Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21- de Maxwell – Calculs par les Tenseurs. ... Cet article, qui m’a demand beaucoup de travail, n’est pas en lecture pour les non abonns

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  • Tenseurs et quations de Maxwell - 10-21-2010Par Jean-Paul Cipria - Sciences Appliques - http://www.nanotechinnov.com

    Tenseurs et quations de Maxwell

    by Jean-Paul Cipria - Jeudi, octobre 21, 2010

    http://www.nanotechinnov.com/tenseurs-equations-maxwell

    quations de Maxwell Calculs par les Tenseurs

    .

    Le calcul tensoriel permet de simplifier la rsolution des problmes de mcanique, dlectronique et dephysique plusieurs dimensions.

    The tensor calculus simplifies the troubleshooting of mechanical, electronics and physics at severaldimensions.

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    Sommaire

    .

    Avant propos

    I . Tenseurs et quations de Maxwell

    II. Champs lectromagntique par dplacement de rfrentiel

    III. Proprits dilectrique dun cristal

    IV. Tenseur de rotation de ? autour de laxe j=1 ou Ox

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    V. Annexe : Exprience Virgot

    VI. Rfrences

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    Avant propos

    Les tenseurs sont des sortes de matrices. Et donc le calcul matriciel sapplique parfaitement ces objetsmathmatiques. Pour simplifier ceci permet par exemple de rsoudre un systme de quatre quations quatre inconnues en manipulant de faon semi-automatique des tableaux de nombres. Ce qui est assezmanipulatoire si la matrice est petite et compltement automatique sous Excel ou Matlab ds que lamatrice dpasse lordre 3.

    Je vous propose donc deux tenseurs qui contiennent en quelque sorte les quations de Maxwell. Ilsuffit de driver dune faon particulire le premier tenseur et nous obtenons deux quations. Nousdrivons dune autre manire le deuxime tenseur et nous obtenons deux autres quations.

    Lapport du calcul par tenseur est puissant car il associe la calcul pratique des matrices avec le calcul oprationnel .

    Le calcul oprationnel sapparente aux distributions, par exemple, qui permettent en quelque sorte deremplacer des intgrales assez difficiles trimballer par une criture tout fait sympathique et desproprits, addition, soustraction, distributivit qui rappellent la maternelle suprieure. Ce qui convientbien aux physiciens qui me ressemblent !

    I. Tenseurs et quations de Maxwell

    I.1. Rappels

    Comme en lectromagntisme, linduction lectrique D est le phnomne gnr par le champlectrique E considr lintrieur du matriau. Ce milieu est dtermin par la constante physique ?. Il sepeut que les lignes dinductions lectriques D soient concentres lintrieur du matriau et que E,champ lectrique, soit trs nettement modifi lextrieur. La quantit dnergie, par contre, nest pasmodifie. Il faut donc utiliser en ce cas :

    Les flux conservatifs.

    Objet de deux autres articles :

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    ../flux-et-reflux

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    Flux et reflux cas de la divergence suite.

    et :

    flux et reflux conservatif suite.

    .

    I.2. lment diffrentiel de distance relativiste

    En relativit un lment diffrentiel despace ou de distance est ds :

    ds = dx + dy + dz c.dt

    Les coordonnes espace-temps sont x, y, z, jct

    j : nombre complexe avec j = -1c : Vitesse des ondes lectromagntiques dans le vide.

    I.3. Note explicative pour un tudiant

    Je voudrai rajouter ceci pour Adrien, tudiant en prparation aux concours des grandes coles, que cette quation laisse dubitatif : Dans le cas classique o les vitesses, les forces gravitationnelles sont faiblespar rapport aux forces gnres, par exemple, par une charge lectrique ou une onde lectromagntiquealors :

    Un petit lment de distance dans lespace sexprime par :

    ds = dx + dy + dz

    Qui est la gnralisation de Pythagore en 3D si lon veut (!)

    Quand les forces ou les effets relativistes sexpriment plus fort alors nous introduisons un termecorrectif la variation de distance Ce terme est additionn en valeur imaginaire Et commedhabitude nous faisons les calculs en imaginaire puis nous projetons sur les valeurs relles quandnous avons besoin de faire une mesure qui correspond une ralit physique abordable. Dans ce casce sera le carr de la variation de correction de distance espace temps est :

    du = (j.c.dt).(j.c.dt) = c.dt

    Donc :

    dsrelativiste = dsclassique c.dt

    Ce qui explique que cest lespace qui change et donc les ondes lectromagntiques qui se baladent ny

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    ../flux-et-reflux-divergence-suite../flux-et-reflux-conservatif-suite

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    voient que du feu et croient toujours aller tout droit. Elles se dplacent alors sur une courbecurviligne, qui nest plus une droite, toujours la vitesse c. Je paraphrase et cela un but pdagogique.Dailleurs il est probable que je me relise, bien plus tard et que je me comprenne mieux ce baratin que lesquations ci-dessus

    Nous avons donc la correction en distance :

    du = j.c.dtdodu = c.dt

    I.4.Tenseurs de Maxwell

    Voici les deux tenseurs dordre deux antisymtriques permettant de retrouver les quations de Maxwell :

    0 H3 -H2 -jc.D1-H3 0 H1 -jc.D2Gij H2 -H1 0 -jc.D3

    jc.D1 jc.D2 jc.D3 0.

    0 B3 -B2 -j/c .E1-B3 0 B1 -j/c .E2Fij B2 -B1 0 -j/c .E3

    j/c .E1 j/c .E2 j/c .E3 0.

    Proprits :

    Comme beaucoup de tenseurs dcrivant des phnomnes physiques ils possdent certaines rgularits :

    1. Antisymtriques :Les coefficients lignes-colonnes sont gaux aux colonnes-lignes :Aij = -Aji

    2. La diagonale est gale 0 :Aii = 0

    3. Dordre deux car la moiti des termes peuvent se retrouver en inversant le signe de lautre moiti.Le tenseur semble dordre quatre mais nous ne possdons que deux ensembles indpendants.

    .

    I.5. Formules gnrales tensorielles dans MKSA

    Les coordonnes de J sont

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    J1 , J2 , J3 , J4 = jc?

    I.5.1 Nous retrouvons 1 et 2 avec :

    .

    i

    j

    j

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    i

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    I.5.2 Nous retrouvons 3 et 4 avec :

    .

    i

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    j

    .

    I.6. quations de Maxwell

    1. Variables des quations de Maxwell

    ? : Densit de charges lectriques. Coulomb/m3..H : Champ magntique.B : Induction magntique.E : Champ lectrique. Volts/m.D : Induction lectrique.J : Densit de courant.

    2. quations Maxwell dans le systme MKSA Giorgi(Mtre, Kilogramme, Seconde, Ampre)

    D = ? . EB = . H

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    1. rot B = . ? . ?E/?t + . Jrot B = (1/c).?E/?t + . Jrot H = ? . ?E/?t + Jrot H = ?D/?t + J

    2. div E = ?/?div D = ?

    3. rot E = -?B/?t4. div B = 0

    .

    3. Rappel Maxwell par le systme mixte de Gauss.

    1. rot H = 1/c . ?D/?t + 4/c. J

    2. div D = 4.?3. rot E = 1/c . ?B/?t

    4. div B = 0

    .

    4. DMONTRONS I.3. 1 :

    Ji = ?j=1j=4 ?Gij/?xj

    Calcul du premier lment de J

    J1 = ?j=1j=4 ?G1j/?xj

    J1 = ?G11/?x1 + ?G12/?x2+ ?G13/?x3+ ?G14/?x4J1 = ?0/?x1 + ?H3/?x2 ?H2/?x3 - jc ?D1/?jctJ1 = ?H3/?x2 ?H2/?x3 - ?D1/?tEt par dfinition du rotationnelJ1 = rotx1H - ?D1/?t

    Do :

    .

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    CQFD pour la premire quation.

    Une dmonstration similaire montrerait que :

    rotx2H = J2 + ?D2/?trotx3H = J3 + ?D3/?t

    Do

    rotH = J + ?D/?t

    .

    Calcul du quatrime terme de J :

    J4 = ?j=1j=4 ?G4j/?xj

    J4 = ?G41/?x1 + ?G42/?x2+ ?G43/?x3+ ?G44/?x4J4 = ?jcD1/?x1 + ?jcD2/?x2+ ?jcD3/?x3+ 0J4 = jc. [ ?D1/?x1 + ?D2/?x2+ ?D3/?x3 ]Et par dfinition de la divergence :J4 = jc. div D

    et

    J4= jc?jc? = jc. div D

    CQFD pour la deuxime quation.

    .

    5. Dmonstration du I.3. 2

    A faire

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    II. Champs lectromagntique par dplacement de rfrentiel

    Si le rfrentiel R se dplace la vitesse V par rapport celui dorigine ou de mesure R alors :

    E = E + V ? BB = B

    Cest dire que le champ lectrique E est modifi par la vitesse relative V qui agit par le produit vectorielde linduction magntique B. Linduction magntique B est inchange.

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    .

    III. Proprits dilectrique dun cristal

    Les milieux cristallins sont en gnral anisotropes. M. Voigt est le concepteur de ce type de calculs.Comparons linduction lectrique D et le champ lectrique E en un point dun milieu isotrope et un autreanisotrope :

    Anisotrope : Milieu qui ne possde pas les mme proprits physiques quand on change de direction.

    Milieu Isotrope

    D = ? . E

    Linduction lectrique D est de mme direction que le champ lectrique E.

    Milieu Anisotrope

    Di = ?j=1