de contrainte des milietx - geotech-fr. I les tenseurs identits du second et du ... tions aux limites uniformes en dformation, pour les-quelles les paramtres de chargement sont

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Text of de contrainte des milietx - geotech-fr. I les tenseurs identits du second et du ... tions aux...

  • L. DORrtlEUXUniversit Paris-sf

    Insfituf NawerCit Dtescarfes

    Champs-sur Mayne77454 nularne-rijj

    iyr,d,o rmi eux@Imsgc. e np c . fr

    Une approche micro-,

    mcanique de la notionde contrainte effective en

    ,omcanique des milietx poreux

    La prsente tude se propose d'aborder la notionde contrainte effective dans le cadre d'une approchemicromcanique. A la suite des travaux classiquesd'Auriault et Sanchez-Palencia (7977), on revisitebrivement la porolasticit linaire. Puis on s'intresseau cas o la phase solide possde un comportementlastique non linaire. On tablit certains rsultatsgnraux sur le rle de la pression de pore dans lecritre de rupture du milieu poreux. On applique enfinles techniques d'homognisation non linaire pourdterminer la forme mathmatique de ce dernier.

    Mots-cls : contrainte effective, homognisation, nonlinaire, rupture.

    l'slIEl=IcDl.Sll,

    l{r,IrJtfot\-| {-,|3tl-ot lS'l .

    De faon similaire, dans le cadre des conditionsuniformes en dformation (B), le champ de dforma-tion microscopique e dpend linairement de E. Cetteproprlt est prise en compte par l'intermdiaire dutenseur de localisation de la dformation A(d (Fig. 2) :

    (vz 0) e(z) - A(a) : E

    (

    c(l. c

    Ainsi, dans leen contraintes, letendu la totalit

    clirt" o : 0

    rr-C(a) :e*o,(r)

    E.z

    - PL (Qr) ,u,0 (o")

    AVCC :

    (1,2)

    (13)

    (15)

    (16)

    cadre des conditions aux limitesproblme mcanique (2) peut tredu v.e.r. l sous la forme :

    dir,, o _A (0)o - C(: e * o"(') (O) ?)o.?7,-I.ri (AQ)

    Avec les conditions aux limites uniformes en dfor-mation, l'quation (3) est maintenant rempl ace pr :

    (o)

    (o)

    (o)

    (B)

    WConditions drain es

    Pour commence4 on traite brivement les cas de char-gement dfinis respectivement par (z + 0, p - 0) et par(E * 0, P - 0). Cela revient poser oo - 0 dans (Z) et (B) r6: C(n) : g =: S(a) : o avec S(a) - C (z)-t(g)

    Aussi bien dans l'quation (7) que dans l'quation(B), la rponse dpend linairement du paramtre dechargement, c'est--dire de r ou de E. Cette remarqueconduit au concept important de tenseur de < localisa-tion >.

    Plus prcisment, considrons d'abord les condi-tions uniformes en contrainte (problme (T)). Le champde contrainte o (z) dans le v.e.r. est proportionnel auparamtre de chargement I. Il existe donc un tenseurdu quatrime ordre, dit a tenseur de localisation de lacontrainte r, not ici ts (d Fig . 1) t

    Le tenseur A de localisation de la dformaton .

    La rgle de moyenne E - e qui rsulte de ce type deconditions aux limites implique que A = I

    '

    \

    (1t1

    REVUE FRANAISE DE GEOTECHNIQUEN" 122

    l",trimestre g00g

    57(V,i 0) o(z) - B(a) : I (10) [-_(1 -po)''*p,,K

  • On dfinit alors la contrainte macroscopique commela moyenne du champ de contrainte microscopique :

    ; - h,orn : E ave. h,orn,: ffi

    Compte tenu de la relation (13), la dformationmacroscopique E - t se met sous la forme :

    P* 5horn':(t +Pl) -PS':1 Q4)ou encore

    p Srrc'r'' (t + PB)

  • on introduit les densits volumiques d'nergie las-tique Y (E, P) et d'nergie potentielle Y* (E, P) relatives la phase solide du v.e.r. Elles sont toutes deux fonc-tions de E et P :

    (E . P)

    (37)

    U/*

    En l'absence de mcanismes dissipatifs, le travailfourni au solide est stock sous forme d'nergie lasti-que

    ' W- lQ"l v. tt en rsulte eue :

    (o . 'rr) dS + 1,", -

    Prt

    .,,., - {/-,lE

    A-Qo:

    *: jn.ttorrt': E- #-pB:E

    \trr-*8.trcrrt:E* f2 2.,/

    (33) ,,,,},iJ:n,. de moyenne des contraintes donne par

    (42)

    En combinant (41) avec (42), on obtient une expres-sion de la dformation moyenne en fonction de lacontrainte macroscopique et de la pression de pore :

    (1 - rbo)eu : S'' (X + Pe"L) (43)I1 convient d'observer que r' est contrle par la

    contrainte effective I + P 001. Si on dcompose la dfor-mation microscopique et sa moyenne dans la phasesolide selon leurs composantes sphrique et dviatori-que, on obtient :

    1g : a* 1u"L

    avec tu: tr e. Dans le cas d'un comportement isotropede la phase solide, la relation (43) donne :

    (1 - c,po)e,': #r (I + Pe,L)(45)

    1\-r

    fiatlu l.ttdviateur de la contrainte macro-

    La formule (45) exprime que la moyenne de ladformation dviatorique rn' n'est affecte gue 'par r^.Ce rsultat peut tre illustrur l'exemple d'une sphrcreuse soumise une contralnte de confinement uni-forme sur sa frontire extrieure . La dformationdviatorique induite par ce chargement dans la phasesolide est une composante essentielle du mcanismede dformation de la sphre. Cependant, par raisonde symtrie, la moyenne ' est ncessairement nulle.Cette remarque suggre qu'une telle quantit ne four-nit pas une estimation adquate du niveau de dforma-tion dviatorique dans la phase solide. Pour faire face cette difficult, on considre la grandeur scalaire rd,dite dformation dviatorique quivalente :

    .fl,V: I z-.8I*J O{)

    ,ts

    o n dsigne le vecteur unitaire normal l' = ) U I'r,orient vers l'extrieur du solide Q'.

    En invoquant l'quation de l'quilibre div" o - 0, lapremire intgrale du membre de droite devint :

    .ffE.ij I itrtk'rtptlS - Eu I oii dV, - ouEr,ilf),| tS+l,l ot ,l fiPar ailleurs, le flux de la vitesse ( travers l'interface

    fluide-solide dans la deuxime intgrale n'est autre quele taux de variation du volume des pors :

    t'

    | *'rL' g,tsJ I,r

    Combinant les relations (34) et (35) dans (33), lapuissance fournie au domaine solide l' est :

    v\,' - ln,i (r,,E,i *P,r) - lsr,l (r:E+ p,p) (36)\

    ; e" -d"+-1,".'t-5.'r

    I.-x:E-(,t,-;P =+1t

    (38)

    li{/-

    (3e)

    (40)

    (1 - )iioIo-K:Iestlescoplque.

    l0,l*:

    (4+)

    REVUE FRANAIsE oE corcclNteuEN.122

    '1' trimestre 2008

    AP

    Les relations (38) font apparatre que l'nergiepotentielle Y" est un potentiel thermodynamique pourle choix des variables d'tat E et P. En vertu de la lina-rit des quations d'tat macroscopiques (zs) et (30), y*est une fonction quadratique de ses arguments E et p :

    (46)

    on se limite ci-aprs au cas o la phase solide estisotrope (voir (1)). Dans ce cas, la moyenne quadratiqueefr' est relie la composante dviatorique de l'nergielastique dans la phase solide. on dispose ainsi d'unemesure nergtique de la dformation dviatoriquedans le solide. Celle-ci est exempte des limitations de%'. on va voir qu'elle peut tre value partir de ladrive de l'nergie potentielle de la phase solide parrapport au module de cisaillement p' de cette dernire(Krehet 1990). Rappelons que l'nergie potentielle dela phase solide s'crit (voir (37)) :

    lI,t,:1/Z,1,i4

    e:C':edV-P t tuerIV (4t1JJ

    La combinaison de (37) et de (39) conduit l'expres-sion suivante de Y :

    ffiNiveau de dformation moyendans la phase solide

    En vue d'applications ultrieures, il est intressantd'valuer le niveau de dformation local dans la phasesolide en fonction du chargement macroscopique,dfini par E et P, ou par I et P.

    Considrons pour commencer la dformationmoyenne ', obtenue partir de la moyenne de l'qua-tion d'tat locale r - S' : o dans le solide :

    on note gue Y. dpend de p'explicitement travers letenseur C' et implicitement travers le champ de dfor-mation microscopique r. Observant que C'/p' = 2K(cf (1)), il est facile de voir eue :

    lo'?""j f .^ f oe rr'is.Fruuol 0rr, - |,n" ,1 : ad'v + 1,n" fr: c' : etJV *

    t' ilc (48)

    I -PL.t*6yJu dp'

    ;1."

    59(41)

  • ou encole :

    V'(e) rePrsentelibre du solide.

    On suppose deforme :

    0'rf:,"o-o

    physiquement la densit d'nergie

    plus que (511 peut se mettre sous la

    o - C'(u) :

    #_ 2(r* d,")4'*o,# (4e)

    (54)

    (57)

    (58)

    (5e)

    (60)

    (61)

    (62)

    Le lemme de Hill (voir annexe) peut tre appliqu aucouple o' : o et t* - elp'. En effet,, le dplacement asso-ci elp'est (* - lp' et ce dernier vrifie des condi-tions aux limiGs uniformes en dformation (E* - 0),de sorte que le second terme du membre de droite dis-parat. Avec (39), on obtient donc :

    2(r -,b)4;' : g (*"' tto,'z : E - *. - PB, E) (50)0lr: \2- ' * 2N /

    Il est possible de simplifier encore cette expressiondans le cas isotrope. Avec l'aide de (27) et (32),les dri-ves de B et de 1/N s'crivent :

    e'(e) est appel tenseur d'lasticit scant.Par exemple, si V'(e) dpend de e travers la dfor-

    mation volumique t,,: tr e et l'invariant dviatorique eointroduit en (46), V'= V' (sn, ed), (57) devient :

    [)'t1.," 1 0'r!.,' '-

    o%1 + 2t, o*tn

    On observe que (59) est bien de la forme (58) vec :

    C"(u) - 3;'*(s,,,ru)J *21-f(r,.,,ru)K avec

    Rciproquement, il est utile d'observer que deuxfonctions k' (e" eo) et 1r'(eu eo) dfinissent un comporte-ment lastique nn hnaire la condition que :

    ;" ^ d lt''Jua- : -ict-0 11 O,r,

    En introduisant (51) dans (50),, on obtient finalement :

    z(t-,r,)4" - 1j -l'1(trE +*)'+ ry-Ea: Ea$z)2 0P' \ k'' 01t"De faon quivalente, l'quation d'tat (25) peut tre

    utilise pour obtenir une expression de efr' en fonctionde la contrainte macroscopique et de la pression depore. En utilisant la relation de Biot (27) relative aucoefficient b, on dcompose (25) selon ses parties sph-rique et dviatorique :

    Pr,,, + P - lhor"(trE + ;) ; ra - 21,,t'o'"'E,t

    (53)

    o la contrainte moyenne I,n et les contrainte et dfor-mation dviatoriques quivalentes sont dfinies pr :

    On raisonne par exemple avec des conditions auxlimites uniformes en dformation. Le chargement estdonc dfini par Ie tenseur de dformation macrosco-pique E et la pression de pore P. Les champs micros-copiques de contrainte, de dformation et de dplace-ment o, E, f dans le v.e.r. sont solutions du problmesuivan