Jean-Michel Courty 15 mars 2005 - edu.upmc.fr · 1. Les équations de Maxwell dans le vide Ce chapitre vise à donner une vision générale des équations de Maxwell aﬁn d’arriver

Electromagnétisme et optiquenotes de cours . Version 0.2

Jean-Michel Courty

15 mars 2005

Première partie .

Électromagnétisme des milieux

1

1. Les équations de Maxwell dans le vide

Ce chapitre vise à donner une vision générale des équations de Maxwell afin d’arriver leplus rapidement possible au coeur du cours : la propagation des ondes électromagnétiqueset l’optique.

1.1. Enoncé des équations

Le socle de l’électromagnétisme repose sur cinq équations : les quatre équations deMaxwell et l’expression de la force de Lorentz.

Ces équations sont (sous leur forme locale)

L’équation de Maxwell Gaussdiv ~E =

ρ

ε0(1.1)

L’équation de Maxwell flux magnétique

div ~B = 0 (1.2)

L’équation de Maxwell Faraday

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(1.3)

L’équation de Maxwell Ampère

−→rot ~B = µ0

~j + µ0ε0∂ ~E

∂t(1.4)

La force de Lorentz~FL = q

(~E + ~v × ~B

)(1.5)

Ces équations portent le nom d’équations de Maxwell dans le vide. Cette dénominationest trompeuse car ces équations sont valables tout le temps. Elles s’appliquent en présencede charges et de courant c’est à dire dans un vide qui contient de la matière. On lesnomme ainsi par opposition aux équations de Maxwell dans les milieux que l’on étudieraau second semestre.

3

4 1. Les équations de Maxwell

1.2. Charges, courants et champs

Charge électrique

Au niveau microscopique, les charges sont ponctuelles. Leur valeur est toujours unmultiple entier de la charge élémentaire e ' 1.6×10−19C. Tout système physique est unecollection de charges individuelles ponctuelles (même en mécanique quantique). Toutefoispour un système macroscopique, le nombre est tellement grand que l’on utilisera unedescription continue en terme de densité volumique de charge ρ.

Il est important de pouvoir passer de la description en terme de charges discrètesà une représentation continue. Pour faire le lien entre les expressions concernant desdistributions continues de charge et les distribution discrètes, on étudie ce qui se passedans un volume V.

Q =y

V

ρ (~r) d3~r =∑i∈V

qi (1.6)

On en déduit l’expression de la densité moyenne en considérant un volume V assez petitpour que les charges y soient réparties de manière homogène

ρ =1V∑i∈V

qi (1.7)

Courant électrique

Le courant I qui traverse une surface S est le flux du vecteur densité de courant ~j :

I =x

S

~j · d~S. (1.8)

Une densité volumique de charge ρ animée d’une vitesse ~v produit une densité de courant~j égale à :

~j = ρ~v. (1.9)

La densité de courant d’une distribution de charges ponctuelles qi animées chacune d’unevitesse ~vi est

~j =1V∑i∈V

qi~vi. (1.10)

Conservation de la charge électrique

La charge électrique est une quantité qui se conserve. La variation temporelle de lacharge située dans un volume V délimité par une surface fermée S est le courant électriquequi traverse cette surface :

d

dt

(y

V

ρd3~r

)= −

Σ

~j · d~S. (1.11)

J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

1.3. Contenu physique des équations de Maxwell 5

La relation locale exprimant la conservation de la charge est :

∂ρ

∂t+ div ~j = 0. (1.12)

Champ électrique Champ magnétique

Perméabilité magnétique du vide

µ0 = 4π · 10−7NA−2 (1.13)

Il s’agit d’une valeur exacte qui résulte de la définition de l’Ampère

Permittivité electrique du vide

ε0 = 8.854187817... · 10−12Fm−1 (1.14)

Il s’agit aussi d’une valeur exacte depuis que le mètre est défini à partir de la vitesse dela lumière.

1.3. Contenu physique des équations de Maxwell

Chacune de ces équations prises individuellement décrit un effet physique. La formeintégrale des équations de Maxwell permet de reconnaitre facilement cet effet.

Equation de Maxwell Gauss

div ~E =ρ

ε0(1.15)

Sous forme intégrale on reconnait le théorème de Gauss :

Σ

~E · d~S =Q

ε0, (1.16)

Q =y

V

ρ dτ. (1.17)

Cette équation, est la même qu’en électrostatique. Elle exprime la manière dont lescharges électriques sont à l’origine du champ électrique.

Maxwell flux magnétique

div ~B = 0

Par analogie avec l’équation précédente on déduit que cette équation exprime qu’iln’existe pas de charge magnétique :

Σ

~B · d~S = 0. (1.18)

Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty


Maxwell Ampère

−→rot ~B = µ0

~j + µ0ε0∂ ~E

∂t(1.19)

Sous forme intégrale il s’agit du théorème d’Ampère.∮C

~B · d~l = µ0I + µ0ε0x

Σ

∂ ~E

∂t· d~S (1.20)

I =x

Σ

~j · d~S (1.21)

Lorsque le champ électrique est stationnaire, il n’y a que le terme µ0I et on reconnaitle théorème d’Ampère de la magnétostatique. Dans le cas général, le second terme estappelé courant de déplacement.

Cette équation exprime la manière dont un courant électrique est à l’origine d’unchamp magnétique. On remarquera qu’un champ électrique dépendant du temps crée luiaussi un champ magnétique.

Maxwell Faraday

−→rot ~E = −∂

~B

∂t

Cette équation décrit le phénomène d’induction : un champ magnétique variable est àl’origine d’un champ électrique. Ce champ est dénommé champ électromoteur :∮

C

~E · d~l = −dΦdt,

Φ =x

Σ

~B · d~S.

1.4. Propriétés et conséquences des équations de Maxwell

Le théorème de superposition

Les équations de Maxwell sont des équations linéraires en ~E, ~B, ρ et ~j .

Cohérence des équations

Si jusqu’à présent, les équations de Maxwell ont été séparément, chacune a permis derendre compte d’un effet physique : la création d’un champ électrique par les chargesélectriques, l’absence de charge magnétique, la création d’un champ magnétique par uncourant électrique et le phénomène d’induction. Le génie de Maxwell a été de comprendrequ’il s’agit d’un tout et que ces équations doivent être considérées comme un ensemble.


1.4. Propriétés et conséquences des équations de Maxwell 7

Prises ensembles plutôt qu’individuellement, ces équations contiennent beaucoup plusque ces phénomènes.

L’exemple le plus simple s’obtient en combinant Maxwell Ampère et Maxwell Gauss :on écrit Maxwell Ampère

−→rot ~B = µ0

~j + µ0ε0∂ ~E

∂t(1.22)

on prend la divergence

div(−→rot ~B

)= µ0div~j + µ0ε0

∂div ~E∂t

(1.23)

le premier terme est nul car la divergence d’un rotationnel est nulle. Le troisième termepeut se réécrire gràce à Maxwell Gauss. Au final :

div~j +∂ρ

∂t= 0 (1.24)

On obtient l’équation qui rend compte de la conservation de la charge. Ainsi, cettepropriété n’est pas à ajouter, elle est déjà contenue dans les équations de Maxwell.

Existence d’ondes électromagnétiques

En électrostatique, le champ électrique est dû à la présence de charges électriques : sanscharge électrique, pas de champ électrique. En magnétostatique le champ magnétiqueest dû à la présence de courants électriques : sans courant électrique, pas de champmagnétique.

Lorsque l’on étudie des situations dynamiques où les différentes grandeurs dépendentdu temps, on peut écrire Maxwell Faraday

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(1.25)

Si le champ magnétique dépend du temps on peut avoir un champ électrique avec unedensité de charge électrique ρ nulle. Il suffit qu’il y ait un courant électrique :~j dépend de t → ~B dépend de t → ~E dépend de t .On peut encore avoir plus et imaginer l’existence d’un champ électrique et d’un champ

magnétique en l’absence de charge et de courant.Maxwell Faraday dit que ~B qui dépend du temps crée ~E (qui dépend donc aussi du

temps) Et Maxwell Ampère dit que ~E qui dépend du temps crée ~B. Le champ électro-magnétique acquièrt une existence autonome par rapport aux charges. Il est bien sûrnécessaire d’avoir initialement des charges et des courants pour créer une onde électro-magnétique, mais dès que celle ci est émise, son existence ne dépend plus de ces chargeset courants.




2. Propagation des ondesélectromagnétiques dans le vide

Dans tout ce chapitre, on se place en l’absence de charges et de courants.

2.1. Equation de propagation du champ électrique

Les équations de Maxwell couplent l’évolution du champ électrique et du champ ma-gnétique. En les combinant on peut obtenir une équation d’évolution pour le champélectrique seul. Prenons la dérivée temporelle de Maxwell-Ampère :

µ0ε0∂2 ~E

∂t2=−→rot

∂ ~B

∂t. (2.1)

Exprimons la dérivée temporelle de ~B à l’aide de Maxwell-Faraday

µ0ε0∂2 ~E

∂t2= −−→rot

(−→rot ~E

)= −

(−−→grad

(div ~E

)−∆ ~E

). (2.2)

Enfin Maxwell Gauss nous dit qu’en l’absence de charge la divergence du champ élec-trique est nulle. L’équation d’évolution du champ électrique est une équation de d’Alem-bert qui décrit la propagation d’ondes :

∆ ~E − µ0ε0∂2 ~E

∂t2= 0. (2.3)

2.2. La propagation d’ondes scalaires

2.2.1. Propagation à une dimension

L’équation de propagtion à une dimension d’un champ scalaire ϕ est

∂2ϕ

∂z2− 1c2∂2ϕ

∂t2= 0. (2.4)

Les solutions de cette équation sont

ϕ (z, t) = f (z − ct) + g (z + ct) . (2.5)

9

10 2. Propagation des ondes électromagnétiques

Une méthode de résolution qui permet de s’assurer que l’on a bien toutes les solutionsconsiste à effectuer le changement de variables suivant

ψ (u, v) = ϕ (z, t) , (2.6)u = z − ct, (2.7)v = z + ct. (2.8)

La fonction ψ vérifie alors l’équation

∂2ψ

∂u∂v= 0 (2.9)

2.2.2. Description des solutions

La solution f correspond à une onde qui se propage sans se déformer vers les z crois-sants. La solution g est une onde qui se propage vers les z décroissants.

2.2.3. Propagation à trois dimensions

A trois dimensions les solutions sont beaucoup plus compliquées qu’à une dimension.En particulier, il n’est pas possible de simplifier le problème à l’aide d’un changementde variables.

On peut toutefois trouver des solutions particulières qui vérifient certaines propriétésde symétrie.

Ondes planes progressives

Le champ ne dépend que d’une coordonnée. Il peut s’agir d’un axe, par exemple l’axez

Φ (x, y, z, t) = ϕ (z, t) , (2.10)

ou bien d’un axe quelconque de vecteur unitaire ~u

Φ (x, y, z, t) = ϕ (~u · ~r, t) . (2.11)

Le champ Φ est constant sur des plans orthogonaux à la direction de propagation ~u.Le champ ϕ (z, t) vérifie l’équation de propagation à une dimension dont nous connais-

sons toutes les solutions. Si l’on choisit de ne conserver que les solutions qui vont dansla direction et le sens du vecteur unitaire ~u, les solutions en onde plane s’écrivent

Φ (x, y, z, t) = f (~u · ~r − ct) . (2.12)

Ondes sphériques

Le champ ne dépend que de la distance r du point considéré avec l’origine

Φ (~r, t) = ψ (r, t) . (2.13)


2.3. Ondes électromagnétiques planes progressives 11

Pour une fonction qui ne dépend que de r le laplacien a une forme relativement simple :

∆Φ (~r, t) =1r

∂2

∂r2(rψ (r, t)) . (2.14)

La fonction ψ verifie l’équation d’évolution suivante

∂2

∂r2(rψ)− 1

c2∂2

∂t2(rψ) = 0. (2.15)

Par conséquent la fonction rψ vérifie l’équation de d’Alembert à une dimension dontnous connaissons les solutions. Nous en déduisons la solution en ondes sphériques :

ψ (r, t) =f (r − ct)

r+g (r − ct)

r. (2.16)

Le premier terme (fonction f ) corrspond à une onde qui s’éloigne de l’origine. Cette ondeest appelée onde sortante. Le second correspond à une onde qui converge vers l’origine,il s’agit d’une onde entrante.

Solutions stationnaires

Le théorème de superposition permet de construire une nouvelle solution comme com-binaison linéaire de deux solutions. L’espace des solutions est ainsi un espace vectoriel.Pour le connaitre, il suffit en fait de connaitre une base. Diverses méthodes permettentde trouver de telles bases. Celles ci reposent sur l’utilisation de la transformée de Fourierou plus généralement de l’analyse harmonique. Il s’agit de trouver les solutions station-naires.

2.3. Ondes électromagnétiques planes progressives

Retour sur la propagation du champ électrique

Les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide avec la célérité c :

c =1

√µ0ε0

. (2.17)

= 299 792 458 m s−1 (2.18)

Il s’agit d’une valeur exacte depuis la définition du mètre adoptée en 1983. La valeur dela perméabilité magnétique du vide µ0 est aussi une valeur exacte car elle repose sur ladéfinition de l’Ampère. Par conséquent, la valeur de la permittivité électrique du videε0 est elle aussi exacte.



Les solutions en onde plane

Chacune des composantes du champ électrique et du champ magnétique vérifie l’équa-tion de d’Alembert. Intéressons nous aux solutions particulières pour lesquelles toutesces composantes sont des ondes planes progressives se dirigeant selon la direction et lesens d’un vecteur unitaire ~u :

~E (~r, t) = ~e (~u · ~r − ct) , (2.19)~B (~r, t) = ~b (~u · ~r − ct) . (2.20)

Ce champ électromagnétique est solution de l’équation de d’Alembert. C’est une condi-tion nécessaire pour être solution de l’équation de Maxwell, mais cette condition n’estpas suffisante. Il nous faut maintenant revenir aux équations de Maxwell pour finir letravail. Pour des ondes planes progressives, la dérivée temporelle, la divergence et lerotationnel prennent des formes particulièrent simples :

∂

∂t~E (~r, t) = −c ~e ′ (~u · ~r − ct) , (2.21)

div ~E (~r, t) = ~u · ~e ′ (~u · ~r − ct) , (2.22)−→rot ~E (~r, t) = ~u× ~e ′ (~u · ~r − ct) , (2.23)∂

∂t~B (~r, t) = −c ~b ′ (~u · ~r − ct) , (2.24)

div ~B (~r, t) = ~u ·~b ′ (~u · ~r − ct) , (2.25)−→rot ~E (~r, t) = ~u×~b ′ (~u · ~r − ct) (2.26)

Dans les intégrations, nous considérerons que les constantes d’intégration qui inter-viennent sont nulles (elles correspondent à un champ statique uniforme dans tout l’es-pace)

div ~E = 0 → ~u · ~e ′ = 0 → ~u · ~E = 0div ~B = 0 → ~u ·~b ′ = 0 → ~u · ~B = 0

−→rot ~E = −∂ ~B

∂t → ~u× ~e ′ = c ~b′ → ~u× ~E = c ~B−→rot ~B = 1

c2∂ ~E∂t → ~u×~b ′ = −1

c~e′ → ~u× ~B = −1

c~E

(2.27)

Nous pouvons donc récapituler les propriétés du champ électrique et du champ ma-gnétique pour une onde plane progressive.` Attention, les remarques qui suivent ne sont valables que pour des ondes planes pro-gressives.

– Le champ électrique et la champ magnétique sont orthogonaux à la direction depropagation. On dit que ce sont des champs transverses

– Le champ électrique et le champ magnétique sont orthogonaux entre eux.– Le trièdre

(~u, ~E, ~B

)formé de la direction de propagation, du champ électrique et

du champ magnétioque est un trièdre direct.– Le module du champ électrique est c fois plus grand que celui du champ magnétique


2.4. Onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement13

2.4. Onde électromagnétique plane progressivemonochromatique polarisée linéairement

2.4.1. Structure du champ électrique

Pour discuter précisément de la structure du champ électrique et du champ magnétiqueon considère une onde qui se propage dans la direction Oz vers les z croissants et dontle champ électrique est aligné selon Ox.

~E = E0 cos(ωc

(z − ct) + ϕ0

)~ux = E0 cos (kz − ωt+ ϕ0) ~ux (2.28)

– Il s’agit d’un onde monochromatique dont la pulsation est ω.– L’évolution du champ électrique est périodique de période T.

T =2πω

(2.29)

– La dépendance spatiale est harmonique, elle est caractérisée par le nombre d’ondek .

k =ω

c(2.30)

– A un instant donné, la distribution du champ électrique est spatialement périodique.La période spatiale est la longueur d’onde λ.

λ =2πk

(2.31)

L’onde plane se propage à la célérité c sans se déformer. Le champ électrique redevientégal à sa valeur initiale- aprés s’etre propagé sur une distance égale à la longueur d’onde λ- au bout d’une période temporelle T. C’est à dire après s’etre paropagé de cT.

On en déduit la relation entre longueur d’onde et période spatiale

λ = cT (2.32)

En un point donnée le champ électrique oscille selon un segment de droite parallèle à~ux . On dira que l’onde est polarisée linéairement selon l’axe Ox .

Plus généralement, on appelle polarisation l’évolution de la direction du champ élec-trique en fonction du temps en un point donné de l’espace.

Pour une onde électromagnétique plane monochromatique polarisée linéairement, lechamp électrique s’écrit :

~E = E0 cos(~k · ~z − ωt+ ϕ0

)~u (2.33)

Le vecteur ~k est le vecteur d’onde, il définit la direction de propagation de l’onde. Levecteur ~u est un vecteur unitaire orthogonal à la direction de propagation, il définit ladirection du champ électrique c’est à dire la polarisation de l’onde.



2.4.2. Champ magnétique

Le champ magnétique se déduit de l’équation de Maxwell Faraday

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(2.34)

∣∣∣∣∣∣∂∂x∂∂y∂∂z

×

∣∣∣∣∣∣E0 cos (kx− ωt+ ϕ0)

00

=

∣∣∣∣∣∣0

−kE0 sin (kx− ωt+ ϕ0)0

(2.35)

~B =k

ωE0 cos (kx− ωt+ ϕ0) ~uy (2.36)


3. Ondes monochromatiques

3.1. Ondes monochromatiques et notation complexe

3.1.1. Pourquoi s’intéresser aux ondes monochromatiques ?

Ce sont les multiples conséquences du fait que les équations de Maxwell sont deséquations linéaires.

Les modes propres du champ électromagnétique ont un évolution sinusoïdale.La réponse du champ électromagnétique à une excitation sinusoidale est elle même

sinusoidale.L’utilisation combinée de la transformation de Fourier et du théorème de superposition

permet de décomposer toute onde électromagnétique en composantes de Fourier quicorrespondent à des ondes monochromatiques.

3.1.2. La notation complexe

Toute grandeur sinusoidale A (t) peut s’écrire sous la forme

A (t) = A0 cos (ϕ0 − ωt) (3.1)

A0 est l’amplitude de la grandeur A et ϕ0 sa phase.On associe à la grandeur physique A (t) une grandeur complexe A (t) définie par

A (t) = A0 ei(ϕ0−ωt). (3.2)

La grandeur physique A (t) est la partie réelle de la grandeur complexe A (t)

A (t) = < (A (t)) . (3.3)

On défini l’amplitude complexe A0 comme :

A0 = A0eiϕ0 (3.4)

de sorte queA (t) = A0 e

−iωt. (3.5)

Remarque 1

On dispose de deux choix pour définir la notation complexe car un cosinus est la sommede deux exponentielles conjuguées. On rencontre en pratique les deux choix possibles.

15

16 3. Ondes monochromatiques

La convention dépend des traditions du domaine étudié. En électricité il est de coutumed’écrire

A (t) = A0eiωt. (3.6)

En électromagnétisme on préfère souvent

A (t) = A0 e−iωt. (3.7)

C’est ce choix qui sera fait dans toute la suite du cours.

Remarque 2

Il est important de toujours se rappeler que la notation complexe est une convention.Pour éviter toute confusion, chaque fois que l’on utilise la notation complexe on écrirale passage complexe→réel et réel→complexe.

A (t) = A0 cos (ϕ0 − ωt) (3.8)A (t) = A0 e

i(ϕ0−ωt) (3.9)

La notion d’amplitude complexe est extrémement utile, que ce soit d’un point devue pratique pour calculer ou d’un point de vue plus conceptuel pour comprendre lesphénomènes. Toutefois, il est essentiel de ne pas oublier que les quantités physiques sontdes grandeurs réelles.

Remarque 3

Il n’est pas toujours possible d’utiliser des lettres calligraphiques, par exemple quandon a des quantités décrites par des minuscules. On utilise alors souvent la notationsuivante :

a (t) = a0 ei(ϕ0−ωt) (3.10)

a0 = a0 eiϕ0 (3.11)

a (t) = <(a (t)

)(3.12)

Remarque 4

Pour une onde monochromatique, il est possible d’écrire l’amplitude complexe enfonction de l’amplitude réelle de la manière suivante :

A (t) = A (t) + iA

(t+

T

4

). (3.13)

Par consequent, si la fonction A (t) est solution d’une équation d’évolution linéaire in-dépendante du temps, l’amplitude complexe A (t) le sera aussi.


3.2. Onde électromagnétique monochromatique 17

3.2. Onde électromagnétique monochromatique

Onde scalaire, onde vectorielle

L’amplitude d’une onde monochromatique scalaire s’écrit

A (~r, t) = <(A (~r) e−iωt

)(3.14)

ce qui correspond à la grandeur réelle

A (~r, t) = A0 (~r) cos (ϕ0 (~r)− ωt)

A0 (~r) est l’amplitude de l’onde au point ~r et ϕ0 (~r) la phase de l’onde au point ~r.Les surfaces ϕ0 (~r) = cste sont appelées surfaces d’onde. Lorsque ce sont des plans, on

parle d’onde plane, lorsque ce sont des sphères, d’onde sphérique.Pour un champ vectoriel comme le champ électrique, chacune des composantes peut

s’écrire sous cette forme. Cela donne l’écriture compacte

~E (~r, t) = <(~E (~r) e−iωt

). (3.15)

Attention à ne pas se laisser emporter par la simplicité de cette écriture. Le champ réels’écrit

Ex (~r, t) = E0x (~r) cos (ϕx (~r)− ωt) (3.16)Ey (~r, t) = E0y (~r) cos (ϕy (~r)− ωt) (3.17)Ez (~r, t) = E0z (~r) cos (ϕz (~r)− ωt) (3.18)

Les phases ϕx (~r) , ϕy (~r) et ϕz (~r) sont a priori différentes. C’est seulement lorsque cesphases sont égales que l’on peut écrire le champ électrique sous la forme suivante :

~E (~r, t) = ~E0 (~r, t) cos (ϕ0 (~r)− ωt) . (3.19)

Dans cette situation, la polarisation du champ électromagnétique est linéaire en chaquepoint de l’espace.

Equation d’onde

Pour une onde monochromatique A (~r, t) , la dérivée temporelle est :

∂2

∂t2A (~r, t) = −ω2A (~r, t) (3.20)

Par conséquent l’équation de propagation devient

∆A (~r) +ω2

c2A (~r) = 0 (3.21)

Cette équation porte le nom d’équation de Dirichlet. On la retrouve en physique sousde très nombreuses formes lorsque l’on s’intéresse aux solutions stationnaires : équationde la chaleur (transfert thermique, diffusion), équation de Schrödinger.



Ondes planes progressives monochromatiques

On peut enfin s’intéresser aux ondes planes progressives monochromatiques de la forme

A (~r, t) = A0ei(~k·~r−ωt+ϕ0) (3.22)

= A0 exp i (kxx+ kyy + kzz − ωt+ ϕ0) . (3.23)

Les dérivées partielles selon les composantes cartésiennes sont :

∂

∂xA (~r, t) = ikxA (~r, t) , (3.24)

∂

∂yA (~r, t) = ikyA (~r, t) , (3.25)

∂

∂zA (~r, t) = ikzA (~r, t) . (3.26)

Par conséquent, l’opérateur différentiel ~∇ en coordonnées cartésiennes est particulière-ment simple

~∇ → i~k. (3.27)

Attention, cette relation n’est vraie que pour des ondes planes progressives monochro-matiques.

Les différents opérateurs s’écrivent alors :

∂

∂tA (~r, t) = −iω A (~r, t) (3.28)

−−→grad A (~r, t) = i~k A (~r, t) , (3.29)

div ~E (~r, t) = i~k · ~E (~r, t) , (3.30)−→rot ~E (~r, t) = i~k × ~E (~r, t) . (3.31)

Lorsqu’on les appliquent à des ondes planes progessives monochromatiques, les équationsde Maxwell deviennent

i~k · ~E =ρ

ε0, (3.32)

i~k · ~B = 0, (3.33)i~k × ~E = iω ~B, (3.34)

i~k × ~B = µ0~j − i

ω

c2~E . (3.35)

En combinant ces équations prises en l’absence de charge et de courant, on retrouve larelation entre ω et ~k

i~k ×(i~k × ~E

)= i~k ×

(iω ~B

), (3.36)

soitω2

c2~E = i~k

(i~k · ~E

)−(i~k · i~k

)~E =

∥∥∥~k∥∥∥2~E (3.37)


3.3. Décomposition d’une onde en ondes monochromatiques 19

Soitω =

∥∥∥~k∥∥∥ c. (3.38)

On retrouve par ailleurs les relations que nous avions déjà établies dans le cas des ondesplanes progressives (mais pas nécessairement monochromatiques) dans le vide :

i~k · ~E = 0, i~k · ~B = 0,~B = 1

c

~kk × ~E , ~E = −c~k

k × ~B.

3.3. Décomposition d’une onde en ondes monochromatiques

3.3.1. Série de Fourier

Toute fonction f (t) réelle, périodique de période T = 2π/ω peut s’écrire commesomme de fonctions sinusoïdales de période T/n où n est un entier :

f (t) =a0

2+

∞∑n=1

[an cos (nωt) + bn sin (nωt)] (3.39)

=a0

2+

∞∑n=1

a′n cos (nωt+ φn) (3.40)

avec

an =2T

∫ T/2

−T/2f (t) cos (nωt) dt, (3.41)

bn =2T

∫ T/2

−T/2f (t) sin (nωt) dt. (3.42)

a02 est la valeur moyenne de f sur une période. Les termes en ωt constituent la composante

fondamentale tandis que les autres termes sont les harmoniques. L’ensemble des (an, bn)pour tous les n est appelé spectre de f . On parle ainsi de décomposition spéctrale de f.

En notation complexe on a

f (t) = <

( ∞∑n=0

Ane−inωt

)(3.43)

3.3.2. Transformation de Fourier

La théorie mathématique nécessaire pour travailler sans ambiguité avec la transforméede Fourier est la théorie des distributions. On utilisera un bon nombre de résultats sansdonner trop de précision, mais en cas de doute sur le résultat d’un calcul, il est trésfortement conseillé d’aller voir dans les ouvrages de mathématiques.

De même que pour la notation complexe, il y a plusieur conventions pour la définitionde la transformée de Fourier. Nous utiliserons la suivante : la transformée de Fourier



d’une fonction f (t) sera notée f [ω]. La fonction f (t) et sa transformée de Fourier sontreliées par les relations suivantes

f (t) =∫ +∞

−∞

dω

2πf [ω] e−iωt, (3.44)

f [ω] =∫ +∞

−∞dt f (t) eiωt. (3.45)

Pour une fonction qui dépend de l’espace, on défini la transformée de Fourier spatialepar

g (~r) =∫ +∞

−∞

d3~k

(2π)3g[~k]ei

~k·~r, (3.46)

g[~k]

=∫ +∞

−∞d3~r g (~r) e−i~k·~r. (3.47)

On remarquera que la convention de signe dans l’exponentielle est opposée à celle qui aété choisie pour le temps cela provient de la décomposition d’une onde en onde planes

f (z − ct) =∫ +∞

−∞

dk

2πf [k] eik(z−ct), (3.48)

=∫ +∞

−∞

dk

2πf [k] eikz−iωt (3.49)

=1c

∫ +∞

−∞

dω

2πf[ωc

]eikz−iωt (3.50)

Remarque

Voici les autres conventions qui sont aussi utilisées. Si l’on souhaite mettre en évidencela réciprocité entre transformée de Fourier et transformée de Fourier inverse

f (t) =1√2π

∫ +∞

−∞dω f [ω] e−iωt, (3.51)

f [ω] =1√2π

∫ +∞

−∞dt f (t) eiωt. (3.52)

Si l’on souhaite mettre en avant la fréquence plutot que la pulsation

f (t) =∫ +∞

−∞dν f [ν] e−2πiνt, (3.53)

f [ν] =∫ +∞

−∞dt f (t) e2πiνt. (3.54)

3.4. Les différents types d’ondes électromagnétiques

Les frontières qui sont données ici sont des frontières floues.


3.4. Les différents types d’ondes électromagnétiques 21

Ondes radio et microondes

Ce sont les ondes électromagnétiques dont la longueur d’onde est plus grande que lemilimètre. Il s’agit des ondes radio pour les longueurs d’onde supérieures au décimètreet les microondes pour les longueurs d’onde entre le millimètre et le décimètre.

Gamme d’ondes λ (vide) fréquencemillimétriques 1 mm à 10 mm 30 GHz à 300 GHzcentimétriques 1 cm à 10 cm 3 GHz à 30 GHzou hyperfréquences

décimétiques 1 dm à 10 dm 300 MHz à 3 GHzmétriques 1 m à 10 m 30 MHz à 300 MHzdécamétriques 10 m à 100 m 3MHz à 30 MHzou ondes courtes

hectométriques 100 m à 1000 m 300 KHz à 3 MHzou ondes moyennes

kilométriques 1 km à 10 km 30 KHz à 300 KHzou grandes ondes

myriamétriques 10 km à 30 km 10 KHz à 30 KHz

Le four à microondes est un sous produit du radar. Les microondes utilisées ont unefréquence de 2,54 GHz. Elles sont résonantes avec une fréquence de transition de lamolécule d’eau.

Ondes millimétriques 1 mm à 10 mm, 30 GHz à 300 GHz.ehf : extra hautes fréquences.

Ondes centimétriques ou hyperfréquences 1 cm à 10 cm, 3 GHz à 30 GHz.shf : super hautes fréquences. Satellites de télécommunication.

Ondes décimétriques 1 dm à 10 dm, 300 MHz à 3 GHz.uhf : ultra hautes fréquences Télévision, radars, téléphone gsm (Bande 900MHz et

1800 MHz).

Ondes métriques 1 m à 10 m, 30 MHz à 300 MHz.thf : très hautes fréquences ou vhf : very high frequencies Télévision et radio en

modulation de fréquence, communications de la police et de l’armée.

Ondes décamétriques ou courtes 10 m à 100 m, 3 MHz à 30 MHz.hf : hautes fréquences. cb et radio à grande portée.

Ondes hectométriques ou moyennes 100 m à 1000 m, 300 KHz à 3 MHz.mf : moyennes fréquences. Radio.



Ondes kilométriques ou grandes ondes 1 km à 10 km, 30 KHz à 300 KHzbf : basses fréquences. Radio.

Infrarouge

L’infrarouge s’étend entre les microondes et le visible. L’infrarouge est trés souventassocié au rayonnement thermique. C’est en effet dans cette gamme que les corps àtempérature ambiante rayonnent. On distingue trois types de rayonnement infrarouge :

Gamme d’ondes λ (vide) gamme de températureinfrarouge proche 0.7µm à 5µm 740 K à 3000 Kinfrarouge moyen 5µm à 30 µm 100 K - 740 Kinfrarouge lointain 30 µm à 200 µm 10K à 100K

En astronomie, l’infrarouge permet d’observer des objets trop froids pour rayonnerdans le visible.

Infrarouge procheRayonnement des géantes rouges et des étoiles rouges froides.

Infrarouge moyenPlanètes comètes et astéroides. Poussières chauffées par les étoiles. Caméras ther-

miques : détection de pannes, analyse des pertes thermiques.

Infrarouge lointainEmission de poussières froides. Régions centrales des galaxies

Visible

Longueurs d’onde comprises entre 380 nm et 770 nm

violet 400 nm 450 nmbleu 450 nm 520 nmvert 520 nm 560 nmjaune 560 nm 600 nmorange 600 nm 630 nmrouge 630 nm 750 nm

Ultraviolet

Longueurs d’onde inférieure à celles de la lumière visible.ultraviolet proche 300 nm à 400 nm UVA (400-315 nm)ultraviolet moyen 200 à 300 nm UVB (315-280 nm)

UVC (280-185 nm)ultraviolet lointain 90 à 200 nm


3.4. Les différents types d’ondes électromagnétiques 23

Ultraviolet procheUVA : Coup de soleil retardé, pigmentation instantanée, fluorescence.

Ultraviolet moyenUVB : Coup de soleil précoce, pigmentation retardée, aide à produire la vitamine D.UVC : Pouvoir bactéricide trés élevé.

Rayons X

On distingue deux types de rayon X, les ” X mous ” avec une longueur d’onde de 5 à100 Å et les ” X durs ” avec une longueur d’onde de 0.01 à 0.5 Å

Rayons γ

Les rayons gamma sont des ondes électromagnétiques de longueur d’onde trés faibleallant de 10−12m à 10−14 m. Ils sont produits par des réactions nucléaires.




4. Energie électromagnétique

4.1. Densité volumique d’énergie électromagnétique

Energie potentielle d’un système de charges

La première approche de l’énergie en électrostatique conduit à étudier l’énergie d’in-teraction d’un système de charges. Deux charges q1 et q2 séparées d’une distance r ontune énergie d’interaction U12 égale à

U12 =q1q2

4πε0r. (4.1)

Il s’agit d’une énergie potentielle d’interaction. On est ensuite conduit à introduire lepotentiel électrostatique V créé par une distribution de charges. L’énergie potentielled’une charge q placée dans ce potentiel au point ~r est alors

U = q1V (~r) . (4.2)

L’énergie d’intéraction d’un sytème de N charges est :

U =12

N∑i=1

qiVi, (4.3)

où Vi est le potentiel electrostatique créé par toutes lesautres charges au point où setrouve la charge i.

Densité locale d’énergie électrostatique

L’énergie électrostatique d’un condensateurde capacité C est

EC =12CU2. (4.4)

La capacité d’un condensateur plan dont les armatures sont séparées par du vide est

C = ε0S

e, (4.5)

où S est la surface des armatures et e l’épaisseur du condensateur. L’énergie électrosta-tique s’écrit donc

EC =12ε0Se

(U

e

)2

=ε0

∣∣∣ ~E∣∣∣22

V (4.6)

25

26 4. Energie électromagnétique

où V est le volume se trouvant entre les armatures du condensateur et ~E le champ élec-trique qui y règne. Puisque le champ électrique est uniforme à l’intérieur du condensateuret nul ailleurs, on peut donner une nouvelle interprétation à l’énergie électrostatique. Ils’agit d’une énergie stockée dans le champ lui même. La densité volumique d’énergieélectrostatique Ue stockée dans le champ est ainsi :

Ue =ε0

∣∣∣ ~E∣∣∣22

(4.7)

Ee =y

Ue dτ. (4.8)

Energie magnétique

De la même manière on peut s’intéresser à l’énergie magnétique d’un solénoide.

Em =12LI2. (4.9)

L’inductance L d’un solenoide de longueur l, dont la surface de la section est S et quicomporte N spires est :

L = µ0N2S

l. (4.10)

L’intensité du champ magnétique ~B qui règne à l’intérieur est :

B = µ0N

lI. (4.11)

Par conséquent, tout comme pour l’énergie du condensateur, on peut mettre l’énergie dela bobine sous forme d’un produit de son volume V par une densité d’énergie magnétique :

Em =

∣∣∣ ~B∣∣∣22µ0

V (4.12)

La densité volumique d’énergie magnétique Um stockée dans le champ est ainsi :

Um =

∣∣∣ ~B∣∣∣22µ0

(4.13)

Em =y

Um dτ. (4.14)

Les expressions que nous venons d’écrire pour le champ électrique et ou le champ ma-gnétique nous permettrons d’interpréter l’expression que nous allons obtenir en réalisantle bilan énergétique complet du champ électromagnétique.


4.2. Le vecteur de Poynting 27

4.2. Le vecteur de Poynting

L’énergie est une grandeur qui se conserve. En presence de charges et de courants,il peut y avoir un échange d’énergie entre la matière : l’énergie électromagnétique esttransformée en énergie mécanique ou réciproquement. En l’absence de charges et decourants, l’énergie électromagnétique est une quantité qui se conserve.

Pour exprimer cette conservation, il faut introduire un vecteur densité de courantd’énergie. Ce vecteur est appelé vecteur de Poynting et il est noté ~Π . Si l’on note U ladensité volumique d’énergie électromagnétique, la relation de conservation est :

d

dt

(y

V

U dτ

)= −

Σ

~Π · d~S. (4.15)

La relation de conservation locale s’écrit∂U∂t

+ div ~Π = 0. (4.16)

Le vecteur de Poynting est un vecteur qui représente la densité de courant d’énergie.Autrement dit, la puissance électromagnétique P qui traverse une surface S est le fluxdu vecteur de Poynting à travers cette surface :

P =x

Σ

~Π · d~S. (4.17)

Lorsque l’on parle d’un faisceau lumineux, on appelle intensité cette puissance et onla note I. La surface Σ considérée doir intersecter totalement le faisceau lumineux.

4.3. Expression de l’énergie électromagnétique

Calculons la divergence du produit vectoriel du champ électrique et du champ magné-tique

div(~E × ~B

)= ~B ·

(−→rot E

)− ~E ·

(−→rot ~B

)(4.18)

Soit, en utilisant Maxwell Ampère et Maxwell Faraday dans le vide :

div(~E × ~B

)= ~B ·

(−∂

~B

∂t

)− ~E ·

(µ0~j + µ0ε0

∂ ~E

∂t

)(4.19)

= − ∂

∂t

∣∣∣ ~B∣∣∣2

2+ µ0ε0

∣∣∣ ~E∣∣∣22

− µ0~E ·~j. (4.20)

ou encore, en divisant par µ0

∂

∂t

ε0∣∣∣ ~E∣∣∣2

2+

∣∣∣ ~B∣∣∣22µ0

+ div

(~E × ~B

µ0

)= − ~E ·~j. (4.21)



En l’absence de courants (~j = 0 ), nous pouvons reconnaitre l’énergie électrostatiqueet déduire l’expression du vecteur de Poynting. Dans les régimes dépendant du temps,l’énergie électromagnétique a la même expression que dans les régimes statiques : c’estla somme de l’énergie électrique et de l’énergie magnétique

Uem = ε0

∣∣∣ ~E∣∣∣22

+

∣∣∣ ~B∣∣∣22µ0

. (4.22)

Le vecteur de Poynting est proportionnel au produit vectoriel du champ électrique etdu champ magnétique

~Π =~E × ~B

µ0. (4.23)

Le terme − ~E · ~j est un terme source. ~E · ~j est la puissance cédée par le champ élec-tromagnétique aux charges par unité de volume.

δPδV

=1δV∑i∈δV

[qi ~E (~ri)

]· ~vi = ~E (~ri)

1δV∑i∈δV

qi · ~vi = ~E ·~j. (4.24)

Nous remarquerons qu’il n’a rien fallu ajouter de supplémentaire aux équations deMaxwell : la conservation de l’énergie est une conséquence des équations de Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère et de l’expression de la force de Lorentz.

4.4. Ondes planes progressives

4.4.1. Energie et quantité de mouvement

Energie

Pour une onde plane progessive, le champ électrique, le champ magnétique et le vecteurd’onde forment un trièdre direct et de plus :

~B =1c~u× ~E. (4.25)

On en déduit l’expression de l’énergie électromagnétique et du vecteur de Poynting

Uem = ε0

∣∣∣ ~E∣∣∣22

+

∣∣∣ ~Ec

∣∣∣22µ0

= ε0

∣∣∣ ~E∣∣∣2 (4.26)

~Π =

∣∣∣ ~E∣∣∣2µ0c

= ε0c∣∣∣ ~E∣∣∣2 ~u. (4.27)

Par conséquent~Π = cUem~u. (4.28)

L’énergie électromagnétique se déplace à la vitesse de la lumière.


4.4. Ondes planes progressives 29

Quantité de mouvement

Regardons le travail et la force exercée par une onde électromagnétique sur une charge.L’onde exerce sur cette charge la force de Lorentz

~F = q(~E + ~v × ~B

)(4.29)

La puissance de cette force est

P = ~v · ~F = ~v · q(~E + ~v × ~B

)= ~v · q ~E (4.30)

Pour une onde plane progessive~B =

1c~u× ~E (4.31)

La force est donc

~F = q

(~E + ~v × 1

c

(~u× ~E

))(4.32)

= q ~E +1c~u(~v · q ~E

)− 1c

(~v · ~u) ~E (4.33)

= ~Fe +1cP~u− 1

c(~v · ~u) ~E (4.34)

Le deuxieme terme est appelé pression de radiation.Les ondes electromagnétiques transportent aussi de la quantité de mouvement : un

objet qui absorbe ou réfléchit une onde électromagnétique subit une force : la pressionde radiation. On montre que le vecteur de Poynting est aussi la densité de quantité demouvement.

4.4.2. Le photon

La lumière est composée de photons. Pour une lumière monochromatique, l’énergied’un photon de fréquence υ est

E = hυ = hω, (4.35)

avech =

h

2π. (4.36)

où h est la constante de Planck et h la constante de Planck réduite. La quantité demouvement d’un photon est donc

~p = h~k =hυ

c~u (4.37)

La lumière transposte aussi du moment cinétique. Un photon polarisé circulairementpossede un moment cinétique h .

Le flux de photons qui traverse une surface est le rapport de la puissance qui traversecette surface et de l’énergie d’un photon :

δN

δt=Phυ

(4.38)



4.5. Détection des ondes électromagnétiques

4.5.1. Mesure du champ électromagnétique

Les antennes permettent de mesurer directement l’amplitude du champ electromagné-tique. Le champ électrique de l’onde électromagnétique met en mouvement les électronsd’un conducteur, le courant électrique ainsi créé est détecté directement.

4.5.2. Mesure de l’énergie

Les bolomètres mesurent l’énergie transportée par le champ électromagnétique. Ledétecteur absorbe l’énergie apportée par le champ électromagnétique. La mesure del’échauffement permet de déterminer l’intensité de l’onde électromagnétique.

4.5.3. Mesure du nombre de photons

L’arrivée d’un photon sur le détecteur excite un électron unique. Dans un photomul-tiplicateur, l’électron est arraché de la surface par effet photoélectrique, il est accéléré etarrache à son tour des électrons en arrivant sur une seconde electrode. Chaque photondonne lieu à une charge macroscopique directement détectable. Dans une photodiode ouun capteur CCD, le photon créee une paire électron - trou. Pour ces détecteurs la chargeélectrique créée par l’arrivée de la lumière est proportionelle au nombre de photons reçus.Ce type de détecteur a un seuil : pour provoquer la transition le photon doit avoir unénergie minimale.

Pour un photodétecteur telle une photodiode, chaque photon crée un électron. Pourune onde monochromatique le courant électrique i est donc

i = eδN

δt=

e

hυI. (4.39)


5. Les conducteurs électriques

5.1. Introduction

Un conducteur électrique est un milieu dans lequel des charges électriques sont libresde se déplacer. Ces charges sont des électrons ou des ions. Les métaux, les électrolyteset les plasmas (gaz ionisés) sont des milieux conducteurs.

5.1.1. Conducteur dans un champ électrique statique

Plaçons un morceau de métal dans un champ électrique statique. A l’intérieur dumétal, les électrons de conduction, qui sont libres de se déplacer dans tout le volume,sont soumis à une force qui les met en mouvement. Les électrons sont stopppés à leurarrivée sur les parois du métal et s’y accumulent. Leur accumulation crée un champélectrique qui s’additionne au champ extérieur. Aprés cette phase transitoire, on atteintun état d’équilibre.

A l’équilibre, les électrons qui sont à l’intérieur du conducteur sont immobiles. Celasignifie que le champ électrique auquel ils sont soumis est nul. Le champ électrique estnul à l’intérieur d’un milieu conducteur à l’équilibre. On déduit immédiatement à partirdu théorème de Gauss que la densité totale de charge est nulle : la densité volumiquede charge est nulle à l’intérieur d’un milieu conducteur. Dans un métal par exemple, ladensité de charge négative due aux électrons compense donc exactement la densité decharges positives due aux noyaux.

Puisqu’à l’extérieur du conducteur, le champ électrique n’est pas nul, il y a une dis-continuité du champ électrique à la surface du conducteur. Une partie des charges s’estaccumulée en surface. Le champ créé par cette densité surfacique de charge à l’intérieurdu conducteur y compense exactement le champ électrique extérieur.

Lorsque l’on change le champ électrique extérieur, les charges se déplacent de sorteque le champ électrique reste nul à l’intérieur. Si le changement est lent, les courantsélectriques sont des courants surfaciques.

5.1.2. Conducteurs dans un champ électrique variable

Lorsque le champ électrique change, la mise à l’équilibre ne peut pas être instan-tanée car les charges électriques doivent se mettre en mouvement. Deux phénomènesinterviennent alors : l’inertie des charges est à l’origine d’un retard de la réponse, lescollisions des porteurs sont à l’origine de dissipation. Avant d’étudier les conducteursréels, on considèrera une situation modèle où ces deux phénomènes sont absents.

31

32 5. Les conducteurs électriques

Dans cette situation idéalisée, on considérera qu’il n’y a pas de dissipation et que laréponse est instantanée. On parlera alors de conducteur parfait ou de conducteur idéal.

5.2. Du conducteur parfait aux conducteurs réels

Le conducteur parfait est une idéalisation des conducteurs réels. L’étude des conduc-teurs réels permettra de déterminer les domaines de paramètres dans lesquels on peutles considérer comme idéaux. Les milieux supraconducteurs où la dissipation est parfai-tement nulle sont aussi un trés bon exemple de ce que peut être un conducteur idéal(on notera toutefois que seule la dissipation est absente de ces milieux : les électrons yconservent leur inertie).

5.2.1. Le conducteur parfait

Un conducteur parfait se comporte en régime dynamique de la même manière qu’unconducteur en régime statique. Pour un conducteur parfait, le champ électrique intérieur~Eintest nul :

~Eint (~r, t) = 0. (5.1)

On déduit de l’équation de Maxwell-Gauss que la densité volumique de charge est nulle :

ρint (~r, t) = ε0 div ~Eint = 0. (5.2)

Par conséquent, seule la densité surfacique de charge peut être différente de zéro.L’équation de Maxwell-Faraday permet de conclure qu’à l’intérieur d’un conducteur

parfait le champ magnétique ne peut dépendre du temps :

∂ ~B

∂t= −−→rot ~E = 0. (5.3)

Dans un conducteur parfait le champ magnétique est nécessairement statique. On noteraque dans les supraconducteurs, le champ magnétique est nul (effet Meissner : lorsqu’unconducteur passe de l’atét normal à l’état supraconducteur, les lignes de champ ma-gnétiques sont expulsées de sorte que le champ magnétique devient nul à l’interieur dusupraconducteur).

On déduit alors de l’équation de Maxwell-Ampère que les courants électriques sontnécessairement stationnaires, c’est à dire indépendants du temps :

~j =1µ0

−→rot ~B − ε0

∂ ~E

∂t=

1µ0

−→rot ~B. (5.4)

Les seuls courants qui peuvent dépendre du temps sont les courants surfaciques.


5.3. Modèles de conducteurs réels 33

5.2.2. Réflexion sur un conducteur parfait

Que se passe-t-il lorsqu’une onde électromagnétique arrive sur un conducteur parfait ?Cette onde met en mouvement les charges en surface du conducteur. A l’intérieur duconducteur le champ électrique tout comme le champ magnétique restent nuls. Le champélectromagnétique émis par les charges en mouvement à la surface du conducteur com-pense exactement le champ incident à l’intérieur du conducteur : la surface émet uneonde de même amplitude que le champ incident et en opposition de phase. Si la surfaceest un plan, on déduit par symétrie que le champ émis par ces charges en mouvementvers l’extérieur du conducteur est le symétrique du champ qu’il émet vers l’intérieur.On retrouve bien ce que l’on attend d’un miroir, avec en suplément le fait que le champréfléchi subit un déphasage de π par rapport au champ incident.

5.3. Modèles de conducteurs réels

L’étude des milieux n’est pas une théorie ”à principes” comme peut l’être l’electroma-gnétisme dans le vide. Pour l’électromagnétisme dans le vide, il suffit de prendre commepostulat les quatre équations de Maxwell, l’expression de la force de Lorentz et la rela-tion fondamentale de la dynamique. Tout le reste se construit à partir de ces équationset s’en déduit par des raisonnements logiques.

Pour les milieux, on ne dispose pas de système d’équations que l’on pourrait considérercomme des postulats. Les théories les plus précises dont on dispose sont extrèmementcomplexes et font appel à la théorie quantique. Notre but ici est plutot d’étudier desgrandes classes de comportement génériques, en particulier dans des cas limites. Pourcela les matériaux seront décrits d’une part au niveau macroscopique par des ”équationsd’état” (aussi nommées relations constitutives) c’est à dire des coefficients tels que laconductivité electrique, la permittivité, ... On dispose aussi de modèles microscopiquesque l’on qualifie de phénoménologiques car certains aspects ne sont pas déduits despremiers principes mais ajoutés ”à la main” de manière à ce que le comportement obtenumime au mieux le comportement observé dans les matériaux réels. Outre leur aspectprédictif, ces modèles ont le grand intéret de nourrir l’intuition physique. Il faut toutefoisrester vigilant et ne pas les prendre forcement au pied de la lettre. On notera aussi quesi certaines justifications parfois données pour ces modèles semblent simplistes, il existetrés souvent des raisons très profondes à leur efficacité.

5.3.1. L’électron amorti

Dans le modèle proposé, on considère que les électrons sont responsables de la conduc-tion du milieu. Un électron libre de masse me et de charge électrique q = −e obéit àl’équation d’évolution suivante :

med~v

dt= ~FL − Γ~v. (5.5)



Le permier terme, ~FL est la force de Lorentz :

~FL = q(~E + ~v × ~B

). (5.6)

Dans la suite, lorsque le champ électrique et le champ magnétique viennent tout deuxd’une même onde électromagnétique, on négligera en général le terme dù au champmagnétique, inférieur à celui du champ électrique d’un facteur v

c qui est trés petit tantque les vitesses ne sont pas relativistes. Attention, lorsque l’on est en présence d’uneonde électromagnétique et d’un champ magnétique statique, seul le champ magnétiqueprovenant de l’onde peut être négligé, car lui seul est proportionel au champ électrique.Le champ statique peut conduire à une force comparable à celle du champ électrique del’onde même si les vitesses ne sont pas relativistes.

Le second terme −Γ~v est une force de friction visqueuse ajoutée pour des raisonsphénoménologiques. Il rend compte des mécanismes dissipatifs présents dans le milieu.Le coefficient de friction ne peut en général pas être calculé à partir des premiers principes(équations de Maxwell, mécanique quantique, ...), on obtient en géneral sa valeur en lereliant aux paramètres macroscopiques du milieu. Dans un plasma, la friction est dueaux collisions des électrons avec les ions et avec les molécules restées neutres. Dans unmétal, il s’agit de l’interaction entre les électrons et les vibrations mécaniques du réseaucristallin.

Dans un champ électrique statique ~E0, l’équation d’évolution de l’électron a poursolution :

~v (t) = ~v0e− t

τ +(1− e−

tτ

) qΓ~E0. (5.7)

où ~v0 est la vitesse de l’électron à l’instant initial t = 0. Le temps caractéristique d’amor-tissement est τ

τ =me

Γ(5.8)

la vitesse initiale est amortie tandis que la vitesse de l’électron tend vers une vitesselimite ~vl :

~vl =q

Γ~E0. (5.9)

5.3.2. Conductivité électrique

Lorsque la densité volumique d’électrons est Ne, la densité stationnaire de courant ~jest

~j = qNe~vl =Nee

2

Γ~E0. (5.10)

Cette densité de courant est proportionelle au champ électrique : on retrouve ainsi uncomportement ohmique

~j = σ0~E0 (5.11)

correspondant à une conductivité σ0 :

σ0 =Nee

2

Γ. (5.12)


5.4. Propagation dans les conducteurs 35

Pour un milieu donné, on peut donc reexprimer le coefficient de friction phénoménolo-gique Γ à l’aide de constantes fondamentales ou de grandeurs macroscopiques mesurées :

Γ =Nee

2

σ0(5.13)

on en déduit aussi le temps caractérisque d’amortissment :

τ−1 =Nee

2

σ0me(5.14)

Si le champ électrique n’est plus statique mais dépend du temps, tant que le tempscaractérique d’évolution du champ électrique est grand devant ce temps d’amortissment,les électrons sont en permanence à leur vitesse limite et le conducteur est ohmique.

De manière plus générale, on peut analyser la réponse du milieu à un champ électriquesinusoidal. En notation complexe, l’équation du mouvement devient

(−iωme + Γ)~ve−iωt = q~E0e−iωt (5.15)

soit une vitesse~v =

q

Γ− iωme

~E0 (5.16)

La densité de courant est alors

~j =Nee

2

Γ− iωme

~E0 =Nee

2

Γ1

1− iωmeΓ

~E0 = σ01

1− iωτ~E0 (5.17)

On en déduit qu’en régime sinusoidal la conductivité devient complexe et dépend de lafréquence

σ [ω] = σ01

1− iωτ. (5.18)

Ce modèle proposé par le physicien Drude rend très bien compte de la dépendanceen fréquence de la conductivité pour de trés nombreux matériaux. On notera toutefoisque si l’on souhaite une description plus précise, il faut aller chercher les valeurs de laconductivité expérimentales dans des tables.

5.4. Propagation dans les conducteurs

5.4.1. Les conducteurs ohmiques

Ces conducteurs sont caractérisés en volume par l’équation d’état

ρ = 0 (5.19)~j = σ ~E (5.20)

avec une conductivité σ réelle. Les équations de Maxwell s’écrivent donc :



div ~E = 0 (5.21)div ~B = 0 (5.22)

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(5.23)

−→rot ~B = µ0σ ~E + µ0ε0

∂ ~E

∂t(5.24)

De même qu’en l’absence de charges, on obtient une équation de propagation pour lechamp électrique seul en calculant le double rotationnel du champ électrique

−→rot(−→rot ~E

)=

−−→grad div ~E −∆ ~E = −∆ ~E (5.25)

= − ∂

∂t

(µ0σ ~E + µ0ε0

∂ ~E

∂t

)(5.26)

soit

∆ ~E = µ0ε0∂2 ~E

∂t2+ µ0σ

∂ ~E

∂t(5.27)

Un terme supplémentaire proportionel à la dérivée temporelle du champ électriques’ajoute à l’équation de d’Alembert. Cette équation reste toutefois linéaire. Toute so-lution de cette équation peut donc s’écrire comme une superposition de solutions mo-nochromatiques (grâce à la transformée de Fourier). En notation complexe, l’amplitudecomplexe ~E (~r, t) d’une solution monochromatique de pulsation ω s’écrit

~E (~r, t) = ~E (~r) e−iωt. (5.28)

~E (~r) vérifie l’équation suivante :

∆~E = −µ0ε0ω2~E − iωµ0σ~E . (5.29)

Si on se restreint à une onde plane se propageant selon l’axe Oz et polarisée selon Ox(~E (~r) = E (z) ~ux

)cette équation devient

∂2

∂z2E (z) = −µ0ε0ω

2E (z)− iωµ0σE (z) . (5.30)

Les solutions de cette équation s’écrivent de manière semblable à celle des ondesprogressives

E (z) = E1eikz + E2e

−ikz (5.31)

où la grandeur k vérifie l’équation

k2 = µ0ε0ω2 + iωµ0σ. (5.32)



Ce ”nombre d’onde” k n’est pas réel mais a une partie imaginaire non nulle. On parledonc parfois de pseudo vecteur d’onde ou pseudo nombre d’onde.

Plutot que de décrire le cas général, nous allons discuter les deux situations limitescorrespondant aux situations ou l’un des deux termes du second membre est négligeabledevant l’autre. Ces deux situations sont les suivantes :

– σ ε0ω : Il s’agit du cas des mauvais conducteurs électriques aussi appelés milieuxà pertes.

– σ ε0ω : il s’agit des très bons conducteurs.Avant de passer à la discussion déterminons le champ magnétique. On se sert pour cela

de l’équation de Maxwell Faraday qui n’est pas modifiée par la présence du conducteur :

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(5.33)

Soit, si l’on ne considère que la solution E1eikz

ik ~uz × ~E1 = iω ~B (5.34)

Soit~B =

k

ω~uz × ~E1 (5.35)

Attention k est complexe. Le champ magnétique est donc déphasé par rapport au champélectrique.

5.4.2. Propagation dans un mauvais conducteur

Pour les mauvais conducteurs ( σ ε0ω ), le terme supplémentaire dans l’équationde propagation peut être vu comme un terme correctif à la propagation dans le vide. Levecteur d’onde est très peu différent du vecteur d’onde k0 =

√µ0ε0ω = ω

c dans le vide :

k =√µ0ε0ω2 + iωµ0σ = ω

√µ0ε0

√1 + i

σ

ε0ω(5.36)

' √µ0ε0ω

(1 + i

σ

2ε0ω

)= k0 + i

σ

2

√µ0

ε0. (5.37)

Il apparait une longueur caractéristique lp :

lp =2σ

√ε0µ0. (5.38)

On peut donc écrire

k = k0 + i1lp. (5.39)



Les solutions à l’équation de propagation sont donc dans ce cas :

E (z, t) = E1 exp[i

((k0 + i

1lp

)z − ωt

)](5.40)

+E2 exp[i

(−(k0 + i

1lp

)z − ωt

)](5.41)

= e− z

lp ei(k0z−ωt) + E2ezlp ei(−k0z−ωt) (5.42)

Soit en revenant à l’amplitude réelle

E (z, t) = E1e− z

lp cos (k0z − ωt+ ϕ1) + E2ezlp cos (−k0z − ωt+ ϕ2) (5.43)

Le premier terme correspond à une onde qui se propage vers les z croissants touten s’atténuant tandisque la seconde correspond à une onde qui se propage vers les zdécroissants qui s’atténue elle aussi. L’amplitude de l’onde décroit de 1/e au bout de ladistance lp.On remarquera que cette distance d’absorption ne dépend pas de la fréquence.L’énergie perdue par l’onde électromagnétique est transformée en chaleur par effet Joule.

5.4.3. Les bons conducteurs : l’effet de peau

pour les bons conducteurs ( ε0ω σ ) c’est le second terme qui est dominant :

k2 = iωµ0σ (5.44)

dont la solution de partie imaginaire positive est

k =1 + i√

2√ωµ0σ = (1 + i)

√ωµ0σ

2(5.45)

k s’exprime en fonction d’une longueur caractéristique δ

δ =√

2ωµ0σ

(5.46)

Cette longueur caractéristique est très petite devant la longueur d’onde dans le vide :

2πδλ

= k0δ =√µ0ε0ω ·

√2

ωµ0σ=

√2ε0ωσ

1 (5.47)

puisque nous avons fait l’hypothèse de bon conducteur ε0ω σLa solution de l’équation s’écrit alors :

E (z, t) = E1e− z

δ ei(zδ−ωt) + E2e

zδ ei(−

zδ−ωt) (5.48)

Soit en notation réelle

E (z, t) = E1e− z

δ cos(zδ− ωt+ ϕ1

)+ E2e

zδ cos

(−zδ− ωt+ ϕ2

)(5.49)

La décroissance exponentielle fait penser à ce qui se passe dans le cas du mauvais conduc-teur mais il n’en est rien comme nous allons le voir en étudiant la réflexion d’une ondeélectromagnétique sur un conducteur.



5.4.4. La reflexion d’une onde par un conducteur réel

On considère que le demi espace z < 0 est vide tandisqu’un conducteur de conductivitéσ occupe le demi espace z > 0. Pour déterminer ce qui se passe lorsqu’une onde arrivesur le conducteur, il faut établir les relations de passage entre les deux milieux.

Avant de traiter les conditions de passage entre milieux de manière générale, on consi-dère ici le cas où l’onde arrive perpendiculairement à la surface du conducteur. Il n’ya alors ni charge surfacique, ni courant de surface, de sorte que le champ électriqueet le champ magnétique sont tous deux continus lors de la traversée de l’interface videconducteur (ne ne justifions pas pour l’instant ces deux affirmations cela sera fait lorsquenous nous intéresseront plus précisément aux relations de passage).

Dans le demi espace z < 0 le champ est la superposition d’une onde progressive etd’une onde régressive

~E (~r, t) = Einei(k0z−ω0t)~ux + Erefe

i(−k0z−ω0t)~ux (5.50)

~B (~r, t) =k0

ω0

(Eine

i(k0z−ω0t)~uy − Erefei(−k0z−ω0t)~uy

)(5.51)

En ce qui concerne le conducteur, c’est à dire pour z > 0, comme nous considérons quecelui ci s’étend jusqu’à l’infini, seule la solution qui décroit exponentiellement vers ladroite est acceptable

~E (~r, t) = Etrei(kz−ω0t)~ux (5.52)

~B (~r, t) =k

ω0Eine

i(kz−ω0t)~uy (5.53)

La continuité du champ électrique et du champ magnétique en z = 0 permet dedéduire :

Ein + Eref = Etr (5.54)k0

ω0(Ein − Eref) =

k

ω0Etr (5.55)

Soit

Eref =k0 − k

k + k0Ein (5.56)

Etr =2k0

k + k0Ein (5.57)

Reprenons le cas du mauvais conducteur

k =(k0 + i

1lp

). (5.58)

Ce qui donne

Eref ' −i 12k0lp

Ein (5.59)

Etr ' Ein (5.60)



Il n’y a quasiment pas de réflexion. Le champ se propage dans le conducteur et il estprogressivement absorbé.

Dans le cas du bon conducteurk =

1 + i

δ(5.61)

Eref =k0δ − (1 + i)(1 + i) + k0δ

Ein = −1− δk0

(1+i)

1 + δk0(1+i)

Ein (5.62)

' −(

1− δk0

(1 + i)

)(1− δk0

(1 + i)+ ...

)Ein ' − (1− (1− i) δk0) Ein (5.63)

Etr =2k0

1+iδ + k0

Ein = (1− i) k0δEin (5.64)

Or

δk0 =

√2ε0ωσ

(5.65)

ce qui donne

Eref = '

(1− (1− i)

√2ε0ωσ

)Ein (5.66)

Etr = (1− i)

√2ε0ωσ

Ein (5.67)

Remarques sur l’effet de peauL’épaisseur de peau est inversement proportionelle à la fréquence : plus les fréquence

sont élevées et moins les ondes pénètrent dans les conducteurs. Dans les fils, à partird’une certaine fréquence, la conduction se fait en surface.

5.5. Les plasmas

Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionisé. C’est donc un milieu globa-lement neutre dans lequel on trouve des électrons, des ions et éventuellement des atomesou des molécules neutres. Comme les ions sont plus de mille fois plus lourds que les élec-trons, l’amplitue de leurs mouvement et donc le cournat électrique qui leur est associéest négligeable devant le courant électronique.

Pour les plasma, l’inertie des électrons est un phénomène important. On s’interessedonc maintenant au cas plus général ou l’inertie compte.soit

~j =Nee

2

Γ− imeω~E (5.68)

On peut distinguer deux régimes : les basses fréquences, où la dissipation est dominanteet les hautes fréquences où les effets d’inertie deviennent dominants. Dans le domaine


5.5. Les plasmas 41

basse fréquence, la prise en compte de l’inertie vient en correction de la dissipation. Celarevient juste à donner une partie imaginaire à la conductivité.

En haute fréquence, on rencontre par compte des phénomènes nouveaux. Nous com-mencerons donc à étudier la dynamique d’un plasma libre.

5.5.1. Dynamique d’un plasma libre

L’équation d’évolution de la vitesse ou, ce qui est équivalent celle de la densité volu-mique de courant est :

Γ~j +me∂~j

∂t= Nee

2 ~E. (5.69)

Combinons cette équation avec la relation de conservation de la charge électrique (Nousrappelons que la conservation de la charge est incluse dans les équations de Maxwell).

Cette équation s’écrit :

div ~j +∂ρ

∂t= 0. (5.70)

Prenons donc la divergence de l’équation d’évolution de la densité de courant ~j

Γdiv ~j +me∂div ~j∂t

= Nee2div ~E (5.71)

−Γ∂ρ

∂t−me

∂2ρ

∂t2= Nee

2 ρ

ε0(5.72)

soit∂2ρ

∂t2+∂ρ

∂t+Nee

2

meε0ρ = 0 (5.73)

On trouve une équation d’évolution locale pour la densité electronique

∂2ρ

∂t2+

1τ0

∂ρ

∂t+ ω2

pρ = 0 (5.74)

C’est l’équation d’évolution d’un oscillateur harmonique. Le temps τ0 = Γme

est letemps caractéristique d’amortissement de la vitesse.et ωp une pulsation appelée pul-sation plasma :

ω2p =

Nee2

meε0. (5.75)

En l’absence de dissipation, un plasma est le siège d’oscillations à cette pulsation. Onremarquera que la densité intervient dans la pulsation plasma : pour les faibles densités,la pulsation plasma est inférieure au temps caractéristique d’amortissement et il n’y apas d’oscillations.



5.5.2. Propagation d’ondes dans un plasma

Comme dans un plasma la densité locale de charges peut être différente de zéro, ladivergence du champ électrique n’est pas nécessairement nulle. On distingue deux typesd’ondes : les ondes transverses, pour lesquelles la divergence du champ électrique est nul,ce sont celles que nous considérerons dans la suite. Il y a aussi des ondes longitudinales,qui correspondent aux oscillations plasma dans les fréquence supérieures à la fréquenceplasma et aux ondes pseudo-sonores dans le domaine des basses fréquences.

Nous nous limitons maintenant aux ondes transverses, c’est à dire les ondes pourlesquelles

div ~E = 0 (5.76)

sans oublier que la divergence du champ magnétique est elle toujours nulle (Maxwell-flux)

div ~B = 0 (5.77)

Nous commencerons en nous limitant aux effets inertiels et nous introduirons la dissi-pation par la suite. Dans cette situation :

me∂~j

∂t= Nee

2 ~E. (5.78)

~j =1−iω

Nee2

me

~E = iω2

p

ωε0 ~E (5.79)

Si l’on considère des ondes dont l’amplitude complexe est :

~E (~r, t) = E0ei(~k·~r−ωt)~u (5.80)

Maxwell-Faraday et Maxwell Ampère deviennent :

i ~k × ~E = −(−iω ~B

)(5.81)

i ~k × ~B = µ0~j + µ0ε0

(−iω~E

)=

(i µ0ε0

ω2p

ω− iωµ0ε0

)~E (5.82)

On en déduit l’équation de dispersion suivante

k2 =1c2(ω2 − ω2

p

)(5.83)

La pulsation plasma ωp sépare deux zones de fréquence où le plasma a des comporte-ments très différents.

Domaine des basses fréquences : ω < ωp

Dans ce domaine k2 est négatif. k est donc imaginaire pur :

k = ±i1c

√ω2

p − ω2 (5.84)


5.5. Les plasmas 43

Il n’y a aucune propagation dans le plasma. Ce milieu réflechit parfaitement les ondeselectromagnétiques. On citera comme exemple l’ionosphère (partie de l’atmosphère situéeà quelques centaines de kilomètres d’altitude qui est partiellement ionisée). Celle ciréflechit les ondes dont la fréquence est inférieure à quelques mégahertz.

densité en electrons libres de l’ionosphère : 1010 à 1012 electrons/m3 ce qui correspondà des pulsations plasma de 6×106 à 6×107 rad s-1

Domaine des hautes fréquences : ω > ωp

Dans ce domaine k2 est positif, le nombre d’onde k est donc réel ’si l’on néglige ladissipation). L’onde se propage dans le plasma sans être atténuée avec un nombre d’onde :

k =1c

√ω2 − ω2

p. (5.85)

On peut chercher à déterminer la vitesse de propagation vϕ

vϕ =ω

k= c

1√1− ω2

p

ω2

. (5.86)

Cette vitesse est supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide. Comment cela estil possible sans entrer en conflit avec la relativité ? Pour le savoir, il faut déterminerà quelle vitesse peut se propager l’énergie ou un signal. En ce qui concerne l’énergie,comme il y a de la matière la situation est plus délicate que dans le vide. Le plus simpleest de regarder la propagation d’un signal.

Nous allons détailler deux cas : le premier concerne la superposition de deux ondesmonochromatiques planes de pulsation différentes et le second un paquet d’ondes.

Propagation d’un battement entre deux ondes On considère la superposition de deuxondes se propageant selon 0z et polarisées selon Ox. La première a une pulsation ω1 etun nombre d’onde k1 tandisque la seconde a une pulsation ω2 et un nombre d’onde k2 .Ces deux ondes ont une même amplitude E0

~E (~r, t) = E0 cos (k1x− ω1t) ~ux + E0 cos (k2x− ω2t) ~ux (5.87)= E0 cos k1 (x− v1t) ~ux + E0 cos k2 (x− v2t) ~ux (5.88)

les phase de chacune de ces deux ondes se propagent aux vitesses v1 et v2

v1 =ω1

k1, v2 =

ω2

k2. (5.89)

Si les deux ondes ont des pulsations proches : (ω2 − ω1 = δω ω1 ) les deux nombresd’onde seront proches (k2 − k1 = δk k1 ). Les deux vitesses seront proches

On peut réexprimer le champ électrique de cette onde pour mettre en évidence lesbattements :

~E (~r, t) = 2E0 cos(k1 + k2

2x− ω1 + ω2

2t

)cos(k1 − k2

2x− ω1 − ω2

2t

)~ux (5.90)



Les oscillations rapides ont une pulsation qui est la moyenne des deux pulsations et unnombre d’onde qui est la moyenne des deux nombres d’onde. Ces oscillations rapides sepropagent à une célérité vr peux différente des célérités v1 et v2

vr =ω1 + ω2

k1 + k2' v1 ' v2. (5.91)

L’enveloppe a une pulsation égale à la moitié de la différence des deux pulsations et unnombre d’onde égal à la moitié de différence des nombres d’ondes. Cette enveloppe sepropage donc avec la célérité vg

vg =ω2 − ω1

k2 − k1=δω

δk(5.92)

Propagation d’un paquet d’onde Gràce à la transformée de Fourier on peut exprimertoute onde comme superposition d’ondes monochromatiques de pulsation ω et de vecteurd’onde k, ces deux quantités étant reliées par la relation de dispersion propre au milieuconsidéré. Cette relation permet d’exprimer le vecteur d’onde en fonction de la pulsationou de manière équivalente la pulsation en fonction du nombre d’onde.

~E (z, t) =∫dk

2πE (k) exp [i (kz − ωt)] ~ux (5.93)

Supposons que les pulsations qui interviennent dans cette onde sont toutes proches dela pulsation ω0

~E (~r, t) = exp [i (k0z − ω0t)]∫dk

2πE (k0) exp [i ((k − k0) z − (ω (k)− ω (k0)) t)] ~ux(5.94)

= exp [i (k0z − ω0t)]∫dk

2πE (k0) exp

[i (k − k0)

(z −

(ω (k)− ω (k0)

(k − k0)

)t

)]~ux(5.95)

= exp [i (k0z − ω0t)]F (z − vgt) ~ux (5.96)

C’est une onde quasi monochromatique de pulsation ω0 modulée par une enveloppe F

F (z) =∫dk

2πE (k0) exp [i (k − k0) z] (5.97)

cette enveloppe se propage à la célérité

vg =dω

dk=

d

dk(kvϕ) = vϕ + k

dvϕ

dk(5.98)

Si l’on développe la pulsation à l’ordre suivant, le terme supplémentaire conduit à unétallement du paquet d’onde.

Dans notre cask =

1c

√ω2 − ω2

p. (5.99)

dk =1c

1√ω2 − ω2

p

ωdω (5.100)


5.5. Les plasmas 45

vg =dω

dk= c

√1−

ω2p

ω21. (5.101)

La vitesse de groupe, c’est à dire la vitesse de propagation de l’énergie est plus faibleque la vitesse de la lumière dans le vide. La causalité est sauvée !




6. Electromagnétisme des milieux

6.1. Introduction

Jusqu’à présent, les charges électriques étaient libres de se déplacer. Il s’agissait parexemple de charges isolées dans le vide, d’électrons et d’ions dans les plasmas ou desélectrons de conduction dans les métaux. Pour étudier ce type de milieu, les outilsadéquats etaient bien la densité de charge électrique et la densité de courant. Nous avonstoutefois déjà dû introduire quelques nuances en distinguant les densité de charges et decourants associées aux électrons et les densités de charges et de courants associées auxions. Même en les détaillant de la sorte, ces outils ne sont pas adaptés à l’étude généraledes mileux

Ce n’est pas la situation générale, dans les atomes, les molécules ou la matière, lescharges sont liées les unes aux autres. Les constituants de la matière courante sontindividuellement neutres, tout en étant composés de particules chargées. Les propriétésélectriques d’une molécule telle que l’eau sont correctement décrites non pas par unecharge électrique ou la position de chacune des charges qui la composent mais par unmoment dipôlaire électrique. De même les propriétés magnétiques d’un atome ou d’unemolécule sont décrites par un moment dipôlaire magnétique.

De la même manière que nous avons été conduit à introduire ces outils au niveaumicroscopique, il nous faut développer le même type d’outil à l’échelle macroscopique.

6.2. Moment dipolaire électrique : du microscopique aumacroscopique.

6.2.1. Moment dipôlaire électrique, polarisabilité

Rappels

Considérons un ensemble de charges. Placée dans un champ électrique ~E0 cette dis-tribution de charges subit une force ~F :

~F =∑

i

qi ~E0 (~ri) . (6.1)

Dans le même temps, cette distribution de charge crée au point ~R le champ électriquesuivant :

~E(~R)

=∑

i

qi4πε0

~R− ~ri∣∣∣~R− ~ri∣∣∣3 (6.2)

47

48 6. Electromagnétisme des milieux

On peut s’intéresser à ce que deviennent ces deux quantités lorsque ces charges sontsituées dans un petit volume centré autour du point ~r0.

~ri = ~r0 + δ~ri (6.3)

(petit signifie ici petit devant la distance d’observation pour le premier cas et petit devantla distance typique de variation du champ électrique dans le second). Il est alors possiblede réaliser un développement limité de ces deux expressions.

~F =∑

i

qi ~E0 (~r0) +∑

i

qi

(δ~ri ·

−−→grad

)~E0

∣∣∣~r0

+ . . . (6.4)

= Q ~E0 (~r0) +(~p ·−−→grad

)~E0

∣∣∣~r0

+ . . . (6.5)

où l’on retrouve la charge totale Q et le moment dipôlaire électrique ~p

Q =∑

i

qi (6.6)

~p =∑

i

qiδ~ri. (6.7)

On remarquera que quand la charge totale est nulle, le moment dipolaire électrique nedépend pas de l’origine choisie. On remarquera aussi que les deux termes ne sont que lespremiers termes d’un développement limité que l’on peut poursuivre aux ordres suivants.Le développement effectué est nommé développement multipolaire, et au dela du dipôle,on trouve le quadrupole, l’octupole etc ...

Ces mêmes coefficients ( charge, moment dipolaire, ...) interviennent dans l’expressiondu champ à grande distance d”une distribution de charges :

~E(~R)

=Q

4πε0~n∣∣∣~R− ~r0∣∣∣2 +

14πε0

3 (~p · ~n)~n− ~p∣∣∣~R− ~ri∣∣∣3 + .. (6.8)

~n =~R− ~r0∣∣∣~R− ~r0∣∣∣ (6.9)

Si les charges sont en mouvement, on peut effectuer les mêmes discussion à partir duchamp magnétique et attribuer à la distribution des moments multipôlaires magnétiqueset en particulier le moment dipôlaire magnétique ~m

~m =12

∑i

qi (~ri × ~vi) (6.10)

Pour la suite, nous ne serons concernés que par la chargeQ et les deux moments dipôlaires~p et ~m.

Deux points sont essentiels :


6.2. Moment dipolaire électrique : du microscopique au macroscopique. 49

– Une distribution de charges peut être représentée comme la superposition d’unecharge ponctuelle, d’un dipôle électrique et d’un dipôle magnétique (et éventuelle-ment de moments d’ordre supérieur)

– Chacune de ces quantités peut être représentée à l’aide d’un très petit nombre decharges ou de courants.

La charge électrique Q est représenté par une charge ponctuelle Q située au point ~r0Le moment dipôlaire électrique ~p est représenté par un charge positive q située au

point ~r0 + 12~a et une charge négative opposée −q située au point ~r0− 1

2~a avec ~p = q~a (ouéventuellement la charge positive en ~r0 + ~a et la charge négative en ~r0 )

Le moment dipôlaire magnétique ~m par une boucle de courant.Toutes ces considérations restent valables lorsque l’on s’intéresse à des grandeurs qui

dépendent du temps.

Notion de polarisabilité

Certaines molécules présentent spontanément un moment dipolaire électrique diffé-rent de zéro. Ce sont les molécules polaires telles la molécule d’eau. Les atomes ainsique d’autres molécules présentent pas spontanément de moment dipolaire électrique.Toutefois, lorsque ces particules sont placées dans un champ électrique extérieur, celuici exerce une force sur les charges positives et une force de sens opposé sur les chargesnégatives, de sorte que les barycentres des charges positives et des charges négatives nesont plus superposés. L’atome acquiert ainsi un moment dipolaire électrique en générald’autant plus important que le champ électrique est intense.

~p = ~p(~E)

(6.11)

En toute généralité, cette dépendance n’est pas linéaire ; toutefois, pour les champsfaibles, on peut effectuer un développement en puissance de ~E et au premier ordre leterme linéaire s’écrit

~p = α0ε0 ~E. (6.12)

α est appelé polarisabilité électrique de la molécule ou de l’atome. On remarquera qu’entoute généralité, le moment dipôlaire n’a aucune raison d’être aligné sur le champ élec-trique et que l’on écrira une relation matricielle

p = ε0α~E (6.13) px

py

pz

= ε0

αxx αxy αxz

αyx αyy αyz

αzx αzy αzz

Ex

Ey

Ez

. (6.14)

La polarisabilité α a la dimension d’un volume.Tout ce raisonnement reste identique lorsque l’on se trouve dans un régime dépendant

du temps. En régime sinusoïdal forcé on retrouve les menes relations entre les amplitudescompexes :

~p e−iωt = α [ω] ε0 ~E e−iωt. (6.15)



Dans ce type de relation, analogue à celle que l’on avait obtenu pour la conductivitéélectrique, la quantité α [ω] n’est pas nécessairement réelle.

La polarisabilité statique α0 ainsi que la polarisabilité dynamique α [ω] sont des quan-tités physiques que l’on peut mesurer. Comme dans les conducteurs électriques, cettegrandeur suffit à caractériser les interactions électromagnétiques de l’atome ou de lamolécule. Dans une situation physique donnée, il suffit d’aller regarder la valeur mesuréedans les tables. Mais comme pour les conducteurs, un modèle microscopique est toujoursinstructif. Nous attendons de lui :

– Une image physique des phénomènes permettant de développer son intuition desphénomènes.

– La compréhension des comportements observés, par exemple la dépendance en fré-quence de la susceptibilité

– La possibilité de donner des expressions analytiques qui soient plus que de simplesajustements ad-hoc des valeurs mesurées expérimentalement.

Le modèle que nous allons utiliser le plus souvent est appelé modèle de Lorentz ouencore modèle de l’électron élastiquement lié.

6.2.2. Modèles d’atomes

Notre obectif ici n’est pas de faire de la physique atomique et une théorie de la structureatomique. Il s’agit de trouver un modèle phénoménologique qui rende compte le plusprécisément possible et surtout le plus efficacement possible des toutes les propriétésphysiques que nous serons amenées à rencontrer. Un fois ce modèle décrit, nous feronsle lien avec ce que l’on comprend aujourd’hui des atomes et des molécules.

L’électron élastiquement lié.

Dans le domaine statique, on cherche à rendre compte de la proportionalité du dipôleen fonction du champ électrique. Sachant que la force exercée par un champ sur unecharge est proportionelle au champ, on peut obtenir un déplacement proportionel auchamp si l’on ajoute une force de rappel élastique. On considère donc comme modèleune charge q et une charge −q. On supposera la masse de la charge −q beaucoup plusimportante que celle de la charge q de sorte que son mouvement est négligeable. Lacharge q est située au point ~r tandisque la charge −q négative reste à l’origine. La forceexercée par la charge négative sur la charge positive est

~Fr = −k~r (6.16)

pour l’instant k est un coefficient de raideur introduit ”à la main”. On ajoutera de plusune force de frottement ~Ff visqueux

~Ff = −Γd~r

dt2(6.17)

cette force est introduite elle aussi de manière phénoménologique. Elle vient rendrecompte des pertes d’énergie de l’atome. Il s’agit en premier lieu de la dissipation par



rayonnement. Il s’agit aussi d’autres mécanismes telles les collisions dans un gaz ou lesinteractions avec les vibrations du réseau cristallin dans un solide.

Dans un champ électrique, la relation fondamentale de la dynamique s’écrit

md2~r

dt2= q ~E − k~r − Γ

d~r

dt2(6.18)

On en déduit dans le régime statique

~r =q

k~E (6.19)

soit un moment dipôlaire électrique ~p

~p =q2

k~E = ε0α0

~E (6.20)

on en déduit l’expression du coeficient de raideur en fonction de la polarisabilité statiqueα0 et de la charge de la particule

k =q2

ε0α0. (6.21)

Que prévoit en plus ce modèle ? On se retrouve avec un oscillateur harmonique et doncd’une résonance à une pulsation propre.

d2~r

dt2= − k

m~r +

q

m~E (6.22)

soit une équation d’évolution pour le dipôle

d2~p

dt2+k

m~p =

q2

m~E (6.23)

l’évolution libre se fait avec une pulsation propre ω0

ω0 =

√k

m. (6.24)

On sait que les vrais atomes présentent des resonances ce résulatat n’est donc finalementpas totalement surprenant.

On obtient ici une relation entre la raideur et la masse de la particule : Là encoresi l’on suppose que la charge négative est un électron, on obtient une expression de laconstante de raideur en fonction de la pulsation de resonance

k = mω20. (6.25)

On peutaussi calculer la dépendence en fréquence de la polarisabilité

α [ω] = α01

1− ω2

ω20

= α0ω2

0

ω20 − ω2

(6.26)



Cela donne dans la limite haute fréquence

α [ω] ∼ α0ω20

ω2=q2

m

1ω2

(6.27)

C’est à dire la même valeur que pour une charge libre.Ce modèle donne donc deux relations entre les paramètres du modèle microscopiques

(charge de la particule q, masse de la particule m et raideur de la liaison k) et lesgrandeurs physiques de notre atome (la polarisabilité α0 et la pulsation de résonance ω0

)

k

m= ω2

0, (6.28)

k

q2=

1ε0α0

. (6.29)

Tout cela est fort sympathique mais quel est le lien avec la réalité et quel sens peuton donner à cette liaison élastique entre deux charges électriques ?

Le modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène

Pour se donner une image plus concrète, commençons à revenir sur un modèle d’atomeproposé par le physicien J.J. Thomson. Ce modèle a été proposé alors que l’on venaitde découvrir l’électron, c’est à dire l’existence d’une charge ponctuelle. A l’époque, onne connaissait pas encore le noyau atomique. Dans ce modèle, considère que la chargepositive est répartie uniformément dans une sphère de rayon R0 et que les électrons sontdes particules ponctuelles tels des grains de raisin dans du pudding.

L’application du théorème de Gauss sur une sphère de rayon r permet de déterminerle champ électrique à l’intérieur de la distribution de charge positive :

4πr2E (r) =1ε0e

(r

R0

)3

(6.30)

soitE (r) =

e

4πε0r

R30

(6.31)

il exerce donc sur l’électron une force de rappel

~F = − e2

4πε0R30

~r. (6.32)

Il est donc tout à fait possible de concevoir une force de rappel élastique entre unedistribution de charge positive et une distribution de charge négative, il suffit pour celaque les distributions ne soient pas ponctuelles. Dans ce modèle, la taille de l’atome estreliée à la polarisabilité statique et à la pulsation de resonance par les relations :

α0 = 4πR30 (6.33)

ω20 =

e2

4πε0meR30

(6.34)



Petite remarque sur la taille R0 de la distribution de charges positives. L’électron peutparcourir des cercles à l’intérieur de la sphère positivement chargée, ces orbites onttoujours la même pulsation ω0 c’est en particulier le cas lorsque l’electron parcours descercles de rayon R0. On remarque que dans ce cas, le champ auquel il est soumis estle même que celui qu’il verrait si toute la charge etait au centre. Autrement dit si l’onprend pour pulsation une pulsation effectivement mesurée pour un atome, la taille quel’on trouve pour l’atome avec ce modèle est tout à fait comparable à la taille réelle del’atome. Il en est de même si l’on considère la polarisabilité. Autrement dit, même si lemodèle de Thomson est faux, il est étonnament efficace.

En ce qui nous concerne, avant de le jeter nous retiendrons une leçons de ce mo-dèle : il est possible de concevoir une distribution de charge où les forces électrostatiquesproduisent une force de rappel élastique.

L’atome d’hydrogène quantique

La mécanique quantique permet de comprendre la structure et le comportement del’atome d’hydrogène. Celui ci est constitué d’un électron et d’un proton tous deux ponc-tuels. Dans un état stationnaire, ce système est décrit par une fonction d’onde. L’électronest délocalisé dans un nuage autour du noyau. On peut alors calculer la polarisabilité decet atome lorsqu’il se trouve dans son état fondamental

α0 = 4π92a3

0 (6.35)

où a0 est le rayon de Bohr

a0 =4πε0h2

mee2(6.36)

lorsque l’atome se trouve dans son niveau fondamental, il présente des résonances pourles pulsations ωn suivantes :

niveaux d’énergie

En = − 1n2

e2

4πε0a0(6.37)

les pulsations de résonance sont

ωn =1h

(1− 1

n2

)e2

4πε0a0(6.38)

ω2n =

(1− 1

n2

)2 e2

4πε0me

mee2

4πε0h2

1a2

0

(6.39)

=(

1− 1n2

)2 e2

4πε0me

1a3

0

(6.40)

Soit en résumé une polarisabilité statique et des resonances

α0 =92· 4πa3

0 (6.41)

ω2n =

(1− 1

n2

)2 e2

4πε0me

1a3

0

(6.42)



On peut aussi calculer la dépendence en fréquence de la polarisabilité on trouve

α [ω] = α01

1− ω2

ω20

= α0ω2

0

ω20 − ω2

(6.43)

α [ω] =∞∑

n=1

fne2

ε0me

1ω2

n − ω2(6.44)

tout se passe comme si l’atome était représenté par une supperposition linéaire d’os-cillateurs. Les coefficients de pondération fn sont appelés forces d’oscillateur. La limitehaute fréquence donne

α [ω] = − e2

ε0me

1ω2

∞∑n=1

fn (6.45)

on en déduit que la somme des forces d’oscillateurs est égale à 1 ou plus généralementau nombre d’électrons.

6.3. Milieux dielectriques

6.3.1. La densité de polarisation

Nous allons procéder avec les dipôles électriques comme nous l’avons fait avec lescharges électriques lorsque certaines hypothèses sont vérifiées : .lorsque les charges sontnombreuses, réparties de manière homogène et que l’on s’intéresse à des phénomènesdont l’échelle de longueur est bien plus grande que la distance entre les charges. Ondécrit alors le milieu avec des grandeurs continues : densité volumique de charges etdensité de courant.

ρ =1V∑i∈V

qi (6.46)

~j =1V∑i∈V

qi~vi. (6.47)

Considérons une collection d’atomes neutres ou de molécules β composé de chargesqβ,i. situées aux points ~rβ,i. Chaque atome ou molécule est neutre possède un dipôleélectrique :

Qβ =∑

i

qβ,i = 0 (6.48)

~pβ =∑

i

qβ,i~rβ,i (6.49)

On peut alors définir une densité volumique de moment dipôlaire électrique ~P aussiappelé vecteur polarisation

~P =1V∑β∈V

~pβ =1V∑

β,i∈Vqβ,i~rβ,i. (6.50)


6.3. Milieux dielectriques 55

Lorsque les charges composant ces dipôles sont en mouvement elles crée une densitévolumique de courant

~jP =1V∑

β,i∈Vqβ,i

d~rβ,i

dt=∂ ~P

∂t(6.51)

Ce courant est appelé courant de polarisation. Si ce courant n’est pas uniforme, lescharges peuvent s’accumuler et créer une densité volumique de charge ρP . Ecrivons larelation de conservation de la charge

∂ρP

∂t+ div ~jP = 0. (6.52)

soit∂ρP

∂t+ div

∂ ~P

∂t= 0. (6.53)

ou encore∂

∂t

(ρP + div ~P

)= 0. (6.54)

On en déduit la relation entre la densité volumique de dipôles et la densité volumiquede charges associée

ρP = −div ~P (6.55)

6.3.2. Milieux dielectriques linéaires

Lorsque l’on place un atome ou une molécule dans un champ électrique, il se polarisesous son effet. Dans le régime linéaire, le dipôle crée est proportionnel au champ appliqué.Ce type de relation microscopique se retrouve au niveau macroscopique. De manièregénérale

~P = ~P(~E)

(6.56)

et dans le régime linéaire (on considère tout de suite le régime monochromatique etl’amplitude complexe)

~P = ε0χ [ω] ~E (6.57)

le coefficient de proportionalité χ [ω] est appelé susceptibilité électrique du milieu.Lorsque le milieu est composé d’atomes ou de molécules de polarisabilité α [ω] on peut

relier la polarisabilité microscopique à la susceptibilité macroscopique si le milieu estdilué. (L’hypothèse de milieu dilué vise à assurer que le champ vu par l’atome est bienle champ extérieur appliqué. Si le milieu est dense, le champ vu par chaque atome est lasomme du champ extérieur et du champ créé par les autres dipôles voisins appelé champlocal, la relation microscopique macroscopique est alors moins directe). Si le milieu estdilué :

~P =1V∑β∈V

~pβ =1V∑β∈V

ε0α [ω] ~E = ε0Nα [ω] ~E (6.58)

où N est la densité volumique d’atomes. La suceptibilité est donc

χ [ω] = Nα [ω] (6.59)



6.3.3. Milieux magnétiques

On peut traiter de la même manière les milieux magnétiques et introduire un vecteurmagnétisation ~M qui correspond à une densité volumique de moments magnétiques.

~jM =−→rot ~M (6.60)

6.4. Equations de Maxwell dans les milieux

6.4.1. Le vecteur déplacement électrique

Considérons un milieu réel. Certaines charges sont libres de se déplacer tandisqued’autres sont liées entre elles pour former atomes et molécules. On peut donc distinguerdeux contributions dans la densité volumique de charges. Une contribution dûe auxcharges libres (ρl et ~jl) que l’on traite comme usuellement et une contribution des chargesliées(ρP et ~jP ) que l’on va décrire en terme de distribution volumique de dipôles

ρ = ρl + ρP = ρl − div ~P (6.61)

~j = ~jl +~jP = ~jl +∂ ~P

∂t(6.62)

Reportons ces deux expressions dans les deux équations de Maxwell où interviennent ladensité de charge et la densité de courant. Il s’agit de l’équation de Maxwell Gauss

div ~E =1ε0

(ρl − div ~P

)(6.63)

et de l’équation de Mawell Ampère

−→rot ~B = µ0

(~jl +

∂ ~P

∂t

)+ µ0ε0

∂ ~E

∂t(6.64)

Que l’on peut finalement réecrire

div(ε0 ~E + ~P

)= ρl (6.65)

et−→rot ~B = µ0

~jl + µ0∂

∂t

(ε0 ~E + ~P

). (6.66)

On introduit donc le vecteur ~D appelé déplacement électrique

~D = ε0 ~E + ~P (6.67)

on peut procéder de la même manière avec le champ électrique et introduire un vecteurinduction magnétique ~H

~H =1µ0

~B − ~M. (6.68)


6.4. Equations de Maxwell dans les milieux 57

6.4.2. Les équations de Maxwell

On peut donc réecrire les équations de Maxwell en faisant intervenir les vecteurs ~D et~H.

L’équation de Maxwell Gaussdiv ~D = ρl (6.69)

L’équation de Maxwell flux magnétique

div ~B = 0 (6.70)

L’équation de Maxwell Faraday

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(6.71)

L’équation de Maxwell Ampère

−→rot ~H = ~jl +

∂ ~D

∂t(6.72)

avec

~D = ε0 ~E + ~P (6.73)~B = µ0

~H + ~M. (6.74)

6.4.3. Milieux linéaires isotropes homogènes

Dans les milieux isotropes diélectriques homogènes, le déplacement électrique est pro-portionel au champ électrique tandisque le champ magnétique et l’induction magnétiquesont aussi proportionels l’un à l’autre.

~D = ε ~E = ε0εr ~E (6.75)~B = µ ~H = µ0µr

~H (6.76)

ces relations de proportionalités osnt aussi vraies pour la polarisation et la magnétisation

~P = ε0χ~E (6.77)

soitεr = 1 + χ = 1 +Nα (6.78)



6.5. Propagation dans les milieux linéaires isotropeshomogènes

Dans un milieu diélectrique sans cahrges libres (ni courants libres) les équations deMaxwell sont les suivantes :

div ~D = 0 (6.79)div ~B = 0 (6.80)

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(6.81)

−→rot ~H =

∂ ~D

∂t(6.82)

Pour les milieux diélectriques linéaires homogènes, les champs ~D et ~H sont propor-tionnels aux champs électriques et magnétiques avec un coefficient de proportionalitéintépendant de la position.

~D = ε ~E (6.83)

~H =1µ~B. (6.84)

Dans ces milieux, les équations de Maxwell ont exactement la même forme que dansle vide, à la seule différence que les permittivités et perméabilités n’ont pas les valeursqu’elles ont dans le vide. Considérons d’emblée des solutions de type ondes planes pro-gressives en notation complexe :

~E (~r, t) = <(~E0 e

i(~k·~r−ωt))

(6.85)

B (~r, t) = <(~B0 e

i(~k·~r−ωt))

(6.86)

i~k · ~E0 = 0 (6.87)i~k · ~B0 = 0 (6.88)

i~k × ~E0 = −(−iω ~B0

)(6.89)

i~k × ~B0 = εµ(−iω~E0

). (6.90)

Les conclusions sont similaires à celles que l’on obtient dans le vide :

~k · ~E0 = 0 (6.91)~k · ~B0 = 0 (6.92)

~B0 =~k

ω× ~E0 (6.93)


6.6. Réflexion et transmission 59

Les ondes électromagnétiques sont transverses, c’est à dire que le champ électrique etle champ magnétique sont orthogonaux au vecteur d’onde et orthogonaux entre eux. Larelation de dispersion est

k2 = εµω2 (6.94)

Si la permittivité et la perméabilité sont des grandeurs réelles, on a une situation iden-tique à celle que l’on a dans le vide : des ondes planes progressives qui se propagent àune célérité v = 1√

εµ On définit l’indice optique comme le rapport de la vitesse de lalumière et de la vitesse de propagation

n =c

v=√

εµ

ε0µ0=√εrµr (6.95)

Dans le cas général, la permittivité peut être complexe, le nombre d’onde est donccomplexe :

k = kr + iki (6.96)

On choisira pour le nombre d’onde k la racine de partie réelle positive. Si l’on prendpour exemple un vecteur d’onde dirigé selon 0z

~E = <(~E0 exp i ((kr + iki) z − ωt)

)(6.97)

= ~E0 e−krz cos (kiz − ωt+ ϕ) (6.98)

il s’agit d’une onde plane qui se propage à la célérité v = ωki

tout en s’atténuant (si kr

est positif) ou en s’amplifiant (si kr est négatif).

6.6. Réflexion et transmission

6.6.1. Présentation

On aborde ici un aspect des milieux inhomogènes : que se passe-t-il lorsqu’une ondearrive à l’interface entre deux milieux ? On considérera ici une interface plane entre unpremier milieu 1 situé dans le demi espace z > 0 et un second milieu 2 situé dans ledemi-espace z < 0.

6.6.2. Relations de continuité

Pour analyser ce problème, il nous faut analyser ce que donnent les équations deMaxwell à l’interface des deux milieux. On obtient alors ce que l’on nomme relations decontinuité. On notera de l’indice 1 les champs en z = 0+ c’est à dire dans le milieu 1juste au dessus de l’interface et de l’indice 2 les champs en z = 0−. Ces relations sont :

~DN2 − ~DN1 = σ~n12 (6.99)~BN2 − ~BN1 = 0 (6.100)~ET2 − ~ET1 = 0 (6.101)~HT2 − ~HT1 = ~jS × ~n12 (6.102)



les indices N et T corrspondent aux composantes du champ normales à la surface ettangentielles. σ et ~jS sont des densités surfaciques de charge et de courant ~n12 est lanormale à la surface dirigée du milieu 1 vers le milieu 2.

On suppose maintenant d’une part que chacun de ces milieux est homogène et isotropeet d’autre part qu’il n’y a aucune charge libre de surface ni courant libre de surface. Ceséquations deviennent alors

ε2 ~EN2 − ε1 ~EN1 = 0 (6.103)~BN2 − ~BN1 = 0 (6.104)~ET2 − ~ET1 = 0 (6.105)

1µ2

~BT2 −1µ1

~BT1 = 0. (6.106)

On considérera dans la suite que les perméabilités magnétiques sont identiques et doncque µ1 = µ2

6.6.3. Ondes réfléchies et transmises

On a au total trois ondes planes progessives : l’onde incidente (indice i ), l’onderéfléchie (indice r ) et l’onde transmise (indice t ) Ces trois ondes correspondent à unchamp électrique

~Eα = ~Eα0ei(~kα·~r−ωt) (6.107)

où α correspond à chacun des indices i, r et t. Pour chacune de ces ondes, le champmagnétique est

~Bα = ~Bα0ei(~kα·~r−ωt) (6.108)

=~k

ω× ~Eα0e

i(~kα·~r−ωt) =n

c

~k

k× ~Eα0e

i(~kα·~r−ωt). (6.109)

Dans le milieu 1 (z > 0 ) le champ est la superposition de l’ondes incidente et de l’onderefléchie. Dans le milieu 2 seule l’onde transmise est présente. Les nombres d’ondes (c’està dire les modules des vecteurs d’ondes) sont reliés à la pulsation par

kα = nαω

c= nαk0 (6.110)

où k0 est le nombre d’onde d’une onde de même pulsation dans le vide.Prenons l’une des relations de continuité, par exemple : ~ET2 = ~ET1. Si l’on exprime

explicitement les champs en un point ~r0 de l’interface, cette relation devient :

~Ei0T ei(~ki·~r0−ωt) + ~Er0T e

i(~kr·~r0−ωt) = ~Et0T ei(~ki·~r0−ωt) (6.111)

Ou encore, si l’on explicite la position du point ~r0, soit ~r0 = x~ux + y~uy

~Ei0T ei(kixx+kiyy−ωt) + ~Et0T e

i(krxx+kryy−ωt) = ~Et0T ei(ktxx+ktyy−ωt) (6.112)



pour que cette relation puisse-t-être vérifiée quelque soit les points x et y, les vecteursd’ondes ce ces trois ondes selon x et y doivent être égaux :

kix = krx = ktx (6.113)kiy = kry = kty. (6.114)

Choisissons maintenant les axes de sorte que le plan d’incidence, c’est à dire le plan quicontient les trois vecteurs d’onde, est le pla x0z . Dans ce cas kαy = 0 Si l’on note θi,θr et θt les angles d’incidence, de reflexion et de transmision la composante du vecteurd’onde parallèle à l’interface est

kαx = kα sin θα (6.115)

Ecrivons l’égalité des composantes selon x des trois vecteurs d’onde :

kix = krx = ktx (6.116)ki sin θi = kr sin θr = kt sin θt (6.117)

ce qui donne, si l’on relie les nombres d’onde au nombre d’onde dans le vide

n1k0 sin θi = n1k0 sin θr = n2k0 sin θt (6.118)

on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la reflexion et la refraction

θi = θr (6.119)n1 sin θr = n2 sin θt. (6.120)

Que vaut la composante du vecgteur d’onde transmis selon 0z :

k2t = k2

tx + k2tz (6.121)

soit

k2tz = k2

t − k2tx = k2

0

(n2

2 − n21 sin2 θi

)(6.122)

Si n2 > n1 sin θi , k2tz est positif et donc kz est réel

Si n2 < n1 sin θi , k2tz est négatif et donc kz est imaginaire pur : il n’y a pas d’onde

plane transmise. On a dans le milieu 2 une onde évanescente. On déduit de conditionsenergétiques que la réfexionn est totale. Ce phénomène apparait lorsque n2 < n1 pourun angle supérieur à l’angle critique θc qui vérifie

sin θc =n2

n1(6.123)



6.6.4. Formules de Fresnel

Cherchons maintenant à déterminer les coefficients de reflexion et de transmission.Ecrivons les relations de passage pour le champ tangeant :

~ET2 = ~ET1 (6.124)

~BT2 =1µ1

~BT1 (6.125)

Comme les phases des ondes sont égales en tout point de l’interface, il suffit d’écrire leségalités pour les amplitudes :

~Ei0T ei(~ki·~r0−ωt) + ~Er0T e

i(~kr·~r0−ωt) = ~Et0T ei(~ki·~r0−ωt) (6.126)

Eix + Erx = Etx (6.127)Eiy + Ery = Ety (6.128)Bix + Brx = Btx (6.129)Biy + Bry = Bty (6.130)

Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d’incidence

Le champ électrique est selon 0y. Le champ magnétique est dans le plan x0z et lesamplitudes sont

Bix = −Bi cos θi (6.131)Brx = Br cos θr (6.132)Btx = −Bt cos θt (6.133)

Les relations de continuité sont donc

Ei + Er = Et (6.134)−Bi cos θi + Br cos θr = −Bt cos θt (6.135)

Soit

Ei + Er = Et (6.136)n1 cos θi (Ei − Er) = n2Et cos θt (6.137)

On défini alors les coefficients de reflexion et de transmission par

r⊥ =Er

Ei(6.138)

t⊥ =Et

Ei. (6.139)



Ces coefficients vérifient les équations suivantes :

1 + r⊥ = t⊥ (6.140)n1 cos θi (1− r⊥) = −n2t⊥ cos θt (6.141)

On en déduit

r⊥ =n1 cos θi − n2 cos θt

n1 cos θi + n2 cos θt(6.142)

t⊥ =2n1 cos θi


Onde incidente polarisée parallèlement au plan d’incidence

Les rôles des champs électrique et magnétique sont inversé. Attention les trièdresdoivent rester direct et on cherche à ce que les notations restent cohérentes avec le casprécédent pour un angle d’incidence nul.

Le champ magnétique est selon 0y. Le champ magnétique est dans le plan x0z et lesamplitudes sont

Eix = Ei cos θi (6.144)Erx = Er cos θr (6.145)Etx = Et cos θt (6.146)

Les relations de continuité sont donc

Ei cos θi + Er cos θr = Et cos θt (6.147)−Bi + Br = −Bt (6.148)

Soit

cos θi (Ei + Er) = Et cos θt (6.149)n1 (Ei − Er) = n2Et (6.150)

On défini alors les coefficients de reflexion et de transmission par

r‖ =Er

Ei(6.151)

t‖ =Et

Ei. (6.152)

Ces coefficients vérifient les équations suivantes :

cos θi

(1 + r‖

)= cos θtt‖ (6.153)

n1

(1− r‖

)= n2t‖ (6.154)

On en déduit

r‖ =n1 cos θt − n2 cos θi

n1 cos θt + n2 cos θi(6.155)

t‖ =2n1 cos θi




6.6.5. Discussion physique

Incidence normale

Dans le cas de l’incidence normale il n’y a pas de distinction selon la polarisation

r⊥ = r‖ = r =n1 − n2

n1 + n2(6.157)

t⊥ = t‖ = t =2n1

n1 + n2(6.158)

La polarisation reste la même à la réflexion et à la transmission.Lorsque l’indice du milieu sur lequel on se reflechit est plus grand que l’indice du

milieu dans lequel se propage l’onde incidente, le coefficient de reflexion est négatif, c’està dire qu’il y a un déphasage de π. Ce déphasage est nul si le milieu sur lequel on sereflechit est d’indice inférieur.

Pour une interface air verre le coefficient de reflexion est

r =1− 1, 51 + 1, 5

= −0, 2 (6.159)

c’est un coeffcient de reflexion en amplitude. SI l’on s’interesse à la puissance, c’est àdire au vecteur de Poynting il faut prendre le carré soit

R = |r|2 = 0, 04 (6.160)

4% de la puissance lumineuse est réfléchie. Si l’on s’intéresse à une vitre, c’est à diredeux interfaces, la puissance réfléchie est 8% de la puissance incidente.

Incidence oblique pour n2 > n1

Dans ce cas le vecteur d’onde selon z est toujours réel.Les coefficients de reflexion des composantes de la polarisation du champ parallèle

et perpendiculaires au plan d’incidence sont différents, il y a donc un changement depolarisation à la reflexion.

Le coefficnet de reflexion tend vers 1 lorsque l’on se rapproche d’une incidence rasante.Le coefficient de reflexion de la polarisation parallèle au plan d’incidence r‖ s’annule

pour une certaine valeur de l’angle d’incidence appelé angle de Brewster.θBi

n2 cos θi = n1 cos θt (6.161)

on multiplie par sin θt

n2 sin θt cos θi = n1 sin θt cos θt (6.162)sin θi cos θi = sin θt cos θt (6.163)

sin 2θi = sin 2θt (6.164)

Soit2θi = 2θt (6.165)



ouπ − 2θi = 2θt (6.166)

soitθi + θt =

π

2(6.167)

Langle de Brewster est l’angle pour lequel l’onde reflechie et l’onde tranmise sont per-pendiculaires.

n2 cos θi = n1 cos(π

2− θi

)(6.168)

ou encoretan θB =

n2

n1. (6.169)

Incidence oblique pour n1 > n2 et θi < θl

Dans ce cas le vecteur d’onde selon z est toujours réel. Les propriétés sont similairesau cas précédent :

Les coefficients de reflexion des composantes de la polarisation du champ parallèleet perpendiculaires au plan d’incidence sont différents, il y a donc un changement depolarisation à la reflexion.

Le coefficient de reflexion tend vers 1 lorsque l’on se rapproche de l’angle critique.On a aussi un angle de Brewster

tan θB =n1

n2. (6.170)

Incidence oblique pour n1 > n2 et θi > θl : réflexion totale

Dans ce cas le vecteur d’onde selon z est imaginaire. On peut utiliser les mêmesformules que précédemment en utilsant les égalités suivantes

ktz = kt cos θt (6.171)

ork2

tz = k20

(n2

2 − n21 sin2 θi

)(6.172)

cela donnecos2 θt =

(n2

2 − n21 sin2 θi

)(6.173)

on a donc les mêmes formules avec cos θt imaginaire. Le module du coefficient de reflexionest 1 . La refexion déphase l’onde.




7. Les milieux magnétiques

7.1. Introduction

7.1.1. Rappel sur le magnétisme

Les pierres magnétiques sont connues depuis l’antiquité. Elles ont été utilisées très tôtpar les marins comme boussole.

Avant 1600, Gilbert effectue des recherches sur le magnétisme terrestre et émet l’hy-pothèse que la terre est un aimant géant.

1819 : Oersted observe que des fils conducteurs parcourus par un courant électriquecréent un champ magnétique.

1820 : Biot et Savart puis Ampère établissent des relations expérimentales sur le champmagnétique et sa production par des courants électriques.

7.1.2. Distribution de courant localisée

De manière générale, le champ magnétique créé par une distribution de courant estdonnée par la loi de Biot et Savart

:~B (~r) =

µ0

4π

∫~j(~r′)× ~r − ~r′

|~r − ~r′|3d3~r′. (7.1)

Lorsque la distribution de courant est localisée, le champ qu’elle produit à grande dis-tance, de même que les actions mécaniques qu’elle subit peuvent être décrits par unequantité vectorielle : le moment magnétique ~m :

~m =12

∫~r′ ×~j

(~r′)d3~r′. (7.2)

Champ magnétique créé

Le potentiel vecteur créé par une distribution de courant dont le moment magnétiqueest ~m est :

~A (~r) =µ0

4π~m× ~rr3

. (7.3)

On en déduit le champ magnétique :

~B (~r) =−→rot ~A =

µ0

4π3~n (~n · ~m)− ~m

r3(7.4)

où ~n est le vecteur unitaire dans la direction ~r.

67

68 7. Les milieux magnétiques

Actions mécaniques

Dans un champ inhomogène, une distribution de courant correspondant à un momentmagnétique ~m subit une force

~F =−−→grad

(~m · ~B

). (7.5)

Attention cette expression est valable à moment magnétique ~m constant.Ce même moment magnétique subit un couple ~N

~N = ~m× ~B. (7.6)

Moment magnétique d’une boucle de courant

Si un courant électrique I circule sur une boucle filiforme le moment magnétique est

~m =I

2

∮~r × d~l = I · ~S (7.7)

où ~S est le vecteur surface du circuit.

Lien avec le moment cinétique

Le moment magnétique d’une distribution de charges ponctuelles qi, situées aux points~ri et animées d’une vitesse ~vi est

~m =12

∑i

qi~ri × ~vi. (7.8)

Le moment cinétique de la charge i est

~li = mi~ri × ~vi (7.9)

le moment magnétique est donc

~m =∑

i

qi2mi

~li. (7.10)

Pour un électron dans un atome, le moment magnétique orbital est

~m = − e

2me

~l. (7.11)

De manière générale le moment magnétique d’un atome est proportionnel à son momentcinétique

~m = g

(− e

2me

)~σ = γ~σ (7.12)

le coefficient de proportionalité g est nommé facteur de Landé (c’est un nombre sansdimension). Le coefficient γ est appelé rapport gyromagnétique.


7.2. Aimantation macroscopique 69

7.1.3. Origine microscopique de l’aimantation

Moment magnétique orbital

Le mouvement des électrons dans l’atome crée des ”boucles de courant”. Le momentmagnétique associé à ces mouvements orbitaux entre pour une part dans le momentmagnétique d’un atome mais il ne suffit pas à rendre compte de toute l’aimantation.

Moment magnétique intrinsèque de l’électron et des nucléons

Chaque particule élémentaire possède un moment magnétique associé à son momentcinétique intrinsèque (le spin). Le moment magnétique de l’électron est quasiment égalau ”magnéton de Bohr” µB

µB =eh

2me(7.13)

Le moment magnétique des nucléons est mille fois plus faible que celui des électrons.Dans un atome ou une molécule, les propriétés magnétiques sont donc essentiellementdues aux électrons.

7.2. Aimantation macroscopique

7.2.1. Aimantation d’un milieu

Le moment magnétique total par unité de volume et

~M =d ~Mdτ

(7.14)

Un moment magnétique s’exprime en Ampère metre carré, l’aimantation est donc enAmpère par mètre.

7.2.2. Courants d’aimantation

De la même manière que des charges liées non homogènes sont à l’origine de distrinu-tion de charges liées, une distribution de magnétisation non homogène est équivalente àune distribution de courants liés.

En volume~jM =

−→rot ~M (7.15)

En surface~iM = ~M × ~n (7.16)

L’excitation magnétique ~H

~H =~B

µ0− ~M (7.17)

−→rot ~H = ~jlibre (7.18)



Ainsi c’est ~H qui directement relié aux courants électriques créés par exemple par lesélectroaimants.

7.2.3. Etude expérimentale des propriétés magnétiques

En plaçant un matériau ferromagnétique dans un solénoide torique, il est possible demesurer simultanément ~H et ~B. On a donc un accés direct à l’aimantation ~M .

Un enroulement de N spires de surface S également réparties sur un tore de cir-conférence l est parcouru d’un courant électrique d’intensité I .Le théorème d’Ampèreappliqué sur un cercle situé à l’intérieur du solenoide.permet de relier ~H au courantélectrique qui circule dans la bobine∫

~H · d~l = Hl = Ilibre = NI (7.19)

H =NI

l(7.20)

C’est donc directement H que l’on mesure lorsque l’on mesure l’intensité d’un courantélectrique.

Mesurons la différence de potentiel qui apparait aux bormes du circuit lorsque l’onchange I. Si la résistance du solenoide est négligeable, on mesure la force électromotrice

V1 − V2 = −e12 = −(−dΦdt

)= NS

dB

dt(7.21)

en intégrant sur le temps, on en déduit B. Connaissant H et B on en déduit facilementM .

7.3. Diamagnétisme et paramagnétisme

Ces milieux ne sont pas aimantés en l’absence de champ. En présence d’un champ ilsacquièrent une faible aimantation.

~M = χm

~B

µ0(7.22)

χm est appelé suceptibilité magnétique.Pour un très grand nombre de substances, χm est négatif et extrèmement faible en

valeur absolue (10−5 pour les solides et les liquides, 10−9 pour les gaz) Ces substancesont appelées diamagnétiques.

Pour certaines substances (O2, Na, Al, FeCl3 ) χm est positif. Ces corps sont nommésparamagnétiques. Leur susceptibilité reste faible devant 1.

Pour tous ces corps

~H =~B

µ0− ~M '

~B

µ0(7.23)


7.3. Diamagnétisme et paramagnétisme 71

La définition de la susceptibilité peut donc aussi s’écrire

~M = χm~H (7.24)

pour des raisons historiques, c’est cette relation qui est la définition de χm .On definit alors la perméabilité relative

µr = 1 + χm (7.25)

7.3.1. Diamagnétisme

Approche qualitative

Considérons un électron en mouvement sur une orbite circulaire autour d’un atome.On applique progressivement un champ magnétique dans la direction perpendiculaire auplan de l’orbite. Pendant la phase d’établissement de ~B apparait un champ électromoteur~E

~E = −∂~A

∂t(7.26)

Pour un champ magnétique uniforme aligné selon Oz, le potentiel vecteur ~A est donnéspar

~A =12~B × ~r =

12Br ~uθ (7.27)

où ~uθ est le vecteur unitaire des coordonnées cylindriques.Durant l’établissement du courant, l’électron subit, en plus de la force due au champ

magnétique, une force tangentielle

~f = −e ~E =er

2dB

dt~uθ (7.28)

Tant que le champ magnétique reste faible, la force normale à la trajectoire (q~v × ~B )est négligeable et celle ci reste inchangée.

En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur ~uθ on trouve

merdω

dt=er

2dB

dt(7.29)

soitω1 = ω0 +

eB

2me(7.30)

On en déduit une variation de moment magnétique

δm = − e

2memer

2 eB

2me= − e2

4mer2B (7.31)

le moment magnétique créé par le champ magnétique a une direction qui lui est opposée.



Diamagnétisme

Une théorie quantique donne comme susceptibilité magnétique

~M = χm

~B

µ0(7.32)

χm = −nµ0Ze2

6m⟨r2⟩

(7.33)

pour un milieu composé de n atomes (à Z electrons) par unité de volume.Pour un gaz, cette susceptibilité est de l’ordre de 10−9. Pour les liquides et les solides,

c’est plutôt 10−6 (la densité des liquides et des solides est mille fois plus grande que celledes gaz).

7.3.2. Paramagnétisme

Approche qualitative

Si l’on applique un champ magnétique à un corps contenant des moments magnétiques,ceux ci subissent un couple qui a tendance à les aligner dans sa direction. Dans le mêmetemps, l’agitation thermique deordonne les dipôles. Un compromis s’établit avec uneaimantation qui croit avec le champ magnétique et qui décroit avec la température.

7.4. Ferromagnétisme

7.4.1. Quelques effets physiques

Si l’on introduit un barreau d’acier n’ayant jamais subi d’aimantation à l’intérieur d’unsolénoide, on constate que le barreau reste la source d’un champ magnétique importantlorsque l’on a coupé le courant

Un morceau de fer n’ayant jamais été aimanté subit d’un aimant des forces très im-portantes en étant attiré vers les régions de champ intense. La force est beaucoup plusintense que celle qui est subie par des milieux paramagnétiques.

Au dessus d’une certaine température, ces propriétés disparaissent et ces corps necomportent comme des milieux paramagnétiques.

7.4.2. Origine physique du ferromagnétisme

Dans un solide, les interactions magéntiques entre les dipôles magnétiques d’atomesvoisins sont extrèmement faibles et ne peuvent pas jouer de rôle. Toutefois, par l’intermé-diaire des processus d’échange, l’interaction électrostatique entre des électrons d’atomesvoisins (dans un cristal ou une molécule) conduit à l’alignement des mements cinétiquesde ces électrons. Cette interaction a tendance à aligner dans une même direction les mo-ments magnétiques d’atomes voisins. De proche en proche, cette interaction aligne lesmoments magnétiques sur des domaines de taille finie, ce qui conduit à une aimantationau niveau macroscopique.


7.4. Ferromagnétisme 73

Fig. 7.1.:Courbe de première aimantation (tiretés). Cycle d’hystéresis d’un ferromagnétique

7.4.3. Propriétés physiques des ferromagnétiques

Courbe de première aimantation

Pour des valeurs de H atteignant 105A ·m−1 l’aimantation tend vers une limite ap-pelée aimantation à saturation. Pour un corps donné, cette valeur MS est fonction dela température. Ms varie peu au voisinage de la température ordinaire et chute lorsquel’on approche de la températurede Curie.

On continue à définir une susceptibilité

χm(H) =M

H(7.34)

Cycle d’hystérésis

Faisons croître H de manière à saturer le milieu. Si l’on diminue l’intensité, l’aiman-tation ne revient pas à zéro. Le matériau garde une aimantation appelée aimantationrémanente.

Si l’on continue à diminuer H en lui donnant des valeurs négatives, on arrive à unevaleur de H pour laquelle M s’annule il s’agit de l’excitation coercitive du matériau. Sil’on continue, on va le saturer à nouveau dans l’autre sens.

Pertes par hysteresis

Déterminons la puissance electrique fournie au dispositif expoése précédemment (lesolenoide torique)

P = I (V1 − V2) =Hl

N·NS · dB

dt= lSH

dB

dt(7.35)

On retrouve la valeur H dBdt pour la puissance cédée par les courants libres au milieu par

unité de volume.L’énergie fournie au matériau pour parcourir le cercle d’hysteresis par unité de volume

estu =

∮HdB =

∮Hd (µ0 (H +M)) = µ0

∮HdH + µ0

∮HdM (7.36)

le premier terme correspond à la variation de l’energie magnétique et est nul sur uncycle. Le second terme correspond à l’aire de la courbe d’hystérésis.




Deuxième partie .

Propagation des ondes et optique

75

8. Résoudre les équations de Maxwell

Nous quittons le cas simple des ondes planes monochromatiques se propageant selonun axe de coordonnée.

Ce chapitre introductif à la seconde partie a pour objectif de préparer la suite ducours :

– Présenter les méthodes de résolution des équations de Maxwell dans le vide.– Rappeler les diverses solutions élémentaires aux équations de Maxwell dans le vide.– Introduire aux méthodes de résolution des équations en présence de sources.

8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie

8.1.1. Les équations de Maxwell dans le vide

Expression des équations

Les équations de base de l’électromagnétisme dans le vide sont les quatre équationsde Maxwell à laquelle s’ajoute la force de Lorentz qui s’exerce sur une charge électriqueen mouvement :

div ~E =ρ

ε0(8.1)

div ~B = 0 (8.2)

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(8.3)

−→rot ~B = µ0

~j + µ0ε0∂ ~E

∂t(8.4)

~FL = q(~E + ~v × ~B

)(8.5)

La relation qui exprime la conservation locale de la charge électrique se déduite ce ceséquations :

A savoirRetrouver cette équa-tion de conservation àpartir des équations deMaxwell

∂ρ

∂t+ div ~j = 0. (8.6)

En l’absence de charge électrique et de courant électrique, ces équations prennent laforme suivante :

77

78 8. Résoudre les équations de Maxwell

div ~E = 0 (8.7)div ~B = 0 (8.8)

−→rot ~E = −∂

~B

∂t(8.9)

−→rot ~B = µ0ε0

∂ ~E

∂t(8.10)

Ondes électromagnétiques dans le vide

Les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday sont des équations aux dérivéespartielles du premier ordre qui couplent le champ électrique ~E et le champ magnétique~B. L’élimination de l’un des champ conduit à obtenir pour le second une équation dusecond ordre :

A savoirDémontrer ces équa-tions de propagation àpartir des équations deMaxwell

∆ ~E − µ0ε0∂2 ~E

∂t2= 0, (8.11)

∆ ~B − µ0ε0∂2 ~B

∂t2= 0. (8.12)

Ces équations sont des équations de D’ Alembert : le champ électromagnétique sepropage dans le vide à la célérité c.

c =1

√ε0µ0

(8.13)

Énergie électromagnétique

Le champ électromagnétique transporte de l’énergie. La densité locale d’énergie élec-tromagnétique U est :

U = ε0

∣∣∣ ~E∣∣∣22

+

∣∣∣ ~B∣∣∣22µ0

. (8.14)

Le courant d’énergie est donné par le vecteur de Poynting ~Π :

~Π =~E × ~B

µ0. (8.15)

La relation de conservation locale s’écrit :

∂U∂t

+ div ~Π = 0. (8.16)

A savoirRetrouver cette équa-tion à partir des équa-tions de Maxwell

ExerciceQue devient cette équa-tion en présence decharges et de courants ?


8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie 79

La puissance P qui traverse une surface S est le flux du vecteur de Poynting à traverscette surface :

P =x

Σ

~Π · d~S. (8.17)

8.1.2. Les potentiels

Existence des potentiels

Dans de nombreuses situations, les problèmes d’électromagnétisme sont grandementsimplifiés par l’utilisation de champs supplémentaires : les potentiels scalaire V (~r, t)et vecteur ~A (~r, t). L’existence de des deux champs auxiliaires est une conséquence deséquations de Maxwell flux et Maxwell-Faraday. Ces deux équations ne font pas intervenirla matière (contrairement aux deux autres). Elles peuvent être comprises comme deuxcontraintes imposées à la structure des champs électrique et magnétique.

L’équation de Maxwell-flux impose au champ magnétique d’avoir une divergence nulle :

div ~B = 0. (8.18)

C’est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un champ vectoriel ~A solutionà l’équation :

~B =−→rot ~A. (8.19)

Le champ ~A est appelé potentiel vecteur.Cette expression du champ magnétique ~B en fonction du potentiel vecteur ~A peut

être reportée dans l’équation de Maxwell-Faraday :

−→rot ~E = −∂

~B

∂t. (8.20)

Ceci conduit à l’équation suivante,

−→rot

(~E +

∂ ~A

∂t

)= 0. (8.21)

Cette nouvelle équation est elle même une condition nécessaire et suffisant à l’existenced’un champ scalaire V solution de :

~E +∂ ~A

∂t= −

−−→gradV. (8.22)

Ce champ V est appelé potentiel scalaire.

Les potentiels en électrostatique et magnétostatique

Lorsque les distributions de charge ρ et de courant ~j ne dépendent pas du temps, lechamp électrique et le champ magnétique ne sont pas couplés.



Le potentiel scalaire prend un sens particulier. Puisque le champ magnétique est in-dépendant du temps, le rotationnel du champ électrique est nul :

−→rot ~E = 0. (8.23)

Autrement dit le champ ~E est conservatif. Il est le gradient du potentiel scalaire V

~E = −−−→gradV. (8.24)

V prend alors un sens énergétique. L’énergie potentielle électrostatique Ep d’une chargeélectrique placée dans le champ électrique est alors :

Ep = q V. (8.25)

Si l’on reporte l’équation qui définit le potentiel scalaire V dans l’équation de Maxwell-Gauss on obtient une relation directe entre ce potentiel et la distribution de charge :

Exercice : Retrouvercette équation ∆V = − ρ

ε0(8.26)

Il s’agit de l’équation de Poisson dont une solution s’écrit sous forme intégrale :

V (~r, t) =1

4πε0

y

V

ρ (~r1)|~r1 − ~r|

d3~r1. (8.27)

Le potentiel vecteur vérifie lui aussi une équation de Poisson :

Exercice : Retrouvercette équation ∆ ~A = −µ0

~j, (8.28)

dont une solution est :

~A (~r, t) =µ0

4π

y

V

~j (~r1)|~r1 − ~r|

d3~r1. (8.29)

Les transformations de jauge

Les potentiels scalaire V et vecteur ~A sont définis comme étant solutions des deuxéquations suivantes :

~B =−→rot ~A, (8.30)

~E = −−−→gradV − ∂ ~A

∂t. (8.31)

Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Faraday assurent que ces équations ont unesolution. Celle-ci n’est pas unique. Toute une famille de couple ( ~A ,V ) vérifient ceséquations et conduisent aux mêmes champs électrique et magnétique.


8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie 81

Le passage d’un couple(~A0, V0

)solution de ces équations à un autre couple solu-

tion(~A, V

)est appelé transformation de jauge. Il s’écrit de manière simple en faisant

intervenir un champ scalaire ϕ appelé jauge.

~A = ~A0 +−−→grad ϕ, (8.32)

V = V0 −∂ϕ

∂t, (8.33)

Exercice : Montrerque ces deux couplesconduisent aux mêmeschamps électrique etmagnétique.

pour l’étude de certains problèmes, il peut être utile de choisir parmi tous les potentielspossibles ceux qui sont le plus adapté, que ce soit pour des raisons techniques ou desraisons plus physiques comme la covariance en relativité. Ce choix se fait en imposant unecondition supplémentaire au potentiels appelée condition de jauge. Cette condition porteen général sur la divergence du potentiel vecteur. Deux jauges sont plus particulièrementutilisées :

La jauge de Lorentz :

div ~A+1c2∂V

∂t= 0 (8.34)

La jauge de Coulomb :div ~A = 0 (8.35)

Un peu plus loin avec les potentiels

En mécanique classique, lorsque l’on écrit les équations du mouvement des particules,la dynamique des particules chargées est déterminée par les champs électrique ~E etmagnétique ~E. Il faut toutefois noter que dans des formulations plus avancées de la mé-canique telle que la formulation Lagrangienne, ce sont les potentiels qui interviennentcitons comme exemple le Lagrangien L d’une particule chargée dans un champ électro-magnétique :

L =12mv2 − q

(V − ~v · ~A

)(8.36)

En mécanique quantique (dont la formulation est issue du formalisme lagrangien ouhamiltonien de la mécanique classique), les potentiels ont un rôle central. La dynamiqued’une particule, décrite ici par l’équation de Schrödinger, fait intervenir les potentiels etnon les champs :

ih∂ψ

∂ψ=

12m

(−ih~∇− q ~A

)2ψ + qV ψ (8.37)

Cette intervention directe des potentiel est observable expérimentalement lorsque l’onfait interférer des particules. Il s’agi de l’effet Aharonov-Bohm.

8.1.3. Propagation des potentiels dans le vide

Déterminons les équation d’évolution des potentiels en reportant l’expression du champélectrique et du champ magnétique en fonction de ces grandeurs dans les équations deMaxwell-Gauss et Maxwell-Ampère.



Commençons par Maxwell-Gauss :

div

(−−−→grad V − ∂ ~A

∂t

)=

ρ

ε0(8.38)

soit∆V +

∂

∂tdiv ~A = − ρ

ε0. (8.39)

Poursuivons avec Maxwell Ampère

−→rot(−→rot ~A

)= µ0

~j +1c2∂

∂t

(−−−→grad V − ∂ ~A

∂t

)(8.40)

ou encore−−→grad

(div ~A

)−∆ ~A = µ0

~j +1c2∂

∂t

(−−−→grad V − ∂ ~A

∂t

), (8.41)

soit

∆ ~A− 1c2∂2 ~A

∂t2−−−→grad

(1c2∂

∂tV + div ~A

)= −µ0

~j. (8.42)

Les équations que nous obtenons ne sont pas particulièrement simples. Nous avons tou-tefois le loisir d’imposer un choix de jauge qui simplifiera ces équations. Nous choisironsdans ce cours de travailler en jauge de Lorentz et d’imposer :

div ~A+1c2∂V

∂t= 0 (8.43)

Exercice : Quelles sontles équations vérifiéespar les potentiels enjauge de Coulomb ?

Avec ce choix de jauge, les potentiels vérifient les équations suivantes :

∆V − 1c2∂2V

∂t2= − ρ

ε0, (8.44)

∆ ~A− 1c2∂2 ~A

∂t2= −µ0

~j. (8.45)

En l’absence de charge et de courant, il s’agit d’équations de D’Alembert. Tout commeles champ électrique et magnétique, les potentiels sont des champs libres qui se propagentà la célérité de la lumière. Rappelons que les deux potentiels ne sont pas indépendantscar ils sont reliés par la jauge de Lorentz.

Les potentiels retardés

Une solution de ces équations en présence de sources est

V (~r, t) =1

4πε0

y

V

ρ(~r′, t− |~r′−~r|

c

)|~r′ − ~r|

d3~r′, (8.46)

~A (~r, t) =µ0

4π

y

V

~j(~r′, t− |~r′−~r|

c

)|~r′ − ~r|

d3~r′. (8.47)


8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide 83

Dans le régime statique, ces expressions redonnent les expressions habituelles. Dans lerégime dynamique, elles signifient que les champs se propagent des sources jusqu’au pointd’observation et qu’un changement de densité ou de courant à un instant se fait sentirplus tard en un point éloigné. Le délai est le temps que met la lumière pour se propagerde la source au détecteur. On reconnait aussi dans le second membre une somme d’ondessphériques.

8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide

L’objectif de cette section est de rappeler un certain nombre de points de repère. Ilne s’agit ni d’être exhaustif, ni de démontrer des résultats déjà connus pour la plupart

8.2.1. propagation d’un champ scalaire

Avant de nous intéresser au champ électromagnétique qui est composé de deux champsvectoriels ~E et ~B. Rappelons les solutions de l’équation de propagation pour un champscalaire. Nous considérerons dans cette section un champ scalaire ϕ qui se propage lacélérité c :

∆ϕ− 1c2∂2ϕ

∂t2= 0 (8.48)

L’objectif de cette section n’est pas d’être exhaustif mais de rappeler un certain nombrede solutions

Propagation à 1 dimension : Ondes planes progressives

Lorsque le champ ne dépend que d’une variable spatiale, la coordonnée z par exemple,l’équation de propagation prend une forme particulièrement simple :

∂2ϕ

∂z2− 1c2∂2ϕ

∂t2= 0 (8.49)

Les solutions de cette équation sont

ϕ (z, t) = f (z − ct) + g (z + ct) . (8.50)

La solution f correspond à une onde qui se propage sans se déformer vers les z crois-sants. La solution g est une onde qui se propage vers les z décroissants.

Propagation à trois dimensions : Ondes planes progressives

A trois dimensions les solutions sont beaucoup plus compliquées qu’à une dimension.En particulier, il n’est pas possible de simplifier le problème à l’aide d’un changementde variables.

On peut toutefois trouver des solutions particulières qui vérifient certaines propriétésde symétrie.



Le champ ne dépend que d’une coordonnée. Il peut s’agir d’un axe, par exemple l’axez

Φ (x, y, z, t) = ϕ (z, t) , (8.51)

ou bien d’un axe quelconque de vecteur unitaire ~u

Φ (x, y, z, t) = ϕ (~u · ~r, t) . (8.52)

Le champ Φ est constant sur des plans orthogonaux à la direction de propagation ~u.Le champ ϕ (z, t) vérifie l’équation de propagation à une dimension dont nous connais-

sons toutes les solutions. Si l’on choisit de ne conserver que les solutions qui vont dansla direction et le sens du vecteur unitaire ~u, les solutions en onde plane s’écrivent

Φ (x, y, z, t) = f (~u · ~r − ct) . (8.53)

Propagation à trois dimensions : Ondes sphériques

Le champ ne dépend que de la distance r du point considéré avec l’origine

Φ (~r, t) = ψ (r, t) . (8.54)

Pour une fonction qui ne dépend que de r le laplacien a une forme relativement simple :

∆Φ (~r, t) =1r

∂2

∂r2(rψ (r, t)) . (8.55)

La fonction ψ verifie l’équation d’évolution suivante

∂2

∂r2(rψ)− 1

c2∂2

∂t2(rψ) = 0. (8.56)

Par conséquent la fonction rψ vérifie l’équation de d’Alembert à une dimension dontnous connaissons les solutions. Nous en déduisons la solution en ondes sphériques :

ψ (r, t) =f (r − ct)

r+g (r − ct)

r. (8.57)

Le premier terme (fonction f ) corrspond à une onde qui s’éloigne de l’origine. Cette ondeest appelée onde sortante. Le second correspond à une onde qui converge vers l’origine,il s’agit d’une onde entrante.

Solutions stationnaires

Le théorème de superposition permet de construire une nouvelle solution comme com-binaison linéaire de deux solutions. L’espace des solutions est ainsi un espace vectoriel.Pour le connaitre, il suffit en fait de connaitre une base. Diverses méthodes permettentde trouver de telles bases. Celles ci reposent sur l’utilisation de la transformée de Fourierou plus généralement de l’analyse harmonique. Il s’agit de trouver les solutions station-naires.


8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide 85

8.2.2. Ondes électromagnétiques monochromatiques

Ce sont les multiples conséquences du fait que les équations de Maxwell sont deséquations linéaires.

Les modes propres du champ électromagnétique ont un évolution sinusoïdale.La réponse du champ électromagnétique à une excitation sinusoidale est elle même

sinusoidale.L’utilisation combinée de la transformation de Fourier et du théorème de superposition

permet de décomposer toute onde électromagnétique en composantes de Fourier quicorrespondent à des ondes monochromatiques.

Onde scalaire, onde vectorielle

L’amplitude d’une onde monochromatique scalaire s’écrit

A (~r, t) = <(A (~r) e−iωt

)(8.58)

ce qui correspond à la grandeur réelle

A (~r, t) = A0 (~r) cos (ϕ0 (~r)− ωt)

A0 (~r) est l’amplitude de l’onde au point ~r et ϕ0 (~r) la phase de l’onde au point ~r.Les surfaces ϕ0 (~r) = cste sont appelées surfaces d’onde. Lorsque ce sont des plans, on

parle d’onde plane, lorsque ce sont des sphères, d’onde sphérique.Pour un champ vectoriel comme le champ électrique, chacune des composantes peut

s’écrire sous cette forme. Cela donne l’écriture compacte

~E (~r, t) = <(~E (~r) e−iωt

). (8.59)

Attention à ne pas se laisser emporter par la simplicité de cette écriture. Le champ réels’écrit

Ex (~r, t) = E0x (~r) cos (ϕx (~r)− ωt) (8.60)Ey (~r, t) = E0y (~r) cos (ϕy (~r)− ωt) (8.61)Ez (~r, t) = E0z (~r) cos (ϕz (~r)− ωt) (8.62)

Les phases ϕx (~r) , ϕy (~r) et ϕz (~r) sont a priori différentes. C’est seulement lorsque cesphases sont égales que l’on peut écrire le champ électrique sous la forme suivante :

~E (~r, t) = ~E0 (~r, t) cos (ϕ0 (~r)− ωt) . (8.63)

Dans cette situation, la polarisation du champ électromagnétique est linéaire en chaquepoint de l’espace.



Equation d’onde

Pour une onde monochromatique A (~r, t) , la dérivée temporelle est :

∂2

∂t2A (~r, t) = −ω2A (~r, t) (8.64)

Par conséquent l’équation de propagation devient

∆A (~r) +ω2

c2A (~r) = 0 (8.65)

Cette équation porte le nom d’équation de Dirichlet. On la retrouve en physique sousde très nombreuses formes lorsque l’on s’intéresse aux solutions stationnaires : équationde la chaleur (transfert thermique, diffusion), équation de Schrödinger.

Ondes planes progressives monochromatiques

On peut enfin s’intéresser aux ondes planes progressives monochromatiques de la forme

A (~r, t) = A0ei(~k·~r−ωt+ϕ0) (8.66)

= A0 exp i (kxx+ kyy + kzz − ωt+ ϕ0) . (8.67)

L’opérateur différentiel ~∇ en coordonnées cartésiennes est particulièrement simple

~∇ → i~k. (8.68)

Attention, cette relation n’est vraie que pour des ondes planes progressives monochro-matiques.

Les différents opérateurs s’écrivent alors :

∂

∂tA (~r, t) = −iω A (~r, t) (8.69)

−−→grad A (~r, t) = i~k A (~r, t) , (8.70)

div ~E (~r, t) = i~k · ~E (~r, t) , (8.71)−→rot ~E (~r, t) = i~k × ~E (~r, t) . (8.72)

Lorsqu’on les appliquent à des ondes planes progessives monochromatiques, les équationsde Maxwell deviennent

i~k · ~E =ρ

ε0, (8.73)

i~k · ~B = 0, (8.74)i~k × ~E = iω ~B, (8.75)

i~k × ~B = µ0~j − i

ω

c2~E . (8.76)


9. Émettre des ondes électromagnétiques

Le dipôle oscillant est la source d’ondes électromagnétiques la plus simple. Son étudedétaillée nous permettra d’aborder les caractéristiques essentielles des antennes.

Lors d’une première lecture de ce cours, il sera possible de se limiter à la premièresection consacrée au dipole oscillant. La seconde section reprend les différents conceptsintroduits pour les replacer dans un cadre plus général.

9.1. Le dipôle oscillant

9.1.1. rappels sur le dipôle électrostatique

Le moment dipôlaire électrique ~p d’un système de charges électriques dont la chargetotale est nulle est :

– pour une distribution discrète :

Q =∑

qi = 0 (9.1)

~p =∑

qi~ri (9.2)

– pour une distribution continue

Q =y

V

ρ (~r1) d3~r1 = 0 (9.3)

~p =y

V

ρ (~r1)~r1d3~r1 (9.4)

On peut modéliser tout dipôle par deux charges : une charge négative -q placée àl’origine et un charge q positive au point ~a avec ~p = q~a .

Le potentiel électrostatique créé par un dipôle ~p placé à l’origine est :

V (~r) =1

4πε0~p · ~ur

r2. (9.5)

Le champ électrique créé par un dipôle électrostatique est :

~E (~r) =3 ~ur (~p · ~ur)− ~p

4πε0 r3(9.6)

=2p cos θ4πε0 r3

~ur +p sin θ4πε0 r3

~ur (9.7)

.

87

88 9. Émettre des ondes électromagnétiques

9.1.2. Champ créé par un dipôle oscillant

le dipôle oscillant

Considérons un dipôle dont l’amplitude évolue de manière sinusoïdale :

~p = ~p0 cosωt (9.8)~p = ~p0e

−iωt (9.9)

Le mouvement de charge associé à cette évolution temporelle est à l’origine de courantsélectriques qui vérifient l’équation suivante :

y

V

~j(~r′)d3~r′ =

∑Vqi~vi =

d~p

dt(9.10)

le champ rayonné par la méthode des potentiels retardés

Il n’est pas possible de déterminer le champ électromagnétique rayonné par un dipôleoscillant en adaptant la méthode utilisée dans le cas d’un dipôle électrostatique. Pourdiverses raisons (simplicité des calculs et problèmes techniques de choix de jauge) lechemin utilisé pour calculer le champ rayonné par un dipôle oscillant est le suivant :

1. Déterminer le potentiel vecteur retardé ~A

2. Déduire le champ magnétique ~B de l’expression du potentiel vecteur ~A

3. Calculer le champ électrique ~E à partir du champ magnétique ~B en utilisant l’équa-tion de Maxwell-Faraday.

Ainsi, alors que le potentiel V jouait un rôle central pour le champ du dipôle statique,il est ici inutile. Il sera donc vain d’essayer de déterminer le champ créé par un dipôleoscillant à partir de ce que l’on sait d’un dipôle statique.

le potentiel vecteur retardé L’expression générale du potentiel vecteur retardé ~A (~r, t)au point ~r est :

~A (~r, t) =µ0

4π

y

V

~j(~r1, t− |~r1−~r|

c

)|~r1 − ~r|

d3~r1 (9.11)

Pour une distribution de charge localisée autour de l’origine et dont la taille est assezQuestion : expliciter ce

que "assez petit" signifie

sur les grandeurs phy-

siques de ce problème.

petite, cette expression devient :

~A (~r, t) =µ0

4πr

y

V

~j(~r1, t−

r

c

)d3~r1 (9.12)

Le potentiel vecteur ~A est donc directement proportionnel à la dérivée temporelle dumoment dipôlaire ~p pris à l’instant retardé t− r/c :

~A (~r, t) =µ0

4π1r

d~p(t− r

c

)dt

, (9.13)

~A (~r, t) = −iω µ0

4πp0e−iω(t− r

c )

r= −iω µ0

4πp0ei(kr−ωt)

r. (9.14)


9.1. Le dipôle oscillant 89

Le champ magnétique Commençons par faire le calcul exact de manière brutale :

~B (~r, t) = −iµ0ω

4πe−iωt−→rot

(eikr

r

)(9.15)

= −iµ0ω

4πe−iωt

(−−→grad

eikr

r

)× ~p0 (9.16)

= −iµ0ω

4πe−iωt

(eikr−−→grad

1r

+1r

−−→gradeikr

)× ~p0 (9.17)

= −iµ0ω

4πe−iωt

(−eikr ~ur

r2+

1rikeikr~ur

)× ~p0 (9.18)

=µ0ωk

4πei(kr−ωt)

r

(1− 1

ikr

)~ur × ~p0 (9.19)

A grande distance (c’est à dire r λ), le terme dominant décroît comme 1r

~B =µ0ck

2

4πei(kr−ωt)

r~ur × ~p0. (9.20)

Nous pouvons dès à présent remarquer les points suivants :– Ce terme dominant provient de la dérivée de la phase du potentiel vecteur.– Le champ magnétique à grande distance est perpendiculaire à la droite joignant le

dipôle et le point d’observation (de vecteur directeur ~ur.– Lorsque l’on se déplace sur cette droite ( r croissant, angles sphériques (θ, φ) constants)

l’amplitude du champ évolue comme une onde sphérique : décroissance en 1r et fac-

teur de phase (kr − ωt) correspondant à une propagation à la célérité c vers les rcroissants.

Le champ électrique Il se déduit de l’expression du champ magnétique gràce à l’équa-tion de Maxwell-Faraday :

Pour s’entrainer à

manipuler les opéra-

teurs vectoriels les

plus courageux pourront

essayer de faire le calcul.

~E (~r, t) = − 1−iω

−→rot (B (~r, t)) (9.21)

=ei(kr−ωt)

4πε0

k2 (~ur × ~p0)× ~ur

r+ [3~ur (~ur · ~p0)− ~p0]

(1r3− ik

r2

).(9.22)

A grande distance, le terme dominant décroit comme pour le champ magnétique en 1r

il provient de la dérivée spatiale du terme de phase de ~B.

~E =k2

4πε0ei(kr−ωt)

r(~ur × ~p0)× ~ur. (9.23)

A courte distance (c’est à dire r λ) terme dominant est celui d’un dipôle électro-statique

~E =[3~ur (~ur · ~p0)− ~p0]

4πε0ei(kr−ωt). (9.24)



En résumé : Pour un dipôle aligné selon l’axe Oz les composantes non nulles du champélectrique et du champ magnétique sont :

Bϕ =µ0

4π

[−iωr2

− ω2

rc

]sin θei(kr−ωt), (9.25)

Er =1

4πε0

[2r3− 2iωr2c

]cos θei(kr−ωt), (9.26)

Eθ =1

4πε0

[1r3− iω

r2c− ω2

rc2

]sin θei(kr−ωt). (9.27)

A courte distance, c’est à dire à des distances courtes devant la longueur d’onde de lalumière , (r λ ) le terme dominant est en r−3. cela correspond au champ électriquecréé par un dipôle electrostatique :

Er = − 14πε0

2 cos θr3

p (t) , (9.28)

Eθ =1

4πε0sin θr3

p (t) . (9.29)

A grande distance, c’est à dire pour r λ, le terme dominant est en r−1, pour le champélectrique selon ~uθ et pour le champ magnétique selon ~uϕ :

Bϕ = −µ0c

4πk2

rp0 sin θei(kr−ωt), (9.30)

Eθ = − 14πε0

k2

rp0 sin θei(kr−ωt). (9.31)

Remarque pratique : A partir de quelle distance peut-on considérer que l’on se trouveà grande distance du dipôle et utiliser la formule simple ? Notons qu’à une distanced’une longueur d’onde, le nombre sans dimension kr vaut dèjà 2π, le terme suivant dudéveloppement (en 1/r2 ) est donc 6 fois plus faible que le terme principal, et le termecorrespondant au champ statique 36 fois plus faible. Notons en outre que le terme en1/r est en quadrature avec le terme principal, son effet est donc un plus un déphasagedu champ qu’un changement de son amplitude. On peut donc quasiment considérer qu’àune longueur d’onde du dipôle on est déjà en région de champ lointain.

Pour se rendre vraiment compte, on peut évaluer le rapport des amplitudes et la diffé-rence de phase entre l’expression exacte du champ électrique et l’expression approchée.Dans le plan équatorial, à une distance d’un quart de longueur d’onde ( r = λ/4 ) ontrouve :

∣∣∣∣ Eexact

Elointain

∣∣∣∣ = 1, 13

φexact − φlointain ' π

4



l’erreur sur l’amplitude est de 10% et sur la phase de 45 . A une longueur d’onde dudipôle ( r = λ ), la différence devient très faible :∣∣∣∣ Eexact

Elointain

∣∣∣∣ = 1, 01

φexact − φlointain ' π

20

l’erreur sur la phase n’est que de 9 et sur l’amplitude de 1%.Sauf cas particulier ou l’on s’interesse explicitement aux effets de champ proche, on

pourra donc utiliser l’expression ”champ lointain” même lors que l’on ne se trouve pastrès loin du dipôle.

Interprétation physique du champ à grande distance

Tous les facteurs intervenant dans l’expression du champ électrique rayonné par undipôle oscillant ont une interprétation physique qu’il est essentiel d’avoir compris. Consi-dérons le cas d’un dipôle d’ampliude p0 aligné selon l’axe Oz.

Er = 0, Br = 0 A grande distance, l’onde a la structure d’une onde plane progressive quise propage selon ~ur . Le champ électrique tout comme le champ magnétique sontorthogonaux à la direction de propagation, donc à ~ur.

Eϕ = 0 , Bθ = 0 : Le problème est symétrique par rapport à tout plan contenant ladroite Oz. Par conséquent, en un point de l’espace, le champ électrique est contenudans le plan contenant Oz et ce point et donc sa composante Eϕ selon le vecteur ~uϕ

perpendiculaire à ce plan est nulle. Pour les mêmes raisons, le champ magnétiquequi est un vecteur axial est perpendiculaire au plan considéré et donc le champmagnétique est aligné selon ~uϕ

Décroissance de l’amplitude : |E| ∝ r−1 : Lorsque le dipôle est seul dans l’espace, l’éner-gie qu’il rayonne est conservée, par conséquent le flux du vecteur de Poynting àtravers toute sphère qui contient l’origine est le même. Comme la surface de cettesphère est 4πr2, le vecteur de Poynting est proportionnel à r−2. Ce vecteur estproportionnel au carré du champ électrique, celui ci décroit donc en r−1 lorsquel’on s’éloigne de l’origine.

Amplitude proportionelle à celle du dipôle E ∝ p0 exp(−iωt) : Les équations de Max-well sont linéaires, par conséquent, le champ rayonné est proportionnel à l’ampli-tude du dipôle.

Phase égale à (kr − ωt) Le champ se propage à partir de l’origine à la vitesse de la lu-mière, le champ rayonné est donc proportionnel à exp [−iω (t− r/c)] = exp [i (kr − ωt)]

Dépendance angulaire E ∝ sin θ Notons f (θ) la dépendance angulaire de l’amplituderayonnée en prenant pour référence l’amplitude émise dans la direction équatoriale :f(

π2

). Pour les raisons de symétries évoquées plus haut, le champ électrique est

nul lorsque l’on se place sur l’axe Oz donc f (0) = 0. Si l’on se place en un point



donné, on peut décomposer le dipôle (qui est un vecteur) comme somme de deuxdipôles

p0~uz = p0 cos θ~ur − p0 sin θ~uθ

le premier p0 cos θ~ur est parallèle au rayon vecteur, il ne rayonne donc pas, tan-disque le second p0 sin θ est perpendiculaire à la direction d’observation et rayonnedonc dans cette direction avec une ampllitude relative f

(π2

).

Facteur k2

4πε0nous sommes arrivés à l’expression suivante :

~E ∼ p0 sin θe−iω(t− r

c )

r~uθ (9.32)

La dimension de cette expression est celle d’une charge électrique. Pour avoir labonne dimension il faut multiplier par un terme proportionnel au produit de 1

4πε0

et du carré de l’inverse d’une longueur. Comme nous avons déjà déterminé la dé-pendance en r par les considérations d’énergie et de propagation il faut trouver uneautre longueur dans ce probleme. La seule qui soit disponible est la longueur d’ondeet donc, la quantité proportionelle à l’inverse d’un longueur que nous pouvons uti-liser est le nombre d’onde k, le facteur qui manque est donc k2

4πε0multiplié par un

éventuel facteur numérique. La comparaison avec l’expression exacte montre quele facteur numérique est seulement -1

Ainsi nous venons de retrouver l’expression du champ électrique rayonné :

~E = − 14πε0

k2

rp0 sin θei(kr−ωt)~uθ

Par consequent, s’il peut sembler difficile d’apprendre la formule du champ électriquerayonné par un dipôle, les arguments que nous venons de développer rendent impossiblede ne pas s’en souvenir.

9.1.3. Puissance rayonnée

En revenant à la notation réelle, le vecteur de Poynting instantané est

~Π =~E × ~B

µ0=

ω4

16π2ε0c3p20

cos2 (kr − ωt)r2

~ur. (9.33)

Soit si l’on moyenne sur une periode⟨~Π⟩

=ω4

32π2ε0c3p20 sin2 θ

~ur

r2(9.34)

Plutot que regarder le flux du vecteur de Poynting à travers une surface, on peut regarderle flux par unité d’angle solide :

dP

dΩ=

ω4

32π2ε0c3p20 sin2 θ (9.35)



L’émission n’est pas isotrope : la puissance rayonnée est nulle sur l’axe du dipôleet maximale perpendiculairement. On décrit cette repartition par un diagramme derayonnement (en puissance) :

r (θ, φ) = sin2 θ (9.36)

Fig. 9.1.: Diagramme de rayonnement d’un dipôle oscillant. A gauche : en amplitude (r (θ, φ) = sin θ ), a droite, en puissance ( r (θ, φ) = sin2 θ )

Pour déterminer la puissance totale P rayonnée par le dipôle il faut intégrer le vecteurde Poynting sur toute la sphère :

P =∫ π

0dθ

∫ 2π

0sin θdϕ

ω4

32π2ε0c3p20 sin2 θ (9.37)

=ω4

32π2ε0c3p20 · 2π ·

∫ π

0dθ sin3 θ (9.38)

Calcul de l’intégrale∫ π

0dθ sin3 θ =

∫ π

0dθ sin θ

(1− cos2 θ

)=∫ 1

−1d (cos θ)

(1− cos2 θ

)(9.39)

=∫ 1

−1du(1− u2

)= 2

(1− 1

3

)=

43

(9.40)

P =∫ π

0dθ

∫ 2π

0sin θdϕ

ω4

32π2ε0c3p20 sin2 θ (9.41)

=ω4

32π2ε0c3p20 · 2π ·

43

(9.42)

P =ω4

12πε0c3p20 (9.43)

La puissance totale instantanée émise est

P =ω4

6πε0c3p20 cos2 ωt (9.44)



que l’on peut encore écrire

P =23

14πε0c3

∣∣∣∣d2~p

dt2

∣∣∣∣2 =23

q2

4πε0c3

∣∣∣∣d~vdt∣∣∣∣2 (9.45)


10. Additionner des ondesélectromagnétiques

10.1. Position du problème

Lorsque l’on superpose des ondes électromagnétiques, ce sont les amplitudes deschamps qui s’ajoutent. Il s’agit donc d’une addition de vecteurs. Pour étudier les dif-férents effets physiques résultant de cette addition, on est amené à se poser plusieursquestions :

– Quelle est la dépendance temporelle de la superposition ? En particulier, que se passet il lorsque l’on superpose deux ondes monochromatiques de fréquences diférentes ?

– Quelle est la polarisation du champ résultant ?– Quelle est la dépendance spatiale ?Pour chacune de ces questions, nous nous intéresserons au champ électrique et à l’éner-

gie. Nous considérerons l’addition de deux ondes planes progressives monochromatique~E1 et ~E2 polarisées linéairement,

~E1 (~r, t) = E1 cos(~k1 · ~r − ω1t+ ϕ1

)~u1 (10.1)

~E2 (~r, t) = E2 cos(~k2 · ~r − ω2t+ ϕ2

)~u2 (10.2)

10.2. Battements entre deux ondes

Nous considérons l’effet d’une différence de fréquence entre les deux ondes. Nous sup-posons la direction de propagation, et l’amplitude et polarisation identiques : la propa-gation se fait selon ~uz, la polarisation est linéaire et alignée selon ~ux et les amplitudessont E1 = E2 = E0

~E (~r, t) = E0

(cos[ω1

(zc− t)

+ ϕ1

]+ cos

[ω2

(zc− t)

+ ϕ2

])~ux (10.3)

La trigonometrie nous permet d’obtenir l’expression de ce champ sous la forme d’unproduit :

~E (~r, t) = 2E0

(cos[ω1 + ω2

2c(z − ct) +

ϕ1 + ϕ2

2

]cos[ω1 − ω2

2c(z − ct) +

ϕ1 − ϕ2

2

])~ux

(10.4)

95

96 10. Addition d’ondes electromagnetiques

Cette onde est une fonction de (z − ct) c’est donc une onde plane progressive. Son champmagnétique est alors :

~B =1c~uz × ~E. (10.5)

Le vecteur de Poynting est donc :

~Π = ε0c∣∣∣ ~E∣∣∣2 ~uz (10.6)

Si ω1 = ω2 = ω0 les deux ondes interfèrent.

Dans le cas où les deux ondes ont la même pulsation, le champ électrique est :

~E (~r, t) = 2E0 cos(ϕ1 − ϕ2

2

)(cos[ω0

c(z − ct) +

ϕ1 + ϕ2

2

])~ux (10.7)

Le résultat est une onde de même pulsation que les deux ondes que l’on a ajoutées.L’amplitude de cette onde est 2E0 cos

(ϕ1−ϕ2

2

), cette amplitude dépend de la différence

de phase ϕ1 − ϕ2 entre les deux ondes.Déterminons le vecteur de Poynting associé à cette onde. Puisqu’il sagit d’une onde

plane progressive, le vecteur de Poynting est directement relié au champ électrique par :

Π = 4ε0cE20 cos2

(ϕ1 − ϕ2

2

)cos2

[ω0

c(z − ct) +

ϕ1 + ϕ2

2

]. (10.8)

Le vecteur de Poynting moyen (sur une période) est donc

〈Π〉 = 4 cos2(ϕ1 − ϕ2

2

)ε0cE

20

2. (10.9)

AInsi, alors que les champs électriques des deux ondes s’additionnent, cela n’est pas lecas pour l’énergie transportée : il s’agit du phénomène d’interférences.

Nous distinguons 3 cas :

Les deux ondes sont en phase : ϕ1 = ϕ2 + 2nπ

〈Π〉 = 4ε0cE

20

2. (10.10)

La puissance transportée est quatre fois la puissance d’une des ondes, c’est à dire ledouble de la somme des puissances des deux ondes. On parle d’interférences construc-tives.

Les deux ondes sont en opposition de phase ϕ1 = −ϕ2 + 2nπ :

〈Π〉 = 0. (10.11)

Les deux ondes se compensent, il s’agit d’interférences destructives.


10.2. Battements entre deux ondes 97

Les deux ondes sont en quadrature ϕ1 = ϕ2 + π2 + nπ :

〈Π〉 = 2ε0cE

20

2. (10.12)

La puissance est bien égale à la somme des puissances des deux ondes. Cela est général,quand deux ondes de même pulsation sont en quadrature de phase, leurs puissancess’ajoutent (en valeur moyenne), même si leurs amplitudes diffèrent.

Si ω1 6= ω2 on a un phénomène de battement.

Le champ électrique apparait comme une onde de pulsation ω1+ω22 qui est modulée à

la pulsation |ω1−ω2|2 . Pour alleger les formules, nous suppeserons que l’origine des temps

est choisie à un instant où les deux ondes sont en phase soit (et nous supposerons desurcroit que cette phase est nulle)

~E (~r, t) = 2E0 cos[ω1 + ω2

2c(z − ct)

]cos[ω1 − ω2

2c(z − ct)

]~ux (10.13)

On peut interpréter ces battements en considérant que la phase d’une onde dérive parrapport à celle de l’autre onde en écrivant :

~E (~r, t) = E0

(cos[ω1

(zc− t)]

+ cos[ω1

(zc− t)

+ φ2 (z, t)])~ux (10.14)

φ2 (z, t) = (ω2 − ω1)(zc− t). (10.15)

Cette écriture n’a réellement de sens que lorsque la diférence de fréquence est trés petite.Dans cette situation, le temps que la phase met pour évoluer

(2π

|ω2−ω1|

)est beaucoup plus

grand que la période 2πω1

de l’onde. On oscille alors périodiquement entre une situationou les deux ondes sont en phase et où elles interfèrent constructivement à une situationou elles sont en opposition de phase et où elles interfèrent destructivement.

Pour déterminer le vecteur de Poynting, il est préférable de ne pas factoriser :

Π = ε0c∣∣∣ ~E2∣∣∣ = ε0cE

20

(cos[ω1

c(z − ct)

]+ cos

[ω2

c(z − ct)

])2(10.16)

= ε0cE20

(cos2

[ω1

c(z − ct)

]+ cos2

[ω2

c(z − ct)

]+ cos

[ω1 + ω2

2c(z − ct)

]+ω1 − ω2

2c(z − ct)

)(10.17)

Le vecteur de Poynting moyen est

〈Π〉 = 2ε0cE20 . (10.18)

Lorsque l’on superpose deux ondes de pulsations différentes, leurs puissances moyenness’ajoutent.



On peut être plus précis et discuter de ce qui se passe en fonction de la durée pendantlaquelle on cherche à mesurer la puissance de l’onde. En effet, si les deux ondes ontpresque la même pulsation ω0, l’un des termes obtenus dans le vecteur de Poyntingoscille avec un période 2π

|ω2−ω1| . Par conséquent, si l’on réalise une mesure sur un tempsbeaucoup plus court que cette période (mais toujours beaucoup plus long que la périodede l’onde), le terme d’interférence ne se moyenne pas à zéro.

10.3. Polarisation

On suppose maintenant les pulsations des deux ondes identiques, de même que leurdirection et sens de propagation.

10.3.1. Supperposition de deux polarisations linéaires

Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogonales.~E1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux (10.19)~E2 (~r, t) = E2 cos (kz − ωt+ ϕ2) ~uy. (10.20)

Comme dans le premier cas, la somme de ces deux ondes ne dépend que de (z − ct) . Ils’agit par conséquent d’une onde plane progressive et il suffit d’étudier l’évolution duchamp élecrique en un point.

De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation elliptique contenuedans le rectangle défini par −E1 < x < E1 et −E2 < y < E2 . La nature exacte de lapolarisation dépend de la phase relative entre les deux ondes

Ondes en phase : ϕ2 − ϕ1 = 0 : Les deux ondes sont en phase, le champ électriques’écrit :

~E1 (~r, t) = cos (kz − ωt+ ϕ1) [E1~ux + E2~uy] (10.21)Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équation

Ex

E1− Ey

E2= 0 (10.22)

Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle estselon la première diagonale du rectangle.

Ondes en opposition de phase ϕ2 − ϕ1 = π : Les deux ondes sont en opposition dephase, le champ électrique s’écrit :

~E1 (~r, t) = cos (kz − ωt+ ϕ1) [E1~ux − E2~uy] (10.23)

Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équationEx

E1+Ey

E2= 0 (10.24)

Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire elle estselon la seconde diagonale du rectangle.


10.3. Polarisation 99

Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = π/2 Les deux ondes sont en quadrature, le champélectrique s’écrit :

~E1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux + E2 cos(kz − ωt+ ϕ1 +

π

2

)~uy (10.25)

= E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux − E2 sin (kz − ωt+ ϕ1) ~uy (10.26)

Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est(

Ex

E1

)2

+(Ey

E2

)2

= 1 (10.27)

La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à cellequi est selon Ox,autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique. La polarisation estelliptique gauche. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.

~E1 (~r, t) = E0 (cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux − sin (kz − ωt+ ϕ1) ~uy) (10.28)

Le module du champ élelectrique reste constant au cours du temps. Le champ electriqueparcours un cercle :

E2x + E2

y = E20 (10.29)

Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = −π/2

Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s’écrit :

~E1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux + E2 cos(kz − ωt+ ϕ1 +

π

2

)~uy (10.30)

= E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux + E2 sin (kz − ωt+ ϕ1) ~uy (10.31)

Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est(

Ex

E1

)2

+(Ey

E2

)2

= 1 (10.32)

C’est la même équation que dans le cas qui précède, mais l’ellipse est parcourue dansl’autre sens. La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à cellequi estselon Ox, autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens horaire. La polarisation estelliptique droite. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.

Energie

Nous avons une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est donc

Π = ε0c∣∣∣ ~E1 + ~E2

∣∣∣2 (10.33)

= ε0c

(∣∣∣ ~E1

∣∣∣2 +∣∣∣ ~E1

∣∣∣2 + 2 ~E1 · ~E2

)(10.34)



Puisque les deux polarisations sont orthogonales, le terme croisé est nul. Il n’y a pasd’interférence et l’intensité du faisceau est la somme des intensités des deux faisceauxincidents. Ce résultat ne dépent pas de la phase relative des deux faisceaux.

10.3.2. Polarisation circulaire

Somme de deux ondes circulaires

Nous considérons maintenant deux polarisations circulaires de même amplitude, maisde sens inverse. Pour simplifier les calculs, nous nous plaçons à l’origine et nous prenonsla phase de la première onde égale à zero soit :

~E1 (t) = E0 [cos (ωt) ~ux + sin (ωt) ~uy] (10.35)~E2 (t) = E0 [cos (ωt+ ϕ) ~ux − sin (ωt+ ϕ) ~uy] . (10.36)

La somme de ces deux polarisations est :

~E (t) = E0 ([cos (ωt) + cos (ωt+ ϕ)] ~ux + [sin (ωt)− sin (ωt+ ϕ)] ~uy) (10.37)

= 2E0

[cos(ωt+

ϕ

2

)cos

ϕ

2~ux − cos

(ωt+

ϕ

2

)sin

ϕ

2~uy

](10.38)

= 2E0 cos(ωt+

ϕ

2

) [cos

ϕ

2~ux − sin

ϕ

2~uy

](10.39)

La somme de deux polarisations circulaires de sens opposé et de même pulsation est unepolarisation linéaire dont l’orientation dépend du déphasage entre les deux ondes.

Notation complexe

La circulaire gauche est

~Eg (t) = E0 [cos (kz − ωt) ~ux − sin (kz − ωt) ~uy] (10.40)

= E0<[ei(kz−ωt) ~ux + iei(kz−ωt) ~uy

]. (10.41)

Par conséquent :

~Eg (t) = E0ei(kz−ωt) (~ux + i ~uy) (10.42)

La circulaire droite est~Ed (t) = E0 (~ux − i ~uy) (10.43)

10.3.3. Polariseurs

Polariseur parfait

Un polariseur parfait projette le champ électrique de l’onde sur une direction particu-lière ~n appelée ”axe du polariseur”. L’onde en sortie est

~E′ (t) =(~E0 (t) · ~n

)~n (10.44)


10.4. Interférences 101

Dans le cas ou la polarisation incidente est linéaire et fait un angle θ avec l’axe dupolariseur, l’amplitude du champ électrique est multipliée par le facteur cos θ et doncl’intensité est multiplié par le caré de ce cosinus. C’est la loi de Malus.

I1 = I cos2 θ (10.45)

La partie non transmise de la lumière est absorbée par le polariseur. Si l’axe du polariseurest orthogonal avec la polarisation incidente, aucune lumière n’est transmise.

Séparateur de polarisation

Un séparateur de polarisation est un dispositif optique qui sépare la lumière incidenteen deux composantes de polarisation orthogonales. Si l’on envoie une polarisation linéairesur un tel dispositif, on peut appliquer la loi de Malus à chacune des sorties, les intensitésde ces deux sorties sont alors :

I1 = I0 cos2 θ (10.46)

I2 = I0 sin2 θ (10.47)

la somme des deux intensités est bien l’intensité initiale, autrement dit le séparateur depolarisation répartit la lumière entre les deux sorties.

Polariseurs imparfaits

La reflexion de la lumière sur un dioptre ou la diffusion par des molécules polarise enpartie la lumière.

10.3.4. Lumière naturelle

Une lumière parfaitement monochromatique est polarisée. Par contre, dès que l’onajoute des ondes de fréquence différentes, la situation est analogue à celle des battements :l’état de polarisation évolue au cours du temps et si on regarde sur une durée longuedevant ce temps d’évolution, on voit une lumière qui peut être ”non polarisée”.

La lumière des sources à incandescence ou à décharge, de même que la lumière solairene sont pas polarisées.

La lumière diffusée par le ciel est polarisée. La lumière d’un laser est en général pola-risée linéairement.

10.4. Interférences

10.4.1. Superposition de deux ondes

Nous sommes maintenant parés pour étudier la supperposition de deux ondes planes

~E1 (~r, t) = E1 cos(~k1 · ~r − ω1t+ ϕ1

)~u1 (10.48)

~E2 (~r, t) = E2 cos(~k2 · ~r − ω2t+ ϕ2

)~u2 (10.49)



Nous savons que :– si les deux ondes ont des fréquences différentes, il n’y a pas d’interférences (on a

éventuellement des battements).– si les deux ondes ont des polarisations orthogonales, leurs intensités s’ajoutent et il

n’y a pas d’interférences.Nous supposerons donc dans la suite que les deux ondes ont même fréquence et même

polarisation. Par contre, nous ne supposerons pas qu’elles sont planes et nous écrirons

~E1 (~r, t) = E1 cos (ϕ1 (~r)− ωt) ~u (10.50)~E2 (~r, t) = E2 cos (ϕ2 (~r)− ωt) ~u (10.51)

ϕ1 (~r) et ϕ2 (~r) sont les phases de chacune des ondes. Pour une onde plane

ϕi (~r) = ~ki · ~r (10.52)

Pour une onde sphériqueϕi (~r) = kri (10.53)

où ri est la distance du point consiréré à la source de l’onde i.

10.4.2. Amplitude du champ électrique

Pour ce calcul il est beaucoup plus simple de travailler en notation complexe.

~E (~r, t) = E1 (~r) ei(ϕ1(~r)−ωt)~u+ E2 (~r) ei(ϕ2(~r)−ωt)~u (10.54)

=(E1 (~r) eiϕ1(~r) + E2 (~r) eiϕ2(~r)

)e−iωt.~u (10.55)

Plutot que de s’embarasser en permanence avec les facteurs numériques du vecteur dePoynting moyen, on utilise l’intensité du faisceau lumineux défini comme la moyennetemporelle du carré du champ électrique :

I =12

∣∣∣E1 (~r) eiϕ1(~r)~u+ E2 (~r) eiϕ2(~r)∣∣∣2 (10.56)

=12

(|E1 (~r)|2 + |E2 (~r)|2 + 2<

(E1 (~r)E2 (~r) ei(ϕ1(~r)−ϕ2(~r))

))2(10.57)

= I1 + I2 + 2√I1I2 cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r)) (10.58)

En chaque point de l’espace on retrouve un résultat analogue à ce que l’on avait trouvépour deux ondes planes de même direction et de même pulsation. L’intensité n’est pas lasomme des intensités des deux ondes : il y a des interférences. Le fait que ces interférencessoit constructives ou destructives dépend de la différence de phase des deux ondes. Cettedifférence de phase dépend de la position du point étudié.

Dans le cas ou les amplitudes des deux ondes sont les mêmes, l’intensité est

I = 2I0 (1 + cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r))) (10.59)

= 4I0 cos2 (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r)) (10.60)



Si les amplitudes sont différentes le résultat s’écrit

I = (I1 + I2) (1 + C cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r))) (10.61)

C =2√I1I2

I1 + I2(10.62)

Il n’y a pas d’interférences destructrices totales. Le coefficient C est appelé contraste ouvisibilité des interférences.

10.4.3. Propriétés générales des interférences entre deux ondes

Reprenons l’expression générale que nous avons obtenue :

I = (I1 + I2) (1 + C cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r))) (10.63)

C =2√I1I2

I1 + I2(10.64)

Le phénomène d’interférence est associé à la différence ϕ1 (~r)−ϕ2 (~r) entre les phasesdes deux ondes. Quelle que soit l’amplitude des deux ondes, c’est cette différence dephase qui détermine la position des maxima et des minima d’intensité. Toute étude del’interférence entre deux ondes commence donc impérativement par la détermination dela différence de phase. Il est alors souvent très utile de déterminer la position des maximaet minima d’intensité.

L’amplitude des ondes détermine le contraste des interférences. Il détermine l’enve-loppe des oscillation spatiale de l’intensité lumineuse due à la différence de phase.

10.4.4. Addition d’ondes planes

Nous analysons les interférences de deux ondes planes de même amplitude dont lesdirection de propagation font un angle 2θ.

Surfaces d’intensité maximale

Nous considérons une situation ou les deux vecteurs d’ondes sont dans le plan yOz

−→k 1 = k (sin θ ~uy + cos θ ~uz) (10.65)−→k 2 = k (− sin θ ~uy + cos θ ~uz) (10.66)

On en déduit les phases des deux ondes

ϕ1 (x, y, z) = k sin θ y + k cos θ z + φ1 (10.67)ϕ2 (x, y, z) = −k sin θ y + k cos θ z + φ2 (10.68)

où φ1 et φ2 sont les phases des deux ondes à l’origine. L’intensité est

I (x, y, z) = 4I1 cos2(ky sin θ +

ϕ1 − ϕ2

2

)



Les surfaces d’intensité maximale (appelées franges brillantes) sont les surfaces pourlesquelles l’argument du cosinus est égal à mπ où m est entier c’est à dire

y =λ

2 sin θ

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

)Ce sont des plans parallèles à xOz, c’est à dire au plan bissecteur des vecteurs

−→k 1 et

−→k 2.

Ces plans sont équidistants : la distance i entre ces plans correspond à un accroissementde m égal à 1, soit

i =λ

2 sin θLorsqu’on introduit un écran parallèle à xOy par exemple, on observe donc une alter-nance de franges linéaires brillantes et de franges linéaires sombres. La distance i entrefranges brillantes (ou sombres) est appelée ”interfrange”. i peut être beaucoup plus grandque λ, et donc facilement observable à l’oeil, si θ est petit. Par exemple : ∆y ≈ 1mm siθ ≈ 10−3rd et λ = 1µm.

De telles interférences sont utilisées pour impressionner des surfaces sensibles afin defabriquer des réseaux. Ce type d’interférence est aussi utilisé dans les techniques de vélo-cimétries. Une particule en mouvement dans une zone ou interfèrent deux ondes planespasse successivement dans des maxima et minima d’intensité lumineuse. Une mesurede la fréquence du clignottement de la lumière qu’elle diffuse permet de déterminer savitesse.

10.4.5. Addition d’ondes sphériques

Cette situation correspond à deux antennes mises côte à côte sur l’axe Oz et distantesde a. Ces dipôles sont pacés de part et d’autre de l’origine aux points ~a1 = −a

2~uz et~a2 = a

2~uz. On ne prejugera pas de l’orientation de ces antennes, la seule hypothèseet que leurs directions sont parallèles. On indiquera par α l’angle entre la directiond’observation et l’axe de l’antenne (qui ne sera pas confondu avec l’angle θ que fait lerayon vecteur ~r avec l’axe Oz) . Les champs électriques de ces deux antennes sont :

~E1 = − ω2

4πε0c2p1 sinα1

ei(kr1−ωt)

r1~uα1 (10.69)

~E2 = − ω2

4πε0c2p2 sinα2

ei(kr2−ωt)

r2~uα2 (10.70)

avecri = |~r − ~ai| (10.71)

Lorsque l’on se trouve loin des sources, on peut trouver une approximation de ri :

r1 =

√x2 + y2 +

(z +

a

2

)2=

√x2 + y2 + z2 + az +

a2

4(10.72)

= r

√1 +

az

r2+

a2

4r2' r +

az

2r+ .. (10.73)



Quels facteurs diffèrent entre les deux ondes ?– L’amplitude qui décroit en 1

r . Par conséquent la différence des amplitudes décroiten 1

r2 . L’amplitude intervient uniquement dans le contraste des interférences, ellene joue aucun rôle dans leur existance. Dans notre cas, le contraste est quasiment1 des que l’on est loin des sources.

– La polarisation. L’angle entre les deux polarisations est le même que celui qui existeentre les deux rayons vecteurs, cet angle tend vers zéro des que l’on s’éloigne.

– On notera que le facteur sinα associé au diagramme de rayonnement est le mêmepour les deux ondes des que l’on est assez loin.

– La différence de phase qui intervient dans les interférences

ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r) = (kr1 + φ1)− (kr2 + φ2) (10.74)

' ay

r+ (φ1 − φ2) = a cos θ (~r, ~uz) (10.75)

cette différence de phase ne tend pas vers zero ou vers une constante quand ons’éloigne de l’origine. L’intensité est donc

I (~r) = I0 (~r) cos2(k (r1 − r2)

2+φ1 − φ2

2

)(10.76)

I0 (~r) =1r2

ω4

32π2ε20c4|p1|2 sin2 α (~r, ~p0) (10.77)

Lieux des interférences constructrices

Les surfaces d’intensité maximales sont les lieux où les ondes provenant des deuxsources arrivent en phase.

Fig. 10.1.: Deux sources de rayonnementsont placées côte à côte. Elles émettent enphase un rayonnement monochromatique.Les deux familles de cercles concentriquesreprésentées sur le schéma correspondentchacun à l’ensemble des points distant dechacune des sources d’un nombre entier delongueurs d’ondes. Ces points oscillent donctous en phase. A l’intersection de ces fa-milles de cercles, les interférences sont doncconstructives. Tous ces points se trouventsur une famille d’hyperboles dont les foyerssont les deux sources.

Dans l’espace, les interférences sont constructives quand les deux ondes arrivent enphase, c’est à dire lorsque la différence des distances r1 et r2 qui séparent le point



d’observation de chacune des deux sources est un multiple de la longueur d’onde

|r1 − r2| = pλ

où p est un entier relatif. Ces surfaces sont des hyperboloïdes de révolution.

Fig. 10.2.: Les points de l’espace oùles interférences sont constructivessont des hyperboloides de révolu-tion dont les foyer sont les deuxpoints sources

Pour un point situé sur la droite reliant les deux sources (abscisse z, et se trouvantentre les sources la différence des distance qui le sépare de chacune des sources est :

|r1 − r2| =∣∣∣∣∣∣z +

a

2

∣∣∣− ∣∣∣z − a

2

∣∣∣∣∣∣ = 2z

les nappes d’intensité maximale coupent donc le segment reliant les deux sources auxpoints d’ordonnée

z =mλ

2+ λ

(φ1 − φ2)4π

.

Surfaces d’intensité maximale

Lorsque l’on n’est pas très éloigné des sources, la différence d’intensité entre les champsprovenant des deux sources peut être notable. Le contraste des interférences n’est doncpas l’unité. Toutefois, les points où les interférences sont constructives correspondentaux "crêtes" d’intensité : voir la figure suivante

Diagramme de rayonnement A grande distance on peut faire un développement

r1 ' r +az

2r+ .. (10.78)

par conséquentr1 − r2 =

az

r= a cos θ (10.79)



Fig. 10.3.: Les zones de même teinte cor-respondent aux points pour lesquels lemodule du champ électrique est comprisentre deux valeurs. La zone est d’autantplus sombre que le champ électriqueest intense. Nous pouvons constater queles "crêtes" de la surface ou l’altitudecorrespond à l’amplitude du champ (etdont nous voyons ici les courbes de ni-veau) sont les hyperboles correspondantaux interférences constructives.

Soit une intensité

I (r, θ) = I0 (~r) cos2(ka

2sin(π

2− θ)

+φ1 − φ2

2

). (10.80)

A grande distance, comme attendu pour raisons énergétiques, l’intensité décroit en 1r .

A chaque hyperboloide correspond un lobe d’émission.

Fig. 10.4.: Diagramme de rayonne-ment en trois dimension de deux di-pôles verticaux placés côte à côte.

Les maxima des lobes correspondent aux angles θm qui vérifient

πa

λsin(π

2− θ)

+(φ1 − φ2

2

)= mπ

ou encoresin(π

2− θ)

= mλ

a− φ1 − φ2

2πλ

aPour les lobes dont les directions sont proches du plan équatorial (θ proche de π

2 ) l’écartendre deux lobes est

∆θ =λ

a



A grande distance, on peut chercher à déterminer les zones pour lesquelles le champélectrique (ou le vecteur de Poynting) est supérieur à une valeur donnée. Ces zones sonthomothétique du diagramme de rayonnement.

Fig. 10.5.: En grisé : représentationà grande échelle des zones pour les-quelles le champ électrique est su-périeur à une valeur donnée. Entrait plein : diagramme de rayon-nement du système dilaté. Ce dia-gramme de rayonnement corres-pond à l’ensemble des points quireçoivent une même puissance del’antenne composite.

Image sur un écran

Après avoir observé la position des interférences dans l’espace, nous pouvons essayerde les oserver sur un écran.

Plan perpendiculaire à l’axe Ox. L’écran est le plan perpendiculaire à l’axe Ox situéà une distance D de l’origine. Nous considérons les points proches de l’axe 0x (y ,z << r). r ≈ D, distance au plan d’observation. que fait la droite qui joint l’origine au pointd’observation avec le plan équatorial ( plan xOy ) est

(π2 − θ

)= z

D . Les franges brillantessont alors données par

z =λD

a

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

)Elles sont, comme dans le cas des ondes planes, situées dans des plans parallèles auplan médiateur de O1O2. L’interfrange i est la séparation entre deux plans d’intensitémaximale m et m+ 1, soit i = λD

a .

Plan perpendicualire à l’axe Oz x,y << z = D. Dans ce cas, r = z√

1 + x2+y2

z2 , donc1r ≈

1z −

x2+y2

2z3 . D’où

r1 − r2 ≈ a

(1− x2 + y2

2z2

)



Les franges brillantes ont pour équation

x2 + y2

2z2= 1− λ

a

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

)Dans un plan parallèle à xOz situé à une distance y = D de O, les franges brillantes sontdes cercles dont le centre est sur l’axe O1O2 et de rayon R =

√x2 + y2 donné par

R = D

√2(

1− λ

a

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

))On obtient des ”anneaux ” alternativement brillants et sombres. La dernière formulemontre que ces anneaux ne sont pas équidistants : Les anneaux se resserrent lorsque lerayon augmente.


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Jean-Michel Courty 15 mars 2005 - edu.upmc.fr · 1. Les équations de Maxwell dans le vide Ce chapitre vise à donner une vision générale des équations de Maxwell aﬁn d’arriver