(RAPPEL TENSEURS [Mode de Compatibilité])

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    13-Jul-2016

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tenseur

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<ul><li><p>lments de Calcul Tensoriellments de Calcul Tensoriel</p><p> I Les Tenseurs II Les Oprateurs Diffrentiels II Les Oprateurs Diffrentiels</p></li><li><p>II Les TenseursLes Tenseurs</p><p> I-1 Dfinition des Tenseurs I-2 Oprations sur les Tenseurs I-3 Symtrie et Antisymtrie I-3 Symtrie et Antisymtrie I-4 Tenseurs Identit et dAntisymtrie I-5 Produits Scalaire et Vectoriel</p></li><li><p>II--11 Dfinition des TenseursDfinition des TenseursTenseur : Oprateur liant dans un mme repre deux grandeurs </p><p>physiques en un mme point dun espace de dimension d</p><p>M</p><p>u</p><p>v</p><p>Ses composantes dans un repre donn</p><p>ne dpendent que du point M</p><p>T(M)= vu =Le Rang dun tenseur caractrise son nombre dindices</p><p>T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire d0 =1 composante T(M)T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur d1 composantes Ti(M)T(2) Tenseur de Rang 2 : Matrice d2 composantes Tij(M)T(n) Tenseur de Rang n : Matrice dn composantes Tijn(M)</p></li><li><p>II--22 Oprations sur les TenseursOprations sur les TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de mme Rang</p><p>C(n) = A(n) + B(n) C ijn = A ijn + BijnProduit tensoriel () </p><p>C(n+m) = A(n) B(m) C ijnn+m = A ijn Bijm</p></li><li><p>II--33 Symtrie et AntisymtrieSymtrie et AntisymtrieSymtrie par rapport au couple dindices l,r</p><p>C(t) symtrique {l,r} C ijlrt = C ijrl...tC(t) antisymtrique {l,r} C ijlrt = -</p><p>C ijrl...tSymtrie complte le couple dindices , {1..t}</p><p>C(t) symtrie complte C ijt = C ij...t</p><p>Les proprits de Symtrie et dAntisymtrie sont intrinsquesElles se conservent par changement de repre</p><p>C symtrie complte C ijt = C ij...tC(t) antisymtrique complte C ijt = (-1)PC ij...t</p><p>P tant la parit de la permutation {ijt} {ijt}</p></li><li><p>II--44 Tenseurs Identit et dAntisymtrieTenseurs Identit et dAntisymtrieTenseur Identit ((((2222))))</p><p>1111 0000 00000000 1111 00000000 0000 1</p><p>((((2222)))) = = = = </p><p>ij = 1 si i = jij = 0 si i j le repreij = 0 si i j</p><p>Tenseur dAntisymtrie ((((3333))))</p><p>ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3}ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3}ijk = 0 si au moins 2 indices gaux</p><p>: : : : indice de Kroneker</p></li><li><p>II--55 Produits Scalaire et VectorielProduits Scalaire et Vectoriel</p><p>Produit Tensoriel de deux Vecteursu1u2u3</p><p>u =</p><p>v1v2v3</p><p>v = C((((2222)))) ====u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3</p><p>u v ==== Cij = uivj</p><p>Produit Scalaire de deux Vecteurs vu = ukvk = Ckk = Tr( )u v</p><p>Produit Vectoriel de deux Vecteursu2v3 u3v2u3v1 u1v3u2v1 u1v2</p><p>w vu ========w1w2w3</p><p>=w</p><p>((((3333) ) ) ) { }{ }{ }{ }u v=w vu ====</p><p>wi = ijkCjk</p></li><li><p>IIII Les Oprateurs DiffrentielsLes Oprateurs Diffrentiels</p><p> II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-4 Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2 II-5 Le Laplacien</p></li><li><p>IIII--11 Le GradientLe GradientGradient dun Scalaire (x)</p><p>d =Graddx</p><p>x1</p><p>u1x1</p><p>u1x2</p><p>u u u</p><p>u1x3</p><p>Gradient dun Vecteur u(x)</p><p>du =Gradudx</p><p>Grad = x2x3</p><p>Gradu =</p><p>u3x1</p><p>u2x1</p><p>u2x2</p><p>u2x3</p><p>u3x2</p><p>u3x2</p></li><li><p>IIII--22 La DivergenceLa DivergenceDivergence dun Vecteur u(x)</p><p>Divergences dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x)</p><p>Divu = = + +ukxk</p><p>u2x2</p><p>u3x3</p><p>u1x1</p><p>Divergences des Vecteurs Ligne Divergences des Vecteurs Colonne</p><p>DivD((((2222)))) = =Tijxj</p><p>T13x3</p><p>T11x1</p><p>T12x2</p><p>+ +</p><p>T23x3</p><p>T21x1</p><p>T22x2</p><p>+ +</p><p>T33x3</p><p>T31x1</p><p>T32x2</p><p>+ +</p><p>Divergences des Vecteurs Ligne</p><p>DivG((((2222)))) = =Tijxi</p><p>T31x3</p><p>T11x1</p><p>T21x2</p><p>+ +</p><p>T32x3</p><p>T12x1</p><p>T22x2</p><p>+ +</p><p>T33x3</p><p>T13x1</p><p>T23x2</p><p>+ +</p><p>Divergences des Vecteurs Colonne</p><p>DivD((((2222)))) = DivGt((((2222))))</p><p>DivG((((2222)))) = DivDt((((2222))))((((2222) ) ) ) = t((((2222)))) symtrie DivD((((2222)))) = DivG((((2222))))</p></li><li><p>IIII--33 Le Rotationnel dun VecteurLe Rotationnel dun VecteurOprateur Nabla</p><p> =</p><p>x1x2x3</p><p>Divergence Div = Tr( )u u= u = Tr( )u Graduu u u</p><p>u1u2u3</p><p>u = uu =tGradu2x3</p><p>u1x3</p><p>u3x3</p><p>u3x2</p><p>u2x2</p><p>u3x1</p><p>u2x1</p><p>u1x2</p><p>u1x1</p><p>=</p><p>et Gradient</p><p>tGrad</p><p>Tenseur Rotationnel</p><p>u2x3</p><p>u1x3</p><p>u3x2</p><p>u3x1</p><p>u2x1</p><p>u1x2</p><p>u1x2- -</p><p>u1x3</p><p>-</p><p>u2x3</p><p>u3x2-</p><p>u3x1-</p><p>-</p><p>u2x1</p><p>0</p><p>0</p><p>0u Gradu-Rot =u =</p><p>Pseudo Vecteur Rotationnel</p><p>====Rot =u u</p><p>u3x2 -</p><p>u2x3</p><p>u1x3</p><p>u3x1-</p><p>u1x2 -</p><p>u2x1</p></li><li><p>IIII--44 Rotationnels dun Tenseur Rotationnels dun Tenseur TT((22))</p><p>Pseudo Rotationnels dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x)</p><p>Gradient dun tenseur de Rang 2 ((((2222))))(x) F = Grad(3)T(2) Fijk =T ijxk</p><p>Rotationnels des Vecteurs Ligne</p><p>[ ]lkRotD ==T kij T ljxiRot =</p><p>Rotationnels des Vecteurs Colonne</p><p>[ ]klRotG ==T kij TjlxiRot =</p><p>tRotD = RotGttRotG = RotDt</p><p> = t symtrie RotD = tRotG</p><p>RotD ==T</p><p>T31x3</p><p>T33x2</p><p>T22x1</p><p>T12x1</p><p>T23x2</p><p>T11x3</p><p>T13x1- -</p><p>T11x2</p><p>-</p><p>T21x2</p><p>T33x1-</p><p>T32x3-</p><p>-</p><p>T22x3</p><p>T13x2</p><p>T12x3-</p><p>T21x3</p><p>T23x1-</p><p>T32x1</p><p>T31x2-</p><p>RotG ==T</p><p>T22x1</p><p>T21x1</p><p>T13x3</p><p>T33x2</p><p>T11x3</p><p>T32x2</p><p>T22x3- -</p><p>T23x3</p><p>-</p><p>T33x1</p><p>T12x2-</p><p>T11x2-</p><p>-</p><p>T31x1</p><p>T31x2</p><p>T21x3-</p><p>T12x3</p><p>T32x1-</p><p>T23x1</p><p>T13x2-</p></li><li><p>IIII--44 Le LaplacienLe Laplacien</p><p>Laplacien dun Vecteur u(x)2u</p><p>2u1x12</p><p>2u1x22</p><p>2u1x32</p><p>++</p><p>Laplacien dun Scalaire (x) =Div(Grad)</p><p>xk xk =Div(Grad) = </p><p>2x12</p><p>2x22</p><p>2x32</p><p>++=2</p><p>u[ ]kRot = klm umxl</p><p>u= DivD( ) =Grad =2ui</p><p>xk xk</p><p>x1 x2 x32u2x12</p><p>2u2x22</p><p>2u2x32</p><p>++</p><p>2u3x12</p><p>2u3x22</p><p>2u3x32</p><p>++</p><p> u</p><p>Laplacien et Rotationnel</p><p>(Rot ) =uRot uGrad(Div ) - u</p></li><li><p>TD1Soit le tenseur T qui scrit dans la base R(ei ):</p><p>=</p><p>105005551</p><p>T</p><p>Exprimer le tenseur T dans la base R tel que:</p><p>1'</p><p>232'</p><p>1 2 eeeteee =+=</p></li><li><p>TD2Soit le tenseur T suivant:</p><p>Dterminer la partie symtrique et la partieantisymtrique de T.</p><p>=</p><p>987654321</p><p>T</p><p>antisymtrique de T.</p><p>Rappel:</p><p>( )( ) </p><p>=</p><p> +=</p><p>t</p><p>t</p><p>TTTantisym</p><p>TTTsym</p><p>.21</p><p>.21</p></li><li><p>TD3Soit le tenseur T suivant:</p><p>1- Dterminer les valeurs et les vecteurs propres de T.2- Dterminer les trois invariants de T.</p><p>=</p><p>300014045</p><p>T</p><p>Rappels:1- Valeurs propres:</p><p>2-vecteurs propres:</p><p>( ) 0det = IT iii nnT .. =</p><p>( ) ( ){ }( )TI</p><p>TtrTtrI</p><p>TtrI</p><p>det</p><p>.21</p><p>)(</p><p>3</p><p>222</p><p>1</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>3- Invariants de T:</p></li><li><p>TD4:Soit R le tenseur rotation (matrice de passage) dangle (senstrigonomtrique) et daxe de rotation x3 .1- Calculer R22- Montrer que R2 correspond une rotation dangle 2 2- Montrer que R correspond une rotation dangle 2 autour du mme axe.3- Exprimer Rn pour tout entier n.</p></li></ul>