L'EQUATION D'EQUILIBRE RADIAL

I. Equation locale de la quantité de mouvement

1 - Expression dans le repère absolu

Rappel :

†

∂(rr V )

∂t+ div(r

r V ƒ

r V ) = r

r f + div(t )- grad p (E-VI-5)

2 - Expression dans le repère relatif

Dans le repère relatif tournant, lié à la rotation des roues mobiles, cette expression devient :

†

d(rr

W )dt

+ div(rr

W ƒr

W )+ 2rr w Ÿ

r W - r grad U 2

2Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ + r

d r w

dtÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜

/ R

Ÿr r =

rr f + div(t )- grad p

(E-VI-8)

3 – Equation projetée dans un repère axisymétrique orthogonal curviligne (q, m, n)

Dans le cas d'une machine axiale, un repère cylindrique (q, z, R) est adapté pour projeter leséquations. Dans le cas d'une machine à géométrie méridienne quelconque, il est préférable d'utiliser unrepère axisymétrique orthogonal curviligne, épousant mieux la forme des lignes de courant dans le planméridien et, ainsi, étant mieux adapté à l'expression d'hypothèses simplificatrices.

mn

R

R + dmRm

R + Rn

dn i2i3

z

Les expressions des trois composantes de l'équation vectorielle de quantité de mouvement,exprimée dans le repère relatif, pour un écoulement permanent, sont alors :

†

1R

∂ r RWq2( )

∂q+

∂ r RWmWq( )∂m

+∂ r RWnWq( )

∂n+ r WqWn + 2w RWn( )cosf

+ r WqWm + 2w RWm( )sinf + r RWq WmKn +WnKm( ) =

-∂p∂q

+1R

∂ Rtqq( )∂q

+∂ Rtqm( )

∂m+

∂ Rtqn( )∂n

+ t mq sinf + t nq cosf + R tqmKn + tqnKm( )

†

1R

∂ r RWqWm( )∂q

+∂ r RWm

2( )∂m

+∂ r RWnWm( )

∂n- r Wq

2 +w2R2 + 2w RWq( )sinf

+ 2r RWmWnKm - r R Kn Wn2 -Wm

2( ) =

- R ∂p∂m

+1R

∂ Rt mq( )∂q

+∂ Rt mm( )

∂m+

∂ Rt mn( )∂n

- tqq sinf + R Kn t mm - t nn( )+ R Km t mn + t nm( )

†

1R

∂ r RWqWn( )∂q

+∂ r RWmWn( )

∂m+

∂ r RWn2( )

∂n- r Wq

2 +w2R2 + 2w RWq( )cosf

+ 2 r RWmWnKn - r R Km Wm2 -Wn

2( ) =

- R ∂p∂n

+1R

∂ Rt nq( )∂q

+∂ Rt nm( )

∂m+

∂ Rt nn( )∂n

- tqq cosf + R Km t nn - t mm( )+ R Kn t nm + t mn( )

II. Equations moyennées circonférentiellement

Nous allons maintenant à procéder à la moyenne de ces équations dans la directioncirconférentielle q.

1 – Définition du processus de moyenne

a. Tout paramètre A de l'écoulement peut-être moyenné dans la direction circonférentielle entrel'intrados d'une aube et l'extrados de l'aube adjacente (c'est donc une moyenne sur la largeur du passageinter aubes), à l'aide de l'expression suivante :

†

A = 1qs -q p

Adqq p

qsÚ =Na

2p bAdq

q p

qsÚavec

†

qs -q p =1R

2p RNa

- tÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜ =

2pNa

1-tg

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ =

2pNa

b

où : -

†

qs et

†

q p sont respectivement les positions circonférentielles de l'extrados d'une aube et del'intrados de l'aube adjacente

- Na est le nombre d'aubes de la roue concernée- R est le rayon auquel s'opère cette moyenne- t est l'épaisseur des aubes dans la direction circonférentielle- g est le pas inter aubes

- b est le coefficient de blocage géométrique dû à l'épaisseur des aubes

b. Valeurs moyennes des dérivées

†

∂A∂m

=1b

∂ b A ( )∂m

-Na

2p bAs

∂qs

∂m- Ap

∂q p

∂mÈ

Î Í

˘

˚ ˙

†

∂A∂n

=1b

∂ b A ( )∂n

-Na

2p bAs

∂qs

∂n- Ap

∂q p

∂nÈ

Î Í

˘

˚ ˙

†

∂A∂q

=Na

2p bAs - Ap[ ]

†

∂qs

∂m,

†

∂q p

∂m,

†

∂qs

∂n et

†

∂q p

∂n représentent respectivement les pentes des tangentes à l'extrados et à l'intrados

des aubages, dans les directions méridiennes et normales.Remarquons que, du fait du caractère visqueux du fluide, la vitesse relative de l'écoulement s'annule à lasurface des aubes :

†

r W s =

r W p =

r 0

c. Procédure de moyenne

- Tous les paramètres de l'écoulement sont décomposés dans les équations en une valeur moyenne (selonq) et une valeur fluctuante :

†

A = A + A'

Nous ferons uniquement l'hypothèse que, pour une position méridienne donnée (m, n), la fluctuationcirconférentielle de la masse volumique est tout à fait négligeable :

†

r = r

- Les équations sont ensuite moyennées en q, avec :

†

A B = A B

A' B = A B' = 0

2 - Moyenne circonférentielle des équations

Afin d'alléger les notations, les quantités moyennées seront désormais représentées par A au lieude

†

A . Nous poserons également :

†

s ij = rW i W j + rWi 'Wj ' - t ij

- Equation projetée selon q :

†

1b

∂ b Rs mq( )∂m

+1b

∂ b Rs nq( )∂n

+ R Kns mq + R Kms nq

+s nq cosf +s mq sinf + 2rw R Wn cosf +Wm sinf( ) =

+Na

2p bD s- p( ) - p - tqq( ) - t mq R ∂q

∂m- t nq R ∂q

∂nÏ Ì Ó

¸ ˝ ˛

†

D s- p( ) A{ } représente la différence entre la valeur de A prise à l'extrados (s) et la valeur de A priseà l'intrados (p).

Nous dénommerons par

†

1b

D1q le dernier terme du second membre de cette équation.

- Equation projetée selon m :

†

1b

∂ b Rs mm( )∂m

+1b

∂ b Rs mn( )∂n

+ R Kns mm + 2R Kms mn

- sinf s qq + rw2R2 + 2rw RWq( ) - R Kns nn =

-Rb

∂ b p( )∂m

+Na

2p bD s- p( ) p - t mm( )R ∂q

∂m- t mnR ∂q

∂n+ t mq

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

avec la dénomination

†

1b

D1m pour le dernier terme du second membre de cette équation.

- Equation projetée selon n :

†

1b

∂ b Rs mn( )∂m

+1b

∂ b Rs nn( )∂n

+ R Kms nn + 2R Kns mn

- cosf sqq + rw2R2 + 2 rw RWq( ) - R Kms mm =

-Rb

∂ b p( )∂n

+Na

2p bD s- p( ) p - t nn( )R ∂q

∂n- t nm R ∂q

∂m+ t nq

Ï Ì Ó

¸ ˝ ˛

avec la dénomination

†

1b

D1n pour le dernier terme du second membre de cette équation.

3 – Interprétation physique du vecteur

†

r D 1

Le terme

†

r D 1 D1q , D1m , D1n( ) peut être noté sous la forme :

†

D1q

D1m

D1n

È

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙

=Na

2p bD s- p( )

p - tqq -tqm -tqn

-t mq p - t mm -t mn

-t nq -t nm p - t nn

È

Î

Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙

-1

R ∂q∂m

R ∂q∂n

È

Î

Í Í Í Í Í Í

˘

˚

˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙

Ï

Ì

Ô Ô Ô

Ó

Ô Ô Ô

¸

˝

Ô Ô Ô

˛

Ô Ô Ô

soit :

†

r D 1 =

Na

2p bD s- p( ) p I - t( ) r n a{ }

où

†

r n a est le vecteur normal à la surface de l'aubage.Ce terme représente donc explicitement la force exercée par l'aubage sur le fluide.

III. Equation d'équilibre radial

Nous allons maintenant nous intéresser à la projection normale de l'équation de quantité demouvement moyennée dans un cas simplifié.

1 – Hypothèse d'axisymétrie des surfaces de courant moyennes

Faisons l'hypothèse que les surfaces de courant moyennes sont axisymétriques, c'est à dire quel'angle méridien f du vecteur vitesse moyen est indépendant de q. Remarquons que cette hypothèse estmoins restrictive que celle de l'axisymétrie de l'écoulement (où tous les paramètres de l'écoulement – p, V,r… - sont indépendants de q).

Nous pouvons alors assimiler les surfaces de coordonnées à ces surfaces de courant. Il vient :

†

W n ≡ 0

En tenant compte de cette hypothèse, la projection normale de l'équation de quantité demouvement moyennée s'exprime, en explicitant le terme sij, par :

†

1b

∂ b R rWm' Wn

' - t mn( )( )∂m

+1b

∂ b R rWn'2 - t nn( )( )

∂n

+ R Km rWn'2 - t nn( ) - rWm

2 + rWm'2 - t mm( )[ ]+ 2R Kn rWm

' Wn' - t mn( )

- cosf rWq2 + rWq

'2 - tqq + rw2R2 + 2 rw RWq( ) = -Rb

∂ b p( )∂n

+1b

D1n

2 – Expression en dehors des aubages

Si on se place dans un plan inter roues, en dehors des zones aubées, certaines hypothèses peuventêtre réalisées :

- la force d'aubage est nulle :

†

r D 1 ≡

r 0

- il n' y a pas de blocage géométrique : b ≡ 0- les tensions visqueuses sont négligeables au sein du fluide :

†

t ij ª 0- les termes de fluctuations sont négligeables :

†

Wi'Wi

' ª 0Il vient :

†

R Km rWm2 + r cosf Wq +w R( )2

= R ∂p∂n

soit, en repassant dans le repère absolu :

†

KmVm2 +

cosfR

Vq2 =

1r

∂p∂n

Il est possible d'éliminer le terme de pression en utilisant l'équation de Gibbs. Il vient :

†

2 ∂h0

∂n=

∂Vm2

∂n+

1R2

∂ RVq( )2

∂n+ 2T ∂s

∂n+ 2 Km Vm

2

3 – Expression et utilisation de l'équation d'équilibre radial simplifié

Si nous introduisons les hypothèses supplémentaires :

- gradient radial d'entropie négligeable :

†

2T ∂s∂n

ª 0

- peu de courbures des lignes de courant dans le plan méridien :

†

2 Km Vm2 ª 0

- machine axiale :

†

m ≡ z , n ≡ Ralors :

†

2 ∂h0

∂R=

∂Vz2

∂R+

1R2

∂ RVq( )2

∂R

Considérons l'écoulement au passage d'une roue. Si nous faisons les bilans du nombre d'inconnuesdu problème et du nombre d'équations disponibles, nous avons :

- 6 inconnues : les répartitions radiales de h0, Vz et Vq dans une section à l'amont de la roueles répartitions radiales de h0, Vz et Vq dans une section à l'aval de la roue

- 3 équations : l'équation d'équilibre radial simplifiée dans la section à l'amont de la rouel'équation d'équilibre radial simplifiée dans la section à l'aval de la rouel'équation d'Euler pour chaque rayon au passage de la roue

Il y a donc la possibilité de choisir librement 3 répartitions.

IV. Quelques lois d'évolution classiques

1 2

m° i

1 – Le tourbillon libre

†

RVq = Cte

- Conditions amont :

†

h01 = Cte et R1Vq1 = Cte- Tourbillon libre à l'aval :

†

R2Vq2 = Cte = k

fi h02 , Vz1 et Vz2 constants.

2 – Le tourbillon forcé

†

Vq = k R

fi

†

Vz2 = Vzi

2 + 2 w - k( )k R2 - Ri2( )

Vzi est calculé pour satisfaire la conservation du débit global.

3 – L'angle absolu constant

†

a = Cte tana = Vq Vz( )

fi

†

Vz = VziRi

RÈ

Î Í ˘

˚ ˙

sin2 a

4 – Quelques autres lois classiques

- Le vortex général

†

Vq = k1 Rn ±k2

R- L'étage exponentiel

†

Vq = k1 ±k2

R

- Le degré de réaction constant

†

L = Cte