Analyse

H

Suprieur

HACHETTE

Crdits photographiques Toutes les photographies de cet ouvrage proviennent de la photothque H ACHETTE L IVRE .

Composition, mise en page et schmas : Publilog Maquette intrieure : SG Cration et Pascal Plottier Maquette de couverture : Alain Vambacas c HACHETTE LIVRE 2004, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15

www.hachette-education.com I.S.B.N. 978-2-01-181903-1

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Avant-propos

Lobjectif premier de cet ouvrage est la russite aux concours et aux examens. Pour cela, nous avons tent de rendre intelligible et attrayante une petite partie des mathmatiques : celle du programme. Dans cette optique, nous souhaitons que ce livre soit un outil de travail efcace et adapt aux besoins des enseignants et des tudiants de tout niveau. Le cours est agrment de nombreux Exemples et Applications. Les Exercices aident ltudiant tester sa comprhension du cours, lui permettent dapprofondir sa connaissance des notions exposes... et de prparer les oraux des concours. Les Exercices rsolus et TD sont plus axs vers les crits des concours. Lalgorithmique et le calcul formel font partie du programme des concours. De nombreux exercices prennent en compte cette exigence ainsi que des TD dAlgorithmique entirement rdigs.

Les auteurs

3

c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

SommaireSRIES NUMRIQUES ESPACES VECTORIELS NORMS CONTINUIT SUITES ET SRIES DE FONCTIONS DRIVATION, INTGRATION DES FONCTIONS VECTORIELLES LIEN ENTRE DRIVATION ET INTGRATION FONCTIONS INTGRABLES SRIES ENTIRES SRIES DE FOURIER CALCUL DIFFRENTIEL TD : INDICATIONS ET RPONSES EXERCICES : INDICATIONS ET RPONSES INDEX5 35 63 92 116 159 192 230 254 278

311 320 379

Sries numriques

1E C T I F Sc Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Archimde (environ 287-212 av. J.-C.) tudie laire dlimite par un arc de parabole et la corde qui le sous-tend. Il introduit alors la srie : 1 1 1 1 1 1+ , 1+ + , 1+ + 4 4 16 4 16 4 et dtermine sa limite . 3 Le XVIe sicle apporte un double progrs : un effort de symbolisme mathmatique rend les calculs plus aiss et la notion de fonction se dgage de son origine gomtrique. Vers 1660, soucieux dexprimer des fonctions (ainsi ln(1 + x) et (1 + x)a ) comme somme de sries, les mathmaticiens sintressent ltude systmatique des sries. Toutefois, la dnition rigoureuse de la convergence et certains outils ci-dessous exposs napparatront quau dbut du XIXe sicle, avec Abel, Cauchy et Gauss. Les travaux de Dedekind, Weierstrass et Cantor, la n du XIXe sicle, permettront de complter la thorie. Ce chapitre vous prsente, dans le langage mathmatique daujourdhui, cette dnition et les techniques qui en dcoulent. De plus, nous verrons que ces outils peuvent ventuellement tre mis en uvre pour dterminer la nature dune suite donne, laquelle est alors transforme en une srie.

O

B

J

Notion de srie convergente. Somme et reste dune srie convergente. Comparaison de sries termes positifs pour en dterminer la nature. Sries de Riemann. Comparaison une intgrale. Rgle de dAlembert. criture dcimale dun rel positif (PSI). Critre de Cauchy des sries (PSI). Critre spcial des sries alternes. Sries absolument convergentes. Produit de Cauchy de sries absolument convergentes.

5

Analyse PC-PSI

Dans ce chapitre, lappellation srie dsignera uniquement des sries termes rels ou complexes. K est R ou C.

1Sn =

GnralitsIl arrivera que la suite u ne soit dnie qu partir dun certain rang, le plus souvent k = 1 ou k = 2. La srie ne sera alors dnie qu partir de ce rang. En pratique, connaissant (u n ), la suite (Sn ) des sommes partielles de la srie u k est dnie par la formule :n

1.1. Dnition dune srieSoit u = (u n ) une suite dlments de K . On pose, pour tout n de N :n

u k . La suite ainsi dnie S = (Sn ) est une suite dlments de K,0

appele srie associe la suite u. On la note risque de confusion sur lindice.n

u n oun

u n , sil y a un

Llment de K : Sn =0

u k est appel la somme partielle dindice n de

n

Sn =0

uk .

la srie

uk . 1 k 1 , est k

Exemple : La srie de terme gnral appele srie harmonique.

, cest--dire la srie

Rciproquement, si la suite (Sn ) est connue, le terme gnral u n de la srie est dtermin par S0 = u 0 et : n N u n = Sn Sn1 . La suite u est alors parfaitement dtermine et unique. Rapport Mines-Ponts, 2003 De trop nombreux tudiants confondent la notion de srie et la somme dune telle srie quand elle converge. Plus gnralement, on dplore un amalgame entre les notations :+ n

1.2. Convergence et divergence dune srieLa srie de terme gnral u k est dite convergente si la suite (Sn ), on

Sn =k=0

u k , converge dans K. Sinon, elle est dite divergente.

Notation Lorsque la srie u k converge, la limite de la suite (Sn ) des sommes par 0

tielles est appele somme de la srie et notec Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

u n oun=0

un .

un ,n 0

un ,n=0

u n etk=0

uk .

Thorme 1 Si la srieDmonstration

u n converge, son terme gnral tend vers 0.

Il faut bien distinguer la srie 0

u k de la somme,Le terme gnral de la srie est : u n = Sn Sn1 .

un ,

de la srie qui nest dnie que lorsque la srie converge. Deux sries qui diffrent par un nombre ni de termes sont de mme nature, cest--dire sont simultanment convergentes ou divergentes.

Une srie dont le terme gnral ne tend pas vers 0 diverge. Elle est dite srie grossirement divergente. Exemple : Une srie gomtrique est une srie associe une suite gomtrique. La srie a n converge si, et seulement si, |a| < 1. Plus gnralement, pour |a| < 1, p x dans N et c x dans C, la srie gomtrique

6

1. Sries numriquesde terme gnral c a k converge et a pour somme : k= p

k

p

c ak =

c ap . 1a

La somme dune srie gomtrique convergente est donc obtenue par la formule : premier terme 1 raison Rapport Centrale, 2001 Il est trs courant de manipuler des sries ou des intgrales alors que ce ne sont encore que des symboles. Cauchy, en 1821, crivait : Jai t forc dadmettre diverses propositions qui paratront peuttre un peu dures ; par exemple, quune srie divergente na pas de somme .

Lorsque |a|

1 et c est non nul, la srie est grossirement divergente.

Thorme 2 La suite (u n ) converge si, et seulement si, la srie converge.Dmonstration

(u n+1 u n )

Soit u = (u n ) une suite numrique. La somme partielle Sn de la srie est :n

(u n+1 u n )

Sn =k=0

(u k+1 u k ) = u n+1 u 0 .

La srie converge si, et seulement si, la suite u converge. Pour sentraner : ex. 1 4.

Exemple : Nature de la srie

1 000 n=1

N

TN =1

1 = n(n + 1)

N 1

1 1 (n + 1) n

=1

1 . N +1

1 1 000 = n(n + 1) 1 001 1 =1 n(n + 1)

n=1

La srie

1 converge donc vers 1. n(n + 1)

1.3. Reste dune srie convergenteLorsque la srie u k converge, on peut alors, pour n x dans N, dnir uk . uk . Rn = S Sn , o S est la somme de la srie Rn est appel reste dordre n de la srie

7


1 La suite (Sn ) des sommes partielles de la srie est croissante, ainsi n2 1 que celle, (Tn ), de la srie . n(n + 1) De plus : 1 1 1 n 2 . n(n + 1) n2 n(n 1) On en dduit : 1 Tn Sn 1 Tn1 . 2 Les suites (Sn ) et (Tn ) sont donc de mme nature. 1 La convergence de la suite entrane celle de la srie Avec Maple n 1 1 1 , donc celle de la srie , puis n+1 n n(n + 1) 1 . celle de la srie n2 Enn :

1 n2

Rapport E4A, 2002 Quelques erreurs trop souvent rencontres : si le terme gnrique de la srie tend vers 0 , alors celleci converge ; u(n) est quivalent 0 , donc la srie converge.

Analyse PC-PSI

Thorme 3 Soit u k une srie convergente et (Rn ) la suite des restes de cette srie. Alors : la suite (Rn ) tend vers 0 ;

pour tout n, on a Rn = n+1

uk ;

pour tout n,0

u k = Sn + Rn .

En calcul numrique, majorer |Rn | = |S Sn |, cest majorer lerreur commise en approximant S par Sn .

1.4. LinaritThorme 4 Lensemble des sries convergentes coefcients dans K est un K espace vectoriel et lapplication qui, une srie convergente, associe sa somme, est linaire. Si les sries converge. Si la srie Si les sries la srie u n et vn convergent, alors la srie (u n + vn ) 1 et 2n n divergent, mais la srie 1 n+ n n converge 2 1 et la srie n + n 2n 2 diverge. Les sries n+

u n converge et la srie u n et

vn diverge, alors la srie

(u n + vn ) diverge. vn divergent, on ne peut rien dire, a priori, de (u n + vn ).

Application 1c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

tude de la srie harmonique 1) Montrer la divergence de la srie harmonique par la comparaison une intgrale. 2) En utilisant la comparaison une intgrale, donn 1 ner un quivalent de Sn = . kk=1

1 ky

3) Donner un dveloppement asymptotique deux termes de Sn . 4) En utilisant ce rsultat, montrer que la srie 1 converge et calculer sa somme. (2n + 1)n 1) Montrons la divergence de la srie.1 n

y= 1 t

n 1

n

n +1 t

Doc. 1.

8

1. Sries numriquesLa fonction f : t dcroissante sur R+ .n+1

1 est positive, continue et t

4) Remarquons tout dabord que : 2 1 1 = + (2n + 1)n 2n + 1 n et calculons la somme partielle SN de la srie.N

n 1 dt dt . On en dduit : t n n1 t n Sommons cette ingalit de k = 1 n : n+1 1

dt t

n k=1

1 k

1+

n 1

dt . t

SN =n=1

2 + ln(N) + g + o(1). 2n + 1

En calculant les intgrales, on obtient : ln(n + 1) Sn 1 + ln(n).

De plus :N n=1

Donc, Sn tend vers + quand n tend vers +, la srie harmonique diverge. Sn 2) On obtient mme, plus prcisment, que ln(n) admet pour limite 1, cest--dire que : Sn ln(n). Avec Maple :

2 2n + 1

2N +1

= =

2n=1

1 1 n

N n=1

1 2n

2(ln(2N + 1) + g + o(1)) + 2 +(ln(N) + g + o(1)).

Donc : S N = 2 ln 2 + 1 N

+ 2 + o(1).

Finalement, nous pouvons conclure que la srie 1 converge et que sa somme est : (2n + 1)n 1

3) On pose, pour tout nn

an =1

et on tablit que les suites (an ) et (bn ) sont adjacentes. En effet :c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

la suite (an ) est dcroissante ; la suite (bn ) est croissante ; an bn = ln(n + 1) ln(n) = ln 1 + vers 0.

On note g leur limite commune. g 0,57. Le nombre g est appele la constante dEuler. ce jour, on ignore si la constante dEuler est rationnelle ou non.n k=1

10 000 n=1

1 = 9.787606036 n 1 :n 1

1 = 2 ln 2 + 2. (2n + 1)n

9.210340372

1 ln(n) et bn = k

1 ln(n + 1) k

1 n

tend

1 = ln n + g + o(1) k

Nicolaus Mercator (1620-1687), mathmaticien allemand. Il a dni le logarithme nprien comme primitive 1 de la fonction x . Cest lui qui, le premier, a x compar la srie harmonique et le logarithme. Ses travaux concernent la trigonomtrie sphrique, lastronomie, la cosmographie. la n de sa vie, il participa la construction des jeux deau de Versailles.

9

Analyse PC-PSI

2

Sries termes positifs

2.1. Premiers critresThorme 5 La suite (Sn ) des sommes partielles de la srie termes positifs est croissante. Ltude suivante sapplique galement des sries termes ngatifs, en adaptant les noncs. Plus gnralement, elle sapplique toute srie relle dont les termes sont de signe constant partir dun certain rang.

un

Corollaire 5.1 Une srie u n de rels positifs converge si, et seulement si, la suite (Sn ) des sommes partielles de cette srie est majore et, dans ce cas :

u n = lim Sn = sup Sn .0 n+ nN

Thorme 6 Soit (u n ) et (vn ) deux suites relles telles que, partir dun certain rang n 0 , on ait : n n0 0 u n vn Si : vn converge, alors u n diverge, alors u n converge ; vn diverge. sin p 4n2 + 2

Rapport Centrale, 2001 Ce nest pas parce que les sommes partielles dune srie sont bornes que celle-ci est convergente ; dans le cas envisag, cet argument sufsait parce que la srie est termes positifs, mais encore fallait-il le dire et justier la convergence de la srie avant dcrire lingalit.

Exemple : tude de la srie Remarquons que :

u n = sin p 4n 2 + 2 2np = sinc Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

2p 2 + 2 + 2n 4n

.y

Pour n positif.

2,

2p 2 + 2 + 2n 4n

est compris entre 0 et

p , donc u n est 2

1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6

2 Rappelons lingalit x p p sinus sur 0, . 2 Nous en tirons : un Or la srie

sin x

x, due la concavit de la fonction

2 2p p 4n 2 + 2 + 2n

2

1 2n + 1

1 n+1

0.

0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 x

1 diverge. Donc la srie n+1

u n diverge.Pour sentraner : ex. 5 7.

Doc. 2. Ingalit de concavit de la fonction sinus.

10

1. Sries numriques 2.2. Rgle de comparaisonThorme 7 : (Rgle de comparaison) Soit (u n ) et (an ) des suites de nombres rels positifs tels que u n = O(an ), alors la convergence de la srie an implique celle de la srieDmonstration Lhypothse u n = O(an ) se traduit par : M R+ n N Le thorme 6 permet de conclure. 0 un M an .

un .

Par contrapose Soit (u n ) et (an ) deux suites de nombres rels positifs tels que u n = O(an ), la divergence de la srie u n implique celle de la srie an .

Rapport Centrale, 1997 La rgle des quivalents ne sapplique quaux sries termes rels de signe constant. Le jury a trop (1)n souvent entendu u n , n donc u n converge.

Corollaire 7.1 Soit (u n ) et (vn ) des suites de nombres rels positifs telles que u n vn . Alors les sries u n et vn sont de mme nature, cest--dire quelles sont simultanment convergentes ou divergentes.Pour sentraner : ex. 8 et 9.

3 Exemple : La srie n2 + n + 1 n3 + a n2 + b n + c 3 Soit u n = n 2 + n + 1 n 3 + a n 2 + b n + c. Modions lexpression de u n an de pouvoir prciser la nature de la srie. un = n = 1+ 1 1 + n n n2 + 1 n3

constant est indispensable. Consi(1)n 1 + drez la srie n n pour vous en convaincre. Nous dmontrerons simplement avec les sries de Fourier que :

! Lhypothse u n est de signe

1+

a b c + + n n2 n3 +O 1 n2 .

1 a 2 3

1 1 b a2 + 2 8 3 9

1 1

1 n2

et la srie

Pour p entier naturel non nul, on sait prouver que : 1

1 = p2 p q, n2 p

2.3. Les sries de Riemann1 On appelle srie de Riemann toute srie de terme gnral a , o a est un n rel x. Thorme 8 La srie de Riemann

o q est rationnel, mais on ignore actuellement ce quil en 1 est de pour p 2. 2 p+1 n1

1 converge si, et seulement si, a > 1. na

Apry a dmontr, dans les an 1 nes 1970, que la somme n3 1 est un irrationnel.

11


Pour que la srie converge, il est ncessaire que : 3 15 a= et b = . 2 8 3 15 et b = , alors u n = O Rciproquement, si a = 2 8 u n converge.

et que :

p2 1 = , n2 6 1 p4 = . n4 90

Analyse PC-PSI

Dmonstration Pour a 0, la srie est grossirement divergente. 1 1 Pour b > 0, la srie de terme gnral u k = b converge. k (k + 1)b Or u k = 1 (k + 1)b 1+ 1 kb

1

b . k b+1

1 Ainsi, pour b > 0, la srie converge, ce qui nous donne la convergence de k b+1 1 lorsque a > 1. la srie de Riemann ka 1 1 1 =O . La divergence de la srie harmonique Pour a dans ]0, 1], n na n 1 entrane celle de la srie de Riemann . na

Exemple tudions la nature de la srie Si a Si a > 0, alors : 1 1 a. n a + Arctan (n) n La srie na 1 converge si, et seulement si, a > 1. + Arctan (n)Pour sentraner : ex. 10.

1 , o a est un rel x. + Arctan (n) 0, la srie est grossirement divergente. na

2.4. Comparaison une intgrale (PSI)Thorme 9 Soit f une application de [0, +[ dans R+ , continue par morceaux, positive et dcroissante. La srie de terme gnral u n =c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Bernhard Riemann (1826-1866), mathmaticien allemand, lve de Gauss, renouvela profondment les mathmatiques de son temps. Peu satisfait de la prsentation trop intuitive de lintgrale, il en donne une construction rigoureuse, paralllement Cauchy. Dautres thories de lintgration (Lebesgue...) verront le jour plus tard. Son travail en Analyse (1851) le conduit considrer des fonctions de la variable complexe, souvent dnies comme sommes dune srie. Les notions quil introduit en Gomtrie diffrentielle (1854) permettront Einstein de dvelopper la thorie de la relativit gnrale.y

n

n1

f (t) d t f (n) est convergente.

Dmonstration Puisque f est dcroissante, positive, on a : k N donc : 0 uk =k k1 k k1

f(k) k 1 k k +1

y = f(t) t

f (k)

f (t) d t

f (k 1),

Doc. 3. Comparaison avec une intgrale. Rapport Mines-Ponts, 2003f (0).

f (t) d t f (k)

f (k 1) f (k).

La srie est termes positifs, tudions la somme partielle Sn .n n

Sn =1

uk1

f (k 1) f (k) = f (0) f (n)

Les sommes partielles de la srie sont majores donc la srie converge.

Les encadrements demands pour Sn sappuient sur la technique de comparaison srie-intgrale, ils posent des difcults un nombre important de candidats.

12

1. Sries numriques

Thorme 10 Soit f une application de R+ dans lui-mme, continue par morceaux, positive et dcroissante. La srie f (n) converge si, et seulement si, la suiten 0

Rapport Mines-Ponts, 2003 Le jury a t pein de voir que certains candidats ne parviennent pas obtenir un quivalent simple de n 1 . 2k + 1k=1

f (t) d t

admet une limite nie lorsque n tend vers +.

Autres critures possibles de u n : un =n n1

[ f (t) f (n)] d t ; un = n n1

Lorsque f est de classe C1 ,

(t n + 1) f (t) d t.Pour sentraner : ex. 11.

Application 2Les sries de Riemann, encore et toujours... 1 ka 1) Utiliser la comparaison avec une intgrale pour donner une condition ncessaire et sufsante de convergence des sries de Riemann 1 (a > 0). na 1 converge, 2) Lorsque la srie de Riemann na donner un quivalent du reste. 1 1) La fonction f : t a est dnie, positive, t continue et dcroissante sur [1, +[. 1 Donc la srie converge si, et seulement si, ka n la suite n tend vers +. Si a = 1 :n 1

En dnitive, la srie de Riemann converge si, et seulement si, a > 1. 2) Supposons a > 1. On a, pour tout n > 2 : 1 [(n + 1)a+1 n a+1 ] a + 1 n+1 n dt 1 dt = a ta na n n1 t = Or, la srie n+1

1 [n a+1 (n 1)a+1 ] a + 1c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

[(n + 1)a+1 n a+1 ] converge car

f (t) d t

admet une limite lorsque

la suite ((n + 1)a+1) tend vers 0. Donc : 1 [(k + 1)a+1 k a+1 ] a + 1 n+1

Rn

1 dt = (n a+1 1) a a + 1 1 1 t qui admet une limite relle lorsque n tend vers + si, et seulement si, a + 1 < 0. Si a = 1 : n n dt = ln n f (t) d t = t 1 1 qui tend vers + lorsque n tend vers +. f (t) d t =

n

= Soit :

1 ka

n+1

1 [k a+1 (k 1)a+1 ] . a + 1 n a+1 . a1

(n + 1)a+1 a1 On en dduit Rn

Rn

n a+1 . a1

13

Analyse PC-PSI

2.5. Rgle de dAlembertThorme 11 : Rgle de dAlembert Soit u n+1 un Si u n une srie termes rels strictement positifs telle que la suite converge.n+

u n+1 < 1, alors la srie est convergente. un u n+1 Si lim > 1, alors la srie est divergente. n+ u n lim

Dmonstration u n une srie termes rels strictement positifs. u n+1 Supposons que lim = L < 1. n+ u n Fixons > 0 tel que L + < 1 : N N n N u n+1 ]L , L + [. un Soit

Donc, pour tout n > N, u n+1 < (L + )u n . Une rcurrence simple nous donne alors : n > N 0 u n < (L + )nN (u N ).

Par consquent, partir du rang N, les termes de la srie sont majors par ceux dune srie gomtrique de raison (L +), positive et strictement infrieure 1. Ceci assure la convergence de la srie. u n+1 = L > 1. Supposons que lim n+ u n Fixons > 0 tel que L > 1. De mme : N N n Puis : n > N N u n+1 ]L , L + [ . un

Jean Le Rond dAlembert (17171783), mathmaticien franais, fut un pionnier de ltude des quations diffrentielles et de leur utilisation en physique. Il tente de fournir, en 1746 , la premire preuve du thorme fondamental de lAlgbre. Mais celle-ci nest pas exacte. Gauss, en 1799 , donne une dmonstration rigoureuse. Cordacteur de lEncyclopdie, dAlembert y dnit la drive dune fonction comme la limite du taux daccroissement (volume 4 , article Diffrentiel ).

(L )nN (u N ) < u n .

Le terme gnral de la srie tend vers +, donc la srie diverge.c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Exemple La srie n! u n+1 est telle que lim = e1 . Donc, elle converge et son n+ u n nn terme gnral tend vers 0. Nous retrouvons, n! = o(n n ). u n+1 = 1, la rgle de dAlembert ne sapplique pas. On ne peut un rien dire, a priori, concernant le comportement de la srie. Sin+

Remarques lim

Il suft de considrer les sries de Riemann pour sen convaincre. u n+1 u n+1 Si 1+ ou si 1, alors u n ne tend pas vers 0, car la suite un un (u n ) crot et la srie est donc divergente.Pour sentraner : ex. 13.

14

1. Sries numriques

3

Exemples dtudes de sriesRapport X, 1997 Les aventures de E. et C., lExaminateur et le Candidat. Le soleil se lve timidement sur le lac. C., une agrable candidate qui tombe sur le calcul exact de plusieurs sommes de sries, ne saffole pas. Elle remarque les tlescopages, crit avec soin les premiers termes, xe calmement les indices de ses sommes partielles. E. pense tous les candidats qui ont paniqu pour crire une double somme, rindicer une somme de k n k ou pour savoir si la somme sarrtait n, n 1 ou n + 1, alors quune petite vrication en n = 0 ou 1 permet en gnral de xer sans erreurs ces dtails. C. a sembl perdre du temps, mais elle en gagne...

3.1. Utilisation de lingalit de Taylor-LagrangeRappel Vous avez tudi, en Premire anne, lingalit de Taylor-Lagrange. Si f est une application de classe Cn+1 , dun intervalle I de R dans R, alors : Pour tout (a, x) de I , en notant J = [min(a, x), max(a, x)] :n 2

f (x) f (a) p=1

(x a) p ( p) f (a) p!

(x a)n+1 sup f (n+1) (t) . (n + 1)! tJ

Exemples La fonction exponentielle est de classe C sur R et (exp)(n) = exp. Donc, pour tout rel x et tout n dans N , on a : ex Fixons un rel x :n+ n p=0

xp p!

x n+1 |x| e . (n + 1)! xp = 0. p!

lim ex

n p=0

Do : 0

x R

ex =

xn n! Rapport Centrale, 1997 Il est regrettable de perdre de prcieuses minutes avant de recon (1)k natre la somme . k!0

Les fonctions cosinus et sinus sont de classe C sur R. De mme :n

sin x et

(1) p

p=0

x 2 p+1 (2 p + 1)!

x 2n+2 (2n + 2)!

n

cos x p=0

(1) p

x2p (2 p)!

x 2n+1 . (2n + 1)!

Nous en dduisons :

x R

sin x =0

(1) p

x 2 p+1 (2 p + 1)!

et

cos x =0

(1) p

x2p (2 p)!

15


Analyse PC-PSI

3.2. Les sries de Bertrand

1 na (ln n)b

3.2.1 tude de la nature de la srie lorsque a = 1 1 est positive, continue et drivable sur ]1, +[ La fonction f : t t(ln t)b et : f (t) = ln t + b t 2 (ln t)b+1 .

Donc, pour t > eb , la fonction f est dcroissante. La nature dune srie tant indpendante de la valeur des premiers termes, la n 1 srie converge si, et seulement si, la suite f (t) d t adn(ln n)b 2 met une limite (programme PSI). Si b = 1, on a, en posant u = ln t :n 2

f (t) d t =

ln(n) ln 2

du 1 = (ln n)b+1 (ln 2)b+1 b u b + 1

qui admet une limite relle en + si, et seulement si, b + 1 < 0. Si b = 1 :n 2

f (t) d t =

n 2

1 dt = t ln t

ln(n) ln 2

du = ln(ln(n)) ln(ln 2). u

Joseph Bertrand (1822-1900), mathmaticien franais, suivait, 11 ans, les cours de prparation lcole Polytechnique. Ses travaux portent sur la gomtrie diffrentielle et les probabilits. Il conjectura, en 1845 , lexistence, pour tout entier n > 3, dun nombre premier compris entre n et 2n 2. Ce rsultat fut dmontr, en 1850 , par Tchebychev et amlior, en 1931 , par Breusch. Pour tout entier n 48, il existe un nombre pre9n mier compris entre n et . 8

Donc, la srie de Bertrand

1 converge si, et seulement si, b > 1. n(ln n)b

3.2.2 tude de la srie lorsque a = 1 On va comparer la srie de Bertrandc Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

1 une srie de Riemann. n a (ln n)b

Si a > 1 :1 a+1 2 a

Ltude des sries de Bertrand nous permet de mettre en uvre des techniques classiques dtude de sries termes positifs. Toutefois, les conditions de convergence de ces sries ne sont pas au programme. Il est par contre indispensable de savoir, soit dans le cas gnral, soit avec des valeurs particulires de a et b, dterminer si une telle srie converge.

Alors : 1 =o n a (ln n)b La convergence de la srie de Riemann la convergence de la srie de Bertrand 1 n (a+1)/2 1 n (a+1)/2 . Rapport TPE, 1997 Rappelons que si un rsultat hors permet alors de conclure programme (thorme de Csaro, Rgle de Bertrand, constante dEuler) est utilis, lexaminateur peut en demander la dmonstration.

1 . n a (ln n)b

16

1. Sries numriques Si a < 1 :a a+1 2 1

Rapport ENS Cachan, 2000 Confusion entre les o() et les O() pour la convergence de sries. . 1 . n a (ln n)b

Alors :

1 n (a+1)/2

=o

1 n a (ln n)b

Puisque la srie

1 diverge, il en est de mme de n (a+1)/2

3.3. Dveloppement dcimal dun nombre rel positif (PSI)3.3.1 Bref rappel sur les entiers Chacun sait, depuis lcole primaire, que lcriture (en base 10) n = 17 025 signie que : n = 5 + 2 10 + 0 100 + 7 1 000 + 1 10 000. Si r0 , r1 , . . . , rk1 sont les chiffres de lcriture en base 10 de n :k1

r j {0, . . . , 9}

et n =j =0

r j 10 jj k

La mthode suivante permet de calculer les chiffres (r j )0

: n 10 i

ri est le reste de la division euclidienne par 10 de la partie entire de

.

3.3.2 Lapproche exprimentale Lorsque on crit p = 3,141 592 6..., on est certain que : 1 4 1 5 1 4 1 6 3+ + + + = 3,141 5 p 3 + + + + = 3,141 6. 10 100 1 000 10 000 10 100 1 000 10 000 Une version moderne, en anglais, pour retenir les premires dcimales de p : How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard... La proposition suivante va nous aider comprendre cette notation. Thorme 12 Soit (ak )kN une suite dentiers compris entre 0 et 9. Alors : 1 la srie numrique ak est convergente ; 10 k sa somme s est infrieure ou gale 1 ; pour tout n de N , on a :n k=1

Les nombres sont tudis par Euclide (environ 640-546 av. J.-C.) dans les livres 7, 8 et 9 des lments. Il y formule de nombreuses propositions arithmtiques. La divisibilit est tudie dans le livre 7, et le livre 9 nous fournit la dmonstration (encore enseigne de nos jours) de lexistence dune innit de nombres premiers.

Ce systme de numration, dit de position, nous vient de lInde, en passant par les savants arabes pour arriver en Occident au Moyen-ge.

ak 10 k

n

sk=1

ak 1 + n. k 10 10

Voir le site : A history of Pi ladresse : www.groups.dcs.st-and.ac.uk/history/.

17


Analyse PC-PSI

Dmonstration La srie ak

1 est une srie termes rels positifs et, pour tout k : 10 k 1 9 0 ak k . 10 10 k 9 , elle converge. 10 k

Comment apparut la notation p ? Oughtred, en 1647, utilisa le symbole d /p pour noter le quotient du diamtre dun cercle sa circonfrence. David Gregory, en 1697, nota p/r le rapport de la circonfrence dun cercle au rayon. William Jones, en 1706, crivit le premier le symbole p avec sa signication actuelle. Euler adopta ce symbole en 1737. Il devint alors rapidement une notation standard. p est la premire lettre du mot grec signiant primtre .

Majore par la srie gomtrique convergente

De plus :

s1

9 10k =

1 9 = 1. 10 1 101

Enn, puisque la srie n de N :n

ak ak

1 est termes positifs, sa somme s vrie pour tout 10 kn

k=1

1 10 k

sk=1

ak

1 1 + ak . 10 k k=n+1 10 k 9 1 , on obtient : 10 k

En utilisant ak

9 et la convergence de la srie

akk=n+1

1 10 k

9k=n+1

1 9 1 1 = = . 10 k 10 n+1 1 101 10 n

3.3.3 Deux suites distinctes peuvent-elles reprsenter le mme nombre ? Soit (an ) et (bn ) deux suites distinctes de {0, 1, . . . , 9}N . L ensemble {k N | ak = bk } est une partie non vide de N et admet donc un plus petit lment que nous notons N. Pour simplier la rdaction, supposons a N < b N . Alors quatre cas sont possibles : 1) b N > 1 + a N . Dans ce cas : k=1

Ainsi, par exemple : 0,123 459 999 9... = 0,123 460 00... Ici : N = 5. 0,12345abc... < 0,12347de f ..., car : 0,12345abc... 0,1234600... < 0,12347de f ...

ak = 10 k

N1 k=1

ak aN + + 10 k 10 N

+ k=N+1

ak ; or : 10 k

+ k=N+1

ak 10 k

+ k=N+1

9 1 = N . 10 k 10

Donc :c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

k=1

ak 10 k

N 1 k=1

ak aN 1 + + < 10 k 10 N 10 N

N 1 k=1

bk bN + 10 k 10 N

k=1

bk . 10 k

Do :k=1

ak < 10 k

k=1

bk . 10 k

2) b N = 1 + a N et il existe m > 0 tel que b N +m > 0 Vous montrerez de mme que : k=1 k=1

ak < 10 k

bk . 10 k

0,12345abc... < 0,12346..1..., car : 0,12345abc... 0,12346000... < 0,12346..1...

3) b N = 1 + a N et ( k > 0 b N +k = 0) et ( m > 0 a N +m < 9). La conclusion est identique. 4) b N = 1 + a N et ( k > 0 b N +k = 0 et a N +k = 9).

0,123458... < 0, 1234600..., car : 0,123458... < 0,123459... = 0,1234600..

18

1. Sries numriques+

Dans ce cas, lgalitk=N +1

9 1 = permet de conclure que : k 10 10 N k=1

On retrouve : 0,1234599... = 0,1234600...

ak = 10 k

k=1

bk . 10 k

En conclusion, les deux suites distinctes (an ) et (bn ) reprsentent le mme nombre si, et seulement si : ce nombre x est un dcimal : x = b0 , b1 ...bn ; k n 1 bk = ak la suite (an ) est dnie par : bn = 1 + an k > n ak = 9 La reprsentation x = a0 , a1 .....an 999.... est appele reprsentation dcimale illimite ou impropre de x. Tout nombre dcimal admet donc deux reprsentations dcimales, dont lune est impropre. 3.3.4 Un nombre rel non dcimal admet une reprsentation dcimale Soit x un rel, non dcimal, de ]0, 1] et ai le reste de la division euclidienne de E(10 i x) par 10. On montre par rcurrence que, pour tout i de N : 10 i x =i1 k=1

ak 10 ik + ai + ri ,

ri [0, 1[. ak o : 10 ki

Tout rel admet donc une reprsentation dcimale x =1

ai est le reste de la division euclidienne de E(10 x) par 10.

Avec la TI : ai = Mod(Floor (10 i x), 10)

4

Sries de nombres rels ou complexes

4.1. Convergence des sries complexesThorme 13 Une srie u n de complexes converge si, et seulement si, les sries relles Re (u n ) et Im (u n ) convergent.

19


Pour sentraner : ex. 14.

Analyse PC-PSI

Dmonstration Soit u n une srie de complexes et S la suite des sommes partielles associes.n n n

Pour tout n de N, on a Sn =k=0

uk =k=0

Re (u k ) + ik=0

Im (u k ).

La convergence de la suite complexe (Sn ) quivaut la convergence des deux suites relles :n n

Re (u k )k=0

etk=0

Im (u k ) , Re (u n ) et Im (u n ).

donc la convergence des sries relles

Exemple : Nature de la srie Introduisons la srie

sin(n) 2n

cos(n) et considrons la srie complexe : 2n sin(n) cos(n) +i n 2 2n = ei n . 2n ei < 1, donc les trois 2

ei . Or 2 sries convergent. Vous calculerez leurs sommes. Il sagit dune srie gomtrique de raison

4.2. Critre de Cauchy (PSI)Une suite (x p ) de rels ou de complexes est appele suite de Cauchy lorsquelle vrie la condition : > 0 N N ( p, k) N2 (p N |x p+k x p | ).

Nous admettons provisoirement quune suite de Cauchy de rels ou de complexes converge. Ce rsultat sera abord dans le chapitre 2, dans un cadre plus gnral. Rapport Mines-Ponts, 2001 Questions de cours auxquelles les tudiants nont pas su rpondre : ...critre de Cauchy pour la convergence des sries numriques... Rapport X-ESPCI, 2001 Le critre de Cauchy est rarement utilis ou cit spontanment pour tudier la convergence dune suite ou dune srie.

Thorme 14 : Critre de Cauchy pour les sries La srie de terme gnral (u k ) converge si, et seulement si : > 0 N N (n, p) N2c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

n+ p

n

N k=n+1

uk

Dmonstration Soit u n une srie termes rels ou complexes. La srie converge si, et seulement si, la suite (Sn ) des sommes partielles converge, donc si, et seulement si, cest une suite de Cauchy, cest--dire : > 0 N N (n, p) N2 n La formule demande en dcoule. Pour sentraner : ex. 15. N |Sn+ p Sn | .

4.3. Sries alternesUne srie relle, de terme gnral u n , est dite alterne lorsque la suite (1)n u n est de signe constant.

Rapport X-ESPCI, 2001 Utilisation abusive du critre des sries alternes ainsi (1)k x k mme lorsque x < 0 .

20

1. Sries numriquesRsultat effectif de majoration du reste dune srie convergente, cette ingalit est trs importante pour les calculs numriques. Rapport Mines-Ponts, 2003 Beaucoup de candidats pensent que la somme dune srie alterne convergente est toujours du signe du premier terme ou que la valeur absolue de son n-ime reste partiel est toujours majore par la valeur absolue du premier terme nglig, cela sans stre assur que le critre spcial tait vri.

Thorme 15 : Critre spcial des sries alternes Soit u n une srie alterne telle que la suite (|u n |) tende vers 0 en dcroissant. Alors la srie u n converge. De plus, sa somme est comprise entre deux sommes partielles conscutives.

Pour tout n, Rn =n+1

u k est du signe de u n+1 et |Rn |

|u n+1 |.

Dmonstration Soit u n une srie alterne telle que la suite (|u n |) tende vers 0 en dcroissant. Supposons, pour la dmonstration, que les termes u 2n soient positifs et les termes u 2n+1 ngatifs (doc. 4). +u1

+u3 u0+u1=S1 S3 +u2Doc. 4. Critre spcial des sries alternes. Considrons les deux suites (S2n ) et (S2n+1 ) . La suite (S2n ) est dcroissante, car : S2n+2 S2n = u 2n+2 + u 2n+1 = |u 2n+2 | |u 2n+1 | La suite (S2n+1 ) est croissante, car : S2n+1 S2n1 = u 2n+1 + u 2n = |u 2n | |u 2n+1 | 0. 0.

S2 u0=S0

Rapport Mines-Ponts, 2000 Le critre spcial sur les sries alternes est souvent cit mais lhypothse de la dcroissance partir dun certain rang du module du terme gnral de la srie est oublie ou nest pas vrie ! Lencadrement qui en rsulte nest pas donn.

S2n+1 S2n = u 2n+1 , donc la diffrence tend vers 0. Les suites (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes. Par consquent, la suite (Sn ) des sommes partielles converge et sa limite S est telle que : n N S2n+1 S S2n . Les deux premiers points sont dmontrs. Lingalit obtenue se traduit immdiatement sur les restes par :

n N Donc :

S R2n+10

uk = S

S R2n .

n N R2n

0 |u n+1 |.

R2n+1

Rn est donc du signe de u n+1 et |Rn |

+u2n+1 R2n+1 R2n O S2n+1 S +u2n+2Doc. 5. Critre spcial des sries alternes.

S2n S2n+2

21


Le thorme sapplique une srie u n qui ne vrierait le critre qu partir dun certain rang N. Les ingalits concernant sa somme et son reste ne sont alors vries qu partir du rang N.

Analyse PC-PSI

Exemple La srie

(1)n converge, car elle est alterne et la suite ln(n) vers 0 en dcroissant.

1 ln(n)

tend

Application 3

Pour sentraner : ex. 16.

Srie de Riemann alterne1 0

1) Donner la nature de la srie u n , avec (1)n un = et a est un rel. (n + 1)a 2) Lorsque a = 1, calculer la somme de la srie. (1)n + p 3) Donner la nature des sries , (n + 1) n (1) n + 1 . n2 1) Cette srie est alterne. Pour a 0, le terme gnral ne tend pas vers 0. La srie est grossirement divergente. Pour a > 0, la suite (|u n |) tend vers 0 en dcroissant. Le critre spcial des sries alternes permet dafrmer la convergence de la srie. 0

Or : Donc :

(1)n t n+1 dt 1+t

1 0

t n+1 d t

1 . n+2

0

(1)n = n+1

1 0

1 d t = ln(2). 1+t

Avec Maple

2) Calcul de la somme On a :n k=0

(1)n . n+1

(1)k = k+1 =

n k=0 1 0 0

1

(t)k d t1 0

1 dt + 1+t

(1)n t n+1 d t. 1+t

(1)n + p apparat comme la (n + 1) somme dune srie convergente et dune srie divergente, elle diverge. (1)n n + 1 La srie apparat comme la n2 somme de deux sries convergentes, elle converge. 3) La srie


4.4. Sries de nombres rels ou complexes absolument convergentes4.4.1 Dnition Une srie converge. u n est dite absolument convergente lorsque la srie |u n | Rapport Centrale, 1997 Dmontrer que la suite (Sn ) des sommes partielles dune srie u n est borne ne suft pas pour pouvoir afrmer que la srie est absolument convergente.

Thorme 16 Toute srie absolument convergente est convergente.

De plus, on a alors :0

un0

|u n |.

22

100 n=0

(1)n = .6980731694 n+1 .6931471806

1. Sries numriquesDmonstration Soit u n une srie termes rels telle que la srie |u n | converge. Remarquons que : |u n | u n |u n |. Nous en dduisons : 0 u n + |u n | puis la convergence de la srie un . 2|u n |,

Une srie convergente, mais non absolument convergente, est dite semiconvergente. (1)n Ainsi, la srie est semi-convergente. nPour sentraner : ex. 17 et 18.

Pour dmontrer la convergence absolue de la srie u n , nous disposons de tous les outils tudis plus tt concernant la convergence des sries termes positifs et, en particulier, la rgle de dAlembert, le thorme de comparaison de sries termes positifs et la comparaison avec une intgrale.

Exemples : Trois sries La srie converge. La srie (1)n . Elle vrie le critre spcial des sries alternes, donc n (1)n . n + (1)n (1)n (1)n = n n n + (1) (1)n 1+ n1 2

(1)n 1 = 3/2 + O n 2n Les sries convergent. La srie La srie (1)n , n 1 , 2n 3/2

1 n 3/2

.

(1)n 1 (1)n + 3/2 n n 2n n + (1) Rapport Mines-Ponts, 2000 Pour des sries dont le terme gnral na pas un signe constant, il ny a pas que la convergence absolue ou le critre spcial des sries alternes : par exemple il est possible dutiliser un dveloppement asymptotique du terme gnral. c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

(1)n converge en tant que somme de sries convergentes. n + (1)n (1)n . n + (1)n (1)n (1)n = n n + (1) n (1)n 1+ n1

(1)n 1 = +O n n La convergence de la srie

1 n 3/2

. 1 n

(1)n , et la divergence de la srie n (1)n permettent de conclure la divergence de la srie . n + (1)n

4.4.2 Exemples classiques 4.4.2.1 La srie gomtrique z n est absolument convergente si, et seulement si, |z| < 1 sa 1 somme est alors . 1z En outre, si |z| 1, la srie diverge grossirement. Cette srie nest jamais semi-convergente. La srie

23

Analyse PC-PSI

4.4.2.2 La fonction exponentielle complexe x R

ex =

0

xn n!

x R

sin x =0

(1) p

x 2 p+1 (2 p + 1)!

et

cos x =0

(1) p

x2p (2 p)!

|z|n est la srie relle convergente de somme e|z| . Pour tout n! zn complexe z, la srie complexe est absolument convergente. On peut n! alors dnir la fonction exponentielle : La srie C C z exp : z exp(z) = e = 0

zn n!

En particulier, pour un rel quelconque x, calculons ei x :

ei x =

0

(i x)n = n!

0

(1) p

x2 p +i (2 p)!

0

(1) p

x 2 p+1 = cos x + i sin x (2 p + 1)!

Ceci justie la dnition introduite en Premire anne : x R ei x = cos x + i sin xa 0 0 1 a absolue convergence

4.4.2.3 Sries de Riemann alternes Il sagit des sries de la forme u n , avec u n = (1)n1 na (a R).

divergence grossire

] 0

Semiconvergence

[ 1


La srie u n est absolument convergente si, et seulement si, a > 1 et, dans ce cas, en sparant les termes de rang pair et les termes de rang impair : 1

(1)n1 = na

1

1 2 na

1

1 = (1 21a ) (2 p)a

1

1 pa

Doc. 6. Sries de Riemann alternes : (1)n1 . nan q

Elle est grossirement divergente si a 0, et semi-convergente si 0 < a 1, ce que nous avons dj tabli en utilisant le critre spcial des sries alternes (doc. 6). 4.4.3 Produit de deux sries absolument convergentes On appelle produit de Cauchy de deux sries terme gnral wn =p+q=n

p+q=n

2 1 1 2 3 n p

u n et

vn la srie de

u p vq . (doc. 7.)

Doc. 7. wn =p+q=n

u p vq .

24

1. Sries numriques

Thorme 17 Soit u n et

Rapport Mines-Ponts, 2001 vn deux sries numriques absolument convergentes wn dnie par wn =p+q=n

de sommes U et V . Alors, la srie

u p vq

Trs mauvaise connaissance du produit de Cauchy de deux sries.

est absolument convergente et de somme U V .Dmonstration tape 1 : Un prliminaire sur les indicesn n k

wk =k=0 k=0 i=0

u i vki

=i+ j n

ui v j

tape 2 : Le cas des sries termes positifs Si (an ) et (bn ) sont deux suites de rels positifs, et A et B deux parties nies de N2 telles que A B, il est clair que : ai b j ai b j . On en dduit la double ingalit : ai b ji+ j n (i, j )[ [0,n] 2 ] k (i, j )B (i, j ) A

n

ai

n j =0

bji+ j 2n

ai b j =i=0

ai b j

(1)

L hypothse de convergence absolue est fondamentale. En effet, considrons les sries de termes gnraux u n et vn avec : (1)n u n = vn = n+1 Ces sries sont semiconvergentes. La srie produit de Cauchy est la srie wn , avec : wn =p+q=n

u p vq (1) p (1)q p+1 q +1 p+q=n

Si lon note alors gk =i=0 n

ai bki , lingalit (1) et la premire tape permettent u k , pour toute suite u :k=0

=

dcrire, en posant Sn =

= (1)n

1 ( p + 1)(q + 1) p+q=n 1 2 (a + b2 ), 2

Sn (g) On en dduit aisment que, si

Sn (a) Sn (b) an et

S2n (g). bn sont deux sries convergentes gn , est

En utilisant : a b on en dduit : |wn |p+q=n

termes positifs, alors la srie produit de Cauchy de ces deux sries, note convergente et, de plus, pour les sommes :

2 p+q +2

an0 0

bn

=0

gn .

=p+q=n

n+1 2 =2 . n+2 n+2

tape 3 : Convergence absolue de la srie produit Les deux sries complexes gentes. n N 0 u n et |wn |i=0

n

|u i | |vni | = gn

(2) |u n | et de

o lon a not gn le terme gnral de la srie produit de Cauchy de |vn |. Daprs la deuxime tape, la srie que la srie

gn est convergente et lingalit (2) prouve wn est absolument convergente.

|wn | converge. Donc la srie

tape 4 : Valeur de la somme de la srie produit Il reste prouver que :

un0 0

vn

=0

wn

cest--dire que

n+

lim |Sn (u)Sn (v) Sn (w)| = 0.

25


vn sont supposes absolument conver-

La srie wn est grossirement divergente.

Analyse PC-PSI

On peut crire :n

ui

n j =0

vj

n k=0

k

0

|Sn (u)Sn (v) Sn (w)| =i=0

u i vkii=0

=(i, j )[ [0,n] 2 ]

ui v j i+ j n

ui v j =(i, j )[ [0,n] ] n 0. 3) Dterminer a en utilisant la formule de Wallis : 22n+1/2 (n!)2 p 2n + 1(2n)! 4) tablir la formule de Stirling : n! 2p n n+1/2 en . En dduire que ln(n!) n ln(n). 1) Calculons wn . wn = ln u n+1 un ln 1 + 1 n 1 1 2 +O n 2n

4) Puisque n! tend vers +, on peut crire : ln(n!) ln( 2p n n+1/2 en ) Or : ln 2p n n+1/2 en = ln 2p 1 + n+ ln(n) n n ln(n). 2

= 1 + n +

1 2 1 = 1 + n + 2 1 =O . n2

1 n3


Donc la srie

wn converge.

2) La convergence de la srie entrane lexistence dune limite L pour la suite ln(u n ) . Donc la suite (u n ) admet aussi une limite (par continuit de lexponentielle) et cette limite est e L = a > 0.

John Wallis (1616-1703), mathmaticien britannique. Dans son Arithmetica innitorum (1656), il calcule les p p intgrales2

dveloppement de p en produit inni : p 224466 = 133557 2

0

cosn t d t,

2

0

sinn t d t et en dduit un

Thorme 18 Formule de Stirling :

n!

2p n n+1/2 en .

28

1. Sries numriques

Pour montrer quune srie termes positifs un

u n converge, on peut : vn et vn converge) ; vn converge) ;

montrer que la suite (Sn ) des sommes partielles est majore ; chercher une suite (vn ) telle que : ( n chercher une suite (vn ) termes positifs telle que : ( u n = O(vn ) et chercher une suite (vn ) telle que : ( u n vn et calculer un dveloppement limit de u n ; comparer u n une intgrale de fonction positive dcroissante ; utiliser la rgle de dAlembert. vn converge) ;

Pour montrer quune srie termes positifs vn

u n diverge, on peut : u n et vn diverge) ; vn diverge) ;

montrer que la suite (Sn ) des sommes partielles nest pas majore ; chercher une suite (vn ) telle que : ( 0 chercher une suite (vn ) termes positifs telle que : ( vn = O(u n ) et chercher une suite (vn ) telle que : ( u n vn et utiliser la rgle de dAlembert. vn diverge) ; comparer u n une intgrale de fonction positive dcroissante ;

Pour montrer quune srie termes complexes

u n converge, on peut : |u n | ) ;

si la srie est alterne, regarder si elle satisfait le critre spcial des sries alternes ; regarder si la srie est absolument convergente (voir mthodes ci-dessus appliques calculer la somme partielle Sn et tudier la suite (Sn ) ; regarder si la srie vrie le critre de Cauchy des sries.

+

Pour majorer la valeur absolue du reste Rn =k=n+1

u k dune srie convergente :c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

si la srie est termes positifs de la forme u n = f (n) avec f dcroissante, alors :N +

lim

N +1 n+1

f

Rn

N +

lim

N n

f

si la srie est alterne et vrie le critre spcial, alors |Rn |

|u n+1 | ; cr n+1 . (1 r )

si u peut tre majore par une suite gomtrique (cr n ), avec r ]0, 1[, alors : |Rn |

29

Analyse PC-PSI

Exercice rsoluProcd dacclration de convergenceNONC 1

Le but de cet exercice est le calcul dune valeur approche de S =n

1 . n2

Nous noterons Sn =1

1 , et Rn = k2

n+1

1 . k2

1) Majoration du reste et premire approximation de S a) Montrer que, pour tout n 1, 1 n+1

Rn =n+1

1 k2

1 n

(1)

b) En dduire une valeur approche de S 103 prs. 2) L acclration de la convergence, le principe Des ingalits (1), nous dduisons : Rn 1 1 1 , donc : Rn = o n n n , soit (S Sn ) 1 1 =o . n n

1 1 Ainsi, alors que Sn fournit une valeur approche de S avec une erreur de lordre de , la quantit corrige Sn + n n 1 nous donne une valeur approche de S avec une erreur ngligeable devant . n En ajoutant un terme correctif Sn , nous avons acclr la convergence. L exprimentation Nous admettrons, dans cet exercice, que la valeur exacte de S est 1 vitesses de convergence lors du calcul de S par Sn et par Sn + . nc Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

p2 . Ce rsultat sera utilis pour comparer les 6

a) Calculer

Sn , Sn +

1 p2 , n 6

pour n = 10, 100 et 1 000. Que constatez-vous ?

La majoration de lerreur b) Prouver que : Rn En dduire que Sn + 1 = n k=n+1

k 2 (k

1 1)

(2)

1 est une approximation par excs de S (que dire de Sn ?). n 1 1 c) Montrer que lerreur commise en approximant S par Sn + est majore par ln 1 n n 1 1 En dduire que, pour n 2, S Sn + . n n2 1 n

1 . n

d) Dterminer un quivalent de Rn

30

1. Sries numriquesCONSEILS SOLUTION

Les formules suivantes seront utiles.k+1 k

1) a) Pour tout entier k 1 1 = k k+1 On en dduit : b) Daprs a),

2 :k+1 k

dt t2

1 1 k1 k k=n+1 1 Sur la TI, , k, 1, n S(n) k et presser la touche Diamant avant Enter pour lancer le calcul numrique.

1 = n

1 k2

k k1

dt . t2

dt t2

1 k2 Rn

k k1

dt 1 1 = t2 k1 k

1 1 S S1 000 . 1 001 1 000 Le calcul de S1 000 = 1,6439 . . . prend 12 secondes environ sur la TI. Ce calcul donne une valeur approche de S 103 prs.

1 n+1

1 . n

2) a) Les deux crans ci-contre conrment que, pour n = 10, 100 et 1 1 000, Sn approche S avec une prcision de . De plus, n S S10 + 1 10 5 103 , S b) Rn 1 = n n+1

S 1 1 000

S100 +

1 100

5 105 ,

S1 000 +

5 107 .

1 + k2

k=n+1

1 1 k k 1

=k=n+1

1 . k 2 (k 1)

1 1 Donc : S Sn + < 0. Ceci prouve que Sn + est une approxin n mation par excs de S. De plus, la suite (Sn ) est croissante, donc Sn est une approximation par dfaut de S. Penser que : 1 2 (k 1) kk k1

1 = c) Rn n t 2 (t dt . 1)

n+1

1 . Pour tout entier k k 2 (k 1)k k1 n+1

2 : 1 t 0.c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

1 2 (k 1) k Ainsi : Rn 1 = n

dt 2 (t 1) t

ln 1 ln 1 1 n

+

1 t

k k1

1 k 2 (k 1) 1 2

1 . n

Pour conclure : x 0, Lingalit S d) Lingalit Sn +k+1 k

ln(1 x) + x + x 2 1 en dcoule. n2

1 n

dt t 2 (t 1) + 1 n

1 , est immdiate et entrane : k 2 (k 1) 1 n 1 n ln 1 1 n+1 + 1 . n+1

ln 1

1 n

Rn

Cet encadrement permet de dmontrer que : Rn 1 . 2n 2

31

Exercicestudier la convergence et calculer la somme des sries de terme gnral suivant : 1) u n = Arctan 2) u n = 2 n2 n . n4 + n2 + 1

En les comparant des sries de Riemann, indiquer la nature des sries : ln n ln n (ln n)3 ; 1) 2) ; 3) . n2 n2 n Donner la nature de la srie de terme gnral :

Montrer que1

20

n

(5n+1 4n+1 )(5n 4n )

= 4.

1) u n =n+1

1 . k2

2) vn =n

1 k4

Donner la nature et, en cas de convergence, calculer la somme des sries de terme gnral : 1) n+ 1 n+1 ; a 2n a 0, p 2 .

Nature des sries de terme gnral : 1) 3) an (a R) ; (n + 1)n 1

2) 4)

n a 2n (a R) ; 2 (n + 1)n n r (r > 0) . n n+1

2) u n = ln cos

n (1 + bk )

(b > 0) ;

Nature et somme de la srie de terme gnral : u n = (1)n 0 p/2

cos x d x.

n

Nature de la srie : Donner sa somme 104 prs.

1 . 32n+1 + 2n + 1

Soit (u n ) une suite termes positifs telle que :n+

(PSI) 1) crire, sous forme rationnelle, le rel : x = 0,123 456 456 456 . . . que nous noterons 0,123 456. 4 2) Donner le dveloppement dcimal de et vrier quil est 7 priodique. 3) Montrer quun nombre rel non dcimal est un rationnel si, et seulement si, sa reprsentation dcimale est priodique partir dun certain rang. (PSI) 1) Montrer que, si (u n ) est une suite dcroissante telle que la srie u n converge, alors u n = o 1 n .

lim

n

un =

1 . 2

Montrer que la srie

u n converge. u n et vn termes

On considre deux sriesc Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

pour tout n, on a

strictement positifs et on suppose que u n+2 vn+2 . un vn un .1/n

vn converge et que,

Montrer la convergence de

2) La rciproque est-elle exacte ? Montrer que la srie (n parant une srie gomtrique. Nature de la srie 1) converge en la comPour chacune des sries suivantes : justier la conver(1)n n + (1)n n . ln n gence ; prciser n tel que |Sn S| 102 ; en dduire un 2 encadrement de S de longueur 10 . (1)n (1)n ; 2) u n = 3 ; 1) u n = 2n + 1 2n + 1 Soit convergente. an une srie termes complexes absolument2 an est absolument convergente. n

u n , avec u n =

Nature des sries de terme gnral : 1) sin 1 n ; 2) Arccos 1 1 n31/2

.

Montrer que la srie

32

1. Sries numriques*.

tudier les sries de terme gnral : 1) u n = 2) u n = 1+ 1 n+13n

1) Soit

u n une srie termes positifs, converuk .

1+

3 n + a2

n

gente et Rn =n+1

1 (discuter suivant z). 1 + zn

Montrer que les sries ture.

n u n et

Rn sont de mme na-

Montrer la convergence et donner la somme de la srien

2) Lorsque ces sries convergent, donner une relation entre les sommes.

de terme gnral wn =1 n

1 . p2 (n p)! srie : . un .

*

1) Montrer la convergence et calculer la somme de la

Soit u n = tudier la suite k=2

(1)k 1+ k

n u n , puis la srie

(1)k (2k + 1) 2) En dduire la nature de la srie de terme gnral :n

u n = ln tan0

(1)k (2k + 1) (1)n converge. n + (1)n+1 n

Soit (u n ) une suite de rels > 0. un On pose vn = . (1 + u 0 )(1 + u 1 ) . . . (1 + u n ) Montrer que : 1) la srie

**

Montrer que la srie

On note S sa somme. Dterminer N pour que |S S2N+1 | 102 . En dduire une valeur approche de la somme 2 102 prs. 1) Montrer que, pour tout n dans N, lquation tan x = x a une unique racine xn dans lintervalle : p p + n p, + n p . 2 2 2) Donner un dveloppement asymptotique de xn trois termes. Comparer avec le dveloppement fourni par Maple. p + n p xn . tudier la nature des sries 3) On pose u n = 2 a n a un , (1) u n (a > 0) et cosm (xn ) (m N ).

vn converge et calculer sa somme ; u n diverge.

2)0

vn = 1 si, et seulement si, la srie

*

Soit une suite (an ), termes > 0, telle que la srie

an diverge. On note (Sn ) la suite des sommes partielles. an 1) Montrer que la srie diverge. Sn an 2) Montrer que la srie converge. 2 Sn

**de ]0, 2p[.

On considre la srie

ei nx , x tant un rel x n

**

2) Calculer sa somme. 3) En dduire la convergence et la somme des sries : cos n x n et sin n x . n

u n + u n+1 + + u 2n1 n et on note Sn (u) et Sn (v) les sommes partielles des sries u n et vn . vn = 1) Montrer que, pour tout n, il existe 2 n 1 rels de [0, 1] tels que : 2n1 Sn (v) =k=1

Soit (u n ) une suite strictement croissante de rels > 0, divergente, telle que la suite (u n+1 u n ) soit borne.n

*

ak, n u k . u n converge, alors la srie 1 . 2 vn sont de mme na-

Montrer que1

u k u k1 ln(u n ). uk

En dduire que, si la srie vn converge. 2) Prouver que :

Prciser la nature de la srie de terme gnral : (1)n un = a , en fonction de a et b. n + (1)n n b

k [[1, n]] ak, n u n et

En dduire que les sries ture.

33


1) Montrer que cette srie converge.

Soit (u n ) une suite positive. On pose :

Analyse PC-PSI

(Daprs Navale, 1992.) 1) Soit (an ) une suite de rels > 0 telle que la srie an diverge et (bn ) une suite de complexes. On note Sn (b), Sn (a) les sommes partielles des sries bn et an . a) On suppose que bn = o(an ). Montrer que : Sn (b) = o(Sn (a)). b) Les bn sont des rels > 0 et les suites (an ) et (bn ) sont supposes quivalentes. Montrer que les suites (Sn (b)) et (Sn (a)) sont quivalentes.n

b) En dduire quil existe A > 0 tel que u n c) tudier la srie de terme gnral : un = 1 3 (2 n 1) . 2 4 2 n(2 n + 2)

A . nl

Soit tifs, de somme S. tudier : 1) la srie

**

u n une srie convergente termes posi-

c) En dduire un quivalent de1

1 . k

vn , avec vn =

1 n

n

u k . En cas de conver1 n

gence, donner la somme ; 2) la srie wn , avec wn =

2) a) Montrer que, si (u n ) est le terme gnral dune srie pol u n+1 = 1 + vn , o vn est le sitive et que, pour n 1, un n terme gnral dune srie absolument convergente, alors : ln u n+1 un = l + wn , n

1 n (n + 1)nn

k uk ;1

3) la srie

xn , avec xn =n

uk .1

o wn est le terme gnral dune srie absolument convergente.

(On pourra calculer1

(k + 1)k et considrer (n + 1) xn .) k k1


34

Espaces vectoriels norms

2c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

La dmarche que nous vous proposons est illustre par cet extrait de lintroduction de la thse de Stefan Banach (1920) qui fonde la thorie des espaces vectoriels norms : Louvrage prsent a pour but dtablir quelques thormes valables pour diffrents champs fonctionnels, que je spcie dans la suite. Toutefois, an de ne pas tre oblig de les dmontrer isolment pour chaque champ particulier, ce qui serait bien pnible, jai choisi une voie diffrente que voici : je considre dune faon gnrale les ensembles dlments dont je postule certaines proprits, jen dduis des thormes et je dmontre ensuite de chaque champ fonctionnel particulier que les postulats adopts sont vrais pour lui. Vous avez dni, en Premire anne, la structure despace vectoriel qui englobe aussi bien Rn que des espaces de suites et de fonctions. Vous avez galement tudi les suites et les fonctions valeurs relles ou complexes. Dans le but dtendre les notions de convergence et de limite des suites et des fonctions valeurs vectorielles, nous allons, dans ce chapitre et les suivants, introduire diffrentes notions.

O

B

J

E

C

T

I

F

S

tude des proprits fondamentales des espaces vectoriels norms. Notion de suite convergente. Comparaison des normes sur un espace vectoriel. tude du cas particulier dun espace vectoriel norm de dimension nie. Suites de Cauchy (PSI). Quelques notions topologiques. Comparaison des suites.

35

Analyse PC-PSI

Dans tout le chapitre, K dsigne R ou C et E, F sont des espaces vectoriels sur K.

1

Norme et distanceRapport X-ESPCI, 2000 Quant lemploi de lingalit triangulaire, il saccompagne souvent de raccourcis incorrects, voire derreurs.

1.1. Dnition dune normeUne application N du K -espace vectoriel E dans R vriant les quatre proprits suivantes est appele norme sur E . 1) x E N(x) 0 2) x E N(x) = 0 x = 0 E 3) (l, x) K E N(l x) = |l| N(x) 4) (x, y) E E N(x + y) N(x) + N(y) Une norme N sur E vrie donc la proprit : (x, y) E E |N(x) N(y)| N(x y) Un espace vectoriel E muni dune norme N est appel espace vectoriel norm et not (E, N). Une norme sur un espace vectoriel E sera parfois aussi note vectoriel norm est alors not (E, ). . Lespace

Si F est un sous-espace vectoriel de E, la restriction de la norme N F munit F dune structure despace vectoriel norm. Un vecteur de norme 1 est dit unitaire. Pour tout vecteur x non nul de (E, ) , le vecteur x x est unitaire.

Cette ingalit et lingalit 4) cidessus gnralisent la proprit bien connue : Dans un triangle, la longueur de chaque ct est infrieure la somme des deux autres cts et suprieure leur diffrence (doc. 1 et 2).

Pour sentraner : ex. 1 et 2.

1.2. Quelques exemples de normes1.2.1 E = C( [a, b], K) f1

Pour tout f de E, on dnit est une norme sur E.c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

=

b a

| f (t)| d t. Lapplication

1

La proprit 4) est appele ingalit triangulaire.

En effet, | f | est une fonction continue et positive, limplication ( f 1 = 0 f = 0) en dcoule. 1.2.2 E = Knn

y

xy x

Pour tout x = (x 1 , . . . , x n ) de E, on pose : N1 (x) =1

|x i | et

N (x) = max { |x i |, 1

i

n} .

Doc. 1.z

Les deux applications N1 et N sont des normes sur Kn . Nous vous laissons le soin de le contrler. De plus, si K = R, vous avez vu en Premire anne que lapplication : EE R n (x, y) est un produit scalaire sur E. x|y =1

x i yi

x

y

Doc. 2.

36

2. Espaces vectoriels normsLa norme euclidienne associe ce produit scalaire est : N2 (x) = x|x .

De mme, lorsque E = Cn , lapplication w dnie par :n

w (x 1 , . . . , x n ), (y1 , . . . , yn ) =1

x i yi

est appele le produit scalaire canonique de Cn . La norme associe ce produit scalaire est : N2 (x) = x|x

Au VIe sicle av. J-C, dans les cits grecques dAsie Mineure apparat une forme de pense nouvelle. Dans un effort dexplication du monde, hors des mythes et de la religion, la science grecque se construit, nourrie des connaissances du monde antique. Ainsi, Thals (environ 640-546 av. J-C), commerant habile et grand voyageur, consacra la n de sa vie ltude de la philosophie, de lastronomie et des mathmatiques. Trois sicles plus tard, Euclide dAlexandrie (environ 365-300 av. J-C) introduit les notions de dnitions, axiomes, postulats et propositions. Son livre Les Elments est le premier trait logique de mathmatiques. Il rassemble les rsultats mathmatiques de son temps, les structure en une science dductive et apporte nombre de dcouvertes nouvelles. La gomtrie euclidienne est la gomtrie fonde sur les axiomes et postulats introduits par Euclide.

Abrg des lments dEuclide. (Manuscrit arabe) 1.2.3 E = C( [a, b], R) Rapport Mines-Ponts, 2003 Les normes de fonction prtent souvent confusion, et lcriture f (x) est souvent la preuve que le candidat ne comprend pas bien ce quil fait.

On pose, pour tout f de E, f = sup { | f (t)|, t [a, b]} . Cette dnition est justie par le fait quune fonction continue sur un segment [a, b] et valeurs relles est borne. Lapplication est une norme sur E . 1.2.4 E = Mmn (K)

La calculatrice TI propose dans le menu Maths, matrix, normes 2nd , 5 , 4 , B , trois normes sur lespace vectoriel Mmn (K) des matrices relles ou complexes.

37


Analyse PC-PSI

En notant A = ai j

1 i m 1 j n

, ces normes sont :m n

nor m( A) =i=1 j =1 m

|ai j |2 |ai j | i=1 n j =1 n 0

colnor m( A) = max1

j n

|ai j |

r ownor m( A) = max 1 i m

1.2.5

E = K[X]

Soit P un polynme de degr infrieur ou gal n : P = pose :n n

ak X k . On Rapport TPE, 2002 Certains candidats ne connaissent pas la dnition dune norme et confondent norme, norme euclidienne et produit scalaire.

N1 (P) =0

|ak | ;

N2 (P) =0

|ak |2 ;

N (P) = sup |ak |kN

Vriez que N1 , N2 et N sont des normes sur K[X].

1.3. ComplmentNotons :1

(K) = (u n ) KN ;1

|u n | converge (K)1

et

2

(K) = (u n ) KN ;

|u n |2 converge

.

1.3.1 Lensemble 1

(K) est le K -espace vectoriel des sries absolument convergentes. 0 1

Lapplication N1 , dnie sur sur 1 (K). De plus, pour toute suite u de

(K) par N1 (u) = (K), on a :

|u n |, est une norme

un0 0

|u n | = N1 (u).

1.3.2 Lensemblec Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

2

(K)

Si les sries

|vn |2 convergent, alors la srie u n vn 1 converge absolument. En effet, |u n vn | |u n |2 + |vn |2 . 2 2 (K) est un K -espace vectoriel. 1 (K) est un sous-espace vectoriel de 2 (K) , car si |u n | < 1, alors |u n |2 < |u n | . Lapplication w, dnie sur 2 (K) 2 (K) par w(u, v) = u n vn , 0 si K = C, est un produit scalaire sur 2 (K). 0

|u n |2 et

Si K = R, on prendra w(u, v) =

u n vn .

La norme N2 associe ce produit scalaire est N2 (u) =0

|u n |2 .

Pour sentraner : ex. 3 et 4.

38

2. Espaces vectoriels norms 1.4. DistanceG tant un ensemble non vide, une distance sur G est une application de G G dans R telle que : 1) (x, y) G G 2) (x, y) G G 3) (x, y) G G d(x, y) 0 d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

4) (x, y, z) G G G

Thorme 1 Soit (E, ) un K -espace vectoriel norm. Lapplication : d : E E R+ (x, y) d(x, y) = x y est une distance sur E. Elle est appele distance associe la norme sur E.Pour sentraner : ex. 5 et 6.

Lintrt de la notion de distance provient du fait que, si lon se restreint une partie non vide A de lespace vectoriel norm (E, ), la restriction de la distance d lensemble A A dnit toujours une distance sur A , sans que A soit ncessairement un sous-espace vectoriel de E. Aucune structure algbrique nest ncessaire pour parler dune distance sur un ensemble, alors que, pour parler dune norme, il faut un espace vectoriel. On a : x = d(0 E , x).

2

Boules dun espace vectoriel norm) est un espace vectoriel norm et d la distance

Dans ce paragraphe, (E, associe cette norme.

2.1. Dnition dune boule2.1.1 Boule ouverte x tant un point de E et r un rel strictement positif, la boule ouverte de centre x et de rayon r est lensemble not B(x, r ) ou B O(x, r ) et dni par : B O(x, r ) = {y E | y x < r } 2.1.2 Boule ferme La boule ferme de centre x et de rayon r est note B F(x, r ) et dnie par : B F(x, r ) = {y E | y x r} Exemples E = (R, | |) La boule ouverte de centre x et de rayon r est lintervalle ]x r , x + r [, la boule ferme de centre x et de rayon r est lintervalle [x r , x + r ]. E = R2 . x = 0 E , r = 1. E est muni des normes : N1 (x, y) = |x| + |y| ; N2 (x, y) = x2 + y2 ; N (x, y) = max(|x|, |y|).BN (0,1) BN1 (0,1) 0 1 x y 1 BN2 (0,1)c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Doc. 3. Trois boules dans R2 .

39

Analyse PC-PSI

Les boules B N1 (0, 1), B N2 (0, 1), B N (0, 1) ont t reprsentes. On constate que les boules obtenues dpendent de la norme choisie.Pour sentraner : ex. 7.

2.2. Parties bornesUne partie A de lespace vectoriel norm (E, K R+ x A x ) est dite borne si : K.

Lorsquon parle de suite ou de fonction borne, une rfrence implicite est faite une norme. Que se passe-t-il si lon change de norme ?y

Thorme 2 Les proprits suivantes sont quivalentes : 1) A est une partie borne de (E, )2

A 0 1 2

1 12 1 x

2) Il existe un rel M tel que : (x, y) A xy M 3) La partie A est incluse dans une boule de lespace vectoriel norm (E, ) Exemple Toute boule est borne. Un sous-espace vectoriel non rduit {0 E } nest pas born.

B

((1 , 1), 2) 2 2

Doc. 4. Une partie borne de R2 . Il revient au mme de dire que lensemble {x p , p N} est une partie borne de (E, ). Il revient au mme de dire que lensemble { f (x), x A} est une partie borne de (F, N). Rapport X-ESPCI, 2000 La notion de fonction borne est souvent mal comprise.

2.3. Suites et fonctions bornesUne suite (x p ) dlments de lespace vectoriel norm (E, ne si : K R pN xp K A tant un ensemble non vide, une application vectoriel norm, (F, N), est dite borne si : K R x A N( f (x)) ) est dite bor-

f de A dans lespace K

On note B( A, F) lensemble des applications bornes de A dans (F, N).c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Application 1Soit (F, N) un espace vectoriel norm. 2) Pour tout f de B( A, F), on pose : f

L espace vectoriel B( A, F) Montrer que est une norme sur B( A, F).

1) Montrer que B( A, F) est un sous-espace vectoriel de F A .

3) Dnir une norme sur lespace vectoriel B(E) des suites bornes de lespace vectoriel norm (E, N). 1) B( A, F) est une partie non vide de F A (la fonction nulle est borne).

= sup N( f (x)).x A

40

2. Espaces vectoriels normsSi f et g sont deux fonctions bornes sur A et a, b deux scalaires, alors : x A N (a f + b g)(x) = N (a f (x) + b g(x) |a| N( f (x)) + |b| N(g(x)) |a| K f + |b| K g avec K f et K g deux rels tels que : x A N f (x) Kf et N(g(x)) Kg Donc : f +g

Les proprits 1), 2), 3) de la dnition dune norme sont simples vrier. Soit f et g deux applications bornes sur A. Alors : x A N (( f + g)(x)) = N ( f (x) + g(x)) N ( f (x)) + N(g(x)) f

+ g

= sup N ( f + g)(x)x A

B(A, F) est donc stable par combinaison linaire, cest un sous-espace vectoriel de F A . 2) Si f est une application borne sur A, lensemble N f (x) ; x A est une partie non vide, majore de R+ , elle admet donc une borne suprieure, note f . Considrons lapplication :

f Do la proprit 4).

+ g

.

:

B( A, F) R+ f f

3) En prenant A = N et F = E, lespace vectoriel B(N, E) nest autre que lespace vectoriel des suites bornes B(E). Les rsultats de la question 2) sappliquent et lapplication , dnie sur cet espace par u = sup N (u n ) , est une norme.nN

3

Suites convergentes, normes quivalentes

3.1. Suites convergentes

Une suite (x p ) dlments de lespace vectoriel norm, (E, convergente dans (E, ) (ou encore converge pour la norme x E > 0 N N p N (p N) ( x p x

), est ) si : )

! Lordre des quanticateurs est fondamental.

Thorme 3 Soit (x p ) une suite convergente dlments de lespace vectoriel norm, (E, ). Alors, llment x de E tel que lim x p x = 0 est unique. Il est appel la limite de la suite (x p ) et not : x = lim x p .p+ p+

41


Analyse PC-PSI

Exemples E = C([0, 1], R) muni de la norme f1

=

1 0

| f (t)| d t. =

1 n+1 Donc la suite de fonctions ( f n ) converge vers la fonction nulle relativement 1. Soit la suite ( f n ) dnie par f n (t) = t n . Alors fn1

1) Montrer que la suite (x p ) converge vers 0 E quivaut montrer que la suite relle ( x p ) tend vers 0. 2) Montrer que la suite (x p ) converge vers x quivaut montrer que la suite (x x p ) tend vers 0 E .

Une suite de Ramanujan On considre la fonction f dnie sur R+ par : f (x) = x(x + 2) et la suite (u n ) dnie par : u 1 = f (1), et, pour tout n un = 3 : 1+2 1+3 1... 1 + (n 1) 1 + f (n) u2 = 1 + f (2), u3 = 1+2 1 + f (3) Rapport Mines-Ponts, 1997 Quand on tudie une suite (ou une srie), il peut tre utile dobserver le comportement des premiers termes.

Calcul des premiers termes : u1 = u2 = 3 = u3 Pour tout x 0: f (x) = x 3 : 1 + (x + 1) (x + 3). 1 + f (n) = 1+n 1 + f (n + 1). Ramanujan (1887-1920), mathmaticien indien, autodidacte, est un des grands mathmaticiens du XXe sicle. Son extraordinaire intuition lui t dcouvrir de nombreuses formules mathmatiques, dont beaucoup restent dmontrer. Citons : 3 3 1 13 15 +9 2 24 3 135 2 13 + = dont 246 p la justication nest pas vidente.

Donc, pour tout n Et u n = u n+1 .

La suite (u n ) est constante, gale 3.

3.2. Proprits des suites convergentesThorme 4 Lensemble des suites convergentes dlments dun espace vectoriel norm, (E, ), est un sous-espace vectoriel de E N et lapplication qui, une suite convergente (x p ) , associe sa limite, lim x p , est linaire.c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Autrement dit, si les suites (x p ) et (y p ) convergent : (a, b) K2p+ p+

p+

lim (a x p + b y p ) = a lim x p + b lim y p .p+

Thorme 5 Si (x p ) est une suite convergente de lespace vectoriel norm, (E, ), de limite x, alors toute suite extraite de (x p ) converge aussi vers x.

Thorme 6 Toute suite convergente dlments dun espace vectoriel norm, (E, est borne.

),

42

2. Espaces vectoriels norms 3.3. Suites divergentesUne suite (x p ) dlments de lespace vectoriel norm, (E, converge pas, est dite divergente. Ceci peut se traduire par : ), qui ne En pratique, pour tablir quune suite diverge, on utilisera frquemment un raisonnement par contrapose et les thormes du paragraphe prcdent.

x E > 0 N N p N

(p

N et

x p x > )

3.4. Dnitions de normes quivalentesSur un mme espace vectoriel, on peut utiliser plusieurs normes, et chaque norme correspond un ensemble de suites convergentes. Le problme qui se pose alors est : quelle condition deux normes sur un mme espace vectoriel donnent-elles les mmes suites convergentes ? Thorme 7 Soit E un K -espace vectoriel et N1 et N2 deux normes sur E. Les deux proprits suivantes sont quivalentes : 1) a R+ x E N2 (x) a N1 (x) . 2) Toute suite (x p ) dlments de E qui converge vers 0 E relativement la norme N1 converge aussi vers 0 E pour la norme N2 .Dmonstration On suppose 1). Soit (x p ) une suite dlments de E qui converge vers 0 E pour la norme N1 . Alors : lim N1 (x p ) = 0. Doncp+

Rapport Mines-Ponts, 2003 Savoir tracer les boules unit dans R2 ou R3 permet de mieux comprendre ce que sont des normes quivalentes.

lim N2 (x p ) = 0. La suite converge vers 0 E pour la norme N2 .

p+

Raisonnons par contrapose. La proprit 1) nest pas vraie. n N x n E Posons alors : yn = Par construction : N2 (yn ) = 1 1 1 N2 (xn ) > 1; N1 (yn ) = N1 (xn ) = . n N1 (xn ) n N1 (xn ) n N2 (xn ) > n N1 (xn )c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Nous en dduisons que N2 (xn ) > 0, puis que xn = 0 E et que N1 (xn ) > 0. 1 xn n N1 (xn )

Donc, la suite (yn ) ne converge pas vers 0 E pour la norme N2 . Mais elle converge vers 0 E pour la norme N1 .

Deux normes N1 et N2 sur le mme espace vectoriel E sont dites quivalentes si : (a, b) (R+ )2 x E a N1 (x) N2 (x) b N1 (x).

43

Analyse PC-PSI

Application 2Cas de K n Soit E = Kn et, pour x = (x 1 , . . . , x n ), posons :n n

Les deux normes N1 et N sur Kn sont quivalentes. Avec N2 , on a aussi :n

N1 (x) =1

|x i | ; N2 (x) =1

|x i |2 ; n}

N (x) = max {|x i |, 1

i

N2 (x)1

2 N (x) =

n N (x)

Montrer que ces normes sont quivalentes. On peut crire :n

De mme si |x i0 | = N (x) : N2 (x) |x i0 |2 = |x i0 | = N (x)

N1 (x)1

N (x) = n N (x).

Et, si i 0 est tel que |x i0 | = N (x), alors :n

Donc, les normes N2 et N sur Kn sont quivalentes. On en dduit : x Kn 1 N1 (x) n N (x) N2 (x) n N1 (x).

N1 (x) =1

|x i |

|x i0 | = N (x)

Donc : x Kn N (x) N1 (x) n N (x)

n N (x)

Les normes N1 et N2 sont donc quivalentes.

Thorme 8 Si E est un K -espace vectoriel, la relation dnie sur lensemble des normes de E, N1 et N2 sont deux normes quivalentes , est transitive.


3.5. Application aux suites, aux parties bornes et aux boulesThorme 9 Soit E un K-espace vectoriel, N1 et N2 deux normes sur E. Les proprits suivantes sont quivalentes : 1) Les normes N1 et N2 sont quivalentes. 2) Une suite (x p ) dlments de E converge vers 0 E relativement la norme N1 si, et seulement si, elle converge vers 0 E pour la norme N2 . 3) Une suite (x p ) dlments de E converge vers un lment x de E relativement la norme N1 si, et seulement si, elle converge vers x pour la norme N2 .

44

2. Espaces vectoriels norms

Application 3Normes sur C([0, 1], R) 1) Montrer que lapplication N2 : C ([0, 1], R) R f N2 ( f ) =0 1

et

N ( f n ) = 1.

f 2 (t) d t

La suite ( f n ) converge donc vers la fonction nulle pour la norme N2 , mais pas pour la norme N . De mme, N1 N , mais la mme suite de fonctions permet de prouver que les normes N1 et N ne sont pas quivalentes. Lingalit de Cauchy-Schwarz donne : f C([0, 1], R) soit : N1 N2 N2 ( f n ) n+1 = N1 ( f n ) 2n + 1 et ce rapport tend vers +. Les normes N1 et N2 ne sont donc pas des normes quivalentes.1 0 2 0 1

dnit une norme sur C ([0, 1], R) . 2) Comparer les normes N2 et N , puis N1 et N2 . Sont-elles quivalentes ? 1) L application ( f , g) 1 0

f (t) g(t) d t dnit N2 est la

| f (t)| d t

f 2 (t) d t

un produit scalaire sur C ([0, 1], R) . norme associe.

2) De plus, N2 N . Mais N2 et N ne sont pas quivalentes, car la suite de fonctions, ( f n ), dnie par f n (t) = t n est telle que : N2 ( f n ) =1 0

Utilisons encore la suite ( f n ) :

1 t 2n d t = 2n + 1

Thorme 10 Soient E un espace vectoriel et N1 , N2 deux normes quivalentes sur E. Les parties bornes de (E, N1 ) et les parties bornes de (E, N2 ) concident. Les boules ouvertes de (E, N1 ) et les boules ouvertes de (E, N2 ) sont embotes (doc. 5) : x E r > 0 (r1 , r2 ) (R + )2 B1 (x, r1 ) B2 (x, r ) B1 (x, r2 ).

y

3.6. Le cas de la dimension nieConformment au programme, nous admettrons le thorme : Thorme 11 Toutes les normes sur un espace vectoriel de dimension nie sont quivalentes.O x

Doc. 5. Dans R2 .

45


Rapport X-ESPCI, 2001 Le mot magique normes quivalentes est souvent invoqu (cest bien, mais je ne suis pas sr que tous sachent ce que cela veut dire...)

Analyse PC-PSI

Thorme 12 Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie, B = (e1 , . . . , en ) une base de E et x p p une suite dlments de E.n

On note x p =i=1

x i, p ei .n

Alors, la suite (x p ) p converge dans E vers llment x =i=1

x i ei x i, pp

si, et seulement si, pour tout i de [[1, n]] , la suite de scalaires converge vers x i .Dmonstration

E tant de dimension nie, toutes les normes sur E sont quivalentes. Nous allons utiliser : n n |xi | xi ei = x 1=i=1 1 i=1

Remarque Lintrt de ce thorme rside dans le fait fondamental que, sur un espace vectoriel de dimension nie, les suites convergentes sont toujours les mmes indpendamment de la norme choisie. On se permet alors dutiliser des phrases telles que : Soit (x p ) une suite convergente de Kn , sans prciser la norme utilise pour dnir la convergence. A contrario, dire Soit ( f n ) une suite convergente de C([0, 1], R) na pas de sens, car on ne prcise pas de quel type de convergence il sagit.

Supposons que la suite (x p ) converge vers x dans E. On a : Do lim xi p = xi . pN 0 |xi, p xi | xp x1

p+

La rciproque dcoule de : p N xp x1

n

=i=1

|xi p xi | .

Rapport X-ESPCI, 2001 Si on avait le choix de la norme sur Rn , il est indispensable de rappeler que toutes sont quivalentes.

Application 4Nous avons dj rencontr les normes suivantes.n

Normes sur K [X]n

En effet, en prenant Pn (X) = N (Pn ) = 1 ;

Si P(X) =0c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

ak X k :n n

X k , on a : 0 N2 (Pn ) = n + 1 ;

N1 (P) =0

|ak | ;

N2 (P) =0

|ak |2 ;

N1 (P) = n + 1 Lensemble {Pn | n N} est donc une partie borne de (K[X], N ). Mais ce nest pas une partie borne de lespace vectoriel norm (K[X], N2 ). Nous en dduisons que N et N2 ne sont pas quivalentes. Le mme argument sapplique N et N1 , ces normes ne sont pas quivalentes. Pn De plus, lensemble | n N est une n+1 partie borne de lespace vectoriel norm (K[X], N2 ) , mais pas de lespace vectoriel norm (K[X], N1 ) . Les normes N1 et N2 ne sont pas quivalentes.

N (P) = sup |ak | .kN

Montrer que ces normes ne sont pas quivalentes. Ces normes sont comparables : P K[X] N (P) N2 (P) N1 (P)

Mais, elles sont deux deux non quivalentes.

46

2. Espaces vectoriels norms 3.7. Suites de Cauchy (PSI)Une suite (x p ) de lespace vectoriel norm, (E, Cauchy de E si elle vrie la condition : > 0 N N ( p, k) N2 Thorme 13 Toute suite convergente de (E,Dmonstration Soit (x p ) une suite convergente de limite x. Fixons > 0. On sait que : N N p Do : p N x p x p+k . N xp x . 2

), est appele suite de x p+k x p )

(p

N

Rapport X-ESPCI, 2002 U n+ p (x)U n (x) C n U p (x)x ne prouve pas que la suite est de Cauchy.

) est une suite de Cauchy de E.

Thorme 14 Toute suite de Cauchy de (E,

) est borne.

Richard Dedekind (1831-1916), mathmaticien allemand. Une thorie complte des nombres rels a t ncessaire pour que le critre de Cauchy, dabord admis, puisse tre dmontr. Ces thories datent des annes 1860-1870 et sont luvre de Dedekind, Weierstrass et Cantor. Rapport Mines-Ponts, 2000 bn bn1 La condition tend an an1 vers 0 nassure pas que la suite bn soit de Cauchy... an

Thorme 15 Toute suite de Cauchy dun espace vectoriel norm de dimension nie est convergente. Ce thorme est admis. Il sera trait dans le livre dexercices, mais sa dmonstration est hors programme.

Application 5

On considre, dans vectoriel euclidien lespace un R3 , la suite (Z n ) = vn dnie par : wn u0 Z 0 = v0 et, pour tout n : w0 u n+1 = 1 u n 1 wn 61 3 6 1 1 1 v = u + v w + 61 n+1 3 n 2 n 3 n wn+1 = 1 u n + 1 vn 1 wn + 61 3 3 3

La norme euclidienne est note

.

1) Montrer que la suite (Z n ) vrie une relation matricielle de la forme Z n+1 = A Z n + B. Prciser A et B. 2) Montrer que, pour tout vecteur X de R3 , on a AX k X , o k est un rel de ]0, 1[. 3) En dduire que la suite (Z n ) est une suite de Cauchy de R3 . 4) Montrer quelle converge et calculer sa limite.

47


Une suite de Cauchy dans R 3

Analyse PC-PSI

1) Pour tout n, on a : 1 3 0 1 1 Z n+1 = 3 2 1 1 3 3 x 2) Posons X = y . z

1 6 61 1 Z n + 61 . 3 61 1 3 Nous obtenons :

Alors, pour tout entier n et tout pp

1:

Z n+ p Z n =j =1 p j =1

(Z n+ j Z n+ j 1 ) k n+ j 1 Z 1 Z 0 11 12n

1 Z1 Z0 = 1k

.

33 11 Le rel k = = convient. 6 12 3) Vous montrerez que, pour tout n 1 : Z n+1 Z n kn Z1 Z0 .

AX = 1 (2x z)2 + (2x + 3y 2z)2 + 4(x + y z)2 6 1 33 2 + 33y 2 + 29z 2 X . 32x 6 6

La suite (Z n ) est donc une suite de Cauchy. 4) Lespace vectoriel R3 est de dimension nie, donc la suite (Z n ) converge. a Notons L = b sa limite et utilisons les opc rations sur les suites convergentes. Le vecteur L vrie : L = AL. Do a = 99, b = 36 et c = 30.

4c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Une once de topologie) est un espace vectoriel norm et d est la Rapport X-ESPCI, 2002 Le cours sur la topologie est mal su ou mal assimil. v A x BO(x,r)

Dans tout ce paragraphe, (E, distance associe la norme.

4.1. Point intrieur (PSI)Un point x dune partie A de E est appel point intrieur A sil existe une boule ouverte de centre x incluse dans A (doc. 6) : r > 0 B O(x, r ) A

u

Exemple E = R,

x = |x|, A = ]0, 1]. 1 1 , 2 4 = 1 3 , A (doc. 7). 4 4] 0Pour sentraner : ex. 8.

Doc. 6.] 1 4 [ 3 4 [ 1

1 est un point intrieur A car B O 2 1 nest pas un point intrieur A.

1 2

x

Doc. 7.

48

2. Espaces vectoriels norms 4.2. Ensemble ouvertUne partie A de E est un ouvert (ou une partie ouverte) de E si, pour tout point x de A , il existe une boule ouverte de centre x, contenue dans A. x A r > 0 Exemples E et [ sont des ouverts de (E, ). ]0, 1] nest pas un ouvert de R.Pour sentraner : ex. 9.

B O(x, r ) A

(PSI) La dnition signie que tout point de A est point intrieur A.

Application 6Soit x 0 dans E, r0 > 0 et A = B O(x 0 , r0 ). Nous voulons prouver que : y A d > 0BO(x0,r0) x0 d

Les boules ouvertes Puisque y est dans B O(x 0 , r0 ) : d(y, x 0) < r0 . Lintuition issue de la gomtrie invite poser : d = r0 d(y, x 0 ) Prouvons que B O(y, d) B O(x 0 , r0 ) = A. Soit z dans B O(y, d), alors :

Montrer que toute boule ouverte de E est un ouvert de E.

B O(y, d) B O(x 0 , r0 )

y

d(z, x 0 )

d(z, y) + d(y, x 0) < d + d(y, x 0) = r0 .

Doc. 8.

Donc z B O(x 0 , r0 ).c Hachette Livre H Prpa / Math , 2e anne, PC/PSI. La photocopie non autorise est un dlit

Thorme 16 Lintersection de deux ouverts de E est un ouvert de E.Dmonstration Soit A 1 et A 2 deux ouverts de E (doc. 9). 1) Si A 1 A 2 = [, le rsultat est acquis. 2) Si A 1 A 2 = [, soit x dans A 1 A 2 . A 1 est ouvert : r1 > 0 B O(x, r1 ) A 1 . De mme, A 2 est ouvert : r2 > 0 B O(x, r2 ) A 2 . Notons r = min(r1 , r2 ). Alors : B O(x, r ) B O(x, r1 ) B O(x, r2 ) A 1 A 2 .

B(x,r1) A1 x B(x,r2) A2

Doc. 9. Intersection de deux ouverts.

49

Analyse PC-PSI

Thorme 17 Soit ( Ai )iI une famille quelconque douverts de E. La runioniI

Ai de cette famille est un ouvert de E.

Par rcurrence, on tablit que toute intersection nie douverts de E est un ouvert de E. Mais, cest faux pour une intersection quelconque. Il suft, pour sen assurer, de considrer, sur R : 1 1 , = {0} . n n

Les notions de convergence et douvert sont en relation par le rsultat suivant que nous vous laissons dmontrer titre dexercice.nN

Thorme 18 Si (x p ) est une suite convergente de E, de limite x, alors tout ouvert de E contenant x contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.

4.3. Point adhrentSoit A une partie de E et x un point de E. Le point x est dit adhrent A si toute boule ouverte de E, de centre x, a un point commun au moins avec A, cest--dire : r > 0 Thorme 19 (PSI) Le point x de E est adhrent la partie A de E si, et seulement sil existe une suite dlments de A qui converge vers x, cest--dire : (x p ) ANDmonstration Soit (xn ) une suite dlments de A qui converge vers x et r > 0. Puisque la suite (xn ) converge vers x, il existe p tel que x p B O(x, r ). Donc : B O(x, r ) A = [. 1 Rciproquement, pour tout p de N, il existe x p dans A tel que x p B O x, p . 2 La suite (xn ) dlments de A converge vers x.p+

B O(x, r ) A = [.

lim

x p x = 0.

v A x2 u x1


Exemples Tout point de A est un point adhrent A (doc. 10). E = R, x = |x|, A = ]0, 1].

Doc. 10. Les points x 1 et x 2 sont adhrents A.

0 nappartient pas A, mais il est adhrent A (doc. 11). Si A est une partie majore non vide (respectivement minore) de R, la borne suprieure (respectivement infrieure) de A est un point adhrent A. En effet, A tant une partie non vide et majore de R, elle admet une borne suprieure a. Soit alors r > 0. a est le plus petit des majorants de A : ]ar , a]A = [. On en dduit que a est adhrent A.Pour sentraner : ex. 10 (PSI).

] 0

[ 1

x

Doc. 11. 0 est adhrent A.

50

2. Espaces vectoriels norms 4.4. Ensemble ferm. Lien entre ouverts et fermsUne partie A de E est dite ferme dans E si tout point adhrent A est un point de A. On dit aussi que A est un ferm de E. Exemples E et [ sont des ferms de E. [0, 1[ nest pas un ferm de R . Thorme 20 A est un ferm de E si, et seulement si,Dmonstration Supposons que A soit une partie ferme de E. Soit x un lment de nest pas un point adhrent A, donc : Ceci quivaut : DoncE E

! Une partie de E peut

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