INTRODUCTION Comment structurer la Mécanique des Milieux continus ? géometrie groupe de...

INTRODUCTION

Comment structurer la Mécanique des Milieux continus ?

géometrie

groupe de transformations

classe de tenseurs famille de connexions(symboles de Christoffel)

groupe affine

groupe de Galilée(Mécanique classique)

groupe de Poincaré(Relativité Générale)

LA MECANIQUE AFFINE

GENERALISATION DUCONCEPT DE TENSEUR

Les tenseurs sont des objets dont les composantessont modifiées par une représentation linéaire

d’un groupe donné de transformations

Les tenseurs sont des objets dont les composantessont modifiées par une représentation linéaire

d’un groupe donné de transformations

groupe orthogonal

groupe affine

groupe de transformation classe de tenseur

groupe linéaire (n) GL

(n) (n) GLO

(n) (n) GLA

tenseurs vectoriels

tenseurs Euclidiens

tenseurs affines

TENSEURS AFFINES

point V

fonctionaffine

vecteur V

TENSEURS VECTORIELS

torseur

covecteur(forme linéaire)

�

P

1( )V P V

VPCV )( 1

CP

P

composantes affines de

T

J J

ˆ ˆˆ ˆ( , ) ( )J T

base de l’espacevectoriel

)())(())(()()( 11111 QCTPTPCJPPJ

TPQT )()( 11

TORSEUR A VALEUR VECTORIELLE

espace vectoriel des fonctions affines*A TR espace vectoriel cible

convention:R T

* * bilinéaireantisymétriqueA A

T T R

GROUPE DE GALILEE

V C P V 1 0

C P

1

V

1

V

translation spatiale

1 0

1 0

k u R

rotation

changementd’horloge

Boost galiléen

laisse invariant :

le M.R.U.les duréesles distances et les anglesles volumes

TORSEUR D’UN ARC

MT = vecteur des efforts normal et tranchants

M =vecteur des moments fléchissants et de torsion

M T

translation spatiale:3, IPC

TT TT CTTCJJ M M C T

loi de transport :

LOI DE TRANSPORT DU MOMENT

0 TT

T J

3 2

3 1

2 1

0

( ) 0

0

V V

j V V V

V V

matrice de produit vectoriel:( )V W j V W

( )j M

TORSEUR D’UNE PARTICULE MATERIELLE

espace

temps

0 T

T

T

T J

événementt

Xr

0

0 0

0 0

0 0 ( )

m

m

j l

masse

spin

0

0

( )

T

T

m p

m q

p q j l

moment cinétique

0l m r v

quantité demouvement

mv

quantitéde position

m r

boost

masse

v

M

MILIEUX CONTINUS DE DIMENSION ARBITRAIRE

variété

sous-variété N

1X

2X

nX

1�

p�

1

p

X 1e

2e

ne

f

XAT MT N

CHAMP DE TORSEUR

* *X X

bilinéaireantisymetriqueT A T TA

M M N

M

CONNEXION AFFINE

1 0

C P

1 0

1 0

k u R

affine transformation

Galilean transformation

0 0

dC dP

0 0

0 0

( )

dt

r dt dr g dt j dt

connexion galiléenne

gravité effets de Coriolis

0 0

A

connexion affine

connexion affine

A AJ J U T T U

DIVERGENCE COVARIANTE AFFINE

application tangente

X

U

Divergence covariante affine d’un torseur

T T

la divergence covariante affinedu champ de torseur est nulle

0~

T

0~

J

principe général

0~

vid

POINT DE VUE MECANIQUE

milieu continu de dimension arbitraire p

son comportement est décrit par un champ de torseur )(

convention:N M

connexion affineconnexion affine

Déclinons le principe général…

Dynamique des points matériels

Statique des poutres et arcs

Dynamique des milieux 3D

Dynamique des coques

PLUS A PROPOS DES PARTICULES MATERIELLES...

espace

temps

principe général

0

événementt

Xr

0T

0J

0m

( 2 )p m g v

conservation de la masse

loi de Newton

0 ( 2 )l vl r m g

q p

théorème du momentcinétique

Déclinons le principe général…

Dynamique des points matériels

Statique des poutres et arcs

PLUS A PROPOS DES ARCS . . .

Pas de forces distribuées (seulement des forces concentrées)

M M T

EQUILIBRE STATIQUE

= vecteur tangentd

rdU

U

principle général

0 0T

0J

équilibre des forces0d

Td

0d M

U Td

équilibre des moments

T = vecteur des efforts normal et tranchants

M =vecteur des moments fléchissants et de torsion

Déclinons le principe général…

Dynamique des points matériels

Statique des poutres et arcs

Dynamique des milieux 3D

T

DYNAMIQUE DES CORPS 3D

4pnNM

mêmes coordonnées sur et X M N

convention: TT JJ

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

I

II

III

densité

contraintes principales*

Tp

p

densité

contraintesdynamiques

Tu u

quantité de mouvement u

boost u

la divergence affine duchamp de torseur est nulle

principe général

0d iv

0~

J

0~

T

TT

0)(

tu

rj

j

)2( jij

ij

ij

j

ij

i

ugrr

uu

t

u

conservationDe la masse

conservationde la quantité

de mouvement

dérivée particulaire

Équations d’Euler

iDu

Dt

DYNAMIQUE DES CORPS 3D

Déclinons le principe général…

Dynamique des points matériels

Statique des poutres et arcs

Dynamique des milieux 3D

Dynamique des coques

VARIABLES DE COQUES

idéalisation d’un corps mince et lisse

corps 3Dbaabab wwT 23)(

aa wT 30

00T densité de masse

contraintes decisaillement transversales

33 aaT

quantité de mouvement

contraintesdans le plan

3

21

bb TJ 33 0330 TJ

translation

2/

2/

3h

hdTT

2/

2/

3h

hdJJ

intégrationsur l’épaisseur

3

21

wbaabba wwINT

aa QT 3

shT 00

bb wIJ 30

12

3hI

shell

abba MJ 3

densité surfaciquede masse

efforts tranchants

efforts de membrane

efforts cinétiques

moments fléchissantset de torsion

moment cinétique

DYNAMIQUE DES COQUES

a = 1ère

b = 2ème

formes

fondamentales

principle général

0d iv

0~

T

0~

J

0~ 3

bcc

aba

bb

a

abb wwt

wIQMJ

0)(~ 21 bccabc

acb

cb wwIMbNJ

relationsde symétrie

ja

ij

iab

iba

ba t

c 0

jij

ici

cc nt

nc30

nouveaux Christoffel

la divergence affine duchamp de torseur est nulle

02

t

vvgcQbwwINT

i

sji

jia

isba

bb

babaa dans le

plan tangent

0)2(3

1

3

i

i

sji

ji

si

b

bbaabab t

vvgnQwwINbT

hors duplan

0)det(det

10

hata

T temps

efforts cinétiques

CONCLUSIONS

J.-M. Souriau

C. Vallée

É. Cartan (1923)

La Mécanique affine

La structure de la mécanique est révélée par l’étude d’un objet unique

le torseur, qui peut se décliner

de différentes manières.