ou 100% de la prime nette. Encore une fois, nous ne regardons que la distribution des TRI du premier assuré, et nous faisons varier uniquement la garantie de notre scenario central.

Ce graphique permet donc de voir que la garantie choisie a une incidence directe sur le rendement du contrat. En effet, nous pouvons remarquer une légère translation de la courbe vers la droite à mesure que la garantie au terme diminue. Cette diminution de garantie engendre également une étendue et un écart type plus élevés des observations. Cela est dû à l’augmentation de la part d’actifs diversifiés au détriment de la part d’actifs de couverture lorsque la garantie diminue. En reprenant la formule permettant de calculer la provision mathématique à l’origine et si nous faisons uniquement varier la garantie nous obtenons :

PM(0)100% = Prime Nette × 100% × contratduréetechniquetaux _

)0( )_1( −+


)0( )_1( −+


)0( )_1( −+

La seule variable de ces équations est le niveau de garantie, nous avons donc :

PM(0)100% > PM(0)

90% > PM(0)80%

Impact de la garantie au terme sur la distribution des TRI de l'assuré

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es

TRI scenariocentralGarantie 90%

Garantie 80%


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Par construction, nous avons donc également :

PTD(0)100% < PTD(0)

90% < PTD(0)80%

Ainsi, une garantie inférieure à 100% implique une provision mathématique initiale plus faible et une provision de diversification plus importante qui est investie en actifs offrant de meilleurs rendements mais plus volatiles. C’est pourquoi le rendement, l’étendue et la volatilité de ces derniers augmentent lorsque le niveau de garantie diminue. Ces résultats sont confirmés par les statistiques suivantes :

Scenario Central Garantie 90% Garantie 80% Minimum 1.21% 0.71% 0.19%

Maximum 8.55% 10.03% 11.35%

Moyenne 3.46% 3.60% 3.73%

Écart type 1.02% 1.30% 1.57%

Coefficient de variation 29.60% 36.10% 42.02%

Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 4.24-2.67=1.57% 4.52-2.61=1.91%

Q95% 5.23% 5.87% 6.50%

Ces statistiques confirment bien l’augmentation de la volatilité des TRI à mesure que la garantie diminue et également l’augmentation de la probabilité d’obtenir des rendements plus élevés. Avec cette dernière analyse, nous venons de terminer l’étude des leviers de gestion qui sont proposés à l’assuré pour tenter d’accroître son rendement. Nous allons voir dès à présent les sensibilités des contrats liées aux choix d’investissement et de stratégies de l’assureur.

III.3. Sensibilités aux stratégies

Dans cette partie, nous allons analyser la rentabilité de l’assuré en fonction des stratégies financières (Zéro coupon/Obligation à taux fixe, part de l’actif Monétaire dans l’actif diversifié, part de l’actif Actions) et de gestion (mode de répartition de la PB). Dans un premier temps, nous allons mesurer cette rentabilité selon la stratégie de couverture choisie, ensuite nous analyserons l’impact de la part de l’actif Monétaire et Actions sur le rendement du contrat et enfin nous verrons les conséquences engendrées par les trois modes de gestion de la participation aux bénéfices.

a. Stratégie de couverture : Approche pratique contre approche théorique Comme nous en avons parlé dans les parties précédentes, le modèle que nous avons développé permet de prendre en considération deux approches (pratique ou théorique) qui dépendent du « type » d’obligations que nous achetons (taux fixe ou zéro coupon). Tous les résultats qui ont été analysés précédemment sont issus de l’approche pratique, c’est-à-dire celle où les obligations sont à taux fixes. Nous allons voir dès à présent, quels sont les résultats générés par l’approche théorique. Pour cela, nous procédons de la même façon, à savoir nous regardons la distribution des TRI pour le premier assuré selon les mêmes classes. Ensuite, nous modifions uniquement l’approche retenue, i.e. la prime initiale, le niveau de


50

garantie et la durée du contrat sont identiques dans les approches. Ainsi, nous obtenons le graphique suivant :

Nous pouvons d’ores et déjà constater grâce à ce graphique, qu’en une utilisant une approche de couverture par des obligations zéro coupon, la distribution des TRI de l’assuré est légèrement translatée vers la droite et l’étendue de ces mêmes rendements est plus grande. Cette constatation est confirmée par les statistiques suivantes :

Obligations à taux fixe (Approche Pratique)

Obligations zéro coupon (Approche Théorique)

Minimum 1.21% 0.86%

Maximum 8.55% 10.73%

Moyenne 3.46% 3.72%


Coefficient de variation 29.60% 36.36%

Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 4.42-2.75=1.67%

Q95% 5.23% 6.09%

Les résultats entrevus par le graphique sont confirmés par ce tableau de statistiques. Nous pouvons voir très clairement qu’en cas de couverture des engagements par des obligations zéro coupon, l’espérance des rendements est supérieure à celle du scenario central. L’étendue des observations est plus importante, tout comme l’écart type. Ces conclusions sont cohérentes avec cette couverture : en effet, dans le cas de l’approche théorique, l’investissement initial réalisé sur les actifs de couverture est plus faible que dans le cas d’une approche pratique et cet écart d’investissement est reporté sur la provision de diversification, donc sur les actifs diversifiés. De plus, de par leur nature, les actifs diversifiés offrent de meilleurs rendements mais sont aussi plus volatiles, ce qui est cohérent avec les résultats obtenus.

Impact de la stratégie de couverture sur la distrib ution des TRI du premier assuré

0

50

100

150

200

250

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

4.0

%

5.0

%

6.0

%

7.0

%

8.0

%

9.0

%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario central

Approche Zéro coupon


51

b. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Monétaire dans l’actif diversifié Dans cette partie, nous testons une stratégie d’investissement déterminée par l’assureur, à savoir la part de l’actif Monétaire dans l’actif diversifié. Dans notre scenario central, nous avons fixé cette part à 10%, ce qui représente 3% de l’Actif au global. Ici, nous allons faire varier la part de l’actif Monétaire de 0 à 20% par pas de 5%. Les parts des actifs Actions et Immobilier sont égales et sont calculées de la façon suivante :

Part Actions = Part Immobilier = (1-Part Monétaire)/2

Voici les statistiques obtenues après la génération des scenarii et le graphique qui représente les distributions des TRI du premier assuré en fonction de la part d’actif Monétaire :

Monétaire à 0% Monétaire à 5% Scenario Central Monétaire à 15% Monétaire à 20% Minimum 1.10% 1.15% 1.21% 1.26% 1.32%

Maximum 9.38% 8.96% 8.55% 8.13% 7.72%

Moyenne 3.53% 3.49% 3.46% 3.43% 3.39%

Écart type 1.14% 1.08% 1.02% 0.97% 0.91%

Coefficient de variation

32.39% 30.99% 29.60% 28.25% 26.93%

Q3 – Q1 4.05-2.72=1.33% 4.01-2.74=1.27% 3.96-2.75=1.21% 3.88-2.77=1.11% 3.84-2.77=1.07%

Q95% 5.52% 5.40% 5.23% 5.10% 4.98%

Nous pouvons d’ores et déjà remarquer que l’espérance des rendements et la volatilité de ceux-ci diminuent quand la part d’actif Monétaire augmente. Le graphique ci-dessous confirme cette tendance :

Nous pouvons remarquer sur ce graphique une légère translation vers la droite des distributions à mesure que la part d’actif Monétaire diminue. De plus, nous constatons également un léger aplatissement de la courbe lorsque la part de Monétaire diminue. Ces deux faits visuels corroborent les statistiques observées lors de la génération des scenarii. En effet, lorsque la part d’actif Monétaire diminue, la part des actifs Actions et Immobilier augmente.

Impact de l'allocation de l'actif monétaire dans l' actif diversifié sur la distribution des TRI du 1er assur é

0

50

100

150

200

250

300

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

4.0

%

5.0

%

6.0

%

7.0

%

8.0

%

9.0

%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario central

Monétaire à 0%

Monétaire à 5%

Monétaire à 15%

Monétaire à 20%


52

Or, nous savons que ces actifs offrent de meilleurs rendements et sont plus volatiles que l’actif Monétaire. C’est pourquoi, lorsque nous diminuons la part d’actif Monétaire, l’espérance des rendements est plus importante et l’étendue et la volatilité de ces derniers sont plus grandes. Mais cette tendance n’est pas significative et n’impacte pas fortement le rendement de l’assuré.

c. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Actions dans l’actif diversifié Comme nous l’avons vu précédemment, modifier la part de l’actif Monétaire dans l’actif diversifié n’a pas de grosses conséquences sur la rentabilité de l’assuré. C’est pourquoi nous allons tester une nouvelle stratégie d’investissement à l’initiative de l’assureur qui se veut être plus dynamique et offrant potentiellement de meilleurs rendements. Cette stratégie consiste à n’investir qu’en deux actifs diversifiés, le Monétaire et les Actions. Cette stratégie est motivée par le fait que les Actions représentent les actifs les plus dynamiques. En effet, elles sont susceptibles d’obtenir des rendements supérieurs au Monétaire, mais en contrepartie elles sont plus volatiles et donc moins « sûres ». Pour tester cette stratégie, nous avons choisi d’allouer à l’actif Monétaire 10% de l’Actif diversifié, et 90% à l’actif Actions. La génération des 1000 scenarii nous donne les résultats suivants :

Ce graphique montre clairement l’impact des actions sur la distribution des TRI de l’assuré. Nous pouvons voir que l’étendue et la volatilité des rendements ont fortement augmenté ce qui est lié à la volatilité du prix des actions. De plus, nous obtenons les statistiques suivantes :

Distribution des TRI du 1er Assuré si l'actif diver sifié est

composé à 90% Actions

0

50

100

150

200

250

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% ou plus...

Classes

Fréquences

Scenario central 90% Actions


53

Scenario Central 90%Actions-10%Monétaire Minimum 1.21% 0.60%

Maximum 8.55% 13.88%

Moyenne 3.46% 3.64%



Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 4.36-2.39=1.97%

Q95% 5.23% 7.02%

Nous voyons donc qu’avec cette stratégie l’espérance des rendements est plus grande mais la volatilité de ces derniers est beaucoup plus importante (coefficient de variation élevé, étendue plus importante). La volatilité du rendement des actions se répercute donc sur la rentabilité de l’investissement fait par l’assuré. Cette stratégie, à l’initiative de l’assureur, permet donc d’accroître potentiellement le rendement du contrat mais expose plus fortement l’assuré à la volatilité du rendement des actions.

d. Stratégie de participation aux bénéfices : Augmentation du Nombre de parts de PTD Comme nous l’avons expliqué dans les chapitres précédents, l’assureur dispose de trois méthodes pour attribuer la participation aux bénéfices liés à l’évolution des actifs. En effet, il dispose de deux modes de répartition liés à la provision de diversification, et d’un mode reposant sur l’engagement exprimé en euros et donc la provision mathématique. Pour le scenario central, nous avons choisi comme mode de répartition l’évolution de la valeur de la part de provision de diversification. Dans cette partie, nous allons traiter le second mode de gestion lié à la provision de diversification, c’est-à-dire l’évolution du nombre de parts de provision de diversification. Nous le savons, les contrats diversifiés sont des contrats qui garantissent aux assurés un nombre de parts minimum, qui est fixé lors de l’adhésion au contrat. De plus nous savons également que la répartition de la PB dépend de la performance des actifs financiers. Ces deux caractéristiques des contrats diversifiés déterminent ainsi une condition nécessaire pour pouvoir appliquer ce mode de gestion de la PB, il faut que la valeur de marché des actifs financiers soit plus grande d’une année sur l’autre. Dans les cas où la revalorisation du nombre de parts n’est pas possible nous avons choisi d’appliquer à notre modèle la stratégie consistant à faire évoluer la valeur de la part. Enfin, ce mode de gestion, bien qu’il soit lié à la provision de diversification, diffère sur les modalités de revalorisation. En effet, contrairement à la valeur de la part qui est commune à tous les assurés, le nombre de part est propre à chaque assuré. Il faut donc convenir d’une règle qui soit équitable pour tous les assurés. Cependant, aucune indication n’est donnée dans les textes de lois concernant l’assiette sur laquelle se basée pour effectuer ce mode de revalorisation. Nous avons donc choisi pour appliquer ce mode de répartition deux types de revalorisation qui dépendent de deux assiettes :

1. Une revalorisation qui est calculée selon : la moitié de la part de

provision mathématique que détient chaque assuré sur la provision mathématique du canton et selon la moitié du nombre de parts de PTD que détient chaque assuré avant mouvements sur le nombre de parts total de tous les assurés du canton avant mouvements.


54

2. Une revalorisation qui est calculée selon la part de la provision

mathématique que détient chaque assuré sur la provision mathématique du canton. Ainsi, nous pouvons écrire sous forme d’équations le nombre de parts de PTD auquel a droit chaque assuré lorsque nous utilisons ce mode de répartition pour une date t. La première assiette de revalorisation donne l’équation suivante :

Nb_Parts(t)1 =

×+××

−−

−

−

−

5.0_

_5.0

_ )1(

1)1(

)(

1)(

)1(

)()()(

Ct

t

Ct

t

t

Ct

Ct

Ct

PartsNb

PartsNb

PM

PM

PartValeur

FraisPMActif

Où

CtActif )( est la valeur de l’Actif du canton à la date t,

CtPM )( est la valeur de la provision mathématique du canton à la date t,

CtFrais )( est le montant des frais de gestion du canton à la date t,

)1(_ −tPartValeur est la valeur de la part de provision de diversification déterminée à la

date précédente, 1

)(tPM est la valeur de la provision mathématique de l’assuré 1 à la date t, 1

)1(_ −tPartsNb est le nombre de parts que détenait l’assuré 1 en t-1 après mouvements CtPartsNb )1(_ − est le nombre de parts détenues par tous les assurés en t-1 après

mouvements,

∑=

=N

i

it

Ct PMPM

1)()( et ∑

=−− =

N

i

it

Ct PartsNbPartsNb

1)1()1( __ où N est le nombre total

d’assurés.

Ainsi, cette équation nous donne le nombre de parts auquel a droit l’assuré 1 à la date t. Nous remarquons que cette équation est composée de deux facteurs. Le facteur de gauche correspond au nombre total de parts de provision de diversification qui doit être réparti entre tous les assurés, et le facteur de droite correspond à l’assiette de revalorisation qui prend en compte à la fois la provision mathématique de l’assuré ainsi que son nombre de parts de provision de diversification. Pour la deuxième assiette de revalorisation, nous avons l’équation suivante :

Nb_Parts(t)1 =

Ct

t

t

Ct

Ct

Ct

PM

PM

PartValeur

FraisPMActif

)(

1)(

)1(

)()()(

_×

−−

−

Comme précédemment, cette équation détermine le nombre de parts auquel a droit l’assuré 1 à la date t. La seule différence avec l’équation précédente réside dans le facteur de droite de cette équation, l’assiette de revalorisation prend en compte uniquement la provision mathématique de l’assuré à la date t. Maintenant que nous avons décrit les méthodes de revalorisation que nous avons mises en place, nous pouvons analyser les résultats obtenus. Étudier la distribution des TRI du premier assuré lorsque celui-ci est seul dans le canton n’aurait aucun sens car faire évoluer la part de


55

PTD ou le nombre de parts de PTD lorsqu’il n’y a qu’un seul assuré dans le canton engendrerait les mêmes résultats. C’est pourquoi nous avons choisi de mesurer dans un premier temps l’impact d’entrées successives dans le canton de nouveaux assurés sur la distribution des TRI du 1er assuré en utilisant la même méthode que dans les paragraphes précédents. Ensuite, nous allons étudier la rentabilité pour les différentes générations de souscription. Et enfin, nous comparerons la rentabilité du 1er assuré lorsque celui-ci n’est pas le seul dans le canton et en fonction des méthodes de répartition de la participation aux bénéfices liées à la PTD. Ci-dessous, nous avons la distribution des TRI du premier assuré en fonction du nombre d’entrée successives dans le canton et lorsque l’assiette de revalorisation fait intervenir à la fois la provision mathématique et la provision de diversification :

Nous remarquons ainsi qu’il n’y a pas d ‘effet sur la rentabilité du 1er assuré avec ce mode de gestion de la PB et avec cette assiette de revalorisation. Les résultats obtenus sont fortement similaires à ceux que nous avons vus lorsque nous avons analysé la gestion de la PB par la valeur de la part.

Assiette: PTD+PM

Scenario Central

1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants

Minimum 1.21% 1.29% 1.24% 1.20% 1.18%

Maximum 8.55% 8.27% 7.97% 8.02% 7.93%

Moyenne 3.46% 3.51% 3.52% 3.54% 3.56%

Écart type 1.02% 1.02% 1.03% 1.03% 1.03%


29.60% 29.02% 29.25% 29.15% 28.98%

Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 4.01-2.80=1.21%

4.04-2.8=1.24%

4.07-2.83=1.24%

4.11-2.85=1.26%

Q95% 5.23% 5.34% 5.35% 5.36% 5.38%

Distribution des TRI du 1er assuré pour une assiett e 50-50

0

50

100

150

200

250

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

4.0

%

5.0

%

6.0

%

7.0

%

8.0

%

9.0

%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario Central

1 nouvel Entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants


56

La rentabilité moyenne augmente légèrement avec l’entrée de nouveaux assurés dans le canton, mais ce n’est pas significatif pour dire qu’il y a un effet, positif ou négatif, sur la rentabilité. Maintenant, si nous regardons la rentabilité des différentes générations de souscription, nous obtenons les résultats suivants :

Ce mode de revalorisation aboutit aux mêmes conséquences que celui du scenario central. La rentabilité des générations est en moyenne supérieure à celle des générations précédentes mais la volatilité des rendements est plus élevée.

Ces statistiques confirment l’intuition que nous avions en regardant le graphique précédent. Cependant, si nous comparons ces résultats avec ceux obtenus avec une revalorisation de la valeur de la part (cf. tableau 3), nous remarquons dans un premier temps que ce mode de gestion de la PB ne fournit pas de rendements négatifs aux assurés. Ensuite, la volatilité des rendements est légèrement plus faible mais en contrepartie la probabilité d’obtenir des rendements élevés est également plus faible. Toutefois, il n’y a pas de différences significatives sur ces deux modes de revalorisation. Dans les deux cas, la rentabilité des assurés n’est pas impactée par l’entrée dans le canton de nouveaux assurés et la date de

Assiette : PTD+PM


Minimum 1.18% 0.49% 0.40% 0.16% 0.06%

Maximum 7.93% 8.51% 9.58% 9.23% 10.08%

Moyenne 3.56% 3.61% 3.99% 3.91% 4.07%

Écart type 1.03% 1.24% 1.39% 1.48% 1.55%


28.98% 34.23% 34.73% 37.75% 38.09%

Q3 – Q1 4.11-2.85=1.26%

4..34-2.74=1.60%

4.78-3.03=1.75%

4.79-2.89=1.90%

5.04-3.0=2.04%

Q95% 5.38% 5.97% 6.56% 6.58% 6.85%

Rentabilité des 5 assurés

0

50

100

150

200

250

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

4.0

%

5.0

%

6.0

%

7.0

%

8.0

%

9.0

%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Assuré 1

Assuré 2

Assuré 3

Assuré 4

Assuré 5


57

survenance dans le canton a une influence la rentabilité moyenne attendue et la volatilité de celle-ci. Nous allons maintenant analyser les résultats obtenus lorsque l’assiette de revalorisation est uniquement ajustée sur la provision mathématique. Le graphique ci-dessous donne la distribution des TRI du 1er assuré en fonction du nombre d’entrées successives dans le canton :

Une fois encore, la rentabilité de l’assuré n’est pas impactée par l’entrée dans le canton de nouveaux assurés. De plus, l’assiette de revalorisation n’influence pas la rentabilité alors que nous aurions pu penser qu’en augmentant le nombre de parts sur une assiette uniquement basée sur la provision mathématique avantagerait le 1er assuré puisque sa provision mathématique est la plus grande du fait de son entrée en premier dans le canton. D’ailleurs, les statistiques ci-dessous confirment ces observations : Assiette: PM Scenario

Central 1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants

Minimum 1.21% 1.26% 1.20% 1.15% 1.13%

Maximum 8.55% 8.02% 8.09% 7.96% 8.05%

Moyenne 3.46% 3.51% 3.55% 3.57% 3.60%

Écart type 1.02% 1.02% 1.04% 1.15% 1.05%


29.60% 29.07% 29.32% 29.26% 29.07%

Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 4.02-2.80=1.22%

4.09-2.82=1.27%

4.13-2.84=1.29%

4.16-2.86=1.30%

Q95% 5.23% 5.37% 5.50% 5.53% 5.56%

Les valeurs du tableau ci-dessus sont très proches de celles du tableau 9. Le fait de changer l’assiette de revalorisation ne modifie pas la distribution des TRI du 1er assuré.

Distribution des TRI du 1er assuré pour une assiett e 100% PM

0

50

100

150

200

250

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

4.0

%

5.0

%

6.0

%

7.0

%

8.0

%

9.0

%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario Central

1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants


58

Enfin, si nous nous intéressons à la rentabilité des différentes générations de souscription, nous obtenons le graphique suivant :

Les résultats sont similaires à ceux que nous avons obtenus auparavant. L’entrée tardive dans le canton procure un rendement moyen supérieur mais accroît également la volatilité, comme nous pouvons le voir dans le tableau ci-dessous : Assiette : PM Assuré 1 Assuré 2 Assuré 3 Assuré 4 Assuré 5

Minimum 1.13% 0.49% 0.43% 0.35% 0.34%

Maximum 8.05% 8.36% 9.13% 8.85% 9.81%

Moyenne 3.60% 3.66% 3.94% 3.91% 4.06%

Écart type 1.05% 1.22% 1.33% 1.43% 1.50%


29.07% 33.25% 33.76% 36.44% 36.89%

Q3 – Q1 4.16-2.86=1.30%

4.38-2.81=1.57%

4.66-3.04=1.62%

4.73-2.94=1.79%

4.97-3.04=1.93%

Q95% 5.56% 5.99% 6.43% 6.50% 6.74%

Le fait que les assiettes de revalorisation que nous avons testées n’influencent pas la rentabilité des assurés nous a mené à tester une 3ème et dernière assiette de revalorisation basée sur la PTD. Mais avant de voir les résultats obtenus, nous allons faire une remarque sur l’assiette de revalorisation basée sur la PM. Nous aurions pu croire que cette assiette avantage le 1er assuré mais si nous regardons en détail les chiffres, la provision mathématique du 1er assuré n’est pas significativement supérieure aux provisions mathématiques des autres assurés. Cela est dû au fait que tous les assurés effectuent des versements d’un même montant (revalorisé de l’inflation) et adhèrent à des contrats de même durée et de même garantie. Cette assiette pourrait influencer la rentabilité des générations de souscription dans le cas où soit le montant moyen versé par les assurés est différent, soit la durée du contrat est différente et enfin, dans le cas où les assurés ne choisissent pas les mêmes garanties au terme. D’ailleurs pour ce dernier cas, fournir un nombre de parts supplémentaires aux assurés sur l’assiette basée sur la PM serait inéquitable envers les assurés qui ont opté pour des garanties au terme inférieures à 100%. En effet, pour ces assurés, leur PM est plus faible parce qu’ils

Rentabilité des générations de souscription

0

50

100

150

200

250

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

4.0

%

5.0

%

6.0

%

7.0

%

8.0

%

9.0

%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Assuré 1

Assuré 2

Assuré 3

Assuré 4

Assuré 5


59

ont décidé de privilégier la PTD et ont choisi de supporter plus de risque. C’est pour ça que l’assiette de revalorisation qui prend en compte à la fois la PM et la PTD semble être un bon compromis en termes d’équité entre les assurés. Comme nous l’avons dit avant cette remarque, nous avons décidé de tester une troisième assiette de revalorisation qui est uniquement basée sur la PTD. L’équation qui sert à déterminer le nouveau nombre de part selon cette nouvelle assiette est donnée ci-dessous :

Nb_Parts(t)1 =

×

−−

−

−

−Ct

t

t

Ct

Ct

Ct

PartsNb

PartsNb

PartValeur

FraisPMActif

)1(

1)1(

)1(

)()()(

_

_

_

Cette assiette ne prend en compte que le nombre de parts que détient chaque assuré par rapport au nombre total de parts du canton. Les résultats issus de cette assiette sont exactement les mêmes que ceux de notre scenario central. En effet, que ce soit en termes de dilution-relution des rendements pour le 1er assuré ou en termes de rentabilité des différentes générations, les résultats sont totalement égaux. Pour preuve, voici les graphiques des distribution des TRI du 1er assuré en fonction d’entrées successives dans le canton et le graphique des TRI des différentes générations de souscription :

Ditribution des TRI du 1er assuré pour une assiette 100%PTD

0

50

100

150

200

250

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es Scenario central

1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants

Distribution des TRI par générations de souscriptio n

0

50

100

150

200

250

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

TRI 1er assuré

TRI 2ème assuré

TRI 3ème assuré

TRI 4ème assuré

TRI 5ème assuré


60

En conclusion de ce paragraphe, nous pouvons donc dire que ce mode de répartition de la participation aux bénéfices fournit des résultats semblables à ceux que nous avons obtenus lorsque nous faisions évoluer la valeur de la part. En effet, la rentabilité des assurés n’est pas impactée par la venue dans le canton de nouveaux assurés aux caractéristiques similaires. De plus, les assurés entrés tardivement dans le canton bénéficient de rendements moyens supérieurs mais la volatilité de ces derniers est plus importante puisqu’ils dépendent de la performance des actifs déjà dans le portefeuille. Nous avons aussi vu que l’assiette de revalorisation n’intervenait pas dans la rentabilité des assurés à l’exception où celle-ci est basée sur la provision de diversification. Dans ce cas, faire évoluer le nombre de parts ou la valeur de la part engendre des résultats totalement identiques. Le dernier graphique de ce paragraphe ci-dessous permet de comparer les différents modes de répartition de la PB jusque-là testés :

Ce graphique montre la distribution des TRI du 1er assuré lorsqu’il y a 5 assurés dans le canton et selon le mode de répartition de la participation aux bénéfices. Nous voyons clairement que dans le cas d’une évolution du nombre de parts, l’assiette de revalorisation n’a pas d’effet puisque les deux courbes sont confondues en grande partie. Et nous voyons également que faire évoluer le nombre de parts plutôt que la valeur de la part contribue à accroître en moyenne la rentabilité de l’assuré. Nous venons de terminer l’analyse des résultats de la répartition de la participation aux bénéfices via l’évolution du Nombre de parts, nous allons dès à présent regarder les résultats pour le dernier mode de répartition : la revalorisation des engagements exprimés en euros.

e. Stratégie de participation aux bénéfices : Revalorisation des engagements exprimés en euros

Ce mode de revalorisation permet à l’assuré d’augmenter le capital garanti au terme du contrat. Cependant, l’assureur ne peut procéder à ce mode de revalorisation que si deux conditions réglementaires sont respectées :

Rentabilité de l'assuré selon le mode de gestion de la PB

0

50

100

150

200

250

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

4.0

%

5.0

%

6.0

%

7.0

%

8.0

%

9.0

%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Evolution de la valeur dela part

Augmentation du Nb departs, Assiette PM

Augmentation du Nb departs, Assiette 50-50


61

1. pour une date t donnée, la provision de diversification doit être supérieure à 1.5 fois la différence entre l’engagement au terme et la provision mathématique

( ) PTDPMEngagement <×− 5.1

2. pour une date t donnée, la provision de diversification réduite de sa part garantie doit

être supérieure à 10% de la provision mathématique

garantiePTDPTDPM _%10 −<×

Afin de tester dans notre modèle ce mode de revalorisation, nous avons choisi l’option suivante : pour chaque date et dès les conditions ci-dessus sont respectées, le modèle applique ce mode de revalorisation ; sinon lorsque les conditions ne sont pas respectées, nous choisissons l’évolution de la valeur de la part comme mode de répartition de la participation aux bénéfices par défaut. De plus, ce mode de revalorisation a nécessité que nous déterminions une assiette de revalorisation qui soit équitable pour tous les assurés. Nous avons choisi comme assiette de revalorisation le rapport entre la provision mathématique détenue par l’assuré et la provision mathématique totale du canton. Il a également fallu déterminer le montant dont les engagements sont revalorisés. Ce montant est égale à la différence entre d’une part la valeur de marché des actifs et d’autre part, la provision mathématique avant mouvements, les frais de gestion et la provision de diversification après mouvements à la date précédente. Nous pouvons écrire cela sous la forme d’une équation :

CtAprès

CtAvant

CtAvant

CtAvantt PTDFraisPMActifsonvalorisati )1()()()()(Re −−−−= (1)

Où

CtAvantActifs )( est la valeur de marché des actifs du canton avant mouvements et à la date t

CtAvantPM )( est la provision mathématique du canton avant mouvements et à la date t

CtAvantFrais )( sont les frais de gestion des contrats à la date t

CtAprèsPTD )1( − est la provision de diversification du canton après mouvements à la date t-1

Or, par définition de la provision de diversification, nous pouvons réécrire l’équation ci-dessus de la façon suivante :

CtAprès

CtAvantt PTDPTDonvalorisati )1()()(Re −−= (2)

Où

CtAvantPTD )( est la provision de diversification du canton avant mouvements à la date t

Avec ces équations nous sommes capables de répartir le montant de revalorisation des engagements entre les différents assurés présents dans le canton. Cependant, il repose sur ces équations une troisième et dernière contrainte qui est implicite et qui est dû à la caractéristique principale de ces contrats, à savoir la garantie au terme. La revalorisation ne peut pas être


62

négative, c’est-à-dire que nous ne pouvons pas baisser l’engagement au terme de l’assuré (même si nous l’avons préalablement augmenté à une date précédente). Ainsi, pour satisfaire la positivité de la revalorisation de l’engagement, il faut également que la PTD à la date à laquelle nous revalorisons l’engagement soit supérieure à la PTD à la date précédente. Si cette dernière condition n’est pas respectée, alors nous choisissons le mode de répartition par défaut. Nous pouvons résumer par l’équation suivante comment nous effectuons la revalorisation de l’engagement d’un assuré :

1 0Re)(

1)(

)(1

)()(

ReRe >××=tonvalorisatiC

t

ttt

PM

PMonvalorisationvalorisati (3)

Où les notations utilisées sont les mêmes que celles utilisées pour la stratégie de PB par l’évolution du nombre de parts. Enfin, notre outil de gestion qui permet de réguler le stock d’obligations par rapport au stock de provision mathématique (cf. Approche pratique) a un impact sur ce mode de répartition de la participation aux bénéfices. En effet, augmenter les engagements exprimés en euros, c’est-à-dire la garantie au terme, engendre une augmentation de la provision mathématique. Ainsi, avec ce mode de revalorisation, l’assureur doit ajuster plus souvent son portefeuille en termes de quantités détenues pour chaque actif, notamment les actifs de couverture. Ces ajustements plus fréquents ont pour conséquence de modifier le résultat de l’assuré même quand celui-ci est seul dans le canton. C’est pourquoi nous allons présenter les résultats sur l’analyse de la rentabilité de l’assuré 1 lorsqu’il est seul dans le canton et également lorsque de nouveaux assurés interviennent dans le contrat. Le premier graphique ci-dessous montre la distribution des TRI du 1er assuré lorsqu’il est seul dans le canton : Nous pouvons d’ores et déjà remarquer que la revalorisation des engagements exprimés en euros réduit l’écart type de la distribution des TRI puisque la courbe représentative de cette distribution est plus « pointue ». Nous remarquons également qu’avec ce mode de revalorisation, des TRI élevés sont moins fréquents comparativement à notre scenario central.

Distribution des TRI du 1er assuré selon la stratég ie de PB

0

50

100

150

200

250

300

0%

1%

2%

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4%

5%

6%

7%

8%

9%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario central

Revalorisation desengagements


63

Ci-dessous, nous avons les statistiques descriptives qui font référence à ce graphique :

Ce tableau reprend les premières constatations observées à l’aide du graphique. Nous remarquons ainsi que la moyenne des rendements n’est pas sensiblement impactée par ce mode de répartition de la PB, en revanche nous remarquons que la probabilité d’obtenir des rendements élevés est plus faible si nous revalorisons les engagements. Ces résultats sont logiques puisque comme nous l’avons expliqué, la revalorisation des engagements engendre une augmentation de la provision mathématique. Du côté de l’Actif, cela entraîne une augmentation des actifs de couverture au détriment des actifs diversifiés dû à notre volonté de détenir un stock de ces actifs proche de la PM. Or, les actifs diversifiés sont les actifs les plus volatiles mais ils sont également ceux qui sont capables d’offrir de meilleurs rendements. La revalorisation des engagements permet d’obtenir pour l’assuré des rendements moyens d’un même niveau mais avec une garantie supérieure. Lorsque le 1er assuré n’est plus seul dans l’assuré, il est intéressant de savoir si l’entrée successive dans le canton de nouveaux adhérents influence la rentabilité de l’assuré présent à l’origine du contrat lorsque l’assureur revalorise les engagements exprimés en euros. Le graphique ci-dessous montre la distribution des TRI du 1er assuré selon le nombre d’assurés présents dans le canton :

De la même façon que lorsque nous choisissons de faire évoluer le nombre de parts de PTD, revaloriser les engagements exprimés en euros a une influence sur la rentabilité du 1er assuré quand il n’est plus seul dans le canton. En effet, nous constatons un effet de relution sur la

Scenario central Revalorisation des engagements

Minimum 1.21% 1.39%

Maximum 8.55% 6.86%

Moyenne 3.46% 3.42%



Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 3.92-2.79=1.13%

Q95% 5.23% 4.98%

Impact d'entrées successives dans le canton sur la distribution des TRI du 1er assuré

0

50

100

150

200

250

300

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

9%

ou

plu

s...

Classes

Fréq

uenc

es

TRI du 1er assuré, seuldans le canton

1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants


64

distribution des TRI de cet assuré à mesure que le nombre d’adhérents augmentent, qui reste cependant moins prononcé par rapport à une évolution du nombre de parts. Revalorisation

des engagements

Assuré 1 seul 1 nouvel entrant

2 nouveaux entrants

3 nouveaux entrants

4 nouveaux entrants

Minimum 1.39% 1.42% 1.35% 1.32% 1.34%

Maximum 6.86% 7.24% 7.64% 7.61% 7.75%

Moyenne 3.42% 3.51% 3.61% 3.60% 3.64%

Écart type 0.90% 0.93% 0.97% 0.99% 1.01%


26.17% 26.36% 27.13% 27.48% 27.77%

Q3 – Q1 3.92-2.79=1.13%

4.0-2.86=1.14%

4.09-2.88=1.21%

4.17-2.9=1.27%

4.24-2.91=1.33%

Q95% 4.98% 5.21% 5.38% 5.45% 5.56%

Ce tableau montre bien qu’il y a un effet bénéfique sur la rentabilité du 1er assuré lorsque que le nombre d’assurés dans le canton augmente. L’espérance des rendements et la probabilité d’obtenir des rendements plus élevés croissent avec le nombre d’assurés. Cela s’explique par le fait que l’assuré 1 bénéficie des investissements futurs des adhérents qui le suivent dans le canton qui augmentent la quantité d’actifs diversifié. De plus, puisque nous revalorisons les engagements sur la base de la provision mathématique détenue par chacun des assurés, l’assuré 1 est celui qui en détient le plus puisqu’il est le plus ancien dans le contrat et que la provision mathématique est une fonction décroissante de la durée restante du contrat. Enfin, puisque dans le cas où les conditions d’application de la revalorisation des engagements ne sont pas respectées ou que les rendements des actifs sont faibles, nous appliquons la stratégie de PB qui consiste à faire évoluer la valeur de la part, cette stratégie est commune à tous les assurés et n’affaiblit pas un assuré en particulier. Néanmoins, nous pouvons également remarquer que la revalorisation des engagements ne procure pas d’aussi forts rendements que les rendements obtenus par les méthodes précédentes (évolution de la valeur ou du nombre de parts de PTD). Enfin, en conclusion de ce paragraphe sur la revalorisation des engagements, nous allons donner le graphique représentant la distribution des TRI des 5 assurés. Ainsi, nous pouvons comparer d’une part l’impact de cette gestion de la PB sur les différentes générations et d’autre part les différences qui existent entre les différents modes de gestion de la PB :

Distribution des TRI par génération de souscription

0

50

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%

1.0

%

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%

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%

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%

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%

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%

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%

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%

9.0

%

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Classes

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Assuré 1

Assuré 2

Assuré 3

Assuré 4

Assuré 5


65

Ce graphique se rapproche de celui que nous avons obtenu lorsque nous avons testé l’évolution de la valeur de la part. Nous voyons donc que l’entrée tardive dans le canton augmente l’espérance et la volatilité des rendements. Là encore, les assurés qui adhérent tardivement au contrat sont tributaires des assurés les précédant. En effet, l’évolution de la valeur de la part de PTD, dans le cas où la revalorisation des engagements n’est pas applicable, dépend des scenarii financiers de la période, notamment des rendements des actifs de couverture qui sont par nature plus volatiles. D’ailleurs le tableau ci-dessous démontre cette volatilité croissante en fonction de la date d’entrée ainsi que l’augmentation des rendements moyens : Revalorisation

des engagements


Minimum 1.43% 0.55% 0.48% 0.20% 0.10%

Maximum 7.75% 7.92% 8.15% 8.26% 8.52%

Moyenne 3.64% 3.71% 4.00% 3.90% 3.97%

Écart type 1.01% 1.19% 1.28% 1.34% 1.37%


27.77% 32.08% 31.98% 34.46% 34.63%

Q3 – Q1 4.24-2.91=1.33%

4.41-2.86=1.55%

4.82-3.11=1.71%

4.79-2.98=1.81%

4.86-3.03=1.83%

Q95% 5.56% 5.93% 6.29% 6.32% 6.33%

Ce tableau répond aux résultats observés par le graphique précédent. Un assuré qui intervient tardivement dans le canton obtient des rendements moyens plus élevés mais la volatilité de ces derniers est également plus importante. Nous remarquons cependant qu’avec ce mode de gestion de la PB, l’espérance et la volatilité des générations de souscription ne sont pas aussi importantes que lors d’une gestion de PB par la valeur de la part. En effet, revaloriser ponctuellement les engagements fournit à l’assuré une sécurité supplémentaire qui se traduit à l’actif par des réajustements du stock d’actifs de couverture au détriment des actifs diversifiés. Comme ces actifs sont plus volatiles, réduire leur part dans le portefeuille contribue à réduire la volatilité et l’espérance des rendements des assurés. Nous venons de terminer la partie concernant les sensibilités des contrats diversifiés d’un point de vue de l’assuré, selon les stratégies d’investissement et de gestion de la PB déterminées par l’assureur. Maintenant, nous allons mesurer la rentabilité de l’assuré selon de nouvelles hypothèses financières.

III.4. Sensibilités aux hypothèses financières

Le but de cette partie est de tester et de mesurer la sensibilité des rendements de l’assuré vis-à-vis des différents actifs financiers de notre portefeuille. Par exemple, nous allons mesurer l’impact que peut avoir une hausse et une baisse des taux sur la rentabilité de l’assuré. De la même façon, nous allons mesurer quel est l’impact d’une hausse et d’une baisse des


66

rendements de l’actif actions à une date donnée. La première sensibilité que nous allons tester est la sensibilité relative aux actifs obligataires.

a. Sensibilité aux obligations Pour tester cette sensibilité, nous faisons subir à la courbe des taux forward une baisse et une hausse de 1% pour les 1000 scenarii. La stratégie de PB qui est retenue est celle de notre scenario central, à savoir l’évolution de la valeur de la part de PTD. Ensuite, de la même façon nous recueillons les TRI du 1er assuré et nous traçons la distribution des ces derniers selon les classes d’appartenance que nous avons fixé dans le scenario central.

Ce graphique montre que la rentabilité des contrats diversifiés n’est pas impactée par un choc des taux de 1%, à la hausse comme à la baisse. Ce résultat est logique puisque le choc n’a lieu que sur la courbe des taux forward, c’est-à-dire à partir de l’année 2010, alors que le 1er assuré adhère au canton en 2009. Ainsi, les taux de l’année 2009 (taux technique, taux de coupon) ne subissent pas les chocs, ce qui signifie que la provision mathématique initiale, qui sert à déterminer la quantité d’actifs de couverture à acheter à l’origine, ne change pas non plus. L’actif de couverture à l’origine n’est donc pas modifié, que ce soit en termes de prix et de quantités. Néanmoins, la hausse ou la baisse des taux forward a une influence sur le prix « futurs » des obligations ainsi que sur le calcul des provisions mathématiques « futures ». Mais cette influence n’est pas significative et n’impacte pas fortement la rentabilité de l’assuré, car les obligations et la provision mathématique évolue dans le même sens que ce soit en cas de hausse ou de baisse des taux.

Sensibilité des TRI du 1er assuré aux obligations

0

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0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%

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lus.

..Classes

Fré

quen

ces Scenario central

Baisse des taux

Hausse des taux


67

b. Sensibilité à l’actif Monétaire Cette sensibilité est similaire à celle que nous avons vue précédemment. En effet, pour mesurer la sensibilité des rendements de l’assuré vis-à-vis de cet actif, nous avons choisi de « choquer » les rendements forward de cet actif d’1% à la hausse et à la baisse.

Bien que cet actif ne représente pas la plus grande part de l’actif diversifié, nous constatons des modifications de la rentabilité de l’assuré lorsque des chocs sont appliqués aux rendements forward. Cependant, les différences constatées sur ce graphique ne sont pas très importantes, ce qui est cohérent avec le fait que l’actif Monétaire ne représente que 10% de l’actif diversifié, soit environ 3% de l’actif global.

Chocs sur le Monétaire

Scenario Central Baisse du Monétaire Hausse du Monétaire

Minimum 1.21% 1.06% 1.39%

Maximum 8.55% 8.44% 8.86%

Moyenne 3.46% 3.30% 3.62%

Écart type 1.02% 1.02% 1.03%


29.60% 30.91% 28.40%

Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 3.79-2.59=1.20% 4.13-2.92=1.21%

Q95% 5.23% 5.08% 5.44%

Nous remarquons une variation des TRI moyen de l’ordre de 15 points de base par rapport au scenario central lorsque nous appliquons un choc au rendement futur du Monétaire.

Sensibilité des TRI du 1er assuré à l'actif Monétai re

0

50

100

150

200

2500.

0%

1.0%

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3.0%

4.0%

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6.0%

7.0%

8.0%

9.0%

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lus.

..

Classes

Fré

quen

ces

Scenario central

Baisse du Monétaire

Hausse du Monétaire


68

c. Sensibilité à l’actif Actions Lors des deux précédentes sensibilités, nous avions choisi d’établir des chocs sur la courbe des taux forward ou sur les rendements forward. Pour cette sensibilité, la démarche que nous avons adoptée est différente : nous avons choisi de choquer les rendements des actions à une date uniquement. Ce choix a été motivé par le fait qu’il pouvait être interpréter comme une crise des marchés financiers sur une année dans le cas d’une baisse des rendements, et d’un boom économique toujours sur une année dans le cas d’une hausse. La période à laquelle nous avons choisi d’appliquer ce choc est la période 5, qui correspond à la moitié de la durée d’engagement pour notre 1er assuré. Enfin, l’intensité du choc que nous avons appliqué est de 20% à la hausse comme à la baisse.

Les actions représentent 45% de l’actif diversifié ce qui correspond à environ 10% à 15% selon les scenarii de l’actif au global. Nous remarquons grâce à ce graphique, qu’un choc sur les rendements à la période 5, modifie la structure de la courbe de distribution des TRI. Chocs sur les actions Scenario Central Baisse du Rendement

Actions Hausse du

Rendement Actions Minimum 1.21% 1.07% 1.35%

Maximum 8.55% 7.83% 9.31%

Moyenne 3.46% 3.20% 3.71%

Écart type 1.02% 0.94% 1.10%


29.60% 29.28% 29.80%

Q3 – Q1 3.96-2.75=1.21% 3.68-2.56=1.12% 4.23-2.94=1.29%

Q95% 5.23% 4.80% 5.65%

L’impact est d’ailleurs plus significatif que lors de chocs sur l’actif monétaire, mais il reste cependant peu élevé. Les actions sont des actifs plus volatiles que le monétaire mais sont capables de fournir potentiellement de meilleurs rendements. Ainsi, les chocs, à la hausse et à la baisse, sont retranscrits plus fortement, notamment pour les valeurs extrêmes.

Sensibilité des TRI du 1er assuré à un choc sur l'a ctif Actions

0

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Scenario central

Baisse du RendementActions

Hausse du RendementActions


69

d. Sensibilité à l’actif Immobilier La méthode utilisée pour tester cette sensibilité est la même que celle utilisée pour les actions. En effet, nous procédons à un choc de 20%, à la hausse et à la baisse, sur le rendement de l’actif immobilier en date 5. Bien que la part de l’actif immobilier dans l’actif diversifié soit la même que la part de l’actif actions (45%), les rendements moyens et la volatilité de ceux-ci sont moins importants. Le graphique ci-dessous représente la distribution des TRI du 1er assuré lorsque nous réalisons ce choc. Nous voyons que la rentabilité de l’assuré est sensible de la même façon à un choc sur les actions ou sur l’immobilier.

Chocs sur les Actifs

Baisse du Monétaire

Baisse du Rendement

Action

Hausse du Monétaire

Hausse du Rendement

Actions Minimum 1.06% 1.07% 1.39% 1.35%

Maximum 8.44% 7.83% 8.86% 9.31%

Moyenne 3.30% 3.20% 3.62% 3.71%

Écart type 1.02% 0.94% 1.03% 1.10%


30.91% 29.28% 28.40% 29.80%

Q3 – Q1 3.79-2.59=1.20% 3.68-2.56=1.12% 4.13-2.92=1.21% 4.23-2.94=1.29%

Q95% 5.08% 4.80% 5.44% 5.65%

Sensibilité des TRI du 1er assuré à un choc sur l'a ctif Immobilier

0

50

100

150

200

250

0.0

%

1.0

%

2.0

%

3.0

%

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%

8.0

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9.0

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Scenario central

Baisse du RendementImmobilier

Hausse du RendementImmobilier


70

D’ailleurs les chiffres ci-dessous sont similaires à ceux que nous avons obtenus pour les actions :

Ces deux sensibilités sont équivalentes, bien que l’immobilier soit moins volatile que les actions. Nous pouvons remarquer cependant une différence dans les valeurs maximales entre ces deux types d’actifs, lié à la volatilité plus forte des actions. Cette dernière sensibilité marque la fin de ce chapitre et donc l’analyse de la rentabilité des contrats diversifiés pour l’assuré. Nous avons donc pu constater qu’en ce qui concerne les choix de l’assuré, la durée de l’engagement est une fonction croissante de la rentabilité de l’assuré. De la même façon, le choix de la garantie au terme influence la rentabilité de l’assuré puisque celle-ci s’en trouve augmenter lorsqu’elle l’assuré choisit une garantie au terme inférieure à 100% de sa prime nette investie. Cependant, si l’assuré diminue sa garantie au terme, il s’expose d’autant plus en termes de risque puisque la volatilité de ses rendements augmente fortement. Enfin, nous avons également remarqué que selon la date d’entrée dans le canton et plus précisément la place, la rentabilité de l’assuré est plus ou moins impactée. En effet, nous avons vu que l’assuré ne voit pas sa rentabilité modifiée par l’entrée de nouveaux adhérents dans le canton mais en revanche sa rentabilité est plus volatile lorsqu’il est entré tardivement dans le contrat. En ce qui concerne les choix qui ne dépendent pas de l’assuré, le mode d’attribution de la participation aux bénéfices n’est pas sans conséquence sur la rentabilité de l’assuré. En l’occurrence, si l’assureur choisit d’attribuer la participation aux bénéfices en revalorisant les engagements, l’assuré obtient une rentabilité moyenne plus faible que si l’attribution de la participation aux bénéfices se fait via la valeur de la part de provision de diversification ou via le nombre de parts. En effet, augmenter les engagements contribue à diminuer la part des actifs diversifiés dans le canton qui sont les actifs offrant de meilleurs rendements mais à volatilité plus forte. Enfin, concernant l’attribution de la participation aux bénéfices par le biais de la provision de diversification, nous avons vu que la rentabilité de l’assuré n’est pas impactée selon que l’assureur choisisse d’augmenter le nombre de parts ou de faire évoluer la valeur de la part.

Chocs sur les Actifs

Baisse du Rendement Immobilier

Baisse du Rendement

Action

Hausse du Rendement Immobilier

Hausse du Rendement

Actions Minimum 1.10% 1.07% 1.32% 1.35%

Maximum 8.30% 7.83% 8.84% 9.31%

Moyenne 3.21% 3.20% 3.70% 3.71%

Écart type 1.00% 0.94% 1.05% 1.10%


31.16% 29.28% 28.45% 29.80%

Q3 – Q1 3.70-2.54=1.16% 3.68-2.56=1.12% 4.23-2.97=1.26% 4.23-2.94=1.29%

Q95% 5.00% 4.80% 5.50% 5.65%


71

IV. Analyse du couple rentabilité/risque pour l’assureur Dans la continuité des analyses pour l’assuré, nous allons nous intéresser maintenant à l’analyse du couple rentabilité/risque pour l’assureur. Nous présenterons dans un premier temps la méthodologie retenue pour ces analyses et l’indicateur retenu pour la rentabilité de l’assureur. Nous déclinerons alors l’approche de la partie précédente à savoir, l’analyse des résultats selon l’hypothèse centrale retenue et la réalisation de sensibilités aux stratégies d’investissement, aux stratégies de participation aux bénéfices et aux scénarii de marchés.

IV.1. Méthodologie retenue Le scénario central retenu pour cette analyse repose sur les hypothèses suivantes :

• Hypothèses comportementales :

On considère comme hypothèse de production une vague de souscription de 100 contrats avec une affaire moyenne de 200 k€ (hypothèse standard sur le portefeuille Épargne et Clientèle Patrimoniale d’AG2R LA MONDIALE). Les garanties retenues sont à hauteur de 100% du capital au terme de 10 ans.

Les hypothèses comportementales découlent des observations sur le portefeuille Épargne et Clientèle Patrimoniale. Ces hypothèses s’appliquent aux reversements, rachats et décès. Le montant moyen des reversements est fixé à 20 000€, montant observé sur les données du portefeuille épargne d’AG2R LA MONDIALE. Les lois de reversements et de rachats sont celles utilisées par AG2R LA MONDIALE, calibrées sur les données du portefeuille épargne. En ce qui concerne les décès, la table utilisée est la Table TH 00-02.

• Scénarii financier :

Il s’agit du jeu de scénarii financier (structure de taux, marché monétaire, marché actions, marché immobilier) en monde réel au 31 décembre 2009 dont les modalités et les caractéristiques sont décrites en annexes.

• Stratégie d’investissement :

On considère la mise en place d’un actif sécurisé selon la stratégie de couverture de l’engagement du capital en euros en obligations couponnées telle que décrite dans le chapitre précédent. La règle d’investissement en actif diversifié est comme suit : 10% sur le marché monétaire, 45% sur le marché actions et 45% sur le marché immobilier

• Stratégie de participation aux bénéfices : On considère que la participation aux bénéfices se fait en totalité par revalorisation de la part de provision de diversification.


72

L’étude de l’analyse rentabilité/risque pour l’assuré se fera également sur la base de la distribution du taux de rentabilité interne (« TRI ») sur les 1000 scénarii financiers et des indicateurs statistiques précédemment utilisés. Les flux de trésorerie pour l’assureur sont modélisés comme suit : Crédit :

• Marge sur acquisition = chargement contractuel prélevé sur les primes nouvelles diminué des commissions sur acquisition versées aux partenaires ;

• Marge sur encours = chargement contractuel prélevé sur les encours diminué des

commissions sur encours versées aux partenaires ; • Rendement financier des fonds propres adossés au Besoin de Marge de Solvabilité

Réglementaire : L’allocation des actifs qui composent les fonds propres de l’assureur est calibrée selon la composition de l’Actif Général d’AG2R LA MONDIALE. Les rendements des actifs sont issus des scenarii financiers ;

• Reprise sur le Besoin de Marge de Solvabilité Réglementaire.

Débit :

• Frais généraux (Acquisition, Reversement, Gestion, Rachat, Décès) • Intervention Assureur en cas d’écart entre l’Actif et le Passif

• Taxe organic (La taxe organic sur encours est supposé prélevée via la PB) • Impôt sur les sociétés : 34,43% du résultat brut • Dotation au Besoin de Marge de Solvabilité (BMS) : 4% des provisions

mathématiques et 1% de la provision de diversification. Nous présenterons les résultats de la même façon que nous l’avons fait pour l’assuré. A partir du scenario central établi, nous allons décliner tous les paramètres proposés à l’assuré (durée du contrat, niveau de garantie) et à l’assureur (stratégie d’investissement, stratégie de PB) afin d’en ressortir des sensibilités mesurant la rentabilité de l’assureur. Cependant, une nouvelle variable est à prendre en compte pour mesurer le risque de l’assureur. Il s’agit de l’intervention de l’assureur. En effet, en plus de mesurer la rentabilité de l’assureur, nous regardons le nombre d’interventions effectué par l’assureur afin d’équilibrer le Bilan, et nous regardons à combien s’élève ces interventions, le but étant de maximiser la rentabilité sous la contrainte de minimiser les interventions.


73

IV.2. Résultats centraux De la même façon que pour l’assuré, les résultats que nous allons mettre en évidence dès maintenant vont servir de base de comparaison pour la suite de l’étude de la rentabilité de l’assureur. Dans ces premiers résultats, nous allons montrer ce que nous avons obtenu comme rentabilité avec notre hypothèse initiale (vague de souscription de 100 contrats en 2009, durée 10 ans, garantie 100%, lois de reversements, rachats et décès). Nous ferons ensuite intervenir une seconde vague de souscription de la même ampleur mais intervenant un an après la première afin de montrer s’il existe un effet de dilution ou de relution sur la rentabilité de l’assureur liée à de nouvelles vagues de souscriptions. Ensuite, nous étudierons l’impact des rachats et reversements dynamiques pour l’assureur. Enfin, nous analyserons la rentabilité de l’assureur lorsque la durée du contrat et la garantie au terme sont modifiées. Le premier graphique que nous allons montrer représente donc la distribution des TRI de l’assureur du scenario central. La méthode que nous avons utilisée est identique à celle employée pour l’assuré. Cependant, les classes d’appartenance des TRI sont modifiées : en effet, la première classe est de la forme ]-∞ ; 9%[ tandis que la dernière est de la forme [22%;∞[. Les classes intermédiaires à ces deux classes extrêmes sont de même taille égale à 0.5%. La rentabilité de l’assureur se situe aux alentours de 14%. Les observations ne sont pas fortement dispersées et l’on remarque qu’il y peu de valeurs extrêmes. Dans le cas de ce scenario central, l’intervention de l’assureur est nulle pour tous les scenarii. Résultats Centraux

Minimum Maximum Moyenne Écart type

Coefficient de

variation

Q3-Q1 Q95%

11.01% 16.79% 13.98% 0.86% 6.13% 14.52-13.36=1.16%

15.50%

Distribution des TRI de l'assureur

0

50

100

150

200

250

9%

10%

11%

12%

13%

14%

15%

16%

17%

18%

19%

20%

21%

22%

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario central


74

Ces résultats vont servir par la suite de référence pour comparer les différentes sensibilités testées dont la première est la présence d’un effet de relution ou de dilution sur la rentabilité de l’assureur lorsque de nouvelles vagues de souscriptions entrent dans le canton.

a. Effet dilution ou effet relution sur la rentabilité de l’assureur selon le nombre de vagues de souscription successives.

De la même façon que pour l’assuré, nous faisons intervenir dans le canton plusieurs vagues de souscriptions dans le canton afin de mesurer si le nombre de Model Point a une influence sur la rentabilité et sur le nombre d’interventions de l’assureur. Pour chaque Model Point, le nombre de contrats est fixé à 100 et les versements sont de 200 000€ réévalués au taux d’inflation de la période. Le graphique ci-dessous représente la distribution des TRI de l’assureur en fonction du nombre de Model Point : Nous constatons que la distribution des TRI de l’assureur est modifiée en fonction du nombre de Model Point dans le contrat. En effet, la rentabilité moyenne de l’assureur augmente légèrement à mesure que le nombre de Model Point augmente. Cependant, la volatilité des rendements est également augmentée par l’entrée de nouvelles vagues de souscription dans le canton. Cette modification de la distribution des TRI de l’assureur est liée à l’augmentation des marges d’acquisition et des marges sur encours. De même, la volatilité augmente car la provision de diversification augmente, qui est plus fortement investie dans des actifs risqués que la provision mathématique.

Distribution des TRI de l'assureur selon le nombre de Model Point successifs dans le canton

0

50

100

150

200

250

9%

10

%

11

%

12

%

13

%

14

%

15

%

16

%

17

%

18

%

19

%

20

%

21

%

22

%

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario central

2 Model Point

3 Model Point

4 Model Point

5 Model Point


75

Si nous regardons le tableau suivant, nous constatons ces effets montrés par le graphique : Scenario

Central 2 Model

Point 3 Model

Point 4 Model

Point 5 Model

Point Minimum 11.01% 10.50% 10.31% 10.25% 10.26%

Maximum 16.79% 18.05% 19.10% 19.87% 20.46%

Moyenne 13.98% 14.14% 14.37% 14.48% 14.58%

Écart type 0.86% 1.06% 1.21% 1.32% 1.40%


6.13% 7.50% 8.44% 9.14% 9.63%

Q3-Q1 14.52-13.36=1.16%

14.82-13.34=1.48%

15.18-13.51=1.67%

15.37-13.55=1.82%

15.53-13.62=1.91%

Q95% 15.50% 15.98% 16.46% 16.78% 16.87%

b. Influence des reversements et des rachats dynamiques sur la distribution des TRI de l’assureur

Afin de bien comprendre le mécanisme des rachats et des reversements dynamiques, nous allons tout d’abord expliquer le fonctionnement des rachats et des reversements « simples ». Comme nous l’avons préalablement expliqué, les rachats et les reversements sont calibrés sur les données du portefeuille épargne d’AG2R LA MONDIALE. Les reversements effectués dépendent de plusieurs paramètres et le montant reversé à une date t est définie par l’équation suivante : Reversements(t) = Montant moyen reversement × (1 + taux inflation(t) )

t × dtNbContrats )( × Tx Reversement(t)

Où

dtNbContrats )( est le nombre de contrats présents dans le canton au début de la date t, i.e.

avant la prise en compte des mouvements, Tx Reversement(t) est le taux de reversement de la date t. Ce taux est fourni par les données du portefeuille épargne d’AG2R LA MONDIALE. Ce taux est élevé en début de contrat (aux alentours de 30%) et diminue fortement par la suite, dès la 2ème année, pour atteindre la valeur de 5% dans 10 ans.

Par ailleurs, nous avons vu que le montant moyen de reversement est de 20 000€ et que le taux d’inflation pour chaque période est de 2%. Dans le cas des reversements dynamiques, le reversement effectué à la date t est différent. En effet, nous considérons que les assurés sont en mesure d’effectuer des arbitrages en évaluant la valeur et le rendement de leur contrat. Le rendement d’un contrat à la date t est défini comme suit :

Rendement du contrat =

−

++

−−

1)1()1(

)()(

ft

ft

dt

dt

PTDPM

PTDPM


76

Où dtPM )( est la provision mathématique à la date t avant mouvements, dtPTD )( est la provision de diversification à la date t avant mouvements,

ftPM )1( − est la provision mathématique à la date t-1 après mouvements, ftPTD )1( − est la provision de diversification à la date t-1 après mouvements.

Ensuite, nous comparons ce rendement avec le taux sans risque en vigueur à la date t. Cette comparaison sert à déterminer les comportements dynamiques des assurés. En effet, les assurés arbitrent selon l’écart entre le rendement du contrat et le taux sans risque. Dans les faits, les reversements dynamiques sont définis de la façon suivante :

Reversements Dynamiques(t) = Reversements(t) × Coefficient Le coefficient est compris entre 0 et 1.30 qui sont des valeurs fixées par AG2R LA MONDIALE. Plus le rendement du contrat est supérieur au taux sans risque de la période et plus le coefficient sera proche de 1.30. En effet, les assurés estiment que le taux servi par l’assureur est bien meilleur que celui qu’ils pourraient trouver sur le marché, ils confortent donc leurs investissements. En revanche, plus le rendement du contrat est faible par rapport au taux sans risque de la période, plus le coefficient sera proche de 0, car par symétrie les assurés pensent pouvoir trouver des placements offrant de meilleurs rendements sur le marché. Cependant, ce coefficient ne s’applique pas à la date où les assurés constatent l’écart entre le taux sans risque et le rendement du contrat mais à la date suivant ce constat. En ce qui concerne les rachats dynamiques, la méthode utilisée pour les modéliser est différente de celle pour les reversements. En effet, contrairement aux reversements, les rachats dynamiques font l’objet d’une nouvelle loi qui remplace celle déjà existante issue des données d’AG2R LA MONDIALE, contrairement aux reversements qui n’utilisent qu’un coefficient multiplicateur. De manière générale, l’équation qui détermine le montant racheté à une date t est définie de la façon suivante :

( ) ( ))()()()()( __ ttxdt

dtt MtrachattxqPTDPMRachat +×+=

Où

)(txq est le taux de mortalité en montant à la date t,

)(__ tMtrachattx est le taux de rachat en montant de la date t.

Ce taux de rachat en montant est le paramètre qui modélise l’aspect dynamique des rachats. Il dépend, tout comme les reversements, du rendement du contrat et du taux sans risque en vigueur. Ce taux est compris entre 6% et 30% qui sont là encore des valeurs fixées par AG2R LA MONDIALE. Si le rendement du contrat est fortement supérieur au taux sans risque en vigueur, les assurés auront tendance à moins racheter car le rendement offert par le contrat est supérieur à ce qu’ils pourraient trouver sur le marché. Dans ce cas, le taux de rachat en montant sera proche de 6%. En revanche, si le rendement du contrat est inférieur au taux sans risque du marché, les assurés auront tendance à racheter plus fortement, ce qui donnera une valeur du taux de rachat en montant proche de 30%. Ainsi, les reversements et les rachats ont en commun la différence entre le rendement du contrat et le taux sans risque en vigueur, mais les conclusions suite à cet écart sont opposées, ce qui ne permet pas d’obtenir à la fois des reversements et des rachats élevés.


77

Maintenant que nous venons d’expliquer comment sont effectués les rachats et reversements, à la fois simples et dynamiques, nous pouvons montrer les résultats obtenus. Le graphique présenté ci-dessous met en avant la distribution des TRI de l’assureur dans le scenario central et dans le cas où nous appliquons des rachats et des reversements dynamiques :

L’introduction de comportements dynamiques ne modifie pas la forme de la distribution des TRI de l’assureur mais elle modifie le positionnement de celle-ci. En effet, nous pouvons clairement voir que la rentabilité de l’assureur diminue (translation vers la gauche de la courbe) lorsque les comportements dynamiques sont pris en compte. Une explication à cela vient des équations qui définissent les rachats et les reversements. En ce qui concerne les reversements, nous avons fixé le reversement moyen pour un montant égal à 20 000€. Comparativement, les montants rachetés sont beaucoup plus élevés puisqu’il s’agit de la valeur de la PM et de la PTD à la date de rachat, ce qui est largement supérieur à 20 000€. Si nous pouvons penser qu’en moyenne il y a autant de rachats dynamiques que de reversements dynamiques durant la durée du contrat, le fait que ces deux comportements n’impliquent pas les mêmes montants est une explication à cet écart de rentabilité. En effet, des rachats plus importants diminuent la marge sur encours des périodes futures et cette diminution n’est pas compensée par la marge sur acquisition liée aux reversements dynamiques.

Scenario central Comportements dynamiques Minimum 11.01% 9.90%

Maximum 16.79% 16.57%

Moyenne 13.98% 13.23%



Q3-Q1 14.52-13.36=1.16% 13.86-12.50=1.36%

Q95% 15.50% 15.03%

La volatilité augmente légèrement lorsque nous introduisons des comportements dynamiques puisqu’ils sont liés à la performance des contrats et donc des actifs financiers. Enfin, en ce qui concerne les interventions qui sont des indicateurs du risque supporté par l’assureur, dans le cas des comportements dynamiques, elles sont nulles.

Impact des reversements et rachats dynamiques sur l a rentabilité de l'assuré

0

50

100

150

200

250

300

3509

.0%

10

.0%

11

.0%

12

.0%

13

.0%

14

.0%

15

.0%

16

.0%

17

.0%

18

.0%

19

.0%

20

.0%

21

.0%

22

.0%

Classes

Fréq

uenc

es

Reversements et RachatsDynamiques

Scenario Central


78

c. Impact de la durée du contrat sur la distribution des TRI de l’assureur Tout comme pour l’assuré, nous allons mesurer dans cette partie si la durée du contrat modifie la rentabilité de l’assureur et si c’est le cas, dans quel ordre de grandeur.

Comme nous pouvions nous y attendre, la rentabilité de l’assureur est moins importante lorsque la durée du contrat diminue. En effet, les chargements prélevés sur l’encours sont moins fréquents et les intérêts sur le Besoin de Marge de Solvabilité sont également moins importants du fait de la durée plus courte. Au niveau des charges, la dotation au BMS augmente du fait de la diminution de la durée d’engagement : la réduction de la durée d’engagement réduit la durée d’actualisation et donc par construction elle augmente la provision mathématique. Or, pour l’assureur, la PM représente la dotation la plus importante de son BMS (4% de la PM). Ainsi, si la durée du contrat diminue, la dotation au BMS augmente qui est une charge pour l’assureur, ce qui fait diminuer la rentabilité de ce dernier.

Durée du contrat Scenario Central Durée de 9 ans Durée de 8 ans Minimum 11.01% 10.70% 10.38%

Maximum 16.79% 16.15% 15.55%

Moyenne 13.98% 13.58% 13.17%

Écart type 0.86% 0.81% 0.77%


6.13% 5.96% 5.83%

Q3-Q1 14.52-13.36=1.16% 14.09-13.0=1.09% 13.64-12.62=1.02%

Q95% 15.50% 15.0% 14.52%

Les statistiques ci-dessus vont dans le même sens que le graphique précédent. Le fait de diminuer la durée du contrat d’une année fait perdre en moyenne 0.5% à la rentabilité de l’assureur.

Distribution des TRI de l'assureur selon la durée d u contrat

0

50

100

150

200

250

3009.

0%

10.0

%

11.0

%

12.0

%

13.0

%

14.0

%

15.0

%

16.0

%

17.0

%

18.0

%

19.0

%

20.0

%

21.0

%

22.0

%

Classes

Fré

quen

ces

Scenario Central

Durée 9 ans

Durée 8 ans


79

d. Impact de la garantie au terme sur la rentabilité de l’assureur Pour rappel, l’assuré dispose d’une garantie au terme qui peut varier selon les modalités du contrat. Pour AG2R LA MONDIALE, les garanties proposées sont au nombre de 3 : 80%, 90% et 100% qui représente la garantie de base, celle du scenario central. Plus la garantie au terme diminue, plus la rentabilité de l’assureur augmente. Cette sensibilité réagit en sens inverse de la durée du contrat. Ces résultats ne sont pas étonnants puisque la réduction de la garantie au terme entraîne une réduction de la provision mathématique et une augmentation de la provision de diversification. L’assureur diminue donc sa dotation à son besoin de marge de solvabilité ce qui représente une charge pour son compte de résultat.

Garantie Scenario Central Garantie à 90% Garantie à 80% Minimum 11.01% 11.41% 11.90%

Maximum 16.79% 18.35% 20.04%

Moyenne 13.98% 14.88% 15.92%

Écart type 0.86% 1.01% 1.19%


6.13% 6.79% 7.45%

Q3-Q1 14.52-13.36=1.16% 15.51-14.16=1.35% 16.66-15.06=1.60%

Q95% 15.50% 16.74% 18.11%

Les résultats ci-dessus confirment les tendances observées grâce au graphique précédent. Par ailleurs, quelque soit la garantie choisie, l’assureur n’a pas à puiser de ses fonds propres pour équilibrer le canton, ce qui est cohérent avec le fait que son TRI augmente avec la diminution de la garantie.

Distribution des TRI de l'assureur selon la garanti e au terme

0

50

100

150

200

250

9.0

%

10

.0%

11

.0%

12

.0%

13

.0%

14

.0%

15

.0%

16

.0%

17

.0%

18

.0%

19

.0%

20

.0%

21

.0%

22

.0%

Classes

Fréq

uenc

es

Sceanrio central

Garantie 90%

Garantie 80%


80

IV.3. Sensibilités aux stratégies Comme pour l’assuré, nous allons mesurer la rentabilité de l’assureur selon les stratégies financières à la disposition de l’assureur. Nous verrons dans un premier temps les différences qui existent selon l’approche choisie. Ensuite, nous déclinerons les stratégies d’allocations d’actifs diversifiés qui s’offrent à nous. Enfin, nous terminerons ce chapitre en analysant la rentabilité de l’assureur selon les autres modes de gestion de la PB.

a. Approche théorique contre approche pratique Pour rappel, l’approche théorique permet de tester le modèle dans le cas où nos actifs de couverture sont des obligations zéro coupon. Ci-dessous nous avons la distribution des TRI de l’assureur selon les deux approches choisies :

Les deux distributions sont similaires, même si nous pouvons remarquer un léger aplatissement de la courbe lorsque l’approche théorique est mise en œuvre. En effet, dans le cas de l’approche théorique, le montant investi dans les obligations est inférieur à celui investi dans l’approche pratique. Ce différentiel est, dans l’approche théorique, redistribué aux actifs diversifiés par le biais de la PTD. Cette approche augmente donc la PTD sur laquelle l’assureur doit fournir un plus faible montant que la PM pour satisfaire les conditions de solvabilité.

Approche Scenario Central Approche Théorique Minimum 11.01% 10.80%

Maximum 16.79% 17.73%

Moyenne 13.98% 14.10%



Q3-Q1 14.52-13.36=1.16% 14.72-13.36=1.36%

Q95% 15.50% 16.02%

Distribution des TRI de l'assureur selon l'approche choisie

0

50

100

150

200

250

9.0

%

10

.0%

11

.0%

12

.0%

13

.0%

14

.0%

15

.0%

16

.0%

17

.0%

18

.0%

19

.0%

20

.0%

21

.0%

22

.0%

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario Central

Approche Théorique: Zérocoupon


81

Le rendement moyen de l’assureur augmente légèrement lorsque nous utilisons l’approche théorique. En effet, comme la PTD augmente, les charges de l’assureur diminuent. Nous remarquons également que la volatilité augmente avec cette approche car la valeur de la PTD est soumise aux fluctuations des actifs financiers qui sont plus fortement investis en actifs diversifiés. En ce qui concerne l’intervention de l’assureur, cette approche ne fait pas intervenir les fonds propres de l’assureur.

b. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Monétaire dans l’Actif diversifié Parmi les actifs diversifiés qui composent notre portefeuille, l’actif Monétaire représente celui qui est le moins volatile mais en contrepartie il fournit des rendements moins élevés. Nous faisons varier sa part dans l’Actif diversifié dans les mêmes proportions que nous l’avons fait pour l’assuré : de 0% à 20%. La part des deux autres actifs diversifiés, l’immobilier et les actions, se répartissent l’allocation restante en parts égales. Ci-dessous, nous avons la distribution des TRI de l’assureur :

La rentabilité de l’assureur n’est pas impactée par la part de l’actif Monétaire dans le canton et son risque n’est pas augmenté puisqu’il n’a pas à effectuer d’intervention de ses fonds propres. Ce résultat semble logique dans la mesure où d’une part les rendements offerts par l’actif Monétaire ne sont pas en mesure de faire varier fortement la PTD et d’autre part, le poids de l’actif Monétaire, même à 20% de l’Actif diversifié, n’est pas suffisant pour modifier fortement la valeur de marché de l’Actif du canton. C’est pourquoi nous allons tester une autre stratégie d’investissement relative à l’actif diversifié : le poids de l’actif Actions.

c. Stratégie d’investissement : Part de l’actif Actions dans l’Actif diversifié Nous fixons la part du Monétaire à 10% de l’Actif diversifié et nous choisissons de n’utiliser qu’un seul autre actif diversifié : les actions. Ainsi la composition de l’Actif diversifié se présente comme telle : 10% Monétaire / 90% Actions / 0% Immobilier. La rentabilité de l’assureur est donnée part le graphique suivant :

Distribution des TRI de l'assureur selon la part du Monétaire dans l'actif diversifié

0

50

100

150

200

250

9%

10

%

11

%

12

%

13

%

14

%

15

%

16

%

17

%

18

%

19

%

20

%

21

%

22

%

classes

Fréq

uenc

es

Scenario central

Monétaire à 0%

Monétaire à 5%

Monétaire à 15%

Monétaire à 20%


82

Contrairement à l’actif Monétaire, nous pouvons clairement constater que la part de l’actif Actions modifie la distribution de la rentabilité de l’assureur. La rentabilité de l’assureur devient plus fortement volatile du fait de l’introduction dans le portefeuille d’actifs plus risqués. La valeur de la provision de diversification à chaque date devient plus volatile ce qui a pour conséquence d’augmenter le BMS et les intérêts et la dotation liés à celui-ci. Cependant, en moyenne les rendements espérés sont similaires à ceux du scenario central. De plus, nous remarquons également que la probabilité d’avoir des rendements plus élevés augmente également car les rendements des Actions sont potentiellement meilleurs.

Parts Actions Scenario Central 90% Actions Minimum 11.01% 10.13%

Maximum 16.79% 18.78%

Moyenne 13.98% 14.01%



Q3-Q1 14.52-13.36=1.16% 14.78-13.06=1.72%

Q95% 15.50% 16.32%

Les statistiques ci-dessus confirment l’augmentation de la volatilité des rendements et de la probabilité d’obtenir des rendements plus élevés. Ces deux stratégies d’investissement n’ont pas d’effet aussi important sur la rentabilité de l’assureur qu’elles en avaient sur la rentabilité de l’assuré. De plus, cette augmentation du volume d’actions dans le portefeuille n’est pas préjudiciable pour l’assureur d’un point de vue économique puisqu’il n’a pas à effectuer d’intervention. Maintenant, nous allons regarder la rentabilité de l’assureur selon les différents modes de gestion de la PB qui s’offrent à lui.

Impact de la Part Actions dans l'Actif diversifié s ur la rentabilité de l'assureur

0

75

150

225

300

375

9.0%

10.0

%

11.0

%

12.0

%

13.0

%

14.0

%

15.0

%

16.0

%

17.0

%

18.0

%

19.0

%

20.0

%

21.0

%

22.0

%

Classes

Fré

quen

ces

Parts Actions à 90%

Scenario central


83

d. Stratégie de participation aux bénéfices : Augmentation du nombre de parts de PTD Nous l’avons vu pour l’assuré, ce mode de gestion de la PB consiste à augmenter, lorsque les actifs financiers le permettent, le nombre de parts de PTD de chaque assuré selon une assiette de revalorisation qui est à l’initiative de l’assureur et qui peut modifier la rentabilité de l’assuré. Concernant l’assureur, l’augmentation du nombre de parts et l’assiette de revalorisation n’ont aucune influence puisque au final la provision de diversification reste inchangée. Les résultats obtenus en termes de rentabilité pour l’assureur sont identiques à ceux de notre scenario central. En revanche, nous allons voir dès à présent que le dernier mode de répartition de la participation aux bénéfices a une influence sur la rentabilité de l’assureur.

e. Stratégie de participation aux bénéfices : revalorisation des engagements exprimés en euros

Ce mode modifie la rentabilité de l’assureur quand il n’y a qu’un seul Model Point par rapport au scenario central. De plus, nous mesurons également l’impact de plusieurs générations de souscriptions sur cette rentabilité avec le graphique ci-dessous :

La rentabilité de l’assureur est moins volatile que lors d’une stratégie de PB qui consiste à faire évoluer la valeur de la part. Lorsqu’il revalorise les engagements, l’assureur augmente par construction la provision mathématique totale du canton et ainsi son BMS. De plus, l’augmentation de la provision mathématique engendre une augmentation du volume des obligations au détriment des actifs diversifiés plus volatiles. Ainsi, les engagements de l’assureur sont plus sûrs et son BMS est moins volatile. Enfin, ce mode, qui impose à l’assureur des conditions plus strictes en termes de respect des engagements, ne produit pas pour autant de déséquilibre au niveau du Bilan et ne fait pas intervenir l’assureur au niveau de ses fonds propres. Ces résultats nous permettent donc de comparer dès à présent les trois modes de gestion de la PB et de savoir quelle est le mode qui maximise la rentabilité de l’assureur. Pour cela, nous

Distribution des TRI de l'assureur lors de la reval orisation des engagements

0

50

100

150

200

250

300

350

400

9.0%

10.0

%

11.0

%

12.0

%

13.0

%

14.0

%

15.0

%

16.0

%

17.0

%

18.0

%

19.0

%

20.0

%

21.0

%

22.0

%

Classes

Fré

quen

ces

1 Model Point

2 Model Point

3 Model Point

4 Model Point

5 Model Point


84

comparons la rentabilité lorsqu’il n’y a qu’un seul Model Point dans le canton. Nous obtenons donc le graphique ci-dessous :

Nous constatons grâce à ce graphique que la revalorisation des engagements exprimés en euros réduit la volatilité des rendements moyens de l’assureur. La rentabilité moyenne n’est pas significativement modifiée.

Gestion de la PB Valeur de la Part Engagements en € Minimum 11.01% 10.93%

Maximum 16.79% 16.06%

Moyenne 13.98% 13.79%



6.13% 5.26%

Q3-Q1 14.52-13.36=1.16% 14.29-13.23=1.06%

Q95% 15.50% 15.11%

Le tableau ci-dessus confirme les tendances du graphique de la distribution de TRI. La revalorisation des engagements diminue la rentabilité moyenne de l’assureur mais pas de façon significative.

IV.4. Sensibilités aux hypothèses financières De la même façon que pour l’assuré, nous avons recueilli les TRI de l’assureur lorsque nous appliquons des chocs sur les taux ou sur les rendements des actifs. Nous allons tester dans un premier temps, la sensibilité des TRI de l’assureur à des variations à la hausse et la baisse de la courbe des taux qui modifient le prix des obligations.

Rentabilité de l'assureur selon le mode de gestion de la PB choisie

0

50

100

150

200

250

300

350

400

9.0

%

10

.0%

11

.0%

12

.0%

13

.0%

14

.0%

15

.0%

16

.0%

17

.0%

18

.0%

19

.0%

20

.0%

21

.0%

22

.0%

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario Central

Augmentation du Nombrede parts

Revalorisation desengagements en euros


85

a. Sensibilité aux obligations Le graphique ci-dessous représente la distribution des TRI de l’assureur selon les chocs que nous appliquons à la courbe des taux forward. Nous appliquons des chocs à la hausse et à la baisse de l’ordre de 1%. Nous pouvons ainsi constater qu’il n’y a pas de modifications importantes de la rentabilité de l’assureur, que ce soit à la hausse comme à la baisse. De plus, la hausse ou la baisse des taux d’intérêt forward n’engendre pas pour l’assureur de coût supplémentaire puisqu’il n’a pas à intervenir de ses fonds propres pour équilibrer le Bilan du canton.

b. Sensibilité à l’actif Monétaire Pour cette sensibilité, nous procédons de la même façon que pour les obligations. Nous appliquons un choc de 1%, à la hausse et à la baisse, sur la courbe des rendements forward de l’actif Monétaire. Avec le graphique ci-dessous, nous voyons clairement que cet actif n’a pas d’impact sur la rentabilité de l’assureur. Cette absence d’impact est liée au poids que représente l’actif Monétaire dans le portefeuille de l’assureur (environ 3%). Par ailleurs, les chocs réalisés sur ces actifs n’ont pas d’impact sur l’intervention de l’assureur au niveau de ses fonds propres.

Impact des taux d'intérêts sur la rentabilité de l' assureur

0

50

100

150

200

250

300

350

9.0

%

10

.0%

11

.0%

12

.0%

13

.0%

14

.0%

15

.0%

16

.0%

17

.0%

18

.0%

19

.0%

20

.0%

21

.0%

22

.0%

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario Central

Hausse des taux

Baisse des taux

Sensibilité à l'actif Monétaire

0

50

100

150

200

250

300

350

9.0%

10.0

%

11.0

%

12.0

%

13.0

%

14.0

%

15.0

%

16.0

%

17.0

%

18.0

%

19.0

%

20.0

%

21.0

%

22.0

%

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario Central

Hausse du RendementMonétaire

Baisse du RendementMonétaire


86

c. Sensibilité à l’actif Actions Comme pour l’assuré, nous mesurons la sensibilité de la rentabilité de l’assureur à l’actif Actions en effectuant un choc ponctuel en date 5 sur le rendement de l’actif. Ce choc est de 20% à la hausse comme à la baisse. Le graphique ci-dessous montre la rentabilité de l’assureur selon ces deux chocs : La rentabilité de l’assureur n’est pas fortement impactée par une baisse ou une hausse ponctuelle du rendement des actions. Même si cette hausse ou cette baisse augmente le montant de la provision de diversification, le besoin de marge de solvabilité n’est pas sensiblement augmenté et ne modifie donc pas la rentabilité de l’assureur. De plus, malgré une forte baisse ponctuelle du rendement, l’assureur n’intervient pas au niveau de ses fonds propres.

d. Sensibilité à l’actif Immobilier Ce dernier paragraphe clôture le chapitre concernant l’impact des actifs financiers sur la rentabilité de l’assureur. Pour l’actif immobilier, nous procédons exactement de la même façon que pour l’actif Actions. Nous obtenons le graphique suivant :

Sensibilité à l'Actif Actions

0

50

100

150

200

250

300

350

9.0%

10.0

%

11.0

%

12.0

%

13.0

%

14.0

%

15.0

%

16.0

%

17.0

%

18.0

%

19.0

%

20.0

%

21.0

%

22.0

%

Classes

Fré

quen

ces

Scenario Central

Hausse du rendementActionsBaisse du rendementActions

Sensibilité à l'Actif Immobilier

0

50

100

150

200

250

300

350

9.0

%

10

.0%

11

.0%

12

.0%

13

.0%

14

.0%

15

.0%

16

.0%

17

.0%

18

.0%

19

.0%

20

.0%

21

.0%

22

.0%

Classes

Fréq

uenc

es

Scenario Central

Hausse du RendementImmobilier

Baisse du RendementImmobilier


87

Les résultats obtenus sont sensiblement identiques à ceux obtenus pour l’actif Actions. La hausse ou la baisse ponctuelle du rendement immobilier n’est pas synonyme de modifications sensibles de la rentabilité de l’assureur. De plus, là encore, l’assureur n’intervient pas au niveau de ses fonds propres. Finalement, les résultats que nous venons d’obtenir grâce à notre modèle ont montré que les contrats diversifiés procuraient des rendements non négligeables pour l’assureur. De plus, selon notre modèle nous avons également pu voir que l’assureur n’a pas d’intervention à effectuer pour compenser une éventuelle chute de la valeur de la part de provision de diversification. Si nous regardons plus en détails les résultats obtenus, nous remarquons que la rentabilité de l’assureur n’est pas sensible au mode d’attribution de la participation aux bénéfices, même si revaloriser les engagements exprimés en euros diminue la rentabilité. Par ailleurs, tout comme pour l’assuré, plus la garantie du contrat diminue, plus la rentabilité augmente puisque la provision mathématique diminue, réduisant ainsi les charges de l’assureur. En revanche, la réduction de la durée du contrat diminue également la rentabilité de l’assureur puisque la provision mathématique augmente à cause de la diminution de la durée d’actualisation. Afin de compléter cette étude et de fournir des résultats pour la nouvelle réglementation « Solvabilité 2 », nous traiterons dans la partie suivante les éléments des dernières spécifications techniques qui s’appliquent aux contrats d’assurance vie diversifiés.


88


89

V. Application du cadre « Solvabilité II » Cette dernière partie a pour vocation à imaginer et projeter la coexistence de ces deux grandes nouveautés sur le marché français de l’assurance sur la vie qu’est la nouvelle offre produit des contrats d’assurance sur la vie diversifiés et le nouveau cadre réglementaire et prudentiel à venir « Solvabilité II ». Pour imaginer cette vie commune, nous nous sommes basés sur les dernières spécificités techniques connues à ce jour et décrites dans la cinquième étude d’impact de Solvabilité II et nous nous sommes interrogés sur l’application de ces spécifications techniques pour les contrats d’assurance sur la vie diversifiés. L’absence d’ «expériences» marché et compagnie pour ce nouveau produit amène différentes questions par rapport aux spécificités techniques que nous allons décrire dans un premier temps avec les options que nous avons retenues. Dans un deuxième temps, nous présenterons les estimations des provisions (« Best Estimate ») dans le cadre des contrats d’assurance sur la vie diversifiés en utilisant le modèle Actif-Passif développé. Nous conclurons enfin cette partie en présentant une estimation du nouveau besoin de capital sous Solvabilité II (« Solvency Capital Requirement »).

V.1. Choix méthodologiques retenus Les points d’attention que nous avons souhaité plus particulièrement mettre en avant par rapport à l’interprétation et l’application des spécifications techniques de l’exercice QIS5 pour les contrats d’assurance sur la vie diversifiés sont les suivants.

• Ligne d’activité :

Les contrats d’assurance sur la vie diversifiés s’intègrent a priori dans la ligne d’activité « Assurance Vie avec participation aux bénéfices – Contrats d’épargne, à savoir contrats proches de produits financiers, qui n’apportent aucune protection d’assurance ou une protection négligeable ».

• Granularité de calcul :

Les spécifications techniques évoquent des projections « police par police, mais des méthodes actuarielles et des approximations raisonnables peuvent être utilisées ». Dans le cadre de notre modélisation, nous avons retenu des « model points » par génération de souscription et de garantie (durée et niveau). Il conviendrait de tester et de documenter plus précisément l’impact de ce regroupement, mais il présente des arguments forts et constitue a priori la granularité maximum à considérer pour les calculs. Il permet en effet de constituer des groupes plutôt homogènes en termes de garanties et en termes de stratégies d’investissement et de participation aux bénéfices, notamment « dans la monnaie » ou/et « hors la monnaie ».


90

• Fonds cantonné : Les orientations nationales complémentaires font mention explicite des contrats euro-diversifiés comme des fonds cantonnés compte tenu logiquement de leur comptabilité auxiliaire d’affectation. Ils sont donc associés aux « ring-fenced funds » stipulés dans les spécifications techniques de l’exercice QIS5.

• Scénarii / taux d’actualisation :

Les projections des marchés financiers seront celles retenues par AG2R LA MONDIALE dans le cadre de l’exercice QIS5 et conformément notamment aux articles TP.2.94. à TP.2.100. des spécifications techniques. Les contrats d’assurance sur la vie diversifiés d’AG2R LA MONDIALE s’inscrivent par ailleurs dans les critères de l’article TP.3.6. des spécifications techniques de l’exercice QIS5. En effet, ce sont des contrats d’assurance vie avec participation aux bénéfices qui ne sont pas visés à l’article TP.3.5.dont les critères sont les suivants : « 1. le risque de longévité et le risque de dépenses sont les seuls risques de souscription afférents aux contrats ; 2. l’entreprise ne supporte aucun risque en cas de rachat, quelle qu’en soit la forme ; 3. les primes ont déjà été payées et aucune entrée de flux de trésorerie n’est prise en compte dans les provision techniques des contrats ». Aux fins de QIS5, il conviendra donc de retenir la structure par terme des taux sans risque comprenant une prime de liquidité de 75% pour actualiser les passifs des contrats d’assurance sur la vie diversifiés.

• Horizon temporel :

L’article TP.2.20. des spécifications techniques de l’exercice QIS5 stipule que l’horizon utilisée « doit couvrir toute la durée de vie de toutes les entrées et sorties de trésorerie requises pour régler les engagements ». Dans le cadre des contrats d’assurance sur la vie diversifiés, il semble naturel que l’horizon utilisé soit donc celui de la garantie accordée contractuellement, soit 10 ans.

• Flux retenus Au niveau des encaissements bruts, le calcul de la provision « Best Estimate » n’intègre que les reversements futurs sur les contrats en cours à la date de calcul. Les décaissements bruts considérés sont les suivants :

- Les prestations à l’assuré en cas de rachat partiel; - Les prestations à l’assuré à l’échéance ; - Les commissions sur acquisition et sur encours versées aux partenaires ; - Les frais de gestion associés aux reversements, à la gestion et aux prestations ; - Les interventions en cas d’insuffisance de représentation des engagements ; - La taxe organic sur le chiffre d’affaires.


91

( )∑

∏=

=

+×=

T

tt

i

t

ir

FluxteBestEstima1

1

)(1

1

où tFlux est le flux de la période t et

tFlux = Reversements bruts – Prestations Rachats partiels – Prestations Fin de contrat –

Commissions – Frais généraux – Intervention de l’assureur – Taxe organic;

r(i) est le taux d’actualisation de la période i ; T est la date de fin des contrats.

Par la suite, nous avons limité les calculs des Best Estimate et des SCR à un Model Point de 100 contrats d’une durée de 10 ans et d’un versement initial moyen de 200 000€. Par ailleurs les reversements moyens sont égaux à 20 000€ et les rachats sont calibrés selon la loi utilisée pour le portefeuille Épargne d’AG2R LA MONDIALE. Enfin, le mode d’attribution de la participation par défaut qui a été choisie est celui qui consiste à faire évoluer la part de la provision de diversification.

Ces flux constituent les éléments essentiels au calcul du Best Estimate pour chaque scenario. Pour obtenir le Best Estimate final, celui qui s’inscrit dans le Bilan prudentiel de Solvabilité 2, nous faisons la moyenne des 1000 « Best Estimate » obtenus.

• Participation aux bénéfices L’article TP.2.87. des spécifications techniques de l’exercice QIS5 stipule que « lors du calcul des provisions techniques, la valeur des prestations discrétionnaires futures doit être calculé séparément ». Cette notion et l’évaluation des prestations discrétionnaires futures sont des points de réflexion intéressants dans le cadre des contrats d’assurance sur la vie diversifiés. Notre appréciation de ces notions est comme suit :

L’article TP.2.88.des spécifications techniques précise que :

« Les prestations discrétionnaires futures s’entendent des prestations de contrats d’assurance ou de réassurance qui présentent une des caractéristiques suivantes :

• Les prestations sont légalement ou contractuellement basées sur un ou plusieurs des résultats suivants :

- la performance d’un ensemble spécifié de contrats, d’un type spécifié de

contrat ou d’un seul contrat ; - le rendement réalisé ou non réalisé sur un ensemble spécifié d’actifs détenus

par l’entreprise d’assurance ou de réassurance ; - la perte ou le profit de l’entreprise d’assurance ou de réassurance ou du fonds

qui émet le contrat donnant naissance aux prestations.

• Les prestations sont basées sur une déclaration de l’entreprise d’assurance ou de réassurance, et leur montant et le moment auquel elles sont versées sont laissés à son appréciation. »


92

La lecture de l’article sur la modalité de participation aux bénéfices techniques et financiers des contrats d’assurance sur la vie diversifiés d’AG2R LA MONDIALE nous confirme qu’il y a bien des prestations discrétionnaires futures au titre de ces contrats, notamment par rapport au premier point de l’article TP.2.88. ci-dessus. Par rapport au deuxième point, il est clair que le montant et le moment sont contractuellement fixés et ne sont pas laissés à l’appréciation d’AG2R LA MONDIALE. Par contre, les modalités d’affection (« revalorisation des engagements de capital exprimés en euros », « revalorisation de la part de la provision de diversification » ou « attribution de nouvelles parts de provision de diversification ») sont bien à l’appréciation d’AG2R LA MONDIALE. Si on se réfère aux orientations nationales complémentaires, il convient donc de ventiler les provisions « Best Estimate » en deux parties : une partie garantie (« Best Estimate Garantie : BEG ») et une partie incluant les participations aux bénéfices futurs (« Future Discretionary Benefits : FDB »). Pour ce faire, nous avons suivi les préconisations des orientations nationales complémentaires en calculant dans un premier temps le « Best Estimate » total, puis dans un second temps le « Best Estimate Garanti » pour obtenir par différence les « Future Discretionary Benefits ». Pour différentier la partie garantie ou non, nous avons retenu comme proxy de ne pas considérer la participation aux bénéfices dans les prestations payées au client. Considérant dans notre approche que la participation aux bénéfices est distribuée sous forme de revalorisation de la valeur de la part de provision de diversification, notre proxy consiste donc à valoriser les sorties selon la valeur de la part de provision de diversification à la date de calcul des engagements. C’est une approche qu’il conviendra de rechallenger à l’aune de l’expérience marché sur les contrats d’assurance sur la vie diversifiés et des réflexions de la place.

• Comportement des souscripteurs

La modélisation du comportement des souscripteurs est le deuxième point sur lequel il est intéressant de réaliser un vrai focus pour la modélisation des contrats d’assurance sur la vie sous Solvabilité II.

Plusieurs éléments rendent la problématique particulièrement intéressante :

o Compte tenu du caractère novateur du concept, il n’y a aucune expérience passée du

comportement des souscripteurs en termes de reversement et de rachat pour ces contrats par rapport au contexte économique, financier et fiscal sur lequel on peut s’appuyer pour définir une tendance ;

o Ces contrats ont la particularité d’offrir une garantie de capital en euros au terme et

une valorisation en valeur de marché durant le contrat.

La position « dans/hors la monnaie » de la garantie en capital est fonction à un moment donné du contexte économique et financier et de la stratégie passée de revalorisation des engagements en euros. Des actions de management rendent donc pilotables la position « dans/hors la monnaie » par génération de souscription.


93

La valorisation en valeur de marché durant le contrat implique que les investissements/désinvestissements en cours de vie du contrat se font selon les conditions de marché en vigueur au moment des mouvements.

La modélisation des reversements et des rachats conjoncturels et structurels dans le cadre des contrats d’assurance sur la vie diversifiés semble nécessiter une vraie réflexion de la place qui s’affinera avec l’expérience observée et le ressenti des assurés par rapport à cette nouvelle offre produit. Nous allons supposer pour la suite de nos travaux deux hypothèses simples de travail pour nous permettre d’évaluer les conséquences de ces options au niveau des éléments « Best Estimate » et « Solvency Capital Requirement » :

1. une première hypothèse de travail sera de considérer qu’il n’y a pas de comportement

dynamique (i.e. fonction des marchés financiers) des reversements/rachats sur les contrats d’assurance sur la vie diversifiés. On se basera sur les comportements observés sur les contrats actuels ;

2. la deuxième hypothèse de travail sera de considérer le comportement dynamique que

nous retenons en interne dans le cadre des contrats avec investissements en euros à savoir des rachats/reversements fonction de l’écart entre le taux de « rendement » du contrat et le taux moyen d’état (TME). Cette approche est en cohérence avec les préconisations des orientations nationales complémentaires.

V.2. Estimations du « Best Estimate » Nous rappelons la formule permettant le calcul des différents Best Estimate :

( )∑

∏=

=

+×=

T

tt

i

t

ir

FluxteBestEstima1

1

)(1

1

où tFlux est le flux de la période t ;

r(i) est le taux d’actualisation de la période i ; T est la date de fin des contrats.

Nous présenterons dans cette partie les résultats des Best Estimate que nous avons calculés selon les différentes hypothèses et jeux de scenarii qui sont à notre disposition. Les résultats seront présentés en dissociant la part garantie du Best Estimate et les FDB. Concernant la part du Best Estimate qui est garantie (BEG), nous avons choisi de définir les flux Best Estimate Garanti de la façon suivante : l’assureur se doit, à chaque instant, de garantir aux assurés la PM et 5% de la valeur de la part de PTD multipliée par le nombre de parts détenues par tous les assurés, i.e.

Part Garantie = PM + Valeur de PTD Garantie × Nombre de parts des assurés


94

Lorsque les assurés procèdent à des rachats partiels, le montant racheté dépend des valeurs de la PM et de la PTD avant mouvements à la date du rachat, ce montant racheté constituant une prestation à délivrer qui est un élément du flux Best Estimate (viennent se rajouter à cette prestation les frais, les commissions, la taxe organic et l’intervention éventuelle de l’assureur). En ce qui concerne le Best Estimate Garanti, la prestation garantie liée à un rachat partiel se limite à la PM et la part garantie de la PTD, soit 5% de la valeur de la part initiale. De la même façon, lorsque nous nous situons au terme du contrat, l’assureur garantit aux assurés la PM, qui est égale à l’engagement, et 5% de la valeur de la part de PTD initiale. Là encore, la prestation garantie par l’assureur est égale à la PM à la fin du contrat et 5% de la valeur de la part initiale multipliée par le nombre de parts détenues par tous les assurés. Il s’agit là de l’unique modification qui s’opère sur les flux Best Estimate Garanti par rapport aux flux Best Estimate. Le premier calcul de Best Estimate que nous allons montrer est celui du scenario central, celui qui va servir d’élément de comparaison. Ce Scenario Central fait intervenir un jeu de scenario sous probabilité risque-neutre, avec une prime de liquidité fixée comme nous l’avons dit à 75%. De plus, ce scenario ne prend pas en compte le comportement dynamique des assurés.

• Best Estimate Central

Le Best Estimate obtenu est la moyenne des 1000 « Best Estimate » calculés pour chaque scenario de notre jeu. Pour ce calcul, nous ne faisons pas intervenir le comportement dynamique des assurés. Nous obtenons ainsi les résultats suivants :

Best Estimate Garanti FDB Best Estimate :BEG+FDB

Scenario Central 13 651 478 € 4 728 009 € 18 379 487 €

Comme nous l’avons expliqué, nous allons dès à présent analyser les différents Best Estimate obtenus et les comparer à notre scenario central. Nous pouvons cependant faire un parallèle avec Solvabilité 1 en remarquant que le Best Estimate est du même ordre de grandeur que l’engagement auquel s’engage l’assureur au début du contrat, date de calcul du Best Estimate. De plus, la part garanti du Best Estimate est quant à elle du même ordre de grandeur que la provision mathématique à l’origine, qui dans l’univers Solvabilité 1 représente la garantie de l’assureur envers les assurés.

• Best Estimate avec comportements dynamiques

Best Estimate Garanti (BEG)

FDB Best Estimate :BEG+FDB

Comportements dynamiques

13 917 118 € 4 626 032 € 18 543 151 €



95

Même si les résultats obtenus sont proches de ceux du Best Estimate central, nous remarquons que dans le cas où les comportements dynamiques sont intégrés au modèle, le Best Estimate Garanti augmente tandis que les FDB diminuent. Au final, le Best Estimate augmente légèrement. L’augmentation du BEG peut se justifier par le fait que l’assureur est sujet à des rachats plus importants en nombre d’une part, et surtout en montant d’autre part. De plus, si nous supposons, comme nous l’avons fait dans la partie analysant la rentabilité de l’assureur, qu’en moyenne les rachats et les reversements se compensent numériquement, nous nous rappelons également que les montants moyens de reversements que nous avons fixés sont très nettement inférieurs aux montants moyens des rachats. L’assureur subit donc des flux de décaissement plus élevés, garanti qui plus est, ce qui contribue à augmenter la part garanti du Best Estimate.

• Sensibilité du Best Estimate aux taux d’intérêt Le niveau de hausse et de baisse des taux qu’il faut appliquer est fourni par les spécifications techniques du QIS5. Ensuite, le jeu de scenario central est choqué selon ces niveaux de hausse et de baisse. Ces chocs mènent à un nouveau calibrage du modèle utilisé par AG2R LA MONDIALE afin de sortir un nouveau jeu de scenario incorporant la hausse et la baisse fournies. Les Best Estimate que nous obtenons sont issus de ces jeux de scenarii différents. Dans un premier temps, nous donnerons le Best Estimate à la baisse des taux et ensuite celui à la hausse.

� Sensibilité à la baisse



Baisse des Taux 15 203 250 € 3 252 682 € 18 455 933 €


Dans l’univers Solvabilité 1, la baisse des taux d’intérêt a pour conséquence l’augmentation des engagements de l’assureur, à savoir la provision mathématique. Sous Solvabilité 2, le nouveau calibrage à la baisse de la structure des taux sans risque entraine la même conséquence sur le BEG de l’assureur. L’augmentation est significative par rapport au scenario central (+1,5 Millions €). Cette augmentation du BEG n’est pas sans conséquence sur le Best Estimate de l’assureur qui augmente également. Enfin, les FDB diminuent puisque l’assureur fait face à des contraintes plus élevées en termes d’engagement, ce qui conduit à réduire la part de FDB.

� Sensibilité à la hausse Contrairement au cas précédent, la hausse des taux diminue les engagements de l’assureur et augmente ainsi la part des profits discrétionnaires futurs. Le tableau ci-dessous nous montre en effet que le nouveau calibrage des scenarios à la hausse des taux diminue le Best Estimate dans son ensemble et notamment le BEG.


96



Hausse des Taux 11 889 143 € 6 396 395 € 18 285 538 €


Ces deux résultats sont en adéquation avec la logique des contrats diversifiés et prouvent la cohérence du modèle que nous avons mis en place.

• Sensibilité du Best Estimate à un choc sur la Prime de liquidité Les spécifications techniques prévoient en effet un choc à effectuer sur la prime de liquidité lorsque celle-ci est utilisée. Le choc, tel qu’il est mentionné dans les spécifications techniques, est de l’ordre de 65%. Là encore, ce choc nécessite un nouveau calibrage du modèle. Nous obtenons les résultats suivants :



Choc sur la prime de liquidité

14 037 146 € 4 367 257 € 18 404 403 €


L’impact de ce choc sur la prime de liquidité n’est pas significatif sur le Best Estimate de l’assureur. En revanche, le BEG augmente alors que les FDB diminuent faiblement. Ces résultats sont cohérents avec la présence d’un choc sur la prime de liquidité. En effet, le choc a pour effet de baisser les taux servant à l’actualisation du Passif de l’assureur. Par construction, si les taux d’actualisation baissent, le Passif de l’assureur augmente, ce qui est traduit ici par l’augmentation du BEG.

• Sensibilité du Best Estimate suivant le mode d’attribution de la participation aux bénéfices

Cette partie termine l’étude des différents Best Estimate selon les options et/ou stratégies qui se proposent à l’assureur. Le premier Best Estimate que nous verrons est celui obtenu lorsque la stratégie de participation aux bénéfices est portée sur l’augmentation du nombre de parts de provisions de diversification.

� Augmentation du Nombre de parts de PTD A priori, nous pourrions penser que cette stratégie de PB n’a pas d’influence sur le Best Estimate puisque les flux (reversements et rachats) sont identiques à ceux obtenus avec le scenario central (stratégie de PB via l’évolution de la valeur de la part de PTD). Cette première idée n’est pas complètement fausse, puisqu’en effet, le Best Estimate reste identique. Cependant, la différence qu’il existe entre les deux stratégies de PB portant sur la PTD vient du fait qu’augmenter le nombre de parts de PTD augmente par construction la part garantie du Best Estimate (BEG). Ainsi, dans l’univers Solvabilité 2, le choix de la stratégie de PB n’est pas sans conséquence pour l’assureur. Ce résultat traduit une différence notable


97

comparée à ce que nous avons obtenu lors de l’analyse de la rentabilité de l’assureur. Nous obtenons donc les résultats suivants :

Stratégie de PB Best Estimate Garanti (BEG)


Augmentation du Nombre de parts de

PTD

13 772 331 € 4 607 156 € 18 379 487 €

Évolution de la valeur de la part de PTD (scenario central)

13 651 478 € 4 728 009 € 18 379 487 €

Comme nous l’avons expliqué, ce choix d’attribution de la PB augmente la part garanti du Best Estimate et diminue par ricochet la part discrétionnaire de la PB que l’assureur peut verser aux assurés ou dans laquelle il peut puiser afin d’absorber des chocs.

� Revalorisation des engagements Il s’agit du dernier mode d’attribution de la PB et également le dernier Best Estimate que nous avons calculé. Les résultats sont les suivants :

Stratégie de PB Best Estimate Garanti (BEG)


Revalorisation des Engagements

15 059 953 € 3 315 807 € 18 375 760 €

Évolution de la valeur de la part de PTD (scenario central)

13 651 478 € 4 728 009 € 18 379 487 €

Comme nous pouvions nous y attendre, la revalorisation des engagements augmentent la part garantie du Best Estimate (BEG). En effet, revaloriser les engagements est synonyme pour l’assureur d’augmentation de la garantie au terme, et donc sous l’angle de Solvabilité 2, l’augmentation du Best Estimate Garanti.

V.3. Estimation du « Solvency Capital Requirement »

a. Présentation générale du SCR Le Solvency Capital Requirement ou Capital de Solvabilité Requis représente le niveau de fonds propres de l’assureur jugé nécessaire pour absorber une sinistralité exceptionnelle. Il correspond à la Value-at-Risk au niveau de 99,5% du niveau des fonds propres nécessaires à l’assureur pour faire face à ses engagements. La méthode que nous avons utilisée pour le calcul du SCR et la méthode par la formule standard. Ce calcul s’effectue en différents modules et prend en compte plusieurs risques : le risque de marché, le risque de souscription santé, le risque de contrepartie, le risque de souscription vie, le risque de souscription non-vie et enfin le risque sur les actifs incorporels. Le schéma ci-dessous représente la structure du SCR telle qu’elle est présentée dans les spécifications techniques du QIS5 :


98

Chaque module est composé de sous-modules sur lesquels sont réalisés les chocs pour déterminer le capital requis. Les résultats des sous-modules sont ensuite agrégés via une matrice de corrélation donnée dans les spécifications techniques et définissent ainsi le capital requis pour chaque module. Les risques détaillés qui composent la formule du SCR sont les suivants :

� Le risque de marché : il concerne le risque résultant de la volatilité des différents marchés qui influent sur la valeur de l’Actif et du Passif.

� Le risque de souscription (Santé, Vie et Non-Vie) : ils concernent les risques relatifs

aux contrats comme une erreur de provisionnement ou de tarification.

� Le risque de contrepartie : il retranscrit le risque de défaut d’un émetteur.

� Le risque des actifs incorporels : il concerne les actifs incorporels exposés à deux types de risques : le risque de marché et le risque interne inhérent à la nature de ces éléments.

La formule standard du SCR est donnée par l’équation suivante :

SCR = BSCR+Adj +SCROp


99

Où BSCR est le Basic SCR.

Adj sont les ajustements liés aux effets d’absorption des provisions techniques.

SCROp est le capital requis pour le risque opérationnel.

L’agrégation des sous-modules puis des modules via les différentes matrices de corrélations constitue ainsi le Basic SCR ou BSCR. La formule du BSCR, donnée dans les spécifications techniques, est la suivante :

BSCR = int, SCRSCRSCRCorrji jiji +××∑ ×

Où

jiCorr , est la corrélation entre les risques i et j.

iSCR est le capital requis pour le risque i.

intSCR est le capital requis pour le risque lié aux actifs incorporels.

La corrélation entre les risques est fournie par les spécifications techniques sous la forme de matrice :

i,j Marché Contrepartie Vie Santé Non-Vie

Marché 1

Contrepartie 0,25 1

Vie 0,25 0,25 1

Santé 0,25 0,25 0,25 1

Non-Vie 0,25 0,5 0 0 1

La formule du BSCR nécessite donc que nous calculions les capitaux requis pour les différents risques. Pour cela, nous utilisons les matrices de corrélation entre les sous-modules qui sont fournies dans les spécifications techniques. Par exemple, si nous calculons le capital requis pour le risque i, que nous notons SCRi, nous avons :

llj ji

lji iiCorrSCR ××= ∑ × ,

Où i

ljCorr , est la matrice de corrélation entre les sous-modules du risque i, fournie par les

spécifications techniques.

ji est le capital requis pour le sous-module j du risque i.


100

Le calcul des différents ji est effectué dans la plupart des cas à l’aide de la formule suivante :

( )0;max i

jcentralijj NAVNAVNAVi −=∆=

Où

NAV est la Net Asset Value. Il s’agit de l’Actif Net Réel.

cebtralNAV est l’Actif Net Réel en situation normale, i.e. avant le choc.

ijNAV est la valeur de l’Actif Net Réel après le choc du sous module j du risque i.

Les spécifications techniques définissent l’Actif Net Réel comme la différence entre la valeur de marché des actifs et le Best Estimate. Le calcul des différents SCR nécessite donc que nous calculions un Actif et un Best Estimate avant et après choc. Nous venons de terminer la présentation générale du calcul du SCR par la formule standard. Dans la partie qui suit, nous allons montrer quels sont les risques qui s’appliquent aux contrats diversifiés et quels ont été les SCR calculés pour cette étude.

b. Application des SCR au modèle Le schéma ci-dessous montre les différents SCR que nous avons choisi de calculer dans cette étude :

En effet, tous les risques qui servent au calcul du SCR ne s’appliquent pas aux contrats diversifiés, par exemple, les risques de souscription Santé et Non-Vie. De plus, nous avons fait des choix simplificateurs pour ce calcul de SCR et nous sommes conscients que ce calcul mériterait des approfondissements. Ainsi, nous avons choisi de retenir comme risques, le risque de marché (SCRMkt)et le risque de souscription Vie (SCRLife).


101

Ces deux risques servent au calcul du BSCR via la matrice de corrélation simplifiée pour notre modèle :

i,j Marché Vie

Marché 1

Vie 0,25 1

i. SCR Market La formule permettant de calculer le SCR Marché est donnée par les spécifications techniques :

××××= ∑∑

×× crcDownrDowncr

crcUprUpcrMkt MktMktnCorrMktDowMktMktCorrMktUpSCR ,,,,,,, ;max

Où

CorrMktUp est la matrice de corrélation entre les sous-modules du risque marché dans le cas d’un choc des taux « Up ».

nCorrMktDow est la matrice de corrélation entre les sous-modules du risque marché dans le cas « Down ».

rUpMkt , est le capital requis pour le sous-module r du risque marché dans le cas d’un

choc des taux « Up »

rDownMkt , est le capital requis pour le sous-module r du risque marché dans le cas d’un

choc des taux « Down ».

Compte tenu des sous-modules que nous avons calculés, les matrices de corrélations entre les sous-modules du risque marché sont les suivantes :

CorrMktDown Intérêt Actions Immobilier Liquidité

Intérêt 1

Actions 0,5 1

Immobilier 0,5 0,75 1

Liquidité 0 0 0 1


102

CorrMktUp Intérêt Actions Immobilier Liquidité

Intérêt 1

Actions 0 1

Immobilier 0 0,75 1

Liquidité 0 0 0 1

La formule du SCRMkt dépend donc de deux environnements de taux d’intérêt, qui ont chacun des incidences sur la valeur de marché des Actifs et la valeur du Passif. Le graphique ci-dessous donne la courbe des taux dans les différents états pour une prime de liquidité de 75% :

ii. SCR Life Ce risque, comme nous l’avons précédemment évoqué, mesure les conséquences provenant par exemple d’une mauvaise tarification lors de la souscription d’un engagement d’assurance vie. De la même façon que pour le SCR Marché, les sous-modules du risque Vie sont agrégés via une matrice de corrélation fournie dans les spécifications techniques du CEIOPS. la formule qui permet l’agrégation est donnée ci-dessous :

∑ ×××=

cr crcrLife LifeLifeCorrLifeSCR ,

Chocs sur la courbe des taux

0.000%

1.000%

2.000%

3.000%

4.000%

5.000%

6.000%

7.000%

1 8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

10

6

11

3

12

0

12

7

13

4

maturité

central hausse des taux baisse des taux


103

Où CorrLife est la matrice de corrélation des sous-modules du risque Vie

rLife est le capital requis pour le sous-module r du risque Vie.

La matrice de corrélation qui s’applique à notre modèle est donnée ci-dessous :

CorrLife Mortalité Longévité Rachats

Mortalité 1

Longévité -0,25 1

Rachats 0 0,25 1

iii. SCR Opérationnel Le risque opérationnel reflète le risque provenant d’une défaillance interne à l’organisme assureur, par le biais d’un salarié ou d’un logiciel. Au regard de la formule du capital requis au titre du risque opérationnel donnée dans les spécifications techniques du CEIOPS, nous avons choisi d’appliquer la formule suivante pour ce mémoire :

( )OpBSCRSCROp ;3,0min ×=

Où

( )ullifelife TPTPOp −−×= ;0max0045,0

et

lifeTP sont les provisions techniques totales du contrat. Dans notre modèle, à l’instant t=0,

les provisions techniques totales sont égales aux primes nettes investies par les assurés, soit 19 000 000 €.

ullifeTP − sont les provisions techniques relatives aux UC. En ce qui concerne les contrats

diversifiés, la provision de diversification est la provision technique qui est relative aux UC. Dans notre modèle, à l’instant t=0, la provision de diversification est égale à 4 723 950 €.

On obtient donc après calcul la valeur de Op :

Op = 0,0045 × max(0 ;19000000-4723950) = 0,0045 × 14 276 050 = 64 242 € Ainsi, nous pouvons d’ores et déjà simplifier l’écriture du SCR Opérationnel en écrivant :

( )64242;3,0min BSCRSCROp ×=


104

Le calcul du BSCR à l’aide des différentes matrices de corrélation et des différents capitaux requis pour les risques modulaires concernés par notre modèle permettra de compléter la formule du SCR Opérationnel et d’en déduire ainsi le SCR.

c. Résultats Pour obtenir les résultats qui vont suivre, nous avons choisi les mêmes hypothèses dans notre modèle que celles qui nous ont servi à calculer le Best Estimate. Nous présenterons dans un premier temps le SCR Marché en détaillant les différents capitaux requis au titre des sous-modules qui composent ce risque. Ensuite, nous ferons de même avec le SCR Vie, ce qui nous permettra de calculer le BSCR. Enfin, nous serons en mesure de donner le SCR Opérationnel qui constituera le dernier élément manquant pour le calcul du SCR global.

i. SCR Market Afin de calculer le capital requis pour le risque Marché, nous calculons en premier lieu les capitaux requis pour les sous-modules qui composent ce risque et qui sont appliqués à notre modèle. Le premier capital requis est celui relatif à un choc sur les taux d’intérêt.

• Capital requis au titre du sous-module Intérêt : Mktint Ce capital requis se calcule grâce à la formule suivante :

( )DownUp MktMktMkt intintint ;max=

Où UpMktint est le capital requis au titre du sous-module intérêt du risque Marché dans le cas

d’un choc à la hausse sur les taux.

DownMktint est le capital requis au titre du sous-module intérêt du risque Marché dans le cas

d’un choc à la baisse des taux.

Le capital requis dans les deux cas de hausse et de baisse des taux s’obtient par la différence entre la Net Asset Value ou NAV. La hausse et la baisse des taux ont une incidence sur le Passif de l’assureur (le Best Estimate) mais aussi sur l’Actif puisque la variation des taux d’intérêt modifie le prix des actifs telles que les obligations. le tableau ci-dessous reprend les résultats que nous avons obtenus :

Scenario Valeur de Marché des Actifs

Best Estimate Net Asset Value

Upward shock 17 382 313 € 16 717 738 € 664 575 € Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 €

Downward shock 20 383 917 € 19 793 180 € 590 737 €


105

Si nous reprenons la formule ( )0;max ijcentral

ij NAVNAVNAV −=∆ , nous obtenons :

( ) 00;664575620513maxint =−=UpMkt

( ) 297770;590737620513maxint =−=DownMkt €

Ainsi, nous obtenons :

( )DownUp MktMktMkt intintint ;max= =29 777 €

• Capital requis au titre du sous-module Action : Mkteq Le calcul du capital requis pour le sous-module Action du risque Marché s’effectue en appliquant un choc à la baisse de 30% de la valeur initiale des actions après investissement. Nous recalculons ensuite un Best Estimate avec la nouvelle valeur des Actions. Voici les résultats que nous obtenons :



Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 € Choc 30% sur

Actions 18 362 267 € 17 760 299 € 601 968 €

Le capital requis au titre du sous-module Action est donc :

( ) ( )0;601968620513max0;max −−=∆= Mkteqcentraleq NAVNAVNAVMkt = 18 546 €

• Capital requis au titre du sous-module Immobilier : Mktprop Le calcul de ce capital requis est similaire à celui du sous-module Actions. En effet, il faut appliquer un choc à la baisse de 25% de la valeur des actifs Immobiliers après investissement. Nous recalculons ensuite un Best Estimate qui prend en compte la nouvelle valeur des actifs Immobiliers et nous calculons la différence entre l’Actif Net Réel avant et après ce choc :



Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 € Choc 25% sur l’Immobilier

18 468 556 € 17 869 236 € 599 319 €

( ) ( )0;599319620513max0;max −=−=∆= Mktpropcentralprop NAVNAVNAVMkt = 21 194 €


106

• Capital requis au titre du sous-module Liquidité : Mktip Ce capital est obtenu en choquant la prime de liquidité à la baisse de 65%. Cette baisse entraîne une modification de la structure des taux et modifie ainsi la valeur de l’Actif et du Passif.



Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 € Choc 65% sur la

Prime de Liquidité 19 301 980 € 18 699 872 € 602 109 €

Ainsi, nous obtenons :

( ) ( )0;602109620513max0;max −=−=∆= Mktipcentralip NAVNAVNAVMkt = 18 405 €

Ce dernier calcul permet d’obtenir le Capital requis pour le risque Marché de notre modèle grâce aux matrices de corrélations que nous avons préalablement énoncées et grâce à la formule du SCRMkt que nous rappelons ci-dessous :

××××= ∑∑

×× crcDownrDowncr

crcUprUpcrMkt MktMktnCorrMktDowMktMktCorrMktUpSCR ,,,,,,, ;max

Avec

( )

×

×=××∑×

ip

prop

eq

Up

crippropeq

UpcUprUpcr

Mkt

Mkt

Mkt

Mkt

MktMktMktMktMktMktCorrMktUp

int

int,,,

1000

0175,00

075,010

0001

( )

×

×=××∑×

ip

prop

eq

Down

ippropeqDown

cDownrDowncr

cr

Mkt

Mkt

Mkt

Mkt

MktMktMktMktMktMktnCorrMktDow

int

int,,,

1000

0175,05,0

075,015,0

05,05,01

Où

UpMktint est le capital requis pour le sous-module Intérêt lorsque les taux sont à la hausse DownMktint est le capital requis pour le sous-module Intérêt lorsque les taux sont à la baisse

eqMkt est le capital requis pour le sous-module Action

propMkt est le capital requis pour le sous-module Immobilier

ipMkt est le capital requis pour le sous-module Liquidité.


107

Application Numérique :

� ∑×

××cr

cUprUpcr MktMktCorrMktUp ,,, =

( )×1840521194185460

×

18405

21194

18546

0

1000

0175,00

075,010

0001

= 1 721 435 534 €

� cDownrDowncr

cr MktMktnCorrMktDow ,,, ××∑×

=

( )

×

×

18405

21194

18546

29777

1000

0175,00

075,010

0001

18405211941854629777 = 3 791 382 622 €

Finalement, nous obtenons le SCRMkt :

( ) === 37913826223791382622;1721435534maxMktSCR 61 574 €

ii. SCR Life De la même façon que pour le SCR Marché, nous calculons les capitaux requis pour les sous-modules du risque Vie, que nous agrègerons par la suite via les matrices de corrélation précédemment mentionnées.

• Capital requis au titre du sous-module Mortalité : Lifemort Le choc tel qu’il est décrit dans les spécifications techniques porte sur la table de mortalité puisque nous procédons à une augmentation des qx de la table utilisée de l’ordre de 15% pour chaque période et chaque âge.



Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 € Choc de +15% sur

les qx 19 000 000 € 18 381 522 € 618 478 €

Nous obtenons ainsi :

( ) ( ) =−=−=∆= 0;618478620513max0;max Lifemortcentralmort NAVNAVNAVLife 2 036 €


108

L’augmentation des qx augmente par construction les rachats partiels et donc les prestations que l’assureur doit être en mesure de verser aux assurés et qui contribuent ainsi à augmenter son Best Estimate.

• Capital requis au titre du sous-module Longévité : Lifelong

Le choc a appliqué pour calculer ce capital requis est porté sur les taux de mortalité que nous utilisons. Les spécifications techniques prévoient pour mesurer ce choc une diminution des qx

de 20% pour chaque âge et chaque période. Le tableau ci-dessous donne les résultats que nous avons obtenus :



Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 € Choc de -20% sur

les qx 19 000 000 € 18 376 967 € 623 033 €

En reprenant la formule de la variation de l’Actif Net Réel, nous obtenons la valeur du capital requis pour ce sous-module du risque Vie :

( ) ( ) =−=−=∆= 0;623033620513max0;max Lifelongcentrallong NAVNAVNAVLife 0 €

Ces résultats sont cohérents avec le fonctionnement des contrats diversifiés puisque l’augmentation de la longévité diminue par construction les montants des rachats partiels qui sont des éléments qui augmentent le Best Estimate de l’assureur. Le choc de mortalité n’est cependant pas très élevé dans notre puisque nous avons choisi de fixer l’âge actuariel du Model Point égal à celui du portefeuille Épargne d’AG2R LA MONDIALE qui se situe aux alentours de 50 ans, ce qui est jeune pour un portefeuille.

• Capital requis au titre du sous-module rachat : Lifelapse Si nous reprenons la formule donnée dans les spécifications techniques sur le capital requis pour le sous-module rachat, nous avons :

( )updownlapse LapseLapseLife ;max=

Où

downLapse est le capital requis dans le cas d’une baisse des taux de rachat initiaux de

chaque période

upLapse est le capital requis dans le cas d’une hausse des taux initiaux de chaque

période

La baisse et l’augmentation des taux de rachats sont définies dans les spécifications techniques fournies par le CEIOPS. Dans le cas d’une diminution des taux de rachat, la baisse


109

est de l’ordre de 50% des taux de rachats initiaux sans pour autant pouvoir être inférieur à une baisse en valeur absolue de 20%. Dans le cas d’une augmentation, la hausse des taux de rachats initiaux est de l’ordre de 150% sans que le taux de rachat « choqué » puisse dépasser les 100% en valeur absolue. Les deux équations ci-dessous résument les derniers propos :

( ) ( )%20;%50max −×= RRRRdown

( ) ( )%100;%150min RRRup ×=

Où R est le taux de rachat avant le choc, celui qui est utilisé à l’origine par notre modèle.

downR est le nouveau taux de rachat lors d’un choc à la baisse.

upR est le nouveau taux de rachat lors d’un choc à la hausse.

Maintenant que nous savons comment se calcule ce risque, nous pouvons donner les résultats que nous avons obtenus :



Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 € Baisse des taux de

rachat 19 000 000 € 18 300 832 € 699 168 €

( ) ( ) 00;699168513620max0;max =−=−=∆= down

Lapsecentraldown NAVNAVNAVLapse €

Scenario Valeur de Marché

des Actifs Best Estimate Net Asset Value

Central 19 000 000 € 18 379 487 € 620 513 € Hausse des taux de

rachat 19 000 000 € 18 439 585 € 560 415 €

( ) ( ) =−=−=∆= 0;560415620513max0;max Up

Lapsecentralup NAVNAVNAVLapse 60 098 €

Finalement, nous obtenons :

( )60098;0max=lapseLife = 60 098 €

Ce dernier capital requis nous permet de calculer dès à présent le capital requis pour le risque Vie dont nous rappelons la formule :

∑ ×××=

cr crcrLife LifeLifeCorrLifeSCR ,


110

Avec

( )

×

−−

×=××∑ ×

lapse

long

mort

lapselongmortcrcr cr

Life

Life

Life

LifeLifeLifeLifeLifeCorrLife

125,00

25,0125,0

025,01

,

Où

mortLife est le capital requis pour le sous-module Mortalité

longLife est le capital requis pour le sous-module Longévité

lapseLife est le capital requis pour le sous-module Rachat.


( ) =

×

−−

×=60098

0

2036

125,00

25,0125,0

025,01

6009802036LifeSCR 60 133 €

Ce dernier résultat permet désormais de calculer le Basic SCR ou BSCR qui constitue un des deux derniers éléments avant le calcul du SCR total.

iii. BSCR Dans ce mémoire, nous calculons le BSCR à l’aide de la formule suivante:

BSCR = ∑ ×××

ji jiji SCRSCRCorr ,

Compte tenu des résultats précédents, nous pouvons réécrire le BSCR de la façon suivante :

( )

×

×=

Life

MktLifeMkt SCR

SCRSCRSCRBSCR

125,0

25,01


( )

×

×=

60133

61574

125,0

25,016013361574BSCR = 96 222 €

Nous sommes en mesure désormais de calculer le SCR Opérationnel puisque nous avons vu au début de cette partie qu’il dépendait du BSCR.


111

iv. SCROp et SCR En reprenant la formule du SCR Opérationnel et en utilisant le dernier résultat, nous pouvons calculer le SCR Opérationnel. La formule est rappelée ci-dessous :

( )64242;3,0min BSCRSCROp ×=


( ) ( ) ==×= 64242;28867min64242;962223,0minOpSCR 28 867 €

Ainsi, nous pouvons terminer cette partie par le calcul du SCR total puisque nous avons les derniers éléments manquants. Pour rappel, dans cette étude nous avons choisi de calculer le SCR de la façon suivante :

SCR = BSCR + SCROp


SCR = 96 222 + 28 867 = 125 089 € Avec ce dernier calcul, nous pouvons établir un taux de couverture du SCR des contrats diversifiés selon la modélisation que nous avons adoptée :

Taux de couverture du SCR = (Actif – Provision Best Estimate) / SCR


Taux de couverture du SCR = (19 000 000 –18 379 487) / 125 089 = 496%

Par ailleurs, si nous comparons les exigences de Capital aux provisions techniques et cela sous les deux univers Solvabilité 1 et 2, nous obtenons :

� Pour Solvabilité 1, l’exigence de capital correspond à la somme entre 4% des provisions mathématiques, 4% de la provision de diversification garantie et 1% de la provision de diversification non garantie :

Exigence de Capital S1 = ( )GarantiePTDPTDGarantiePTDPM _%1_%4%4 −×+×+×

Application Numérique : Exigence de Capital S1=4%×14627575 + 4%×4372425×5% + 1%×4372325×95% = 635 386€


112

De plus, les provisions techniques à la date t=0 sont égales à 19 Millions d’euros, ce qui donne un ratio de :

Exigence S1 / Provisions techniques =635 386 / 19 000 000 = 3,34%

� Pour solvabilité 2, nous venons de calculer le SCR et les provisions techniques puisque sont égales au Best Estimate puisque nous avons choisi de ne pas calculer de Risk Margin, nous obtenons un ratio :

SCR/BE = 125 089 / 18 379 487 = 0,68%

Ce résultat montre que les contrats diversifiés sont moins contraignants pour l’assureur dans la réglementation future que dans celle qui est en vigueur. Ce résultat conforte l’idée que les contrats diversifiés ont un rôle important à jouer dans l’Épargne. Enfin, si nous introduisons ce résultat à une étude menée par le cabinet de conseil Milliman pour AG2R LA MONDIALE, nous avons également la confirmation que les contrats diversifiés sont des produits d’épargne qui se situent entre les contrats en Unités de Compte et les contrats en euros Classiques. Les résultats de cette étude sont présentés ci-dessous : Il est vrai que ce dernier résultat ne prend pas en compte tous les risques qui s’appliquent aux contrats diversifiés. D’ailleurs, afin de compléter cette étude, nous pouvons faire une

0.60% 0.68%

1.10%

1.43%

2.50%

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

Exigence du Capital (SCR) en fonction des Provision s Techniques

UC sans Garantie Contrats Diversif iés Contrats en €-TMG0%

Contrats en €-TMG1% Contrats en €-TMG2,5%


113

approximation du dernier ratio obtenu, en intégrant le risque de dépenses (SCRExpenses) qui est un sous module du risque Vie. Ce risque correspond à l’augmentation des frais liés à l’activité d’assurance. Il se calcule en augmentant les dépenses futures et le taux d’inflation par rapport aux anticipations. Pour estimer ce risque, nous utilisons l’étude fournie par Milliman dans laquelle le risque de dépenses pour un contrat d’épargne représente 20% du SCR global. En tenant compte de ce pourcentage, nous obtenons un nouveau SCR et donc un nouveau ratio des exigences de capital en fonction des provisions techniques :

SCRExpenses = 28 848 €

Ainsi, le risque Vie est modifié puisque nous intégrons ce résultat et nous avons une nouvelle matrice de corrélation de ce risque :

CorrLife Mortalité Longévité Rachats Dépenses

Mortalité 1

Longévité -0,25 1

Rachats 0 0,25 1

Dépenses 0,25 0,25 0,5 1

( ) =

×

−−

×=

28848

60098

0

2036

15,025,025,0

5,0125,00

25,025,0125,0

25,0025,01

288486009802036LifeSCR 78 811 €

Le BSCR, SCROp et le SCR global deviennent alors :

( )

×

×=

78811

61574

125,0

25,017881161574BSCR = 111 485 €

( ) ( ) ==×= 64242;33446min64242;1114853,0minOpSCR 33 446 €

SCR = BSCR + SCROp = 144 931 €

Si nous calculons de nouveau le rapport entre le SCR et les provisions techniques, nous obtenons :

SCR/BE = 144 931 / 18 379 487 = 0,79%


114

0.60%0.79%

1.10%

1.43%

2.50%

0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

Exigences du Capital (SCR) en fonction des Provisio ns Techniques

UC sans garantiesContrats diversifiés avec estimation du risque dépensesContrats en €-TMG0%Contrats en €-TMG1%Contrats en €-TMG2,5%

L’estimation du risque de dépenses renforce la position des contrats diversifiés entre les contrats en unités de compte et les contrats en euros. Cette dernière partie a permis de donner une vision globale des contrats diversifiés sous l’angle de la nouvelle réglementation à venir. En dépit des différentes hypothèses du modèle, de l’interprétation des spécifications techniques et de la sous évaluation du SCR liée à nos simplifications et estimations, nous avons pu quand même déceler le potentiel des contrats diversifiés. Comme améliorations, nous pouvons penser par exemple au calcul du Best Estimate en faisant la distinction entre les rachats dynamiques et les reversements et la prise en compte du risque de spread pour les obligations corporate. Enfin, nous avons choisi de ne traiter dans cette dernière partie que l’évolution de la valeur de la part de provision de diversification comme mode d’attribution de la participation aux bénéfices. Il serait intéressant, afin d’approfondir l’étude des ces contrats sous la prochaine réglementation, de tester également la revalorisation des engagements en euros comme attribution de la participation aux bénéfices.


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Conclusion Cette étude a permis de définir le cadre d’un outil de modélisation spécifique à la gamme des contrats d’assurance sur la vie diversifiés au sein d’AG2R LA MONDIALE. Elle a permis à cette occasion de démontrer le potentiel de cette nouvelle offre d’assurance sur la vie en termes d’offres produits, de stratégies d’investissement et de participations aux bénéfices. La modélisation ayant été réalisée, nous n’avons pu qu’explorer le contour de cette piste prometteuse. Cela dit, le modèle que nous avons mis en place a permis de montrer que les contrats diversifiés ont une grande place à jouer dans l’Épargne des Français, que ce soit dans la réglementation actuelle ou future. En effet, les résultats en termes de rentabilité pour l’assuré ont prouvé le côté attractif de ces placements, capables de fournir des rendements supérieurs à ce qui se fait aujourd’hui pour des contrats en euros classiques et qui sont moins risqués que des contrats en unités de compte. Il revient aux assureurs de rendre ces produits d’épargne attractifs en familiarisant les assurés avec le concept et la mécanique des contrats diversifiés et en montrant leur avantage par rapport aux produits structurés. Les assureurs ont ainsi les moyens de développer le marché de l’assurance vie. Cette étude a par ailleurs montré que les assureurs qui développent ces contrats sont en mesure d’attendre des rendements avantageux ce qui devrait favoriser leur développement et leur essor parmi les produits d’Épargne actuels. De plus, les caractéristiques de ces contrats fournissent à l’assureur de multiples stratégies en termes d’attribution de la participation aux bénéfices ou d’allocations financières ce qui constitue un challenge intéressant. Ce développement devrait être accentué par l’entrée en vigueur de la nouvelle réglementation Solvabilité 2 à horizon de 2013. En effet, la modélisation a permis de déceler a priori un avenir prometteur pour les contrats diversifiés mais qui demandent cependant à être approfondi. Nous avons ainsi pu montrer que les contrats diversifiés sont moins contraignants pour l’assureur sous Solvabilité 2 puisque l’exigence de capital qui est requis pour cette future réglementation est nettement inférieure à celle qui est demandée actuellement. Enfin, durant cette étude nous avons été contraints de choisir des hypothèses ou d’interpréter les textes relatifs à ces contrats. Ces différents choix sont autant d’axes d’amélioration pour les études futures sur les contrats diversifiés. Nous pouvons penser qu’il serait intéressant par exemple de déterminer une allocation financière optimale pour chaque stratégie d’attribution de la participation aux bénéfices qui maximiserait les rendements de l’assuré et de l’assureur. Dans l’univers Solvabilité 2, nous n’avons pas pris en compte la marge pour risque dans le calcul des provisions techniques et nous avons du simplifier et parfois estimer le Capital de Solvabilité Requis. Il est évident que la multitude de paramètres qui agissent dans le fonctionnement de ces contrats et les différentes améliorations à apporter à notre modèle sont autant de sensibilités à combiner afin d’affiner les résultats entrevus lors de ce mémoire., résultats qui se sont avérés cependant prometteurs.


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Annexes : Annexe I : Textes réglementaires Article L142-1 : Création des contrats d’assurance vie diversifiés Les entreprises d'assurance sur la vie sont autorisées à contracter, sous la forme de contrats d'assurance de groupe tels que définis à l'article L. 141-1, dans les conditions prévues au présent chapitre, des engagements relatifs à un contrat relevant du chapitre III et de la section II du chapitre IV du présent titre et des engagements en cas de vie ou en cas de décès non liés à la cessation d'activité professionnelle, à l'exception d'engagements d'assurance temporaire en cas de décès, qui donnent lieu à la constitution d'une provision destinée à absorber les fluctuations des actifs du contrat et sur laquelle chaque adhérent détient un droit individualisé sous forme de parts. Extrait de l’Article R331-3 : Création de la provision technique de diversification

Les provisions techniques correspondant aux opérations d'assurance sur la vie, d'assurance nuptialité-natalité, et aux opérations de capitalisation sont les suivantes :

[…]

9° Provision de diversification : pour les contrats mentionnés à l'article L. 142-1, provision destinée à absorber les fluctuations des actifs du contrat et sur laquelle chaque adhérent détient un droit individualisé sous forme de parts. Cette provision est abondée par tout ou partie des cotisations versées par les adhérents et par la part des résultats du contrat qui n'est pas affectée sous forme de provision mathématique. Elle se réduit par imputation des pertes, par imputation de frais, par prélèvements au titre des prestations servies et par conversion des parts des adhérents en provision mathématique.

Un engagement ne peut être provisionné qu'au titre d'une seule des catégories mentionnées au présent article. Article R142-2 : Affectation des cotisations perçues par l’assureur

I. - Les cotisations versées sur un contrat relevant de l'article L. 142-1, nettes de frais, sont affectées à l'acquisition de droits individuels relatifs à des engagements de rentes, y compris immédiates, ou de capital exprimé en euros, et à l'acquisition de parts de provision de diversification.

Le contrat prévoit la part des cotisations versées, nettes de frais, qui est affectée à l'acquisition de droits individuels relatifs à des engagements exprimés en euros.

Pour les engagements exprimés en euros, le montant du capital ou de la rente garantie, payables au terme prévu par le contrat, est fixé par ce dernier dans la limite d'un montant déterminé selon des tables et des taux définis par arrêté du ministre en charge de l'économie.


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La provision mathématique est calculée d'après des taux d'intérêt et des tables de mortalité déterminées dans des conditions et limites fixées par arrêté du ministre chargé de l'économie.

Le calcul s'effectue par rapport à la date d'échéance prévue à l'adhésion ou, pour les contrats de rente viagère, par rapport à la date prévue au contrat de liquidation des droits en rente. La part de la cotisation qui n'est pas affectée à la provision mathématique est portée au compte de l'adhérent en parts de provision de diversification.

II. - Il est précisé à chaque adhérent en caractères très apparents dans le certificat d'adhésion le terme de l'engagement s'appliquant à ladite adhésion, ou la date de liquidation des droits individuels en rentes : ceux-ci peuvent être prorogés sur l’initiative de l'adhérent par avenant à l'adhésion, mais ils ne peuvent, à l'exception des contrats mentionnés à l'article L. 143-1, être avancés. Le contrat détermine les conditions d'une telle prorogation ou d'une telle anticipation par avenant, ainsi que les modalités de celle-ci.

III. - En application de l'article L. 160-3, les engagements peuvent également être exprimés en devises.

IV. - Les cotisations versées au titre d'un contrat mentionné à l'article L. 141-1, nettes de frais, peuvent être affectées pour partie à des engagements exprimés en unités de compte et pour partie à des engagements relevant de l'article L. 142-1 : les engagements en unité de compte, conformément aux articles R. 332-5 et R. 342-1, font l'objet d'un enregistrement comptable distinct de celui mentionné à l'article L. 142-2. Article A142-1 : Calcul de la provision mathématique pour les contrats diversifiés

Pour l'application de l'article R. 142-2 et du I de l'article R. 142-9 :

a) Par dérogation au 1° de l'article A. 331-1-1, les provisions mathématiques des adhérents sont calculées, pour chaque inventaire, d'après un taux au plus égal à 75 % du taux moyen des emprunts de l'État français calculé sur une base semestrielle, sans pouvoir dépasser, au-delà de huit ans, le plus bas des deux taux suivants :

3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus ;

b) Les tarifs sont pratiqués conformément à l'article A. 335-1 ;

c) Les provisions mathématiques peuvent être calculées d'après un taux différent de celui retenu pour l'établissement du tarif. Et aussi : Articles L142-2 à L142-5 Articles R142-1 et R142-3 à R142-12


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Annexe II : Copies écran Modèle

� Feuille des scenarios

� Feuille des paramètres


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� Feuille du Bilan des contrats

� Feuille du Compte de Résultat de l’assureur


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Annexe III : Scénarii financiers Un générateur de scenario a été développé sous la plateforme MoSes permettant de modéliser des scenarii en Risque Neutre et en Monde Réel. Ce générateur permet la génération des taux et rendements suivants :

o Taux d’intérêts ; o Rendement des actions ; o Rendement de l’actif immobilier ; o Enfin, évolution du taux monétaire.

La modélisation Risque Neutre est mise en place afin que les scenarii soient « Market Consistent » et conformes aux principes de calcul d’une MCEV tandis que la modélisation Monde Réel est une approche de modélisation permettant le calcul d’une EEV. Nous allons expliquer par la suite ces deux approches. a. Modélisation Risque Neutre

• Modèle de taux d’intérêt Le modèle qui est retenu pour modéliser l’évolution des taux d’intérêt est le modèle de Hull&White à 1 facteur. Ce modèle a été choisi pour sa relative simplicité mais aussi parce qu’il s’agit d’un modèle d’arbitrage couramment utilisé en finance pour pricer des instruments dérivés de taux. De plus, il est calibré sur l’ensemble de la courbe des zéros coupon observée aujourd’hui. Enfin, le modèle à un facteur, plutôt que celui à deux facteurs, est utilisé car il suffit à capter le risque de translation des taux d’intérêt qui est le principal risque de taux pour AG2R LA MONDIALE. Le prix des obligations à une date t est donné par l’équation suivante :

( ) )(),(),(, trTtBeTtATtP −= (1)

où

a

eTtB

tTa )(1),(

−−−= (2)

et

( ) ( )14

1),0(ln),(

),0(

),0(ln),(ln 222

3−−−

∂∂−= −− atataT eee

at

tPTtB

tP

TPTtA σ (3)

Ces trois équations définissent le prix d’obligations zéro-coupon à une date t future pour une durée T. Ce prix dépend du taux court à la date t, noté r(t) et du prix des obligations zéro-coupon aujourd’hui, noté P(0,t) ou P(0,T). Le prix des obligations zéro-coupon aujourd’hui est déterminé à partir du taux zéro-coupon aujourd’hui récupéré sur le site de Bloomberg. En revanche, le taux court est donné par l’équation suivante :


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)²1(²2

²)(),0()(

0

)( att

sta ea

sdWetftr −−− −+−= ∫σσ (4)

où a et σ sont deux paramètres du modèle. Ils sont calibrés de façon à retrouver, à une marge d’erreur près, la valeur de marché réellement observée d’instruments financiers reflétant au mieux le risque de taux d’AG2R LA MONDIALE (swaptions sur swap de taux 10 ans). (W(s)) est un pont brownien standard. Pour rappel, un pont brownien standard sur [0,1] est le processus du mouvement brownien standard {Xt ,t ≥ 0}conditionné par X1 = 0. Enfin,

),0( tf est le taux forward instantané déterminé à t = 0 et commençant à t. Il se déduit de la courbe des zéros coupon observée aujourd’hui par la formule suivante :

t

tRttR

t

ttR

t

tPtf

∂∂×+=

∂×∂=

∂∂−= ),0(

),0()),0((),0(ln

),0( (5)

où ),0( tR est le taux zéro coupon aujourd’hui pour une durée t obtenu sur le site de Bloomberg. Grâce à ces équations, le taux d’intérêt, noté i, est donné par la formule suivante :

1),(1

−=−TTtPi (6)

• Modèle de rendement action

Le prix des actions est simulé par un mouvement brownien géométrique (modèle de Black&Scholes) dont la formule est la suivante :

( )taatt dWdtdSdS σµ +∗−×= )( (7)

où aµ est le taux de rendement moyen attendu par l’action, d est le taux des dividendes

attendus et aσ la volatilité des prix de l’action. Ainsi sous la probabilité risque neutre, nous

avons :

( )tattt dWdtdrSdS σ+∗−×= )( (8)

où tr est le taux court à la date t comme il a été décrit dans le paragraphe précédent. On

obtient pour un pas de temps suffisamment petit noté ∆ une écriture discrétisée de la dernière équation :

( ))1,0()()1( NdrSSS annnn ∆+∆∗−×=− ∆∆∆+∆ σ (9)

L’équation (5) ainsi obtenue permet de générer les trajectoires de prix de l’action au cours du temps. Enfin, le taux de dividendes attendu et la volatilité des prix de l’action sont des


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paramètres qui sont calibrés sur les données de marché qui reflètent le mieux le portefeuille d’AG2R LA MONDIALE.

• Modèle de rendement Immobilier Le modèle utilisé pour simuler le prix des titres immobiliers est similaire à celui du prix des actions. Il s’agit d’un mouvement brownien géométrique, modèle de type Black&Scholes. La formule est la suivante :

( )tiitt dWdtlSdS σµ +∗−×= )( (10)

où iµ est le taux de rendement moyen attendu de l’immobilier, l les loyers moyens attendus

exprimés en pourcentage du prix de l’actif et iσ la volatilité des prix de l’immobilier. De la

même façon, sous la probabilité risque neutre, nous pouvons écrire :

( )tittt dWdtlrSdS σ+−×= )( (11)

où tr est le taux court à la date t. Nous pouvons également discrétiser la formule précédente

afin d’obtenir une équation qui permet de générer les trajectoires de prix de l’immobilier au cours du temps :

( ))1,0()()1( NlrSSS innnn ∆+∆−×=− ∆∆∆+∆ σ (12)

Les paramètres du modèle que sont le loyer moyen attendu noté l et la volatilité des prix des actifs immobiliers notée iσ sont calibrés de la même façon que pour le modèle de prix des

actions, de telle sorte à refléter au mieux le portefeuille immobilier d’AG2R LA MONDIALE.

• Modèle de rendement monétaire Par absence d’opportunité d’arbitrage, le rendement monétaire s’obtient grâce au facteur d’actualisation. La formule du facteur d’actualisation est la suivante :

( ) ∫−=+

=T

sTdsr

TRTactudFacteur

0

)exp(),0(1

1)(' (13)

où R(0,T) est le taux zéro coupon d’échéance T et commençant à t = 0 et sr le taux court.

Ensuite, afin d’obtenir de meilleures estimations des facteurs d’actualisation annuels, il est préférable d’appliquer une discrétisation mensuelle. Si l’on applique une discrétisation, la formule (9) est équivalente à :


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)exp()(_0∑

=

−=T

k

krTactufacteur (14)

où rk est le taux court annuel et k est un pas annuel. Enfin, si l’on applique un pas de temps mensuel, le facteur d’actualisation s’écrit :

−=

∑=

12exp)(_

*11

012/

T

llr

Tactufacteur (15)

où rl/12 est le taux court mensuel. Ainsi, avec cette dernière équation, nous pouvons définir le taux de rendement monétaire :

11)(_

)12(_exp)( −

−−=

tactufacteur

tactufacteurtireTauxMonéta (16)

b. Modélisation monde réel

Comme nous l’avons expliqué en introduction de ce paragraphe, la modélisation en « monde réel » permet le calcul d’une EEV. Les modèles utilisés dans cette approche ne sont plus en probabilité risque neutre mais en probabilité historique. Cependant, ce changement de probabilité n’entraîne pas de changement dans les modèles utilisés. En revanche, le calibrage des différents paramètres est différent.


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Bibliographie • Autorité de Contrôle Prudentiel Orientations Nationales Complémentaires aux Spécifications Techniques « Solvabilité II – 5ème étude d’impact » (2 août 2010) • BEHAR Thomas, BERNAY André Support de cours : Fonds de Pension, Gestion Actif-Passif • CHEVALIER Jacques Support de cours : Mathématiques Financières • COHEN Arnaud Comprendre les nouveaux contrats d’assurance diversifiés pour apprécier leurs perspectives de développement • Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors - QIS5 Technical Specifications (5 juillet 2010) - Errata to the QIS5 Technical Specifications (10 août 2010) • DEVINE Isabelle Étude d’un contrat d’assurance-vie diversifié - Mémoire Euria-Institut d’Actuariat (2008) • Diagnostics Prévisions et Analyses Économiques N°114 Assurance Vie et Contrats Diversifiés (Juillet 2006) • LE BERRIGAUD Nicolas Les contrats diversifiés : fonctionnement, allocation d’actif et valorisation de l’utilité-Mémoire ISFA (2009) • MOIRE Thierry Engagement en cas de vie sur supports à capital variable et contrats diversifiés-Mémoire CNAM (2008) • Pôle « Finance Innovation » Premier livre blanc – L’innovation dans l’assurance (2010) • Rapport Annuel FFSA 2008 et 2009 L’assurance de personnes • SAUVAGEOT Georges La Finance. Repères Pratiques, NATHAN • Sites internet www.ffsa.fr www.ceiops.eu www.legifrance.gouv.fr www.banque-France.fr

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Memoire v0 vince - ressources-actuarielles.net · Résumé La loi du 21 août 2003 portant réforme des retraites, puis la loi du 26 juillet 2005 pour la confiance et la modernisation