Continus-Champaney

8/3/2019 Continus-Champaney

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Vibration de systmes continus

L. Champaney

Notes du cours du Dynamique des Constructions

Sommaire

1 Vibrations longitudinales dune barre 21.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Frquences et modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Mise en vidence dune base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Vibrations forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Vibrations de torsion dune poutre 6

3 Vibration de exion dune poutre 63.1 Vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Frquences et modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Mise en vidence dune base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.5 Vibrations forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1


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ENSMP - Dynamique des Constructions Vibration de Systmes Continus

1 Vibrations longitudinales dune barre

1.1 Vibrations libres

Les variables considres sont :

=ux

N = ES (1)

Lquation dquilibre local est :dN dx

= S 2 ut 2

(2)

soit :

xS

ux

=S E

2 ut 2

(3)

qui devient :

2

ux 2 = 1c2 2

ut 2 (c2 = E ) (4)

Energie potentielle :

V =12 d = 12

L

0ES

ux

2

dx (5)

Energie cintique

T =12

2 ut 2

2

d =12

L

0S

2 ut 2

2

dx (6)

Les conditions aux limites possibles sont : dplacement impos nul aux extrmits :

u(0, t ) = 0 et/ou u(L, t ) = 0

effort impos nul aux extrmits :

ux

(0, t ) = 0 et/ouux

(L, t ) = 0

1.2 Frquences et modes propres

On effectue une sparation des variables :

u (x, t ) = U (x)T (t ) (7)

Lquilibre devient :1

U

d2 U

dx2 =

1

c2

d2 T

dt2 = cste (8)

On a galit de deux fonctions de variables indpendantes. Les deux fonctions sont donc gales une constante. Cette constante est choisie ngative pour assurer la stabilit de la solution entemps :

1U

d2 U dx 2

=1c2

d2 T dt 2

= 2

c2(9)

ce qui donne

d2 U dx 2

+c

2

U = 0

d2 T dt 2

+ 2 T = 0

U (x) = A sinxc

+ B cosxc

T (t) = C sin t + D cos t(10)

Les constantes A, B , C et D sont calcules partir des conditions initiales et des conditions auxlimites.

ENSMP 2 L. Champaney


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1.3 Exemples

1.3.1 Barre libre aux deux extrmits

Les conditions aux limites :ux

(0, t ) = 0 etux

(L, t ) = 0

donnent :A

c

(C sin t + D cos t ) = 0

c

A cosLc

B sinLc

(C sin t D cos t ) = 0(11)

qui a pour solution non triviale :A = 0

sinL

c= 0

(12)

Les modes possibles de vibration sont donc caractriss par :

Lc

= i (13)

Les pulsations propres de vibration sont donc :

i = icL

= iL E (14)

et les modes propres associs :

U i (x) = cosixL (15)

La solution gnrale du problme de vibration est donc :

u(x, t ) =

i =0

cosixL

(C i cos i t + D i sin i t) (16)

o les constantes C i et D i dpendent des conditions initiales.

1.3.2 Barre encastre-libre

Les conditions aux limites :

u(0, t ) = 0 etux (L, t ) = 0

conduisent :cos

Lc

= 0 (17)


i = (2 i 1)

2L E (18)et les modes propres associs :

U i (x) = sin(2 i 1)x

2L (19)



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1.3.3 Barre encastre-encastre


u(0, t ) = 0 et u(L, t ) = 0

conduisent :sin

Lc

= 0 (20)


i = iL E (21)

1.4 Mise en vidence dune base modale1.4.1 Orthogonalit des modes

Les modes propres U i (x) sont caractriss par lquation caractristique :

(ESU i ) = 2i SU i (22)

en multipliant chaque membre par un autre mode U j et en intgrant sur la barre, on obtient :

L

0(ES U i ) U j dx =

L

02i SU i U j dx (23)

En intgrant par partie le premier terme on obtient :

ES U i U jL

0

L

0ES U i U j dx =

2i

L

0SU i U j dx (24)

Le premier terme est nul car, aux extrmits, la barre est soit encastre ( U i = U j = 0 ) soit libre(U i = U j = 0 ). Il reste :

L

0ESU i U j dx =

2i

L

0SU i U j dx (25)

En rptant la mme opration en remplaant lquation ( 22 ) par :

(ES U j ) = 2j SU j (26)

en multipliant chaque membre par U i, en intgrant sur la barre est en suivant la mme procdure

que ci-dessus ont obtient :

L

0ESU i U j dx =

2j

L

0SU i U j dx (27)

En retirant lquation 25 de lquation 27 on obtient :

(2i 2j )

L

0SU i U j dx = 0 (28)

Lorsque i = j , les deux frquences sont diffrentes et on obtient alors la proprit :

L

0 SU i U j dx = 0 , si i = j (29)



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qui indique que deux modes diffrents sont orthogonaux par rapport loprateur S , appeloprateur de masse.

En injectant cette proprit dans lquation 25 ou dans lquation 27 , on obtient :

L

0ESU i U j dx =

L

0(ES U i ) U j = 0 , si i = j (30)

qui indique que deux modes diffrents sont orthogonaux par rapport loprateur de raideur( ddx (ES

ddx ).

1.4.2 Normalisation

Lorsquon considre deux fois le mme mode ( i = j ), on normalise en gnral le mode U i demanire ce que :

L

0

SU 2i dx = 1 (31)

La condition dorthonormalit des modes par rapport la masse peut donc scrire :

L

0SU i U j dx = ij (32)

Ds lors quon fait cette normalisation, on obtient :

L

0ES U i

2dx =

L

0(ES U i ) U i =

2i (33)

1.5 Vibrations forces

Lorsque quon force la vibration par un effort f (x, t ), lquation dquilibre devient :

x

S ux

S E

2 ut 2

+ f (x, t ) = 0 (34)

On cherche une solution dcompose dans la base modale :

u (x, t ) =

j =0

qj (t )U j (x) (35)

En introduisant cette dcomposition dans lquation dquilibre ( 34 ), en multipliant chaque membrepar U i et en intgrant le long de la barre on obtient :

L

0SU i (

j =0

qj (t)U j (x))dx L

0U i (

j =0

(qj (t)ES U j (x)) )dx = L

0U i f (x, t )dx (36)

Le terme

Q i (t) = L

0U i f (x, t )dx (37)

est appele projection de la force impose sur le mode i . En utilisant les proprits dorthonor-malit des modes, ils reste :

qi (t) + 2i qi (t ) = Q i (t), i = 0 . . . (38)

La rsolution du problme de vibrations forces se ramne la rsolution dun ensemble desystmes scalaires un degr de liberts indpendant.



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2 Vibrations de torsion dune poutre

Les variables considres sont :

t =x

M t = GI 0 t (39)

Lquation dquilibre local est :dM tdx

= I 0 (40)

soit :

xI 0

ux

=I 0G

2 ut 2

(41)

Cette forme est identique celle obtenue pour un problme de vibration longitudinale de barre.Les solutions sont du mme type.

3 Vibration de exion dune poutre

3.1 Vibrations libres

Les variables considres sont : le dplacement radial : v(x, t )

la rotation de la section : (x, t ) =vx

(hypothse de Bernoulli)

la courbure : f =x

le moment chissant M f = EI f effort tranchant T t

Les quations dquilibre local sont :

T tx

+ S 2 vt 2

= 0

M f x

T t = 0(42)

Ici, on a nglig les termes dinertie dus la rotation des sections devant les termes dinertie du leur translation. En lminant leffort tranchant, on obtient :

2 M f x 2

+ S 2 vt 2

= 0 (43)

qui devient : 4 vx 4

+S EI

2 vt 2

= 0 (44)

Energie potentielle :

V =12

L

0EI

2 vx 2

2

dx (45)

Energie cintique

T =12

2 vt 2

2

d =12

L

0S

2 vt 2

2

dx (46)

Les conditions aux limites possibles sont : dplacement impos nul aux extrmits :

v(0, t ) = 0 et/ou v(L, t ) = 0



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rotation impose nulle aux extrmits :

v

x(0, t ) = 0 et/ou

v

x(L, t ) = 0

moment impos nul aux extrmits :

2 vx 2

(0, t ) = 0 et/ou 2 vx 2

(L, t ) = 0

effort impos nul aux extrmits :

3 vx 3

(0, t ) = 0 et/ou 3 vx 3

(L, t ) = 0

3.2 Frquences et modes propres

On effectue une sparation des variables :

v(x, t ) = V (x)T (t) (47)

Lquilibre devient :EI S

1V

d4 V dx 4

= 1T

d2 T dt 2

= cste (48)

On a galit de deux fonctions de variables indpendantes. Les deux fonctions sont donc gales une constante. Cette constante est choisie positive pour assurer la stabilit de la solution entemps :

EI S

1V

d4 V dx 4

= 1T

d2 T dt 2

= + 2 (49)

ce qui donne

d4 V dx 4

4 V = 0

d2 T dt 2

+ 2 T = 0

U (x ) = Ach x + B sh x + C cos x + D sin xT (t ) = E sin t + F cos t

(50)

avec

4 =S 2

EI Les constantes A , B , C , D , E et F sont calcules partir des conditions initiales et des conditionsaux limites.

3.3 Exemples

3.3.1 Poutre en appuis simples


v(0, t ) = v(L, t ) = 0 et v (O, t ) = v (L, t ) = 0

donnent :A + C = 0

2 (A C ) = 0Ach L + B sh L + C cos L + D sin L = 0

2 Ach L + B sh L C cos L D sin L = 0

(51)



8/10


qui a pour solution non triviale :

A = C = 0B sh L = 0 B = 0

D sin L = 0(52)

Les modes possibles de vibration sont donc caractriss par :

i =iL

(53)


i = i2 2 EI SL 4 (54)

et les modes propres associs :

V i (x) = sinixL

(55)

La solution gnrale du problme de vibration est donc :

u(x, t ) =

i =0

sinixL

(E i cos i t + F i sin i t) (56)

o les constantes E i et F i dpendent des conditions initiales.

3.3.2 Poutre encastre-libre


v(0, t ) = v (0, t ) = 0 et v (L, t ) = v (L, t ) = 0

donnent :A + C = 0B + D = 0

Ach L + B cos L + C sh L + D sin L = 0 2 Ach L + B cos L C sh L D sin L = 0

(57)

qui une solution non triviale si :

ch L + cos Lsh L sin L

= sh L + sin Lch L + cos L

(58)

soit :ch L cos L + 1 = 0 (59)

dont les solutions sont : 1 = 1 .875, 2 = 4 .694, ...

3.4 Mise en vidence dune base modale

3.4.1 Orthogonalit des modes

Les modes propres V i (x) sont caractriss par lquation caractristique :

(EI V i ) = 2i SV i (60)



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en multipliant chaque membre par un autre mode V j et en intgrant sur la poutre, on obtient :

L

0(EI V i ) V j dx =

L

02i SV i V j dx (61)

En intgrant deux fois par partie le premier terme on obtient :

(EI V i ) V jL

0 EI V i V j

L

0+

L

0EI V i V j dx =

2i

L

0SV i V j dx (62)

Le premier terme est nul car, aux extrmits, la barre est soit appuye ( V i = V j = 0 ) soit libredeffort (V i = V j = 0 ). Le deuxime terme est assui nul car, aux extrmits, la barre est soit rotation bloque ( V i = V j = 0 ) soit libre de moment ( V i = V j = 0 ). Il reste :

L

0EI V i V j dx =

2i

L

0SV i V j dx (63)

En rptant la mme opration en remplaant lquation ( 60 ) par :

(EI V j ) = 2j SV j (64)

en multipliant chaque membre par V i , en intgrant sur la barre est en suivant la mme procdureque ci-dessus ont obtient :

L

0EI V i V j dx =

2j

L

0SV i V j dx (65)

En retirant lquation 63 de lquation 65 on obtient :

(2i 2j )

L

0SV i V j dx = 0 (66)

Lorsque i = j , les deux frquences sont diffrentes et on obtient alors la proprit :

L

0SV i V j dx = 0 , si i = j (67)

qui indique que deux modes diffrents sont orthogonaux par rapport loprateur S , appeloprateur de masse.

En injectant cette proprit dans lquation 63 ou dans lquation 65 , on obtient :

L

0(EI V i ) V j dx =

L

0EI V i V j = 0 , si i = j (68)

qui indique que deux modes diffrents sont orthogonaux par rapport loprateur de raideur( d

2

dx 2 (EI d 2

dx 2 ).

3.4.2 Normalisation

Lorsquon considre deux fois le mme mode ( i = j ), on normalise en gnral le mode V i demanire ce que :

L

0SV 2i dx = 1 (69)

La condition dorthonormalit des modes par rapport la masse peut donc scrire :

L

0SV i V j dx = ij (70)

Ds lors quon fait cette normalisation, on obtient :

L

0 EI V i2

dx = L

0 (EI V i ) V i = 2

i (71)



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3.5 Vibrations forces

Lorsque quon force la vibration par un effort radial f (x, t ), lquation dquilibre devient :

2

x 2EI

2 vx 2

+ S 2 ut 2

= f (x, t ) (72)

On cherche une solution dcompose dans la base modale :

v(x, t ) =

j =0

qj (t)V j (x) (73)

En introduisant cette dcomposition dans lquation dquilibre ( 72 ), en multipliant chaque membrepar V i et en intgrant le long de la barre on obtient :

qi (t) + 2i qi (t ) = Q i (t), i = 0 . . . (74)

en utilisant les proprits dorthonormalit des modes. Le terme

Q i (t) = L

0V i f (x, t )dx (75)

est appele projection de la force impose sur le mode i . La rsolution du problme de vibrationsforces se ramne la rsolution dun ensemble de systmes scalaires un degr de libertindpendants.


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