Progression détaillée en géométrie - Le réseau de ... · Le buteur frappe depuis la ligne des 22 mètres, ... Le produit scalaire des vecteurs 10 27,2 3 PT 1- ... n mathématIquES

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pROGRESSION DétaIlléE n

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Progression détaillée en géométrie

Activité 1 : Pénalité au rugby

Conception

L’activité Pénalité au rugby est une tâche complexe qui a pour but d’expliquer une attitude courante pour un buteur au rugby.

Elle permet de :

– repérer des éléments d’un terrain de rugby, à l’aide d’un repère de l’espace ;

– déterminer des angles de tir ;

– étudier les variations de l’angle de tir en fonction de l’abscisse d’un point situé à 5 m de la ligne de touche.

Objectif

– Confronter les apprenants à une tâche complexe : s’engager dans un travail de manière autonome, avoir un regard critique sur ses propositions de réponse, argumenter, conduire un raisonnement

Prérequis

– Les notions de fonctions trigonométriques et de produit scalaire dans l’espace ont été traités.

Organisation

En salle pupitre, classe entière, apprenants en groupes de deux par affinité. Chaque élève rédige un compte rendu.

En TP DM : démarrage en salle pupitre individuellement ou par binômes, les comptes rendus sont rédigés individuellement. Les fichiers informatiques sont transmis par mél.

Compétences développées chez les élèves

C1 Mettre en œuvre une recherche de façon autonome

C2 Mener des raisonnements

C3 Avoir une attitude critique face aux résultats obtenus

C4a Communiquer à l’écrit

C4b Communiquer à l’oral

Rôle du professeur

Le professeur laisse les élèves travailler en autonomie, il apporte des aides à la demande des élèves.

Pour aller plus loin

On considère que les facteurs aérodynamiques propres au ballon et les facteurs propres aux conditions atmosphériques peuvent être négligés.

Les coordonnées du ballon dans le plan de la trajectoire muni d’un repère orthonormé lors du lancer sont

données par ,

cos

sin

x t v

t v t

t

y t4 90

0 0

0

2 a

a==- +

^ ^^ ^h hh h*

où v0 est la vitesse de départ

est l’angle de départ du ballon qui est ici 45°.

v0 est exprimée en m.s-1 et l’angle est exprimé en degrés.

Le buteur frappe depuis la ligne des 22 mètres, à 5 m de la ligne de touche de telle sorte que le ballon parte à la vitesse de 16 m.s-1.

Transforme-t-il la pénalité ?

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DocumentsDocument 1

Document 2

70 m

10 m

100 m

5 m 15 m

10 m

22 m

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n mathématIquES EN claSSE DE tERmINalE

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Document 3

Pénalité : en cas de faute importante d’un joueur, l’arbitre siffle une pénalité au bénéfice de l’équipe adverse, qui se voit rendre le ballon. La faute permet de tenter un coup de pied placé, le joueur tente alors de faire passer le ballon entre les poteaux adverses. Réussi, il vaut trois points.

Wikipédia

Document 4

énoncé

Lors d’un match de rugby l’équipe des rouges bénéficie d’une pénalité à 10 m de la ligne d’en-but sur la ligne tracée à 5 mètres de la ligne de touche (cf. document 1).

Comme le règlement autorise le joueur à se placer où il le souhaite sur la parallèle à la ligne de touche qui passe par le point où la faute a été commise, le buteur place alors le ballon sur la ligne des 22 mètres avant de tirer la pénalité.

1. Pourquoi recule-t-il ?

2. A-t-il choisi la position la plus favorable ?

3. Quel est l’angle de tir le plus favorable ?

Procédure attendue

– question 1

Dans un premier temps un premier élément de réponse peut être obtenu à l’aide d’une représentation plane de la situation.

Cette démarche permet de déterminer la position préférentielle, mais pas l’angle de tir.

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On rapporte le terrain au repère dessiné ci-dessous, d’unité graphique 1 m.

Tir à 10 m de la ligne d’en-but.

On a besoin des coordonnées des points P, T1 et T2. On les obtient grâce aux documents ressources :

P(10 ; 5 ; 0), T1(0 ; 32,2 ; 3) et T2(0 ; 37,8 ;3)

Le produit scalaire des vecteurs 1027,23

PT1-f p et

1032,8PT3

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-f p est égal à 1001,16.

Les longueurs PT1 et PT2 sont :

,PT 848 841 = et ,PT 1184 842 =

On a donc , , ,cos T PT84 1184 84 1001 16848 1 2# # =%

et donc , ,

, ,cos T PT848 84 1184 84

1 16 0 9982991001 2

#-=%

donc l’angle de tir est d’environ 3,34°.

En reculant à 22 m et en raisonnant de la même façon, on obtient un angle de tir de 5,13°

(produit scalaire = 1385,16 ; ,PT 8412321 = et ,PT 8415682 = et donc cos=0,995995225)

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– questions 2 et 3

On appelle f la fonction qui, à x l’abscisse du point de départ du ballon associe le nombre cos T PT1 2% . à l’aide d’un

logiciel de calcul formel on obtient :

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En raison de la situation concrète associée, on accepte des valeurs approchées.

x 0 x050

f ’(x) - 0 +

f(x) 1 m 0,996

T PT1 2% M

m .

M , °

, mx

0 99563492

5 36

29 720

c

c

c

Activité 2 : Pour aller plus loin avec les nombres complexes

Conception

Cette activité s’inscrit dans l’esprit d’un approfondissement du programme. Au cours des différentes liaisons lycée-université, les professeurs de l’enseignement supérieur constatent chez leurs étudiants de première année, des difficultés à s’adapter aux méthodes de travail universitaires. Cette activité fait donc référence en particulier au travail demandé dans le supérieur. Elle peut être transférée sur un autre support.

Objectif

– Développer des compétences dont les étudiants auront besoin dans le supérieur :

• développer la culture du travail personnel et organisé ;

• travailler sur des ressources ;

• chercher les ressources pertinentes pour poursuivre le travail demandé.

Prérequis

– Le professeur a introduit la notation i en construisant l’ensemble des nombres complexes. La construction des opérations dans C est acquise par l’élève qui doit être capable d’effectuer des calculs algébriques.

Organisation

Ce travail se fait dans le cadre de l’accompagnement personnalisé en salle pupitre.

Compétences développées chez les élèves

– Savoir utiliser ses connaissances.

– Argumenter, communiquer à l’oral.

– Utiliser et exploiter le logiciel Xcas à disposition.

– Mener une recherche.

Rôle du professeur

– Il favorise le libre questionnement :

• sur la consigne,

• le travail à effectuer,

• la gestion des ressources : la copie d’écran, internet, les capacités et connaissances du groupe.

– Il libère les échanges entre pairs sur les initiatives et accompagne le groupe dans l’expérimentation en utilisant un logiciel de calcul formel.

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Problème

Le professeur énonce le sujet suivant avec la copie d’écran ci-contre :

Z est un nombre complexe distinct de 1.

Dans le plan complexe, déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z= izz2+ soit :

– un nombre réel ;

– un imaginaire pur.