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Mécanique des milieux continus - medias.dunod.commedias.dunod.com/document/9782100598519/Feuilletage.pdf · Le livre que vous avez entre les mains en diffère profondément.

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  • Mcanique desmilieux continus

  • Mcanique des milieux continusCours et exercices corrigs

    Prface de Liviu SolomonIllustrations de Jean-Pierre Petit

    Jean CoirierCarole Nadot-Martin

    4e dition

  • Dunod, Paris, 2013 Dunod, Paris, 1997, 2001, 2007 pour les prcdentes ditions

    ISBN 978-2-10-059851-9

    Illustration de couverture Copyright 2001PhotoDisc Inc.

    CHEZ LE MME DITEUR

    J. COIRIER, Mcanique des milieux continus, Aide-mmoire, Paris, Dunod, 2001

  • Prface la premire dition

    Parmi les sciences de la nature, la mcanique est la plus ancienne, car la plus simple.Les btisseurs de la tour de Babel, du phare dAlexandrie, des pyramides, les naviga-teurs phniciens, etc. ont eu rsoudre, souvent de faon empirique, des problmes demcanique. La physique, la chimie, la biologie ne sont venues que plus tard, avec desapproches de plus en plus fines de la connaissance du monde matriel dans lequel noussommes plongs et dont nous faisons nous-mmes partie.

    Avec la mcanique, lhumanit a commenc pntrer les mystres de la connais-sance, comprendre lunivers et agir sur des fragments de celui-ci. La mcanique at longtemps la seule utiliser les moyens des mathmatiques et a jou un rle essen-tiel dans leur dveloppement : Galile, Newton, Euler, Lagrange, Cauchy ont dve-lopp loutil mathmatique, pousss par leurs recherches en tant que mcaniciens. Celase passait une poque o lon ne savait encore rien de llectromagntisme, dutableau priodique des lments, des microbes : Maxwell, Mendeleieff, Pasteurntaient pas encore ns.

    partir de Galile, on a assist pendant trois sicles une extraordinaire floraisondes diffrentes branches de la mcanique : systmes de points matriels, systmesrigides, corps solides, liquides, gaz, mlanges, etc. La technique moderne, la scienceque lon pratique, la vie que nous menons seraient inconcevables sans ces trois siclesde recherche en thorie des mcanismes, en lasticit, en mcanique des fluides. Letableau a chang, me semble-t-il, aprs 1950 : les disciplines de branche continuentleur progrs, mais en mme temps, il se forme une vritable mcanique gnrale ,visant dcrire tout ce que le mcanicien peut dire du mouvement de tout corps rele-vant de sa comptence.

    Le livre du professeur Jean Coirier que jai lhonneur et le grand plaisir de prsen-ter ici, est un livre de mcanique gnrale des milieux continus. Dans quelle mesureest-ce une nouveaut ?

    Des ouvrages avec un titre semblable sont rgulirement publis un peu partout,depuis les USA jusquen Nouvelle Zlande... Regardons leurs tables des matires,feuilletons-les. Nous trouverons trs souvent des textes qui dbutent par une partie de gnralits sur les milieux continus, suivie de chapitres portant frquemment sur lamcanique des fluides et sur llasticit. Cest un choix possible, et cela peut rendreservice.

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  • VI Prface

    Le livre que vous avez entre les mains en diffre profondment. Ce nest pas unesuccession de chapitres venant de disciplines diverses ; ici, on apprendra bel et bien lamcanique gnrale des milieux continus. Sa structure est dicte par un soucidconomie et de minimalit : on introduit chaque tape ce qui est ncessaire, et onlexamine jusqu ses consquences ultimes.

    Ltude dbute par le mouvement dun milieu continu : on identifie les parti-cules , on rpond aux questions : qui est qui ? et qui est o ? . Viennent ensuiteles dformations, puis la cinmatique du milieu continu. Ce nest quaprs quinter-vient la masse : le milieu est en mouvement et ses particules sont porteuses de matire.Suit la thorie des contraintes (il faut agir sur le milieu pour le faire passer duneconfiguration une autre). Les quations de bilan sont la cl de vote de la logique dulivre : cest de l que vont venir les quations rsoudre, ce qui sera laffaire du math-maticien, du numricien, du programmeur ; on ne sen occupe pas ici, cela nappartientpas au sujet.

    La thermodynamique, avec les concepts et les bilans dnergie et dentropie, sechargera denglober le tout dans une construction unitaire (construction qui, avecconcision et lgance, va inclure aussi ltude des discontinuits).

    Mais o sont donc passes la mcanique des fluides, llasticit, la plasticit ? Ilny en a pas et cest trs bien ainsi : nous sommes toujours en mcanique des milieuxcontinus quelconques . Ce nest qu la fin de louvrage que ces milieux seront dotsde lois de comportement, faisant la diffrence entre un solide rigide, un solide lasto-plastique, un liquide, un gaz, etc. Ces lois ne sont pas introduites de manire arbitraire,ce sont des consquences des principes de la thermodynamique prcdemment exami-ns. Les milieux hyperlastiques, les fluides stoksiens, se ramnent des cas particu-liers intressants, et cest dans cet esprit-l quils sont examins. La thermodynamiquenest pas un chapitre parmi dautres, cest elle qui organise cette mcanique gnrale en un ensemble cohrent.

    Ce livre est le fruit dun long travail de recherche et denseignement de lauteur.Son contenu a t essay sur de nombreuses promotions dlves de lENSMA(cole nationale suprieure de mcanique et darotechnique) de Poitiers, adapt anneaprs anne, enrichi de tout ce que la pratique de lenseignement peut apporter : quimieux quun enseignant pourrait savoir comment assurer lenchanement logique desparties, quelles sont les interrogations possibles de ltudiant, les questions cruciales,les points dlicats, les sujets approfondir ? Le lecteur reoit ici un produit fini etsoigneusement test.

    Sur toute ltendue de louvrage, le lecteur aura compris, aura appris manipulerles concepts gnraux, les mcanismes sous-jacents ltude de nimporte lequel desmilieux continus matriels mobiles que lon pourrait imaginer. Il aura compris lordrelogique des choses, aucun concept ntant introduit avant que cela ne devienne invi-table - et chaque concept tant exploit jusquau bout.

    Lappareil mathmatique mis en uvre est aussi conomique que le sujet le permet.Puisque nous avons affaire des milieux tridimensionnels, tout repose sur lutilisationde champs de vecteurs fonctions du point et du temps, dapplications dfinies sur detels champs (do ncessairement lapparition des tenseurs) et doprations de driva-tion et dintgration mettant en jeu des champs de vecteurs et de tenseurs. Les concepts

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  • Prface VII

    sont expliqus au fil du texte et analyss en dtail dans les annexes finales. Cest unappareil mathmatique pas trop encombrant, et le lecteur naura pas de difficult las-similer.

    Lauteur propose au lecteur de vrifier la bonne comprhension du texte laidedun choix dexercices, prsents avec leurs corrigs.

    Le livre est crit dans un style agrable, clair et prcis, et avec un humour auquelles ouvrages de mathmatiques et de mcanique ne semblent pas avoir souventrecours... Il ne sagit pas de suggrer que la mcanique est un jeu elle nen est pasun. Mais lauteur nous montre que lexpos de questions hautement srieuses peut sefaire sur un ton amical et agrable, un ton qui nous permet de sourire de temps autre au milieu dun raisonnement qui reste, videmment, technique et rigoureux. Les des-sins nuance humoristique qui apparaissent ici et l participent de ce mme esprit.

    Il ny a pas de voie royale en mathmatiques, en mcanique du continu nonplus. Le livre a demand un travail considrable son auteur ; le lecteur devra fournirsa part deffort. Cest un ouvrage parfaitement articul, o tout est bien expliqu, endtail, exemples lappui. Mais cest un texte travailler, non parcourir. La rcom-pense est au bout du chemin : le lecteur sera en mesure daborder la littrature derecherche contemporaine, en mesure dessayer dy participer.

    Cest un outil de travail, accessible tout tudiant-ingnieur, tout tudiant dunmaster en mcanique. Il sera trs utile aux enseignants de mcanique et des sciences delingnieur : il les incitera construire des enseignements nouveaux, jour .

    On ne peut pas prvoir quoi ressemblera la mcanique des milieux continus dansun quart de sicle. Mais je suis convaincu que louvrage du professeur Jean Coirier gar-dera toute son actualit et sa fracheur pendant au moins dix ou quinze ans.

    Plongez-vous dans ce livre, papier et crayon la main. Au fil de la lecture, vousdcouvrirez des terres nouvelles. Cet ouvrage vaut vraiment le voyage.

    Liviu Solomon,

    Matre de Confrences luniversit de Bucarest (de 1953 1971)et Professeur luniversit de Poitiers (de 1971 1992).

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  • Avant-propos

    Vous le savez, la mcanique est partout. Elle rgit aussi bien les mouvements desgalaxies que ceux des particules lmentaires. Et la mcanique des milieux dits continus , objet de cet ouvrage, occupe sa juste place dans son domaine qui est celuide lchelle humaine , loin de linfiniment petit et de linfiniment grand. Voil quien fait une science a priori utile et sduisante. Et pourtant combien de livres la concer-nant qui sont referms peine entrouverts. Cest quelle se dfend bien, la canaille,dressant son barrage dquations devant qui veut forcer sa porte sans avoir acquis aupralable une solide culture mathmatique.

    Que dquations, que dquations ! , pourrait-on dire en parodiant Mac-Mahon.Il y en a en effet pour tous les gots (ou tous les dgots) : des petites, des moyenneset des grandes, des scalaires, des vectorielles et des tensorielles, des fondamentales etcertaines dont on murmure quelles le seraient moins. Il ny a qu se baisser pour enramasser, mais linquitant, cest que certains ne sen relvent pas.

    Cest pour ceux-l et pour les autres que ce livre a t crit, sorte de guide usage personnel pour se frayer un chemin dans la jungle des quations, se sentir biendans sa peau dtudiant en mcanique et il ny a pas de honte cela russir ses exa-mens.

    Ce nest en effet que lorsque loutil est matris quon peut sen servir. En mca-nique, les quations ne sont pas une fin en soi, mais le fameux sens physique , siindispensable et si fcond soit-il, risque de ne pouvoir donner sa pleine mesure sil nepeut sexprimer libre de toute entrave mathmatique.

    Le mot dordre de cet ouvrage voudrait tre : Dmythifions . Car sil est desmythes utiles, il en est aussi de paralysants et cest ceux-l que ce livre veut faire lachasse.

    Non, les tenseurs ne sont pas ces monstres, la tte surmonte de deux barres,chargs dinterdire laccs de la grotte de la connaissance qui na pas fait (ou ne ferapas) Polytechnique. Non, les quations fondamentales de la mcanique ne sont pasaussi nombreuses que les desses de lOlympe. On nen compte que cinq et elles ontentre elles un petit air de famille qui vous les rend moins farouches. Non, ces lutins far-ceurs que sont les drives particulaires, les gradients, les divergences, les rotation-nels... ne sont pas l pour vous compliquer lexistence, mais au contraire pour vous gui-der sur le chemin.

    mes parents,

    Monsieur le Professeur Claude Mathurinqui ma montr que la science pouvait tre

    la fois utile et belle

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  • X Avant-propos

    Pour vous en convaincre, nous allons prendre notre temps, ne pas craindre la rp-tition, essayer de dtailler mme ce qui peut paratre vident en nous fondant surune exprience denseignement. Beaucoup de dveloppements ou de commentairesquun lecteur averti pourra considrer comme superflus sont en fait issus de questionsmaintes fois poses par des tudiants lors de sances dites de mise niveau au coursdesquelles les masques tombent plus aisment.

    Nommer, cest commencer connatre. Pour apprivoiser une formule, un moyenefficace est de pouvoir appeler chacun de ses termes par son nom. Nous avons essayde mettre laccent sur la dnomination prcise des grandeurs introduites. Celui qui faitla distinction entre un taux de dilatation volumique et une dilatation volumique est djdans la bonne direction.

    Lessentiel de notre propos est de traiter les lois et notions fondamentales valablespour un milieu continu avant quon ncrive ses lois de comportement, en particulieravant quon ne prcise sil sagit dun solide ou dun fluide.

    Au chapitre 1, nous prsentons donc le hros de la pice : le milieu continu, ainsique les deux faons les plus classiques de dcrire son mouvement.

    Les dformations que subit un tel milieu, entre un tat dit initial et un tat actuelqualifi de final , font lobjet du chapitre 2.

    Au chapitre 3, on sintresse non plus la comparaison entre le dpart et larrivemais aux vitesses avec lesquelles les principales grandeurs mcaniques voluent chaque instant du parcours.

    La masse sintroduit au chapitre 4, accompagne de son invitable axiome deconservation.

    Le terrain est alors prpar pour larrive solennelle au chapitre 5 de la loi fonda-mentale de la mcanique; cest alors quapparat la notion de contrainte.

    Au chapitre 6, nous faisons une petite pause pour insister sur la structure communedite quation de bilan qui caractrise aussi bien les lois mcaniques dj prsentesque les lois thermodynamiques venir.

    Le chapitre 7 nous fait entrer dans le monde de la thermodynamique vu au traversdes lunettes du mcanicien. On y retrouve le premier et le second principes sous lesformes respectives des lois de bilan dnergie et dentropie. A la fin de ce chapitre, unregard en arrire nous montre que, dans notre enthousiasme, nous avons introduitdepuis le dbut de notre qute plus dinconnues (beaucoup plus !) que dquations.Cela na rien de surprenant. Il fallait bien sattendre devoir prciser, un moment ou un autre, la nature du milieu tudi cest--dire crire des lois dites de comporte-ment , sujet qui sera abord la fin de louvrage (chapitre 9).

    Afin de permettre la prise en compte de phnomnes conduisant de fortes varia-tions des grandeurs mcaniques ou thermodynamiques sur des distances trs petites(surfaces de contact, ondes de choc), il est possible de saffranchir des hypothses destricte continuit faites jusqu prsent. Le chapitre 8 prsente ainsi, pour chaque loi debilan, une relation appele quation aux discontinuits .

    Enfin, comme annonc prcdemment, le chapitre 9 prsente quelques notionsgnrales portant sur les lois de comportement et jette ainsi un pont ouvrant la voie versla mcanique des solides dformables et la mcanique des fluides.

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  • Avant-propos XI

    la fin de chaque chapitre, on trouvera des exercices corrigs, de longueurvariable, permettant de passer en revue de nombreux points du cours. Ils sont prcdsdun tableau rcapitulatif donnant les formules juges essentielles.

    On trouvera la fin du livre une bibliographie, une liste des notations utilises(avec les dimensions et les units S.I. correspondantes) et un index alphabtiquedtaill.

    Lespoir de lauteur est que, lorsque les concepts de base de la mcanique desmilieux continus auront t assimils, la voie soit libre pour une tude paisible deslivres de mcanique des solides et de mcanique des fluides. Alors pourront tre trai-tes en profondeur des applications classiques ou appartenant encore au domaine de larecherche.

    Mes premiers remerciements vont ceux qui mont initi la mcanique desmilieux continus, soit par voie directe : MM. Claude Mathurin, Jean-Laurent Peube,Liviu Solomon..., soit par lentremise de leurs ouvrages : MM. Paul Germain, CemalEringen, Jean Salenon, Clifford Truesdell... Parmi ces derniers, je distinguerai PaulGermain dont les uvres ont marqu toute une gnration denseignants et de cher-cheurs en mcanique. Le prsent livre lui doit videmment beaucoup.

    M. Liviu Solomon a bien voulu prfacer cet ouvrage. Je len remercie du fond ducur. Je lui sais gr galement de mavoir encourag et prodigu ses conseils ds lori-gine du projet de rdaction. Tous les mcaniciens de luniversit de Poitiers et biendautres ont pu apprcier pendant de nombreuses annes sa vaste culture (qui dbordelargement le cadre de la mcanique) et sa disponibilit constante pour la communiquerpar des ouvrages, des polycopis et des sminaires.

    La tche de relecteur est des plus ingrates et des plus dsintresses. Je remercietout particulirement M. Paul-Emile Lemonnier qui a distrait une partie de sa retraitehorticole pour plucher, avec une minutie de bndictin, la totalit du manuscrit. Je luisuis redevable de son amiti et de nombreuses remarques argumentes qui auraientmrit en elles-mmes une publication.

    M. Andr Dragon na pas compt, lui non plus, ses heures pour me permettre deprofiter de sa culture de mcanicien des solides. Quil soit remerci pour sa comp-tence aigu et son amiti des moments difficiles du parcours.

    Je remercie galement les collgues qui se sont compromis dans la relecture et lacritique de tel ou tel chapitre : MM. Lionel Buthaud, Alain Cimetire, Claude Do,Denys Gamby, Frdric Pons, Alain Renaud, Jean-Pierre Romain et Ren Souchet. Jene veux pas oublier non plus ceux qui mont consacr de leur temps pour une discus-sion ou une mise au point autour dun point particulier. Mme Rene Gatignol, MM.Pascal Ardonceau, Philippe Deystuynder, Paul Germain, Alain Neme, Paul Rouge,Claude Valle se reconnatront.

    Comme lhabitude de publier des manuscrits sest perdue dans la communautscientifique, il a fallu, pour la premire dition, transformer le mien en PC-Script. Cettetransformation sest opre grce lnergie opinitre de Mmes Jocelyne Bardeau etFranoise Tournerie qui ont pris pour cela sur leur temps libre. Quelles soient remer-cies pour leur patience infinie et pour avoir su mettre leurs comptences au diapasondu travail demand, guides en cela par Mmes Anne Bourguignon et Jolle Declercqdes ditions Dunod.

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  • XII Avant-propos

    Les figures et la mise en page dfinitive ont t faites par M. Christophe Quintard.Christophe fait partie de ces techniciens de lordinateur qui savent retrouver sur cetoutil de travail lme des artisans et des artistes dantan. Je le remercie davoir apportune contribution essentielle la prsentation de cet ouvrage.

    Enfin jexprime toute ma reconnaissance amicale M. Jean-Pierre Petit qui a bienvoulu laisser Anselme Lanturlu nous prouver que la mcanique des milieux continuspouvait tre, selon le joli mot de Jean-Claude Bne, jubilatoire .

    La quatrime dition du prsent ouvrage a bnfici de la collaboration de CaroleNadot, matre de confrences lISAE-ENSMA et chercheuse lInstitut Pprime. Celaavait dj t le cas lors de la troisime dition pour laquelle Carole avait rcrit le cha-pitre 9 sur les lois de comportement. Je la remercie bien sincrement de cette collabo-ration.

    Merci galement Mmes Ltitia Hrin et Coline Laquche des ditions Dunodpour leur aide et leurs conseils.

    Jean Coirier

    En complment au prsent ouvrage, on pourra trouver sur le site dunod.comquelques notes bibliographiques de savants (mathmaticiens, mcaniciens, thermody-namiciens,...) ayant donn leur nom un rsultat ou un concept cit dans le texte.

    Mme si les indications donnes sont sommaires, elles permettent un premiercontact avec ces personnages de la science dont on connat souvent tout au plus tel outel thorme (Cauchy, Riemann, Clausius, etc.).

    Ces notes voudraient susciter lenvie daller plus loin par la lecture de livres sp-cialiss dont certains sont rpertoris dans la bibliographie donne la fin de cetouvrage.

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  • Table des matires

    PRFACE V

    AVANT-PROPOS IX

    CHAPITRE 1 DESCRIPTIONS DU MOUVEMENT DUN MILIEU CONTINU 1

    1.1 Solides, fluides 11.2 Milieu continu 41.3 La thorie cintique des gaz 61.4 Mouvement dun systme matriel 81.5 Description lagrangienne du mouvement 131.6 Description eulrienne du mouvement 21Principales formules 30EXERCICES 32

    CHAPITRE 2 DFORMATIONS 39

    2.1 Notion intuitive de dformation 402.2 Gradient de la transformation 412.3 Transport convectif 492.4 Dilatations 532.5 Dformations 602.6 Dplacements 652.7 Dcomposition du dplacement 672.8 Cas dun mouvement rigidifiant 792.9 Dformations en petites transformations 812.10 tats de dformation particuliers 912.11 Conditions de compatibilit 95Principales formules 100EXERCICES 102

    CHAPITRE 3 CINMATIQUE 108

    3.1 Notion de drive particulaire 1093.2 Drive particulaire dune fonction de point 109

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  • XIV Table des matires

    3.3 Drives particulaires dun vecteur, dun vecteur-aire, dun volume lmentaires 115

    3.4 Drives particulaires dintgrales : circulation, flux, intgrale de volume 120

    3.5 Mouvement isochore 1303.6 Drivation selon un champ de vitesses quelconque 1343.7 Taux de dformation, taux de rotation 136Principales formules 147EXERCICES 150

    CHAPITRE 4 CONSERVATION DE LA MASSE 155

    4.1 Conservation de la masse 1554.2 Conservation de la masse en description eulrienne 1574.3 Conservation de la masse en description lagrangienne 1614.4 Cas dun mouvement isochore 1644.5 Application au calcul de certaines drives particulaires 1654.6 Cas dun mouvement interne 1684.7 Fonction de courant pour certains mouvements permanents 170Principales formules 172EXERCICES 174

    CHAPITRE 5 BILAN DE QUANTIT DE MOUVEMENT. CONTRAINTES 177

    5.1 Efforts exercs sur une partie dun systme matriel 1785.2 Torseur cintique et torseur dynamique 1815.3 Loi fondamentale de la dynamique 1835.4 Existence du tenseur des contraintes de Cauchy 1865.5 Retour sur la loi fondamentale de la dynamique 1895.6 Conditions aux limites naturelles 1945.7 tude du tenseur des contraintes de Cauchy 1955.8 Cercles de Mohr 2005.9 Quelques tats de contraintes particuliers 2055.10 Contraintes en description lagrangienne 2095.11 Efforts intrieurs. Thorme de lnergie cintique 2135.12 Principe des puissances virtuelles 220Principales formules 225EXERCICES 228

    CHAPITRE 6 QUATIONS DE BILAN 240

    6.1 Flux convectif 242

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  • Table des matires XV

    6.2 quation de bilan pour un domaine matriel (description eulrienne) 2446.3 quation de bilan pour un domaine anim dun mouvement propre 2506.4 quation de bilan pour un domaine fixe 2536.5 Forme locale dune quation de bilan 2556.6 Conditions aux limites naturelles 2586.7 quation de bilan en description lagrangienne 2616.8 Tableau des correspondances 263Principales formules 264

    CHAPITRE 7 BILANS DNERGIE ET DENTROPIE 266

    7.1 Bilan dnergie (premier principe de la thermodynamique) 2677.2 Bilan dnergie interne 2767.3 nergie de dformation 2797.4 Bilan dnergie interne en description lagrangienne 2867.5 Bilan dentropie (second principe de la thermodynamique) 2877.6 Bilan des lois de bilan 298Principales formules 300EXERCICES 302

    CHAPITRE 8 QUATION AUX DISCONTINUITS ASSOCIE UNE LOI DE BILAN 305

    8.1 Domaine matriel travers par une surface de discontinuit 3078.2 Drive particulaire dune intgrale de volume 3098.3 quation aux discontinuits associe une loi de bilan 3118.4 Application la loi de conservation de la masse 3148.5 Application la loi de bilan de quantit de mouvement 3168.6 Application la loi de bilan dnergie 3188.7 quation de Rankine-Hugoniot 3228.8 Application au bilan dentropie 3228.9 quation aux discontinuits en description lagrangienne 323Principales formules 327EXERCICE 328

    CHAPITRE 9 LOIS DE COMPORTEMENT 330

    9.1 Gnralits sur les lois de comportement 3319.2 Variables dtat 3389.3 Potentiel thermodynamique et lois dtat 3409.4 Dissipation et lois complmentaires 3519.5 Bilan 361

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  • XVI Table des matires

    9.6 Milieux hyperlastiques 3649.7 Fluides divariants 373ANNEXE 386EXERCICES 390

    ANNEXE A ALGBRE TENSORIELLE 402

    A.1 Espaces 403A.2 Convention de lindice muet 404A.3 Tenseurs 405A.4 Produit tensoriel 413A.5 Contraction dun tenseur 417A.6 Produit contract 418A.7 Tenseur dorientation 424A.8 Formulaire dalgbre tensorielle 430EXERCICES 432

    ANNEXE B ANALYSE TENSORIELLE 435

    B.1 Gradient 436B.2 Divergence 438B.3 Laplacien 440B.4 Rotationnel 441B.5 Transformations dintgrales 443B.6 Formulaire danalyse tensorielle 446EXERCICES 450

    ANNEXE C OPRATEURS AUX DRIVES PARTIELLESEN COORDONNES CURVILIGNES ORTHOGONALES 452

    C.1 Systme de coordonnes curvilignes orthogonales 452C.2 Coordonnes cartsiennes 458C.3 Coordonnes cylindriques 460C.4 Coordonnes sphriques 462

    BIBLIOGRAPHIE 465

    NOTATIONS, DIMENSIONS, UNITS 471

    INDEX 481

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  • Chapitre 1

    Descriptions du mouvementdun milieu continu

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    1.1 SOLIDES, FLUIDES

    1.1.1 Notions intuitives

    Les milieux matriels dont nous souhaitons tudier les mouvements sont commun-ment appels solides et fluides . Ces deux notions, comme beaucoup de notionspremires, ne sont pas si simples dfinir. Le problme se complique encore lorsquonsouhaite, comme tout un chacun, distinguer les liquides et les gaz lintrieur de lafamille des fluides.

    Une enqute au micro-cravate dans une rue pitonne dune bonne ville franaisetmoignerait sans nul doute de la perplexit de nos concitoyens sur ces sujets. Plusfacile raliser est la consultation dun dictionnaire. Ouvrons le Petit Robert [63] etregardons dabord, parmi les dfinitions, celles relatives lusage courant :

    Fluide : Qui nest ni solide, ni pais, qui coule aisment . Mais lhuile par exem-ple, cest pais ou non ? Allons voir solide .

    Solide : Qui a de la consistance, qui nest pas liquide, tout en pouvant tre plusou moins mou . Qui nest pas liquide, avez-vous dit ? Feuilletons jusqu liquide .

    Liquide : Tout corps qui coule ou tend couler . Peut-on dire que le sable secqui coule entre les doigts est un liquide ?

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  • Comme on le voit, la frontire est bien floue entre un corps plus ou moins mou et un corps qui tend couler . Les choses deviennent plus srieuses avec les dfini-tions scientifiques qui suivent les prcdentes dans le mme dictionnaire.

    Fluide : Tout corps qui se laisse dformer sous laction de forces minimes ; toutcorps qui pouse la forme de son contenant .

    Solide : Se dit dun corps dans lequel les molcules sont trs rapproches les unesdes autres et vibrent avec une trs faible amplitude autour de leur position dquilibre ;qui a de la cohsion, garde une forme relativement constante lorsquil nest pas soumis des forces extrieures .

    Liquide : Tout corps ltat fluide, pratiquement incompressible et form de cor-puscules (ions ou molcules) soumis de faibles attractions .

    Sur notre lance, regardons gaz :

    Gaz : Tout corps qui se prsente ltat de fluide expansible et compressible (tatgazeux) dans les conditions de temprature et de pression normales .

    On voit dj se dgager quelques pistes :

    celles lies la forme tout dabord ; un solide a une forme propre susceptible dechanger certes, mais on le reconnat ; un fluide, quant lui, a moins de caractre etprend la forme du rcipient qui le contient ;

    celles lies aux forces exercer pour dformer le milieu ; pour les fluides, elles sontfaibles devant celles ncessaires la dformation dun solide ; en particulier unfluide ne peut rester insensible une caresse tangentielle ;

    celles lies la compressibilit ; dans la famille des fluides, les liquides semblentrfractaires la compression, ce qui nest pas le cas des gaz.

    On progresse, mais on est encore loin du but. Les frontires ne sont toujours pasnettement marques. Tout peintre amateur (ou professionnel) a pu constater par exem-ple que certaines peintures ont un comportement de solide si on les laisse reposer uncertain temps. Mais une agitation nergique redonne une peinture solidifie sonaspect liquide, ce qui permet de passer la deuxime couche. Alors une telle peinture,solide ou liquide ?

    Il est grand temps daller chercher notre microscope et daller voir dun peu plusprs ce qui se passe.

    1.1.2 Aspects microscopiques

    Cest ltude de la structure molculaire dun solide, dun liquide ou dun gaz qui vanous permettre daller un peu plus loin dans nos investigations.

    Observons la taille du personnage central : la molcule. Pour le moment nous igno-rons les francs-tireurs que peuvent tre les ions ou les lectrons libres. La taille dunemolcule varie videmment avec le milieu considr. Disons quelle est de lordre de1010 m, cest--dire dun angstrm : 1 , soit un dix millime de micron (104 m).Si on assimile une molcule une sphre, on peut lui attribuer par exemple, pour delair, un diamtre = 3,7 .

    2 1 Descriptions du mouvement dun milieu continu

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  • Considrons un gaz appel communment gaz parfait ou idal. De quel volumedispose notre molcule pour voluer dans un tel gaz ? On sait que 22,4 litres contien-nent, dans des conditions normales de temprature et de pression (273 K, 1 atmo-sphre) 6,023 1023 molcules (nombre dAvogadro).

    Lespace vital de chaque molcule est donc en moyenne de :22,4 1036,023 1023 m

    3 ,

    soit 3,7 1026 m3, cest--dire environ 1 400 fois le volume de la particule elle-mme. Le moins quon puisse dire est quelle est son aise. Et pourtant, elle partage

    un espace de 1 cm3 avec 2,69 1019 (moins une) de ses compagnes.La matire est donc loin de remplir tout lespace quelle semble occuper. Cette rela-

    tive discrtion est encore aggrave par le fait que la masse dune molcule est elle-mme principalement concentre dans les noyaux des atomes.

    Regardons maintenant les forces sexerant entre molcules. Il sagit l de phno-mnes fort complexes. Il ne faut jamais perdre de vue que lapproche molculaire nestquune modlisation tendant rendre compte de quelques aspects de la ralit . Cequi va suivre ne constitue donc quune approche relativement grossire.

    Toujours dans le cadre de cette schmatisa-tion, on considre que chaque molcule estsphrique et que, pour un mme corps, ellessont toutes identiques.

    En gnral deux molcules sattirent, saufsi la distance d sparant les centres de cesmolcules est de lordre de grandeur de leurdiamtre . Alors dans un rflexe bien compr-hensible de dfense de leur intgrit, ellesdveloppent une force rpulsive. Si d est granddevant (de 10 100 par exemple), lesactions mutuelles sont dattraction faible, din-tensit variant comme d7, puis d3 si d aug-mente. une distance d0 de lordre de 3 4 ,les molcules sont en position dquilibre sta-ble lune par rapport lautre.

    Ces considrations (trs schmatiques, rappelons-le) sont rsumes sur la figure 1.1quon peut trouver par exemple dans la rfrence [37] page 3.

    Revenons maintenant nos solides, liquides et gaz. On a vu que, dans un gaz par-fait aux conditions normales, les molcules disposaient pour se mouvoir dun volumegrand devant 3. Les forces dattraction entre molcules sont donc faibles, sauf si deuxdentre elles se rapprochent lune de lautre. Chaque molcule a ainsi une certainelibert dexplorer le monde. Un gaz tend occuper tout le volume qui lui est offert.

    Dans un solide ou un liquide au contraire, les molcules sont aussi rapproches queles forces de rpulsion le permettent ; d est de lordre de . La cohsion du milieu estdonc trs forte. On conoit qualors le milieu oppose une rsistance la compressionou lextension.

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    .1.1 Solides, fluides 3

    Figure 1.1 Force de rpulsion ou dattraction entre deux molcules.

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  • Pour un solide, la disposition des molcules les unes par rapport aux autres est qua-siment permanente. La structure densemble peut tre considre comme fixe tant quela temprature napproche pas la temprature de fusion. Chaque molcule est donccontrainte de rester dans son village dorigine. Pour se dgourdir les jambes, elle nepeut queffectuer des oscillations de faible amplitude (agitation thermique).

    Les molcules dun liquide ont une libert de mouvement quon pourrait qualifierdintermdiaire entre celle des molcules dun solide et celle des molcules dun gaz.Certaines peuvent passer dun groupe un autre. Larrangement molculaire se modi-fie sans cesse.

    1.2 MILIEU CONTINU

    Il ressort de ce qui prcde que les proprits dun milieu, quil soit solide ou fluide,ne sont pas uniformment distribues. La distribution apparat dautant moins uniformeque lchelle dexamen est plus petite.

    La mcanique dite des milieux continus sintresse au comportement de lamatire une chelle grande devant les distances inter-molculaires, si bien que lastructure molculaire pourra ne pas tre prise en compte de faon explicite.

    Do lhypothse du milieu continu : un milieu continu est un milieu dont lecomportement macroscopique peut tre schmatis en supposant la matire rpartiesur tout le domaine quil occupe, et non, comme dans la ralit , concentre dansune partie de volume trs petite.

    Les quantits introduites lors de la schmatisation et associes la matire (parexemple : masse volumique, vitesse,...) sont elles aussi considres comme rpartiessur tout le domaine occup par le milieu. On les reprsente alors par des fonctionscontinues.

    Pour illustrer ce propos, considrons un volume V occup par un milieu matriel ettraons la courbe reprsentative des valeurs du rapport M/V en fonction de V,M tantla masse de matire contenue dans V.

    Pour de faibles valeurs de V, le pcheur de matire va connatre les alas de toutpcheur. Partant de V = 0 et augmentant la taille de son filet, tantt il ramne un nom-bre important de molcules, tantt il est quasiment bredouille. Les valeurs de M/Vquil obtient sont donc trs fluctuantes.

    partir dun certain volume (not V1 sur la figure 1.2), un effet de moyenne vasinstaurer et M/V va prendre une valeur constante pour V variant de V1 V2. Cettevaleur sera considre par le mcanicien des milieux continus comme la valeur localede ce quil va appeler la masse volumique.

    Une particule macroscopique, dont la position sera assimile un point gomtriquedans la schmatisation du milieu continu, sera en fait la reprsentante de particulesmicroscopiques contenues dans un volume compris entre V1 et V2.

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  • Il est important de noter quune particule ne correspond pas un ensemble dter-min de molcules. Au cours de lvolution dun milieu continu, une partie des mol-cules appartenant une particule sera change avec les particules voisines aux instantsultrieurs en raison du mouvement dagitation lchelle microscopique. Ce processusest lorigine des phnomnes dits de diffusion (quantit de mouvement, chaleur,etc.) (cf. [26] p. 90).

    Une variation ventuelle de M/V pourV > V2 sera interprte comme rsultantdune distribution spatiale non constantede masse volumique.

    La validit de lhypothse du milieucontinu dpend de lchelle dobservation,donc de la dimension des volumes appr-hends par les instruments de mesure.

    Cette dimension doit tre suffisam-ment petite pour que la mesure puisse treconsidre comme locale et suffisammentgrande pour que le volume contienne ungrand nombre de molcules. Les fluctua-tions des grandeurs mesures seront alorsapprhendes par leurs moyennes spatia-les et temporelles considres commeindpendantes du nombre de molculesappartenant au volume durant la mesure.

    En gnral un appareil apprhendant un volume de 109 cm3 pourra tre considrcomme fournissant une mesure locale. En effet les phnomnes observs habituelle-ment en mcanique des milieux continus ne subissent pas de variations notables surune distance de 103 cm = 10 m, exception faite toutefois des phnomnes dondesde choc. Si petit que soit un tel volume, il contient nanmoins 2,69 1010 molculesdair dans les conditions normales.

    Nous venons de faire allusion aux ondes de choc. Il peut exister en effet, au seindun milieu dit continu, des zones o les grandeurs caractristiques du mouvement(vitesse, pression, temprature,...) varient brusquement sur des distances trs faibles. Ilest alors judicieux dassimiler ces zones des surfaces de discontinuit (cf. chapitre 8).Cest lexception qui confirme la rgle.

    Lhypothse du milieu continu est mise en dfaut en particulier pour des milieux pos-sdant une microstructure dont lchelle se situe entre les chelles microscopique et macro-scopique. Citons en particulier les milieux granuleux, les matriaux composites, des liqui-des macromolcules,... Pour ces milieux, le volume V1 peut tre de lordre du cm3.

    Lorsque le milieu est un gaz rarfi, la diminution du nombre des molcules fausse leseffets de moyenne si on apprhende des volumes de lordre de 109 cm3. Dans lat-mosphre par exemple, 100 km daltitude, le nombre de molcules dair compris dans untel volume nest plus que de lordre de 104 alors que nous venons de voir quil tait de lor-dre de 1010 dans des conditions normales ; le modle du milieu continu nest plus adapt.

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    .1.2 Milieu continu 5

    Figure 1.2 Mesure de la masse volumique en fonction

    du volume apprhend.

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  • 1.3 LA THORIE CINTIQUE DES GAZ

    Le point de vue du mcanicien du milieu continu est donc celui du myope qui voit, lchelle macroscopique, la matire comme rpartie continment dans tout levolume dtude. Toutefois il peut tre instructif de tirer parti de rsultats obtenus l-chelle microscopique pour en dduire certaines caractristiques des modles macro-scopiques.

    Dans le domaine des gaz en particulier, cette dmarche a donn des rsultats signi-ficatifs. La voie a t ouverte en 1738 par Daniel Bernoulli qui retrouva, en consid-rant de petits corpuscules anims en tous sens dun mouvement trs rapide , la loide proportionnalit entre la pression de lair et sa masse volumique temprature cons-tante. Mais ce sont principalement Clausius, Maxwell, Boltzmann et Gibbs qui donn-rent ses lettres de noblesse ce quon appelle aujourdhui la thorie cintique des gaz.

    Il nest pas dans notre propos de faire une tude de cette thorie, ce qui ncessite-rait de longs dveloppements. Notre but est seulement dindiquer quil existe des pas-serelles entre les deux mondes, celui du microscopique et celui du macroscopique.Nous mentionnerons simplement quelques ides de base et quelques rsultats. Pour unetude plus complte, on pourra consulter notamment les ouvrages de E. Belorizky etW. Gorecki [49], S. Chapmann et T.G. Cowling [50], E. Guyon, J.P. Hulin et L. Petit[39], J.O. Hirschfelder, C.F. Curtiss et R.B. Bird [51], F.A. Williams [52].

    Lide de dpart dans la forme la plus simple de la thorie est dappliquer leslois de la mcanique du solide indformable aux molcules considres comme dessphres rigides de diamtre . Dans un gaz, tant donnes les faibles interactions exis-tant entre les molcules, chacune dentre elles sera considre comme en vol libre entre deux rencontres. Ces rencontres qui provoquent une dviation de la course desmolcules vont tre schmatises de faon quelque peu abrupte par des collisions entrecorps indformables. La trajectoire de chaque molcule sera une ligne brise. Noussommes donc convis une gigantesque partie de billard. Dans les schmatisations lesplus simples, les chocs sont supposs parfaitement lastiques et on nglige ceuxconcernant plus de deux molcules.

    La distance moyenne parcourue entre deux collisions successives est appele libreparcours moyen. Nous la noterons l . titre indicatif signalons que l est de lordre de 107 m, soit 103 , pour une molcule dair au niveau du sol et de lordre du mtre 110 km daltitude.

    Le tableau page suivante donne quelques valeurs de l pour une atmosphre ditestandard.

    Lespoir de traiter le mouvement dun gaz non rarfi par la seule considration decelui de ses molcules se heurte vite un obstacle majeur : le nombre imposant desdites molcules considrer (de lordre de 1019 par cm3 pour de lair au niveau du sol).On est donc conduit tout naturellement une approche statistique. Cette approche estnon seulement oblige, mais aussi physiquement satisfaisante puisquun appareil demesure na accs qu des grandeurs moyennes sur un petit volume (et un court inter-valle de temps).

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  • Il sagit alors de dfinir la valeur moyenne dune quantit. On utilise pour cela une

    fonction densit de probabilit lie la vitesse v des molcules. Cette fonctiondpend du point et de linstant considrs. Elle permet de dfinir une vitesse moyenne

    note v et une vitesse quadratique moyenne ( v2 )1/2 , v dsignant la norme du vecteurv .

    Indiquons brivement quelques rsultats obtenus avec les schmatisations les plussimples. Nous nous limitons au cas o le milieu considr ne contient quune espcechimique : un gaz mono-atomique. Nous supposons en outre que ce gaz est au repos ;la vitesse v dune molcule est alors la vitesse dagitation thermique.

    On peut montrer que la pression p sexerant au sein dun tel milieu peut tre relie la vitesse quadratique moyenne par la relation :

    p = 13

    nmv2 = 13v2 (1.1)

    o n est le nombre de molcules par unit de volume, m la masse dune molcule, = nm la masse volumique.

    Pour obtenir ce rsultat, on considre les variations de quantit de mouvementrsultant des chocs des molcules sur un lment de surface immerg dans le gaz.

    On dfinit la temprature absolue T pour un gaz au repos par :

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    2kT = 1

    2mv2 (1.2)

    o k est la constante de Boltzmann : k = 1,38 10 23 JK1 (joule par kelvin).La notion dnergie thermique est alors relie celle dnergie cintique dagita-

    tion des molcules. Elle apparat ainsi comme une nergie mcanique cache. D

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    .1.3 La thorie cintique des gaz 7

    TABLEAU 1.1 TEMPRATURE, NOMBRE DE MOLCULES PAR m3 ET LIBRE PARCOURS MOYENDANS UNE ATMOSPHRE STANDARD (1976 US STANDARD ATMOSPHRE) DAPRS LA RFRENCE [62].

    Altitude Temprature T Nombre de molcules Libre parcours moyen lkm K par m3 m

    0 288 2,5 1025 6,6 10810 223 8,6 1024 2 10750 271 2,1 1022 7,9 105100 195 1,2 1019 0,14150 634 5,2 1016 33200 855 7,2 1015 240300 976 6,5 1014 2600900 1 000 7,9 1011 2,1 106

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  • La relation (1.2) permet un calcul de lordre de grandeur de la vitesse quadratiquemoyenne. On trouve par exemple pour de lair sous une atmosphre tempratureambiante : ( v2 )1/2 500 ms1 .

    Le libre parcours moyen l est donn par :

    l = 1

    2n2(1.3)

    Un des apports essentiels de la thorie cintique des gaz est de fournir des informationssur des coefficients dits de transfert , par exemple le coefficient de viscosit dyna-mique pour le transfert de quantit de mouvement et la conductivit thermique k pourle transfert de chaleur par conduction. Ces grandeurs seront introduites au chapitre 9.

    On trouve ainsi que et k sont tous les deux proportionnels v l . Une des expres-sions approches admises pour est (cf. [50] p. 98) :

    = 12

    f v l = f3/22

    kmT (1.4)

    avec : v =(

    8kT

    m

    )1/2(cf. [50] p. 70).

    Dans ces relations, f est une constante de lordre de lunit et k est la constante deBoltzmann (et non la conductivit thermique).

    Dans une telle modlisation, le coefficient de viscosit apparat, pour un gazdonn, comme ne dpendant que de la temprature. On peut noter en outre quil estproportionnel

    T .

    La conductivit thermique k est donne par : k = 12

    f v l cv (1.5)

    o cv est la capacit thermique massique plus communment appele chaleur mas-sique volume constant et f est une constante de lordre de lunit.

    1.4 MOUVEMENT DUN SYSTME MATRIEL

    Revenons lchelle macroscopique et au milieu continu (cf. 1.2). Avant de voir lapice, prsentons rapidement les acteurs.

    1.4.1 Systme matriel

    Parlons dabord de la notion de point matriel ou particule. Comme nous lavons vu auparagraphe 1.2, une particule macroscopique reprsente, dans la schmatisation dunmilieu continu, la quantit de matire contenue dans un volume V dont on a prcislordre de grandeur.

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  • Un systme matriel sera un ensemble de particules. Qui dit matriel sous-entend masse . Cette notion ne sera introduite quau chapitre 4, car elle nest pasncessaire pour dcrire la cinmatique ou les dformations dun milieu. Nous nen qua-lifierons pas moins ds prsent de matriels les systmes que nous allons tudier.

    Prcisons dentre que, dans cet ouvrage, nous ne nous intresserons qu des sys-tmes tridimensionnels. Dans certains cas, il est possible de mettre en oeuvre desapproches bidimensionnelles (pour des plaques ou des coques, par exemple) ou unidi-mensionnelles (pour des fils, des tiges, des poutres de grand allongement, par exem-ple). Ces questions sont traites dans des ouvrages spcialiss.

    Dautre part, nous ne considrerons que des systmes forms dun seul constituantou dun nombre fini de constituants non miscibles. La thorie des mlanges ncessitedes dveloppements particuliers quon pourra trouver notamment dans les rfrences[8b] et [51].

    Les acteurs venant dtre prsents, voyons rapidement le dcor dans lequel ils vontvoluer : lespace-temps.

    1.4.2 Le temps

    La mcanique est la science du mouvement (et des quilibres). Pour parler de mouve-ment, il faut introduire la notion de temps.

    On sait que le concept nonc par Newton au 18e sicle dun temps absolu,indpendant de lobservateur, a t remis en cause par la thorie de la relativitdEinstein.

    Dans cet ouvrage, nous nous plaons dans le cadre de la mcanique dite clas-sique qui sintresse des phnomnes pour lesquels les vitesses sont faibles devantcelle de la lumire et les dimensions ni infiniment grandes , ni infiniment peti-tes . Dans ces conditions le temps peut tre reprsent par un ensemble, indpendantde lespace, muni dune structure de droite oriente dont les lments sont appels instants . chaque instant est ainsi associe la valeur dune variable relle t , unefois choisis un instant origine et une unit de mesure de dure.

    Ajouter le temps la gomtrie, cest entrer dans le monde de la cinmatique. Onpeut crire de faon schmatique :

    GOMTRIE + TEMPS = CINMATIQUE

    1.4.3 Lespace

    Les tres mcaniques dont nous voulons tudier les volutions vont se mouvoir dans unespace dit affine de dimension 3 que nous noterons P3 et dont les lments serontappels points (gomtriques).

    On convient de reprsenter la position dun point matriel un instant t par un l-ment Mt de lespace P3, donc par un point gomtrique. On dira que Mt est la positiondu point matriel M (ou de la particule M) linstant t.

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    1.4 Mouvement dun systme matriel 9

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