Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21- de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demand beaucoup de travail, n’est pas en lecture pour les non abonns

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<ul><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>Tenseurs et quations de Maxwell</p><p>by Jean-Paul Cipria - Jeudi, octobre 21, 2010</p><p>http://www.nanotechinnov.com/tenseurs-equations-maxwell</p><p>quations de Maxwell Calculs par les Tenseurs</p><p>.</p><p>Le calcul tensoriel permet de simplifier la rsolution des problmes de mcanique, dlectronique et dephysique plusieurs dimensions.</p><p>The tensor calculus simplifies the troubleshooting of mechanical, electronics and physics at severaldimensions.</p><p>.</p><p>Sommaire</p><p>.</p><p>Avant propos</p><p>I . Tenseurs et quations de Maxwell</p><p>II. Champs lectromagntique par dplacement de rfrentiel</p><p>III. Proprits dilectrique dun cristal</p><p>IV. Tenseur de rotation de ? autour de laxe j=1 ou Ox</p><p>page 1 / 15</p><p>http://www.nanotechinnov.com/tenseurs-equations-maxwellhttp://www.nanotechinnov.com/wp-content/uploads/2010/10/maxwell.gif</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>V. Annexe : Exprience Virgot</p><p>VI. Rfrences</p><p>.</p><p>______________________</p><p>.</p><p>Avant propos</p><p>Les tenseurs sont des sortes de matrices. Et donc le calcul matriciel sapplique parfaitement ces objetsmathmatiques. Pour simplifier ceci permet par exemple de rsoudre un systme de quatre quations quatre inconnues en manipulant de faon semi-automatique des tableaux de nombres. Ce qui est assezmanipulatoire si la matrice est petite et compltement automatique sous Excel ou Matlab ds que lamatrice dpasse lordre 3.</p><p>Je vous propose donc deux tenseurs qui contiennent en quelque sorte les quations de Maxwell. Ilsuffit de driver dune faon particulire le premier tenseur et nous obtenons deux quations. Nousdrivons dune autre manire le deuxime tenseur et nous obtenons deux autres quations.</p><p>Lapport du calcul par tenseur est puissant car il associe la calcul pratique des matrices avec le calcul oprationnel .</p><p>Le calcul oprationnel sapparente aux distributions, par exemple, qui permettent en quelque sorte deremplacer des intgrales assez difficiles trimballer par une criture tout fait sympathique et desproprits, addition, soustraction, distributivit qui rappellent la maternelle suprieure. Ce qui convientbien aux physiciens qui me ressemblent !</p><p>I. Tenseurs et quations de Maxwell</p><p>I.1. Rappels</p><p>Comme en lectromagntisme, linduction lectrique D est le phnomne gnr par le champlectrique E considr lintrieur du matriau. Ce milieu est dtermin par la constante physique ?. Il sepeut que les lignes dinductions lectriques D soient concentres lintrieur du matriau et que E,champ lectrique, soit trs nettement modifi lextrieur. La quantit dnergie, par contre, nest pasmodifie. Il faut donc utiliser en ce cas :</p><p>Les flux conservatifs.</p><p>Objet de deux autres articles :</p><p>page 2 / 15</p><p>../flux-et-reflux</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>Flux et reflux cas de la divergence suite.</p><p>et :</p><p>flux et reflux conservatif suite.</p><p>.</p><p>I.2. lment diffrentiel de distance relativiste</p><p>En relativit un lment diffrentiel despace ou de distance est ds :</p><p>ds = dx + dy + dz c.dt</p><p>Les coordonnes espace-temps sont x, y, z, jct</p><p>j : nombre complexe avec j = -1c : Vitesse des ondes lectromagntiques dans le vide.</p><p>I.3. Note explicative pour un tudiant</p><p>Je voudrai rajouter ceci pour Adrien, tudiant en prparation aux concours des grandes coles, que cette quation laisse dubitatif : Dans le cas classique o les vitesses, les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces gnres, par exemple, par une charge lectrique ou une onde lectromagntiquealors :</p><p>Un petit lment de distance dans lespace sexprime par :</p><p>ds = dx + dy + dz</p><p>Qui est la gnralisation de Pythagore en 3D si lon veut (!)</p><p>Quand les forces ou les effets relativistes sexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif la variation de distance Ce terme est additionn en valeur imaginaire Et commedhabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous projetons sur les valeurs relles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond une ralit physique abordable. Dans ce casce sera le carr de la variation de correction de distance espace temps est :</p><p>du = (j.c.dt).(j.c.dt) = c.dt</p><p>Donc :</p><p>dsrelativiste = dsclassique c.dt</p><p>Ce qui explique que cest lespace qui change et donc les ondes lectromagntiques qui se baladent ny</p><p>page 3 / 15</p><p>../flux-et-reflux-divergence-suite../flux-et-reflux-conservatif-suite</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>voient que du feu et croient toujours aller tout droit. Elles se dplacent alors sur une courbecurviligne, qui nest plus une droite, toujours la vitesse c. Je paraphrase et cela un but pdagogique.Dailleurs il est probable que je me relise, bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que lesquations ci-dessus </p><p>Nous avons donc la correction en distance :</p><p>du = j.c.dtdodu = c.dt</p><p>I.4.Tenseurs de Maxwell</p><p>Voici les deux tenseurs dordre deux antisymtriques permettant de retrouver les quations de Maxwell :</p><p>0 H3 -H2 -jc.D1-H3 0 H1 -jc.D2Gij H2 -H1 0 -jc.D3</p><p>jc.D1 jc.D2 jc.D3 0.</p><p>0 B3 -B2 -j/c .E1-B3 0 B1 -j/c .E2Fij B2 -B1 0 -j/c .E3</p><p>j/c .E1 j/c .E2 j/c .E3 0.</p><p>Proprits :</p><p>Comme beaucoup de tenseurs dcrivant des phnomnes physiques ils possdent certaines rgularits :</p><p>1. Antisymtriques :Les coefficients lignes-colonnes sont gaux aux colonnes-lignes :Aij = -Aji</p><p>2. La diagonale est gale 0 :Aii = 0</p><p>3. Dordre deux car la moiti des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lautre moiti.Le tenseur semble dordre quatre mais nous ne possdons que deux ensembles indpendants.</p><p>.</p><p>I.5. Formules gnrales tensorielles dans MKSA</p><p>Les coordonnes de J sont</p><p>page 4 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>J1 , J2 , J3 , J4 = jc?</p><p>I.5.1 Nous retrouvons 1 et 2 avec :</p><p>.</p><p>i</p><p>j</p><p>j</p><p>page 5 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>i</p><p>j</p><p>.</p><p>I.5.2 Nous retrouvons 3 et 4 avec :</p><p>.</p><p>i</p><p>page 6 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>j</p><p>.</p><p>I.6. quations de Maxwell</p><p>1. Variables des quations de Maxwell</p><p>? : Densit de charges lectriques. Coulomb/m3..H : Champ magntique.B : Induction magntique.E : Champ lectrique. Volts/m.D : Induction lectrique.J : Densit de courant.</p><p>2. quations Maxwell dans le systme MKSA Giorgi(Mtre, Kilogramme, Seconde, Ampre)</p><p>D = ? . EB = . H</p><p>page 7 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>1. rot B = . ? . ?E/?t + . Jrot B = (1/c).?E/?t + . Jrot H = ? . ?E/?t + Jrot H = ?D/?t + J</p><p>2. div E = ?/?div D = ?</p><p>3. rot E = -?B/?t4. div B = 0</p><p>.</p><p>3. Rappel Maxwell par le systme mixte de Gauss.</p><p>1. rot H = 1/c . ?D/?t + 4/c. J</p><p>2. div D = 4.?3. rot E = 1/c . ?B/?t</p><p>4. div B = 0</p><p>.</p><p>4. DMONTRONS I.3. 1 :</p><p>Ji = ?j=1j=4 ?Gij/?xj</p><p>Calcul du premier lment de J</p><p>J1 = ?j=1j=4 ?G1j/?xj</p><p>J1 = ?G11/?x1 + ?G12/?x2+ ?G13/?x3+ ?G14/?x4J1 = ?0/?x1 + ?H3/?x2 ?H2/?x3 - jc ?D1/?jctJ1 = ?H3/?x2 ?H2/?x3 - ?D1/?tEt par dfinition du rotationnelJ1 = rotx1H - ?D1/?t</p><p>Do :</p><p>.</p><p>page 8 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>CQFD pour la premire quation.</p><p>Une dmonstration similaire montrerait que :</p><p>rotx2H = J2 + ?D2/?trotx3H = J3 + ?D3/?t</p><p>Do</p><p>rotH = J + ?D/?t</p><p>.</p><p>Calcul du quatrime terme de J :</p><p>J4 = ?j=1j=4 ?G4j/?xj</p><p>J4 = ?G41/?x1 + ?G42/?x2+ ?G43/?x3+ ?G44/?x4J4 = ?jcD1/?x1 + ?jcD2/?x2+ ?jcD3/?x3+ 0J4 = jc. [ ?D1/?x1 + ?D2/?x2+ ?D3/?x3 ]Et par dfinition de la divergence :J4 = jc. div D</p><p>et</p><p>J4= jc?jc? = jc. div D</p><p> CQFD pour la deuxime quation.</p><p>.</p><p>5. Dmonstration du I.3. 2</p><p>A faire </p><p>page 9 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>.</p><p>i</p><p>j</p><p>page 10 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>.</p><p>.</p><p>II. Champs lectromagntique par dplacement de rfrentiel</p><p>Si le rfrentiel R se dplace la vitesse V par rapport celui dorigine ou de mesure R alors :</p><p>E = E + V ? BB = B</p><p>Cest dire que le champ lectrique E est modifi par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde linduction magntique B. Linduction magntique B est inchange.</p><p>.</p><p>______________________</p><p>.</p><p>III. Proprits dilectrique dun cristal</p><p>Les milieux cristallins sont en gnral anisotropes. M. Voigt est le concepteur de ce type de calculs.Comparons linduction lectrique D et le champ lectrique E en un point dun milieu isotrope et un autreanisotrope :</p><p>Anisotrope : Milieu qui ne possde pas les mme proprits physiques quand on change de direction.</p><p>Milieu Isotrope </p><p>D = ? . E</p><p>Linduction lectrique D est de mme direction que le champ lectrique E.</p><p>Milieu Anisotrope</p><p>Di = ?j=1j=3 ?i</p><p>j. Ej</p><p>Di sexprime dans un espace de dimension 3.</p><p>Linduction lectrique D, dans la direction i, dpend des caractristiques fixes par ?ij et des impacts des</p><p>page 11 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>champs lectriques Ej dans les autres directions j.</p><p>?ij est un tenseur dordre 2.</p><p>.</p><p>______________________</p><p>.</p><p>IV. Tenseur de rotation de ? autour de laxe j=1 ou Ox</p><p>.</p><p>1 0 00 cos ? sin ?0* -sin ? cos ?.</p><p>Le vecteur OM(x, y, z) tourne dun angle ? autour de laxe j=1 ou OX</p><p>OX = exOY = cos(?).ey + sin(?).ezOZ = -sin(?).ey + cos(?).ez</p><p>.</p><p>1 0 0 ex0 cos ? sin ? cos(?).ey + sin(?).ez0* -sin ? cos ? -sin(?).ey + cos(?).ez* : Il y a un 1 dans ce tenseur selon la rfrence 1. Ceci est surement une coquille dans le livre car il ny aaucune raison quil y ait une contribution de laxe x dans ceux de y et z puisque le tenseur tourne autourde cet axe x ! Je me permets donc de corriger, avec toute la modestie quil faut, cette erreur. Avec mesrespects et toute mon admiration dus aux physiciens mrites : M. De Broglie et M. Angot.</p><p>.</p><p>V. ANNEXE Cas des ondes gravitationnelles exprience Virgo 6</p><p>6 : Cet article, qui ma demand beaucoup de travail, nest pas en lecture pour les non abonns. Il sera en tlchargement pour une modique somme ds queje laurai termin. - Lexprience Virgo Mesure dondes gravitationnelles Article Nanotechinnov.</p><p>Adrien, je ne sais pas si tu y as compris quelque chose ? Mais peut-tre quavec les explications delexprience Virgo cela clairera quelques calculs ?</p><p>Londe gravitationnelle se propage comme une onde plane sur le Michelson et change lespace du bras</p><p>page 12 / 15</p><p>../spectroscopie-ondes-gravitationnelle../spectroscopie-ondes-gravitationnelle</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>L1 dans sa premire demi-priode, puis lespace du bras L2 dans la seconde. Sur une priode dondegravitationnelle nous pouvons mesurer la diffrence de marche entre les deux bras donc :</p><p>Dm = k.(2.l2 2.l1).</p><p>Linfluence de londe gravitationnelle sur le trajet laser avant lentre sur la mdiatrice ninfluence pasla figure de diffraction puisque la modification seffectue sur le faisceau de rfrence mmeraisonnement sur le faisceau sortant et la photodiode.</p><p>Une remarque la correction de temps est imaginaire ! Et oui, do lintrt, vois-tu de faire les calculsdonde en exponentielle complexe :</p><p>ei(w.t k.r)</p><p>plutt quen :</p><p>cos (w.t k.r)</p><p>Jean-Paul Cipria octobre 2010</p><p>.</p><p>______________________</p><p>.</p><p>English Translation</p><p>Recalls</p><p>I. Tensor and Maxwells equations</p><p>II. Dielectric properties of a crystal</p><p>III. Tensor rotation ? around the axis Ox j = 1 or</p><p>Recalls</p><p>As in electromagnetism, the electric induction D is the phenomenon generated by the electric field Ewithin the considered materials. This medium is determined by the physical constant ?. It may be that thelines of electric induction D are concentrated within the material and E, electric field, is very muchchanged on the outside. The amount of energy, cons, is not changed. So use in this case conservativeflows, in two other articles here and there.</p><p>.</p><p>page 13 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>I. Tensor and Maxwells equations</p><p>In a differential element of relativity space is ds :</p><p>ds = dx + dy + dz c.dt</p><p>Space-time coordinates are x, y, z, jct</p><p>J: complex number with j = -1C: speed of electromagnetic waves in vacuum.</p><p>1. Here are the two antisymmetric tensors of order two to find the Maxwell equations</p><p>0 H3 -H2 -jc.D1-H3 0 H1 -jc.D2Gij H2 -H1 0 -jc.D3jc.D1 jc.D2 jc.D3 0.</p><p>0 B3 -B2 -j/c .E1-B3 0 B1 -j/c .E2Fij B2 -B1 0 -j/c .E3j/c .E1 j/c .E2 j/c .E3 0.</p><p>2. Maxwell equations</p><p>?: density of electric charges.H: Magnetic field.B: magnetic induction.E: electric field.D: Induction Electric.J: Current density.</p><p>3. Maxwell by MKSA Giorgi (Metre, Kilogram, Second, Ampere) </p><p>1. rot H = ?D/?t + J2. div D = ?3. rot E = -?B/?t4. div B = 0</p><p>.4. Maxwell recall the mixed system of Gauss.</p><p>1. rot H = 1/c . ?D/?t + 4/c. J</p><p>2. div D = 4.?</p><p>page 14 / 15</p></li><li><p>Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com</p><p>3. rot E = 1/c . ?B/?t</p><p>4. div B = 0</p><p>.5. Tensor in general formulas MKSA</p><p>The coordinates of J are J1, J2, J3, J4 = jc?</p><p>5.1 We find 1 and 2 with:</p><p>Ji = ?j=1j=4 ?Gij/?xj</p><p>5.2 We find 3 and 4 with:</p><p>?Fij/?xk+ ?Fki/?xj+ ?Fjk/?xi= 0</p><p>6. Show 5. 1:See french demo..</p><p>7. Demonstration of 5.2</p><p>What to do </p><p>Jean-Paul Cipria octobre 2010</p><p>VI. Rfrences</p><p>1. Andr Angot Complment de mathmatiques lusage des ingnieurs de llectrotechnique etdes tlcommunications Prface de Louis de Broglie Edition Masson &amp; Cie Sixime dition 1972</p><p>2. Flux et reflux3. Flux et Reflux Divergence suite4. Flux et Reflux Conservatif suite5. David Augier et Christophe More Physique PSI PSI* 2e anne Collection Mthodes et annales </p><p>Edition Tec &amp; doc Lavoisier 2009.6. Lexprience Virgo Mesure dondes gravitationnelles. Article Nanotechinnov.7. Bibliothque Nanotechinnov : Cours de M. Cohen Tannoudji - PDF</p><p>Jean-Paul Cipria octobre 2010Correction le 23/11/2010 Complment des quations de Maxwell avec les relations H et B et E et D. ==&gt; Apparition des constantes et ? donc 1/c.</p><p>_______________________________________________</p><p>Article crit par Jean-Paul Cipria</p><p>Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)</p><p>page 15 / 15</p>../flux-et-reflux../flux-et-reflux-divergence-suite../flux-et-reflux-conservatif-suitehttp://../wp-content/uploads/bibliotheque/Cohen-Tannoudji-1973-1974.pdfhttp://www.tcpdf.org</li></ul>