Sur les groupes doublement transitifs continus

Sur les groupes doublement transitifs continus

P a r J . T r r s l ) , B r u x e l l e s

1. Introduction

1 . 1 . G d n d r a l i s a n t u n r d s u l t a t q u e j ' a v a i s o b t e n u a n t d r i e u r e m e n t

[16], M. H . F r e u d e n t h a l a r d c e m m e n t d ~ m o n t r d le t h d o r ~ m e s u i v a n t

(cf. [312)) :

T h b o r ~ m e 1. Soit G un groupe triplement transiti] continu op&ant sur un espace topologique E 3) localement compact, non totalement discontinu et satis/aisant au premier axiome de ddnombrabilitg. I l existe un homgomor- phisme qJ de E sur la droite projective rdelle ou complexe, tel que le trans]ormd q~ G ~o -~ de G par q~ coincide avec le groupe de routes los trans/ormations homographiques y -~ (a. x ~ b)/(c, x ~- d ) , a . d - - b . c r O.

I1 e s t n a t u r e l de se d e m a n d e r q u e l s s e n t , s o u s les m g m e s c o n d i t i o n s ,

t o u s les g r o u p e s d o u b l e m e n t t r a n s i t i f s e o n t i n u s e x i s t a n t s 4)? L a r 6 p o n s e

c e t t e q u e s t i o n e s t d o n n d e p a r le t h d o r ~ m e s u i v a n t :

T h ~ o r b m e 2. Soit G u n groupe doublement transiti/ continu op&ant sur un espace topologique E localement compact, non totalement discontinu et satis/aisant au premier axiome de ddnombrabilitg. I1 existe un hom~omor- phisme q~ de E sur l'ensemble des hombres rdels, des hombres complexes ou

1) Chargd de Recherehes du F. N. R. S., Bruxelles. ~) En rue de la suite, nous 6non~ons co th6or~me sous une forme l~gibrement diff6ronto

de celle qui lui est donn6e par M. Freudenthal; l'4quivalence des deux ~none4s r~sulte imm6diatement d'une proposition d6montr~e au w 3.3.

a) La d6finition des groupes triplement transitifs continus operant sur un espace topologique est tout-k-fair analogue k cello des groupes doublement transitifs continus, donn~e au w 3.2. Pour une ddfinition explicite on pout so reporter/t [16].

a) Rappelons (cL [17], chapitre IV, et aussi [16], introduction) ClUe pour n > 3, il n'existe aucun groupe n-uplement transitif (or afortiori aucun groupe n-uplement transitif eontinu) operant sur un espace d'uno infinit6 de points. Notons aussi que la recherche des groupos simplement transitifs continus existants est ~quivalente k la recherche des groupes topologiques.

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des quaternions, tel que le trans/orm$ q) G q)-i de G par q) coincide avec le groupe de routes les trans/ormations lind~aires y ~ a. x ~ b, a =/= O.

Dans le cas par t icul ier oh l ' on fa i t l ' hypoth~se que E est une vari6t4 une dimension, ce th~or~me est contenu dans les t r a v a u x de M. L. E. J .

Brouwer [1 ] ; pou r les vari~t4s h deux dimensions il a ~t~ d6montr6 pa r Ker~k jh r t6 [7], qui a aussi obtenu, dans [8], un r6sul ta t plus prdcis que celui du th~or~me I I pour le cas unidimensionnel , h savoir :

G ~tant un groupe daublement t rans i t i /de trans/ormations biunivoques et bicontinues de la droite enclidienne, il existe un homdomorphisrne q~ de la droite sur elle-m~me tel que le trans/ormg q~ G ?~-1 de G par ~ coincide avec le groupe de routes les simili tudes (c'est-~-dire avec le groupe de routes les trans/ormations lindaires y : a. x -4- b, a ~: 0).

L ' o b j e t pr incipal du pr6sent art icle est la d~mons t ra t ion du th~or~me I I dans le cas g~n6ral. Dans ce t te d6mons t ra t ion , j 'ut i l ise essent ie l lement les propri6t~s des groupes ~ deux bouts , don t la s t ruc tu re a 6t6 compl~te- m e n t ddtermin~e p a r M. K. I w a s a w a [4] e t i n d d p e n d a m m e n t pa r M. Freu- den tha l [3] (qui se ser t de ses r~sul ta ts dans sa d6mons t ra t ion du th6o- r~me 1), ainsi que d ' u n th~or~me de M. F. Ka l scheuer [5] carac t6r i sant les corps des nombres rgels, des hombres complexes e t des qua te rn ions c o m m e 6ran t les seuls (<presque-corps>> ~) cont inus a y a n t le corps des nombres r~els c o m m e corps de base.

1.2. D ' ap r~s Pon t r j ag ln [12], t ou t corps topologique loca lement c o m p a c t e t connexe es t i somorphe au corps des nombres r~els, des hombres complexes ou des quaternions . Au w 5, je mont re , ~ t i t re d ' exemple d ' app l i ca t ion du th6or~me 2, clue si l ' on a jou te aux hypothbses de ce th6or~me de P o n t r j a g i n le p remier ax iome de ddnombrabih t~ , on peut , sans changer le rdsul ta t , y r emplace r les corps pa r des sys tbmes alg6briques plus gdn6raux que je n o m m e pseudo-corps (cf. th6orbme 5). Si l 'on se res t re in t ~ la considdrat ion des presque-corps , qui sont cas par t icul iers des pseudo-corps , le rdsu l ta t pr6c6dent es t suscept ible d ' une ddmons t ra t ion

5) Par presque.corps, nous entendons ici un ,presque-corps complet* (vollst~ndigcr Fastk(~rper) au sens de M. H. Zassenhaus [18], c'est-k-dire un ensemble E tel que

a) les 61~ments de E forment groupe par rapport k une op6ration d'addition ( + ), dont nous appellerons 0 l'616ment neutre;

b) les ~l~ments non nuls de E forment groupe par rapport h une operation de multiplication ( - ) e t o n p o s e , e n o u t r e , 0 . a = a . 0 ~-- 0;

c) la multiplication est distributive ~ gauche par rapport k l'addition: a. (b + c) ~ - a . b + a . c .

Si le groupe additff de E est un groupe vectoriel sur un corps commutatff K, nous disons, avec M. Kalscheuer, que le pseudo-corps E a K comme corps de base.

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direete, ind~pendante de l 'hypoth~se de d6nombrabi l i t~ (ef. w 5 . 6 ) ; on a done le

Th6ori~me 3. Tout presque-corps topologique localement compact et non totalement discontinu est isomorphe au corps des hombres rgels, des hombres complexes ou des quaternions qui renferme comme eas part ieul iers le th6or~me de Pon t r j ag in et, essent ie l lement e), le th6or~me de Kalscheuer (qui est d 'a i l leurs utilisd dans la d6monstra t ion) .

1.3. Lorsque l ' espaee E est de dimension finie, le th~or~me 1 est susceptible d ' une d6mons t ra t ion par t icul i~rement simple qui fair l ' ob je t du w 6 ; si je reviens ici sur un eas par t ieul ier d ' u n th~or~me d6js eonnu, ce n ' e s t pas seu lement pour la raison indiqu6e, mais aussi paree que la d6mons t ra t ion en quest ion repose sur un thdor~me auxiliaire, 6noned ei- apr~s, qui peu t presenter pa r lui-m~me un cer tain int6r6t :

Th~ori~me 4. Soit G u n groupe localement compact, connexe, de dimension finie et satis/aisant au deuxi~me axiome de ddnombrabilit& Si G poss~de un automorphisme involuti/ a ((r ~ -~ identitd) dont lu unitd de G est un point f ixe isolg, G eat un groupe abglien et a est l'automorphisme qui /air correspondre ~ tout dldment x de G son inverse x -I 7).

I1 peu t 6tre utile de no te r que, dans tous les eas, le thdor~me 1 est une consequence presque immed ia t e du th~or~me 2.

2. Les groupes doublement transitifs: D~finitions et propri~t6s g~nbrales 8)

2.1. D~/initions. Un groupe de t r ans fo rma t ions 9) d ' u n ensemble donn6 quelconque E est doublement transiti/ s'fl existe une et une seule t r ans fo rma t ion du groupe t r a n s f o r m a n t deux 616ments donn6s dist incts p et q de E en deux ~l~ments donngs dist inets pl e t ql de E , e t cela quels que soient les couples p , q e t pr, q~.

Dans la suite, E e t G d6signeront r e spee t ivement un ensemble queleonque e t un groupe doub lemen t t rans i t f f op6ran t sur cet ensemble. Les dl6ments de E seront nommds points.

e) Pour plus de pr6cision sur ce point, voir w 5.7. 7) Je dois l'~nonc6 de ce th~orSme ~ une suggestion de M. A. Borel qui m'a fair remar-

quer que si un groupc de Lie jouit des propri6t6s indiqu~es, il est n6cessairement ab61ien, comme on s'en apper?oit imm6diatement si l'on traduit ces propri6t6s en termes d'alg~bre de Lie.

s) La plupart des notions et des propositions de cette seconde partie sont indiqu~s daws [17] (eL chapitre II, w A 2, et w B, remarque 2).

0) Nous r4serverous ici le terme ,transformation, pour d~signer une application biunivoque d'un ensemble sur lui-m~me.

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2.2. Une transformation appartenant ~ G sera dite involutive si ere est cyclique d'ordre 2; fl en est ainsi de route transformation T de G qui ~change deux points distincts quelconques (parce que T 2 conserve alors ces deux points e t e s t done la transformation identique, en vertu de la double transitiv6 de G). Les transformations involutives seront encore appel~es involutions.

2.3. Deux involutions quelconques I e t 11 sont conjugudes (c'est-~- dire qu'il existe au moins une transformation T appartenant ~ G telle que T I T -1 -~ 111~ En effet, soient p et q (respectivement p~ et qr) deux points distincts se correspondant dans l'involution I (respectivement 1 I) et T la transformation de G qui transforme p en pl et q en ql ; la transformation T I T -~ 6change p / e t q/, et n'est autre que I (

En particulier, les involutions de G ont routes un ou routes zdro point uni. Suivent le cas, nous dirons que le groupe G est de premiere ou de seconde esp~ce.

2.4. Si G est de premiere esp~ce, il existe une et une seule involution ayant pour point uni un point donn6 u. Supposons en effet qu'il en existe deux, I e t 1 I, et soient p u n point quelconque, distinct de u, et T la transformation qui conserve p e t qui transforme I p en I I p ; T transforme I en ]/, donc elle conserve u ; conservant p et u elle ne pout ~tre que la transformation identique, et I ~ I r.

I1 r~sulte de la propri~td prdc~dente que si G est de premiere esp~ce, les involutions sont simplement transitives sur E (c'est-~-dire que deux points donn~s quelconques, distincts ou confondus, sont ~changds par une et une seule involution). Cette conclusion reste valable lorsque G est de deuxi~me esp~ce si l'on convient, dans ce cas, de considdrer la transformation identique comme une involution, ce que nous ferons toujours par la suite.

2.5. Opdrations d' addition et de multiplication assocides. Choisissons dans E deux points distincts, fixds une fois pour toute, que nous nommerons respectivement 0 et 1. Dans la suite, I0 ddsignera l'unique involution conservant 0.

Nous apeUerons translations les transformations de la forme IIo, oh 1 d~signe une involution quelconque ; elles sont simplement transitives sur E puisque les involutions le sont (cf. w 2.4).

10) Notone, pour 6vi ter une confus ion 6ventuel le , que d a u s [14], [15] e t [17], nous employ ione le m o t *conjugu6 * dane u n seus diff6rent de celui qui lui es t donn6 ici.

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2 . 6 ,

2.7. 1 e n a ; en b.

Nous apeUerons encore hqmoth~ie811) les t ransformat ions de (7 qui conservent 0 ; elles sont s implement t ransi t ives sur E -- 0.

Soient a e t b deux points quelconques. I1 existe une e t une seule trans- lat ion t r ans fo rman t 0 en a ; elle t ransforme b e n un point que nous nommerons s o m m e de b e t de a e t clue nous d6signerons par b A- a . Si a est diff6rent de 0, fl existe une e t une seule homoth6t ie t r ans fo rmant 1 en a ; elle t ransforme b e n un poin t que nous nommerons produ i t de a e t de b et que nous ddsignerons par a . b . Lorsque a = 0, nous poserons par d~finition a . b = 0, quel que soit b.

Les opdrat ions de somme e t de produi t seront nomm~es respeet ivement addi t ion e t mult iplication.

O n a O + a = a + O = a = a . l = l . a et a . 0 = 0 . a = 0 .

y = a . x (a # 0) est l 'dquat ion de l 'homothdt ie qui t ransforme y = x -t- b e s t l '4quat ion de la t rans la t ion qui t ransforme 0

Tou te t rans format ion T appa r t enan t s G est d 'une et une seule fagon produi t d 'une homoth6t ie par une t rans la t ion ; en effet, si U est la t ranslat ion qui t ransforme 0 en TO, la t ransformat ion V = T -1 U est une homothdt ie e t on a T ~ - UV. P a r consdquent, y ~ - - - a . x + b (a : / :0) est l 'dquat ion de la t ransformat ion la plus gdndrale appa r t enan t ~ G.

2.8. Les homothdt ies fo rmen t groupe. I1 en rdsulte que les points diffdrents de 0 fo rment groupe par r appor t ~ la mult ipl icat ion (le p rodui t est associatif e t t ou t point a ~: 0 poss~de un inverse a -1 tel que a . a -~ -~- a - l . a --~ 1).

2.9. La t ransformde V = T U T -1 d 'une t rans la t ion quelconque U = I i o (voir w 2.5) par une homothdt ie T e s t une t rans la t ion ; en effet, Io est eonservde pa r T (dtant l 'unique involut ion qui conserve 0), e t la t ransform6e de I par T e s t une involution. Soient U - - y = x + b et T -= y = a . x (a # 0) ; alors V = T U T -~ t ransforme 0 en a . b , done V =~ y = x -f- a . b , et la re la t ion T V --- U T peut s'derire a . x A-- a . b

= a. (x A- b), c 'est-~-dire que la mult ipl icat ion est dis tr ibut ive/~ gauche par r appor t s l 'addit ion.

2.10. a 6 tant un po in t quelconque, nous d6signerons pa r - - a son t ransform~ pa r I0 e t nous ~crirons, quel que soit b, b + ( - - a ) ----- b -- a . Lorsque le groupe G est de deuxibme esp~ce (cf. w 2.3), on a - - a = a .

11) Les homoth6ties correspondent ~ ce que nous avions appel6 dans [14] et [17] propor- tionnalitfs.

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On a, quel que soit a , - - ( - - a ) ----- a , e t ( - - 1) .a --~- a . ( 1 - - 1) = - - a ; en par t ieul ier ( - - 1) 8 ~-- 1.

L ' inve r se d ' une t rans la t ion U -~ I Io est une t rans la t ion ; en effet, on a U -z --- I o I = ( Io l Io ) Io , et I o l Io est une involut ion. De fa~on plus prdeise, si U -~ y ----- x A- b, U -1 ~ y ---= x - - b, e'est-/~-dire qu ' on a, quels que soient x e t b, (x A- b) - - b = x .

2.11. Deux translations sont permutables si et seulement si leur produit est une translation. E n part icul ier , si les translations /orment groupe, ce groupe es$ abglien et r&iproquement, si les translations so'at deux d deux permutables, elles /orment groupe.

E n effet, soient U ---- I i o e t U ~-- 1 I I0 les deux t rans la t ions consi- d~r~es. P o u r qu ' on a i t UU ~ : UIU , c 'est-~-dire I I o I I I o : 1 / 1 0 / / o , il f a u t e t il suffit que I I o I ~ ----- 11IoI , ou encore que I / o I / ~-- ( / /0 I~) -1, e 'es t-~-dire que I I o I ~ soit une involut ion, done que U U I ~ I I o l l I o soi t une t rans la t ion.

2.12. Notons qu ' en ve r tu de 2 .9 (loi de d is t r ibut iv i t~ ~ gauche), si on a (x -}- a) ~ b ----- (x -}- b) ~ a , quels q u e s o i e n t x e t b, pour une va leur d o n a t e non nulle de a , ce t te re la t ion res te sat isfai te quel clue soit a . Done, en ve r tu de 2.11,

S' i l existe une translation (di/fgrente de la translation identique) qui est permutable avec routes le8 autres, les translations/orment groupe et ce groupe est abdlien ; l' addition est alors commutative et associative.

2.13. Bien qu ' i l n ' e n soit pas f a r usage p a r la suite, nous signalerons encore la propri~t6 su ivan te :

S i la multiplication associde ~t G est commutative, les translations/orment yroupe et ce yroupe est abdlien.

Soient T ---~ y = x + a e t U -~ y ----- x -}- b deux t rans la t ions quel- eonques e t supposons clue T U ne soi t pas une t rans la t ion , e 'est-~-dire q u ' o n a i t T U - - y = ( x + b ) + a = c . x + d , avee c r

Soit y = x + e (e @ 0) la t rans la t ion qui t r ans fo rme c en 1. E n mul t ip l i an t pa r d-e -x les deux m e m b r e s de la re la t ion c + e ---- 1, il v ien t c. (d. e- l ) + d = d. e-Z.

I1 en r6sulte clue le po in t d .e -1 est uni p o u r T U , e 'es t -s que U e t T -1 t r a n s f o r m e n t d .e -1 en un m~me p o i n t ; les t rans la t ions 4rant s imp lemen t t rans i t ives , on doi t avoi r U = T -1, e t T U est la t ransfor - m a t i o n ident ique, ce qui con t red i t no t re hypoth~se .

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3. Groupes doublement transitih eontinus

3.1. Tons les espaces topologiques eonsiddrds ici seront suppos6s de Hausdorff.

3.2. Dd/inition. Soient E un espace topologique et G un groupe doublement transitif opdrant sur E .

Soit ~ l'espaee des couples de points distincts de E, que nous supposerons muni de la topologie naturelle (induite par la topologie du produit E • dont ~ est un sous-espace). Choisissons dans ~ un 6l~ment fixe (a, b) (couple de points de E) de rdfdrence, et considdrons la correspondance biunivoque entre G e t ~ qui fair correspondre ~ toute transformation T deG le couple (Ta, Tb) (616ment de ~) transform6 de (a, b) par T.

Nous pouvons introduire sur G une topologie caractdris6e par la condition que eette correspondance soit un homdomorphismc. Si, muni de cette topologie, G est un groupe topologique (c'est-~-dire, si les op6rations du groupe sont continues), nous dirons que c'est un 9roupe doublement transiti/ continu opdrant sur E. Lorsqu'il en est ainsi, la topologie en question ne ddpend pas du couple (a, b) choisi, et de plus, G est un groupe topologique de transformations de E au sens de Montgomery et Zippin [11 ] (c'est-s que le transformd Tx d'un point x par une transformation T de G ddpend continument de la paire (T, x)).

3.3. Remarques concernant la dd/initiou pr&gdente. Soient E un espace topologique et G un groupe topologique de transformations de E (au sens de Montgomery et Zippin), et supposons que G soit doublement transitif. Pour que G soit un groupe doublement transitff continu opdrant sur E , au sens du w 3.2, il faut et il suffit (par d6finition) que la transformation T de G qui transforme deux points distincts donnds a et b respectivement en deux points distincts variables x et y, soit fonction continue du couple (x, y). Nous allons montrer que eette condition peut 6tre remplac6e par une condition plus faible ; de fa~on prdcise,

Pour que G soit un groupe doublement transiti/ continu opdrant sur E, au sens du w 3.2, il ]aut et il su//it qu'il existe au moins un couple de points distincts (a , b) tel que Ia trans/ormation de G qui conserve bet qui trans/orme a en un point variable x # b soit/onction continue de x.

Nous devons seulement montrer que la condition est suffisante ; supposons done qu'elle soit remplie et notons imm~diatement qu'eUe reste alors satisfaite lorsqu'on remplace le couple (a, b) par n'importe quel couple de points distincts (en vertu de la double transitivit6 de G). Cela 6tant, soient (a, b) et (x, y) deux couples de points distinets, l 'une fixe,

14 Commentarii Mathematlci Helvetici 209

l 'autre variable ; si x ~= b, la transformation T x de G qui conserve b e t qui transforme x en a d6pend continument de x ; elle transforme y e n un point z qui d6pend continument du couple (x, y). De mgme, la transformation Us de G qui conserve a et qui transforme ben z ddpend continument de z, done du couple (x, y). Par eons6quent, si x # b, la transformation T~ 1 U S de G qui transforme a e t b respectivement en x et y ddpend continument de (x, y) ; pour montrer que ceci reste vrai lorsque x ----- b, il suffit de remplacer le point b par un point diffdrent b r dans tout ce qui prdc~de, et de noter que la transformation de G qui transforme a e t b respectivement en x et y est le produit de la transformation (constante) qui conserve a et qui transforme ben b ~ par la transformation qui transforme a et b r respectivement en x et y.

Notons un coroUaire important de la proposition prdcddente : Soit Gun groupe doublement transiti] topologique de trans/ormations d' une

espace topologique E. Si Ge t E so'at localement compacts et satis/ont au deuxi~me axiome de ddnombrabilitg, G est un groupe doublement transiti[ continu opgrant sur E, au sens du w 3.2.

Soient a et b deux points distinets appartenant s E . Le groupe G a des transformations de G qui conservent a est un sous-groupe fermd de G; il est donc localement compact et vdrifie d 'autre part le deuxibme axiome de ddnombrabilitd. Cela 6tant, considdrons l'application biunivoque de Ga sur E -- a qui applique toute transformation T de G~ sur le point T b, transformd de b par T ; on peut montrer que cette application est un homdomorphisme en reproduisant exactement la ddmonstration donnde par exemple dans Pontrjagin [13] (cf. th6orbme 13, p. 65) du thdorbme de Freudenthal d'aprbs lequel tout homomorphisme eontinu d 'un groupe localement compact satisfaisant au deuxibme axiome de ddnombrabilitd sur un autre groupe remplissant les mgmes conditions est ouvert. La ddmonstration s'ach~ve par application de la proposition prdcddente.

3.4. Soient E un espace topologique et G u n groupe doublement transitif eontinu opdrant sur E.

x, y , x ~, y~, z dtant cinq points quelconques de E tels que x # y e t x ~ =/= y~, la transformation T de G qui transforme x et y respeetivement en x I e t yr ddpend continument du quadruple (x, y, x r, yl), et le trans- form6 Tz de z par cette transformation ddpend continument du quin- tuple (x, y, x ~, y~, z) ; la ddmonstration de ces propridtds est ais6e (cf. par exemple [16], thdorbme 3).

3.5. x dtant un point quelconque de E , nous ddsignerons par I (x) l ' involution d'dldment u n i x (ef. 2.4) ; cette involution ddpend eontinu-

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ment de x. E n effet, soient a e t b deux points fixes distinets quelconques, et supposons qu 'on ai t x =/= a (restriction non cssentielle v u l e caract~re arbi t raire du choix de a) ; I ( x ) est la t ransformde de I (b) par la trans- fo rmat ion de G qui conserve a e t qui t ransforme b e n x, e t celle-ci d6pend con t inument de x.

3.6. Continuitg des opdrations associges ~ G. A y an t choisi dans E deux points distincts 0 et 1, on pout, suivant le paragraphe 2.5, d~finir dans E une addi t ion et une mult ipl icat ion. Soient x e t y deux points quelconques ; l 'homoth6t ie T~ qui t ransforme 1 en x et l ' involut ion I x qui ~change 0 et x d6pendent con t inument de x pour tou t x :/: 0 (en x ----- 0, T~ n 'es t pas ddfinie e t I x peut, a priori, ~tre discontinue) ; il en rdsulte que, saul pout- 6tre au poin t x ~ 0, le produi t x . y ~- T~y et la somme y -~ x -~ I x l o y sont des fonctions continues du couple (x, y) , tandis que l ' inverse x -1 ----- T~ l 1, d6finie seulement pour x r 0, est fonct ion cont inue de x.

E n particulier, le groupe mult ipl icat i f des points de E diff6rents de 0 est un groupe topologique (dans la topologie induite par E).

3.7. S i le produit x . y est ]onction partout continue de x (pour y -~ const) et si G eat de premiere esp~ce (c/. 2 . 3 ) , / a somme y -~ x est /onction partout continue du couple (x, y).

I~ d4signera comme prdc6demment l ' involut ion dchangeant 0 e t x. Si nous appelons u le point uni de l ' involut ion I1, le point uni de I x est x . u . E n ve r tu de 3.5, I~ ddpend con t inument de x. u , done aussi de x, quel que soit x (en ve r tu de l 'hypothbse de continuit~ du produit) . Not re proposi t ion r~sulte alors de l ' identi t6 y 4- x = I ~ I o y .

4. D6monstration du th6or~me $

4.1. Soient E un espace localement compact , non to t a l emen t dis- c o n t i n u e t sat isfaisant au premier axiome de ddnombrabili t6, G u n groupe doub lement t rans i t i f cont inu op6rant sur E , e t 0 e t 1 deux points fixes dist inets appa r t enan t s E .

4.2. E n'est pas compact. Supposons en effet que E soit compac t e t soit {av} (a v r 0) une suite de points convergeant vers 0 ; la suite {a~ 1 } des inverses converge aussi vers 0, car si une sous-suite de {a~-l}, soit {a~l}, convergeai t vers un point p =/= 0, on aurai t l i m a v, : l im Car, 1)-1 : p - 1

Soient I v l ' involut ion 6changeant 1 e t a~, e t b v le t ransform6 de 0 par cet te involut ion. L 'homoth6t ie (cf. w 2.5) qui t ransforme 1 en a~ 1 t ransforme O, a~ e t b~ respoct ivement en O, 1 e t c v -~ a~ -x. b v ; elle t ransforme

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donc I~ en une involu t ion J~ qui dchange a~ t e t 1, e t % e t O. Lorsque v t e n d vers oo, a~ e t a~ 1 t enden t vers O, donc I~ e t J~ t enden t vers l ' involu- t /on I qui 6change 0 e t 1, pa r consdquent b~ ~ I~ 0 e t c~ = J~ 0 t enden t v e r s I 0 = 1, e t a ~ = b ~ . c ~ 1 t end vers 1, ce q u i e s t absurde.

4.3. E eat connexe. Cela rdsulte i m m d d i a t e m e n t du fa i t que E n ' e s t pas t o t a l e m e n t cliscontinu e t poss~de un groupe doub lemen t t rans i t i f d ' homdomorph i smes .

4.4. Soit p un point quelconque de E . Les composantes connexes de E -- p sont en nombre /ini, routes ouvertes dans E , et si C dgsigne l'une

quehxmque d' entre elles, C ~ p n ' est pas compact. Nous supposerons E -- p non connexe. Soient q un poin t d is t inct de p , et O1 un ensemble non vide, ouve r t e t

ferm6 dans E - - q , et ne con tenan t pas p . T o u t ensemble O ouve r t et ferm6 dans E - - p e t con t enan t q cont ient O 1 ; en effet, les ensembles g p O et O1 ont pour fronti~res respect ives dans E les points p e t q ; aucun d ' eux ne con tenan t la fronti~re de l ' au t re , leur intersect ion est sans po in t fronti~re dans E e t est donc l ' ensemble vide (E ~tant connexe). I l r~sulte de ce qui pr6c~de que la p seudo-composan te de q (c 'est-~-dire, l ' in tersect ion de tous les ensembles e o n t e n a n t q, ouver t s et ferm~s) dans

- - p cont ient 01 , e t a donc des points int6rieurs ; pa r raison de t ransi t i - vitY, tolls les po in ts de E - - p son t int~rieurs h leur pseudo-composan te , c 'es t -k-di re que les pseudo-composan tes de E - - p sont ouver tes e t sont donc ident iques aux composan tes connexes ordinaires de E - - p .

Consid6rons un voisinage c o m p a c t U de p , e t soit F sa fronti~re. Les composan tes de E - - p qui ont une intersect ion non vide avec F sont en n o m b r e fini, ear E , d tan t compac t , ne peu t se d6composer en une infinitd d ' o u v e r t s disjoints. Ces composantes , que nous n o m m e r o n s C 1 . . . . . Cr sont les seules eomposan tes de E - - p car s ' il en exis ta i t d ' au t res , celles- ci sera ient contenues dans U (devan t ~tre connexes et avoi r p comme poin t fronti~rc), leurs fe rmetures sera ient donc compac tes ; il en serai t de m~me, pa r ra ison de transitivitY, des fe rmetures des composan tes C1, . . . , C~, e t l ' espace E = U - C1 . . . . . Cr sera i t compac t .

4.5. Le groupe multiplicati / des dldment8 de E di[]erenta de 0 est isomorphe au produit du groupe additi] R des hombres rdeIs par un groupe

compact K . Nons d6signerons pa r C la c o m p o s a n t e connexe de 1 dans E - - O, et

nous n o m m e r o n s b r i~vement ((groupe E - - 0>> ( respec t ivement <(groupe Ca) le g roupe mul t ip l i ca t i f des points de E - - 0 ( respec t ivement C).

212

C ~tant l 'espace d ' un groupe localement compact , connexe et v4vifiant le deuxi~me axiome de d~nombrabilit~, il poss~de au m ax im u m deux bouts (ef. F reuden tha l [2]) ; il en poss~de done exac tement deux car le point 0 e n e s t un (puisque E est connexe) e t ne peut ~tre le seul car C ~ 0 n 'es t pas compact (cf. w 4.4). I1 en r~sulte (cf. [4], th~or~me 5) que le groupe C est isomorphe au produi t R • / de R par un groupe compact connexe K r.

Si E -- 0 est connexe, not re proposit ion est d~montr~e. Si E - 0 n 'es t pas connexe, E est d~connect~ par chacun de ses

po in t s ; il en est donc de m~me de C. Pa r consequent, le groupe K I se r~duit h son ~lSment unit~, C est isomorphe s R, et l 'espace E -- 0 se compose d 'un nombre fini (cf. w 4.4) de composantes hom~omorphes/L R. L 'espace E ~tant homog~ne, ce nombre est ~gal s 2 et le groupe E -- 0 est isomorphe au produi t du groupe R par un groupe cyclique d 'ordre 2.

4.6. Si {av} et (by} sont respectivement une suite convergeant vers 0 et une suite convergente queleonque de points de E , la suite {a~. b~} converge vers 0 ; a u t r e me n t dit, en ver tu de 3.6, le produit x. y est/onction part(rut continue du couple (x, y).

Une suite {av} de points de E diverge (c'est-~-dire, est sans point limite) si et seulement si la suite (a~ ' } des inverses converge vers O.

Si l 'espace E -- 0 est connexe, le groupe E -- 0 s deux bouts qui sont respec t ivement le point 0, e t le bou t l imite de routes les suites diver- genres de E ; les deux proposit ions pr4c~dentes r~sultent alors de propri~t~s classiques des groupes s deux bouts (cf. [2], th~or~mes 8 et 10).

Si E -- 0 n 'es t pas connexe, le groupe E -- 0 est isomorphe au produit du groupe R par un groupe cyelique d 'ordre 2 (cf. w 4.5) ; il est en part iculier abdlien, e t nos deux proposit ions se d~mont ren t aisdment en t enan t compte des r~sultats du w 3.6.

4.7. La somme x ~ y est /onction part(rut continue du couple (x, y). En ver tu des w w 3.7 et 4.6, il nous suffit de consid~rer le cas oh G est de seconde esp~ce (of. w 2.3), c 'est-s le cas oh x : - - x est une iden- titY.

Soient (a~} une suite convergeant vers 0, by ~- 1 + a~, e t T~, U v et V~ les t ransformat ions de G d '~quat ions respectives

y----b~.x , y : b ~ 1 . (x~ -av ) e t y = x - [ - a~ .

U~ t ransforme les points a~, 1 e t b~ respect ivement en les points 0, 1 e t b~ -1 . Lorsque v t end vers 0% av t end vers 0, donc U~ tend vers la trans- format ion identique. En ver tu de la deuxi~me proposi t ion du w 4.6,

213

l 'une au moins des deux suites {by} et {b71} n'est pas divergente. Suppo- sons, pour fixer les iddes, que {by} possbde une sous-suite convergente (by,}, dont le point limite sera ddnotd par b. I1 suit de la relation U~,bv ~ b71 que la suite (bT, 1} converge aussi vers b, donc que b : b -1, c'est-s (puisque G est de seconde espbce) que b ~ 1. Par consdquent, lorsque v tend vers oo, b v tend vers 1, T~ tend vers la transformation identique et fl en est de m~me de V~ ~ T~ U~, ce qui ddmontre notre proposition (en vertu des rdsultats du w 3.6).

4.8. Soit R0,~ le lieu des points de E qui, dans un isomorphisme ddtermind du groupe R • sur le groupe multiplicatif K - 0 (cf. w 4.5), correspond aux dldments de R x K de la forme (r, e), oh r est un nombre r~el quelconque et oh e est l'dldment neutre de K. Ro, ~ est contenu dans le centre du groupe multiplicatff E -- 0.

a et b dtant deux points distincts quelconques de E , l'ensemble Ra,b, transformd de Ro, ~ par la transformation de G qui transforme respectivement 0 et 1 en a et b, jouit des propridtds suivantes (qui sont immddiates lorsque a ----- 0 et b ~ 1, et qui s'dtendent au cas gdndral par raison de transivitd) :

Ra, best connexe, contient b, n'est contenu dans aucun sous-ensemble connexe de E, eta par consdquent une intersection non vide avec la frontibre de tout voisinage compact de b ;

les transformations de G qui conservent a et qui transforment ben un point de Ra, b commutent avec toutes les transformations de G qui conservent a .

4.9. L'addit ion est associative et commutative, a ~: 0 et b dtant deux points distincts quelconques de E , ddsignons par Ta,b la transformation de G qui conserve a et qui transforme 0 en b. Si a appartient au centre du groupe multiplicatif E -- 0, l 'dquation de cette transformation est

y - - - - - (1 - -b . a -1 ) .x~-b , (1)

en effet, on a alors (en vertu de 2.8 et 2.9)

(1 - - b . a - ~ ) . O + b ~ b

et ( 1 - - b . a - 1 ) . a + b : a . ( 1 - a - l . b ) ~- b : a - b -~ b -~ a .

Ddsignons par F la fronti~re d 'un voisinage compact de 0, et par (av} une suite divergente de points appartenant tous au centre du groupe multiplicatff E -- 0 (par exemple, une suite divergente de points

2 1 4

de l 'ensemble Ro. 1 ddfini au w 4.8). Choisissons pour tou t v, un point b v appa r t enan t ~ l ' intersect ion des ensembles Ra,,0 e t F (intersection qui n 'es t pas vide en ver tu des r~sultats du w 4.8). F est compac t ; la suite {by} poss~de donc au moins un point d 'accumulat ion b, dans F , et nous pouvons m6me supposer qu'elle converge vers b, en rempla~ant dven- tuel lement la suite {av} par une sous-suite convenable.

Soit c un point fixe quelconque. Les t ransformations T,~,bv et Ta~,r sont permutables (en ver tu de 4.8, car b appar t icn t ~ l 'ensemble R,~,0) ; mais lorsque v t end vers oo, ces t ransformat ions tendent respect ivement vers les t ranslat ions y ~ - x d - b et y--~ x + c , comme il r~sulte im- m~dia tement de l '~quation (1) e t de la continuit~ des opSrations d'addit ion e t de mult ipl icat ion ; il en r~sulte que la t ranslat ion y - - x § b (qui est diffdrente de la t ransformat ion ident ique puisque b, apparte- nan t ~ F , est different de 0) commute avec la t ranslat ion y ~-- x ~- c, donc avec toutes les translations, d tant donnd le caract~re arbitraire de c. Notre proposi t ion rdsulte s present de ceUe du w 2.12.

4.10. Le groupe additi] E est un groups vectoriel. En effet, d'apr~s la th~orie de Pont r jag in (cf. [13], thdor~me 41), le groupe addi t i f E est le produi t de son sous-groupe compact maximal Z par un groupe vectoriel. Mais Z e s t invar ian t pour toutes les homoth~ties y ~ a . x (car celles-ci sont des automorphismes du groupe addi t i f E), qui op~re t rans i t ivement sur E -- 0 ; d o n c Z se r~duit au seul point 0, sinon il s ' identifierait avec E , qui serait compact .

4.11. Nous savons s present que les points de E forment groupe par rappor t h l 'addit ion, que les points de E -- 0 fo rment groupe par rapport k la mult ipl icat ion, e t que cet te derni~re est dis tr ibut ive ~ gauche par r appor t s l 'addi t ion ; en d 'au t res termes, E est un presque-corps 1~). De plus, le groupe addi t i f de E est un groupe vectoriel e t la mult ipl icat ion est pa r tou t continue, donc, en ver tu d 'un r~sultat de F. Kalscheuer [5], le presque-corps E est isomorphe au corps des nombres r~els, des nombres complexes, ou des quaternions. La d~monstra t ion s 'ach~ve par applica- t ion de la conclusion du w 2.7.

5. Pseudo-corps et presque-corps topologiques

5.1. Dd/inition. Nous nommerons pseudo-corps tou t ensemble E muni de deux o l~ra t ions , une addit ion et une multiplication, jouissant des propri6t~s suivantes :

12) Cf. note 5, p. 204.

215

5.1.1. Le prodult a. b e t la somme a + b sont d4finis quel clue soit le couple (a, b).

5.1.2. I1 existe dans E un ~lSment 0 tel qu'on ait, quel que soit a O + a - ~ a + O ~ a et a . O - ~ O . a : O .

5.1.3. Pour tout ~l~ment a appartenant ~ E, il existe au moins un ~l~ment - - a tel que a + ( - - a ) - ~ ( - - a ) + a - - - - 0 .

5.1.4. Les ~l~ments de E diff&ents de 0 forment groupe par rapport la multiplication (l'~l~ment neutre de ce groupe sera toujours d&ignd

par 1).

5.1.5. Ona, que l squeso ien ta , b e t c , a . ( b + c ) ~ a . b ~ - a . c .

5.1.6. On a, quels que soient a, b e t c,

( a + b ) + c : ~ ( b , c ) . a + ( b + c )

oh ~ (b, c) est un ~l~ment de E d~pendant uniquement de b e t de c. Si on remplace ce dernier postulat par le postulat d'associativit~ de

l'addition, on a la d~finition des presque-corps13), qui sont donc des cas particuliers de pseudo-corps.

Les axiomes precedents n 'ont pas ~t~ pos~s arbitrairement ; ils sont satisfait par les ol~rations d'addition et de multiplications associ~es ~ un groupe doublement transitff (el. w 2.5, et aussi [17], p. 40), et ils assurent, d 'autre part, la validit~ de la proposition du w 5.3.

5.2. Propridtgs. Soient E un pseudo-corps, a un ~l~ment de E , et - - a un autre ~l~ment t e l que a + ( - - a ) - ~ ( - - a ) + a = 0 ; o n a a l o r s

(5 .2 .1 ) (x + a) + ( - a ) = x ; eneffet , si a ~ - 0 c 'estSvident, e t s i a r 0 o n a (cf. 5.1.6)

(x + a) + (--a) = Q(a, - - a ) . x ,

et en posant x ---- - - a on voit que ~ (a, --a) -~ 1. De la relation pr~c~dente, il r~sulte imm~diatement que la seule solution

del '~quation x + a : O e s t x ~ - - a .

On a (--1) + 1 ~ 0 ; en multipliant ~ gauche par (--1), il vient (--1) ~ + (--1)---- O; d'oh, encomparan tavec 1 + (--1) ~ 0 ,

(5 .2 .~ ) - - ( - - 1 ) -~ ( - - 1 ) s ~- 1 .

is) Of. no te 5, p. 204.

2 1 6

Plus g~ndralement, on d~montre sans peine que = - - a , e t q u e - - ( - - a ) ~- a , q u e l q u e s o i t a .

On posera, par d~finition a + (--b) ~ a -- b.

a . ( - - 1 ) : ( - -1 ) -a

5.3. So'it E un pseudo-corps. L'application de E sur lui-m~me dd/inie par l'gq~ation (1) y ~ a. x + b (a =/= O) est biunivoque. L'ensemble des applications de ce type est un groupe doublement transiti/.

Cette proposition r~sulte des observations suivantes : Un simple calcul montre que l 'application (1) poss~de une inverse

d'~quation

(5.3.1) y -~ a-X.x + a-~ . ( - -b) , et clue ie produi t de l 'application (1) par l 'application y : a I. x § b r est l 'application

(5.3.2) y ---- e(ar.b, b ' ) . a ' . a . x + (at.b ~ b') ; les conditions pour que l 'application (1) transforme 0 et 1 respectivement en deux dl~ments donn~s distincts p e t q, sont

(5.3.3) b----p et a + b = q ; considdrdes comme ~quations en a et b, ces conditions ont pour unique solution

(5.3.4) a ---- q -- p b : p.

5.4. Dg/initions. Nous appellerons pseudo-corps (respectivement presque-corps) topologique un pseudo-corps (respectivement un presque- corps) muni d 'une topologie telle que les opdrations d 'addit ion, de multiplication et d ' inversion soient continues.

Dans un pseudo-corps topologique, les fonctions - - x - - ( - - 1 ) . x et e ( x , y ) ~ ( l + x ) + y - - ( x + y ) (cf. 5 .1 .6) sont continues.

Soient E un pseudo-corps topologique et G le groupe de routes les t ransformations de E d '~quation y = a. x + b (a r 0). En vertu des formules (5.3.3) et (5.3.4), le couple (p, q) transform~ du couple (0, 1) par la t ransformat ion y-----a, x + b e s t fonction continue du couple (a, b), et rgciproquement ; fl en r~sulte que si l 'on choisit comme couple de r~f4rence le couple (0, 1), la topologie ddfinie sur G suivant le proc~d~ d~crit au w 3.2, n 'est autre que la topologie obtenue en identifiant de fa~on naturelle G au produi t direct ( E - 0 ) • la t ransformation y ~ a - x + b ~tant identifi~e au couple (a, b). En vertu des formules (5.3.1) et (5.3.2) , le groupe G, muni de cette topologie, est un groupe topologique etest donc un groups doublement transiti/ continu opdrant sur E, au sens du w 3.2.

217

5.5. Th6orbme 5. Tout p s e u d o - c ~ topologique localement compact, non totalement discontinu et 8atis/aisant au premier axiome de d~nombrabi- litg est isomorphe au corps des hombres rdels, des hombres complexes ou des quaternions.

Ddmonstration. Soit E le pseudo-corps consid~rd. En ve r tu du th~o- r~me 2 et des rdsultats du paragraphe pr~cddent, il existe un hom~omor- phisme T de E sur un corps K , qui est l 'un des trois corps indiqu6s, tel que le t ransform6 par T du groupe G de toutes les t ransformat ions de E d 'dquat ions y = a. x 4- b (a :/= 0) soit le groupe G' des t ransformat ions de K ddfinies de fa~on analogue. Pour la clartd de l 'exposd, les symboles d~signant des 61~ments de K seront affect~s de pr imes ; en part iculier l 'dldment neut re pour l 'addi t ion ( respeet ivement la mult ipl icat ion) dans K sera ddnot~ par 0 r ( respeet ivement lr).

Le groupe G' d tant doublement transit if , il est toujours possible, en combinan t T avec une t rans format ion convenablement choisie de G', d 'ob ten i r un homdomorphisme de E sur K qui joui t des m~mes propridtds que T et qui t ransforme 0 et I respee t ivemcnt en 0 ' e t 1 ~ ; nous supposerons que T lui-m~me rdalise eet te condition.

La t rans format ion de E ddfinie par l '6quat ion y = a . x (a r 0), t r ans forme 0 et 1 respec t ivement en 0 e t a ; sa t ransformde par T transforme doric 0 ~ et l ' r espec t ivement en 0' e t T a , et est par consequent la t ransformat ion d '~quat ion y~ -~ T a . xr; on a donc, quels que soient a # 0 e t x, a p p a r t e n a n t s E ,

T ( a . x ) : Ta . T x , (1)

e t ee t te re la t ion reste ~videmment valable lorsque a -=-- 0. Posons T ( - - 1 ) - - - - e ' . En ve r tu des relat ions (1) et (5 .2 .2) , on a

e r* ~ 1', d 'oh

e I = 1' ou - - 1 ' . ( 2 )

La t rans format ion de E ddfinie par l 'dquat ion y ---- x 4- 1 t ransforme - - 1 et 0 respee t ivement en 0 e t 1 ; sa t ransform4e par T t ransforme done e' e t 0' r espec t ivement en 0' e t 1' e t e s t par eonsdquent la t rans format ion d '6qua t ion y ' = -- e '-1. x ' 4- 1' ; on a done, quel que soit x appa r t enan t ~ E ,

T ( x 4- 1) = -- e ' - l . x ' 4- 1' . (3)

Posons x = a - l . b (a # 0) e t multiplions les deux membres de (3) gauche pa r T a ; fl vient , en t enan t eompte de (1), (2) e t (5 .1 .5 )

T(b + a) = -- e ' - l . T b + T a ;

218

par continuitd, ce t te re la t ion dolt res ter vdrifide lorsque a : O, c 'est-s dire qu 'on a T b = - - e p - ~ . T b , d 'oh e r = - - 1, et enfin,

T ( b -{- a) : T b + T a . (4)

Les re la t ions (1) et (4) m o n t r e n t que T est un isomorphisme, e t not re thdorbme est ddmontrd.

5.6 . Remarques

5 . 6 . 1 . Si dans un pseudo-corps E muni de ses opdrat ions d ' add i t ion (-~) e t de mul t ip l ica t ion (.) , on in t rodui t une nouvelle addi t ion (~-)

ddfinie pa r la relat ion a ~- b = e. a + b

avec e ----- ~ ou - - 1 su ivan t que b =:: ou :/: 0, cet te nouvelle opdra- t ion d ' add i t i on et l ' ancienne mult ipl icat ion sat isfont t o u s l e s axiomes du w 5.1 et le groupe des t r ans fo rmat ions d 'dquat ions y == a . x ~ - b est ident ique au groupe des t r ans format ions d 'dquat ions y - - a . x + b.

E t a n t donn~ un groupe doub lemen t t rans i t i f G opdrant sur un ensemble E , les seuls syst~mes d 'opdra t ions d ' add i t ion et de mult ipl ica- tion qui sa t i s font les pos tu la t s du w 5 .1 , et telles que G soit le groupe des t r ans fo rmat ions d 'dqua t ions y = a . x § b (a ~ 0), sont le sys t6me construi t au w 2.5 (ddtermind au choix des points 0 e t 1 pros), et celui qu 'on o b t i e n t / t pa r t i r de celui-ls en app l iquan t le procddd pr~cddent ; ces deux sys t~mes sont ident iques si e t seulement si le groupe G es t de seconde espbce (el. w 2.3).

5 . 6 . 2 . P o u r ddmont re r le thdor~me 5, nous avons utilis5 le rdsul tat du thdor~me 2, mais il est dvident que nous aurions p u l e ddmont re r d i rec tement en reprodu i san t la ddmons t ra t ion du th~or~me 2 sans par ler de groupe doub lemen t t ransi t i f . Notons cependan t que dans le cas du thgor~me 2, il dtai t ndcessaire de ddmont re r que les fonctions y § x e t x . y sont cont inues en x ----- 0, alors que cela fai t ici par t ie des hypotheses. L 'hypo th~se de continuit~ de y ~ - x en x- - - -0 est d 'ai l leurs e f fec t ivement utilisde dans la ddmons t ra t ion du thdor~me 5, car si nous l ' abandonnons (c 'est-s si nous supposons set t lement que la s o m m e y -[- x est p a r t o u t cont inue sauf peut -6 t re en x = 0), le pseudo-corps E peu t 6tre non seu lement l ' un des trois corps indiquds, mais encore l ' un des trois pseudo-corps o b t e n u s / t pa r t i r de ceux-ls pa r appl ica t ion du procddd

ddcrit au ddbu t du numdro 5 .6 .1 .

5.7. Nous allons m on t r e r /~ prdsent que lorsque le pseudo-corps E considdr~ est un presque-corps , l 'hypoth~se de ddnombrabi l i td du thdo-

219

r~me 5 peut gtre supprimde. En outre, nous remplacerons l'hypoth~se d'apr~s laquelle E est un pseudo-corps topologique par l'hypothbse suivant laquelle E est un presque-corps muni d'une topologie telle que le produit x . y et la somme x -f- y soient des fonctions partout continues du couple (x, y) avec exceptions dventuelles aux points x ~ 0 et y ~ 0 pour le produit, ce que nous exprimerons en disant que E est un presque- corps/aiblement topologique. Nous adoptons ce point de rue plus gdndral pour les motifs suivants :

I1 peut gtre utile, dans certains cas, de consid~rer des presque-corps munis d'une topologie telle que le groupe additif de tousles dldments et le groupe multiplicatff des dldments non nuls de ce presque-corps soient des groupes topologiques ; ce sont 1s des presque-corps faiblement topologiques mais non ndcessairement (du moins a priori) topologiques.

Le th6or~me de F. Kalseheuer [5], mentionn6 plus haut, n'est pas proprement parler un cas particulier du thdorbme 3 (ef. w 1.2) car parmi les hypothbses qui y sont faites ne figure pas la continuitd de l'inversion (notons cependant que celle-ci r~sulte imm6diatement des autres hypothbses du th6orbme) ; il est par contre un cas particulier du thdor~me sui- rant , gdndralisant le thdorbme 3, et que nous allons ~ prdsent ddmontrer.

Th6or~me 3'. Tout presque-corps /aiblement topologique, localement compact et non totalement discontinu, est isomorphe au corps des hombres rdels, des hombres complexes, ou des quaternions.

Ddmonstration. Notons tout d'abord qu'en vertu de l'identit6 x . y - - x . ( y A- a) - - x . a , le produit x . y est fonetion partout continue du couple (x, y) sauf peut-gtre pour x ~- 0.

Si E n'est pas compact, on pout ddmontrer notre thdor~me en suivant les raisonnements des w167 4.3, 4.10 et 4.11 (qui peuvent aisdment gtre mis sous une forme analytique ne faisant pas explicitement intervenir le groupe G), et en se souvenant que, d'aprbs E. 1%. van Kampen [6], les rdsultats de Pontrjagin eoncernant les groupes abdlien localement compacts sont valables ind6pendamment de route hypothbse de d~nombrabilit&

Supposons done E compact, soient a # 0 un dldment donnd arbitrairement dans E , et U un voisinage ouvert de a -1 ne eontenant pas 0. En vertu des propri6t~s de continuit~ de la multiplication, nous pouvons assoeier s tout dl~ment x ~ a -x de E deux ouverts V~ et Wz, contenant respectivement a e t x, et tels que l e produit V x. W~ (au sens de la multi- plieation dans E) ne eontienne pas 1. L'ensemble (~U (compl6mentaire de U dans E) est compact; il pout done gtre reeouvert par un nombre

220

fini d ' o u v e r t s choisis pa rmi les W~ ; soient Wi ces ouver ts , Vl les ouver t s V~ cor respondants e t V ~ U Vt l ' in tersect ion de t o u s l e s V~. Aucun des

ensembles V. W~ ne cont ient 1, pa r cons6quent 1 n ' e s t pas contenu non plus dans l ' ensemble V . E U , c 'es t-s qu 'on a V -1 ( U ; V 6rant un voisinage de a , nous voyons que la fonct ion x -1 est cont inue en a .

Soit / la fonet ion d~finie de la fa~on su ivan te :

t x-~ si x ~ 0 / (x) ~- t 0 si x : 0 ;

ce t te fonct ion est p a r t o u t con t inue ; en effet, nous avons vu plus h a u t qu'el le est cont inue en t ou t poin t x :/: 0, e t elle est aussi cont inue au po in t 0 car si U ddsigne un voisinage ouver t de 0, ~ U est compac t , d o n e - / (~U) est compac t , e t / (U) --- ~ / ( ~ U ) est un voisinage ouve r t de 0. On a, pour t ou t x ~ 0,

x ( l + / ( x ) ) = x + ~ ,

donc, p o u r t o u t x ~ 0 e t - - 1 ,

x = (x + 1) (1 + / ( x ) ) - ~ ;

les deux m e m b r e s de cet te re la t ion conservent un sens et sont continues en x ~ 0 ; les valeurs qu' i ls p rennen t en ce poin t do iven t done 6tre dgales, ce qui donne 0 ~ 1. P a r cons6quent E ne peu t 6tre compac t .

6. D~monstration du thborbme 4 et application ~ la d~monstration du th6or~me 1

6.1. Ddmonstration du thdor~me 4. Soient G et a le groupe e t l ' au to- m o r p h i s m e sa t i s fa isant aux condit ions de l 'dnonc6, e t soit n la d imension de G.

Supposons tou t d ' a b o r d que G soit loca lement connexe, e t soient e l '~l~ment unit~ de G, U un voisinage de e ne con tenan t aucun ~16ment fixe de a en dehors de e, V un voisinage com pa c t de e tel que V -1. V ( U, e t ] l ' app l ica t ion cont inue de G dans G ddfinie pa r / (x) : x ~. x -1. L a

res t r ic t ion / r : V J-> ](V) de / s V es t b iunivoque, car si

x ~ . x - l _ y . . y - 1 et x e V , y e V , o n a

(y-1. x)~ : (y~)-l . x ~ : y-1. x e t y-1. x E U ,

done y-1. x ~ e e t y ~ x , en ve r tu de la condi t ion impos6e ~ U. V e s t compac t , d o n e / v , qui est cont inue e t b iunivoque, est un hom6o-

221

morphisme. I1 en r6sulte que l ' ensemble ](V) a la dimension n , e t poss~de done un poin t intdrieur (eft D. Mon tgomery [9], thdorbme 3); e t il en es t de mgme, a f o r t i o r i , de /(G).

Soit b ~ aa.a -1 un po in t int6rieur de /(G). L ' h o m d o m o r p h i s m e de G sur G qui t r ans fo rme x en (aq) -1. x .a , conserve /(G), car on a (a ~)-1. x ~. x-X.a = (a-1. x)~. (a-1. x)- l , e t t r ans fo rme b en e ; pa r eons6quent e est un po in t intdrieur de /(G). Ddsignons alors pa r W ~ un voisinage de e tel que W~.WI( / (G) , et posons W - ~ W r ~ ( W f ) " ; W e s t u n v o i s i n a g e d e e , e t o n a W. Wc](G) , et W ~ = W. Sur / (G), l ' a u t o m o r p h i s m e a s ' identif ie avec l ' invers ion car on a (x".x-X)"= x- (x ")-x = (x . . x-X)-~ ; done, si a et b sont deux dl6ments de G appa r t e - n a n t s W, on a a . b = (a ". b~) a = (a -~. b-X)-1 ~_ b . a . Dans W, la mul t i - p l icat ion est done c o m m u t a t i v e et on a a ~ = a-1 ; no t re thdorbme rdsulte alors du fair que G, d t an t connexe, est engendrd pa r W.

Si G n ' e s t pas loca lement connexe, il poss~de un sous-groupe G ~ p a r t o u t dense dans G, e t qui, muni d ' une nouvel le topologie, plus fine que celle indui te sur G ~ pa r G, est un groupe ~ p o l o g i q u e connexe, loea lement c o m p a c t e t loca lement connexe, de dimension n (cf. D. M o n t g o m e r y [10], thdorbme 10 14) ; il rdsulte de la fagon don t le groupe G t e t sa topologie son t d6finis (dans [10]), que l ' un e t l ' au t r e sont conserv6s pa r t ou t a u t o m o r p h i s m e b icont inu de G, e t en part iculier , dans le cas qui nous intdresse, pa r a . La res t r ic t ion de a s G I e s t un a u t o m o r p h i s m e involu t i f de G ~ jou issant de routes les propridtds dnoncdes ; en ve r tu de la par t i e de thdorbme 4 ddj~ d~montrde, G ~ est abdlien, e t on a, pou r t o u t x appa r t e - n a n t s G ~, x = x -1 ; le th6or6me 4 rdsulte alors du fa i t que G ' est p a r t o u t dense dans G.

6.2. Rappe l de [15], thdorbme 4 is) : Soit Gun groupe triplement transiti/ opdrant sur un ensemble quelconque E. Si les transformations de G qui conservent deux points donnds de E sont deux dt deux permutables, G est un 9roupe projecti], c 'es t -s qu ' f l est possible d ' ident if ier les 616ments de E avee les 6l~ments d ' u n corps K eompl6t6 au m o y e n d ' u n 616ment c~, de telle fagon que les t r ans fo rma t ions de G soient les t r ans fo rma t ions d '6qua- t ion y = ( a . x ~ - b ) / ( c . x + d ) , a . d - - b . c =/=0. L a rdciproque est vraie16).

14) L'emploi du sous-groupe localement connexe partout dense dans la d6monstration du th6or6me IV m'a 6t6 sugg6r6e par M. le Professeur D. Montgomery lui-m6me; je tiens

lui en exprimer ici mes sinc~res remereiements. 1~) Cf. attssi [17], chapitre I I B, th6orbme VI. le) La proposition 6nonc6e ici peut gtre d6montr6e ais6ment en faisant usage de la

proposition du w 2.13 (qui la contient d'ailleurs partiellement).

222

Si E est un espace topologique e t si G est un groupe t r ip lement t r ans i t i f eont inu ope ran t sur E 17), K est un corps topologique.

6.3. Application du thdor~me 4 d la ddmonstration du thdor~me 1 dans le cas o4 l' espace E est de dimension/ inie .

Soient E un espace de dimension finie sa t i s fa isant aux hypotheses du th~or~me l, G u n groupe t r ip l emen t t rans i t i f cont inu ope ran t sur E , 0, 1 e t co trois points de E , deux ~ deux distinets, e t G1 le groupe des t rans- fo rmat ions de G qui conservent 0 e t co.

En procddant comme au w 2.5, on peut , s pa r t i r des t r ans fo rmat ions de GI, d~finir sur l ' ensemble E - - 0 - - c o une opera t ion de mul t ip l ica- t ion telle que E - - 0 - - c o soit un groupe (et, de fa~on plus precise, un groupe topologique dans la topologie indui te pa r E) d '~l~ment neu t re l , don t les t rans la t ions s gauche (y ---- a . x) sont les t r ans fo rmat ions de G1.

La t r ans fo rma t ion T de G qui dehange 0 e t co e t qui conserve 1 t ransforme tou te t r ans fo rma t ion de G~ en une t r ans fo rma t ion de G 1 ; considdr~e comme opt, r an t sur E - 0 - - c o , elle d~finit done un a u t o m o r p h i s m e involu t i f du groupe mul t ip l ica t i f E - 0 - - c o , a u t o m o r p h i s m e qui poss~de au m a x i m u m deux points unis (en ver tu de la tr iple t rans i t iv i t~ de G).

Si E - - 0 - - co est connexe, le th~or~me 4 nous enseigne que le groupe mul t ip l ica t i f E - 0 - - c o , et par consequent aussi le groupe G1, est ab~lien ; il en rdsulte clue le groupe G est pro jec t i f (cf. w 6.2), e t le thdo- r~me 1 rdsulte du th~or~me de Pon t r j ag in concernan t les corps topologiques.

Si E - - 0 - - c o n ' e s t pas eonnexe, on mont re , pa r un r a i sonnemen t analogue au prdc~dent que la composan te connexe C de 1 dans le groupe mul t ip l ica t i f E - - 0 - -co , est un groupe ab~lien e t e s t , pa r consdquent i somorphe au p rodu i t d ' un groupe com pac t connexe K par un groupe vectoriel. E t a n t d~connectA par chaeun de ses points , C dolt ~tre iso- m o r p h e au groupe addi t i f des nombres r~els. On vol t alors, pa r raison d 'homog6n~it~, que les composan tes connexes du groupe mul t ip l i ca t i f E - - 0 - - c o sont au n o m b r e de deux, d 'oh il r~sulte que ce groupe est i somorphe au p rodu i t du groupe add i t i f des nombres r~els pa r un groupe cyclique d 'o rd re 2, e t e s t done ab~lien. La d~mons t ra t ion s 'ach~ve comme plus hau t TM) 19).

,7) Cf. no te 3, p. 203. ,s) Pou r lee d6tafls de d 6 m o n s t r a t i o n qui son t omis ici, on se repor te ra a u x w167 4 . 4

e t 4 .5 . 19) Ajout~ a u x ~preuves : Depu i s la p r 6 s e n t a t i o n d u p r e s e n t art icle, MM. D. Mont-

g o m e r y e t L. Zippin o n t m o n t r 6 (cf. Proc. Nat . Acad. Sc. vol. 38, n ~ 5, Mai 1952), en

223

B I B L I O G R A P H I E

[1] Brouwer, L. E. J., D i e T h e o r i e d e r e n d l i c h e n k o n t i n l e r l i c h e n G r u p p e n u n a b h ~ i n g i g y o n d e n A x i o m e n y o n L ie , Math. Ann. 67 (1909) pp. 246--267.

[2] Freudenthal, H., N e u a u f b a u d e r E n d e n t h e o r i e , Ann. Math. 43 (1942) pp. 261 bis 279.

[3] - - , L a s t r u c t u r e de s g r o u p e s k d e u x b o u t s e t dos g r o u p e s t r i p l e m e n t t r a n s i t i f s , Indagationes Math. 13 (1951) pp. 288--294.

[4] Iwasawa, K., T o p o l o g i c a l g r o u p s w i t h i n v a r i a n t c o m p a c t n e i g h b o r h o o d s o f t h e i d e n t i t y , Ann. Math. 54 (1951) pp. 345--348.

[5] Kalscheuer, F., D i e B e s t i m m u n g a l l e r s t e t i g e n F a s t k S r p e r t i b e r d e m K 5 r - p e r d e r r e e l l e n Z a h l e n s i s G r u n d k S r p e r , t t amb. Abhandlungen 13 (1940) pp. 413--435.

[6] Kampen, E. R. van, L o c a l l y b i c o m p a e t a b e l i a n g r o u p s a n d t h e i r c h a r a c t e r g r o u p s , Ann. Math. 36 (1935) pp. 448--463.

[7] Kerdlc]drt6, B. de, S u r le c a r a c t ~ r e t o p o l o g i q u e d u g r o u p e h o m o g r a p h i q u e de l a s p h e r e , Acts Math. 74 (1941) pp. 311--341.

[8] - - , S u r los g r o u p e s t r a n s i t i f s de l a d r o i t e , Acta Univ. Szeged Sect. Sci. Math. 10 (1941--1943) pp. 21--35.

[9] Montgomery, D., T h e o r e m s o n t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f l o c a l l y c o m - p a c t g r o u p s , Ann. Math. 50 (1949) pp. 570--580.

[10] - - , F i n i t e d i m e n s i o n a l g r o u p s , Ann. Math. 52 (1950) pp. 591--605.

[11] Montgomery, D. et Zi/ppin, L., T o p o l o g i c a l t r a n s f o r m a t i o n g r o u p s , Ann. Math. 41 (1940) pp. 778--791.

[12] Pontr~agin, L., ~ b e r s t e t i g e a l g e b r a i s c h e K S r p e r , Ann. Math. 33 (1932) pp. 167 bis 174.

[13] - - , T o p o l o g i c a l g r o u p s , Princeton Universi ty Press 1939.

[14] Tits, J., G 4 n ~ r a l i s a t i o n s de s g r o u p e s p r o j e c t i f s , Acad. Roy. Belg. Bull. C1. Sei. (5) 35 (1949) pp. 197--208.

[15] ---, G 6 n ~ r a t i s a t i o n d e s g r o u p e s p r o j e c t i f s I I , Acad. Roy. Belg. Bull. C1. Sci. (5) 35 (1949) pp. 224--233.

[16] - - , S u r les g r o u p e s t r i p l e m e n t t r a n s i t i f s e o n t i n u s ; g 6 n 6 r a l i s a t i o n d ' u n t h ~ o r ~ m e de K e r 6 k j ~ r t S , Comp. Math. 9 (1951) pp. 85--96.

[17] - - , G 6 n ~ r a l i s a t i o n s de s g r o u p e s p r o j e c t i f s b a s 6 e s s u r l e u r s p r o p r i 6 t 6 s de t r a n s i t i v i t Y , Acad. Roy. Belg. Cl. Sci. M~m., Bruxelles 1951.

[18] Zassenhaus, H., ~ b e r e n d l i c h e F a s t k S r p e r , t t amb. Abhandlungen 11 (1936) pp. 187--220.

( R e ~ u l e 27 m a r s 1952 . )

ut i l isant un r6suttat r~cent de M. A. Gleason, que tout groupo localement compact de dimension finie eat un groupe de Lie g6n6ralis6; lorsque le groupe est en outre localement conuexe, c 'est un groupe de Lie. Ces r6sultats rendent la d6monstrat ion du tb~o- r~me 4 beaucoup plus ais6e (cf. note 7; la par t ie do la d6monstra t ion coneernant lo cas o~h O n 'es t pas localement connexe reste inehang6e); ils permet tent , d ' au t re part , de ramener le theor6me 2, dana le cas o~h E eat de dimension finie, k une proposition concernant los groupes de Lie, qui pout gtre d6montr6o directoment par application des r6sultats classiques do la th6orie des groupes de Lie.

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Documents

Sur les groupes doublement transitifs continus